UNIVERSIDAD AUTONOMA CHAPINGO DIVISIN DE CIENCIAS FORESTALES INGENIERA FORESTAL INDUSTRIAL

Chapingo, Texcoco, Edo. de Mxico, Marzo de 2011i

Esta Tesis titulada Elaboracin de un Sistema de Cmputo para disear Vigas de Madera Laminada Arqueadas fue realizada por el C. Silverio Vzquez Justo, bajo la direccin del M. C. Miguel ngel Prez Torres y asesorada por el Ing. Alfredo Zataran Tisnado y el M. C. ngel Leyva Ovalle. Ha sido revisada y aprobada por el siguiente comit revisor y Jurado Examinador, como requisito parcial para obtener el titulo de:

Chapingo, Texcoco, Edo. de Mxico, Marzo de 2011ii

AGRADECIMIENTOSDeseo agradecer profundamente a todas las personas que me apoyaron directa o indirectamente en la realizacin de sta obra. Agradezco a mis asesores: M. C. Miguel ngel Prez Torres, Ing. Alfredo Zatarain Tisnado, Dr. Leonardo Snchez Rojas, M. C. ngel Leyva Ovalle y Arq. Sergio Santacruz Aceves, por creer en el presente proyecto de tesis y por brindarme la paciencia y el apoyo necesarios para lograr culminar el presente trabajo. Agradezco a la Divisin de Ciencias Forestales, profesores, alumnos y personal que hizo mi estancia en Chapingo una experiencia formadora y de enriquecimiento que muchas veces lleg ms all de las aulas e instalaciones. Gracias a mis compaeros de generacin por crecer junto conmigo y por darme su afecto y apoyo en tantas ocasiones que parecan ser la ltima. Gracias a la vida por que nos ensea de un modo directo y profundo a cerca de lo que en verdad es importante para nosotros.

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DEDICATORIADedico sta obra a mi familia por su apoyo incondicional en mis momentos alegres y tristes. A mis padres: Mara Joaquina Justo Lzaro y Sergio Vzquez Lpez, por ayudarme hasta donde les ha sido posible para que me supere, por la formacin y principios que adquir a su lado, por su amor. A mis hermanos: Timoteo y Sergio, por ser ejemplos de superacin en mltiples aspectos; por que me han enseado que el xito slo tiene sentido cuando te hace una mejor persona, por apoyarme e impulsarme. Igualmente a mis amigos y profesores por mostrarme que las cosas se pueden hacer mejor y a veces de modo ms sencillo. A Guadalupe Montserrat por ser mi gran compaera, con quien comparto un plan de vida. A la vida por lo grandiosa que puede ser al vivirse con una profunda y sincera intencin: con libertad, confianza y entrega.

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CONTENIDORESUMEN............................................................................................................ 1 ABSTRACT........................................................................................................... 2 1. INTRODUCCIN............................................................................................... 3 2. MARCO DE REFERENCIA.................................................................................. 6 2.1 CONSTRUCCIN CON MADERA EN MXICO...............................................6 3. OBJETIVOS....................................................................................................... 9 3.1 OBJETIVO GENERAL................................................................................... 9 3.2 OBJETIVOS PARTICULARES........................................................................9 4. REVISIN BIBLIOGRFICA.............................................................................. 10 4.1 VENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCIN............10 4.2 DESVENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCIN.....12 4.3 MADERA LAMINADA ENCOLADA..............................................................13 4.3.1 Vigas laminadas............................................................................... 13 4.3.2 Ventajas de la madera laminada encolada......................................14 4.3.3 Desventajas de la madera laminada encolada.................................18 4.4 EL ARCO COMO ELEMENTO ESTRUCTURAL.............................................20 4.4.1 Partes de un arco............................................................................. 20 4.4.2 Historia del arco............................................................................... 22 4.4.2.1 Arcos y bvedas en Mesopotamia.............................................22 4.4.2.2 Arcos y bvedas en Roma.........................................................25 4.4.2.2.1 El panten de Agripa..........................................................26 4.4.2.3 Consideraciones sobre los arcos en la edad media...................29 4.4.2.4 Reglas empricas para la construccin de arcos y bvedas......32 4.4.2.4.1 Comprobacin Visual.........................................................32 4.4.2.4.2 Empleo de modelos............................................................32 4.4.2.4.3 Principios de semejanza para los arcos..............................32 4.4.3 Diferentes tipos de arcos.................................................................34 4.4.3.1 Polgono de fuerzas...................................................................34 4.4.3.2 Polgono funicular.....................................................................35 4.4.3.3 Arco funicular............................................................................38 4.4.3.4 Arco catenario...........................................................................39 4.4.3.5 Arco parablico.........................................................................43 4.4.3.6 Arco de medio punto.................................................................45 4.4.3.7 Arco ojival................................................................................. 47 4.4.4 Esfuerzos generales producidos en un arco.....................................49 4.4.4.1 Lnea funicular de un arco.........................................................50 4.4.4.2 Reaccin vertical.......................................................................52 4.4.4.3 Reaccin horizontal o coceo.....................................................53 4.4.4.4 Esfuerzo axial o normal.............................................................56 4.4.4.5 Consideraciones para el Esfuerzo Cortante y el Momento Flexionante en los arcos...........................................................58 4.4.4.5.1 Esfuerzo cortante...............................................................58 4.4.4.5.2 Momento Flexionante........................................................59 4.5 DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE LOS CLCULOS..................60 4.5.1 Mtodo del trabajo virtual................................................................60 4.5.2 Nota para los clculos considerados................................................61 v

4.5.3 Definiciones..................................................................................... 62 4.5.4 Alcance de los clculos....................................................................65 4.6 COMPENDIO DE FORMULAS PARA CALCULAR REACCIONES Y ESFUERZOS........................................................................................ 66 4.6.1 Carga vertical uniformemente repartida sobre todo el claro...........66 4.6.2 Carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...........................................................................68 4.6.3 Carga vertical sobre el cuarto central del arco................................70 4.6.4 Carga vertical concentrada sobre la corona del arco.......................73 4.6.5 Carga vertical concentrada en algn punto del arco.......................75 4.6.6 Carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco.................................................................78 4.6.7 Carga horizontal concentrada en la corona del arco........................80 4.6.8 Carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco........................................................82 4.7 CONSIDERACIONES PARA EL DISEO DE PIEZAS ESTRUCTURALES........85 4.7.1 Diseo estructural............................................................................85 4.7.1.1 Conceptos fundamentales........................................................86 4.7.2 Mtodos de diseo estructural.........................................................87 4.7.2.1 Diseo por medio de modelos...................................................87 4.7.2.2 Mtodo de los esfuerzos de trabajo o de esfuerzos permisibles o teora elstica.....................................................88 4.7.2.3 Mtodo de la resistencia o mtodo de factores de carga y de reduccin de resistencia o teora plstica...............88 4.7.2.4 Mtodos basados en el anlisis al lmite...................................88 4.7.2.5 Mtodos probabilsticos............................................................89 4.7.3 Etapa de estructuracin...................................................................89 4.7.3.1 Material a elegir........................................................................89 4.7.4 Acciones consideradas durante la vida til de la estructura............91 4.7.4.1 Acciones permanentes..............................................................91 4.7.4.1.1 Carga muerta.....................................................................91 4.7.4.2 Acciones variables....................................................................91 4.7.4.2.1 Cargas vivas......................................................................92 4.7.4.2.2 Lluvia................................................................................. 92 4.7.4.3 Acciones accidentales...............................................................92 4.7.4.3.1 Sismos............................................................................... 92 4.7.4.3.2 Vientos............................................................................... 93 4.7.5 Anlisis estructural...........................................................................93 4.7.6 Dimensionamiento...........................................................................94 4.7.7 Consideraciones para el diseo estructural de piezas de madera. . .96 4.7.8 Tipos de esfuerzos considerados para el diseo de piezas estructurales de madera.....................................................99 4.7.8.1 Resistencia a flexin.................................................................99 4.7.8.2 Resistencia a cortante............................................................101 4.7.8.3 Resistencia a carga axial........................................................102 4.7.8.4 Resistencia a compresin perpendicular a la fibra..................103 4.7.8.5 Cargas aplicadas a un ngulo con respecto a la direccin de la fibra............................................................104 5 MATERIALES Y METODOLOGA.....................................................................105 vi

