1

ESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL POR MODOS DESLIZANTES Y SUS APLICACIONES

Raúl R. Roque Y. Noviembre 2003 ; La Paz - Bolivia

RESUMEN En el presente trabajo se expone una de las técnicas utilizadas para el diseño de algoritmos de control denominada Control por Modos Deslizantes, cuya aceptación en la comunidad científica se debe a su característica de robustez. Se estudia las condiciones para la existencia del modo deslizante, la convergencia hacia la superficie, condiciones de invarianza, el problema del chattering, finalmente se sintetiza la ley de control por modos deslizantes. Además se presenta resultados de simulación aplicados de un ejemplo de aplicación. INTRODUCCIÓN Los Sistemas de Control por Modos deslizantes son una generalización de los sistemas de control de Estructura Variable (VSC) [Llanes, 1994]. Los VSC tienen la característica de cambiar de estructura por medio de alguna ley, de manera de satisfacer características deseadas. Lo que puede significar en el caso de sistema lineales por ejemplo, cambiar entre dos ganancias, los lazos de realimentación [DeCarlo et al,1988]. Los sistema de control por modos deslizantes tienen una elevada aceptación dentro la comunidad científica e ingenieril. Su aplicación e implementación se deben a los grandes avances en la electrónica de potencia, que permiten la implementación de dispositivos de conmutación de muy alta velocidad. Los sistemas de control por modos deslizantes, son una opción de diseño de algoritmos de control por sus características de insensibilidad a perturbaciones externas y su robustez. Algunas de las aplicaciones son por ejemplo, control de seguimiento de trayectorias [Amestegui, Roque, 2001], diseño de observadores [Jezernik et al, 1992][McCann, et al, 2001], control adaptivo [Rios-Bolivar, 2002] y por ultimo se ha incluido este a los famosos algoritmos de control genetico, experto y difuso [Peña, 1998][Wong, et al, 2001]. En el área de ingeniería se ha encontrado valiosos resultados aplicando esta técnica. Como un ejemplo el control de Convertidores de potencia CC/CC [Spiazzi,1996], control de neutralización de PH [Urzua, 2002], control de nivel, [Llanes, 1994], control de procesos químicos [Sira-Ramirez, Llanes, 1994], aislamiento de vibraciones [Cirera, 1999], etc. La desventaja en la implementación de controladores por modos deslizantes es el fenómeno denominado chattering el cual se produce por la conmutación no ideal en los elementos actuadores. Dicho fenómeno será tratado también en este reporte. Por lo anterior es que se realiza un estudio introductorio a los sistemas de control por modos deslizantes. La organización del reporte es como sigue, se realiza una revisión del Control por Modos Deslizantes, luego se hace hincapié en las condiciones de existencia y alcance. Se determina la ley de control equivalente del sistema cuando este se encuentra en régimen deslizante. Se analiza los conceptos de invarianza, para luego utilizar funciones conocidas de manera de reducir el efecto del chattering. Finalmente se da un ejemplo de aplicación, en el diseño de leyes de control para el sistema de levitación magnética [Lu, Chen, 1995]; evaluando el desempeño de dicha ley de control mediante simulación computacional en Simulink de MATLAB.

2

REVISIÓN DEL CONTROL POR MODOS DESLIZANTES Considere el siguiente esquema general de un sistema con control escalar

),,( utxfx = ; (1) donde x es un vector columna y f es un vector de funciones, ambos de dimensión n y u es un elemento externo que puede influenciar en el movimiento del sistema (entrada de control). Se considera que el sistema está representado en la Forma Canónica Controlable Consideremos que el vector de funciones f es discontinuo sobre una superficie 0=t)(x,σ . Por lo tanto podemos escribir:

→→

= −−

++

0),,(0),,(

),,(σfσxf

xfutxut

ut ; (2)

