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PROYECTO FIN DE CARRERA

ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL SISTEMA CATENARIA –

PANTÓGRAFO – VEHÍCULO – PLATAFORMA

AUTOR: ABEL RAMOS CALVO

MADRID, 6 / 2009

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Pasado y futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Lineas ferroviarias importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Lineas de corriente continua a 3kv . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Lineas de corriente alterna a 15kv . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3. Lineas de corriente alterna a 25kv . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Dinámica de la interacción c-p-v-p 13

2.1. Formulación dinámica del problema de cables . . . . . . . . . 14

2.1.1. Formulación del elemento corotacional . . . . . . . . . 20

2.2. Formulación del contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Integración Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1. La familia β-Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2. El método α-Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. Cárgas móviles en vigas 49

3.1. Denición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. Solución Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Modelo Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Elementos del conjunto c-p-v-p 61

4.1. Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1. Catenaria exible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.2. Perl conductor aéreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

i

ÍNDICE GENERAL ii

4.2. Pantógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Vehículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1. Modelo de tren de 3 grados de libertad . . . . . . . . . 71

4.3.2. Modelo de tren de 10 grados de libertad . . . . . . . . 71

4.4. Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.1. Puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Simulación de la interacción c-p 78

5.1. Catenaria Flexible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1. Dos Pantógrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto . . . . . . . . . . . . 88

5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida . . . . . . . . . . . . 94

5.3.1. Efecto de la longitud de los soportes . . . . . . . . . . 96

5.3.2. Efecto de la velocidad de circulación . . . . . . . . . . 99

5.3.3. Efecto de la sección que sustenta el hilo de contacto . . 101

5.3.4. Efecto del peso del perl conductor . . . . . . . . . . . 106

5.3.5. Sistema de alimentación con dos pantógrafos . . . . . . 109

6. Simulación de la interacción v-p 110

6.1. Desplazamientos del rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Longitud de la plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2.1. Inuencia en la fuerza de contacto Tren-Rail . . . . . . 117

6.2.2. Comparacion de desplazamientos en el nodo de contac-

to Tren-Rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.3. Valores Numéricos utilizados en Longitud de la Platafor-

ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3. Irregularidades en la vía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.1. Irregularidades periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3.2. Irregularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3.3. Irregularidades aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4. Dinámica de puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4.1. Caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7. Simulación de la interacción c-p-v-p 141

7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema . . 146

ÍNDICE GENERAL iii

7.1.1. Irregularidades Aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.1.2. Irregularidades Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2. Inuencia de la plataforma en la respuesta del sistema . . . . 159

7.3. Inuencia de puentes cortos en la respuesta del sistema . . . . 162

7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema . . . . 165

7.4.1. Puente de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.4.2. Viaducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8. Conclusiones y líneas futuras de investigación 177

8.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.2. Principales aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.3. Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

1

2

Los medios de transporte han tenido siempre mucha relevancia en las

vidas de los seres humanos. La evolución de estos ha permitido el aumento

relaciones entre diferentes pueblos y culturas, aparte de promover la inno-

vación tecnológica y mover grandes cantidades de capital.

Uno de estos medios de transporte importante ha sido el ferrocarril. Des-

de su aparición en 1802, gracias al trabajo de el ingeniero inglés R. Chard

Trevithik y su compatriota Andrew Vuian, hasta la actualidad ha sufrido

gran cantidad de modicaciones.

Se han realizado estudios desde las primeras locomotoras a vapor hasta

los trenes eléctricos de nuestros días para poder introducir diferentes tipos

de mejoras en ellos, desde el incremento de la velocidad y mejoras en las

infraestructuras hasta la exigencia actual de confort de los pasajeros.

Hoy en día existe una gran red de vías de ferrocarril por todo el mun-

do, un claro ejemplo lo podemos encontrar observando la red ferroviaria que

recorre toda la Unión Europea, mostrada en la gura 1.1 .Gran parte de los

ferrocarril que operan en la actualidad son movidos con energía eléctrica, co-

municada al tren a través del pantógrafo (jo al tren) que se debe encontrar

en contacto con la catenaria en todo momento. Las tensiones de alimentación

más comunes van desde 600 V a 3 kV en corriente continua, o entre 15 y 25 kV

en corriente alterna. La mayor parte de las instalaciones funcionan con cor-

riente (continua o alterna) monofásica, aunque existen algunas instalaciones

trifásicas.

3

Figura 1.1: Red de ferrocarriles en Europa

1.1. Pasado y futuro 4

1.1. Pasado y futuro

Como recoge K.Knothe [Kno95], la idea de Winkler en 1867 [Win67] de

introducir el concepto de fundación elástica puede ser considerado el inicio del

trabajo cientíco en el campo de los modelos de raíles de trenes. El modelo

de Winkler fue adoptado rápidamente por los ingenieros ferroviarios, como

se puede ver en `Minutes of Proceedings ' [Sch82] del Instituto de Ingeniería

Civil en Londres.

La interacción entre los vehículos que forman el tren y el raíl contiene

bastantes problemas no resueltos, el más importante, quizá, es el deterioro

de los componentes debido al paso de los trenes. Puede llevar mucho tiempo y

necesita de cooperación e intercambio de información aproximar el problema

y nalmente resolverlo. La solución de problemas cientícos a veces necesita

diez, veinte, cincuenta o incluso cientos de años. Esto se puede demostrar

con un ejemplo, el problema de estabilidad de los vehículos que forman el

tren. En principio puede parecer que la estabilidad del tren no depende del

raíl ni de la estructura que lo sustenta, sin embargo, se demuestra que están

íntimamente relacionados.

El 28 y 29 de Marzo de 1954, SNCF realizó experimentos de alta veloci-

dad en la linea que une Burdeos y Hendaya. La máxima velocidad alcanzada

fue de 330km/h con una locomotora de seis ejes y de 331km/h con una de cu-

atro ejes. Más de 25 años después se realizó un informe ocial indicando que

hubo algunos incidentes. El experimento había producido una deformación

en las vias de forma que estas habían adquirido un carácter sinusoidal. Hubo

dos posibles causas que produjeran esta deformación. La primera fue que la

vía y el terreno fueron compactados justo antes del test. Estas operaciones

de mantenimiento hicieron que la resistencia de la vía a esfuerzos laterales

disminuyera drásticamente. La segunda causa fue que la locomotora era in-

estable, produciendo fuerzas elevadas en la dirección transversal. Se puede

asumir que el principio de una intensa investigación sobre problemas de es-

tabilidad a nales de los cincuenta, principios de los sesenta fue debido, en

parte, a esta experiencia. Al menos es cierto que los experimentos realizados

por SNCF entre 1960 y 1965 estuvieron marcados por la inestabilidad de la

locomotora.

1.1. Pasado y futuro 5

La mayor parte de los miembros de la comunidad cientíca del mundo

atribuían quizá la solución del problema de la estabilidad o de la velocidad

crítica a Matsudaira [Mat60] o a Wickens [Wic60]. Ambas investigaciones

pudieron ser inuidas por los experimentos de SNCF en 1954, cuyos resulta-

dos conocían de forma no ocial. Sin embargo, ninguno de estos autores era

consciente de que el problema de la estabilidad en vehículos de tren ya había

sido resuelto en 1936 por el físico francés Rocard [Roc35b] [Roc35a]. Rocard

tenía presente el hecho de que el problema del contacto mecánico tenía que

resolverse primero y alentó a Lèvi para que transformara el problema a uno

de contacto rueda-raíl. Hoy en día, se podría decir que Lèvi y Rocard habían

usado la teoría de simplicación de Kalker [Kal73]. Es un tanto sorprendente

que Lèvi no se diera cuenta de que el problema del contacto rueda-rail ya

había sido resuelto 10 años antes en paralelo por Carter [Car26] en Inglaterra

y por Fromm [Fro27] en Berlin.

Incluso no fue Rocard el primero que empezó a plantearse el problema

de la estabilidad. En 1887 un ingeniero alemán, Boedecker, escribió un libro,

con el título traducido al inglés 'The actions between Wheel and Rail and

their inuence on the running behavior and on the rolling resistance of railway

vehicles. Por lo que se sabe del autor, Boedecker fue el primero que se interesó

por la estabilidad de los vehículos de tren. Sus conclusiones se pueden resumir

en que un vehículo de dos ejes siempre es inestable. Aunque la formulación

era correcta, la solución sin embargo, fue incorrecta.

De este ejemplo se pueden extraer tres conclusiones:

Aunque se haya realizado la formulación de un problema de forma cor-

recta, a veces puede llevar cincuenta años o más su correcta resolución.

La cooperación internacional y el intercambio de información debería

ser usado como instrumento para reducir los tiempos. Si el problema de

la estabilidad del vehículo hubiera sido conocido por Carter, el hubiera

sido capaz de obtener las ecuaciones de la dinámica del vehículo usando

su solución de contacto rueda-raíl.

Quizá exista una solución física consistente para el problema del dete-

rioro de ciertos materiales bajo el efecto del paso de los vehículos del

tren, pero no la conocemos.

1.2. Lineas ferroviarias importantes 6

Concerniente al tema de la interacción del vehículo y el rail y la estructura

que lo sustenta, se pueden formular tres metas:

1. Proponer un modelo apropiado que simule el comportamiento dinámico

del vehículo y la plataforma.

2. Desarrollar, en la medida de lo posible, la relación existente entre el

comportamiento dinámico vehículo plataforma y la degradación a largo

plazo de ciertos componentes.

3. Identicar las áreas en las que el desarrollo sea más importante. Para

centrar en ellas la mayor parte de las lineas de investigación.

1.2. Lineas ferroviarias importantes

A continuacion se muestran las características de algunas lineas de ferro-

carril importantes, resumidas en la tabla 1.2.

Figura 1.2: Características de catenarias


1.2.1. Lineas de corriente continua a 3kv

LINEA MOSCU-SAN PETERSBURGO

`October Railway' se encarga de operar la linea de 3 kV de corriente con-

tinua a una velocidad de 200km/h entre Moscu y San Petersburgo. Esta es

una de las lineas más usadas en Rusia, fue actualizada para soportar veloci-

dades de 250km/h. Después de la remodelación de la linea, esta ha quedado

congurada de la siguiente forma. Un aislante en suspensión es el encarga-

do de unir el hilo de la catenaria con la ménsula, la cual consiste en barras

formando un cierto ángulo. Dos brazos permanentes guían los hilos de con-

tacto espaciándolos 40 mm. Las ménsulas son montadas sobre postes en los

tramos entre estaciones, los cuales soportan también hilos telefónicos y cables

de señales. Tensores de poleas compensan los cambios de longitud sufridos

en los cables debidos a las distintas temperaturas. Los aislantes utilizados

son adecuados también para lineas de corriente alterna de 25 kV. 'October

Railway' utiliza también estructuras de pórticos sobre postes para añadir

exibilidad a los vanos en las estaciones.

LINEA ROMA-FLORENCIA

Los 238 km de vía de alta velocidad que unen Roma con Florencia uti-

lizan 3 kV de corriente continua y admiten velocidades de hasta 250 km/h.

En la parte sur de la linea, el sistema de la catenaria consiste en dos hilos de

contacto y un cable sustentador. El hilo sustentador se encuentra tensado a

27.5 kN, mientras que los hilos de contacto están a 15 kN. Los cambios de

longitud debido a las temperaturas son compensados mediante tensores de

poleas. En la parte norte de la vía la catenaria se compone de dos hilos de

contacto de cobre, tensados a 15kN cada uno de ellos, y dos cables susten-

tadores tambien tensados a 15 kN. El equipo utilizado para tensar cables, lo

hace de forma independiente en cada uno de ellos. Tres vanos son utilizados

para realizar los cambios en las catenarias. La ménsula esta formada por

barras tubulares, que son los encargados de soportar el hilo de contacto. Los

portales encargados de sujetar las catenarias son sustentados en el suelo a


través de apoyos, de esta forma no transmiten momentos.

RED DE FERROCARRIL EN FRANCIA

El estado de Francia se encarga de operar una red de 5833km de ferrocarril

a una tensión de 1.5 kV de continua. Las catenarias están compuestas por un

hilo sustentador, un hilo auxiliar y dos hilos de contacto. Los vanos tienen

una longitud de 63 m. Para tensar los cables son utilizados sistemas de poleas.

1.2.2. Lineas de corriente alterna a 15kv

DISEÑOS DE CATENARIAS Re100, Re200 y Re330

El diseño Re100 es utilizado para velocidades de hasta 100 km/h, con-

siste en un hilo sustentador Bz 50 y un hilo de contacto de cobre, cada uno

tensado a 10 kN. La altura del sistema son 1.4m en apoyos simples y 1.8m

en vanos exibles. No son utilizados cables de acero para esta velocidad de

operación. El diseño Re200 fue concebido para admitir velocidades de hasta

200 km/h, con cables en tensión para jar los apoyos. Son utilizados ca-

bles sustentadores Bz 50, hilos de contacto de cobre AC-100 y péndolas Bz

10. El diseño R2300 permite velocidades de hasta 350km/h. Se utiliza como

cable sustentador Bz 120, tensado con 21kN y cables de contacto CuMg AC-

120, tensados a 27 kN, se reduce el grado de elasticidad no uniforme en un

8 %. Sistemas de tensado individuales compensan las variaciones de longitud

en el cable sustentador y en el hilo de contacto. Ménsulas de aluminio con

poco mantenimiento son utilizadas para soportar la catenaria. Se preeren

postes para los apoyos simples, sin embargo los portales son necesarios para

tramos curvos o de transiciones de velocidad. Simulaciones y test han valida-

do unas propiedades mecánicas superiores en las catenarias en estos sistemas.

El diseño Re330 fue utilizado por primera vez en la linea de alta velocidad

Berlin-Hanover.

LINEAS ESTÁNDAR EN AUSTRIA


Esta catenaria se compone de un hilo sustentador de cobre de 70 mm2

y un hilo de contacto de cobre AC-120. La linea paralela de alimentación

(ACSR 260/30) se apoya en aislantes colocados en la parte superior de los

postes. Estas lineas utilizan vanos exibles en las estaciones.

DISEÑOS DE LINEAS S20 y S25.

En Noruega existe una red de catenarias operadas con corriente alterna

15 kV y 16,7 Hz, con lineas S20, que admiten velocidades de hasta 200 km/h,

y S25, con velocidades de hasta 250 km/h. El sistema S25 fue utilizado en la

linea de alta velocidad que une Oslo con Gardermoen, en la que se alcanzan

velocidades de 250 km/h. Son utilizadas ménsulas de bajo mantenimiento,

además permiten ajustar la catenaria al trazado de la vía. Los postes son los

apoyos más utilizados en tramos abiertos. Tensores de polea son los encarga-

dos de tensar el hilo de contacto y el sustentador de forma individual. Cinco

vanos seguidos son el diseño estándar. Las estructuras en forma de pórticos

utilizadas en las estaciones son modulares, pudiendo variar su anchura en

función de los casos.

DISEÑO DE LINEAS BN 160 POR EL GRUPO BLS EN SUIZA

El grupo BLN fue el encargado de mejorar la infraestructura y el sumin-

istro de energía en la linea Bern-Neuenburg. Esto incluía el desarrollo de un

nuevo diseño de catenaria. Este nuevo diseño estaba formado por un cable

sustentador de cobre revestido de acero de 50mm2 tensionado a 6.75kN y un

hilo de contacto de cobre AC-107 tensado a 13.5 kN. Los tubos que forman

la ménsula son fabricados de acero inoxidable, aluminio o acero galvanizado.

La abrazadera de apoyo del cable sustentador y los brazos jos son montados

en tubos horizontales para facilitar el trabajo de ajuste. La disposición de

los aislantes hace que los trabajos de mantenimiento puedan ser llevados a

cabo en los postes, lineas paralelas e iluminación de la vía sin necesidad de

desconectar la linea principal. El los tramos abiertos de vía, el sistema de

apoyo utilizado son postes simples.


1.2.3. Lineas de corriente alterna a 25kv

LINEA DE ALTA VELOCIDAD MADRID-SEVILLA

La linea de alta velocidad que une Madrid con Sevilla fue acabada en

1992. Se tuvo que hacer una adaptación en las lineas existentes que obligó

a añadir un nuevo cable de contacto de corriente continua en las estaciones

de Madrid-Atocha y Sevilla-St.Justa. El nuevo sistema de corriente debía

combinar altas corrientes y velocidad, con dos pantógrafos simultáneos en la

catenaria. El diseño del nuevo sistema de hilos de contacto deriva del diseño

aportado por las lineas previas de 25 kV. La longitud máxima de vano de 65m

garantiza condiciones óptimas de movimiento. Dos cables de contacto, cada

uno tensados a 12 kN, un hilo sustentador y uno alimentador en paralelo pro-

porcionan la capacidad de corriente necesaria. El diseño está realizado con

un cable sustentador Bz 70 y un hilo de contacto de cobre AC-120 es similar

al diseño Re250. Los conductores de retorno de corriente son montados en los

postes, para mejorar dicha corriente. Las secciones neutrales son utilizadas

para separar las secciones alimentadas con subestaciones individuales a 25

kV de alterna, 50Hz. También son utilizadas para separar las secciones ali-

mentadas a 3kv de continua y 25 kV de alterna.

LINEAS FRANCESAS TGV

El estado de Francia opera una red de ferrocarriles con una alimentación

de una sola fase de corriente alterna a 25kV 50Hz. De experiencias anteriores,

han conseguido desarrollar lineas de muy alta velocidad. El 18/05/1990, un

tren viajo a 515 km/h en la linea Paris Tours. El diseño de la sujeción del

hilo de contacto le permite elevarse hasta 400 mm. Mientras que postes sim-

ples son utilizados en Alemania, Austria y Rusia, en Fracia es ampliamente

utilizado vigas de acero en forma de H como postes. El sistema tensor de

poleas compensar los cambios de longitud sufridos en el hilo de contacto y el

sustentador debido a los cambios de temperatura.

LINEA DE TOKAIDO EN JAPON


La linea de alta velocidad de Tokaido que es operada con un sistema de

alimentacion de corriente alterna a 25kV 50Hz, permite velocidades de 210

km/h. La catenaria compuesta, con un hilo sustentador adicional, asegura

uniforme elasticidad. El hilo sustentador de acero de sección 180mm2 es ten-

sado con 25 kN, el hilo sustentador adicional de cobre cadmio es con sección

150mm2 y el hilo de contacto con seccion 170mm2 son, cada uno, tensados

con 15kN. Un brazo permanente une el cable de contacto, mientras que otro

ja el cable sustentador. Ambos brazos estan unidos al brazo soporte. La

altura del cable de contacto son 5m. El cable sustentador puede ser movido

a lo largo de la parte superior del tubo, para amoldarse a la geometría de la

vía. Los elementos viscosos insertados entre el hilo de contacto y el hilo sus-

tentador auxiliar son diseñados para limitar las oscilaciones en el contacto.

Mientras que postes simples son muy utilizados en tramos abiertos, pórticos

son el medio más usados para sujetar la catenaria en estaciones. La longitud

de las secciones en tensión son 1500 m. Se utiliza un solapamiento de 5 vanos

para relizar la transición de una sección a otra.

LINEA TIPO Re200C QUE UNE HARBIN-DALIAN EN CHINA

Esta linea de tren une las ciudades de Harbin, Changchung, Shengyang y

Dalin, todas tienen mas de un millón de habitantes. Esta linea está altamente

utilizada, debido al transporte de siete millones de bienes y 25 trenes por día

en cada dirección, con una diferencia entre cada uno de ellos de entre 8 y

10 minutos. El diseño adoptado en la linea Re200C es una adaptación del

diseño Re200 y tiene en cuenta las condiciones climáticas locales. Estos es

especialmente importante debido al amplio rango de temperaturas, que van

desde −40oC hasta +80oC. Las lineas principales están equipadas con un hilo

de contacto CuAg AC-100, las lineas secundarias con un hilo de conctacto

Cu AC-100, en ambas el hilo sustentador es BzII50. La tensión introducida

en ambos hilos es de 10kN. Se garantizan largos periodos de vida de las mén-

sulas al estar hechas de aleaciones de aluminio. En paralelo con el equipo de

contacto se encuentra el cable de alimentacion y el de retorno. El cable de

retorno se encuentra próximo al de alimentación de apoyo, para conseguir

1.3. Objetivos del proyecto 12

una pareja inductiva de cables y de esta forma recudir la reactancia consid-

erablemente. Esto reduce la fuerza del campo magnético en la zona próxima

de cables. La máxima corriente admisible de 1270 A asegura una alta trans-

misión de potencia a la gran cantidad de trenes que circulan por estas lineas.

LINEA QUE UNE KUALA LUMPUR CON EL AEROPUERTO DE

MALASIA A 25KV

Para unir el nuevo aeropuerto con la zona sur de Kuala Lumpur se realizó

esta nueva linea en 2001. Estos 25km de linea son transitados por nueve

trenes a la hora, a una velocidad de 160km/h. La linea ha sido equipada con

la catenaria diseñada por Siemens SICAT S 1.0. Tanto el hilo sustentador

como el de contacto están tensados con 24 kN, y se encuentran sujetados por

las ménsulas en vigas de acero en forma de H. La longitud del vano es de 65

m.

1.3. Objetivos del proyecto

Desarrollo de una herramienta mediante la cual se pueda simular la

interacción del conjunto catenaria - pantógrafo - vehículo - plataforma.

Vericación del método de cálculo.

Implementación de modelos de vehículo y plataforma.

Implementación de nuevos modelos de catenaria.

Implementación de posibles mejoras para la disminución de los tiempos

de cálculo.

Estudio de la inuencia de diferentes tipos de plataforma en la respuesta

dinámica del sistema.

Capítulo 2

DINÁMICA DE LA

INTERACCIÓN CATENARIA -

PANTÓGRAFO - VEHÍCULO -

PLATAFORMA

13

2.1. Formulación dinámica del problema de cables 14

Este capítulo está basado en la tesis Análisis dinámico y optimización

de catenarias para alta velocidad ' de J.Jimenez [Jim09] y se incluye en este

proyecto para explicar los fundamentos del método de cálculo dinámico uti-

lizado en las simulaciones.

2.1. Formulación dinámica del problema de ca-

bles

En el cálculo estructural las ecuaciones de equilibrio, comportamiento

y compatibilidad sirven para obtener las ecuaciones de campo que rigen el

comportamiento del medio continuo. A partir de las primeras se genera un

sistema de ecuaciones diferenciales que relaciona las variables de campo con

funciones conocidas que recogen el efecto de los distintos parámetros del

problema. Por tanto, la formulación de los elementos nitos tanto para és-

ta como para cualquier otra aplicación en mecánica estructural es válida

independientemente de si está basada en campos de desplazamientos o de

tensiones. En esta sección se seguirá una formulación de elementos basada

en desplazamientos.

La formulación de elementos nitos se resume en las líneas siguientes.

Considerando los desplazamientos como variables dependientes, se dene un

campo admisible tal que los desplazamientos asociados a cualquier elemento

puedan obtenerse mediante la interpolación de dichas variables en los gra-

dos de libertad nodales. Según el principio de energía potencial estacionaria

y habiendo denido de forma apropiada una función que permita obtener

una solución al campo de desplazamientos mediante el método de Rayleigh-

Ritz (la expresión de la energía potencial Πp) entonces puede establecerse la

condición dΠp = 0 que aplicada sobre los grados de libertad nodales resulta

en un sistema de ecuaciones algebraicas.

La expresión 2.1 de la energía potencial en un cuerpo elástico lineal es el

punto de partida,

Πp =

∫Ω

(1

2εtEε− εtEε0 + εtσ0

)dΩ−

∫Ω

dtΦ dΩ−∫

Γ

dtΞ dΓ−UtP (2.1)


para la cual d = [u v w]t representa el campo de desplazamientos, el

vector ε = [εx εy εz γxy γyz γzx]t el campo de deformaciones, E el tensor de

propiedades del material, ε0 y σ0 la deformación y tensión inicial respecti-

vamente, Φ = [Φx Φy Φz]t las fuerzas sobre el volumen Ω de la estructura,

Ξ = [Ξx Ξy Ξz]t las esfuerzos sobre las supercies Γ, U los grados de libertad

nodales de la estructura y nalmente P las cargas externas en los nodos de

la estructura.