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a) MATERIALES............................................................................................ 105 b) METODOLOGA........................................................................................ 105 Revisin bibliogrfica.............................................................................. 105 Secuencia de clculo a mano..................................................................105 Algoritmo................................................................................................ 105 Codificacin en lenguaje C++.................................................................112 Corroboracin de la secuencia de clculos en Excel contra los clculos en el sistema de cmputo................................................114 Validacin del sistema de cmputo.........................................................114 RESULTADOS................................................................................................ 115 6.1 INSTALACIN DEL SISTEMA...................................................................115 6.2 MANUAL DE USUARIO DEL SISTEMA DE CMPUTO PARA EL DISEO DE VIGAS DE MADERA LAMINADA ARQUEADAS................118 6.3 EJEMPLO DE CLCULO...........................................................................131 CONCLUSIONES............................................................................................ 137 RECOMENDACIONES.................................................................................... 138 BIBLIOGRAFA............................................................................................... 140

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INDICE DE CUADROSCuadro Pgina 1.Valores de K para diferentes valores de m.....................................................83 2.Valores especificados de resistencias y mdulos de elasticidad....................97 3.Factores de resistencia para madera maciza.................................................97 4.Factores de modificacin por contenido de humedad....................................97 5.Factores de modificacin por duracin de carga............................................98 6.Factores de modificacin por peralte.............................................................98 7.Factores de modificacin por clasificacin.....................................................98 8.Relaciones d/b mximas admisibles.............................................................100 9.Relaciones f/L y su influencia en la precisin de los clculo.........................112 10.Valores mximos y mnimos permitidos en el sistema de cmputo...........122

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INDICE DE FIGURASFigura 1. 2. 3. 4. 5. 6. Pgina Manual de la madera para construccin en los Estados Unidos......................7 Vista de una plantacin forestal establecida en Australia...............................7 Casa con azotea verde.................................................................................. 12 Vista de una viga de madera laminada encolada..........................................14 Estadio de Hockey en Canad cubierto con vigas de MLE............................15 Comparacin del comportamiento de una viga de acero y una viga de MLE durante un incendio.......................................................................16 7. Viga de acero y viga de madera laminada despus de un incendio de prueba.................................................................................................... 17 8. Taller de elaboracin de vigas de MLE en Espaa.........................................18 9. Instalacin de vigas de MLE para una bodega en Espaa.............................19 10. Partes componentes de un arco..................................................................20 11. Arco formado por monitores de computadora............................................21 12. Arco radial construido en la antigua Mesopotamia.....................................24 13. Bveda de ladrillo montado de la antigua Mesopotamia.............................24 14. Bveda con dovelas de la antigua Mesopotamia........................................25 15. Arco romano construido entre los aos 312-315 D.C..................................26 16. Vista frontal del Panten de Agripha...........................................................27 17. Panormica de Roma con la cpula del Panten.........................................28 18. Vista del interior de la cpula del Panten..................................................29 19. Posicin de la lnea de empujes..................................................................29 20. Contrafuerte para evitar colapso................................................................30 21. Proporciones de un hueso y una cpula conforme a clculos de Galileo....31 22. Posicin del punto crtico para arcos semicirculares...................................33 23. Distintos polgonos de fuerzas....................................................................35 24. Sistemas de fuerzas concurrentes equilibrado............................................35 25. Un cable sometido a una carga puntual......................................................36 26. Cable sometido a dos cargas puntuales......................................................36 27. Cable sometido a tres cargas puntuales.....................................................36 28. Polgono funicular de un sistema de fuerzas...............................................37 29. Curva funicular de un cable suspendido que al invertirse forma un arco....38 30. Diagrama de cuerpo libre de una curva catenaria......................................39 31. Curva catenaria........................................................................................... 40 32. Arcos catenarios empleados por Gaud en la catedral de la sagrada familia, Barcelona......................................................................41 33. Arco monumental de San Lus, Missouri......................................................41 34. Parbola y los principales elementos que la conforman.............................43 35. Similitud en las curvas de una parbola y una catenaria............................44 36. Arco parablico al que se transmite la carga a travs de montantes.........45 37. Arco parablico al que se transmite la carga a travs de tensores o tirantes.................................................................................. 45 38. Arco de medio punto o circular...................................................................45 39. Curva funicular en un arco de medio punto................................................46 40. Arco ojival................................................................................................... 47 ix

Figura

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41. Presencia del arco ojival en las puertas y torres de una catedral del siglo XVII............................................................................................ 48 42. Sistema de fuerzas actuantes sobre un arco..............................................49 43. Comparacin de tres arcos con la misma Luz pero diferente flecha...........50 44. Colapso de un arco debido al desplazamiento de su curva funicular hacia arriba............................................................................... 50 45. Colapso de un arco debido al desplazamiento de su curva funicular hacia abajo............................................................................... 51 46. Colapso de un arco cuando la lnea funicular hace tangencia en por lo menos cuatro puntos................................................................51 47. Diagrama de carga de un arco parablico biarticulado con carga uniformemente distribuida.....................................................................52 48. Arco sin fuerza aplicada.............................................................................. 53 49. Coceo en el arco al aplicar una carga sobre l............................................53 50. Refuerzos o contrafuertes de los apoyos de un arco para contrarrestar las fuerzas horizontales.....................................................54 51. Diagrama de carga de un arco con carga uniformemente distribuida sobre una seccin..................................................................55 52. Componente vertical y horizontal de la fuerza axial de un arco.................56 53. Esfuerzo axial y esfuerzo cortante en un arco............................................56 54. Esfuerzo axial de tensin............................................................................ 57 55. Esfuerzo axial de compresin.....................................................................57 56. Flexin en una viga sometida a una fuerza a la mitad de su longitud........59 57. Representacin de un arco biarticulado con sus elementos geomtricos principales..........................................................................62 58. Posicin de un punto sobre el arco y ngulo que forma..............................63 59. Diagrama de carga de un arco parablico con carga uniformemente repartida sobre todo el claro.........................................66 60. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga uniformemente repartida sobre todo el claro..........................................67 61. Diagrama de cuerpo libre de un arco parablico con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................68 62. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................68 63. Diagrama de carga de un arco parablico con carga vertical sobre el cuarto central del arco...............................................................70 64. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga vertical sobre el cuarto central del arco...............................................................70 65. Diagrama de carga de un arco parablico con carga vertical concentrada sobre la corona del arco.....................................................73 66. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga vertical concentrada sobre la corona del arco.....................................................73 67. Diagrama de carga de un arco parablico con carga vertical concentrada en algn punto del arco......................................................75 68. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga vertical concentrada en algn punto del arco......................................................75

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Figura

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69. Diagrama de carga de un arco parablico con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................78 70. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................78 71. Diagrama de carga de un arco parablico con carga horizontal concentrada en la corona del arco..........................................................80 72. Esfuerzos generados en un arco parablico con carga horizontal concentrada en la corona del arco..........................................................80 73. Diagrama de carga de un arco parablico con carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco..............82 74. Esfuerzos generados en un arco parablico carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco..............82 75. Bloque uno, Ventana Inicio........................................................................106 76. Bloque dos, Ventana Elementos del Arco..................................................107 77. Bloque tres, Ventana Cargas Horizontales................................................108 78. Bloque tres, Ventana Cargas Verticales....................................................109 79. Bloque cinco, Ventana Dimensionamiento................................................110 80. Carpeta con el Archivo ejecutable.............................................................114 81. Ventana de instalacin.............................................................................. 114 82. Informacin del usuario............................................................................. 115 83. Directorio de instalacin........................................................................... 115 84. Ventana de instalacin.............................................................................. 115 85. Busqueda del programa Arcon..................................................................116 86. Ventana Inicio que muestra indicaciones sobre el funcionamiento del programa...............................................................117 87. Pestaa Elementos del Arco......................................................................118 88. Pestaa ngulo......................................................................................... 119 89. Pestaa Fuerzas........................................................................................ 120 90. Edits donde se debe ingresar la magnitud de la luz y la flecha del arco...120 91. Cuadro o StringGrid (SG) donde se presenta la informacin del arco considerado............................................................................. 121 92. Ventana que indica los lmites permitidos de la luz y flecha del arco.......122 93. Clculo de altura y ngulo de cualquier punto..........................................122 94. Botones de acceso a otras ventanas.........................................................123 95. SG con los resultados de los clculos........................................................123 96. Reaccin vertical y horizontal calculadas..................................................124 97. Fuerzas consideradas................................................................................ 124 98. ltima pestaa de las cargas verticales que muestra un Edit adicional. . .125 99. Valores mximos y mnimos de las fuerzas producidas............................126 100. Ventana Cargas Horizontales mostrando la primera pestaa.................126 101. Valor de la altura (m) a la que se aplica la carga y de la reaccin vertical y horizontal................................................................127 102. Carga concentrada horizontalmente sobre la corona del arco................127 103. Resultados de Cargas Horizontales.........................................................128 104. SG con los Resultados de las Cargas Verticales y Horizontales...............128 105. SG con los valores mximos de las fuerzas calculadas...........................129 106. Base y la altura de la viga de madera laminada arqueada propuesta....129 xi

Figura 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113.