Como resultado de lo anterior se tiene un sistema de ecuaciones con el lado derecho con discontinuidades. Luego el sistema esta en modo deslizante si los puntos representativos se mueven sobre la superficie deslizante 0=t)(x,σ [Spiazzi et al, 1996]. CONDICIÓN DE EXISTENCIA Como previamente se estableció, para que un modo deslizante exista, las trayectorias de fase de las dos subestructuras correspondientes a los dos diferentes valores de la función vectorial f deben dirigirse directamente hacia la superficie deslizante 0=t)(x,σ , es decir que la superficie deslizante debe comportarse como un atractor. Lo que significa que proyectando la superficie deslizante de los puntos que satisfacen

0<σ , el vector de velocidad de estado -f debe estar directamente apuntando hacia la superficie deslizante, y lo mismo se debe obtener cuando se considera los puntos que satisfacen 0>σ , para el cual el vector de velocidad correspondiente es +f . Diversos tratamientos se le ha dado a la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones con el lado derecho discontinuo. Uno de los más utilizados es el enfoque del matemático ruso Filipov, que dio las condiciones para la existencia del modo deslizante [Llanes, 1994]. Indicando con el subíndice N a los vectores de velocidad -f y +f ortogonales a la superficie deslizante podemos escribir:

0

0

0

0

>

<−

−→

+

+→

N

N

LimLim

ff

σ

σ ⇒ 0

0

0

0

>⋅∇

<⋅∇−

−→

+

+→

N

N

LimLim

fσfσ

σ

σ ; (3)

entonces:

fσσσ ⋅∇=∂∂=∑

=

n

i

i

i dtdx

xdtd

1

; (4)

luego la condición de existencia del modo deslizando es dada por:

0

0

0

0

>

<

−→

+→

dtdLimdtdLim

σ

σ

σ

σ ⇒ 00

<⋅→ dt

dLim σσσ

; (5)

cuando la inecuación dada en (5) se mantiene para todo el espacio de estados y no solamente en una región de vecindad alrededor de la superficie deslizante, entonces esta condición es también valida como suficiente para alcanzar la superficie deslizante . Lo anterior puede verse desde la teoría de estabilidad de Lyapunov, entonces definamos la función candidata [DeCarlo, et al, 1988]

)(21)( xσσ 2=V ; (6)

3

la cual es definida positiva con respecto a )(xσ , luego la derivada en el tiempo es: σσσ DD =)(V ; (7)

y se debe cumplir que 0σσ <D para que la trayectoria de los estados del sistema vayan se dirijan a la superficie deslizante. Lo que garantizaría que )(xσ se comporte como un atractor. CONDICIÓN DE ALCANCE Nuestro propósito es ilustrar, las condiciones suficientes para el alcance del régimen deslizante, que utilizaremos después para la aplicación del Control por Modos Deslizantes a los ejemplo de aplicación. Considérese el sistema (1), para el cual la entrada discontinua u es dada por:

<>

=−

+

0)(,0)(,

xσxσ

uu

u ; (8)

Sea ahora [ ]+x y [ ]−x , los valores en estado estacionario de los puntos representativos correspondientes a las entradas +u y −u . Entonces una condición suficiente para alcanzar la superficie deslizante es: [ ][ ] 0)(

0)(>∈<∈

−

+

xσxxσx ; (9)

Es decir, si los puntos en estado estacionario para una subestructura pertenecen a una región del espacio de estados reservado para otra subestructura, entonces pronto o muy poco después los puntos representativos del sistema intersectaran la superficie deslizante [Spiazzi, et al, 1996]. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA EN MODO DESLIZANTE: CONTROL EQUIVALENTE El siguiente enfoque es de interés en el análisis de los sistemas de estructura variable (VSS), en el comportamiento del sistema en régimen deslizante dado por [Utkin,1977]. Considere aquí una particular clase de sistemas que son lineales con la entrada de control, esto es

utt ),(),( xBxfx += ; (10) donde nx ℜ∈ , ntt ℑ∈),(),,( xBxf y ℜ∈u , la entrada de control (escalar) es discontinua sobre la superficie deslizante 0=t)(x,σ [DeCarlo, et al, 1988] como se muestra en (8); mientras que f y B son vectores de funciones continuas. Sobre régimen deslizante, las trayectorias del sistema permanecen sobre la superficie deslizante, por lo tanto:

0),(0),( =⇒= tt xσxσ ; (11)

∑=

=⋅∇=∂∂==

n

i

i

i dtdx

xdtdt

1

),( xSxσσσxσ ; (12)

donde S es un vector fila, ahora usando (10) y (12) podemos encontrar que: 0),(),( =+= equtt xSBxSfxSD ; (13)

donde la entrada de control u ha sido reemplazada por una entrada equivalente equ , que representa el control continuo equivalente que mantiene la evolución del sistema sobre la superficie deslizante. Bajo la suposición de que SB existe y es no singular (con inversa), de la ecuación (13) podemos derivar la expresión para el control equivalente:

[ ] ),(1 t,t)(ueq xSfxSB −−= ; (14)

4

posteriormente sustituyendo esta expresión en (10), se halla [ ][ ] ),(1 t,t)(,t)( xfSxSBxBIx −−= ; (15)

Esta última ecuación describe el movimiento del sistema sobre un control por modo deslizante. Es importante notar que la matriz SSBBI 1)( −− es de menor rango comparado con el sistema inicial [DeCarlo, et al, 1988]. Esto es debido a que, sobre el régimen deslizante, el movimiento del sistema esta restringido a estar sobre la superficie deslizante. Como consecuencia , el sistema equivalente descrito por (13) es de orden 1−n [Spiazzi, et al, 1996]. La descripción del control equivalente de un sistema de estructura variable (VSS) en régimen deslizante es valido también para sistemas de múltiples entradas. En este caso el movimiento del sistema esta restringido a una hiper-superficie obtenida de la intersección de las superficies conmutantes individuales [DeCarlo, et al, 1988][Zak. 2001]. Para obtener la ley de control por modos deslizantes, se debe satisfacer la condición (7); para ello se impone la dinámica de la superficie deslizante de la forma

))(()( xσxσ sign⋅−= η [Urzua, 2001] [Llanes, 1994] , tal que (7) se cumpla, entonces con (19) se tiene:

uttsign ),(),())(()( xSBxSfxσxσ +=⋅−= η ; (16) donde ))(( xσsign es la conocida función signum definida como:

<−=>

=0)(10)(00)(1

))((xσxσxσ

xσsign

luego la ley de control queda definida como: [ ] [ ]))((),(),( 1 xσxSfxSB signttu ⋅+−= − η ; (17)

la misma que permitirá satisfacer el objetivo de control deseado [Llanes, 1994] [Sira-Ramirez, Llanes, 1994]. La dinámica impuesta en (16), por supuesto no es la única que satisface la condición (5), existen variantes interesantes de esta dinámica, según las características deseadas del sistema al cual será aplicado el control por modos deslizantes, ver por ejemplo [Mahdavi, et al, 1997], [Urzua, 2001] [DeCarlo, et al, 1988] , [Slotine, Li, 1991]. CONDICIONES DE INVARIANZA La robustez es una de las más importantes características del control por modos deslizantes, esto es insensibilidad a ciertos errores de modelado y perturbaciones externas. Esta caracteristica requiere que la propiedad de paridad y acoplamiento sea satisfecha [Urzua, 2001], [Peña, 1998]. Considere el sistema no lineal de la forma:

[ ] [ ] ),,(),,(),(),,(),( tutttt pxdpx∆BxBpx∆fxfx ++++=D ; (18) donde p es un vector de incertidumbre, ),,( tpx∆f y ),,( tpx∆B representa errores de modelado y ),,( tpxd son las perturbaciones externas. Si existe f~ , B~ y d~ tal que la condición de paridad:

fxBpx∆f ~),(),,( tt = ; (19.a) BxBpx∆B ~),(),,( tt = ; (19.b)

dxBpxd ~),(),,( tt = ; (19.c)