Según esto, los desplazamientos d internos de cada elemento se obtendrán

mediante interpolación de los grados de libertad nodales u de éstos,

d = Nu (2.2)

dondeN son las llamadas funciones de forma. Su denición está relaciona-

da con la calidad de la solución aproximada. Con la relación 2.2 y el operador

matricial ∂ es posible obtener la deformación ε mediante diferenciación del

desplazamiento y expresarla como

ε = ∂d

B = ∂N

⇒ ε = Bu (2.3)

teniendo en cuenta que el operador diferenciacion ∂ será una matriz de 6

por 3 para problemas tridimensionales y de 3 por 2 para los bidimensionales.

Sustituyendo las relaciones 2.2 y 2.3 en 2.1, se obtiene

Πp =1

2

nel

Ae=1

utekeue −

nel

Ae=1

utefe − utP (2.4)

donde los símbolos A indican el ensamblado de la estructura global

mediante la suma de los nel elementos que la conforman, habiendo denido

la matriz de rigidez elemental como 2.5,

k =

∫Ωe

BtEB dΩ (2.5)

y el vector de cargas elementales como 2.6

f =

∫Ωe

BtEε0 dΩ−∫

Ωe

Btσ0 dΩ +

∫Ωe

NtΦ dΩ +

∫Γe

NtΞ dΓ (2.6)


nombrando en 2.5 y 2.6 con Ωe el volumen del elemento y con Γe la

supercie del mismo.

Para completar la formulación por elementos nitos ha de determinarse

nalmente el sistmea de ecuaciones algebraicas a resolver, lo cual es inmedia-

to ya que todos los grados de libertad u de cada nodo se encuentran en vector

global U de la estructura discretizada. Por tanto, superponiendo convenien-

temente las contribuciones de los grados de libertad locales en la formulación

global de la estructura, la ecuación 2.4 dará lugar a la expresión 2.7 sin más

que expandir las matrices de rigidez y vectores de cargas y desplazamientos

elementales a la estructura completa, quedando

Πp =1

2utKu− utf (2.7)

donde,

K =

nel

Ae=1

ke y f = P +

nel

Ae=1

fe (2.8)

Finalmente la función Πp queda en función de los grados de libertad u.

Considerando estacionaria la energía potencial respecto a pequeños desplaza-

mientos ugdl, mediante reglas básicas de diferenciación matricial y aplicando

la expresión 2.9 como una ecuación de equilibrio en los nodos,

∂Πp

∂u= 0 (2.9)

se obtiene el sistema matricial de ecuaciones algebraicas 2.10

Ku = f (2.10)

para el cual la matriz de rigidez K es simétrica y sus coecientes Kij =∂2Πp

∂ui∂uj.

Tal como señalan Cook et al. en [CMP89], si la frecuencia de excitación de

una estructura es menor que un tercio de la frecuencia natural de vibración

más baja de una estructura cualquiera, el problema se asume cuasiestático

considerando despreciables los efectos de inerciales. Por tanto, la ecuación

2.10 se puede utilizar correctamente cuando las cargas F, y por tanto los

desplazamientos U, varían ligeramente con el tiempo. De esta forma, el vector


de cargas F puede ser de cargas aplicadas en el cuerpo o en la supercie,

considerando las fuerzas de aceleración constante mediante la integral que

contiene Φ en la ecuación 2.6.

Se ha de tener en cuenta que los efectos de la inercia cobran importancia

a medida que aumentan las frecuencias de excitación o se deja a la estruc-

tura vibrar libremente. Las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica

de un medio se derivarán de forma que el trabajo de las fuerzas externas sea

absorbido por el trabajo de las fuerzas internas, de inercia y viscosas para

cualquier movimiento cinemáticamente posible por pequeño que éste sea. Es

decir, cualquier movimiento que satisfaga tanto las condiciones de compati-

bilidad como las condiciones de contorno esenciales. Así, la matriz de masa

m para un elemento y M para la estructura completa, recogerán la inercia

en la formulación mediante una representación discreta de la distribución de

masa de la estructura entendida como un medio continuo y, análogamente,

los efectos del amortiguamiento viscoso se incorporarán también por medio

de las matrices c para un elemento y C. Para la obtención de éstas, en primer

lugar ha de plantearse el balance de trabajo 2.11 para un elemento,

∫Ωe

δdtΦ dΩ +

∫Γe

δdtΞ dΓ +n∑

i=1

δdtipi =

∫Ωe

(δεtσ + δdtρd + δdtκdd

)dΩ

(2.11)

donde, recuérdese, δd y δε representan respectivamente pequeños de-

splazamientos arbitrarios y sus correspondientes deformaciones, Φ fuerzas

volumétricas sobre el dominio Ωe, Ξ tensiones superciales sobre Γe, pi car-

gas concentradas que pueden ser aplicadas sobre los n puntos del elemento,

dti los desplazamientos de dichos puntos, ρ la densidad del material y κd el

parámetro de amortiguamiento material viscoso.

Empleando nuevamente las funciones de forma N, dependientes única-

mente del espacio, y los grados de libertad nodales en función del tiempo, se

obtienen las expresiones 2.12 para el campo de desplazamientos d y sus dos

primeras derivadas temporales d y d.

d = Nu d = Nu d = Nu (2.12)

Las ecuaciones 2.12 representan la separación local de variables. Com-


binándolas con la ecuación de balance energético 2.11 se obtiene la siguiente

expresión 2.13:

δut

[∫Ωe

Btσ dΩ +

∫Ωe

ρNtN dΩ u +

∫Ωe

κdNtN dΩ u −∫

Ωe

NtΦ dΩ−∫

Γe

NtΞ dΓ−n∑

i=1

pi

]= 0

(2.13)

en donde se asume que la localización de las cargas concentradas pi co-

incide con la de los nodos del elemento. Como los grados de libertad δu son

arbitrarios, la ecuación 2.13 puede reescribirse matricialmente como 2.14,

mu + cu + qe = fe (2.14)

donde las matrices de masa y amortiguamiento se denen como 2.15 y

2.16 respectivamente,

m =

∫Ωe

ρNtN dΩ (2.15)

c =

∫Ωe

κdNtN dΩ (2.16)

y los vectores de fuerzas (incluyendo en este término los momentos) in-

ternas y externas se expresan según 2.17 y 2.18

qe =

∫Ωe

Btσ dΩ (2.17)

fe =

∫Ωe

NtΦ dΩ +

∫Γe

NtΞ dΓ +n∑

i=1

pi (2.18)

La expresión 2.14 representa un sistema ecuaciones diferenciales ordinar-

ias de segundo orden acopladas en el tiempo. Recibe el nombre de semidis-

cretización porque aunque los desplazamientos u son funciones discretizadas

espacialmente, conservan la continuidad en el tiempo. El cálculo dinámico de

esta ecuación constituye una disciplina en sí misma, existiendo gran canti-

dad de métodos que abarcan desde la reducción modal hasta la integración

numérica mediante la discretización temporal de 2.14.


La construcción de las matrices M y C junto con el del vector q que

denen el comportamiento estructural se obtienen mediante el ensamblado de

las componentes elementalesm, c y qe aunque, en el caso del vector de fuerzas

internas hay que tener presente que su obtención suele estar íntimamente

relacionado con el método de cálculo dinámico empleado. De esta forma,

cuando las ecuaciones 2.15 y 2.16 se evalúan con las mismas funciones de

forma N que las empleadas en la interpolación 2.12 de los desplazamientos,

éstas reciben el nombre de matrices de masa y amortiguamiento consistentes,

siendo ambas simétricas. A nivel de elementos estas matrices suelen estar

llenas, sin embargo a nivel de la estructura global generalmente presentan

similar escasez de densidad que la matriz de rigidez. Por otra parte, el hecho

de que la densidad ρ y el coeciente de amortiguamiento κd sean distintos de

cero determinan que sus respectivas matrices asociadas m y c sean denidas

positivas, lo que se traduce por ejemplo en el caso de la matriz de masas en

que la energía cinética 12utmu sea positiva para cualquier valor de u.

El vector de fuerzas internas 2.17 representa las cargas sobre los nodos.

Estas cargas son provocadas por la deformación del material y su denición

depende del tipo de cálculo dinámico. Considerando un material elástico

lineal, aunque las ecuaciones 2.14 y 2.17 son útiles para comtemplar compor-

tamientos no lineales del material (deniendo por ejemplo σ mediante una

función no lineal de la deformación), la ecuación 2.17 que dene las fuerzas

internas considerando σ = EBu puede reescribirse como 2.19

qe = ku (2.19)

considerando para ésta la denición usual 2.5 de la matriz de rigidez k.

Asumiendo un comportamiento lineal del material la ecuación 2.14 se expresa

como

mu + cu + ku = f (2.20)

ecuación que puede interpretarse como un equilibrio de las cargas externas

frente a la suma de las fuerzas inerciales, viscosas y elásticas. Por tanto,

expandiendo la ecuación 2.20 a la estructura ensamblada se obtiene 2.21


Mu + Cu + Ku = f (2.21)

donde f equivale al vector de cargas del problema estático, ecuación 2.10,

aunque para el caso dinámico será función del tiempo. No obstante esto no

deja de ser una conjetura que en el caso de los cables, cuyo comportamiento

no lineal es evidente debido a su geometría y es además acentuado por la

presencia del contacto con el pantógrafo y el pandeo de las péndolas en la

interacción catenaria-pantógrafo, no es asumible. Por tanto, volviendo a la

ecuación 2.14, la expresión general para cualquier comportamiento, lineal o

no lineal, del material puede generalizarse para una estructura ensamblada

según se expresa en la ecuación 2.22

Mu + Cu + q = f (2.22)

La resolución de este tipo de sistemas mediante integración directa en el

tiempo suele requerir métodos numéricos que generalmente precisan el cálculo

de la llamada matriz de rigidez tangente, Kt. En mecánica computacional,

esta matriz describe la rigidez en la respuesta de un sistema a pequeños

cambios en su conguración. Idealmente representa el plano tangente a una

supercie energética en un punto, lo que implica el cálculo de la matriz

jacobiana del vector de fuerzas internas q respecto al de desplazamientos u

como 2.23.

Kt =∂q

∂u(2.23)

2.1.1. Formulación del elemento corotacional

El objeto de esta sección es detallar la formulación corotacional del el-

emento viga bidimensional empleado de forma que sea posible resolver la

dinámica de la interacción catenaria-pantógrafo y vehículo-plataforma según

indica la expresión 2.22. Siguiendo el enfoque descrito por M.Criseld en

[Cri91] para casos planos, a continuación se establecen las relaciones entre

las expresiones locales y globales del vector de fuerzas internas y la matriz de

rigidez tangente relacionadas en la expresión 2.23. La idea es descomponer

el movimiento del elemento en una parte rígida y otra deformable haciendo


referencia a un sistema de coordenadas locales (xl, zl) solidarias al elemento

y, por tanto, a sus movimientos de rotación y traslación, ver gura 2.1.

'2

'12

1

2lµ

1lµ

1w

1u

2w

2u

0¯

lz

1µ ® ¯

2µ

u¹ lx

z

x

Figura 2.1: Deformación del elemento corrotacional

Las coordenadas de los nodos 1 y 2 en el sistema de coordenadas global

(x, z) son (x1, z1) y (x2, z2), siendo el vector de desplazamientos globales:

pg = (u1 w1 θ1 u2 w2 θ2)t (2.24)

El vector de desplazamientos locales se dene según la gura 2.1:

pl = (ul θl1 θl2)t (2.25)

calculando las componentes de pl como sigue:

ul = ln − lo (2.26)

θl1 = θ1 − α (2.27)

θl2 = θ2 − α (2.28)


denotando lo y ln en la ecuación 2.26 las longitudes inicial y actual del

elemento,

lo = ((x2 − x1)2 + (z2 − z1)

2)1/2 (2.29)

ln = ((x2 + u2 − x1 − u1)2 + (z2 + w2 − z1 − w1)

2)1/2 (2.30)

y α la rotación de sólido rígido, calculándose como:

sin α = cos βo sin β − sin βo cos β (2.31)

cos α = cos βo cos β − sin βo cos β (2.32)

con:

co = cos βo =1

lo(x2 − x1) (2.33)

so = sin βo =1

lo(z2 − z1) (2.34)

c = cos β =1

ln(x2 + u2 − x1 − u1) (2.35)

s = sin β =1

ln(z2 + w2 − z1 − w1) (2.36)

siendo α, tal que |α| < π:

α =

sin−1 (sin α) si sin α ≥ 0 y cos α ≥ 0

cos−1 (cos α) si sin α ≥ 0 y cos α < 0

sin−1 (sin α) si sin α < 0 y cos α ≥ 0

− cos−1 (cos α) si sin α < 0 y cos α < 0

(2.37)

Para aplicar el principio de los trabajos virtuales es preciso obtener los

desplazamientos locales virtuales derivando las ecuaciones 2.26, 2.27 y 2.28:

δul = cos β (δu2 − δu1) + sin β (δw2 − δw1)

(− cos β − sin β 0 cos β sin β 0) δpg = rtδpg

(2.38)


δθl1 = δθ1δα = δθ1δβ con (α = β − β0) (2.39)

δθl2 = δθ2 − δα = δθ2 − δβ (2.40)

De esta forma, derivando la ecuación 2.36 es posible obtener δβ

δβ =1

cl2n((δw2 − δw1)ln − (z2 + w2 − z1 − w1)δln) (2.41)

tomando δln = δul de la ecuación 2.38 y simplicando:

δβ =1

cln((δw2 − δw1)− sc(δu2 − δu1)− s2(δw2 − δw1))

δβ =1

ln(s − c 0 − s c 0)δpg = ztδpg (2.42)

Aplicando 2.42 en 2.39 y 2.40:

δθl =

((0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

)− 1

ln

(zt

zt

))pg = Atδpg (2.43)

quedando nalmente la relación de desplazamientos locales y globales

como sigue:

δpl =

δul

δθl1

δθl2

=

−c −s 0 c s 0

−s/ln c/ln 1 s/ln −c/ln 0

−s/ln c/ln 0 s/ln −c/ln 1

δpg (2.44)

δpl =

(rt

At

)δpg = Bδpg (2.45)

La relación entre los vectores de esfuerzos internos local ql y global qg se

obtiene igualando los trabajos virtuales, W , en ambos sistemas de referencia

como se muestra en la ecuación 2.46. Dependiendo el vector de esfuerzos

internos local de esta relación, qtl = (N, M1, M2), de la denición propia del

elemento.

Wint = δptgvqg = Nδuv + M1δθl1v + M2δθl2v = δpt

lvql = δptgvB

tql (2.46)


Así, para cualquier vector de desplazamientos virtuales δpg, el vector de

fuerzas internas δqg queda como sigue:

qg = Btql (2.47)

Siendo preciso conocer las tensiones δql resultantes de las ecuaciones 2.48

y 2.49 para el cálculo de δqg.

N =EAul

lo(2.48)

(M1

M2

)=

2EI

lo

(2 1

1 2

)(θl1

θl2

)(2.49)

Sin embargo, la ecuación 2.48 asume que la deformación axil del elemento

es igual al cociente de la deformación relativa entre sus extremos y la longitud

del elemento recto. Tal aproximación no permite considerar cualquier otro

tipo de deformación sobre un elemento inicialmente recto, por ejemplo la

resultante de su exión (ver gura 2.1).

Este efecto puede ser tenido en cuenta incluyendo los términos de segundo

orden en la deformación de Green relativa al sistema corotacional para un

elemento inicialmente recto, quedando la deformación local como sigue:

εxl =dul

dxl

+1

2

(dul

dxl

)2

+1

2θ2

l (2.50)

Deniendo el cambio de base isoparamétrico 2.51, con ξ ∈ [−1 1], el

desplazamiento local ul(ξ) puede expresarse como:

xl =1

2(1 + ξ)lo (2.51)

ul(ξ) =1

2(1 + ξ)ul (2.52)

Diferenciando la ecuación 2.52 se obtiene la deformación local

εxl =dul

dxl

=dul

dξ

dξ

dxl

=ul

lo(2.53)


Además, deniendo el desplazamiento transversal local wl, ver gura 2.1,

mediante un polinomio cúbico de ξ según muestra 2.54, es posible determinar

el giro 2.55 nuevamente mediante diferenciación.

wl(ξ) =lo8

((ξ2 − 1)(ξ − 1)

(ξ2 − 1)(ξ + 1)

)t(θl1

θl2

)(2.54)

θl(ξ) =dwl

dxl

=dwl

dξ

dξ

dxl

=lo

4

(3ξ2 − 2ξ − 1

3ξ2 + 2ξ − 1

)t

θl = stθl (2.55)

Con la ayuda de las ecuaciones 2.53 y 2.55 es posible expresar 2.50 como

2.56:

εxl(ξ) =ul

xl

+1

2

(ul

xl

)2

+1

2θt

lsstθl (2.56)

Asumiendo deformación constante, el último término de 2.56 puede ser

modicado por su valor medio, quedando:

εxl(ξ) =ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

2loθt

l

∫sstdxlθl (2.57)

Realizando el cambio de variable 2.51 e integrando en 2.57, se obtiene:

εxl(ξ) =ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

2loθt

l ·∫ 1

−1

1

42

((3ξ2 − 2ξ − 1)2 (3ξ2 − 1)2 − 4ξ2

(3ξ2 − 1)2 − 4ξ2 (3ξ2 − 2ξ − 1)2

)lo2

dξθl

=ul

lo+

1

2

(ul

lo

)2

+1

60θt

l

(4 −1

−1 4

)θl (2.58)

Derivando 2.58 para su inclusión en el trabajo virtual, con la ayuda de

2.38 y 2.43, la variación de la deformación queda:

δεxl(ξ) =δul

l2o+

ulδul

xl

+1

602θt

l

(4 −1

−1 4

)δθl

=1

lo

(1 +

ul

lo

)rtδpg +

1

30θt

l

(4 −1

−1 4

)Atδpg (2.59)


con lo que nalmente, incluyendo los términos de segundo orden en la

deformación de Green, la ecuación 2.45 queda modicada como:

δpl =

loδεxl

δθl1

δθl2

= Bδpg (2.60)

explicitando B según reeja la 2.61

B =

(1 + ul

lo

)rtδpg + lo

30θt

l

(4 −1

−1 4

)At

At

(2.61)

Derivando 2.60 y deniendo la matriz de rigidez tangente kgt como δqg =

kgtδpg, se llega a la ecuación 2.62:

δqg = Btδpl + NδB1 + M1δB2 + M2δB3 = kgt1δpg + kgtσδpg (2.62)

donde B2, por ejemplo, corresponde a la segunda la de B (ver 2.44

y 2.45). Asumiendo un comportamiento lineal del material y derivando las

ecuaciones 2.48 y 2.49 se obtiene: δN

δM1

δM2

=EA

lo

1 0 0

0 4r2 2r2

0 2r2 4r2

δpl = Clδpl (2.63)

donde r es el radio de giro de la sección. Así, empleando la ecuación 2.63

se obtiene el término de la matriz de rigidez tangente estándar kgt1 de la

ecuación 2.62:

kgt1 = BtClB (2.64)

A su vez, la matriz de rigidez geométrica se obtiene de los tres últimos tér-

minos de 2.62. De forma que derivando la primera columna de B se obtienen

los siguientes términos:


δB1 =

(1 +

ul

lo

)δrt +

δul

lort+

lo30

δθtl

(4 −1

−1 4

)At +

lo30

θtl

(4 −1

−1 4

)(δB2

δB3

) (2.65)

con ayuda de las ecuaciones 2.38 y 2.42 y observando que δβ = δα (ver

gura 2.1) y que δB2 = δB3

r = δβz =1

lnzztδpg (2.66)

δB2 =1

lnδz+

1

l2nzδul =

1

l2n(rzt + zrt)δpg (2.67)

con 2.67,

lo30

θtl

(4 −1

−1 4

)(δB2 δB3)

t =lo30

(4θl1 − θl2 − θl1 + 4θl2)(δB2 δB3)t

=lo10

(θl1 + θl2)1

l2n(rzt + zrt)δpg (2.68)

y por otra parte, con 2.43:

lo30

δθtl

(4 −1

−1 4

)At =

lo30

δptA

(4 −1

−1 4

)At

=lo30Bt

0 0 0

0 4 −1

0 −1 4

Bδpg (2.69)

Sustituyendo en 2.62 y simplicando, la expresión resultante de la matriz

de rigidez tangente es:

kgtσ =Nlo30

Bt

0 0 0

0 4 −1

0 −1 4

B+N(1 + ul/lo)

lnzzt + N

rrt

lo+

1

l2n(M1 + M2 +

1

10Nlo(θl1 + θl2))(rz

t + zrt)

(2.70)


Es necesario completar la formulación dinámica del elemento con las ma-

trices de masa y amortiguamiento m y c. Considerando m como una repre-

sentación discreta de la distribución continua de masa, se dene consistente

en caso de emplear en la ecuación 2.15 las mismas funciones de forma que

para la generación de la matriz de rigidez. Sin embargo, uno de las más for-

mulaciones más simples es la de la matriz de masas concentrada, obtenida

mediante la concentración de masas mi en los i nodos del elemento de forma

que∑

mi sea la masa total del elemento. La ecuación 2.71, denida según

las expresiones que derivando de la expresión 2.15 son sugeridas por Cook et

al. en [CMP89], representa la matriz de masa utilizada. Esta matriz de orden

6, en relación a los 6 grados de libertad del elemento recogidos en al ecuación

2.24, denota con A el área de la sección transversal del elemento, con ρ su

densidad y con l la longitud del mismo.

m =ρAl

6·

2 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

+

ρAl

420·

0 0 0 0 0 0

0 156 22l 0 54 −13l

0 22l 4l2 0 13l −3l2

0 0 0 0 0 0

0 54 13l 0 156 −22l

0 −13l −3l2 0 −22l 4l2

(2.71)

Por otra parte la matriz de amortiguamiento tangente requerida en los

métodos de integración directa en el tiempo utilizados, ct, se ha implemen-

tado según el amortiguamiento equivalente de Rayleigh. Esta formulación es

ampliamente conocida en dinámica estructural. Es empleada especialmente

como medio más efectivo para cubrir las limitaciones en el conocimiento del

amortiguamiento real, concretamente por las dicultades para conocer teóri-

ca y experimentalemente el coeciente de amortiguamiento viscoso κd de la


ecuación 2.16. La ecuación 2.72 expresa su denición en función de la matriz

de masas m, la matriz de rigidez tangente kgt y las constantes de propor-

cionalidad predenidas α y β. Estos coecientes ponderan la inuencia de

ambas matrices en el amortiguamiento, teniendo presente la mayor relevan-

cia de la matriz de masas en el efecto sobre las bajas frecuencias y de la

matriz de rigidez en las altas.

ct = α ·m + β · kgt (2.72)

Sin embargo, dado que la norma europea EN:50318 especica que el amor-

tiguamiento ha de ser nulo, los coecientes de proporcionalidad α y β se han

hecho cero, quedando:

ct = αm + βkgt = 0 (2.73)

Finalmente es preciso mencionar las consideraciones adoptadas para la

implementación de una barra corotacional, ya que realmente no se ha segui-

do una formulación ad hoc para este tipo de elementos sino que se han in-

troducido ciertas modicaciones sobre el elemento tipo viga descrito en esta

sección 2.1.1. Concretamente, habiendo derivado el vector de fuerzas inter-

nas qg y la matriz de rigidez tangente kgt según se explica en esta sección,

para los elementos barra se harán nulos los coecientes relativos a los giros,

resultando esta simplicación aceptable en función los resultados obtenidos.

Además, la matriz de masa se ha denido también únicamente para los gra-

dos de libertad concernientes a este tipo de elementos, [u1 w1 u2 w2], según la

expresión 2.74 de matriz de masa consistente denida en [CMP89].

m =ρAl

4·

2 0 1 0

0 2 0 1

1 0 2 0

0 1 0 2

(2.74)

2.2. Formulación del contacto 30

2.2. Formulación del contacto

El problema del contacto tiene gran importancia puesto que la trans-

misión de fuerzas en los sistemas mecánicos tiene lugar gracias al contacto

entre dos cuerpos. En numerosas aplicaciones el conocimiento de los esfuerzos

producidos en la región de contacto es de suma importancia, pero desafor-

tunadamente, en especial cuando el efecto de la fricción no es despreciable,

esta cuestión entraña gran complejidad en el contexto de la mecánica. Las

dicultades inherentes a este fenómeno responden a una serie de factores

como son la no disponibilidad de soluciones analíticas salvo en geometrías

muy particulares, el tratamiento de unas condiciones de contorno que no se

conocen a priori, como la región de contacto y las fuerzas en la misma, o la

condición altamente no lineal que conlleva la existencia o no del contacto.