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Notas y definiciones................................................................................ 130 Ventana, donde se ingresa la Luz y flecha del arco................................131 Ingreso de carga sobre la mitad izquierda del arco................................132 Resultados de cargas verticales..............................................................133 Ingreso de una carga horizontal concentrada sobre la corona del arco. .133 Resultados de Cargas Horizontales.........................................................134 Resumen de las fuerzas calculadas y dimensiones recomendadas........135

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RESUMENLa Madera Laminada Encolada (MLE), consiste en unir lminas o tablas mediante un adhesivo para obtener piezas slidas de mayores dimensiones. Entre las ventajas de la MLE se puede mencionar las siguientes: Se puede obtener elementos de grandes dimensiones, limitado prcticamente por las condiciones de transporte requerido para tales piezas. Es posible cubrir claros de hasta 100 m con MLE (Binderholz, 2009). Se puede usar piezas menores de madera para elaborar piezas de mayor seccin. Formas libres. La MLE puede producirse con forma arqueada o doblada en una gran variedad de secciones. Estabilidad dimensional y mayor resistencia que la madera aserrada, debido a una distribucin ms homognea de los esfuerzos en diferentes piezas de madera, con oportunidad de eliminar nudos y otros defectos. Por otro lado, las computadoras se han vuelto una herramienta muy importante en el manejo e interpretacin de informacin. A travs de la automatizacin y simulacin de procesos se pueden reducir tiempos y costos e incrementar los rendimientos de las personas, mquinas y sistemas de trabajo. Adems, es posible analizar y predecir el comportamiento de algunos sistemas sin tener que realizar pruebas destructivas o que requieren demasiadas repeticiones o tiempo. De esta forma, en el presente trabajo, se elabor un sistema que permite el clculo de las dimensiones necesarias para que una viga de madera laminada resista las fuerzas presentes en un arco parablico biarticulado ante ocho posibles tipos de cargas, facilitando su diseo, de tal forma que se puedan hallar las soluciones ante diferentes planteamientos de manera rpida, sencilla y confiable, por personas con necesidades constructivas. Palabras clave: Madera Laminada Encolada (MLE), computadoras, dimensiones necesarias, fuerzas presentes, arco parablico biarticulado, cargas, diseo.

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Development of a Computer System for the Design of Arch with Glued Laminated Timber ABSTRACTGlued Laminated Timber (Glulam) is to unite sheets or tables using a strong adhesive for larger pieces. Among the advantages of the Glulam can include the following: You can get large items, limited practically by the transport conditions required for such parts. It is possible to cover spans up to 300 feet with Glulam (Binderholz, 2009). You can use smaller pieces of wood to develop parts of greater section.

Forms free. The glulam can occur with a curved or bent into a wide variety of sections.

Dimensional stability and greater resistance to the lumber, due to a more homogeneous of efforts in different pieces of wood, with opportunity to eliminate knots and other defects.

On the other hand, computers have become a very important tool in the management and interpretation of information. Through the automation and simulation of processes can reduce time and costs and increase the yields of the people, machines and work systems. In addition, it is possible to analyze and predict the behavior of some systems without having to carry out test destructive or require too many repetitions or time. In this way, in this study, was developed a system that allows the calculation of the dimensions necessary for a beam of laminated wood resist the forces present in an arch parabolic biarticulated to eight types of possible loads, facilitating their design, in such a way that can find solutions to different approaches to a quick, simple and reliable, by people with special needs constructive. Keywords: Glued Plywood (MLE), computers, dimensioned, forces present, biarticulated parabolic arch, loads, and design.

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1. INTRODUCCINEl progreso de la humanidad desde su estado primitivo hasta la poca actual est ntimamente asociado a la madera. En los tiempos prehistricos el hombre dependi de la madera para sobrevivir, la utiliz para construir sus refugios, armas, cocinar sus alimentos y para proporcionarse calor. La madera ha sido por largo tiempo un material adecuado para usos muy distintos debido a las caractersticas que posee. Se ha empleado como material para fabricar herramientas, aislamientos contra calor, sonido y electricidad, instrumentos musicales, artesanas, muebles, puertas, casas, puentes y elementos estructurales. Adems confiere una vistosa y agradable apariencia que se puede contrastar o proteger usando tintas, barnices, lacas y otros elementos de acabado (Fernndez y Echenique 1991). La madera resiste impactos, esfuerzos de compresin, tensin, cortante, cidos, oxidaciones agua salada y otros agentes corrosivos, es fcil de unir por medio de clavos, pegamentos, empalmes y machihembrados; por ello es que la madera se considera un elemento de gran dinamismo y valor estructural. Las debilidades que posee la madera como material biodegradable y combustible se pueden minimizar con un tratamiento retardador del fuego e impregnacin con materiales preservadores (Encinas, 2004). La madera es extremadamente verstil, es el material ms comn para construccin y elaboracin de muebles y productos derivados en prcticamente todas las latitudes, tanto en regiones con grandes superficies de bosques como en donde existen pocos rboles (Encinas, 2004). Sin embargo, una gran desventaja para su utilizacin es el deterioro y descomposicin que presenta como material biolgico, por una parte debido a3

factores biticos (organismos xilfagos: termitas, hormigas, escarabajos y hongos) y por otro lado por factores abiticos (humedad, radiacin solar, fuego), lo que limita su uso. Debido a una alta deforestacin, a una escasa reposicin del arbolado cortado, a madera obtenida de arbolado joven (plantaciones), a presiones sociales y a polticas en el manejo de los bosques, se ha reducido la disponibilidad de madera con una alta durabilidad natural. En estas circunstancias conviene utilizar madera preservada para ampliar su periodo de vida til y reducir la incidencia de ataque de organismos xilfagos, sin importar que tenga poca durabilidad natural. Aunque la preservacin de la madera implica un gasto adicional, es redituable considerando que se ahorra en posteriores reposiciones del material empleado, junto con la mano de obra requerida y las molestias provocadas. Uno de los productos que sustituye a la madera natural, que incluye ventajas en cuanto a resistencia, dimensiones, estabilidad dimensional, economa y disponibilidad es la madera laminada encolada, que permite en general construir con elementos estructurales acordes a las demandas actuales tanto en volumen como en dimensin. Adems de lo anterior, el uso de madera en la construccin requiere que el diseo estructural para vivienda y construcciones en general, sea elaborado por profesionales con gran instruccin en cuanto al comportamiento de los elementos estructurales se refiere, adems de poseer un manejo adecuado de matemticas para saber expresar y calcular las dimensiones apropiadas, por no decir ptimas, de los elementos constructivos, a travs de una serie de clculos con alto grado de tecnicidad que se deben realizar de manera repetitiva, hasta hallar las dimensiones adecuadas. Todo ello apoyado en la consulta de manuales y reglamentos de construccin en general y con madera.

