Estudio de las matematicas a traves de sistemas II

PABLO GONZALEZ1

20 de octubre de 2009

1 Esp.

en Educacin Matemtica o a

Indice general1. MEDIDAS Y SISTEMAS DE MEDIDA 1.1. Medidas e Instrumentos de Medidas . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Introduccin Al Sistema Internacional De Unidades o 1.1.2. Medidas De Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Medidas De Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Medidas De Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Medidas De Supercie (Areas) . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 7 7 9 9 10 13 17 17 21 23 23 25 28 28 28 29 31

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2. DEFINICIONES Y CONSTRUCCIONES 2.1. Punto, Recta, Plano Y Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Relaciones entre puntos,rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Algunas guras geomtricas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . e a 2.4. Angulos, tringulos y pol a gonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Deniciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Angulos rectos, Perpendicularidad, Angulos congruentes 2.4.3. Tringulos Isosceles y Equilateros . . . . . . . . . . . . . a 2.4.4. Lineas notables de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Cuadrilteros y Pol a gonos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. REGIONES POLIGONALES Y SUS AREAS 3.1. Regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Postulados de areas . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Area de tringulos y cuadrilateros . . . . . . . a 3.4. Area de pol gonos regulares . . . . . . . . . . . 4. FIGURAS GEOMETRICAS DEL 4.1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . 4.2. Area de prismas y pirmides . . a 4.3. Volumen de prismas y pirmides a

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ESPACIO 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Tringulos y Congruencias a 41 5.1. El concepto de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Los postulados de congruencia para tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 a

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Cap tulo 1 MEDIDAS Y SISTEMAS DE MEDIDA1.1. Medidas e Instrumentos de Medidas

Se acostumbra medir longitudes o distancias en unidades como cent metros, metros o kilmetros; o y medir el tiempo en unidades como segundos, minutos, horas, d y aos. Cuando se usa as n una regla graduada o una cinta mtrica se supone que sus resultados estn de acuerdo con e a otros instrumentos parecidos para medir longitudes. Sin embargo, cuando se usa un reloj para medir el tiempo, se puede uno preguntar si dicho instrumento funciona correctamente. Los cient cos y muchas otras personas necesitan normalizar su sistema de medidas para que los datos suministrado por una persona pueden ser interpretados por otra. En verdad, las medidas de uso comn metros y cent u metros, horas y minutos, kilogramos y gramos tienen su estado legal basado en los patrones de medidas de los f sicos. La Asamblea Nacional de Francia pidi a o la Academia de Ciencias de ese pa la creacin de un sistema de medicin que lo puedan usar s, o o todos los pa ses; resultando de esto el SISTEMA METRICO DECIMAL. El sistema cient co de medidas se identica por las letras iniciales de tres de sus unidades: el metro, el kilogramo y el segundo. Este sistema se llama sistema mks. El metro (m) y el kilogramo (kg) provienen del sistema mtrico y son, respectivamente, las unidades fundamentales de longitud y de masa. La e unidad llamada segundo (seg) procede del sistema de medidas usadas en la antigua Babilonia hace ms de 4000 aos. En 1948 la CONFERENCIA GENERAL DE PESAS Y MEDIDAS a n INTERNACIONAL DE PESAS Y MEDIDAS la revisin de las unidades deleg al COMITE o o de medicin con el n de lograr un sistema de medidas ms sencillo. En el ao 1960 se crea el o a n SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) basado en fenmenos naturales que casi no o ofrecen variacin alguna que impida uniformizar internacionalmente las unidades de medidas. o

1.1.1.