No obstante, en las últimas décadas se han producido grandes avances

en el tratamiento y resolución de este tipo de problemas empleando técnicas

de elementos nitos, destacando las revisiones de Oden y Martins en [OM85]

o de Zhong y Mackerle en [ZM92]. En general, estas técnicas han evolu-

cionado en tres aspectos fundamentalmente: adaptaciones de formulaciones

convencionales empleando métodos incrementales e iterativos, formulación de

ecuaciones variacionales y la aplicación directa de principios de la mecánica y

su resolución mediante optimización restringida. El método de penalización,

o penalty del inglés, goza actualmente de mucha popularidad, al menos como

primera aproximación a un problema al igual ocurre con los métodos mixtos

o de ensayo y error. Conceptualmente este método está basado en la intro-

ducción articiosa de una rigidez, generalmente alta y en ocasiones no lineal,

en la región de contacto, abundando sobre ello el trabajo [PO92] de Peric

y Owen, el [Cur84] de Curnier o el [WS90] de Wriggers et al. Sin embargo,

este tipo de métodos puede presentar inconvenientes como son la complicada

elección del penalty o la aparición de oscilaciones numéricas que dicultan

la convergencia de los algoritmos. Es por esto que también se emplean otros

métodos como el Lagrangiano [CB86], o el Lagrangiano aumentado [HC93],

ambos basados en técnicas de optimización restringida, que pretenden re-

solver algunos de los problemas de los que adolece el método del penalty.

Sin embargo, considerando las ventajas del método de penalización y que la


norma EN:50318 dene un valor de penalización para el elemento de con-

tacto entre la catenaria y el pantógrafo1, su elección ya no constituirá un

inconveniente y será éste el método empleado y descrito en esta sección 2.2.

Los algoritmos matemáticos que abordan el problema del contacto son

generalizables a un número indeterminado n de cuerpos. Sin embargo, para

simplicar el proceso, este epígrafe se limitará al caso en que dos cuerpos

interaccionan. La terminología seguida es la misma que recoge Ted Belytschko

en el capítulo Contact-Impact de [BLM00] en el que se trata en profundidad

el método del penalty.

ab

c¡

a¡b¡

bn

an

Figura 2.2: Problema de contacto generalizado

En la gura 2.2 se muestra el esquema que se empleará para analizar el

problema del contacto. Para los cuerpos en contacto a y b, cuyos dominios

se denotan por Ωa y Ωb, na y nb representan los vectores normales a sus

respectivas supercies Γa y Γb. Asimismo, Γc hace referencia a la supercie

de contacto común a ambos cuerpos: Γc = Γa ∩ Γb. Desde el punto de vista

matemático, la formulación del contacto es independiente del cuerpo de ref-

erencia tomado, no obstante se designará un cuerpo maestro o master y otro

esclavo o slave, reriendo por comodidad toda la formulación subsiguiente

al cuerpo maestro a, tomando el cuerpo b como esclavo. En general, la su-

percie de contacto será una función temporal y su determinación es una

de las dicultades mayores que presenta el análisis matemático del proble-

ma de contacto. Aunque las supercies Γa y Γb que denen el contacto no

1La norma EN:50318 ja una rigidez de 50000 N/m para el elemento de contacto, de

forma que para la simulación de dicho fenómeno la formulación desarrollada tomará el

valor predeterminado.


siempre sean numéricamente coincidentes, se hará referencia a la supercie

de contacto Γc como una entidad única y solidaria al cuerpo maestro.

Habiendo denido las supercies de contacto, los desplazamientos en los

puntos de las mismas puede descomponerse como

ua = uaN · ea

N + uaT · ea

T , ub = ubN · eb

N + ubT · eb

T (2.75)

siendo uN el módulo del desplazamiento en la dirección normal a la super-

cie de contacto y uT el módulo del desplazamiento en la dirección tangencial

a la supercie de contacto de los cuerpos referidos por el superíndice a o b, lo

cual reeja con mayor claridad la gura 2.3. Para obtener el desplazamiento

u de los cuerpos a y b, se deben sumar vectorialmente los desplazamientos

normal y tangencial multiplicados por los vectores unitarios, eT y eN , para

cada una de estas direcciones.

bu

au

Tbu

Tau

nbun

au

b

a

c¡

Figura 2.3: Sistemas de referencia locales

Además de los principios generales de la mecánica (conservación de masas,

momentos y energías), los cuerpos de la gura 2.3 han de satisfacer una

condición adicional de impenetrabilidad en virtud del contacto entre las su-

percies de los mismos. Es decir, dado que teóricamente ningún subdominio

puede pertenecer simultáneamente a ambos cuerpos, se ha de cumplir que

Ωa ∩Ωb = ∅. En general esta condición de impenetrabilidad es altamente no

lineal y no puede ser expresada como una ecuación algebraica o diferencial

en términos del desplazamiento. Por otra parte, tampoco la predicción de la


región de contacto es trivial cuando existe arbitrariedad en los movimientos,

lo cual incrementa notablemente la complejidad del problema. Sin embargo,

es posible expresar la condición de impenetrabilidad de forma incremental

para cada etapa del proceso aplicándola a aquellas partes de los cuerpos que

estén en contacto, Γc, aplicando que

γN = (ua + ub) · na ≡ uaN − ub

N ≤ 0 enΓc (2.76)

Suponiendo que los cuerpos a y b están inicialmente en contacto con tasa

de interpenetración nula, γN = 0, la ecuación 2.76 condiciona a éstos a per-

manecer juntos o separarse, en modo alguno solaparse. Esto es, en caso de

permanencia del contacto los cuerpos se desplazarán de forma solidaria sat-

isfaciendo la igualdad cinemática. Pero en caso de pérdida de contacto el

desplazamiento del cuerpo b será mayor que el de a, produciéndose como re-

sultado la pérdida de contacto prescrita. Cuando la expresión anterior se hace

cumplir para todos los puntos de la región de contacto y de manera continua

en el tiempo, entonces la condición de impenetrabilidad se cumple de man-

era exacta. Sin embargo, cuando esta expresión sólo se evalúa en instantes

discretos de tiempo, como sucede en la gran mayoría de métodos numéricos,

entonces no puede decirse que la condición de impenetrabilidad se cumpla de

manera estricta ya que el paso de tiempo empleado en la resolución puede

enmascarar interpenetraciones de puntos cercanos entre sí en los distintos

instantes considerados. Conviene advertir que la expresión 2.76 puede in-

troducir discontinuidades en la evolución temporal de los desplazamientos,

ya que antes del contacto los desplazamientos en la región de contacto de

ambos sólidos serán distintas, igualándose a partir de la aparición del con-

tacto. Este fenómeno introduce complicaciones a la hora de proceder a la

integración de las ecuaciones que rijan el movimiento de los cuerpos involu-

crados en el contacto. Igualmente es importante resaltar que la condición de

impenetrabilidad sólo es recomendable para puntos que estén en contacto o

en disposición de estarlo próximamente, dado el carácter no integrable de

la tasa de interpenetración en caso contrario. Por último, considerando la

hipótesis de ausencia de fricción, no hay restricción alguna que regule los

desplazamientos tangenciales en Γc.

Además de las condiciones cinemáticas enunciadas en el anterior epígrafe,


otras dinámicas han de satisfacerse en la región de contacto. Concretamente,

la suma de los esfuerzos existentes en la región de contacto ha de ser nula,

ecuación 2.77.

ta + tb = 0 (2.77)

Descomponiendo los esfuerzos en la supercie de contacto Γc de manera

análoga a la efectuada para desplazamientos en la ecuación 2.75, se obtiene

2.78:

ta = taN · eaN + taT · ea

T , tb = tbN · ebN + tbT · eb

T (2.78)

Por tanto, con las ecuaciones 2.77, 2.78 y adoptando la hipótesis de ausen-

cia de adhesión (por la que las tensiones normales en la región de contacto

sólo podrían ser de compresión), se aplica la condición de equilibrio sobre

las componentes normal y tangencial obteniendo las ecuaciones 2.79 y 2.80

respectivamente.

taN + tbN = 0 enΓc (2.79)

taT + tbT = 0 enΓc (2.80)

Las condiciones cinemáticas y dinámicas anteriormente enunciadas (2.76,

2.79 y 2.80) pueden ser combinadas en una única ecuación, la condición

unitaria de contacto 2.81.

tN · γn = 0 (2.81)

Ésta expresa que las fuerzas de contacto no realizan trabajo ya que: cuan-

do tN > 0 la tasa de interpenetración es nula; y cuando ésta toma valores

distintos de cero, tN = 0 por no existir contacto.

En principio no es posible la interferencia entre las supercies de dos

cuerpos en contacto. Sin embargo, esta condición puede ser demasiado br-

usca para ser implementada en métodos numéricos de cálculo, debido a las

discontinuidades inducidas en la evolución temporal de los desplazamientos

y a las dicultades de integración que presenta γN . Por este motivo es común


relajar la condición permitiendo un cierto solapamiento entre las supercies

en contacto, ver gura 2.4.

0>)Px(Ng

bePb

ae

a

Figura 2.4: Penetración

Deniendo la interpenetración como la mínima distancia entre el punto

P ∈ Γa y la supercie del cuerpo b, Γb, la distancia lPb que separa el punto P

de cualquier otro punto situado en b viene dada por la siguiente expresión:

lPb =∥∥xb(eb, t)− xP (ea, t)

∥∥ =√

(xb − xP )2 + (yb − yP )2 + (zb − zP )2

(2.82)

donde ea y eb hacen referencia al sistema local de coordenadas situado en

la supercie de los cuerpos a y b respectivamente. La interpenetración será

por tanto, según reeja la ecuación 2.83, la mínima distancia entre P y la

supercie de b cuando P esté dentro del cuerpo b. Si P estuviera fuera del

cuerpo b no existiría interpenetración ya que no se daría contacto.

gN(e, t) =

∥∥xb(eb, t)− xP (ea, t)

∥∥ si[xb(eb, t)− xP (ea, t)

]· na ≤ 0

0 en otro caso(2.83)

Es importante observar que el punto de mínima distancia es la proyección

ortogonal desde el punto P a la supercie del cuerpo b. No obstante, la con-

jetura es válida cuando la geometría de los sólidos en contacto es suave, pues

en caso de producirse interferencia con algún cuerpo de contorno anguloso la


máxima interpenetración ya no coincidirá con la proyección ortogonal desde

el punto P a la supercie de b, ver por ejemplo la gura 2.5.

ae

b

P be

a

Figura 2.5: Penetración en arista

Habiendo relajado la condición de impenetrabilidad de forma que se ad-

mita un cierto grado de solapamiento entre los sólidos involucrados en el

contacto para evitar restricciones demasiado bruscas en los métodos numéri-

cos, es preciso asociar una fuerza normal que dependa de la interpenetración

de los cuerpos, gN , de forma que cuanto mayor sea la interpenetración la

fuerza asociada a ésta aumente también. Según este tipo de penalización

y de acuerdo con la deducción hecha por Belytschko en [BLM00] para el

método del penalty, las fuerzas normales en la supercie de contacto pueden

expresarse como 2.84:

taN + p = 0 , tbN − p = 0 (2.84)

Entre las diversas posibilidades de denición de la fuerza de penalización

p introducida por la interferencia entre cuerpos, la más general es la siguiente

p = (εN1gN + εN2γN) ·H(gN + γN) (2.85)

siendo H la función escalón de Heaviside

H(gN , γN) =

1 si gN ≥ 0 ó γN ≥ 0

0 en otro caso(2.86)

Las ecuaciones que describen la dinámica de un sistema discreto en el

que se haya implementado el método del penalty pueden expresarse según


la forma deducida por Belytschko en [BLM00] como una expansión de la

ecuación 2.22 de la sección 2.1:

Mu +Cu + q− qc = f (2.87)

En esta expresión, M hace referencia a la matriz de masas del sistema

discreto; q a las fuerzas internas del sistema; f a las fuerzas externas que

actúan sobre el sistema y; nalmente, qc introduce el efecto de las fuerzas

de contacto o penalty. De manera general, este último término puede ser

expresado del siguiente modo

qc = εN1H(gN)GtGx+ εN2H(γN)GtGx (2.88)

Sin embargo, por la condición de impenetrabilidad 2.76, la penalización

2.88 puede reducir su dependencia únicamente a la interpenetración gN según

qc = εNH(gN)GtGx (2.89)

En el caso particular del contacto dinámico catenaria-pantógrafo, la inter-

penetración entre ambas supercies considerado un contacto nodo-nodo será

por lo tanto equivalente al de un resorte de constante β intercalado entre el

nodo de la catenaria, xc, y el de interacción con el pantógrafo, xp, según el

vector G que dene el contacto como se expresa en 2.90:

gn = Gx =(

1 −1)( xp

xc

)= xp − xc (2.90)

Esta implementación presenta dos importantes ventajas: por un lado re-

sulta muy simple algorítmicamente, dado que se reduce a insertar un resorte

de rigidez εN entre los sólidos que puedan estar en contacto y; por otro la-

do, el segundo aspecto favorable radica en la no introducción de variables

adicionales. No obstante, dado que el contacto en la interacción catenaria-

pantógrafo se lleva a cabo sobre elementos con no linealidad geométrica, los

del hilo de contacto de la propia catenaria, dicho fenómeno es susceptible de

expresarse según la formulación corotacional, descrita por Criseld en [Cri91].

Si bien hasta este punto únicamente se ha profundizado en el denición del


contacto en relación a la penetración entre cuerpos, el ensamblado y la in-

tegración temporal del sistema matricial denido por la ecuación 2.87 que

regirá el problema completo requiere, tal como se ha remarcado en la sección

2.1.1 y en virtud de la ecuación 2.23, la determinación de la matriz de rigidez

tangente.

Análogamente al elemento descrito en la sección 2.1.1, la formulación

corotacional del contacto dependerá en gran medida de las variaciones que

sufra el sistema de coordenadas local del elemento. Por consiguiente, tomando

como referencia el sistema de coordenadas local (xl, zl) representado en el

croquis de la gura 2.1, se denirán inicialmente los vectores iniciales que

conforman la base de dicho sistema. Así, las expresiones 2.91 denen el vector

unitario e1 tangente al elemento contacto y el e2 normal al mismo.

et1 = (cos β, sin β) , e1 = (− sin β, cos β) (2.91)

Tomando como referencia la propuesta de Hallquist et al. en [HGB85]

para un contacto nodo-segmento, la gura 2.6 recoge el esquema básico del

contacto entre el nodo esclavo S y el segmento maestro denido por los nodos

1 y 2.

1 S

2

¯Ng

1e2enl

n®l

z

x

1x 2xSx

Figura 2.6: Elemento de contacto

La interpenetración denotada por gN en dicha gura se denirá según la

ecuación 2.92, tomando un valor negativo en el caso que reeja el esquema

representado y positivo en caso de existir contacto.

gN = (xS − x1)t e2 = xt

S1e2 (2.92)

La formulación corotacional requiere denir la relación de las variables, en


este caso especialmente gN , entre las coordenadas locales y globales, expre-

sando estás últimas de forma análoga a la vector de desplazamientos globales

2.24 en relación a la gura 2.1

ptg =

(dt

S , dt1 , dt

2

)(2.93)

donde, por ejemplo, dt1 = (u1 , w1) para la expresión 2.93. Así, denien-

do la variación del vector unitario en dirección normal al elemento maestro

mediante la ecuación 2.94

δe2 =

(− cos β

− sin β

)δβ = − 1

lne1e

t2δd21 =

1

lne1b

tδpg (2.94)

donde d21 = d2−d1 y bt = (0t , et2 , −et

2), de tal forma que la variación

de la penetración expresada en 2.92 puede denirse como 2.95

δgN = δdtS1e2 + xt

S1δe2 = atδpg (2.95)

donde a y α se denen según las ecuaciones 2.96 y 2.97 respectivamente.

at =(et

2 , −(1− α)et2 , −αet

2

)(2.96)

α =1

lnxt

s1e1 (2.97)

Sobre la gura 2.6 α puede interpretarse como la relación adimensional

sobre la longitud ln de la distancia entre el nodo 1 y la proyección tangencial

del nodo S sobre el vector unitario e1. Asumiendo que la fuerza de contacto tN

toma valor positivo cuando hay penetración del nodo esclavo en el segmento

maestro, el trabajo virtual se dene como:

V = Vb + Vc = Vb − tNδgN = qtδpg − qtcδpg (2.98)

donde los subíndices b y c se reeren a los elementos sin contacto y con él

respectivamente, obviando subíndices v en referencia al trabajo virtual para

no recargar la notación en exceso. Por tanto, asumiendo por simplicidad

en la ecuación 2.98 que no hay fuerzas externas aplicadas en la región de

contacto, el vector q representa los esfuerzos internos de los elementos sin


contacto asociados a los nodos 1, 2 y S mientras que el qc, denido mediante

la expresión 2.99, recoge los esfuerzos internos asociados al propio contacto,

tal como previamente se ha apuntado en la ecuación 2.87.

qc = tNa (2.99)

Asimismo, la fuerza de contacto se dene según indica 2.100 para dar

lugar a una expresión análoga a la ecuación 2.89, dependiendo la fuerza de

contacto de la penetración gN , el parámetro positivo de penalización εN y la

función de Heaviside H denida por 2.86.

tN = H(gN)εNgN (2.100)

Habiendo denido el vector de esfuerzos internos, es preciso derivar su

variación según se expresa en 2.101 y, de este modo, su contribución sobre la

matriz de rigidez tangente del sistema,

δqc = Kgtcδpg = δtNa = εNaatδpg + Kgtcσpg = Kgtc1pg + Kgtcσpg (2.101)

Puede apreciarse que esta expresión es análoga a la de los esfuerzos in-

ternos para el elemento viga con formulación corotacional, ecuación 2.62,

representando la matriz Kgtcσ la tensión inicial del elemento del contacto,

detallada a continuación, y la Kgtc1 la contribución lineal debida a la penal-

ización εN . Nótese que los subíndices g indican, como en la sección 2.1.1, que

estas componentes están referidas al sistema global.

Respecto al cálculo de la matriz de tensión inicial, en primer lugar se

denen la variación del vector unitario en dirección tangencial al elemento

de contacto, ecuación 2.102,

δe1 =

(− sin β

cos β

)δβ =

1

lne2e

t2δd21 = − 1

lne2b

tδpg (2.102)

y la variación de la longitud de dicho elemento como se indica en 2.103

δln = et1δd21 =

(0 , et

1 , −et1

)δpg = −bt

1δpg (2.103)


de tal forma que la variación de la relación α denida en 2.97 puede

expresarse como 2.104

δα =1

ln

(et

1δdS1 − αet1δd21

)+

1

lnxt

S1δe1 =1

lnctδpg − gN

1

l2nbtδpg (2.104)

con

ct =(et

1 , −(1− α)et1 , −αet

1

)(2.105)

Tomando las ecuaciones 2.94 y 2.104 se calcula la variación del vector a

denido en 2.96 mediante la ecuación 2.106,

δat =1

ln

[bct + cbt −

(gN

ln

)bbt

]δpg (2.106)

y, con ésta, puede expresarse nalmente la contribución Kgtcσ mediante

2.107

Kgtcσ(tN) = tNpg =tNln

[bct + cbt −

(gN

ln

)bbt

]δpg (2.107)

Por último, como puntualización y al margen de los motivos previamente

expuestos que justican la formulación empleada, es importante remarcar

que las fuerzas de contacto no se calculan de manera exacta al emplear

el método del penalty. Desde un punto de vista puramente matemático, el

parámetro εN ha de tender a innito para que la aproximación sea lo más

precisa posible, ya que el efecto de la penalización consiste en relajar la condi-

ción de impenetrabilidad. Cuanto mayor sea εN , más cercano a la realidad

será el comportamiento del sistema. Sin embargo, valores excesivamente el-

evados pueden originar serios problemas de condicionamiento de la matriz

de rigidez, lo cual afecta de forma signicativa a la convergencia del método

numérico empleado en la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales

obtenido. Esto constituye el principal inconveniente del método, ya que la

solución obtenida depende enormemente del valor de penalización elegido.

Para solventar este problema se han desarrollado numerosos algoritmos de

actualización del penalty, de forma que en cada paso de tiempo se emplee el

2.3. Integración Temporal 42

valor más apropiado logrando un compromiso entre exactitud de la solución

y facilidad de resolución numérica. En [Cha02] puede consultarse por ejem-

plo una propuesta de penalty adaptativo en función del valor que tome la

interpenetración gN .

taN = −p = −φ(gan)βa

n (2.108)

φ(gan) =

ga

n si gan ≤ −β

(gan)2

4β+ ga

n

2+ β

4si ‖ga

n‖ < β

0 en otro caso

(2.109)

2.3. Integración Temporal

En un modelo de elementos nitos de dinámica estructural, los modos de

baja frecuencia del sistema físico se representan por las ecuaciones diferen-

ciales que lo expresan matemáticamente. Sin embargo, su contenido de alta

frecuencia suele ser causa de la inuencia numérica debida a la discretización

de los elementos nitos. Este es el motivo por el que el sistema de ecua-

ciones se dene como sti (ver Hairer y Wanner en [HW91] ) por lo que

discretizar en el tiempo y denir un método de integración es un aspecto de

gran relevancia en la simulación dinámica de estructuras exibles.

La forma más tradicional de representar el sistema de ecuaciones de par-

tida que se encuentra en la bibliografía sobre algoritmos de integración tem-

poral es de primer orden y se rige por la expresión general 2.110:

y = f (y, t) (2.110)

siendo f , en general, una función no lineal de las variables (y(t),t). Sin

embargo, el sistema de ecuaciones diferenciales que rige la dinámica de un

sistema como el estudiado en este proyecto se expresa en forma matricial

compacta:

M · u = q (u, u, t) (2.111)


donde el vector q y la matriz M son en general funciones no lineales

de (u, u, t). Se puede comprobar fácilmente que el sistema 2.111 es un caso

particular del 2.110 redeniendo el vector incógnita mediante el cambio:

y =uu

tal que y =

u

M−1 · q (u, u, t)

= f (y, t)

Un método numérico de integración temporal permite calcular paso a paso

valores de la incógnita yn/n = 0, 1, . . . , N separados mediante intervalos

∆tn+1 = tn+1 − tn. El cálculo de y en cada instante se realiza a partir de su

valor en k instantes previos de tiempo. el número de pasos del integrador se

conoce como k. De esta forma, el valor de yn+k se calcula a partir de los k

valores anteriores de y con la expresión general [Lam91]:

k∑j=0

αjyn+j = ∆tφf (yn+k,yn+k−1,...,yn,tn+k;hn+k) (2.112)

donde subíndice f se utiliza en la función del segundo miembro para

enfatizar que φ depende con(yn+k, . . . ,yn, tn+k; ∆tn+k

)a través de la función

f (y, t).

Criterios de clascación de los métodos dados por la expresión general

2.112

Número de pasos: métodos de un paso y métodos multipaso.

En los de un paso, k = 1. Es decir, se calcula yn+1 haciendo uso exclusi-

vamente de información del paso anterior. En los multipaso se requiere

un número k > 1 de valores iniciales para comenzar, utilizando habit-

ualmente información de los valores anteriores. En cambio, suelen tener

una estructura más simple que los de un paso para una precisión simi-

lar. Entre los métodos de un paso destacan la familia Newmark, cuya

formulación original fue propuesta en [New59], y otros algoritmos desar-

rollados a partir de la formulación de Newmark como el Hilber-Hughes-

Taylor [HHT77] y el α-generalizado de Chung y Hulbert [CH93]. Tam-

bién existen otros métodos como los Runge-Kutta o los métodos lin-

eales, en los que la expresión 2.112 es lineal enyn+j, f

(yn+j, tn+j

);

j = 0, 1, . . . , k, pero no se profundizará en ellos.


Variable dependiente: métodos explícitos y métodos implícitos.