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Por otro lado, se ha incrementado el uso de las computadoras a un punto en el que actualmente parece imposible realizar actividades de la vida diaria sin ellas; las computadoras se han vuelto una herramienta muy importante en el manejo de la informacin pero es la manera en que sta se presente, sintetice y haga accesible como pasa a convertirse en algo til. Es as que a travs de la automatizacin y simulacin de procesos se pueden reducir tiempos y costos e incrementar los rendimientos de las personas, mquinas y sistemas de trabajo. Adems, es posible predecir el comportamiento de los sistemas analizados sin tener que realizar pruebas destructivas. Dentro de este contexto, en el presente trabajo se plantea crear un sistema de cmputo que permita determinar las dimensiones que debe tener una viga de madera laminada arqueada para resistir las fuerzas calculadas, facilitando su diseo, de tal forma que se puedan hallar las soluciones ante diferentes planteamientos de manera rpida, sencilla y confiable, por personas sin conocimientos especializados pero con necesidades constructivas.

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2. MARCO DE REFERENCIALas construcciones con madera en Mxico se pueden considerar en dos extremos opuestos: Se es muy pobre y la alternativa de vivienda es una casa de madera, o Se es rico y es posible construir y vivir en una casa de madera.

A continuacin se abordan algunos aspectos de la construccin con madera en el pas.

2.1 CONSTRUCCIN CON MADERA EN MXICOLa madera dentro de la construccin se puede emplear de diversas maneras, ya sea como elemento estructural en forma de vigas, columnas, arcos, dinteles, paneles, marcos y armaduras; como elemento decorativo en recubrimientos, pisos, ventanas y puertas; en la fabricacin de entramados, cimbras y elementos temporales que ayuden en la fijacin de piezas permanentes. Actualmente existen sistemas constructivos a base de madera, cuya eficiencia est comprobada por experiencias nacionales y extranjeras (COMACO, 2009). Actualmente la madera ha venido cobrando fuerza en la industria de la construccin debido a que es un material renovable, capaz de ser cultivado y cosechado (Fernndez y Echenique, 1991). En este sentido, la construccin con madera en Estados Unidos y otros pases se ha visto influida por diversos factores como: cuestiones culturales, la escasez de otros elementos para la construccin, la difusin de manuales, normas y talleres para su empleo, por parte de constructores, empresas, instituciones y pblico

interesado (Figura 1) y condiciones generadas para su cultivo y aprovechamiento como materia prima (Figura 2), entre otros.

Figura 1. Manual de la madera para construccin en los Estados Unidos (Wood handbook, 1996).

Figura 2. Vista de una plantacin forestal establecida en Australia (Low et al., 2010).

En Mxico ha habido poca difusin acerca de la construccin con madera, en parte por el legado de la cultura espaola de construcciones con piedra, poca experiencia en lo relativo a la construccin con madera, prejuicios que se tienen sobre construcciones con madera, poco apoyo e investigacin por parte de instituciones relacionadas a la construccin, escaso personal tcnico capacitado as como pocos profesionistas enfocados a la construccin con madera (Fernndez y Echenique, 1991). En Mxico, un problema para la fabricacin de elementos de madera prefabricados, estructurales o de cualquier otro tipo, es el hecho de que no existe una homogeneidad en cuanto a las dimensiones de las piezas de madera. La discrepancia entre medidas reales y nominales de las piezas ofrecidas comercialmente es muy variable. En algunos casos las diferencias llegan a ser de a . El establecimiento de un sistema estndar de medidas de madera aserrada y su aceptacin tanto por productores como por usuarios es sin duda una condicin fundamental para el desarrollo adecuado de las aplicaciones estructurales de la madera (Fernndez y Echenique, 1991). Los tratamientos fungicidas, insecticidas y como proteccin contra incendios son raros y muchas veces ni se considera que existan o que sean necesarios. Adems de lo anterior, no existe uniformidad del contenido de humedad en la madera, ya que la madera estufada es ms cara y muchas veces ni productor ni consumidor desean asumir los costos. En este punto hay que sealar que el tratamiento de secado que se emplea simplemente se limita a almacenar la madera bajo techado o a la intemperie, apilndola de manera que el aire circule libremente entre las piezas (Fernndez y Echenique, 1991).

3. OBJETIVOS3.1 OBJETIVO GENERALDisear y elaborar un sistema de cmputo que permita determinar las dimensiones que debe tener una viga de madera laminada arqueada para soportar los esfuerzos planteados, considerando las especificaciones de diseo de los manuales de construccin existentes.

3.2 OBJETIVOS PARTICULARES3.2.1 Calcular las condiciones geomtricas de los elementos estructurales arqueados. 3.2.2 Calcular las reacciones y esfuerzos generados ante las condiciones geomtricas y de carga ms comunes para los elementos estructurales arqueados. 3.2.3 Investigar los factores correspondientes para los clculos de diseo en diversas condiciones de servicio de las vigas arqueadas consideradas: Espacios pblicos o privados. Tipos de cargas: carga muerta, carga viva y cargas accidentales.

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4. REVISIN BIBLIOGRFICA

4.1 VENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCINEntre las ventajas de la construccin con madera se consideran las siguientes: 1. La madera es un gran material estructural ecolgico ya que requiere menos energa para trabajarla y causa menor contaminacin de agua y aire comparada con otros materiales de construccin. La madera consume un sexto de la energa necesaria para procesar la misma unidad de peso de acero estructural (Kauffmann, 2007). 2. Debido al bajo peso que tiene la madera, se ahorra en los procesos a los que se somete y en sus costos de transporte. Una construccin de madera posee un bajo peso, en caso de un terremoto cede ante las oscilaciones pero no se derrumba y hay menos riesgos de sufrir daos debido a un colapso que en construcciones del mismo tamao hechas con acero y concreto (Kauffmann, 2007). 3. La madera es un buen material estructural ya que sus mdulos de resistencia con respecto al peso que posee son muy altos, comparada con el acero y el concreto, y adems, es ms barata (Fernndez y Echenique 1991). 4. La madera es un material aislante que ofrece un clima agradable debido a la inercia trmica que posee, ya sea que en un clima fro provea un ambiente interior ms clido o que en ambientes calurosos ofrezca ambientes interiores ms frescos. Se consume menos energa por concepto de aire acondicionado y/o calefaccin. Tambin es un excelente aislante de ondas sonoras y vibraciones (Encinas, 2004).

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5. El tiempo empleado para realizar una casa de madera es menor que el empleado en una casa del mismo tamao con sistema de construccin tradicional (Encinas, 2004). 6. Se puede hacer modificaciones o ampliaciones en la vivienda sin necesidad de demoler y causar grandes molestias a sus usuarios (COMACO, 2009). 7. Una vivienda de madera correctamente diseada puede soportar en mejores condiciones un incendio que una casa tradicional (COMACO, 2009).8. La madera es un material renovable, resultado de la captura de carbono por

parte de los rboles junto con el desprendimiento de oxgeno (Bricolaje, 2009). 9. Es posible realizar elementos prefabricados o modulares en lugares distintos para despus transportar y ensamblar en el sitio de la obra (Kauffmann, 2007). 10. Con la madera es posible realizar construcciones duraderas y con ventajas, comparadas con materiales de construccin convencionales como el acero y el concreto (Lanik, 2010). 11. Una casa de madera puede durar ms que una casa tradicional (Fernndez, 2010). 12. Finalmente, ha adquirido auge la construccin bioclimtica (Figura 3), la cual busca reducir el consumo de energa, con beneficios econmicos, ecolgicos y de confort para los usuarios, donde encaja muy bien la madera como material constructivo. Por ejemplo, las azoteas verdes que reducen el consumo de energa por calefaccin y aire acondicionado (ArquiBio, 2010).

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Figura 3. Casa con azotea verde.