Introduccin Al Sistema Internacional De Unidades o

EL SISTEMA INTERNACIONAL SI Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que estn referidas a travs de una cadena ininterrumpida de calibraciones o a e comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumen3

tos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las caracter sticas de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad. El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades bsicas (este es el nombre dado a en la norma, aunque a veces tambin se las denomina inapropiadamente unidades fundamene tales). Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes f sicas denidas como bsicas, a a partir de las cuales se denen las dems a La siguiete tabla nos muestra esas siete unidades fundamentales Magnitud Longitud Tiempo Masa Intens. corriente Elect. Temp. Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Simb.dimens. L T M I N J Unidad metro Segundo Kilogramo Amperio Kelvin mol candela Simb. Unid. m s Kg A K mol cd observ. funcin velocidad de la luz o funcin del tiempo atomico o masa del cilindro patrn o funcin fuerza magnet. o temp. punto triple del agua

La unidad del SI esta agrupada en Unidades de Base, Unidades Suplementarias y Unidades Derivadas. UNIDADES DE BASE MAGNITUD FISICA Longitud Masa Tiempo UNIDAD Metro Kilogramo Segundo SIMBOLO m Kg s

UNIDADES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD FISICA Angulo plano Angulo Solido UNIDAD Radin a Esterordian a SIMBOLO rad sr

UNIDADES DERIVADAS MAGNITUD FISICA Area Volumen Densidad Velocidad Fuerza peso Presin o UNIDAD Metro cuadrado Metro cbico u kilogramo por metro cbico u metro por segundo Newton Pascal SIMBOLO m2 m3 kg/m3 m/seg N Pa

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1.1.2.

Medidas De Longitud

La unidad de longitud es el metro(m).un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vac por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. o Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior En la siguiente tabla mostraremos los multiplos y submultiplos del metro,sus simbolos y su equivalente en metros UNIDAD Multiplos exmetro a petmetro a termetro a gigametro megametro kilmetro o hectmetro o decametro metro decimetro cent metro milimetro micrmetro o nanmetro o picmetro o femtmetro o attmetro o SIMBOLO Em Pm Tm Gm Mm Km Hm Dm m dm cm mm m nm pm fm am EQUIVALENCIA(m) 1.000.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000m 1.000.000.000m 1.000.000m 1.000m 100m 10m 1m 0.1m 0.01m 0.001m 0.000001m 0.000000001m 0.000000000001m 0.000000000000001m 0.000000000000000001m EN POTENCIA DE 10 1018 1015 1012 m 109 m 106 m 103 m 102 m 102 m 100 m 101 m 102 m 103 m 106 m 109 1012 1015 1018

Unidad de base Submultiplos

REDUCCION DE UNA UNIDAD A OTRA 1. Para reducir una unidad a otra menor se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lugares halla de la unidad mayor a la menor. Ejemplo1.Reducir 241 Km a m veamos cuantos lugares hay del Km al m asi: Km Hm Dm m vemos que hay tres lugares hacia la derecha por lo tanto multiplicamos la unidad mayor por 1.000 241Km*1.000=241.000 metros Ejemplo2. Reducir24.6Dm a mm Veamos cuantos lugares hay del Dm al mm asi: Dm m dm cm mm vemos que hay cuatro lugares hacia la derecha por lo tanto multiplicamos la unidad mayor por 10.000 24.6Dm*10.000=246000mm corremos la coma cuatro lugares hacia la derecha 2. Para reducir una unidad a otra mayor se divide por la unidad seguida de tantos ceros 5Esp. PABLO GONZALEZ

como lugares halla de la unidad menor a la mayor. Ejemplo3.Reducir 135cm a Dm veamos cuantos lugares hay del cm al Dm asi: Dm m dm cm vemos que hay tres lugares hacia la izquierda por lo tanto dividimos la unidad menor por 1.000 135cm/1.000=0.135Dm Ejemplo 4. Reducir 45.6 m a Mm veamos los lugares Mm Km Hm Dm m Hay cuatro lugares hacia la izquierda entonces dividimos por 10.000 45.6m/10.000= 0.00456 Corremos la coma cinco lugares hacia la izquierda

1.1.3.