En un método explícito, la expresión 2.112 permite despejar yn+1 cono-

cidos los valoresyn+j ; j = 0, 1, . . . , k − 1; si esto no es posible, el

método es implícito. Se debe destacar que la estabilidad de un método

explicito sólo se garantiza si el paso de tiempo elegido es sucientemente

pequeño respecto a las frecuencias naturales del sistema. Sin embargo,

los métodos implícitos pueden ser incondicionalmente estables, lo que

signica que la solución numérica será estable cualquiera que sea el

contenido en frecuencias del sistema mecánico. Esta propiedad es muy

deseable en la simulación de sistemas sti, pero requiere una mayor

complejidad computacional.

Se ha de mencionar que tanto los métodos de un paso como los multipaso

pueden ser explícitos o implícitos, e incluso pueden construirse algoritmos

que combinen un método explícito con uno implícito (algoritmos predictor-

corrector). Según Hughes en [Hug87], puede decirse que un método de inte-

gración temporal para dinámica estructural debería combinar las siguientes

propiedades: estabilidad incondicional para sistemas lineales, no más de un

sistema de ecuaciones implícitas a resolver en cada paso, precisión de segun-

do orden, control de la disipación numérica en los modos de alta frecuencia

e inicialización autónoma.

En los siguientes epígrafes se presenta el algoritmo original de Newmark

[New59] y la extensión α-generalizado propuesta por Chung y Hulbert en

[CH93] así como las adaptaciones particulares desarrolladas para al cálculo

dinámico de la interacción catenaria-pantógrafo.

2.3.1. La familia β-Newmark

La familia β-Newmark, que se utiliza ampliamente en la dinámica estruc-

tural, está especialmente diseñada para la resolución de sistemas de segundo

orden, por lo que se aplica a las ecuaciones con el formato dado en 2.111.

Se denomina `familia' porque en su planteamiento más general aparecen dos

parámetros (γ y β) cuya variación genera todos los distintos métodos de la

familia.


La formulación clásica proporciona la posición y la velocidad en el instante

(n+1) a partir de la posición y velocidad en (n) y de la aceleración en (n+1).

Partiendo del desarrollo en serie de Taylor de desplazamientos y velocidades

respecto al paso de tiempo ∆t se obtienen las expresiones 2.113 y 2.114:

un+1 = un + ∆tun + ∆t2(

1

2− β

)un + ∆t2βun+1 (2.113)

un+1 = un + ∆t (1− γ) un + ∆tγun+1 (2.114)

siendo γ y β los parámetros numéricos que dan lugar a los distintos méto-

dos. Mediante la combinación de estos parámetros se demuestra que en régi-

men lineal los métodos de la familia en los que β ≥(

116

+ γ2+γ4

)y γ ≥ 1

2son

para todos los casos estables. También en régimen lineal, toda la familia de

métodos con γ = 12y β ∈

[0, 1

2

]son simplécticos aunque, en el no lineal, el

único miembro simpléctico de la familia es el método de diferencias centrales.

Los métodos más representativos obtenidos para distintos valores de γ y β

son presentados por Geradin y Rixen en [GR97] con el estudio de un sistema

`patrón'. Como conclusión general del análisis de estos métodos puede decirse

que todos salvo la regla trapezoidal y la Regla trapezoidal modicada tienen

un interés limitado, ya que son inestables o condicionalmente estables incluso

en el régimen lineal.

La regla trapezoidal se obtiene para γ = 12y β = 1

4, y hablando de la

familia de Newmark se le llama también método de aceleración media con-

stante, ya que las expresiones 2.113 se pueden interpretar como actualiza-

ciones en posición y velocidad suponiendo una aceleración media constante

entre tn y tn+1. En el régimen lineal, éste es además el método completa-

mente estable más preciso. Sin embargo, puede introducirse amortiguamiento

numérico en la formulación según:

γ =1

2+ α y β =

1

4

(γ +

1

2

)2

α ≥ 0 (2.115)

donde α es el parámetro de amortiguamiento numérico. Éste es el llamado

método de aceleración constante modicado o regla trapezoidal modicada.

Permite aumentar el amortiguamiento numérico en el sistema manteniendo


la condición de estabilidad en el algoritmo de integración, lo que en ciertos

casos puede ser muy útil aunque se produzca una pérdida de precisión.

La resolución numérica sigue un algoritmo predictor-corrector partiendo

de los valores un, un y un del instante tn, para cuya predicción inicial se

asume aceleración nula:

u0n+1 = 0 (2.116)

u0n+1 = un+1 + ∆t (1− γ) un (2.117)

u0n+1 = un + ∆tun + ∆t2

(1

2− β

)un (2.118)

llegando a cumplir la formulación de Newmark 2.113 mediante las correc-

ciones iterativas:

∆un+1 =1

β∆t2∆un+1 (2.119)

∆un+1 =γ

β∆t∆un+1 (2.120)

En el caso de la interacción dinámica catenaria-pantógrafo, la corrección

∆un+1 en cada paso de integración se calcula a través de la ecuación 2.121:

K∗t ∆un+1 = Rn+1 (2.121)

cuyos cálculos previos del residuo R y la matriz de rigidez tangente con-

sistente K∗t se expresan en 2.123:

R = Mun+1 + q− f (2.122)

K∗t = Kt +

γ

β∆tCt +

1

β∆t2M (2.123)

donde Kt es la matriz de rigidez tangente calculada para un problema

cuasi-estático, Ct es la matriz de amortiguamiento tangente y M la matriz

de masas.


2.3.2. El método α-Generalizado

El método de integración de la familia de Newmark conduce a inestabil-

idad numérica debido a las restricciones algebraicas al integrar ecuaciones

diferenciales algebraicas (DAE) de segundo orden e índice 2. Esto se mani-

esta a través de las oscilaciones crecientes en la respuesta de las aceleraciones.

Introduciendo una pequeña disipación en el algoritmo para las altas frecuen-

cias se logra controlar esta inestabilidad. Manteniendo de esta forma la esta-

bilidad de la integración de dinámica lineal con restricciones. Destaca en este

aspecto el método α-generalizado descrito por Chung y Hulbert en [CH93].

Éste incluye como casos particulares algunos de los algoritmos de integración

temporal más importantes en dinámica estructural, como la regla trapezoidal

o el algoritmo Hilber-Hughes-Taylor [HHT77] (HHT), constituyendo así un

marco general para investigaciones teóricas.

El método se fundamenta en las fórmulas de Newmark 2.113, aunque

para el cálculo del residuo este algoritmo promedia la diferente contribución

de dos instantes consecutivos según los parámetros numéricos αm y αf como

reeja 2.124:

R = (1− αm) (Mu)n+1 + αm (Mu)n +

+ (1− αf ) (q− f)n+1 + αf (q− f)n

(2.124)

En particular, el algoritmo HHT se obtiene para αm = 0 y αf ∈[0, 1

3

]. Sin

embargo, estos parámetros del método α-generalizado pueden ser calculados

en función del radio espectral ρu∞:

αm =2ρu∞ − 1

ρu∞ + 1y αf =

ρu∞ρu∞ + 1

(2.125)

Deniendo αfm = αf − αm, los parámetros de Newmark quedan como se

muestra en 2.126:

γ =1

2+ αfm y β =

1

4

(γ +

1

2

)2

(2.126)

Más tarde se demuestra que para valores de αfm > 0 el método presenta

una precisión de segundo orden. La solución numérica se obtiene mediante


un algoritmo predictor-corrector como el empleado en la familia Newmark,

quedando la matriz tangente modicada en cada paso corrector como reeja

la ecuación 2.127, análoga a la 2.123:

K∗t = (1− αf )Kt + (1− αf )

γ

βhCt + (1− αm)

1

βh2M (2.127)

Capítulo 3

CÁRGAS MÓVILES EN VIGAS

49

3.1. Denición del problema 50

Debido a la complejidad del modelado del efecto entre trenes y vía, al-

gunos de los primeros estudios realizados que afectan a la interacción dinámi-

ca entre el tren y la via consisten en un modelo simplicado en el que se simula

una masa o una fuerza moviéndose a velocidad constante a lo largo de una vi-

ga simplemente apoyada. El tema de cargas dinámicas en movimiento no solo

es interesante para el estudio del diseño de vías y puentes de tren, sino que

también tiene otras aplicaciones ingenieriles como por ejemplo las máquinas

modernas de alta velocidad utilizadas en los procesos de mecanizado. Katz et

al.[KS87] estudiaron la inestabilidad producida por una secuencia de cargas

móviles. Akin and Mod [AM90] presentaron un método numérico analítico

para estudiar la respuesta de una carga móvil sobre una viga con diferentes

condiciones de contorno. Los resultados remarcaron la importancia de uti-

lizar un modelo de masa móvil frente a uno de fuerza móvil en los casos de

utilizar una masa elevada y altas velocidades.

También se debe mencionar a otros autores que han sacado múltiples con-

clusiones del estudio de este caso. Por ejemplo M.Olsson en [Ols85] reduce el

modelo de un tren sobre un puente a un modelo masa muelle desplazándose

a velocidad constante sobre una viga, desarrolla la formulación teórica de su

modelo y realiza un estudio sobre las diferentes respuestas que se obtienen

modicando los diferentes parámetros del modelo masa muelle del tren y

también las diferencias que aparecen entre realizar una simulación con el

modelo masa muelle en lugar de una fuerza móvil equivalente. En la misma

linea podemos encontrar otros autores como G. Visweswara Rao[VR00], que,

como se puede comprobar en 'Linear Dynamics of an elastic beam under

moving loads', realiza también un estudio con el modelo de fuerzas móviles

sobre vigas simplemente apoyadas, pero en este caso centrándose en la re-

spuesta dinámica que se produce en la viga cuando se simula con una fuerza

móvil sobre ella.

3.1. Denición del problema

El problema de carga móvil con interés en este caso se ilustra en la gura

3.1. Como se recoge en `On the fundamental moving load problem ' [Ols91],

la ecuación del movimiento transversal del desplazamiento de la viga uz =

3.1. Denición del problema 51

v

F

Figura 3.1: Fuerza móvil sobre viga simplemente apoyada

uz(s, t) para 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ t ≤ L/v puede expresarse según la ecuación

3.1. Donde δ es la función delta de Dirac y el tiempo se inicia en cero cuando

la fuerza está al comienzo de la viga.

ρ · A · ∂2uz

∂t2+ E · Iy ·

∂4uz

∂x4= δ · (x− v · t) · P (3.1)

Las condiciones de contorno se muestran en las ecuaciones 3.2 a 3.5

uz = 0 (3.2)

∂2uz

∂x2(0, t) = 0 (3.3)

uz(L, t) = 0 (3.4)

∂2uz

∂x2(L, t) = 0 (3.5)

Las condiciones iniciales se muestran en las ecuaciones 3.6 y 3.7

uz(x, 0) = 0 (3.6)

∂uz

∂t(x, 0) = 0 (3.7)

3.2. Solución Analítica 52

Se han realizado varias simplicaciones en este problema en cuestión,

como por ejemplo, inicialmente la viga esta recta, el material de la viga

es lineal elástico, la viga sufre pequeñas deformaciones y son despreciables

los efectos de viscosidad. En referencia a la carga móvil se asume que la

contribución de los modos de vibración de más alta frecuencia es escasa, y

esto indica que la carga no se mueve a gran velocidad.

3.2. Solución Analítica

Este problema en particular es uno de los pocos problemas de cargas

móviles que puede ser resuelto analíticamente. Existen diferentes métodos

para obtener la solución, y la mayor parte hacen referencia a Frýba [Frý72].

La solución analítica se puede obtener mediante el método de separación

de variables

uz(x, t) =∑

Yn(t) · sen(n · π · x/L) (3.8)

Donde Yn(t) y sen(n · π · x/L) son los desplazamientos y las funciones

modales respectivamente, ver también referencias [Frý72] y [War76]. Susti-

tuyendo la ecuación 3.8 en la ecuación 3.1 se obtiene la ecuación 3.9.

Yn(t) + ω2n · Yn(t) = (2 · P/ρ · A · L) · sen(ωn · t) (3.9)

para n = 1, 2, 3...,∞ y 0 ≤ t ≤ L/v y donde

ω2n = n4 · π4 · E · I/ρ · A · L4 (3.10)

ωn = n · π · v/L (3.11)

Es interesante destacar que en la ecuación modal 3.9, para n = 1, el

movimiento de la carga móvil se representa a través de una onda con forma

senoidal. Con la condición inicial Yn(0) = Yn(0) = 0, que representan las

ecuaciones 3.6 y 3.7 se obtiene la solución de la ecuación 3.9 como se muestra

en 3.12 y 3.13

3.3. Modelo Elementos Finitos 53

Yn(t) = (2 ·P/ρ ·A ·L ·ω2n) · (1/(1−β)) · (sen(ωn · t)−βn · sen(ωn · t)), βn 6= 1

(3.12)

Yn(t) = (2 ·P/ρ ·A ·L ·ω2n) ·0.5 · (sen(ωn · t)−ωn · t ·cos(ωn · t)), βn = 1 (3.13)

Donde βn es un coeciente de frecuencias, denido en 3.14.

βn =ωn

ωn

(3.14)

Las ecuaciónes 3.12 y 3.13 pueden ser comparadas con la expresion dada,

por ejemplo, en la referencia [CP75]. La solución analitica de las ecuaciones

3.1 a 3.7 puede obtenerse introduciendo las ecuaciones 3.12 y 3.13 en la

ecuación 3.8. Dicha solución está representada por la ecuación 3.15 ,en la

cual uzs(L/2) = P · L3/48 · E · I es el desplazamiento estático del punto

medio del vano para una fuerza P colocada en él, y τ = L/v es el tiempo

que permanece en movimiento la carga. Además está denido el parámetro

adimensional α, cuyo valor está representado en la ecuación 3.17

uz(x,t)=uzs(L/2)· 96π4 ·

Ph1

n2·(n2−α2)·“sen(n·π·t/τ)−α

n·sen

“n2·π

α·t/τ

””·sen(n·π·x/L)

i,α 6=n. (3.15)

uz(x,t)=uzs(L/2)· 96π4 ·

Ph1

n2·(n2−α2)·“sen(n·π·t/τ)−α

n·sen

“n2·π

α·t/τ

””·sen(n·π·x/L)

i(3.16)

+uzs(L/2)· 96π4 ·

P[ 12·α4 ·(sen(α·π·t/τ)−α·π·t

τ·cos(α·π·t/τ))·sen(α·π·x/L)],α=n.

α=n·βn=π·v/ω1·L (3.17)

3.3. Modelo Elementos Finitos

Una vez obtenida la solución analítica del problema se pretende contrastar

el modelo de elementos nitos utilizado con la solución analítica del prob-

lema. Para ello se utiliza un modelo de viga de 21 nodos con las siguientes

características:


Tabla 3.1: Valor de τ y v obtenidos para cada α

α τ(s) v(m/s)

0.25 1.78 5.61

0.5 0.889 11.25

0.75 0.593 16.86

L = 10m

E = 2.0 · 1011Pa

I = 1.0 · 10−5m4

ρ = 7800kg/m3

A = 0.05m2

F = 800N

Con estos parámetros se van a simular tres casos diferentes, cada con un

α distinto. Se ha de hacer mención a que el parámetro α es la velocidad de

desplazamiento adimensionalizada en función de la longitud de la viga, sien-

do α = π · v/ω1 · L.La tabla recoge los valores de τ y v obtenidos para cada valor de α en concre-

to. Las guras ( 3.2 - 3.4 ) muestran la comparación del desplazamiento del

punto medio del vano obtenido en la simulación frente a la solución analítica

vista en 3.2. Por último destacar que la solución obtenida en el caso en que

se reduzcan al mínimo los nodos en el modelo no se aleja de los resultados

obtenidos en solución analítica, como muestra la gura 3.5.

Aunque se observa visualmente la semejanza entre ambas grácas, la tabla

3.2 muestra los valores numéricos del error cometido en % en el caso de uti-

lizar un modelo de viga de 20 elementos. Las grácas que se pueden observar

de la gura 3.2 a 3.4 muestran el error cometido en %. Este es inferior al

|0.1 %| en todos los casos.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

t(s)

Uy/

Ust

FEMS.Analítica

(a) Comparación

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Err

or(%

)

t(s)

Error alfa 0.25

(b) Diferencia

Figura 3.2: Desplazamientos del punto medio del vano obtenidos en la simu-

lación frente a la solución analítica del problema para α=0.25

Tabla 3.2: Datos estadísticos del error cometido para cada valor de α

α 0.25 0.5 0.75

Min ( %) −0.082 −0.0827 −0.071

Max ( %) 0.043 0.0906 0.089

Rango( %) 0.1253 0.1734 0.1601

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

t(s)

Uy/

Ust

FEMS.Analítica

(a) Comparación

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t(s)

Err

or(%

)

Error alfa 0.5

(b) Diferencia




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

t(s)

Uy/

Ust

FEMS.Analítica

(a) Comparación

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t(s)

Err

or(%

)

Error alfa 0.75

(b) Diferencia



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

t(s)

Uy/

Ust

FEMS.Analítica

Figura 3.5: Comparación de los desplazamientos del punto medio del vano

obtenidos en la simulación reduciendo el número de nodos frente a la solución

analítica del problema para α=0.5

3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa' 57

3.4. Efecto `fuerza' frente a `masa'

Se pretende estudiar la diferencia entre la utilización de una fuerza o

una masa móvil en el modelo de carga móvil sobre vigas, debido a que la

normativa Española permite modelar los trenes como un conjunto de fuerzas

móviles, en lugar de un sistema de masas y muelles. Para ello se reproducirá

el efecto dinámico obtenido al simular una fuerza móvil que se desplaza a

velocidad constante sobre una viga simplemente apoyada, como se puede

observar en la gura 3.6 y se contrastará con un modelo de masa móvil

equivalente desplazándose a velocidad constante sobre la misma viga.

v

F

Figura 3.6: Fuerza móvil sobre viga biapoyada

Estos resultados ya fueron obtenidos por G. Visweswara Rao[VR00], por

lo que se utilizan en la simulación los mismos valores numéricos que se usaron

en `Linear Dynamics of an Elastic Beam Under Moving Loads '[VR00], para

poder contrastar los resultados obtenidos. A continuación se muestran los

valores numéricos utilizados:

L = 10m

E = 2.0 · 1011Pa

I = 1.0 · 10−5m4

ρ = 7850kg/m3

A = 0.01m2


Los valores numéricos de la fuerza y de la masa son los siguientes:

F = 2310.25N

M = 235.5kg

En la gura 3.7 se muestra el desplazamiento máximo adimensinalizado

que se obtiene en el punto medio del vano para cada velocidad de la simu-

lación. Se puede observar que la deformación máxima obtenida es superior en

el caso de la resolución con la masa frente a utilizar la fuerza equivalente. Los

valores de desplazamiento vertical están adimensionalizados en función de la

echa estática de la viga en el caso de encontrarse cargada con una masa

puntual en el centro de esta, que se calcula según la fórmula Y st = P ·L3

48·E·I ,

obteniendo un valor de 2.406 · 10−2m.

0 20 40 60 80 100−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

v(m/s)

U/U

st

MasaFuerza

Figura 3.7: Comparación del modelo `fuerza' frente a `masa' del desplaza-

miento máximo vertical adimensionalizado en el punto x = L/2 para cada

velocidad

La tabla 3.3 muestra los valores numéricos que se extraen de la gura

3.7. Se ha de hacer mención a que los máximos obtenidos no se dan para las

mismas velocidades en el modelo de fuerza que en el modelo de masa móvil,


Tabla 3.3: Valores numéricos adimensionalizados del desplazamiento máximo

en el centro de vanoModelo Velocidad(m/s) Desp. Y

Fuerza 30 −1.611

Masa 38 −3.328

además de que el valor obtenido con el modelo de la masa móvil es 1.4 veces

mayor que el obtenido con el modelo de la fuerza móvil.

Para poder realizar la comparación con los resultados obtenidos por G.

Visweswara Rao[VR00] se registran también los valores de desplazamiento en

la posición del vano x = L/4. En la gura 3.8 se muestran estos resultados

de forma adimensionalizada.

0 20 40 60 80 100−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

v(m/s)

U/U

st

FuerzaMasa

Figura 3.8: Comparación del modelo `fuerza' frente a `masa' del desplaza-

miento máximo vertical adimensionalizado en el punto x = L/4 para cada

velocidad.

En este caso la tabla 3.4 muestra los valores numéricos que se extraen de

la gura3.8.

Como se puede observar de los casos presentados, la utilización de un

modelo de fuerza equivalente conlleva a una solución errónea en los desplaza-


Tabla 3.4: Valores numéricos adimensionalizados del desplazamiento en la

posición x = L/4 del vanoModelo Velocidad(m/s) Desp. Y

Fuerza 30 −0.96

Masa 38 −2.01

Tabla 3.5: Valores numéricos adimensionalizados del desplazamiento máximo

en el centro de vano obtenidos por G. Visweswara Rao[VR00]Modelo Vel G.V.(m/s) Vel FEM(m/s) Desp. Y G.V. Desp. Y FEM

x = L/2 Fuerza 31 30 −1.6 −1.611

Masa 39 38 −2.7 −3.328

x = L/4 Fuerza 31 30 −1.2 −0.96

Masa 39 38 −1.99 −2.01

mientos obtenidos en la viga. De las guras se extrae que el error cometido

es mayor, cuanto más cerca se encuentre la velocidad del ensayo a la veloci-

dad crítica. Velocidad para la cual el desplazamiento es máximo. Se ha de

señalar también (ver tabla 3.3) que la velocidad a la que se da el máximo

desplazamiento varía en función de utilizar un modelo de masa en lugar de

uno de fuerza móvil.

El paper de G. Visweswara Rao[VR00] recoge los valores adimensionaliza-

dos del desplazamiento en los puntos del vano x = L/2 y x = L/4. La tabla

3.5. recoge dichos resultados los cuales se pueden comparar con los obtenidos

en la simulación realizada en este proyecto.

Capítulo 4

ELEMENTOS DEL CONJUNTO

CATENARIA - PANTÓGRAFO -

VEHÍCULO - PLATAFORMA

61

4.1. Catenaria 62

4.1. Catenaria

Como se ha comentado con anterioridad, existen diversos sistemas que

permiten alimentar eléctricamente trenes, ya sea mediante corriente alterna

o corriente continua. El mas empleado hoy en día se denomina línea aérea

de contacto o más comúnmente catenaria. Toma el nombre de la curva que

aproximadamente forma uno de los cables que lo conforman. Por lo tanto, en

la tecnología ferroviaria bajo la denominación `catenaria' se engloba a todo

el conjunto de elementos que constituyen la línea de transporte y suministro

de energía eléctrica a los trenes (ver gura 4.1). La captación de energía se

realiza por medio de un elemento de frotación denominado pantógrafo.

Figura 4.1: Catenaria

4.1.1. Catenaria exible

Los elementos que componen una catenaria, gura 4.2 son:

Hilo de contacto. Es el elemento que se encuentra en contacto con el

pantógrafo. Debe tener una geometría tal que el rozamiento entre éste

y el pantógrafo sea lo mas uniforme posible de forma que la captación

de energía sea óptima.

4.1. Catenaria 63

Hilo sustentador. Es el elemento superior que desde un punto de vista

mecánico soporta el peso del hilo de contacto.

Péndolas. Son los elementos verticales que adecuadamente situados se

encargan de garantizar la geometría adecuada en el hilo de contacto

transmitiendo parte del peso de este al sustentador.

Falso sustentador. Es un elemento que no aparece en todos los tipos de

catenarias y que tiene como misión aumentar y uniformizar la rigidez

del conjunto mediante la aplicación de una tensión adicional. A la pén-

dola que va unida al falso sustentador se le denomina habitualmente

péndola en Y.

Grifas. Son los elementos que sirven para unir las péndolas al falso

sustentador e hilo de contacto.

Hilo Sustentador

Péndola en Y

Péndolas Grifa inferior

Grifa superior

Amarre del Falso sustentador

Hilo de Contacto

Falso sustentador

Brazo de Atirantado

Figura 4.2: Partes de una catenaria

El modelo de catenaria utilizado, mostrado en la gura 4.3, esta formado

por elementos corotacional y se obtiene a partir de un cálculo estático que

4.1. Catenaria 64

permite obtener las deformaciones y tensiones iniciales de la estructura.