4.2 DESVENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCINEntre las desventajas de la construccin con madera se consideran las siguientes: 1. Muchas veces no se da un tratamiento preservador a la madera, por lo que queda propensa al ataque de agentes xilfagos e intemperismo. Es necesaria una adecuada proteccin de la madera ya que sin ella no hay gran durabilidad de la construccin (Encinas, 2004). 2. Las dimensiones comerciales de la madera muchas veces son un problema cuando se busca tamaos mayores (Bricomarkt, 2009). 3. La madera al ser un material ortotrpico no posee los mismos mdulos de resistencia mecnica en todas las direcciones, sino que se varan con relacin a la direccin de sus fibras (Fernndez y Echenique 1991). 4. Los fabricantes de casas y/o construcciones de madera a nivel artesanal no estn en competitividad con aquellos que producen a nivel industrial (Romero, 2005).12

5. Se requiere realizar un buen diseo (ms importante que en otros materiales) para asegurar su resistencia ante diferentes condiciones de servicio, cambiantes por los factores biticos y de intemperismo (CORMA, 2007). 6. Hace falta dar un obligado mantenimiento (Fernndez, 2010).7. Muchas veces en proyectos constructivos es necesario que trabajen en

conjunto varios gremios; hay necesidad de unir a: carpintero, albail, cristalero y pintor, esto dificulta un buen acabado final (Demkoff, 2003).

4.3 MADERA LAMINADA ENCOLADASe puede hablar del principio de la madera laminada encolada (MLE), que aplicado en la primera estructura de este tipo se construy en el Saln de Reuniones del King Edward College, en Southampton, Inglaterra en 1860. Sin embargo, tuvo que transcurrir casi medio siglo ms, a principios del siglo XX, para que esta nueva tecnologa se desarrollara completamente, por medio del espritu emprendedor e innovador de Karl Friedrich Otto Hetzer, quien es el inventor oficial de la madera laminada encolada para uso estructural (Celano y Guillermo, 2002).

4.3.1 Vigas laminadas Las vigas de madera laminada son piezas de seccin transversal rectangular de ancho fijo y altura constante o variable y de eje recto o curvo, constituidos por lminas o tablas unidas en forma irreversible con un adhesivo especficamente formulado (Figura 4). No deben contener, bajo ninguna circunstancia, clavos o grapas como elementos vinculantes de las tablas. El espesor normal de las lminas vara entre 20 y 45 mm. El encolado es la vinculacin ms efectiva, no acarrea disminucin de seccin y su efectividad aumenta en algunos casos la13

resistencia nominal de las secciones. La altura de los elementos de vigas o arcos puede ser constante o variable, y su dimensin en largo est limitada solo por las posibilidades de transporte (Demkoff, 2003).

Figura 4. Vista de una viga de madera laminada encolada. La fabricacin de madera laminada es un proceso conceptualmente simple que consiste en producir elementos macizos de resistencia incrementada, constituidos por tablas de espesor reducido encoladas solidariamente de forma tal que no se pueda separar o individualizar el trabajo de cada lmina. Para ello hay que utilizar madera seca, el adhesivo adecuado, aplicar la presin correspondiente y realizar la operacin en un taller con humedad y temperatura controladas. Estas condiciones son rigurosas e independientes de las dimensiones del elemento encolado (Demkoff, 2003).

4.3.2 Ventajas de la madera laminada encolada Las vigas de MLE tienen ms ventajas que puntos en contra, debido a que se pueden elaborar con piezas de menores dimensiones y a que se puede emplear madera que no tiene que ser de la mejor calidad, a continuacin se mencionan sus puntos destacables:

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Grandes envergaduras. La MLE se caracteriza por una alta capacidad de carga y un bajo peso propio. Esta combinacin permite componentes de pequeas dimensiones y grandes envergaduras. Con MLE es posible cubrir claros de hasta 100 m (Binderholz, 2008).

Formas libres. La MLE puede producirse con combadura, arqueada o doblada en una gran variedad de secciones (figura 5). Esto proporciona una gran flexibilidad en cuanto a la forma para los arquitectos, planificadores y constructores (Kauffmann, 2007).

Figura 5. Estadio de Hockey en Canad cubierto con vigas de MLE. Alta resistencia al fuego. Se estima que uno de los mayores prejuicios que se tienen contra la madera como material adecuado para la construccin de casas, es el riesgo de incendios a los que la madera como material inflamable est expuesta (Fernndez y Echenique, 1991; Kauffmann, 2007). El acero se debilita notablemente a medida que su temperatura sobrepasa los 230 C, y conserva slo el 10% de su resistencia original al llegar a 750 C (Figura 6) (Cabrero, 2008).

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Figura 6. Comparacin del comportamiento de una viga de acero y una viga de MLE. La Lnea continua muestra la resistencia de la viga de acero y la lnea punteada la resistencia de la viga de madera durante un incendio de prueba (Cabrero, 2008). Como regla general, la madera no se quema hasta que alcanza una temperatura de 250 C aproximadamente. Una vez que comienza a quemarse, la madera se carboniza normalmente a una velocidad de 0.64 mm por minuto, en condiciones de fuego intenso. La carbonizacin aisla naturalmente la madera (la madera carbonizada es seis veces mejor aislante que la madera) por lo que se auto protege, y se ralentiza la expansin del fuego hacia el interior y eleva el nivel de temperatura que puede soportar. En un incendio de prueba de 30 minutos, solamente se pierden 19 mm de cada superficie expuesta de la viga laminada (178 mm a 533 mm) por la carbonizacin, quedando intacta la mayor parte de la seccin transversal original de la viga y permaneciendo recta, mientras que una viga de acero de 406 mm, 60 kg/m (#W16x40), se desplom despus de slo 30 minutos de exposicin al fuego (Figura 7) (AS, 2003).

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Figura 7. Viga de acero y viga de madera laminada

despus de un incendio de prueba (AS, 2003). Estabilidad dimensional. La MLE se produce con una humedad de la madera de aproximadamente el 12 %. Esto corresponde a la humedad de equilibrio a 20C y 65% de humedad relativa del aire. As, el comportamiento de contraccin e hinchazn natural de la madera se reduce al mnimo, de manera que la Viga laminada prcticamente no presenta grietas ni torsiones al montarse en condiciones de instalacin secas. En combinacin con la proteccin constructiva de la madera, la Viga laminada es un material excelente y muy estable en cuanto a dimensiones (Kauffmann, 2007). Material resistente. La Viga laminada permite grandes envergaduras y amplias formas. La fantasa no encuentra lmites. Las construcciones de viga laminada resultan especialmente indicadas para la construccin de almacenes para materiales corrosivos como fertilizantes, sal o cidos (Demkoff, 2003).

Una contribucin para la proteccin al ambiente. La MLE y las construcciones de viga laminada son excelentes almacenes para el nocivo17

gas invernadero CO Al utilizar Viga laminada, el CO almacenado durante la fase de crecimiento de un rbol se elimina de la atmsfera y se absorbe durante un largo perodo de tiempo (Kauffmann, 2007).

4.3.3 Desventajas de la madera laminada encolada 1. Se requiere de mano de obra especializada para realizar los elementos laminados encolados as tambin de maquinaria y condiciones acordes para ello: adhesivos, presin y temperatura requeridos para lograr la unin y endurecimiento de las vigas (Figuras 8 y 9) (Casado, 2004). 2. Es ms costoso un elemento de MLE que uno de madera normal debido al adhesivo que se emplea y las condiciones necesarias para su elaboracin (Romero, 2005).

Figura 8. Taller de elaboracin de vigas de MLE en Espaa (Arriaga, 2004).

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Figura 9. Instalacin de vigas de MLE para una bodega en Espaa (Arriaga, 2004).

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4.4 EL ARCO COMO ELEMENTO ESTRUCTURALUn arco es una estructura de forma curva cuya misin es soportar una carga (a veces solamente su propio peso) dejando un espacio libre o vano en su parte inferior (EG, 2009). El arco como elemento estructural ha sido utilizado por el ser humano desde sus orgenes al encontrarse en el medio natural en forma de cavernas. Posteriormente fue fabricado en piedra y barro o tabique, aprovechando su alta capacidad de carga, para la construccin de bvedas, puentes y otras edificaciones (Wikipedia, 2010).

4.4.1 Partes de un arco

Las partes componentes de un arco se presentan en la Figura 10 y se enuncian a continuacin:

Figura 10. Partes componentes de un arco (Wikipedia, 2010).