Medidas De Masa

La masa es una magnitud f sica que mide la cantidad de materia contenida en un cuerpo La unidad de masa es el Kilogramo (Kg).El kilogramo es igual a la masa del prototipo interna cional del Kilogramo, Es la unica unidad bsica con un prejo multiplicativo, lo que induce a a error, pues se puede interpretar que la unidad bsica es el gramo. Es tambin la unica unidad a e que se sigue deniendo en trminos de un objeto patrn, por las dicultades que presenta e o denirlo mediante un experimento, de modo semejante a como se hace en las dems, aunque se a han propuesto varios mtodos. e En la siguiente tabla mostraremos los multiplos y submultiplos del Kilogramo,sus simbolos y su equivalente en kilogramo UNIDAD Multiplos exagramo petagramo teragramo gigagramo megagramo kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo microgramo nanogramo picogramo femtogramo attogramo SIMBOLO Eg Pg Tg Gg Mg Kg Hg Dg g dg cg mg Kg ng pg fg ag EQUIVALENCIA(Kg) 1.000.000.000.000.000 Kg 1.000.000.000.000 Kg 1.000.000.000Kg 1.000.000Kg 1.000Kg 1Kg 0.1Kg 0.01Kg 0.001Kg 0.0001Kg 0.00001Kg 0.000001Kg 0.000000001Kg 0.000000000001Kg 0.000000000000001Kg 0.000000000000000001Kg 0.000000000000000000001Kg EN POTENCIA DE 10 1015 Kg 1012 Kg 109 KgKg 106 KgKg 103 Kg 100 Kg 101 Kg 102 Kg 103 Kg 104 Kg 105 Kg 106 Kg 109 Kg 1012 Kg 1015 Kg 1018 1021Kg

Unidad de base Submultiplos

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REDUCCION DE UNA UNIDAD A OTRA Se hace lo mismo que para reducir unidades de longitud, teniendo en cuenta el siguiente orden Eg - Pg - Tg - Gg - Mg - Kg - Hg - Dg - g - dg - cg - mg - - ng - pg - fg -ag

1.1.4.

Medidas De Tiempo

La Unidad de Tiempo es el Segundo(s).el segundo es la duracin de 9/192 631 770 periodos o de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hipernos del estado fundao o mental del tomo de cesio 133. a En la siguiente tabla mostraremos algunas equivalencias no establecidas por el SI UNIDAD 1 ao n 1 dia 1 hora 1 min SIMBOLO a d h min EQUIVALENCIA(Kg) 365 dias Kg 24 horas 60 min EQUIVALENCIA EN s 10 31 536 000 s 86 400 s 3 600 s 60 seg

Multiplos

REDUCCION DE UNA UNIDAD A OTRA Para reducir una unidad mayor a otra menor, se multiplica por su equivalencia,Si es de una unidad menor a una mayor se divide por su equivalencia Ejemplo. Reducir 3 horas a minutos Como es de una unidad mayor a una menor se multiplica Como 1 hora tiene 60 minutos entonces multiplica por 60 3Horas=3*60 min=180 seg

1.1.5.

Medidas De Supercie (Areas)

La Unidad de supercie es el metro cuadrado(m2 ). En la siguiente tabla Mostraremos los Mltiplos y Submltiplos del metro cuadrado, sus s u u mbolos y equivalencias en m2 . 7Esp. PABLO GONZALEZ

UNIDAD Multiplos exmetro a cuadrado petmetro a cuadrado termetro a cuadrado gigametro cuadrado megametro cuadrado kilmetro o cuadrado hectmetro o cuadrado decametro cuadrado metro cuadrado decimetro cuadrado cent metro cuadrado milimetro cuadrado micrmetro o cuadrado nanmetro o cuadrado picmetro o cuadrado femtmetro o cuadrado attmetro o cuadrado

SIMBOLO Em2 Pm2 Tm2 Gm2 Mm2 Km2 Hm2 Dmm2 mm2 dm2 cm2 mm2 m2 nm2 pm2 fm2 am2

EQUIVALENCIA(m2 )

EN POTENCIA DE 10 1036 m2 1030 m2 1024 m2 1018 m2

1000000000000m2 1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0.01m2 0.0001m2 0.000001m2 0.000000000001m2