130 140 150 160 170 180 190

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 4.3: Modelo de catenaria exible

4.1.2. Perl conductor aéreo

Un perl conductor aéreo o, también denominado catenaria rígida (gura

4.4), está formada por un perl de aluminio tratado en forma de mordaza

que aprisiona el hilo de contacto de cobre conformando un conjunto de gran

rigidez y elevada sección de paso de corriente.

Este tipo de catenaria tiene sus ventajas con respecto a la catenaria ex-

ible convencional, ya que es más fácil de montar, aumenta el periodo de

sustitución debido al desgaste, se disminuye las exigencias de altura en los

túneles, la sección equivalente de cobre es mayor y aumenta la facilidad de

refrigeración por convección. Sin embargo, también presenta sus inconve-

nientes, por ejemplo, la catenaria rígida permite velocidades de circulación

inferiores a la exible, la distancia entre soportes debe ser pequeña, por lo

que hay que aumentar considerablemente el número de éstos y la instalación

esta pensada principalmente para interiores (por ejemplo túneles de metro)

lo que diculta su instalación en zonas al aire libre.

4.1. Catenaria 65

Figura 4.4: Perl conductor aéreo

80 90 100 110 120 130 140

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 4.5: Modelo de catenaria rígida

4.2. Pantógrafo 66

4.2. Pantógrafo

El pantógrafo (gura 4.6) es el mecanismo situado en la parte superior

externa del vehículo y es el encargado de suministrar la corriente necesaria

para moverlo a partir de su contacto con la plataforma, de ahí la importancia

de que no existan despegues durante los desplazamientos del vehículo.

Figura 4.6: Pantógrafo

Los pantógrafos se modelan en general como un conjunto de masas,

muelles y amortiguadores con 2 o más grados de libertad. Dos masas son

sucientes si el pantógrafo es simétrico (gura 4.7) y tres si es asimétrico

(gura 4.8). Estos modelos simplicados del pantógrafo se utilizan porque el

pantógrafo es un sistema relativamente complejo, pero que se puede someter

a ensayos mediante los cuales se puede llegar a un modelo simple de fun-

cionamiento y que se aproxima de manera razonable a su comportamiento

real. De hecho un modelo de este tipo puede adaptarse bastante bien a la

realidad si se modica convenientemente.

Como se pude encontrar en `Pantograph/Catenary dynamics and control '

[PW97], la meta de los diseñadores en la actualidad y para el futuro es mejo-

rar el diseño del pantógrafo, ya que este sistema es de gran importancia para

4.2. Pantógrafo 67

conseguir una buena fuerza de contacto con la catenaria cuando el vehículo

se encuentra en marcha. Para el desarrollo de nuevos pantógrafos es esencial

comprender el correcto funcionamiento dinámico de estos. Los fundamentos

cinemáticos están basados en los siguientes grados de libertad:

1. La cabeza del pantógrafo se pude mover verticalmente en un rango de

unos 2m. Este movimiento está permitido gracias a un mecanismo en

forma de tijera que transforma el movimiento de rotación de los brazos

en el movimiento vertical de la cabeza del pantógrafo. Son posibles

movimientos de hasta 1 o 2 Hz.

2. Desplazamientos de media y alta frecuencia, hasta 10 Hz, se consiguen

gracias a suspensiones exibles en la base del pantógrafo.

3. Los desplazamientos de alta frecuencia se compensan gracias a la propia

tira de contacto, ya que es de un material elástico capaz de compensar

estos desplazamientos. Estas frecuencias son muy altas comparadas con

las arriba mencionadas, del orden de 10 a 50 Hz, pero son de baja

amplitud.

Para mejorar los pantógrafos, la combinación de todos estos movimientos

junto a su comportamiento dinámico especíco ha de ser tenida en cuen-

ta. Además los modelos matemáticos deben ser lo más eles posibles a la

realidad.

En el pasado era normal utilizar pantógrafos con muy pocos grados de

libertad en concordancia con la cinemática del pantógrafo. Los pantógrafos

reales tienen elementos que no se comportan de una forma lineal, así pues, los

pantógrafos modelados con grados de libertad lineales solo son válidos para

ciertos puntos de operación. Con ciertos modelos no es posible tener en cuenta

la altura de la base del pantógrafo o simular el efecto de fuerzas laterales o

excitaciones horizontales. Sin embargo, estos modelos son sucientemente

buenos para obtener resultados razonables de la interacción dinámica entre

el pantógrafo y la catenaria.

4.2. Pantógrafo 68

C2 K2

K1 C1

M2

M1

F

Figura 4.7: Modelo de pantógrafo de 2 g.d.l.

C3 K3

K2 C2

K1 C1

M3

M2

M1

F

Figura 4.8: Modelo de pantógrafo de 3 g.d.l.

4.3. Vehículo 69

4.3. Vehículo

La resolución de problemas dinámicos de interacción entre catenaria y

pantógrafo, por un lado, y tren y vía, por otro, ha sido abordada por diversa

cantidad de autores y métodos. El vehículo (gura 4.9) está compuesto por

la caja, es la zona de transporte de pasajeros o mercancías, los bogies (gura

4.10) y las suspensiones que unen la caja con el bogie y este con las ruedas.

Figura 4.9: AVE s103

Aunque en la norma española permite modelar los vehículos como un

tren de cargas móviles, lo cual es admisible para cierto intervalo de veloci-

dades como se ha mostrado en el apartado de Cargas Móviles En Vigas3, los

modelos de vehículo más comúnmente utilizados están constituidos por un

conjunto de elementos masa - muelle,tipo MCK, como se muestra en la gura

4.11. Estos elementos se utilizan para formar la conguración del vehículo, el

número de ellos utilizado y la forma de colocarlos dependerá de la compleji-

dad que se le quiera dar en cada caso al modelo. De ahí que tengamos autores

con modelos de tren con únicamente tres grados de libertad como muestra

C.G.Koh [KOCF03] u otros que usan modelos de hasta doce, por ejemplo

Ping Lou y Qing-yuan Zeng [Lou05] [LyZ05]. Como se puede encontrar en el

4.3. Vehículo 70

Figura 4.10: Bogie

libro de Manuel Melis [May08], el sistema lineal de dos masas es sumamente

útil en la ingeniería ferroviaria y en la de carreteras, ya que este modelo ha

salido del conocido índice IRI, el Índice de Regularidad Internacional con el

que se mide la calidad de un pavimento a partir de su perl longitudinal.

Es un modelo como el mostrado en la gura 4.11, pero que tiene otra masa

superior conectada a la inferior a través de un resorte y un amortiguador.

Sin embargo, en este caso en cuestión, se puede obtener un mejor modelo del

tren utilizando uno de 3 o más grados de libertad.

Figura 4.11: Modelo Masa Muelle

4.3. Vehículo 71

4.3.1. Modelo de tren de 3 grados de libertad

Se van a desarrollar varios modelos de tren y la utilización de cada uno

de ellos dependerá del estudio en particular que se quiera realizar. En primer

lugar, se crea un modelo de tren de tres grados de libertad. Este modelo ha

sido creado utilizando tres sistemas independientes entre si del tipo masa

muelle. El modelo en cuestión se muestra en la gura 4.12. El eje montado

circulando sobre la vía se encuentra representado por la masa inferior, la

estructura del bogie es la masa intermedia y la masa superior representa la

caja de pasajeros y la locomotora.

C1 K1

K2 C2

K3 C3

M1

M2

M3

Figura 4.12: Modelo de tren MCK de 3 grados de libertad

4.3.2. Modelo de tren de 10 grados de libertad

En segundo lugar se crea un modelo de tren más complejo, para poder

obtener resultados más realistas. En este caso se utilizan dos tipos de ele-

mentos diferentes. Los elementos masa muelle que simularan las ruedas (1

en la gura 4.13) y la suspensión (2 y 3 en la gura 4.13) del modelo y los

elementos tipo 'viga' que servirán para simular el coche (c en la gura 4.13)

y los bogies (b en la gura 4.13). Aunque la esencia del modelo es la misma

que la del caso anterior, el aumento del número de los elementos utilizados

4.3. Vehículo 72

y su nueva disposición le conere un nuevo aspecto, pudiendo observarse en

4.13. En este caso, son diez los grados de libertad de los que consta el modelo.

Mc,Ic

2K3,2C3 2K3,2C3

K2,C2 K2,C2 K2,C2 K2,C2

K1,C1 K1,C1 K1,C1 K1,C1 K1,C1

Mb,Ib Mb,Ib

M1 M1 M1 M1

Figura 4.13: Modelo Tren MCK de 10 grados de libertad

4.4. Plataforma 73

4.4. Plataforma

Con el nombre de plataforma están recogidos todos aquellos elementos de

la vía y el suelo que son indispensables para el desplazamiento del vehículo.

Como se puede observar en la gura 4.14 una plataforma convencional está

formada por los siguientes elementos:

Carril

Placa de asiento

Traviesa

Balasto

CARRIL

PAD

TRAVIESA

BALASTO

Figura 4.14: Plataforma Ferrocarril

Las deformaciones verticales de la vía ferroviaria al paso del tren solían es-

tudiarse por medio de las denominadas hipótesis de Zimmermann-Timoshenko,

que consideran que el carril se encuentra sobre un apoyo elástico continuo.

Esta hipótesis permiten reducir el problema real a uno más sencillo que se

puede resolver analíticamente. Aunque es solo una aproximación, permiten,

aún en la actualidad, obtener órdenes de magnitud de los esfuerzos. El obje-

tivo era obtener:

4.4. Plataforma 74

El momento ector en el carril y su variación a lo largo de este, debido a

la carga de uno o varios ejes ferroviarios. Conocido el momento ector y

las tensiones que produce en el carril es inmediato calcular las tensiones

totales que actúan sobre el material del carril.

Las cargas transmitidas a las traviesas, al balasto y a la plataforma.

Sin embargo, la hipótesis fundamental del método de Zimmermann - Tim-

oshenko no es muy realista. Ya que según esta hipótesis, el descenso vertical

de la rueda al pasar el bogie es siempre el mismo puesto que no cambia el

coeciente de balasto del terreno ni la rigidez vertical de la vía, lo cual no es

cierto porque el descenso de la vía bajo una traviesa no es igual al descen-

so del carril entre dos traviesas. Por lo que este método no reeja bien la

realidad de la circulación del tren sobre la vía.

En la vía tradicional, el carril está apoyado en unos puntos determinados

que son las cabezas de las traviesas, y entre ellos está sin apoyos, como

se puede ver en la gura 4.14. El carril por lo tanto es una viga continua

montada sobre apoyos elásticos discretos equidistantes, y este hecho no puede

ser estudiado por la teoría anteriormente mencionada. La rueda al circular

por el carril tendrá un asiento determinado al pasar sobre la cabeza de la

traviesa. Al estar situada entre dos traviesas el descenso que experimentará

la rueda será el descenso de las traviesas que estén a ambos lados de la carga,

más el de la propia exión de la viga. La importancia de la rigidez del carril

en el reparto de cargas se aprecia mucho mejor en el método de Lorente de

Nó [dN80], recopilado de Unold [Uno25] y Dischinger [Dis25], que además es

el más adecuado y sencillo para el cálculo de los asientos de la vía bajo las

traviesas en que carga la rueda y sus traviesas adyacentes.

Este método permite analizar el descenso de la vía separando el efecto de

la rigidez E · I del carril del descenso debido a la rigidez vertical de todo lo

que hay bajo el carril ( Los pads de apoyo o elementos elásticos de la sujeción

y la infraestructura, balasto, subbalasto y plataforma ). La rigidez vertical

global de la vía está compuesta por las distintas rigideces mostradas en la

tabla 4.1.

El conjunto de carril, apoyos, balasto, subbalasto y capas de asiento es

lo que de este punto en adelante se denominará plataforma. La rigidez de la

4.4. Plataforma 75

Tabla 4.1: Rigidez vertical global de la vía kglobal

Rigidez carril 1 La rigidez a exión del carril,

que absorbe más de la mitad de la carga de la rueda

Rigidez de los apoyos 2 La rigidez vertical de los pads

de apoyo del patín sobre la traviesa

3 La rigidez vertical de la traviesa,

que suele considerarse innita

Rigidez de 4 La rigidez vertical de

elementos inferiores las capas de asiento, balasto y subbalasto

5 La rigidez vertical de

los elementos situados bajo las capas de asiento

misma se puede obtener mediante la fórmula 4.1.

1

kplataforma

=∑ 1

ki

(4.1)

para i = 2, 5

El modelo utilizado para la plataforma se muestra en la gura 4.15, el cual

consta de un raíl sobre fundación elástica. Este está formado por dos tipos

de elementos. Unos elementos tipo `viga' que son utilizados para simular el

raíl y unos elementos que constan de una rigidez K y una viscosidad C que

sirven para simular la fundación elástica sobre la que se asienta el raíl.

4.4.1. Puente

Un aspecto importante en dinámica ferroviaria es la inuencia que pueden

tener los puentes en la respuesta del sistema cuando el tren pasa sobre ellos,

por ello hay diversos estudios que hacen referencia a este tema. El modelo

más simple de puente utilizado es el de una viga simplemente apoyada en sus

extremos, con un área, masa, viscosidad y rigidez equivalente al puente que

se estudiará, como muestra la gura 4.16.

Aunque es sencillo modelar puentes cortos, puesto que solo hay que cam-

biar las características físicas dentro del modelo de viga simplemente apoya-

da, no ocurre lo mismo a la hora de modelar grandes viaductos, ya que las

4.4. Plataforma 76

Figura 4.15: Modelo de Plataforma

características constructivas de estos puentes son especiales para cada uno

de ellos. Por este motivo no es posible generalizar a la hora de estudiar este

tipo de puentes, asique se elegirán algunos viaductos concretos para realizar

las simulaciones, como el mostrado en la gura 4.17.

4.4. Plataforma 77

Figura 4.16: Modelo de puente corto

0 100 200 300 400 500 600 700−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Figura 4.17: Modelo de viaducto

Capítulo 5

SIMULACIÓN DE LA


PANTÓGRAFO

78

5.1. Catenaria Flexible 79

5.1. CATENARIA FLEXIBLE

Con el propósito de estudiar posteriormente el efecto que puede llegar a

tener el tren y la plataforma en la dinámica del conjunto, se realizan previa-

mente unas simulaciones sin la presencia de estos elementos. Se utilizan para

la simulación la catenaria del AVE (ver gura 5.1) cuyas características se

muestran en la tabla 5.1 y el pantógrafo DSA-380E cuyas características se

muestran en la tabla 5.2.

190 200 210 220 230 240 250 260

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 5.1: Modelo de vano de la catenaria del AVE

Se estudian cuatro casos a velocidad constante de 200, 250, 300 y 325

km/h respectivamente. Los resultados de las fuerzas de contacto obtenidos

se pueden observar en las guras 5.2 a 5.5 mientras que las tabla 5.3 muestra

los datos estadísticos más relevantes de la simulación.

Las guras 5.6 a 5.9 muestran grácamente la variación de los estadísti-

cos más importantes en las simulaciones realizadas. Como puede observarse,

el valor medio permanece relativamente constante, sin embargo los valores

máximos y mínimos se acentúan a medida que se aumenta la velocidad en la

simulación.


Tabla 5.1: Características catenaria AVEHilo de contacto Cu Ri 120 mm2

Número de hilos de contacto 1

Fuerza de tensado de cada hilo de contacto 1500kg

Sustentador 70 mm2

Fuerza de tensado del cable sustentador Bz 11 1500kg

Péndolas 16 mm2

Longitud de vano 65 m

Tabla 5.2: Valores numéricos utilizados en el modelo de pantógrafo DSA-380E1 2 3

m (kg) 6.6 5.8 5.8

c (Ns/m) 70 70 70

k (N/m) 9.4 · 103 14.1 · 103 0.08

F (N/m) 0 0 157.3

0 1 2 3 4 5 680

100

120

140

160

180

200

220

t(s)

Fc(N

)

Figura 5.2: Fuerza de contacto c-p velocidad 200km/h


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450

100

150

200

250

300

t(s)

Fc(N

)


Tabla 5.3: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-pVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h

Min (N) 97.35 92.83 156.61 57.40

Max (N) 215.86 246.1 249.47 284.24

Media(N) 156.87 156.87 156.61 155.96

Desviación Típica(N) 23.64 25.6 31.83 41.42


200 220 240 260 280 300 320 34055

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Vel

min

Figura 5.6: Variación del valor mínimo

200 220 240 260 280 300 320 340210

220

230

240

250

260

270

280

290

Vel

max

Figura 5.7: Variación del valor máximo


200 220 240 260 280 300 320 340155.9

156

156.1

156.2

156.3

156.4

156.5

156.6

156.7

156.8

156.9

Vel

med

Figura 5.8: Variación del valor medio

200 220 240 260 280 300 320 34022

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

Vel

std

Figura 5.9: Variación de la desviación típica


5.1.1. Dos Pantógrafos

Se desea estudiar también el comportamiento del sistema cuando el ve-

hículo utiliza dos pantógrafos. Para ello se simulan los mismos casos que en la

sección 5.1 utilizando dos pantógrafos 5.2 separados una distancia equivalente

a cuatro coches de un vehículo que mide 14m.

Las tablas 5.4 y 5.5 muestran los datos estadísticos obtenidos de cada uno

de los dos pantógrafos respectivamente. Como se extrae de estos resultados,

cuando hay dos pantógrafos relativamente cerca en la misma catenaria am-

bos se ven afectados en su comportamiento dinámico con respecto a cuando

hay un único pantógrafo. Se debe remarcar que aunque el valor máximo no

varia sustancialmente, en ambos disminuye notablemente el valor mínimo

que pueden llegar a alcanzar, siendo este valor más pequeño en el pantógrafo

trasero que en el delantero.

Destacar por último que igual que ocurre en el caso de un único pantó-

grafo, los valores máximos y mínimos aumentan a medida que aumenta la

velocidad de desplazamiento, como puede observarse en las guras 5.5 a 5.13

Tabla 5.4: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p delanteroVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h

Min (N) 92.19 77.31 65.22 33.76

Max (N) 217.99 253.80 245.87 286.22

Media(N) 156.77 156.66 156.61 156.12


Tabla 5.5: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p traseroVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h

Min (N) 92.69 39.66 46.76 22.44

Max (N) 223.55 245.88 257.29 294.28

Media(N) 157.52 157.61 156.61 156.56



200 220 240 260 280 300 320 34020

30

40

50

60

70

80

90

100

Vel

min

DelanteroTrasero


200 220 240 260 280 300 320 340210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

Vel

max

DelanteroTrasero



200 220 240 260 280 300 320 340156

156.2

156.4

156.6

156.8

157

157.2

157.4

157.6

157.8

158

Vel

med

DelanteroTrasero


200 220 240 260 280 300 320 34020

25

30

35

40

45

50

55

60

Vel

std

DelanteroTrasero

Figura 5.13: Variación de la desviación típica

5.2. Catenaria exible con 2 hilos de contacto 88

5.2. CATENARIA FLEXIBLE CON 2 HILOS

DE CONTACTO

En este apartado se estudia la dinámica de un modelo de catenaria difer-

ente desarrollado en este proyecto, la catenaria exible con dos hilos de con-

tacto. Las características de la catenaria CR 220 se muestran en la tabla 5.6,

y el modelo se muestra en la gura 5.14.

Tabla 5.6: Características catenaria CR 220Hilo de contacto Cu Ri 150 mm2

Número de hilos de contacto 2

Fuerza de tensado de cada hilo de contacto 2040kg

Sustentador Bz 11 184 mm2

Fuerza de tensado del cable sustentador 2450kg

Péndolas Cu 25 mm2

Longitud de vano 54 m

160 170 180 190 200 210

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 5.14: Modelo de vano de la catenaria CR 220

Se realizan 4 simulaciones a velocidades de 200, 250, 300 y 325km/h re-

spectivamente obteniendo como datos estadísticos más relevantes los mostra-


dos en la tabla 5.7. Además se muestra de una forma gráca la variación de

estos valores en las guras 5.15 a 5.18.

Tabla 5.7: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-pVelocidad 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h

Min (N) 62.43 57.25 44.01 35.98

Max (N) 110.05 119.56 123.43 127.06

Media(N) 156.87 78.19 78.35 78.23


200 220 240 260 280 300 320 34035

40

45

50

55

60

65

Vel

Fc(N

)


Por último se pueden observar la respuesta dinámica del conjunto c-p en

las grácas 5.19 a 5.22.

Como se puede extraer de los resultados obtenidos, las características

dinámicas de este tipo de catenaria empeoran notablemente a medida que

aumenta la velocidad de circulación, ya que esta catenaria está diseñada para

una velocidad de circulación de 220km/h. Además se debe mencionar que la

variación de la fuerza de contacto es mínima en el cambio de vano debido

a que la rigidez en ese punto es elevada. Esto es debido principalmente a


200 220 240 260 280 300 320 340110

112

114

116

118

120

122

124

126

128

Vel

Fc(N

)


que el modelo de catenaria utilizado presenta dos brazos atirantados en ese

mismo punto, por lo que la rigidez se ve aumentada al doble de las rigideces

individuales.


200 220 240 260 280 300 320 34078

78.05

78.1

78.15

78.2

78.25

78.3

78.35

78.4

78.45

Vel

Fc(N

)


200 220 240 260 280 300 320 3408

10

12

14

16

18

20

Vel

Fc(N

)

Figura 5.18: Variación de la desviación tìpica


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 560

70

80

90

100

110

120

t(s)

Fc(N

)

Figura 5.19: Fuerza de contacto c-p velocidad 200 km/h

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450

60

70

80

90

100

110

120

t(s)

Fc(N

)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.540

50

60

70

80

90

100

110

120

130

t(s)

Fc(N

)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 330

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

t(s)

Fc(N

)


5.3. Perl conductor aéreo o catenaria rígida 94

5.3. PERFIL CONDUCTORAÉREO O CATE-

NARIA RÍGIDA

Esta sección pretende llevar a cabo un estudio del comportamiento dinámi-

co de la catenaria rígida. Para ello se realizarán una serie de simulaciones

variando algunos parámetros fundamentales de este tipo de catenaria.

El modelo de catenaria rígida utilizado está formado por elementos tipo 'vi-

ga' con dos tipos de características. Unos reejan la sección encargada de

llevar el cable de contacto y los otros son los que se encargan de sujetar la

estructura al techo. La viga que lleva sujeto el cable, cuya sección se muestra

en la gura 5.23, tiene las características mostradas en la tabla 5.8.

Tabla 5.8: Características catenaria rígida clásicaPropiedad Valor

Ec (N/m2) 69 · 109

Ac (m2) 2.22 · 10−3

Ic (m4) 0.338 · 10−5

ρ (kg/m3) 2747.74

Los apoyos del perl conductor que lleva el cable presentan las caracterís-

ticas mostradas en la tabla 5.9.

Tabla 5.9: Características de los apoyos del perlPropiedad Valor

Ec (N/m2) 200 · 109

Ac (m2) 2.8 · 10−3

ρ (kg/m3) 7800


Figura 5.23: Sección del perl conductor aéreo clásico


Tabla 5.10: Datos estadísticos de la fuerza de contacto c-p obtenida en las

simulaciones de catenaria rígida variando la longitud entre soportesDist. entre soportes 10 m 12 m 14 m

Min (N) 72.87 29.98 17.06

Max (N) 137.6 172.6 180.4

Media(N) 102.7 101.2 104.6

Desviación Típica(N) 13.91 29.2 39.02

5.3.1. Efecto de la longitud de los soportes

En este apartado se estudia el efecto que tiene la separación de los so-

portes del perl conducto aéreo. Para ello se realizan tres simulaciones con

un modelo c-p a una velocidad de 110km/h con longitudes entre soportes de

10, 12 y 14m.

La tabla 5.10 muestra los valores más relevantes que se pueden extraer de las

simulaciones. Efectivamente se comprueba que al aumentar la distancia entre

los soportes se produce una mayor variación en la fuerza de contacto obteni-

da, como se puede ver observando las guras 5.24 a 5.26,donde se aprecia

una mayor amplitud de las ondas a medida que aumenta la separación entre

los soportes. Esto es debido principalmente a que al aumentar la distancia

entre apoyos, la echa de cada vano es mayor y disminuye su rigidez a exión,

por tanto, se producen mayores vibraciones en la catenaria, haciendo que las

uctuaciones de la fuerza de contacto sean mayores.