5

sea satisfecha, entonces; el modo deslizante es invariante. El sentido físico de lo anterior, es que todas las incertidumbres entran al sistema por el canal de la señal de control. Cuando el sistema está en régimen deslizante y cumple con la propiedad de paridad, se tiene:

[ ] [ ] 0~),()~~)(,(),( =++++ equttt BIxSBdfxBxfS ; (20)

asumiendo que [ ] 0~ ≠+ BI , el control equivalente es:

[ ] [ ])~~)(,(),(),()~(1

dfxBxfSxBBIS +++−=−

tttu eq ; (21) y aplicando al sistema, hace que:

[ ] [ ] ),,(),,(),(),,(),( tutttt eq pxdpx∆BxBpx∆fxfx ++++= ;

[ ][ ] ),(),(),( 1 ttt xfSxSBxBIx −+= ; el mismo resultado que (15). Lo que muestra que el sistema de lazo cerrado cuando se encuentra sobre régimen deslizante es independiente de las incertidumbres y perturbaciones externas [Urzua, 2001], [Peña, 1998] [DeCarlo, et al, 1988] [Llanes, 1994]. Las perturbaciones externas e incertidumbre mencionadas sólo influyen al sistema de lazo cerrado cuando este no se encuentra en régimen deslizante, si se selecciona una ley de control apropiada que garantice en acercamiento rápido a la superficie de deslizamiento, se disminuye su influencia y se presentará una baja sensibilidad ante éstas. FENÓMENO DE CHATTERING Y SU REDUCCIÓN Uno de los inconvenientes que se tiene a la hora de implementar las técnicas de control por modos deslizantes es chattering. Sabemos ya que la ley de control cambiara de un valor a otro a una velocidad infinitamente alta, en los actuadotes reales se presenta fenómenos no lineales tales como saturación, histeresis, retardo de tiempo finito [Peña, 1998][DeCarlo, et al, 1988], por lo tanto será imposible conmutar a dicha frecuencia. El chattering aparece en estado estacionario como una oscilación de lata frecuencia alrededor del punto de equilibrio deseado y puede servir de fuente de excitación a dinámicas de alta frecuencia no modeladas en el sistema [Slotine y Li, 1991], produciendo por ejemplo grandes perdidas por calor en los circuitos eléctricos de potencia. Para prevenir esta situación se has propuesto diversas soluciones, con el fin de aproximar en forma continua el elemento discontinuo en la ley de control. Aquí se utilizará el método de llamado Capa Límite, para otras soluciones ver [DeCarlo, et al, 1988] [Peña, 1998][Urzua, 2002][Kackroo, Tomizuka, 1996]. El método de la Capa Límite indica que se debe establecer una delgada capa lñimite o capa frontera alrededor de la superficie deslizante, dentro de la cual se interpola la señal de control con lo cual se produce una aproximación continua de la misma, según se detalla en [Peña, 1998][Urzua, 2002] [Slotine y Li, 1991][Cirera, 2000]. El ancho de la capa limite está íntimamente relacionado con los retardos de tiempo finito en los actuadotes. Se define entonces la capa límite como:

Φ≤⊥=Ω )()( xσxt ; (22) donde Φ es el espesor de la capa. En otras palabras, fuera de )(tΩ , se escoge la ley de control propuesta en (17) que garantiza esta vecindad es una zona de atracción, entonces: todas las trayectorias dentro que parten dentro de )(tΩ se mantiene allí durante todo el tiempo. Dentro de la vecindad, la acción de control es interpolada. Finalmente la nueva ley de control propuesta para reducir el chattering será :

[ ] [ ]))((),(),( 1 xσxSfxSB satttu ⋅+−= − η ; (23)

6

donde

Φ

Φ>=

caso otro enxσxσxσ

xσ )()())((

))((sign

sat ; (24)