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Luz o Claro: Largo o distancia horizontal entre los apoyos del arco (Wikipedia, 2010). Clave: Es la parte ms alta de un arco, no necesariamente la parte central. Contrafuerte: Es el refuerzo en las bases o cuerpo del arco que tiene como funcin contrarrestar el esfuerzo de empuje producido por la transmisin del esfuerzo axial hacia los apoyos del arco. Extrads: Es la parte exterior o superior de la lnea del arco. Intrads: Es la parte interna o inferior de la lnea del arco. Dovelas: Un arco puede estar formado por dovelas, las cuales son piezas trapezoidales que al unir sus costados (con la base ms grande hacia afuera del arco) no requieren de cemento o elementos de unin para mantenerse en su sitio pues esto se logra por el peso y la fuerza ejercida por las piezas adyacentes. A la dovela central de un arco as constituido se le llama clave (Figura 11). Flecha: Altura del arco en su punto ms alto, medido desde el nivel de los apoyos. Imposta: Son los punto de apoyo o de arranque (bases) de un arco, que pueden o no estar al mismo nivel.

Figura 11. Arco formado por monitores de computadora (Wikipedia, 2010).

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4.4.2 Historia del arco Comienza a conformarse una ciencia enfocada al estudio de la historia de la construccin. Por lo que existen algunos tratados, monografas y tesis dispersas que abarcan diversos aspectos y periodos constructivos pero no existe una homogeneidad ni continuidad que muestre que se est trabajando en un mbito en comn; los artculos aparecen dispersos en revistas y congresos de arqueologa, historia natural, historia de la tcnica, historia del arte y de la arquitectura (Huerta, 1990). As pues, existe poca informacin respecto a los arcos como elementos constructivos, sobre todo respecto a su comportamiento estructural. Entre los estudiosos de la historia de la arquitectura se ha convertido casi en un tpico la afirmacin segn la cual el uso del arco y la bveda empez con los romanos. No fueron los romanos los inventores del arco, ni tampoco fueron los primeros en fusionarlos en bvedas.

4.4.2.1 Arcos y bvedas en Mesopotamia

Los pocos arquelogos que han estudiado este problema coinciden en afirmar que arcos y bvedas tuvieron su origen en las marismas del bajo Egipto o en Mesopotamia (Irak). El prototipo de stos lo constitua una serie de haces de juncos colocados verticalmente en el suelo, doblados hacia dentro y unidos por su extremo superior, formando, as, un techo. La superficie exterior de algunas de estas construcciones era recubierta de una capa de barro. Ese revestimiento estaba apoyado por una capa de juncos o zarzos que constituyen probablemente el resto de una etapa intermedia en la construccin de la bveda. Ms, dada la escasez de juncos (que tan slo crecan en las zonas pantanosas), y su poca durabilidad, la mayora de los albailes del Prximo Oriente acabaron por prescindir de dicha materia y pasaron a utilizar un material ms compacto y22

resistente: el adobe. Casi todos los arcos que se conservan en el Prximo Oriente estn construidos con adobes (palabra tomada del rabe al-tub). Incluso tras la aparicin del ladrillo continuaron utilizndose los adobes en la mayora de los edificios del Prximo Oriente. Se han encontrado tres clases de arcos y bvedas de adobe en excavaciones del Prximo Oriente. La primera es el arco radial el que resulta probablemente ms familiar por cuanto a su modernidad se refiere. Durante la mayor parte de la historia faranica se construyeron en Egipto arcos y bvedas radiales, de manera espordica, en tumbas y puertas monumentales. El arco y la bveda radial fueron, sin embargo, ms utilizados en Mesopotamia, en donde evolucionaron seguramente de manera independiente y ms o menos al mismo tiempo que en Egipto (Gus, 1987). El conjunto de excavaciones arqueolgicas demuestra que los arcos y las bvedas radiales fueron utilizados por doquier en el Prximo Oriente, desde el sur de Egipto hasta el oeste de Persia, y desde finales del cuarto milenio A. C. hasta bien entrado el primer milenio de nuestra Era. Sin embargo el diseo radial sufri un duro golpe, pues arco y bveda precisaban una cimbra, o ser apuntados provisionalmente, mientras se secaban (Figura 12). Como la madera escaseaba, parece ser que se utilizaba normalmente una pila de adobes secos, sin mortero, tal vez cubierta con una capa de paja, para llevar a cabo el centrado. Es de suponer que el llenar una puerta o una habitacin entera de ladrillos para retirarlos una vez que el arco o la bveda se hubieran secado, requera un tiempo y un esfuerzo considerables. El segundo mtodo de construccin de bvedas, llamado de ladrillo montado, no precisaba de centrado. Los ladrillos de las bvedas de ladrillo montado eran ms ligeros que los de las bvedas radiales, ya que eran menores y ms finos y porque se usaba ms paja en la mezcla de sta con el barro. Los ladrillos se montaban o inclinaban contra una de las paredes ltimas de la bveda.

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Se chaflanaban a a la vez hacia dentro, como los ladrillos de una bveda radial, por medio de piedras o cascos colocados bajo sus salientes externos (Gus, 1987).

Figura 12. Arco radial construido en la antigua Mesopotamia (Gus, 1987). La construccin de una bveda de ladrillo montado poda detenerse en cualquier momento y la bveda permaneca derecha sin necesidad de ser apuntalada en su interior, ya que cada arco apuntalaba al superior (Figura 13). El mortero de barro evitaba que los arcos se deslizaran, ya que se extenda entre los mismos de manera compacta.

Figura 13. Bveda de ladrillo montado de la antigua Mesopotamia (Gus, 1987).

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Si se tiene en cuenta los restos arqueolgicos se puede concluir que fue en Levante (Espaa), y no en Egipto o Mesopotamia (Irak), donde se dio el mayor avance tecnolgico en la construccin de bvedas de ladrillo montado. Fue en Levante donde se usaron por primera vez las dovelas, o ladrillos colocados en forma de cua, las cuales ahorraban el esfuerzo de la introduccin de cascos y piedras bajo los salientes de los ladrillos. Las bvedas construidas con dovelas eran sin duda ms resistentes, pues los ladrillos estaban en contacto unos con otros y el mortero se hallaba comprimido en juntas muy estrechas, teniendo mayor resistencia (Figura 14).

Figura 14. Bveda con dovelas de la antigua Mesopotamia (Gus, 1987). Los ladrillos, colocados en forma de cua, permitan que la bveda fuera ms plana; gracias a ello, no slo se obtena un arco semicircular, sino que tambin la flexibilidad de que dispona el arquitecto le permita disear un edificio con habitaciones abovedadas de diferente grosor, consiguiendo de paso que el techo, o un piso superior, se mantuviera a una altura uniforme (Gus, 1987).

4.4.2.2 Arcos y bvedas en Roma

Una gran contribucin de los romanos al progreso arquitectnico fue descubrir que resultaba ms barato construir empleando concreto junto con guijarros y cascajo comparado con las construcciones de bloques cortados y colocados en seco. Los romanos pudieron no haber inventado el concreto (quiz ese mrito corresponda a

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los cartagineses) pero fueron ciertamente los primeros en explotar sus posibilidades. Los arquitectos romanos pronto aplicaron el concreto a la construccin de arcos y bvedas. Disponan, pues, de un material adecuado a las aspiraciones de constructores de imperios (Figura 15).

Figura 15. Arco romano construido entre los aos 312-315 D.C., (Arqueologa, 2000). Las mayores bvedas romanas cubran un espacio que no fue igualado hasta llegar a los tiempos del acero en el siglo XIX D.C. Entre las principales construcciones de bvedas de los romanos se encuentra el Panten de Agripa, el cual se menciona a continuacin (Zevi, 1981).

4.4.2.2.1 El panten de Agripa Es posiblemente el monumento donde se conjuga ms perfectamente los principios arquitrabados griegos con los principios abovedados romanos. La cpula constituye la obra maestra de la arquitectura romana en cuanto a construccin de cpulas ya que es la ms grande que se conoce de la poca de los romanos y an posteriormente (Arqueologa, 2000)

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El Panten de Agripa o Panten de Roma [Il Pantheon en italiano] es un templo circular construido en Roma a comienzos del Imperio romano dedicado a todos los dioses (panten significa templo de todos los dioses). En la ciudad se le conoce popularmente como La Rotonda, de ah el nombre de la plaza en que se encuentra. Una inscripcin en el friso del prtico de entrada, atribuye la construccin del edificio a Marco Vipsanio Agripa, amigo y general del emperador Augusto, en el ao 27 A. C., (Figura 16) (Arqueologa, 2000).