0 0.5 1 1.5 270

80

90

100

110

120

130

140F

c(N)

t(s)

Figura 5.24: Fuerza de contacto en catenaria rígida con una distancia entre

soportes de 10m

0 0.5 1 1.520

40

60

80

100

120

140

160

180

t(s)

Fc(N

)


soportes de 12m


0 0.5 1 1.50

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Fc(N

)

t(s)


soportes de 14m



simulaciones de catenaria rígida variando la velocidad de circulaciónVelocidad 110km/h 140km/h 150km/h

Min (N) 72.87 67.51 66.72

Max (N) 137.6 144.5 142.3

Media(N) 102.7 103.2 102.7


5.3.2. Efecto de la velocidad de circulación

Después de comprobar el efecto que tiene la variación de la distancia

entre soportes en la fuerza de contacto catenaria - pantógrafo, se pretende

estudiar el comportamiento del conjunto a diferentes velocidades. Para ello,

se realizan tres simulaciones a 110, 140 y 150 km/h.

Se puede observar en la tabla 5.11 que a medida que se aumenta la ve-

locidad de circulación, hay una mayor diferencia entre los valores máximos y

mínimos obtenidos en la fuerza de contacto (también se puede apreciar mejor

este efecto en las guras 5.27 a 5.29).

0 0.5 1 1.5 270

80

90

100

110

120

130

140

Fc(N

)

t(s)

Figura 5.27: Fuerza de contacto en catenaria rígida circulando a una velocidad

de 110km/h


0 0.5 1 1.560

70

80

90

100

110

120

130

140

150

t(s)

Fc(N

)


de 140km/h

0 0.5 1 1.560

70

80

90

100

110

120

130

140

150

t(s)

Fc(N

)


de 150km/h


5.3.3. Efecto de la sección que sustenta el hilo de con-

tacto

También se desea comprobar el efecto que tiene la sección que sustenta el

hilo de contacto del perl conductor aéreo. Para ello se repiten las 3 simula-

ciones a las mismas velocidades que en el caso anterior, pero esta vez con los

valores de la sección de la catenaria utilizada en 'Metro de Madrid. La sec-

ción de esta catenaria se puede observar en la gura 5.30 y sus características

se muestran en la tabla 5.12.

Tabla 5.12: Características catenaria rígida Metro de MadridPropiedad Valor

Ec (N/m2) 69 · 109

Ac (m2) 2.39 · 10−3

Ic (m4) 0.734 · 10−5

ρ (kg/m3) 2747.74

Figura 5.30: Sección del perl conductor aéreo utilizado en 'Metro de Madrid

Igual que en el caso anterior, la tabla 5.13 recoge los estadísticos más rele-

vantes de las tres simulaciones. Como se puede apreciar en ella, a medida que

aumenta la velocidad, las variaciones en la fuerza de contacto son mayores,

igual que ocurría con las características del primer perl de catenaria utiliza-

do. Sin embargo, se puede observar que en este caso los rangos de variación



simulaciones de catenaria rígida de 'Metro de Madrid variando la velocidad

de circulaciónVelocidad 110km/h 140km/h 150km/h

Min (N) 86.1 78.91 65.9

Max (N) 123.9 126.5 146.2

Media(N) 102.0 102.9 102.8


de la fuerza de contacto son inferiores a los obtenidos con el otro tipo de

catenaria, ya que las desviaciones típicas son inferiores.

Como cláramente se puede observar en las grácas 5.31,5.32 y 5.33 mejo-

rar el momento de inercia de la sección que sustenta el cable en este tipo de

catenarias mejora las oscilaciones que se producen en el contacto catenaria -

pantógrafo. Estas tres grácas muestran la respuesta obtenida con el tipo de

catenaria utilizada en primer lugar frente a la catenaria usada en la red de

metro de Madrid. Esta catenaria aumenta la sección del perl para mejorar

las propiedades dinámicas del conjunto. De esta forma se puede aumentar

las velocidades de utilización de estos tipos de catenaria, ya que se mejo-

ra notablemente el contacto, y también permite ampliar las distancias de

separación entre los soportes, teniendo que utilizar menor cantidad de ellos.

Además, para reforzar las conclusiones con respecto a la rigidez de la

catenaria, es interesante observar la diferencia de desplazamientos verticales

obtenida en el nodo de contacto c-p entre las catenarias con rigideces distin-

tas. Como se observa en las guras 5.34 a 5.36, la tendencia es a aumentar

el desplazamiento vertical a medida que aumenta la velocidad de circulación,

pero se debe mencionar que los desplazamientos verticales del nodo de con-

tacto son muy superiores en el caso de la catenaria menos rígida.


0 0.5 1 1.5 270

80

90

100

110

120

130

140

t(s)

Fc(N

)

Cat 1Cat 2

Figura 5.31: Comparación de la fuerza de contacto obtenida con dos tipos de

catenarias rígidas a una velocidad de 110km/h (Rigidez Cat1 > Cat2)

0 0.5 1 1.560

70

80

90

100

110

120

130

140

150

t(s)

Fc(N

)

Cat 1Cat 2




0 0.5 1 1.560

70

80

90

100

110

120

130

140

150

t(s)

Fc(N

)

Cat 1Cat 2



0 0.5 1 1.5 2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3

t(s)

Uy(

m)

Cat 1Cat 2

Figura 5.34: Comparación de los desplazamientos obtenidos con dos tipos de



0 0.5 1 1.5−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3

t(s)

Uy(

m)

Cat 1Cat 2



0 0.5 1 1.5−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3

t(s)

Uy(

m)

Cat 1Cat 2





simulaciones de catenaria rígida de 'Metro de Madrid variando la densidad

de la secciónDensidad −20 % −10 % 0 % +10 % +20 %

Min (N) 81.71 77.24 78.37 73.79 74.55

Max (N) 124.5 133 130.1 136.7 129.8

Media(N) 102.7 102.7 102.7 102.9 102.7

Desviación Típica(N) 9.064 10.51 9.952 10.76 10.12

5.3.4. Efecto del peso del perl conductor

En este caso se estudia el efecto que tiene el peso de la sección que suje-

ta el hilo de contacto. Para ello se simulan cuatro casos a una velocidad de

110km/h en los cuales se multiplica la densidad (ρ) de la sección por los fac-

tores 0.8, 0.9, 1.1 y 1.2 respectivamente, para ver el efecto de la disminución

y del aumento de masa.

La tabla 5.14 recoge los estadísticos más importantes obtenidos en la

simulaciones. Como podemos observar en ella, la densidad es un aspecto

crítico, ya que bajas densidades permiten obtener unas variaciones en la

fuerza de contacto mucho menores. Sin embargo el peso de la catenaria no

se puede reducir todo lo que se quiera, ya que los materiales utilizados en

ella deben ser capaces de soportar los esfuerzos a los que será sometida al

paso del pantógrafo. Las guras 5.37 a 5.40 muestran la forma que toman las

curvas de fuerza de contacto c-p en este caso.


0 0.5 1 1.5 280

85

90

95

100

105

110

115

120

125

t(s)

Fc(N

)

Figura 5.37: Comparación de la fuerza de contacto obtenida disminuyendo

la densidad un 20 %

0 0.5 1 1.5 270

80

90

100

110

120

130

140

t(s)

Fc(N

)

Figura 5.38: Comparación de la fuerza de contacto obtenida disminuyendo

la densidad un 10 %


0 0.5 1 1.5 270

80

90

100

110

120

130

140

t(s)

Fc(N

)

Figura 5.39: Comparación de la fuerza de contacto obtenida aumentando la

densidad un 10 %

0 0.5 1 1.5 270

80

90

100

110

120

130

t(s)

Fc(N

)

Figura 5.40: Comparación de la fuerza de contacto obtenida aumentando la

densidad un 20 %


5.3.5. Sistema de alimentación con dos pantógrafos

Los vehículos que circulan con este tipo de catenarias suelen llevar dos

pantógrafos como sistema de alimentación. Se desea comprobar el efecto que

puede causar el introducir dos pantógrafos a la vez en la misma catenaria, y

como afecta a la fuerza de contacto de cada uno de los pantógrafos. Para ello

se utiliza una catenaria rígida con las características de `Metro de Madrid'

mencionadas anteriormente y dos pantógrafos separados 110m, el equivalente

a un vehículo con cinco coches, el primer pantógrafo colocado en la parte

delantera del primero y el segundo en la parte trasera del último.


simulaciones de catenaria rígida de `Metro de Madrid' con dos pantógrafosVelocidad P. Delantero P. Trasero

Min (N) 88.82 88.25

Max (N) 127.9 128.9

Media(N) 102.6 102.6

Desviación Típica(N) 7.089 9.139

La tabla 5.15 recoge los datos estadísticos más importantes de la fuerza

de contacto obtenida en ambos pantógrafos. Como se puede observar, la

introducción de un segundo pantógrafo al sistema no altera los resultados

obtenidos para un único pantógrafo. El primero sigue manteniendo el mismo

rango en los valores de la fuerza de contacto, y el segundo se encuentra dentro

de los mismos márgenes pero aumentando levemente la desviación típica de

estos. Como conclusión a la vista de los resultados se puede destacar que

este tipo de catenarias son muy convenientes para trabajar con vehículos que

incorporen dos pantógrafos simultáneos para la captación de energía, ya que

la incorporación de más pantógrafos al sistema no modica las características

de este.

Capítulo 6

SIMULACIÓN DE LA

INTERACCIÓN VEHÍCULO -

PLATAFORMA

110

6.1. Desplazamientos del rail 111

6.1. DESPLAZAMIENTOS DEL RAIL

Se desea vericar el modelo de plataforma mostrado en la sección 4.4.

Para ello se simular las características de la plataforma de la línea del AVE

de Madrid a Zaragoza y compararla con los asientos reales obtenidos. Estos

datos de desplazamientos se obtienen del Instituto Geotécnico Noruego (NGI)

que en Octubre de 2005 publicó un informe sobre las medidas y experimentos

llevados a cabo con un tren AVE en la vía del mismo. Este instituto daba

en su Informe, entre otros datos, el descenso de 2.4 mm medido en el carril

al paso de un eje cuya carga por rueda era de 123.91 kN moviéndose a 200

km/h.

Utilizando el modelo de plataforma mostrado en el apartado 4.4 con los

valores reales de la plataforma del AVE y el modelo de tren de tres grados de

libertad mostrado en el apartado 4.3 se obtienen los asientos mostrados en

la gura 6.1. Como se observa en esta, el desplazamiento máximo obtenido

ronda los valores reales aportados por el NGI. En la tabla 6.1 se recogen los

valores utilizados en la simulación realizada para obtener los asientos de la

plataforma del AVE.

6 7 8 9 10 11 12 13 14

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

x 10−3

Figura 6.1: Asientos de la plataforma del AVE a Zaragoza

Por otro lado se desea obtener los asientos de la plataforma pero utilizando

el modelo de tren de diez grados de libertad 4.3. Para ellos se realiza una


Tabla 6.1: Valores numéricos utilizados en la plataforma del AVE a ZaragozaCarril Valor

E 2.1 · 1011 Pa

I 3.313 · 10−5 m4

A 2.8 · 10−3 m2

ρ 7800 kg/m3

Plataforma Valor

k 15.79 · 106 N/m

c 2.45 · 103 Ns/m

Longitud entre 0.6 m

traviesas

simulación con el tren desplazándose a una velocidad constante de 300km/h

sobre la plataforma. Los desplazamientos verticales que sufre el raíl sobre

la fundación elástica obtenidos se compararán con los resultados obtenidos

en Moving element method for train-track dynamics ' [KOCF03], donde se

resuelve este mismo problema.

La gura 6.2 muestra la superposición de ambas grácas, la obtenida en la

referencia [KOCF03] frente a la obtenida en la simulación realizada. Aunque

los resultados son muy semejantes, se ha de hacer mención especial a la

diferente profundidad de desplazamientos obtenida en la referencia[KOCF03]

entre el tren delantero y el trasero, ya que esta situación es normal de un

movimiento uniformemente acelerado.

Esto se puede demostrar de una forma sencilla. La gura 6.3 muestra las

fuerzas que actúan sobre un vehículo a velocidad constante despreciando el

efecto del aire. Con el vehículo no tiene ninguna aceleración angular, se debe

cumplir que:

∑MG = 0 (6.1)

De donde se obtiene:

Nd · d

2−Nt · d

2= 0 (6.2)


Figura 6.2: Comparacion desplazamientos

Nd = Nt (6.3)

De esta forma se explica que la profundidad en el asiento obtenido en la

simulación sea la misma en el tren delantero que en el trasero.

Por otro lado, la gura 6.4 muestra las fuerzas que actúan sobre un vehículo

con aceleración constante. En este caso, igual que en el anterior, el vehículo

no tiene aceleración angular, por lo que se tiene que cumplir que:

∑MG = 0 (6.4)

Nd · d

2−Nt · d

2+ R · d

2= 0 (6.5)

Nt = Nd + R (6.6)

Nt = Nd · (1 + µ) (6.7)

Como indica la ecuación 6.7 la profundidad del asiento en el tren trasero

será mayor que en el delantero en el caso en que el vehículo se desplace con


V=cte

2⁄

2⁄

2⁄

∙

Figura 6.3: Fuerzas que actúan sobre un vehículo a velocidad constante

Tabla 6.2: Valores numéricos utilizados en el modelo de tren de 10 gdl.1 2 3

m (kg) 350 250 3500

c (Ns/m) 6.7 · 105 7.1 · 103 8.87 · 103

k (N/m) 8 · 109 1.26 · 106 1.41 · 105

mb (kg) 2 ·m2

Ib 350

mc (kg) 4 ·m3

Ic 5.7 · 105

aceleración constante.

Los valores utilizados en la plataforma (tabla6.3) y en el modelo de tren

de 10 grados de libertad (tabla 6.2) han sido tomados del modelo usado en

`Moving element method for train-track dynamics '[KOCF03].


a

2⁄

2⁄

2⁄

∙

≤ ∙

∙

Figura 6.4: Fuerzas que actúan sobre un vehículo con aceleración constante

Tabla 6.3: Valores numéricos utilizados en la plataforma de la referencia

[KOCF03]Carril Valor

E 2.1 · 1011 Pa

I 3.06 · 10−5 m4

A 2.8 · 10−3 m2

ρ 7800 kg/m3

Plataforma Valor

k 1 · 56 N/m

c 2.45 · 103 Ns/m

Longitud entre 0.5m

traviesas

6.2. Longitud de la plataforma 116

6.2. LONGITUD DE LA PLATAFORMA

Debido a la gran cantidad de tiempo requerido para resolver modelos con

plataformas completos (tan largos como la longitud del numero de vanos que

haya en el problema), ya que se introduce una gran cantidad de grados de

libertad al problema , se pretende reducir la longitud de la plataforma para

disminuir los tiempos de cálculo.

El procedimiento utilizado es reducir la longitud de la plataforma a la lon-

gitud total del tren más una distancia por la que el tren se desplaza, como se

muestra en la gura 6.5. Una vez que la posición del tren llega sucientemente

cerca del extremo de la plataforma como para verse afectado por la inexis-

tencia de este, se actualiza la posición en `x' de la plataforma, desplazando

esta hasta una nueva posición más avanzada. Para que la actualización de la

posición de la plataforma no afecte a la respuesta dinámica del conjunto tren

- plataforma lo que se hace es mantener los desplazamientos de los nodos que

se ven afectados por el tren (Up), e inicializar en la posición de equilibrio los

nodos restantes (Un). La gura 6.6 muestra grácamente este procedimiento.

Matemáticamente este actualización es muy sencilla, ya que únicamente hay

que mantener el valor de desplazamientos en x,y,z de los nodos afectados por

la posición del tren e inicializar a la posición de equilibrio el resto de nodos

nuevos del problema.

Se pretende estudiar la inuencia de la longitud de la plataforma en la

respuesta dinámica del problema catenaria-pantógrafo-vehículo-plataforma,

para poderla minimizar al máximo.

Para ello se obtienen los resultados de 5 problemas de 5 vanos de distancia

de recorrido con diferentes longitudes de rail, que son 30, 40, 50, 60 y 70 m

respectivamente. Es utilizado el modelo de tren simple para realizar este

estudio.

Figura 6.5: Nueva longitud inicial de la plataforma


Figura 6.6: Actualizacion de los desplazamientos de la plataforma

6.2.1. Inuencia en la fuerza de contacto Tren-Rail

Comparando los resultados, se obtiene que la fuerza de contacto es muy

parecida en los 5 casos, siendo tambien semejante a la obtenida con el modelo

del raíl completo.

El resultado de la fuerza de contacto en el modelo de 40m comparándola

con la obtenida en el modelo del raíl completo se contempla en la gura 6.7.

Se observa que a simple vista no se puede apreciar la diferencia. Para

hacerse una idea del error cometido, se escogen las grácas de los casos más

extremos,6.8 y 6.9, para mostrar la diferencia entre el valor de fuerza de

contacto obtenidos con los modelos de raíl corto y el valor obtenido con el

modelo de raíl completo.

A la vista de los resultados, se resuelve un problema más largo, de 10

vanos, con el modelo del raíl completo y el modelo de raíl de 40m, para com-

probar si sigue apareciendo las ondas de baja frecuencia en toda la gráca,

o solo al nal de esta. Los datos obtenidos están recogidos en la gura 6.10.


Figura 6.7: FC tren raíl 40m

6.2.2. Comparacion de desplazamientos en el nodo de

contacto Tren-Rail

Se desea ver la inuencia que tiene el efecto de reducir la longitud de la

plataforma en el desplazamiento vertical de los nodos de contacto vehículo -

plataforma, para ello se muestran en las tablas 6.4 y 6.5 los parámetros más

relevantes que se extraen de la curva desplazamiento del nodo de contacto

6.11 obtenido resolviendo el modelo completo junto al desplazamiento que se

obtiene para cada uno de los diferentes casos. Se observa que la diferencia es

nula.

6.2.3. Valores Numéricos utilizados en Longitud de la

Plataforma

Los valores numéricos utilizados en el modelo de tren complejo dieren

de los utilizados para el modelo simplicado, según las siguientes relaciones:


Figura 6.8: Error% Fc tren rail 30m

mb = 2 ·m2

Ib = 350kgm2

mc = 4 ·m3

Tabla 6.4: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto de con-

tacto vehículo - plataforma en el modelo de 30m de plataformaParametro Valor(m)

Minimo 5.53 · 10−3

Máximo 5.693 · 10−3

Media 5.61 · 10−3

Rango 1.626 · 10−4


Figura 6.9: Error% Fc tren raíl 70m

Ic = 5.7 · 105kgm3

La tabla 6.6 muestra los valores numéricos utilizados en el modelo de tren

de 3 gdl.

Tabla 6.5: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto de con-

tacto vehículo - plataforma en el modelo de 70m de plataformaParametro Valor(m)

Minimo 5.53 · 10−3

Máximo 5.693 · 10−3

Media 5.61 · 10−3

Rango 1.626 · 10−4


Figura 6.10: Error% Fc tren raíl 40m 10vanos

Tabla 6.6: Valores numéricos utilizados en el modelo de tren de 3 gdl.1 2 3

m (kg) 350 250 3500

c (Ns/m) 6.7 · 105 7.1 · 103 8.87 · 103

k (N/m) 8 · 109 1.26 · 106 1.41 · 105


Figura 6.11: Desplazamientos del nodo de contacto vehículo - plataforma en

el modelo de 70m

6.3. Irregularidades en la vía 123

6.3. IRREGULARIDADES EN LA VÍA

Los defectos de los carriles de las vías de tren han evolucionado con el

tiempo, pudíendose clasicar en tres grandes grupos (ver `La vía del Ferro-

carril' [AV90]).

Defectos de fabricación.

Se clasican en dos categorías:

1. Defectos superciales, se originan en la colada o en el laminado.

Este tipo de defectos se elimina mediante un control supercial

automático en la recepción de los carriles.

2. Defectos de origen interno, se originan durante el anado del acero

y en la elaboración de los lingotes. Si el ritmo de fabricación es

demasiado rápido o la temperatura del acero líquido excesivamente

baja se pueden formar inclusiones no metálicas por decantación

insuciente en las lingoteras, produciendo posteriormente suras

en las piezas. Estas suras son peligrosas ya que no se detectan

a simple vista en la cabeza del carril hasta que esta se encuentra

completamente surada, y por tanto la rotura puede producirse

de repente. Por ello es indispensable un control no destructivo.

Defectos debidos a la utilización de los carriles.

1. Producidos por la circulación: Los principales deterioros debidos

a la circulación son las roturas frágiles producidas por los planos

de rueda y los desgarramientos que originan los patinajes. Basta

que accidentalmente un solo vehículo se encuentre en malas condi-

ciones para producir roturas en serie en el carril de una vía. En

cuanto a los patinajes, suelen ser frecuentes en zonas de arranque

de trenes pesados.

2. Debidos al medio ambiente: Los carriles están sometidos durante

mucho tiempo a la agresión del medio ambiente y son por tanto ob-

jeto de corrosión. En vías subterráneas situadas en zonas húmedas


se puede producir corrosión en el conjunto del perl, más acentu-

ado en el contacto del patín con las traviesas y en las uniones del

alma con la cabeza o con el patín, por la presencia de tensiones

residuales.

Ondulaciones de desgaste.

En la supercie de algunos carriles se producen defectos periódicos

de longitud de onda constante, meses o años después de su puesta

en servicio. Se conoce este fenómeno como desgaste ondulatorio y se

presenta de varias formas:

1. Desgaste corto: En la supercie de rodadura aparece una suce-

sión de manchas brillantes, con longitud de onda de 6cm aproxi-

madamente. Estas manchas corresponden a los puntos altos de la

ondulación, que pueden llegar a una amplitud de 0.2-0.3 mm.

2. Desgaste medio: En el que la longitud de onda es de 10 a 40 cm.

Depende de las características de los bogies y se produce como

consecuencia de resonancias entre los movimientos vibratorios de

los ejes sobre la vía y la frecuencia vertical propia de esta.

3. Desgaste largo: Las longitudes de onda en este caso son mayores

de 40 cm y suelen producirse en vías con fuertes cargas por eje.

Existen diferentes formas de modelar la irregularidades de un carril. A

continuación se exponen las más comúnmente utilizadas por diferentes au-

tores (L.Frýba [Frý96]).


6.3.1. Irregularidades periódicas

La irregularidades periódicas se pueden describir mediante curvas que

corresponden a series de Furier.

r(x) =1

2· a0 +

∑an · cos(n · x) + bn · sen(n · x) (6.8)

En la ecuación 6.8, a0, an y bn son los parámetros que representan la fre-

cuencia y amplitud de las oscilaciones. Un modelo de carril con irregularidad

periódica se puede observar en la gura 6.12.

50 55 60 65 70 75 80 85−0.275

−0.27

−0.265

−0.26

−0.255

−0.25

−0.245

−0.24

(m)

(m)

Figura 6.12: Irregularidad periódica

En este caso no se van a realizar simulaciones debido a la falta de datos

reales.


6.3.2. Irregularidades aisladas

Existen diversas formas de representar las irregularidades aisladas, algu-

nas de ellas se muestran en las ecuaciones 6.9 a 6.12.

r(x) = A · e−k|x| (6.9)

r(x) = A · e12(−kx)2 (6.10)

r(x) =Akx

(1 + 4k2x2)1/2(6.11)

r(x) =

(A2

(1 + (kx)8)

)1/2

(6.12)

Algunos valores típicos de irregularidades aisladas en función de la clase

de vía en Francia son recogidos por L.Frýba [Frý96]. Cuanto mayor es la

clase de la vía, mejor son las características de esta. Los diferentes valores

que toman las constantes se muestran en la tabla 6.7.

Tabla 6.7: Valores típicos de los parámetros de irregularidades aisladasClase de vía 1 2 3 4 5 6

A (mm) 11.4 8.4 6.4 4.8 3.6 2.8

k (m−1) 0.43 0.43 0.46 0.49 0.66 0.82

Un ejemplo del modelo de carril con una irregularidad aislada se puede

observar en la gura 6.13.