El efecto de aproximar en forma continua el elemento discontinuo puede ser interpretado como la aplicación de un filtro pasa bajos a la dinámica de la variable )(xσ . Claro está que se tendrá una degradación en el control; sin embargo sigue siendo válido al pensar que a este costo, se tiene un mayor grado de robustez. EJEMPLO DE DISEÑO En esta sección se presenta un ejemplo de aplicación de diseño de controladores por modos deslizantes. Se presenta a nivel de simulación el desempeño de mismo. Sistema de Levitación Magnética Suponga el sistema de levitación magnética como el de la figura 1:

)(ti

x

M

Fig. 1 Sistema de Levitación magnética.

Se desea que la esfera se ubique en una posición deseada dX , luego la dinámica de dicho sistema esta dada por:

2

2

)(2 βα

+−=

xMIgx ; (25)

donde x es la posición de la esfera respecto al imán electromagnético, M es la masa de la esfera, g es la aceleración de la gravedad, α , β son constantes positivas. La representación en el espacio de estados tomando como variables de estado a xx =1 y

xx =2 está en la Forma canónica controlable:

2

21

2

2

1

)(2

0u

xMgx

xx

+−+

=

βα

; (26.a)

dXxy −= 1 ; (26.b) ahora se elige la superficie deslizante, que para nuestro caso tiene la formal:

)()( 112 dXxsx −+=xσ ; (27) por otro lado:

=

gx

t 2),(xf ;

+−=

21 )(2

0),(

βα

xMtxB ; [ ]11s=S

utilizando la relación (17) la ley de control por modos deslizantes es:

7

[ ]))(()(2

21

212 xσsignxsgxMu ηα

β++

+= ; (28)

Luego la ley de control real es:

[ ]))(()(2

21

21 xσsignxsgxMu ηα

β++

+= ; (29)

se debe tomar en cuenta en el diseño que el termino ))((21 xσsignxsg η++ debe ser positivo. Los datos del sistema para la simulación son presentados en la tabla 1.

Parámetro Valor Masa de la esfera 0.15 Gravedad 9.8 Constante a 5.6e-4 Constante b 5e-4

Los parámetros utilizados para el controlador son:

Parámetro Valor Ganancia η 4 Pendiente 1s 4 Posición deseada dX 10[mm] Condición Inicial ( )0(),0( 21 xx ) (0,0)

Los resultados de simulación se muestra en la figura 2

0 2 4 6 8

- 1 0

- 5

0

x 1 0 - 3

T i e m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

E r r o r d e P o s i c i ó n

0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1

T ie m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

C o m p o r t a m ie n t o X d vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1

T i e m p o [ s e g ]

Cor

rient

e [A

mp]

S e ñ a l d e c o n t r o l

0 5 1 0

x 1 0 - 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X 1 : P o s ic ió n

X2

: Vel

ocid

ad

R e t r a t o d e fa s e

Fig. 2 Resultados de la primera simulación

En la grafica superior izquierda se tiene el error de posición, el cual converge a cero. En la gráfica superior derecha se muestra el comportamiento de la posición deseada y la actual, se ve cambios en la posición deseada de [ ]mmX d 10= a [ ]mmX d 12= . En la grafica inferior izquierda se tiene la señal de control, la misma que cambia a una velocidad casi infinita,

8

característica típica de los sistemas de control por modos deslizantes. En la grafica inferior derecha se muestra el retrato de fase del sistema de lazo cerrado, la cual muestra como las trayectorias se dirigen hacia la superficie deslizante. Ahora se tiene una segunda simulación, la misma trata de mostrar las características invarianza ante incertidumbre en el modelo y perturbaciones externas, los resultados se ven la figura 3. Primero se incluye una perturbación externa en segt 3= en la posición, luego la masa de la esfera cambia en aproximadamente 30% de su valor, en segt 2.4= , finalmente se tiene una segunda perturbación en segt 7= . La posición deseada cambia tal como se indico en la primera simulación.