1012 m2 106 m2 104 m2 102 m2 100 m2 102 m2 104 m2 108 m2 1012 m2 1018 m2 1024 m2 1030 m2 1036 m2

Unidad de base Submultiplos

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Cap tulo 2 DEFINICIONES Y CONSTRUCCIONES2.1. Punto, Recta, Plano Y Espacio

Los conceptos de punto, recta,plano y espacio son importantes en el estudio de la geometria,estos son terminos no denidos y nombraremos algunos objetos que lo sugieren. Un Punto como la huella que deja un lapiz sobre una hoja, cuanto mas na sea la punta del lapiz mas nos aproximamos a la idea de punto, un punto es una idea o abstraccin, no puede o denirse con terminos mas sencillos, es un termino no denido. PUNTO:ubicacin, sin longitud, anchura ni altura o Una recta como la linea mas delgada que se puede dibujar,una recta es una idea o abstraccin,no puede denirse con terminos mas sencillos, es un termino no denido. o RECTA: Longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos

Figura 1 recta Un plano como parte de un objeto sico , el corte mas delgado posible,es una idea o abstraccin,no puede denirse con terminos mas sencillos, es un termino no denido. o PLANO:Ilimitado, continuo en todas las direcciones, llano sin grosor

Figura 2 plano El espacio cuando tenemos un globo, hay puntos sobre, dentro y fuera del globo, el espacio es el conjunto de puntos que queda al destruir el globo ESPACIO:Ilimitado, sin longitud, anchura ni altura Denicin 2.1 El espacio es el conjunto de todos los puntos o 9

2.2.

Relaciones entre puntos,rectas y planos

Para representar puntos,se colocan pequeas marcas en el papel,dandole nombre con letras n maysculas al lado de cada punto u

Figura 3 puntos A, B y C Una recta la podemos considerar como un conjunto de puntos. Al dar nombre a un par de ellos ( A Y B), a la recta la podemos llamar en funcin de esos dos puntos recta AB y la desigo namos como podemos nombrar una recta con una letra minuscula y la podemos llamar recta

Figura 4 recta AB Un plano tambien puede considerarse como un conjunto de puntos. Se designa con una letra mayuscula (E) o dando nombre a tres de sus puntos (A,B y C) que no esten en la misma recta y lo llamamos Plano ABC o plano E

Figura 5 plano ABC o plano E Esos tres puntos (A,B y C) que no estan en la misma recta determinan el plano Denicin 2.2 Un punto B esta entre los puntos A y C, si o 1. A,B y C son puntos distintos de una misma recta 2. AB + BC=AC 10Esp. PABLO GONZALEZ

Figura 6 B esta entre A y C Denicin 2.3 Puntos colineales son puntos que estan en la misma recta o

Figura 7 A,B,C colineales D,C no colineales Denicin 2.4 Puntos coplanares son puntos que estan en el mismo plano o En la Figura 7 los puntos A,B,C y D son coplanares Denicin 2.5 Las rectas intersecantes son rectas que tienen un punto comn o u

Figura 8 Las rectas l y m se intersecan en el punto P Denicin 2.6 Las rectas paralelas son rectas que estan en el mismo plano y no se intersecan o

Figura 9 Las rectas l y m son paralelas Denicin 2.7 Rectas concurrentes son tres o mas rectas coplanares que tienen un punto comn o u

Figura 10 Las rectas de la gura 10 son concurrentes

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EJERCICIOS I 1 P,Q y R son tres puntos de una recta. Si PQ=12, PR=7 y QR=5, que punto est entre a los otros dos? que postulado o denicin sirve de fundamento a la respuesta? o 2 G,H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H son 4 y -3, respectivamente. Si H est entre G y K, y GK=13, cual es la coordenada de K ? a 3 Los ejercicios a,b y c se reeren a la gura de la derecha a) Nmbrese conjuntos de tres puntos colino eales b) Nmbrese conjuntos de tres puntos no colino eales c) Nmbrese cuatro puntos entre los cuales no o haya tres que sean colineales 4 Los ejercicios a,b,c y d se reeren a la gura de la derecha a) Enumrense tres pares de rectas intersee cantes b) Enumrense tres rectas concurrentes e c) Enumrense todos los pares de rectas paralee las d) Dibjense cuatro rectas concurrentes u Figura 2.2: ejercicios a,b,c y d Figura 2.1: ejercicios a,b y c