6.3.2.1. Caso de estudio

Para comprobar el efecto que tiene las irregularidades aisladas sobre la

dinámica del vehículo - plataforma se realizan simulaciones a cuatro veloci-

dades de 200, 250, 300, 325km/h recorriendo una distancia de 325 m, usando

un carril con irregularidades aisladas cada 18 mdel tipo eq. 6.9, que simu-

lan el defecto que se producen entre las uniones de 2 carriles consecutivos.

Los datos numéricos utilizados para modelar la irregularidad aislada están

recogidos en la tabla 6.7.


46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

−0.275

−0.27

−0.265

−0.26

−0.255

−0.25

−0.245

−0.24

(m)

(m)

Figura 6.13: Irregularidad aislada

Las tablas 6.8 a 6.11 recogen los datos estadísticos más importantes de

la fuerza de contacto v-p. En primera lugar se debe destacar que la media

permanece constante en todos los casos debido a que la simulación se realiza

a una velocidad constante, y por tanto la única aceleración que existe es la

debida a la masa del vehículo, que permanece constante. Por otro lado, como

puede observarse en las tablas, para una velocidad en concreto los valores

máximos y mínimos se acercan a medida que aumenta la calidad de la vía,

además los datos tienen una menor dispersión por lo que se mejoran las

condiciones de circulación (Los números altos indican calidades mejores de

vías). Además, para un tipo de vía en concreto, la distancia entre el máximo

y mínimo aumenta, y la dispersión entre los datos es mayor, lo que indica

que las condiciones de circulación del vehículo empeoran.

Las guras 6.14 y 6.15 muestran respectivamente las formas que toman

las curvas fuerza de contacto v-p a una velocidad de 300km/h en un carril

clase 1 y 6 respectivamente. Como puede observarse, la gran amplitud de la

fuerza de contacto se repite exactamente cada 0.22s, que es el tiempo que

tarda el vehículo en recorrer los 18 que separan las irregularidades aisladas

producidas en la unión de 2 carriles consecutivos.


Tabla 6.8: Valores estadísticos de la Fc v − p a una velocidad de 200 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.

Media (105N) 1.941 1.941 1.941 1.940 1.941

Máximo (105N) 3.501 2.839 2.629 2.384 2.007

Mínimo (105N) 0.812 1.305 1.461 1.633 1.868

Desv. Típ. (105) 0.266 0.152 0.116 0.072 0.034

Tabla 6.9: Valores estadísticos de la Fc v − p a una velocidad de 250 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.

Media (105N) 1.940 1.941 1.941 1.941 1.940

Máximo (105N) 3.625 2.881 2.645 2.389 2.001

Mínimo (105N) 0.812 1.211 1.370 1.541 1.864

Desv. Típ. (105) 0.266 0.196 0.149 0.090 3.829

Tabla 6.10: Valores estadísticos de la Fc v− p a una velocidad de 300 km/hClase de vía 1 3 4 6 Sin Irreg.

Media (105N) 1.942 1.941 1.941 1.941 1.941

Máximo (105N) 3.668 2.902 2.670 2.391 2.019

Mínimo (105N) 0.564 1.163 1.347 1.557 1.851

Desv. Típ. (105) 0.411 0.232 0.176 0.104 0.039


Media (105N) 1.942 1.941 1.941 1.941 1.941

Máximo (105N) 3.786 2.996 2.743 2.434 2.030

Mínimo (105N) 0.553 1.119 1.299 1.505 1.846

Desv. Típ. (105) 0.435 0.245 0.185 0.110 0.040


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

5

t(s)

Fc(N

)

C 1Sin irreg

Figura 6.14: Fc v-p v300km/h carril clase 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4x 10

5

t(s)

Uy(m

)

C 6Sin irreg



6.3.3. Irregularidades aleatorias

Asumiendo que las irregularidades aleatorias del carril son un proceso

estocástico, se pueden caracterizar a partir del espectro de la función de

densidad de potencia (ecuación 6.13), que corresponde a la transformada de

Fourier de la función correlación de la irregularidad de dicho carril.

Grr(Ωj) =AΩ2

2(Ω2j + Ω2

1)

Ω4j(Ω

2j + Ω2

2)(6.13)

Donde Ωj es la frecuencia en el recorrido del vehículo. Los valores A,Ω1,Ω2

son parámetros que varían en función de la calidad de la vía, y los valores

que toman para un cierto tipo de vía extraída del libro de L.Frýba [Frý96]

se pueden observar en la tabla 6.12.

Tabla 6.12: Valores típicos de los parámetros del espectro de densidad de

potenciaClase de vía 1 2 3 4 5 6

A 15.53 8.85 4.92 2.75 1.57 0.98

Ω1 23.3 23.3 23.3 23.3 23.3 23.3

Ω2 13.1 13.1 13.1 13.1 13.1 13.1

Como podemos encontrar en `Evaluación de la vulnerabilidad sísmica de

puentes ' de A. Carnicero [Car99] se puede obtener la señal inicial a partir de

espectro de potencia de dicha señal mediante la ecuación 6.14

I(x) =∑√

2 ·Grr(ωj) ·∆ωj · cos(ωjx + φj) (6.14)

Siendo φj un desfase aleatorio que afecta a cada una de las señales que

componen la curva irregularidad. Además se debe destacar en este caso en

particular que como el espectro de densidad de potencia se encuentra en

función de Ωj, que es la frecuencia circular dividido entre la velocidad de

circulación del vehículo (v), debemos realizar el cambio ω = Ω·v quedándonosla ecuación 6.15

I(x) =∑√

2 ·Grr(Ωj) ·∆ωj

v· cos(Ωjvx + φj) (6.15)


Un modelo de carril clase 4 con irregularidad aleatória se puede observar

en la gura 6.16.

45 50 55 60 65 70 75 80 85

−0.262

−0.261

−0.26

−0.259

−0.258

−0.257

−0.256

−0.255

−0.254

−0.253

−0.252

(m)

(m)

Figura 6.16: Irregularidad aleatoria

6.3.3.1. Caso de estudio

Para comprobar el efecto que tiene la irregularidad aleatoria en la dinámi-

ca entre el vehículo y la plataforma se simulan a unas velocidades de 200, 250,

300 y 325 km/h las diferentes clases de esta vía mostradas en la tabla 6.12,

recorriendo una distancia de 325m. Se utiliza un modelo de tren de 10gdl

cuyas características se muestran en la tabla 7.1 y un pantógrafo con las car-

acterísticas mostradas en la tabla7.2. Los resultados obtenidos se recogen en

forma de valores estadísticos en las tablas 6.13 a 6.16. Como puede extraerse

de las tablas examinando los datos de fuerza de contacto entre el vehículo y

la plataforma el valor medio permanece prácticamente invariable para todos

los casos, como es lógico ya que la masa del vehículo permanece constante

en todo momento. Por otro lado se debe destacar que para una misma clase

de vía, los valores máximos y mínimos se distancian entre sí a medida que

aumenta la velocidad de circulación, además la fuerza de contacto tiene una


mayor variación ya que la desviación típica de los datos va aumentando, es-

to implica que las aceleraciones verticales que sufre la caja del vehículo son

mayores, disminuyendo el confort de los pasajeros. Por último mencionar que

para una misma velocidad los valores de fuerza de contacto tienen una menor

variación a medida que las irregularidades de la vía son inferiores, es decir,

mejora la calidad de la vía ( la calidad de la vía es mejor cuanto mayor es el

número su clase ).


Media (105N) 1.941 1.940 1.941 1.940 1.941

Máximo (105N) 2.149 2.064 2.052 2.022 2.007

Mínimo (105N) 1.794 1.830 1.840 1.850 1.868

Desv. Típ. (105) 0.066 0.046 0.042 0.037 0.034


Media (105N) 1.941 1.940 1.941 1.941 1.940

Máximo (105N) 2.233 2.125 2.079 2.031 2.001

Mínimo (105N) 1.657 1.749 1.787 1.817 1.864

Desv. Típ. (105) 0.097 0.062 0.053 0.042 3.829


Media (105N) 1.941 1.941 1.941 1.941 1.941

Máximo (105N) 2.216 2.168 2.097 2.053 2.019

Mínimo (105N) 1.663 1.757 1.782 1.823 1.851

Desv. Típ. (105) 0.106 0.068 0.057 0.046 0.039

Las guras 6.17 y 6.18 muestran respectivamente las formas que toman

las curvas fuerza de contacto v-p a una velocidad de 300km/h en un carril

clase 1 y 6 respectivamente. Como puede observarse, la respuesta de la curva



Media (105N) 1.941 1.941 1.941 1.940 1.941

Máximo (105N) 2.352 2.231 2.153 2.096 2.030

Mínimo (105N) 1.464 1.700 1.745 1.785 1.846

Desv. Típ. (105) 0.175 0.103 0.083 0.058 0.040

es de carácter aleatoria, debido a la irregularidad aleatoria introducida en el

carril.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3x 10

5

t(s)

Fc(N

)

C 1Sin irreg



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

2.1x 10

5

t(s)

Uy(m

)

C 6Sin irreg


6.4. Dinámica de puentes 135

6.4. DINÁMICA DE PUENTES

Dentro del estudio de la interacción dinámica entre el vehículo y la platafor-

ma es importante hacer referencia a la interacción vehículo puente como caso

en particular. Este problema ha sido abordado por gran cantidad de autores

debido a la importancia que tienen los puentes en el sistema ferroviario. De

ahí que encontremos desde estudios más simples, como el realizado en 'Linear

Dynamics of an elastic beam under moving loads' [VR00] o por M.Olsson en

'Finite element, modal co-ordinate analysis of structures subjected to mov-

ing loads'[Ols85] hasta más complejos, como los realizados por Ping Lou y

Qing-yuan Zeng [LyZ05] [Lou05].

En `Formulation of equations of motion of nite element form for vehicle-

track-bridge interaction system with two types of vehicle model '[LyZ05], Ping

Lou y Qing-yuan Zeng presentan la formulacion de una plataforma unida a

un puente y dos modelos de tren distintos, el primero es un modelo de vagón

de tren simple, un sistema masa muelle con un solo grado de libertad, y el

segundo modelo es más complejo, es un sistema masa muelle de 6 grados de

libertad. Muestran la formulación teórica de ambos modelos moviéndose a lo

largo del puente y aplican sus resultados con ejemplos numéricos (utilizando

el modelo del tren sencillo) en los que se muestra el desplazamiento de los

modelos del tren, aceleración vertical del tren, desplazamientos, aceleración y

velocidad del punto medio del puente, entre otros. En todos ellos se compara

la solución obtenida por un método de análisis modal (utilizando los primeros

tres modos) con un método por elementos nitos (utilizando 10 elementos).

En `Vertical dynamic responses of a simply supported bridge subjected to a

moving train with two-wheelset vehicles using modal analysis method ' [Lou05]

se utiliza un modelo de vagon de tren de 2 grados de libertad, y se realiza

un estudio del efecto que tiene un conjunto de vagones de tren al pasar so-

bre un puente, simulado como una viga simplemente apoyada. Se muestran

resultados del desplazamiento vertical del punto medio del puente, compara-

ndo el resultado obtenido por un método de análisis modal, frente a un fem.

También se muestran los diferentes resultados obtenidos en desplazamientos,

velocidades y aceleraciones en función del numero de modos utilizados para el

calculo, demostrando cuando es importante, o no, utilizar un numero elevado


de modos.

6.4.1. Caso de estudio

Utilizando el modelo de plataforma-puente mostrado en la sección Modelo

de puente4.4.1 , se realiza el estudio de un conjunto de 5 coches de tren

moviendose a velocidad constante v = 300km/h sobre un puente. El modelo

de tren utilizado es el de 10 gdl4.3, con los valores numéricos que se especican

en la tabla 6.2.

En un primer lugar se va ha estudiar los desplazamientos que sufre el

punto medio del puente y comprobar como afecta la masa del vehículo a la

dinámica del éste. Los valores numéricos utilizados en el modelo del puente

que se muestran a continuación son los mismos utilizados por Ping Lou en

'Vertical dynamic responses of a simply supported bridge subjected to a

moving rain with two-wheelset vehicles using modal analysis method'[Lou05].

Ep = 2.943 · 1010Pa

Ip = 8.72m4

m = 3.6 · 104kg/m

La tabla 6.17 muestra los resultados estadísticos más importantes que se

pueden extraer de la simulación, mientras que la respuesta dinámica del punto

medio del puente queda recogida en la gura 6.19. Esta gráca nos indica el

lugar que ocupa el punto medio del vano mientras los 5 vehículos se desplazan

por encima del puente, pudiendo observar que las mayores oscilaciones en el

puente se producen cuando están pasando los vehículos intermedios.

Tabla 6.17: Valores estadísticos del desplazamiento vertical del punto medio

del puente (v=300km/h)Parametro Valor (m)

Minimo −1.489 · 10−2

Máximo −1.438 · 10−2

Media −1.469 · 10−2

Rango 5.11 · 10−4


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.0149

−0.0148

−0.0147

−0.0146

−0.0145

−0.0144

−0.0143

t(s)

Uy(

m)

Uy puente

Figura 6.19: Desplazamiento vertical del punto medio del puente a lo largo

del tiempo.

Para comprobar el efecto del vehículo utilizado, se aumentan las masas

y las rigideces del tren a los valores mostrados a continuación, y se repite la

simulación para poder observar el efecto que tiene sobre el puente.

mc = 5.8 · 104kg

k1 = 2 · 1.41 · 105

k2 = 2 · 1.26 · 106

k3 = 5 · 8 · 109

La gráca 6.20 muestra los desplazamientos del punto medio del puente

obtenidos con la nueva conguración de masas y rigideces, como podemos

observar, aumentan en término medio los desplazamientos del punto medio

del puente, como parece lógico, ya que la masa del tren ha sido aumenta-

da. Para destacar los valores numéricos la tabla 6.18 recoge los datos más

relevantes.

Si observamos ambas grácas juntas, como muestra la gura 6.21, se

debe resaltar que el aumento de masa no solo induce una mayor echa en el

puente, como es lógico ya que la fuerza que sufre el puente es mayor debido

a este aumento de masa, sino que también amplia las oscilaciones que en


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.0165

−0.016

−0.0155

−0.015

−0.0145

−0.014

−0.0135

t(s)

Uy(

m)

Uy puente

Figura 6.20: Desplazamiento vertical del punto medio del puente con el mod-

elo de masas modiciado a lo largo del tiempo (v=300km/h)


del puente (Masa aumentada,v=300km/h)Parametro Valor (m)

Minimo −1.601 · 10−2

Máximo −1.407 · 10−2

Media −1.526 · 10−2

Rango 19.37 · 10−4

él se producen. Se ha de hacer mención a que las oscilaciones del puente se

producen en el mismo instante de tiempo, independientemente de el modelo

utilizado en la simulación.

Por último, y para validar los valores obtenidos, se ha de tener en cuenta

que los resultados obtenidos por Ping Lou en `Vertical dynamic responses of a

simply supported bridge subjected to a moving train with two-wheelset vehicles

using modal analysis method ' [Lou05] se realizan con un modelo de tren

parecido, pero no igual al utilizado en la simulación. No obstante, se realiza

una simulación utilizando los mismos valores de simulación, mostrando los

resultados en la tabla 6.19 y comparándolos con los datos obtenidos por Ping

Lou[Lou05]. Hay que tener en cuenta que como el desplazamiento se cuenta


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.0165

−0.016

−0.0155

−0.015

−0.0145

−0.014

−0.0135

t(s)

Uy(

m)

Modelo normalMod. masa aumentada

Figura 6.21: Comparación de desplazamientos verticales del punto medio del

puente


del puente por Ping Lou[Lou05]Parametro Valor PL (m) Valor FEM (m)

Minimo −14 · 10−4 −12.6 · 10−4

Máximo 0 0

Rango 14 · 10−4 12.59 · 10−4

a partir de la echa estática del puente, el valor máximo que ocupa el punto

medio del vano es cero.

Los desplazamientos verticales obtenidos en el punto medio del puente en

esta última simulación se muestran en la gura 6.22. Los valores numéricos

en este caso están recogidos en la tabla 6.20.

En este caso el rango de variación de los valores es del mismo orden de

magnitud que el obtenido por Ping Lou, y un posible motivo de que el valor

no sea exactamente el mismo es que el modelo de tren utilizado por Ping

Lou[Lou05], que consta de únicamente dos grados de libertad, formado por

el cuerpo del tren y dos elementos masa muelle que simulan la suspensión,

mientras que el modelo utilizado en las simulaciones consta de 10 g.d.l. y

cada tren tiene modelada cuatro ruedas, no dos.


0 1 2 3 4 5−0.0158

−0.0156

−0.0154

−0.0152

−0.015

−0.0148

−0.0146

−0.0144

−0.0142

t(s)

Uy(

m)

Uy puente

Figura 6.22: Desplazamiento vertical del punto medio del puente con el mod-

elo de masas modiciado a lo largo del tiempo (v=108km/h)


del puente (Masa aumentada,v=108km/h)Parametro Valor (m)

Minimo −1.572 · 10−2

Máximo −1.446 · 10−2

Media −1.528 · 10−2

Rango 12.59 · 10−4

Capítulo 7

SIMULACIÓN DE LA


PANTÓGRAFO - VEHÍCULO -

PLATAFORMA

141

142

Las locomotoras eléctricas toman la tensión necesaria para su funcionamien-

to del contacto que se realiza en la parte superior entre el pantógrafo y la

catenaria. De ahí que la interacción dinámica entre estos dos cuerpos ten-

ga gran importancia, sobre todo para trenes de alta velocidad. Hay estudios

dirigidos a modelar y ver el comportamiento de la dinámica del pantógrafo

([SW91],[Vin83]), la dinámica de la catenaria ([Hob77]) y la dinámica del

conjunto catenaria-pantógrafo ([LN86],[MH86]). Recientemente se han desar-

rollado modelos más complejos del conjunto catenaria-pantógrafo ([LD96]),

sin embargo, estos estudios no tienen en cuenta la vibración que transmite

la locomotora al pantógrafo. De hecho, la parte inferior del pantógrafo se

encuentra jada en el techo de la locomotora, por lo que las vibraciones de la

locomotora se transmiten directamente al pantógrafo. Además la respuesta

dinámica del techo de la locomotora también se ve inuida por la excitación

que le produce la dinámica del conjunto catenaria-pantógrafo. Cuando el

raíl tiene irregularidades, como es usual en el caso de plataformas reales, o

el vehículo pasa por viaductos las vibraciones en la locomotora pueden ser

elevadas, en consecuencia, las vibraciones que se producen en la base del

pantógrafo también. Este tipo de vibraciones puede modicar la dinámica

del contacto entre catenaria y pantógrafo. En este documento se muestra el

modelado del conjunto (ejemplos en guras 7.1 y 7.2) catenaria - pantógrafo -

vehículo - plataforma (c-p-v-p) y se estudian las mejoras obtenidas al utilizar

un modelo más complejo frente a un modelo de catenaria - pantógrafo (c-p).

Se va ha estudiar la diferencia producida en la fuerza de contacto entre

catenaria-pantógrafo utilizado un modelo c-p exclusivamente (ver gura 7.3)

frente a un modelo completo de c-p-v-p (ver gura 7.4) en una serie de

situaciones especícas comentadas a continuación. En estas simulaciones se

utilizara un modelo de tren de 10gdl con las características de la tabla 7.1

junto a un modelo de pantógrafo de 3gdl con las características de la tabla

7.2.

143

CATENARIA

PANTÓGRAFO

VEHÍCULO

PLATAFORMA

Figura 7.1: Catenaria - Pantógrafo - Vehículo - Plataforma

Tabla 7.1: Valores numéricos utilizados en el modelo de tren AVE 1031 2 3

m (kg) 350 0 0

c (Ns/m) 6.7 · 105 0 0.4

k (N/m) 8 · 109 0.3 · 106 4.4 · 106

mb (kg) 5.84 · 104

Ib 1 · 10−3

mc (kg) 6.19 · 104

Ic 1 · 10−3

144

CATENARIA

PANTÓGRAFO

VEHÍCULO

PLATAFORMA

Figura 7.2: Catenaria - Pantógrafo - Vehículo - Plataforma

Tabla 7.2: Valores numéricos utilizados en el modelo de pantógrafo DSA-380E1 2 3

m (kg) 6.6 5.8 5.8

c (Ns/m) 70 70 70

k (N/m) 9.4 · 103 14.1 · 103 0.08

F (N/m) 0 0 157.3

145

60 70 80 90 100 110 120 1300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 7.3: Modelo catenaria-pantógrafo

70 80 90 100 110 120 130

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 7.4: Modelo catenaria-pantógrafo-vehículo-plataforma

7.1. Inuencia de la irregularidades en la respuesta del sistema 146

7.1. INFLUENCIA DE LAS IRREGULARIDADES

DEL CARRIL EN LA RESPUESTA DEL

SISTEMA

En este apartado se estudia la inuencia de dos tipos de irregularidades,

aislada y aleatoria (ver sección 6.3), sobre la dinámica del conjunto c-p-v-p.

7.1.1. Irregularidades Aisladas

En este caso se estudia el efecto que tiene un tipo de irregularidad aislada

en el carril sobre el vehículo y sobre la interacción entre catenaria y pantó-

grafo. Para ello se realizan diversas simulaciones a 200, 250, 300 y 325 km/h

sobre un carril con una irregularidad aislada producida cada 18 m, que es la

distancia típica de un carril de tren. La irregularidad esta generada gracias

a la ecuación 6.9 y utilizando los valores numéricos mostrados en la tabla

6.7. El vehículo recorre una distancia de 325 m equivalente a 5 vanos de la

catenaria de AVE utilizada. Utilizando los parámetros del tren y pantógrafo

de las tablas 7.1 y 7.2 respectivamente, y una clase 6 de irregularidad, se

obtienen las soluciones mostradas en las guras 7.5 a 7.8 en referencia a la

fuerza de contacto c-p.

0 1 2 3 4 5 680

100

120

140

160

180

200

220

240

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6−15

−10

−5

0

5

10

15

t(s)

%

(b) Diferencia

Figura 7.5: F.c. c-p a velocidad de 200 km/h


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

t(s)

%

(b) Diferencia


Como se extrae de estas guras las curvas obtenidas no son iguales, lle-

gando a tener errores puntuales del orden del 10 %, pero los estadísticos

principales no varían sustancialmente a los obtenidos utilizando un mode-

lo c-p (ver tabla 5.3). La tabla 7.3 recoge el valor numérico que toman los

estadísticos principales en la simulación.

Tabla 7.3: Valores estadísticos de la Fc c− p

Velocidad (km/h) 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h

Media (N) 156.9 157 156.7 156.1

Máximo (N) 220.6 243.7 249.4 291.8

Mínimo (N) 97.58 91.07 64.31 57.82

Desv. Típ. (N) 23.77 25.72 32.1 41.63

Por otro lado, también es interesante ver los desplazamientos obtenidos

en el vehículo y en el pantógrafo. En primer lugar se debe mencionar que las

curvas mostradas corresponden a la simulación realizada a una velocidad de

300km/h.

La primera gura 7.9 muestra la comparación entre los desplazamientos ver-

ticales que se producen en la caja del vehículo en un carril con una irreg-

ularidad aislada clase 1 y 6 respectivamente. Como puede observarse, los

desplazamientos son del mismo orden de magnitud, siendo sensiblemente su-

periores los desplazamientos en el caso de irregularidades mayores (clase 1).


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

t(s)

%

(b) Diferencia


Por otro lado se recoge en la gura 7.10 el valor que toman los estadísticos

principales en la curva desplazamiento vertical del vehículo en función de la

velocidad y de la clase de irregularidad utilizada. Como se extrae de las grá-

cas, la tendencia es que los valores máximos y mínimos del desplazamiento

vertical de la caja del vehículo son mucho menores cuanto mejor es la clase

de vía, para cada una de las velocidades.

Sin embargo es importante destacar que estos desplazamientos en la caja

del vehículo no son los sucientemente grandes como para afectar en gran

medida a los desplazamientos verticales del pantógrafo. Esto es debido al

amortiguamiento del pantógrafo en su unión con la caja del vehículo. Los

desplazamientos verticales del nodo de contacto en un carril con una irregu-

laridad aislada clase 1 y 6 pueden observarse superpuestos en la gura 7.11.