Figura 16. Vista frontal del Panten de Agripha de Agripa (Wikipedia, 2010). Reconstruccin del panten de Agripa En tiempos de Adriano el edificio fue enteramente reconstruido. Su nombre no aparece en las inscripciones debido al rechazo de este emperador a que su nombre figurase en las obras llevadas a cabo bajo su mandato, muy al contrario que su predecesor Trajano. Las marcas de fbrica encontradas en los ladrillos corresponden a los aos 123125, lo que permite suponer que el templo fue inaugurado por el emperador durante su estancia en la capital entre 125 y 128. Aunque no se sabe con certeza quin fue el arquitecto, el proyecto se suele atribuir a Apolodoro de Damasco.

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Caractersticas La insercin de una amplia sala redonda adosada al prtico de un templo clsico es una innovacin en la arquitectura romana. El modelo de espacio circular cubierto por una bveda se haba utilizado por la misma poca en las grandes salas termales, pero era una novedad usarlo en un templo (Figura 17). El efecto de sorpresa al cruzar el umbral de la puerta deba ser notable (Wikipedia, 2010).

Figura 17. Panormica de Roma con la cpula del Panten de Agripa (Wikipedia, 2010). El cilindro tiene una altura igual al radio, y la altura total es igual al dimetro, por lo que se puede inscribir una esfera completa en el espacio interior. El dimetro de la cpula es de 43.44 m (150 pies), lo que la convierte en la mayor cpula de fbrica de la historia (Figura 18). La cpula de la Baslica de San Pedro fue construida un poco ms pequea por respeto a sta (Wikipedia, 2010).

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Figura 18. Vista del interior de la cpula del Panten de Agripa (Wikipedia, 2010).

4.4.2.3 Consideraciones sobre los arcos en la edad media

En 1846, Barlow present a la Institution of Civil Engineers un ingenioso experimento que permita mostrar que la lnea de empujes puede ocupar distintas posiciones dentro de un arco (Figura 19). Las juntas entre las seis dovelas que forman el modelo de arco estn formadas por cuatro tablillas de madera sueltas. Se retiraron tres de las cuatro piezas en cada junta en diferentes configuraciones correspondientes a distintas lneas de empuje que, de esta forma, se hacan fsicamente visibles.

Figura 19. Posicin de la lnea de empujes (Huerta, 1990). La lnea de empujes o funicular de una estructura permite conocer su grado de estabilidad al giro o por deslizamiento, as como su estado tensional. Para las

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bvedas y arcos puede existir un nmero infinito de lneas de empujes pertenecientes a la misma familia de curvas. En estas condiciones, la lnea de empujes real, es decir la que se obtendra a partir del estado real de tensiones en el interior de la estructura siguiendo la familia de corte elegida, no puede deducirse de consideraciones puramente estticas. Esta indeterminacin de la lnea de empujes fue causa de gran preocupacin entre los ingenieros en los aos anteriores a la aparicin de la teora elstica y se realizaron numerosos intentos para fijar su posicin o al menos, establecer su intervalo posible de variacin dentro del arco (Huerta, 1990). En la prctica, los constructores ponan pesos sobre los contrafuertes para que los empujes se aproximen ms a la vertical. ste es el procedimiento habitual seguido en la arquitectura tradicional (Figura 20).

Figura 20. Contrafuerte para evitar colapso (Huerta, 1990). La estabilidad de las estructuras es la condicin ms restrictiva, no tanto la resistencia. Para que una estructura sea estable sus elementos estructurales deben tener ciertas dimensiones que dependen, fundamentalmente, de la forma geomtrica de la estructura. Esto conduce a la existencia de proporciones vlidas para el diseo de arcos, bvedas y contrafuertes, e incluso, de edificios, independiente del tamao.

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Galileo enunci que el peso de una estructura crece como el cubo de sus dimensiones lineales mientras que la seccin de las partes de la estructura crece como el cuadrado, es decir, las tensiones crecen linealmente con el tamao y por ello los elementos estructurales deben hacerse en proporcin ms gruesos (Figura 21) (Huerta, 1990).

Figura 21. Proporciones de un hueso y una cpula conforme a clculos de Galileo (Huerta, 1990). Fue hasta el siglo XVII que algunos estudiosos trataron de encontrar frmulas para el clculo de arcos de fbrica, pero con mayor frecuencia se hacia uso de mtodos geomtricos que de modo aproximado les servan en la construccin de los mismos. De hecho, el empleo de mtodos geomtricos y ms an, los ensayos sobre modelos de arcos a escala jugaron un papel crucial en la seleccin de hiptesis para la modelacin matemtica correcta de los problemas. Entre los siglos XV y XVIII los arquitectos constructores e ingenieros empleaban reglas estructurales para determinar las dimensiones de los elementos que realizaban. Para los arcos consideraban que si eran construidos bajo principios de semejanza entre s, la forma estructural sera correcta independientemente de su tamao (Huerta, 1990).

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4.4.2.4 Reglas empricas para la construccin de arcos y bvedas (Huerta, 1990)

Las principales reglas empricas para el dimensionamiento de los elementos estructurales de edificios de fbrica, entre ellos, los arcos, se enuncian a continuacin. Estas reglas se aplicaron probablemente desde la antigedad clsica hasta la primera mitad del siglo XX.

4.4.2.4.1 Comprobacin Visual

Mediante dibujos a escala se poda comprobar la estabilidad de un arco, bveda o contrafuerte, ya que un dibujo a escala de una forma estable constituye tambin una regla proporcional.

4.4.2.4.2 Empleo de modelos

Aunque no hay una prueba documental que confirme que se empleaban con fines estructurales, muy probablemente se hacan anlisis a rotura con modelos a escala.

4.4.2.4.3 Principios de semejanza para los arcos

Considrese un arco de fbrica, sujeto a su propio peso, con geometra definida, al que se le puede modificar la escala. Para que un arco sea seguro debe cumplir ciertas condiciones referentes a la resistencia, deformacin y estabilidad. Las dos primeras corresponden a la teora elstica, imponen que el material no debe alcanzar cierto nivel de esfuerzo de tensin, considerado inseguro o inadmisible y que las deformaciones no deben superar un cierto umbral que impida el uso adecuado de la estructura.

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La tercera condicin corresponde a la aplicacin del anlisis lmite. Para que el arco sea estable se debe dibujar una lnea de empujes, compatible con las cargas, en su interior. Esto lleva a una forma lnea lmite superior o inferior para el espesor y el sistema de cargas dado. Se puede establecer un factor de seguridad haciendo que la lnea de empujes pase por 1/3 1/4 del espesor del arco. La posicin de la lnea de empujes est determinada por la forma geomtrica de la estructura y, por ello, su forma lmite es independiente de la escala. La aplicacin del factor geomtrico de seguridad da origen a formas semejantes. Sin embargo, con respecto al esfuerzo de tensin, el aumento del espesor es una funcin lineal del tamao. Si se toman como ejemplo dos arcos semejantes, uno de ellos tres veces el tamao del otro y se dibuja una curva que relaciona la esbeltez del arco (c/L) con la luz (L), se obtiene la curva E que muestra el aumento del espesor cuando aumenta el vano. En la condicin de rotura o lmite, el factor geomtrico de seguridad mencionado anteriormente, produce una lnea recta horizontal R. La lnea de seguridad est por encima de estas dos lneas. El punto de interseccin representa la dimensin en la que el diseo a rotura deja de ser el ms restrictivo. Este punto marca el intervalo vlido de las reglas proporcionales para el diseo de los arcos (Figura 22), donde se muestra la relacin de esbeltez contra claro del arco para indicar dentro de que lmites son seguras esas dimensiones al construir arcos.

Figura 22. Posicin del punto crtico para arcos semicirculares (Huerta, 1990).

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En general, la forma impuesta por la estabilidad produce un bajo nivel de tensin para un intervalo de dimensiones que comprenden fcilmente toda la arquitectura de fbrica edificada hasta la fecha. Por lo tanto, para todas las estructuras en las que la accin fundamental es el peso propio, las bvedas de fbrica de las iglesias y catedrales, y, en general, de los edificios, el uso de las reglas proporcionales, es decir de factores de forma adimensionales, es un mtodo de diseo racional y seguro.