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II 1 Es importante observar que tres puntos pueden ser colineales aunque las rectas no esten marcadas. a) Mencinense grupo de tres puntos colo ineales de la gura de la derecha b) Aunque no se haya dibujado, hay una recta que pasa por cada par de puntos . Citense dos de estas rectas en la gura de la derecha

Figura 2.3: ejercicios a y b

2.3.

Algunas guras geomtricas bsicas e a

Como las rectas, los planos y los espacios se consideran conjuntos de puntos, de esa misma manera vamos a denir las guras geomtricas e Una gura plana es una gura con todos los puntos en un plano, pero no todos en una recta. Una gura espacial no tiene todos sus puntos en un solo plano. Denicin 2.8 Para dos puntos cualesquieras A y B, el segmento AB es el conjunto de los o puntos A y B, y de todos los puntos que estan entre A y B. Los puntos A y B se llaman los extremos de AB El simbolo AB lo utilizamos para representar el segmento AB, hay una gran diferencia entre los conceptos AB y AB, AB es una gura geomtrica, es decir, un conjunto de puntos, mientras e que AB es un nmero que da la medida de la distancia entre los extremos. u Denicin 2.9 El nmero AB es la longitud del segmento AB o u

Figura 11 segmento AB Denicin 2.10 sean A y B dos puntos de una recta . Elrayo AB es el conjunto de puntos o que es la reunin de o 1. El segmento AB 2. El conjunto de todos los puntos C para los cuales B est entre A y C a 13Esp. PABLO GONZALEZ

El punto A se llama extremo del rayo AB

Figura 12 rayo AB Si A est entre B y C en , entonces los dos rayos AB y AC tendran sentidos opuestos a

Denicin 2.11 Si A est entre B y C, entoncs (AB) y (BC) se llaman rayos opuestos o a

Figura 13 rayo AB y rayo AC son opuestos Denicin 2.12 Un Angulo es la unin de dos rayos no colineales que tienen el mismo extremo o o Si BA y BC son dos rayos con el extremo comn B, El extremo comn se llama vertice del u u angulo ABC , Los rayos BA Y BC se llaman lados del ngulo. El angulo ABC lo escribimos a como ABC El interior de ABC es la interseccin de los puntos del lado A de la recta BC con los del lado o C de la recta AB.

Figura 14 ABC Denicin 2.13 Un tringulo es la unin de tres segmentos determinados por tres puntos o a o (A,B, y C) no colineales. Los puntos A, B y C se llaman vrtices AB, BC y AC se llaman lados e del tringulo.El tringulo ABC lo escribimos como a a ABC

Figura 15 ABC

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Denicin 2.14 Un cuadriltero es la unin de cuatro segmentos determinados por cuatro o a o puntos (A,B,C y D) entre los cuales no hay tres colineales. Los segmentos se intersecan solo en sus extremos. Los puntos A,B,C y D se llaman vrtices AB, BC y CD y AD se llaman lados e del cuadriltero.El cuadrilatero ABCD lo escribimos como ABCD a

Figura 16 ABCD Denicin 2.15 Un trapecio es un cuadriltero con exactamente dos lados paralelos o a

Figura 17 ABCD es un trapecio AB y DC son las bases Denicin 2.16 Un paralelogramo es un cuadriltero con ambos pares de lados opuestos paro a alelos

Figura 18 ABCD es un paralelogramo AB DC y AD BC Denicin 2.17 La circunferencia es el conjunto de todos los puntos (P) de un plano que o estn a la misma distancia de un punto jo (O) llamado centro. OP se llama radio, si A y a B estn en la circunferencia y el punto O pertenece a AB entonces AB se llama diametro . a