0 5 1 0

- 1 0

- 5

0

x 1 0 - 3

T i e m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

E r r o r d e P o s i c i ó n

0 5 1 00

0 . 0 0 5

0 . 0 1

T i e m p o [ s e g ]P

osic

ión

[mm

]

C o m p o r t a m i e n t o X d vs x 1

0 5 1 00

0 . 5

1

T i e m p o [ s e g ]

Cor

rient

e [A

mp]

S e ñ a l d e c o n t r o l

0 5 1 0

x 1 0 - 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X 1 : P o s i c i ó n

X2

: Vel

ocid

adR e t r a t o d e fa s e

Fig. 3 Resultados de invarianza e insensibilidad

En la grafica superior izquierda se muestra error de posición de la esfera, el cual converge a cero. En la gráfica superior derecha se muestra el comportamiento de la posición deseada y la actual, claramente se observa las perturbaciones en la posición; aún así se cumple objetivo de control. En la grafica inferior izquierda se tiene la señal de control, casi idéntica a la anterior condición. En la grafica inferior derecha se muestra el retrato de fase del sistema de lazo cerrado, la cual muestra como las trayectorias se dirigen hacia la superficie deslizante. Se puede notar que una vez que el sistema ha alcanzado el régimen deslizante ( segt 5.1< ), es insensible a variaciones en el modelo, pues aún cuando se ha modificado el valor de la masa de la esfera, el sistema permanece en la superficie deslizante. La perturbaciones incluidas en el sistema, si bien sacan al sistema del modo deslizante, la dinámica de la superficie hace que nuevamente se dirija hacia ella, tal como se observa en la grafica inferior derecha. La ley de control cambia de un valor a otro a una velocidad casi infinita, por lo que se requeriría de un actuador bastante poderoso. La siguiente simulación trata de la aproximación de la función discontinua en una vecindad, de manera de suavizar la señal de control. El valor del espesor de la capa límite para este caso es 45.2 −=Φ e . Los resultados se muestran en la figura 4.

9

0 2 4 6 8

- 1 0

- 5

0

x 1 0 - 3

T i e m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

E r r o r d e P o s i c i ó n

0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1

T ie m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

C o m p o r t a m ie n t o X d vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1

T i e m p o [ s e g ]

Cor

rient

e [A

mp]

S e ñ a l d e c o n t r o l

0 5 1 0

x 1 0 - 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X 1 : P o s ic ió n

X2

: Vel

ocid

ad

R e t r a t o d e fa s e

Fig. 4 Resultado de incluir una capa limite para el controlador

En la grafica inferior izquierda se puede observar el comportamiento de la ley de control por modos deslizante, esta ha sido efecto de incluir una capa límite, con el objetivo de aproximar el elemento discontinuo mediante una aproximación continua. Este objetivo ha sido cumplido, se debe notar que los actuadotes en este caso son casi ideales, de manera que no se presenta el efecto de chattering. La señal de control es suavizada mediante la capa límite. En la figura 5. se tiene el efecto de incluir en los actuadores retardos en la conmutación, y pese a la capa límite no se puede reducir el efecto de chattering. El retardo introducido en el actuador es de segµ100 y se mantiene el espesor de la capa límite.

0 2 4 6 8

-1 0

-5

0

x 1 0 - 3

T ie m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

E rro r d e P o s ic ió n

0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1

T ie m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

C o m p o rt a m ie n t o Xd vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1

T ie m p o [ s e g ]

Cor

rient

e [A

mp]

S e ñ a l d e c o n t ro l

0 5 1 0

x 1 0 - 3

-0 . 0 4

-0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X1 : P o s ic ió n

X2

: Vel

ocid

ad

R e t ra t o d e fa s e

Fig. 5 Resultados de incluir retardos en el actuador

10

Con el objetivo nuevamente de reducir el chattering, lo que se hace es aumentar el espesor de la capa límite a 45.3 −=Φ e . Con lo que se tiene los resultados en la figura 6