Por último destacar que las medias frecuencias que producen las irreg-

ularidades en el carril son las que mas afectan a la respuesta del conjunto

c-p ya que las altas frecuencias son ltradas por los amortiguamientos del

pantógrafo, como puede observarse en la gura 7.12, donde se representan

simultáneamente los desplazamientos verticales de los tres nodos del pantó-

grafo.

Se puede concluir en este apartado que aunque las irregularidades aisladas

en el carril afectan de una forma más que notable en los desplazamientos pro-

ducidos en la caja de pasajeros, la amortiguación del pantógrafo es suciente


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450

100

150

200

250

300

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15

−10

−5

0

5

10

15

t(s)

%

(b) Diferencia


para que su inuencia no se haga notar en más mucho más de un 10 % en la

dinámica de contacto catenaria - pantógrafo. Sin embargo, añadiendo estos

resultados a los obtenidos en el capítulo 6, estas irregularidades producen

grandes fuerzas de contacto v-p, que pueden deteriorar el material rodante,

y desplazamientos en la caja del vehículo que producen vibraciones durante

el trayecto, disminuyendo el confort de los pasajeros.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

Figura 7.9: Despalzamiento vertical en la caja del vehículo


200 220 240 260 280 300 320 3400

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(a) Máximo

200 220 240 260 280 300 320 340−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(b) Mínimo

200 220 240 260 280 300 320 3401

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

−4

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(c) Desviación Típica

Figura 7.10: Estadísticos principales de las curvas desplazamiento vertical del

vehículo


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

t(s)

%

(b) Diferencia

Figura 7.11: Despalzamiento vertical del pantógrafo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

t(s)

Uy(m

)

N 1N 2N 3

Figura 7.12: Despalzamiento vertical de los nodos del pantógrafo a v300 km/h


7.1.2. Irregularidades Aleatorias

En este caso se estudia el efecto que tiene un tipo de irregularidad aleato-

ria en el carril sobre el vehículo y sobre la interacción entre catenaria y

pantógrafo. Para ello se realizan varias simulaciones a 200, 250, 300 y 325

km/h sobre un carril con una irregularidad aleatoria obtenida con los valores

de la tabla 6.12 sobre una distancia de 325 m equivalente a 5 vanos de la cate-

naria de AVE utilizada. Utilizando los parámetros del tren y pantógrafo de

las tablas 7.1 y 7.2 respectivamente además de una clase 6 de irregularidad,

se obtienen las soluciones mostradas en las guras 7.13 a 7.16 en referencia

a la fuerza de contacto c-p.

0 1 2 3 4 5 680

100

120

140

160

180

200

220

240

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6−15

−10

−5

0

5

10

15

t(s)

%

(b) Diferencia


Como se extrae de las guras, la irregularidad en el carril afecta en mayor

medida cuanto mayor es la velocidad de desplazamiento del vehículo. Como se

puede ver en la tabla 7.4, aunque las diferencias puntuales pueden toman val-

ores superiores al 10 %, los estadísticos principales no varían sustancialemte

a los obtenidos utilizando un modelo c-p (ver tabla 5.3).

Además es interesante también ver los desplazamientos obtenidos en el

vehículo y en el pantógrafo. Se debe resaltar que las curvas mostradas cor-

responden a la simulación obtenida a una velocidad de 300km/h. En primer

lugar la gura 7.17 muestra los desplazamientos verticales que se producen en

la caja del vehículo para un carril clase 1 y 6 respectivamente, como puede

observarse, los desplazamientos son del mismo orden de magnitud, siendo


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

t(s)

%

(b) Diferencia


Tabla 7.4: Valores estadísticos de la Fc c− p

Velocidad (km/h) 200km/h 250km/h 300km/h 325km/h

Media (N) 156.9 157 156.7 156.1

Máximo (N) 220.2 243.8 249 292

Mínimo (N) 97.65 90.95 64.51 57.4

Desv. Típ. (N) 23.71 25.71 32.05 41.6

superiores los desplazamientos en el caso de peor calidad de la vía (clase 1).

Además, la gura 7.18 recoge los estadísticos principales de todas las curvas

desplazamiento vertical obtenidas en la caja de pasajeros. Se debe destacar

que, a diferencia del caso de irregularidades aisladas, las curvas de máximos

y mínimos no sigue una tendencia clara. Esto es debido principalmente a que

en este caso la irregularidad en la vía es de carácter aleatorio, sin embargo, se

debe prestar una atención especial a la gráca de la desviación típica de los

datos, que claramente indica que la variación de estos es notablemente inferi-

or en los casos de mejor calidad de carril, lo que nos indica que la variación de

desplazamientos verticales obtenida en la caja del vehículo es mucho menor

en los casos de mejor calidad del carril.

Sin embargo, igual que ocurría en el caso de irregularidad aislada, la

clase de vía no afecta en gran medida a los desplazamientos verticales del

pantógrafo, como puede observarse en la gura 7.19, donde se muestran su-


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 460

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

t(s)

%(b) Diferencia


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450

100

150

200

250

300

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15

−10

−5

0

5

10

15

t(s)

%

(b) Diferencia


perpuestos los desplazamientos verticales del nodo de contacto a la misma

velocidad en un carril clase 1 y 6.

Por útimo destacar que las medias frecuencias de las irregularidades del

carril son las que afectan en mayor medida a la respuesta del conjunto c-p

ya que las altas frecuencias son ltradas por los amortiguamientos del pantó-

grafo, como se puede ver en la gura 7.20, donde se representan simultánea-

mente los desplazamientos verticales de los tres nodos del pantógrafo utilizado

en la simulación a una velocidad de 300 km/h

Se puede concluir, igual que en el apartado anterior, que aunque la calidad

del carril afecta de una forma notable en los desplazamientos producidos


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

Figura 7.17: Despalzamiento vertical en la caja del vehículo

en la caja de pasajeros, la amortiguación del pantógrafo es suciente para

que la inuencia de pequeñas irregularidades aleatorias no se haga notar en

mucho más de un 10 % en la dinámica de contacto catenaria - pantógrafo.

Sin embargo, como se vio en el capítulo 6, la calidad de la vía afecta a la

fuerza de contacto entre vehículo y plataforma, por lo que bajas calidades de

carril pueden producir un deterioro prematuro del material rodante además

de, en el caso de transporte de pasajeros, disminuir el confort del viaje.


200 220 240 260 280 300 320 3400

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(a) Máximo

200 220 240 260 280 300 320 340−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(b) Mínimo

200 220 240 260 280 300 320 3400

0.5

1

1.5x 10

−3

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(c) Desviación Típica

Figura 7.18: Estadísticos principales de las curvas desplazamiento vertical del

vehículo


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

t(s)

Uy(m

)

C 1C 6

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4

−2

0

2

4

6

8

t(s)

%

(b) Diferencia

Figura 7.19: Despalzamiento vertical del pantógrafo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

t(s)

Uy(m

)

N 1N 2N 3

Figura 7.20: Despalzamiento vertical de los nodos del pantógrafo a v300 km/h

7.2. Inuencia de la plataforma en la respuesta del sistema 159

7.2. INFLUENCIA DE LA PLATAFORMA EN

LA RESPUESTA DINÁMICA DEL SIS-

TEMA

En este apartado se estudia el efecto que puede llegar a causar los cambios

de rigidez de la plataforma sobre el conjunto catenaria-pantógrafo, para ello

se estudiará el comportamiento del conjunto c-p-v-p cuando el vehículo pasa

de una plataforma con una rigidez determinada a otra diferente. Se debe

mencionar que la variación en la rigidez de la plataforma no debería cambiar

sustancialmente la dinámica del contacto c-p por diversos motivos:

La suspensión del tren es la encargada de amortiguar los cambios br-

uscos de rigidez de la vía, para que no afecte al conjunto c-p.

En la plataforma, los apoyos y elementos inferiores solo representan

entre un 30 %y un 40 % de la rigidez vertical total, mientras que el

resto de rigidez es aportada por el carril de la vía, que no cambia de

rigidez.

En la tabla 7.5 muestra los valores medios de las plataformas de tren, los

cuales serán utilizados en las simulaciones. Estos datos han sido extraídos

del libro `Dinámica vertical de la vía' [May08].

Tabla 7.5: Valores medios de rigideces en plataformas de trenTipo de plataforma N/mm

Arcillosa 16.5 · 106

Grava 40.5 · 106

Roca 35.5 · 106

Se realiza un estudio para cuatro velocidades constantes del vehículo a

200, 250, 300 y 325km/h respectivamente, utilizando para los cambios de

rigidez los valores de plataforma de la tabla 7.5 2 a 2. Por eso en las grácas

7.21 a 7.24 se organizan los resultados en función del cambio de platafor-

ma que se realiza en cada caso. Como era de esperar los resultados no varían


sustancialmente de ninguno de los casos, debido a los motivos expuestos ante-

riormente, por lo que con esta simulación se conrma que el valor del cambio

de rigidez en la plataforma no es un factor determinante en la respuesta

dinámica de la catenaria con el pantógrafo.

200 220 240 260 280 300 320 340156.2

156.4

156.6

156.8

157

157.2

157.4

157.6

157.8

Vel

med

A−GA−RG−AG−RR−AR−G

Figura 7.21: Comparación del valor medio.

200 220 240 260 280 300 320 340215

220

225

230

235

240

245

250

255

260

Vel

max


Figura 7.22: Comparación del valor máximo.


200 220 240 260 280 300 320 34065

70

75

80

85

90

95

100

Vel

min


Figura 7.23: Comparación del valor mínimo.

200 220 240 260 280 300 320 34024

26

28

30

32

34

36

38

40

Vel

std


Figura 7.24: Comparación de la desviación típica.

7.3. Inuencia de puentes cortos en la respuesta del sistema 162

7.3. INFLUENCIA DE PUENTES CORTOS

EN LA RESPUESTA DINÁMICA DEL

SISTEMA

En este apartado se estudia las distorsiones producidas en la respuesta

dinámica del sistema al pasar el vehículo por puentes de los denominados

'cortos.

Para ello se utilizará un modelo c-p-v-p en el que se incluirá un 'puente

corto en la plataforma y se contrastará la respuesta con la obtenida en un

modelo c-p en el que no se puede estudiar este efecto.

Con el término `puentes cortos' se hace referencia a aquellos puentes de

distancia inferior o igual a 30 my solo se modican las características de masa,

viscosidad y rigidez. Estos modelos de puentes mantienen sus caraterísticas

geométricas.

Se simula el paso por cuatro puentes distintos a cuatro velocidades de

circulación, 200, 250,300 y 325 km/h respectivamente. La tabla 7.6 muestra

las características de los 'puentes cortos utilizados en las simulaciones, datos

extraídos de `Dynamic analysis of structures under high speed train loads'

[GA03] . Las tablas 7.1 y 7.2 muestran las características del tren y pantógrafo

utilizados respectivamente.

Tabla 7.6: Características de los puentes cortosLongitud (m) E (Pa) A(m2) I (m4) ρ (kg/m3)

5 2.943 · 1010 0.8974 0.0154 7800

7.5 2.943 · 1010 1.1538 0.0565 7800

10 2.943 · 1010 1.2821 0.0881 7800

20 2.943 · 1010 2.5641 1.7214 7800

En primer lugar se desea ver el efecto que tiene el paso del vehículo por

los denominados 'puentes cortos en la respuesta de la dinámica catenaria

pantógrafo, ya que, como se ha comentado en otras ocasiones, es necesario que

el contacto sea permanente en todo momento. En las tablas 7.7 a 7.10 quedan

recogidos los datos de la diferencia en la respuesta entre usar un modelo c-p-

v-p frente a uno c-p. En estas tablas se indica, en porcentaje, cuánto superior


y menor son los valores máximo y mínimos obtenidos con el modelo c-p-v-p

al pasar por el puente con respecto al c-p. Además se muestra la desviación

típica de la diferencia de ambas soluciones y el rango total de variación en

% de la diferencia. Se observa que la diferencia llega hasta casi un 10 % en el

caso en el que vehículo se desplaza una velocidad de 200km/h. Esta diferencia

es mas relevante a medida que el puente simulado tiene mayor longitud, y

es más importante a bajas velocidades de circulación, como se extrae de

las tablas. Esto es debido principalmente a que a menores velocidades de

circulación el vehículo se ve más afectado por la vibración del puente, ya que

está más tiempo sobre él, mientras que a mayores circulaciones o menores

longitudes del puente, el vehículo se ve menos afectado por las vibraciones

que este produce.

Tabla 7.7: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente corto

v=200km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20

Máximo 0.349 % 0.955 % 2.799 % 3.98 %

Mínimo −0.312 % −1.1379 % −2.987 % −5.467 %

Des. Típica 0.105 0.227 0.563 1.128

Rango 0.662 % 2.0926 % 5.787 % 9.447 %


v=250km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20

Máximo 0.98437 % 1.304 % 2.547 % 3.298 %

Mínimo −0.596 % −0.754 % −1.923 % −3.439 %

Des. Típica 0.361 0.447 0.919 1.473

Rango 1.580 % 2.058 % 4.4713 % 6.7377 %



v=300km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20

Máximo 1.105 % 1.227 % 1.9679 % 3.2181 %

Mínimo −1.819 % −1.146 % −2.044 % −3.143 %

Des. Típica 0.405 0.324 0.531 0.982

Rango 2.924 % 2.373 % 4.0127 % 6.362 %


v=325km/hLongitud (m) 5 7.5 10 20

Máximo 0.738 % 0.7453 % 1.262 % 3.2837 %

Mínimo −0.714 % −1.006 % −0.644 % −2.861 %

Des. Típica 0.162 0.1588 0.379 1.006

Rango 1.4529 % 1.751 % 1.905 % 6.144 %

7.4. Inuencia de puentes largos en la respuesta del sistema 165

7.4. INFLUENCIA DE PUENTES LARGOS

EN LA RESPUESTA DINÁMICA DEL

SISTEMA

En este apartado se estudia el efecto que produce la circulación pon

puentes largos en la respuesta dinámica del sistema. Como se ha comentado

en el apartado de puentes 4.4.1, no se puede hacer un estudio paramétrico

para diferentes tipos de puentes puesto que cada uno tiene unas característi-

cas geométricas y propiedades, por lo que se utilizaran dos modelos diferentes

de puentes para obtener los resultados

7.4.1. Puente de arco

En este apartado se estudia el efecto del viaducto sobre el río Ulla (ver

gura 7.25), en la línea de Alta velocidad Ourense-Santiago en la respuesta

dinámica del sistema c-p-v-p.

El modelo de puente con arco utilizado se muestra en la gura 7.26. Este

puente tiene una longitud de 630 m y una altura máxima de 117 m, por lo

que la simulación c-p-v-p está compuesta por 10 vanos de catenaria de AVE

que tiene una longitud de 65 m por vano. Sus características constructivas

se muestran en la tabla 7.11, y las frecuencias de vibración de los primeros

cuatro modos en la tabla 7.12. Además, se muestra en la gura 7.27 los

primeros cuatro modos de vibración de este puente. Se debe mencionar que

los desplazamientos de los modos han sido aumentados para que puedan ser

observados en las guras.

Tabla 7.11: Características del puente de arcoElemento E (Pa) A(m2) I (m4) ρ (kg/m3)

Cubierta 2.943 · 1010 11.25 25.91 2300

Pilares Exteriores 2.943 · 1010 2 2.5 2300

Pilares Interiores 2.943 · 1010 1 1.5 2300

Arco 2.943 · 1010 7.76 14.87 2300


Figura 7.25: Viaducto sobre el río Ulla en la línea de Alta Velocidad Ourense

- Santiago

De igual manera que en el caso de puente corto, se utilizan los mismos

modelos de tren, pantógrafo y catenaria para realizar las simulaciones a

lo largo del puente a cinco velocidades de circulación diferentes. La tabla

7.14 muestra los valores estadísticos más importantes que toma la curva de

la fuerza de contacto c-p, mientras que la tabla 7.13 recoge la diferencias

obtenidas en la fuerza de contacto c-p en la simulación con y sin puente.

Como se puede observar, el aumento de la velocidad de circulación hace

que la diferencia en la fuerza de contacto entre c-p utilizando un modelo

completo de c-p-v-p con respecto a utilizar un modelo exclusivo de c-p sea

mayor.


0 100 200 300 400 500 600

−100

−80

−60

−40

−20

0

Figura 7.26: Modelo Puente de Arco

Tabla 7.12: Frecuencias de vibraciónModo Frecuencia (Hz)

1o 0.9501

2o 1.547

3o 1.595

4o 2.675

Tabla 7.13: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en puente de arcoVelocidad (km/h) 200 250 300 325

Máximo 8.464 % 118.1 % 8.493 % 14.52 %

Mínimo −6.869 % −56.37 % −6.595 % −7.275 %

Des. Típica 1.012 8.098 1.836 1.908

Rango 15.33 % 174.5 % 15.09 % 21.79 %


−100 0 100 200 300 400 500 600 700−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

(a) Primer Modo

−100 0 100 200 300 400 500 600 700−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

(b) Segundo Modo

0 100 200 300 400 500 600 700−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

(c) Tercer Modo

−100 0 100 200 300 400 500 600 700−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

(d) Cuarto Modo

Figura 7.27: Modos de vibración de puente de arco

Tabla 7.14: Valores estadísticos de la fuerza c-p en puente de arcoVelocidad (km/h) 200 250 300 325

Máximo (N) 212.6 257.6 246.9 268.9

Mínimo (N) 98.41 71.31 69.45 48.66

Des. Típica (N) 22.97 31.36 31.61 39.7

Media (N) 157.3 156.5 157.1 156.7


0 2 4 6 8 10 1280

100

120

140

160

180

200

220

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 2 4 6 8 10 12−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

t(s)

%

(b) Diferencia

Figura 7.28: Fuerza de contacto c-p a velocidad de 200 km/h

0 1 2 3 4 5 6 7 860

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6 7 8−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

t(s)

%

(b) Diferencia



0 1 2 3 4 5 6 7 860

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6 7 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

t(s)

%

(b) Diferencia


0 1 2 3 4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

300

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6 7 8−10

−5

0

5

10

15

t(s)

%

(b) Diferencia



7.4.2. Viaducto

En este apartado se estudia un viaducto continuo de 17 vanos sobre el

río Cabra. Este viaducto está compuesto por dos vanos extremos con una

longitud de 20 m y el resto de vanos interiores de 25 m cada uno, como se

puede observar en la gura 7.32. Las características constructivas del mismo

se muestran en la tabla 7.15

Figura 7.32: Viaducto sobre el río Cabra (Fotografía cedida por D. Ignacio

Granell)

Tabla 7.15: Características del viaductoElemento E (Pa) A(m2) I (m4) ρ (kg/m3)

Cubierta 3.65 · 109 10.22 3.352 3840

Pilares 3.35 · 1010 4.90 1.92 3500

El modelo utilizado para realizar las 4 simulaciones a velocidades de 200,

250, 300 y 325 km/h se puede observar en la gura 7.33. Las primeras cuatro

frecuencias de vibración del viaducto sobre el río Cabra se recogen en la tabla

7.16, mostrándose los respectivos modos de vibración en la gura 7.34, donde

los desplazamientos han sido aumentados para poderse ver con claridad.


50 100 150 200 250 300 350 400

−10

−8

−6

−4

−2

0

Figura 7.33: Modelo Viaducto Río Cabra

Tabla 7.16: Frecuencias de vibraciónModo Frecuencia (Hz)

1o 1.230

2o 1.264

3o 1.319

4o 1.393

En este caso se mantienen los modelos de tren, pantógrafo y catenaria

utilizados en las simulaciones. La tabla 7.18 muestra los valores estadísticos

más importantes que toma la curva de la fuerza de contacto c-p, mientras

que la tabla 7.17 recoge la diferencias obtenidas en la fuerza de contacto c-p

en la simulación con y sin puente.

Como se puede observar junto a las grácas mostradas en las guras 7.35

a 7.38, en este caso no es tan crítico el aumento de velocidad de circulación

del vehículo. Sin embargo, si que podemos encontrar algunas velocidades de

circulación para las cuales los resultados obtenidos con un modelo de c-p-v-p

dieren en gran medida de los obtenidos con un modelo c-p. Como ocurre en


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

(a) Primer Modo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

(b) Segundo Modo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

(c) Tercer Modo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

(d) Cuarto Modo

Figura 7.34: Modos de vibración del viaducto sobre el río Cabra

el caso de 250 km/h.


Tabla 7.17: Diferencia de respuesta en la fuerza c-p en viaducto sobre el río

CabraVelocidad (km/h) 200 250 300 325

Máximo 2.709 % 24.63 % 1.894 % 3.652 %

Mínimo −3.342 % −36.12 % −2.967 % −4.903 %

Des. Típica 0.7396 1.688 0.5418 0.658

Rango 6.051 % 60.75 % 4.861 % 8.555 %

Tabla 7.18: Valores estadísticos de la fuerza c-p en viaducto sobre el río CabraVelocidad (km/h) 200 250 300 325

Máximo (N) 212.9 248.9 246.8 273.8

Mínimo (N) 98.34 91.0 68.93 49.32

Des. Típica (N) 22.27 24.03 32.52 37.97

Media (N) 156.9 157.9 156.6 156.2

0 1 2 3 4 5 6 7 880

100

120

140

160

180

200

220

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6 7 8−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

t(s)

%

(b) Diferencia



0 1 2 3 4 5 680

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 1 2 3 4 5 6−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

t(s)

%

(b) Diferencia


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 560

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t(s)

%

(b) Diferencia



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

50

100

150

200

250

300

t(s)

Fc(N

)

c−p−v−pc−p

(a) Comparación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t(s)

%

(b) Diferencia


Capítulo 8

CONCLUSIONES Y LÍNEAS

FUTURAS DE

INVESTIGACIÓN

177

8.1. Conclusiones 178

8.1. Conclusiones

La utilización de un modelo de fuerzas móviles en lugar de uno de masas

móviles es admisible solo a partir de cierta velocidad de circulación,

para la cual la respuestas de ambos modelos es más semejante.

La distancia entre los soportes, velocidad de circulación y momento de

inercia del perl en las carenarías rígidas son factores importantes que

afectan a la respuesta dinámica del sistema.

Las catenarias rígidas son más convenientes para utilizar vehículos con

dos pantógrafos en el sistema de alimentación que las catenarias exi-

bles ya que no se modican las características dinámicas del conjunto

al incluir un pantógrafo más.

Las irregularidades del carril producen cambios en la fuerza de contacto

v-p y en los desplazamientos verticales del vehículo. Se debe mencionar

que aunque las irregularidades no cambian de forma notable los estadís-

ticos principales de la fuerza de contacto c-p, puntualmente se pueden

encontrar errores en torno al 10 %.

Un cambio de rigidez vertical en la la plataforma no varía sustancial-

mente la respuesta dinámica del sistema debido a que el entre el 30 %

y 40 % de la carga la soporta el rail, el cual mantiene su rigidez.

El paso de vehículos por puentes cortos afecta en mayor medida a la

respuesta del sistema cuanto más baja sea la velocidad de circulación

y mayor la longitud del puente.

El paso de vehículos por puentes largos afecta notablemente en la

respuesta dinámica del sistema. Dependiendo este efecto en mayor o

menor medida en función del puente y la velocidad de circulación.

8.2. Principales aportaciones

Las principales aportaciones de este proyecto son:

8.3. Futuras líneas de investigación 179

Desarrollo de un entorno para la simulación de problemas de catenaria

- pantógrafo - vehículo - plataforma.

Desarrollo de un entorno para la simulación de problemas de carga

móviles en vigas.

Desarrollo de un modelo de catenaria rígida.

Desarrollo de varios modelos de vehículo.

Desarrollo de varios modelos de plataforma.

Validación del modelo de carga móviles en vigas.

Estudio paramétrico del modelo de catenaria rígida.

Estudio del efecto de las irregularidades del carril en la dinámica C-P-

V-P.

Estudio de efecto de puentes y viaductos en la dinámica C-P-V-P.

8.3. Futuras líneas de investigación

Efecto del viento en la dinámica del conjunto catenaria - pantógrafo.

Desarrollar nuevos modelos de vehículos capaces de captar más el-

mente los desplazamientos producidos en régimenes de velocidades vari-

able.

Desarrollo e implementación de modelos 3D de catenarias, pantógrafos,

vehículos y plataformas.

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