Figura 19 (O, r)

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EJERCICIOS 1 Dibje y d el nombre de la gura en cada uno de los ejercicios siguientes u e a) BAC b) XYZ c) DEF d) A e) BA f) CD

2 Es AB el mismo segmento que BA? Por que? 3 Es AB el mismo rayo que BA? Por que? 4 Mrquense tres puntos A,B, y C no colineales. trcense ABC, BAC, y ACB.la gura a a resultante consiste en tres rectas o en tres segmentos ? Es un triangulo ? Por qu? e 5 a) Nombre por lo menos ocho tringulos en esta gura a b) Nombre por lo menos ocho cuadrilateros c) Nombre por lo menos diez segmentos d) Nombre por lo menos tres paralelogramos Figura 2.4: 6 En cierto pais, tres pueblos Arana, Bochica y clamar estn en linea recta, aunque no necea a sariamente en ese orden.La distancia de Arana a Bochica es 8 Km, y la distancia de Bochica a Clamar es 14 Km. a a) Ser posible decir que pueblo est entre los otros dos? Que pueblo no est ente los a a a otros dos? b) Utilizar un dibujo para determinar la distancia de Arana a Clamar. Habr mas de a a una posibilidad? c) Si sabemos, adems que la distancia de Arana a clamar es 6 Km. Que pueblo estar a a a entonces entre los otros dos? d ) Si la distancia entre Arana y Bochica fuera k Km, la distancia entre Arana y Clamar a m Km, y la distancia entre Bchica y Clamar es k+m Km. Que pueblo estar entre o a a los otros dos? 7 Si A,B y C son tres puntos de una circunferencia. puede decirse que punto est entre los a otros dos?

Figura 2.5: 16Esp. PABLO GONZALEZ

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a) Si A,B y C son tres puntos distintos y AB+BC =AC. cual es la relacin entre los tres o puntos? b) Si A,B y C son tres puntos distintos.podr ser cierto que AB+BC >AC ? Si no puede a ser cierto . explicar por qu. Si es cierto cual es la relacin entre A,B y C? e o

9 Si A,B, C y D son puntos distintos tales que AC contiene a B y BD contiene a C cuales de los siguientes enunciados tienen que ser ciertos ? a) B est entre A y C a b) BC contiene a A c) AC = BD d ) AC y BD se intersecan en B y C solamente e) AD y BC no se intersecan. f ) AC es opuesto a DB

2.4.2.4.1.

Angulos, tringulos y pol a gonosDeniciones Fundamentales

Recordemos la denicin dada en la seccin anterior o o Denicin 2.12 Un Angulo es la unin de dos rayos no coineales que tienen el mismo extremo o o Si BA y BC son dos rayos con el extremo comn B, Los rayos BA Y BC se llaman lados del u angulo.El extremo comn se llama vertice del angulo ABC o CBA , es indiferente que lado se u nombre primero, es mas , no importa que punto se nombra en cada uno de los dos lados. El angulo ABC lo escribimos como ABC El interior de ABC es la interseccin de los puntos del lado A de la recta BC con los del lado o C de la recta AB.

Figura 20 ABC Los lados de un ngulo son rayos y no segmentos,la gura siguiente a la izquierda no es un a angulo aunque si determina un angulo.

Figura 21 La Fig. de la izquierda no es un ngulo, pero si lo determina a

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Denicin 2.18 Si A,B,C son tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la unin de o o a los segmentos AB, AC y BC se llama tringulo, y se indica con ABC. Los puntos A,B y C se llaman vrtices, y los segmentos AB, AC y BC se llaman lados. Todo tringulo e a ABC determina tres angulos :BAC, ABC y ACB. A estos los llamamos los ngulos a del ABC. Si est claro a que triangulos nos referimos, podemos designarlos por A, B y C a