0 2 4 6 8

-1 0

-5

0

x 1 0 -3

T ie m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

E rro r d e P o s ic ió n

0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1

T ie m p o [ s e g ]

Pos

ició

n [m

m]

C o m p o rt a m ie n t o Xd vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1

T ie m p o [ s e g ]

Cor

rient

e [A

mp]

S e ñ a l d e c o n t ro l

0 5 1 0

x 1 0 -3

-0 . 0 4

-0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X1 : P o s ic ió n

X2

: Vel

ocid

ad

R e t ra t o d e fa s e

Fig. 6 Reducción del efecto chattering

Se observa que la señal de control ha sido suavizada, de manera que el actuador no presenta oscilaciones de alta frecuencia. Los valores de Φ han sido tomados del comportamiento que tiene la superficie deslizante. CONCLUSIONES En este trabajo se presento el diseño del tipo mas general de controladores por modos deslizantes. Los resultados de simulación muestran la factibilidad de dicho algoritmo de control, por su robustez e insensibilidad a variaciones del modelo, una vez que el sistema se encuentre en régimen deslizante. Es necesario en la implementación del controlador suavizar la ley de control, esto se logra mediante la capa límite. El espesor de la capa límite será elegido del comportamiento de la función discontinua. Se pudo observar los efectos que produce al utilizar actuadores reales, y el problema del chattering fue resuelto incrementando el espesor de la capa límite. El diseño de la superficie deslizante para el sistema de levitación magnética permite satisfacer el objetivo de control planteado, que es la ubicación de la esfera en una posición deseada. Esta superficie por sus características no está diseñada para cumplir con objetivos de seguimiento de trayectoria, para ello se debe utilizar otra superficie deslizante y posiblemente otra función de conmutación, de manera de cumplir que la superficie se comporte como un atractor. Por supuesto no para todos los sistema de la forma (1) se puede hacer este diseño directamente, cuando los sistema no está en la forma canónica controlable, se debe utilizar transformación de coordenadas utilizando herramientas de geometría diferencial. Se ha supuesto para el ejemplo de aplicación, que el sistema no presenta ruidos de medición y que todos los estados son medibles.