Figura 22 ABC Denicin 2.19 Sea BAC un ngulo en el plano E.Un punto P est en el interior del BAC,si o a a 10 P y B estn del mismo lado de la recta AC 1. a 2. P y C estn del mismo lado de la recta AB. a El exterior del BAC es el conjunto de todos los puntos de E que no estn en el angulo y a tampoco estn en su interior a

Figura 23 El punto P est en el interior de BAC a Denicin 2.20 Un punto P est en el interior de un tringulo, si est en el interior de cada o a a a uno de los angulos del tringulo. Un punto P est en el exterior de un tringulo, si est en el a a a a plano del tringulo, pero no est en el tringulo ni en su interior a a a

Figura 24 El punto P est en el interior de a

ABC

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Postulado 2.1 El postulado de la medida de angulos A cada angulo BAC le corresponde un nmero real entre 0 y 180 u Denicin 2.21 El nmero dado por el postulado de la medida de ngulos se llama la medida o u a del BAC, y se escribe mBAC

Figura 25 mBAC=r Postulado 2.2 El postulado de la adicin de angulos o Si D est en el interior del BAC, entonces mBAC= mBAD + mDAC a

Figura 26 mBAC= mBAD + mDAC r +s =(r+s) Denicin 2.22 Si AB y AD son rayos opuestos, y AC es otro rayo cualquiera, entonces o BAC y CAD forman un par lineal

Figura 27 BAC y CAD forman un par lineal Denicin 2.23 Si la suma de las medidas de dos gulos es 180, decimos que los ngulos son o a a suplementarios, y que cada uno es el suplemento del otro

Figura 28 r+s=180 Los dos angulos son suplementarios 19

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EJERCICIOS 1. Si m A =65 y m B =115, entonces A y B son 2. Si en la gura, m QPS = 43 y m QPM =35. cul es m CQu postulado justica la a e conclusin ? o

Figura 2.6: 3. Se d la gura, con Y, P, W alineado y XPY = ZPY. a a) Nombrar dos pares lineales b) Nombrar tres conjuntos de angulos suplementarios

Figura 2.7: 4. Determinar la medida del suplemento del angulo cuya medida es: a) 85 b) 50 c) 135 d) n e) 90-n f ) 30 g) n+h h) 180-n

5. Se d que K est entre A y F y D no es un punto de AF a a a) AKD y FKD forman b) mAKD + mFKD = 6. En la gura plana a) m CAB + m DAC = m b) m EAD + m DAC = m c) m EAD + m DAB = m d ) m EAC + m DAC = m

Figura 2.8: 20Esp. PABLO GONZALEZ

7. Se d la gura, con M N y P Q, que se intersecan en A. En que postulados o deniciones a se fundamenta cada uno de los siguientes enunciados ? a) PAM y QAM forman un par lineal. b) PAM y QAM forman son suplementarios c) m PAM + m QAM =180 d ) m QAM + m QAn =180 Figura 2.9:

2.4.2.

Angulos rectos, Perpendicularidad, Angulos congruentes

Denicin 2.24 Si los ngulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno o a de ellos se llama ngulo recto a

Figura 29 r+r=180 Los dos angulos son rectos Denicin 2.25 Un angulo recto es un ngulo cuya medida es 90 o a

Figura 30 mBAC=90 el BAC es recto Denicin 2.26 Si AB y AC forman un angulo recto, entonces se llaman perpendiculares, o y escribimos AB AC Para rectas y segmentos empleamos la misma notacin,asi: Si el BAC es un ngulo recto, o a escribimos AB AC, AB AC, AB AC

21

Esp. PABLO GONZALEZ

Denicin 2.27 Si la suma de las medidas de dos anguloa, es 90, entonces los angulos se o llaman complementarios y cada uno de ellos se llama el complemento del otro. Un angulo con medida menor que 90 se llama agudo. Un ngulo con medida mayor que 90 se llama obtuso. a

Figura 31 mBAD90 el BAD es gudo elCAD es obtuso a Denicin 2.28 Dos angulos son congruentes si tienen la misma medida, Dos segmentos son o congruentes si tienen la misma longitud Asi,