11

En el presente reporte se ha mostrado las características mas generales de los sistema de control por modos deslizantes. Queda pues pendiente por ejemplo el uso de herramientas de geometría diferencial, las propiedades para sistemas discretos, diseño de superficies deslizantes para sistemas multivariables, algoritmos de control para el seguimiento de trayectorias y observadores de estado. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Amestegui M, Roque R., “Control Adaptivo de Robots Manipuladores con CompensaciónDiscontinua de las Fuerzas/Pares gravitacionales”. Carrera de Ingeniería Electrónica, Universidad Mayor de San Andrés. Octubre 2001. Cirera E. “Aislamiento Activo de Vibraciones mediante Control por Modos Deslizantes”. Dto. Ingeniería Mecánica – Laboratorio CNC – Facultad de Ingenieria UNNE. 2000. Cirera E. “Control de Estructura Variable: eliminación del Chattering”. Dpto ingenieria Mecánica-Laboratorio C.N.C- Faculta de Ingenieria- UNNE. Argentina. 2000. DeCarlo R., Zak S. y Mathews G. “Variable Structure Control of Nonlinear Multivariable Systems: A Tutorial”. Proc., IEEE, Vol 76, No. 3, p 212-232. 1988. Ghamadan R. , Blankenship G.L. “Adaptive Control of Nonlinear Systems with Application ti Flight Control Systems and Suspension Dynamics”. Dissertation submitted to the Faculty of the Graduate School of University of Marylan. 1993 Jezernik K., Curk B. Y Harnik J. “Observer Based Sliding Mode Control of Robotic Manipulator”, Faculty of Technical Science, University of Marivor, Marivor Slovenia. 1992 Kachroo P. y Tomizuka M. “Chattering reduction and Error Convergente in teh Sliding Mode Control of a Class of Nonlinear Systems”. IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 41. Pag 1063-1068. July 1996. Kraus J. “Electromagnetismo”. Mc Graw Hill. Tercera Edición. 1986 Kwatny H., Teolis C. , Mattice M. “Variable Structure Control of Systems with Nonlinear Fricction”. 1996 Loria A. Y Nijmeijer H. “Nonlinear Control Systems: (Output Feedback) Desing Methods”. Notes of Nonlinear Control Systems.1997 Llanes Orestes. “Control Discontinuo de Sistemas no Lineales “. Trabajo presentado ante la Universidad de Los Andes para la obtención del título de Doctor en Ciencias Aplicadas-Mérida, Venezuela- Abril de 1994. Lu Y., Chen J., “Design of a pertubation Estimator Using the Theory of Variable-Structure Systems and its application to Magnetic Levitation Systems”. IEEE Transactions on Industrial Electronics. Pag. 281-290. June 1995. McCann R., Mohammad I, Husain I. “Application od a Sliding ode observer for Position and Speed Esrimation in Switched Reluctante Motor Drives”. IEEE Transactions on Industrial Electronics. Vol 48. Pag 51-58. February 2001. Peña E. “Control de Estructura Variable con Técnicas de Lógica Borrosa ”. Trabajo presentado la el otorgamiento del Grado Académico de . Magíster en Ingenieria de Sistemas de Control en Facultad de Ingenieria de la Universidad Nacional de San Juan Argentina. Marzo 1998. Rios-Bolivar, “Adaptive Canonical form for Sliding Mode Control of uncertain nonlinear Systems”. 15th Triennial World Congress IFAC – 2002, Barcelona Spain. 2002 Roque R. “Control Adaptivo de Seguimiento de Trayectoria de Robots Manipuladores”. Trabajo Presentado para la obtención del Titulo de Ingeniero Electrónico en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Mayor de San Andrés. Agosto 2002. Sastry S., Bodson M. “Adaptive Control, Stability, Convergence and Robustness”. Prentice Hall, Englewood Cliff. 1989.

12

Sira-Ramirez H, Llanes O. “Dynamical Discontinuous Feedback Strategies in the Regulation of Nonlinear Chemical Processes”. IEEE Transactions on Control Systemes Technology. Pag. 11 – 22. March 1994 Sira-Ramirez H., Ortega R., Perez-Moreno R. Y García-Esteban M. “Passivity-Based Controllers for the Satabilization of DC-DC Power Converters”. Consejo de Desarrollo Científico, Universidad de Los Andes. 1996. Slotine J., Li W. “Applied Nonlinear Control”. Prentice Hall. 1991. Spiazii G., Mattavelli p. y Rossetto L. “Sliding Mode Control of DC-DC Converters”. University of Padova, Padova, Italy. 1996. Urzua J. “Control de un sistema alineal por Modos Deslizantes”. Trabajo presentado para obtención del título de Ingeniero Civil en Electronica, Universidad de Valparaíso, Chile. 2001 Yang Z., Minashima M. “Robust Nonlinear Control of a Feedback Linearizable Voltage-Controllled Magnetic Levitation Systems”. Paper. March 2000. Yik Tang C. “Discrete Variable Structure control for Uncertain Linear Multivariable Systems ”. Thesis of the requirements for the Degree of Master of Science. Oklahoma State Universuty.1997. Yik Tang C. y Misawa E. “On Discrete Variable Structure Control with Switching Sectors”. School of Mechanical and Aerospace Engineering. Okahoma Satete University. August 1998. Wong K., Leung F. y Tam P. “A Fuzzy Sliding Controller for Nonlinear Systems”. IEEE Transactions on Industrial Electronics. Vol 48. Pag 32-37. February 2001. Zak M. “EE 675 Lecture Notes” December 2001. Zinober A., Fossas-Colet E. y Scarrat J.C. “Two Sliding Mode Approaches to the Control of a Buck-Boost Systems”. Supported by British Concil/ MEC. 1996.