4.4.3 Diferentes tipos de arcos

Entre los tipos de arcos ms comunes y representativos estn el de medio punto, parablico, catenario, ojival y funicular. Pero en todos los casos el principio de trabajo de sus componentes es el mismo, ya que la forma de un arco no se elige por motivos puramente estructurales. El arco de medio punto, usado exclusivamente por los romanos, posee propiedades constructivas que justifican su empleo. Asimismo, el arco gtico posee ventajas tanto visuales como estructurales (Medina, 2006). Para mostrar el funcionamiento de un arco es conveniente ilustrar el concepto de polgono de fuerzas y polgono funicular.

4.4.3.1 Polgono de fuerzas

En un sistema de fuerzas se puede hallar su resultante a travs de mtodos grficos como el del polgono de fuerzas que consiste en representar las fuerzas existentes en una escala conveniente para dibujarse en sucesin una tras otra. La fuerza resultante es la lnea que tiene su origen en el inicio de la primera lnea dibujada y su final en el extremo libre de la ltima lnea. No importa el orden en que se dibuje la sucesin de fuerzas, la resultante siempre es la misma (Figura34

23); al sumar las fuerzas A, B, C y D en distinto orden (ver los nmeros 2, 3 y 4 de la figura 23) siempre se obtiene el mismo resultado (Parker, 1972).

Figura 23. Distintos polgonos para sumar fuerzas. Para sistemas de fuerzas concurrentes que ya estn equilibrados, no existe resultante ya que al sumar las fuerzas en distinto orden, no es posible trazar una lnea resultante, pues el polgono que se forma siempre es cerrado (Figura 24).

Figura 24. Sistemas de fuerzas concurrentes equilibrado.

4.4.3.2 Polgono funicular

El nombre de polgono funicular procede del latn funiculum cordel, cuerda pequea y se refiere al hecho de que sera precisamente la forma que adoptara un cordel al suspender de l un conjunto de fuerzas o diferentes pesos, conforme al punto de aplicacin de la fuerza y la magnitud de la misma. Un polgono

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funicular permite encontrar el punto de aplicacin de la fuerza resultante de un sistema y las reacciones o fuerzas con las que se mantiene el equilibrio del mismo (Figuras 25, 26 y 27). Obsrvese que al aumentar el nmero de fuerzas y reducir el espacio entre las mismas, la funicular tiende a adquirir la forma de un arco (Wikipedia, 2010).

Figura 25. Un cable sometido a una carga puntual (Casaas y Arguiarena, 2007).

Figura 26. Cable sometido a dos cargas puntuales (Casaas y Arguiarena, 2007).

Figura 27. Cable sometido a tres cargas puntuales (Casaas y Arguiarena, 2007)

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Dado un conjunto de fuerzas en un plano, un polgono funicular para ese sistema de fuerzas es una lnea poligonal (no necesariamente cerrada) cuyos vrtices recaen sobre las lneas de accin de las fuerzas, con un punto de origen en comn al que se llama polo; los ngulos que forma en cada vrtice el polgono funicular dependen de la magnitud de la fuerza (Figura 28). El sistema de fuerzas de la izquierda se suma en la figura de la derecha. Todas las lneas salen del punto comn llamado polo. El valor del esfuerzo resultante es la suma de los segmentos de lnea que representan las fuerzas F1 a F5 que pasan a conformar una lnea ms grande. Cada lado del polgono formado indica el esfuerzo del cable en una zona del mismo. El mayor esfuerzo sobre el cable, ser donde est el lado mayor del polgono. Las lneas superior e inferior son las reacciones (RA, RB) y son las fuerzas que mantienen en equilibrio la suma de lneas ms pequeas, (Parker, 1972).

Figura 28. Polgono funicular de un sistema de fuerzas (Casaas y Arguiarena, 2007).

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4.4.3.3 Arco funicular

A medida que aumenta el nmero de cargas, el polgono funicular toma un nmero creciente de lados ms pequeos y se aproxima a una curva. Cuando la cantidad de fuerzas tienden a infinito, la poligonal tiende a formar una curva. La curva funicular es la que forman los cables por el efecto de su propio peso. Las formas inversas de los cables colgantes, corresponden a las formas comprimidas, que con igual longitud soportaran las mismas cargas, dando lugar propiamente a los arcos funiculares (Figura 29). El arco funicular est compuesto de tal manera que sometido a una carga dada, slo desarrolla compresin axial (Wikipedia, 2010).

Figura 29. Curva funicular de un cable suspendido que al invertirse forma un arco, (Casaas y Arguiarena, 2007). Si la carga vertical aplicada se distribuye uniformemente a lo largo del eje del cable, (igual cantidad de carga por largo de cable), la forma que adoptar el cable ser la de una curva catenaria. La catenaria es la forma ms estable por lo que se puede reducir su espesor. La flecha ptima de una catenaria es aproximadamente un tercio de la luz y para esta relacin de flecha-luz la catenaria y la parbola son curvas muy similares. Si la carga vertical est distribuida uniformemente segn su proyeccin horizontal, el cable adoptar la forma de una parbola (Casaas y Arguiarena, 2007)

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4.4.3.4 Arco catenario

La palabra deriva del latn catenarius (propio de una cadena). Es la curva que describe un cable ideal perfectamente flexible (homogneo e inextensible), con masa uniforme por unidad de longitud, suspendido entre sus extremos que no estn situados en la misma vertical, teniendo presente la accin de un campo gravitatorio uniforme (Figura 30) (Wikipedia, 2010).

Figura 30. Diagrama de cuerpo libre de una curva catenaria (MNPIC, 2008). Donde: T= tensin ejercida por el arco al quedar suspendida de su punto de apoyo s= longitud de la cuerda desde el punto de apoyo hasta la parte media de la curva x= posicin de un punto perteneciente a la curva w= peso de la cuerda de igual magnitud a todo lo largo de su eje H= esfuerzo en el punto ms bajo de la cuerda, tambin el de menor intensidad = ngulo que forma la cuerda en el punto de apoyo con la horizontal. A mayor inclinacin del ngulo, mayor intensidad del esfuerzo registrado La catenaria es precisamente la forma del eje baricntrico que minimiza las tensiones de un elemento lineal sometido slo a cargas verticales. Esa propiedad puede aprovecharse para el diseo de arcos. As puede demostrarse que un arco39

en forma de catenaria invertida es precisamente la forma que minimiza los esfuerzos de compresin sobre dicho arco. La trayectoria descrita estar determinada por las tensiones a la que est sometida en sus extremos y por su longitud. Al invertir la curva catenaria lo que queda es un arco catenario (Figura 31) (Scerbo, 2010).

Figura 31. Curva catenaria (Wikipedia, 2010). Los arcos catenarios son los nicos que tienen lnea funicular en el tercio central de su seccin. En todos los dems arcos se desplaza su curva funicular, de modo que se produce combinacin de esfuerzos de Tensin y Compresin, lo cual induce fallas (Huerta, 1990). A pesar de la ptima calidad del arco funicular o catenario en cuanto a resistencia, durante mucho tiempo se consider que tena una forma poco elegante y de difcil carga en los pilares, y no se utiliz en la arquitectura tradicional, para la cual se consideraban mejores las formas de arcos circulares, elpticos, etctera. El gran constructor Antonio Gaud rompi con toda esta mentalidad y us este tipo de arco en muchas de sus obras (Figura 32) (Cienladrillos, 2007).

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Figura 32. Arcos catenarios empleados por Gaud en la catedral de la sagrada familia, Barcelona (Wikipedia, 2010). Otro constructor que ha empleado el arco catenario ha sido Eero Saarinen, en el arco monumental de San Lus, Missouri. El arco simbolizaba la puerta de entrada al Oeste y tiene una altura de 192,15 metros (Figura 33) (Cienladrillos, 2007).

Figura 33. Arco monumental de San Lus, Missouri. (Wikipedia, 2010).

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La ecuacin que define a un arco catenario es la siguiente:y=a *cosh x a

Que es equivalente a: y=a e +e 2x a x a

Se puede usar la primera o la segunda frmula Donde: Y = Posicin que adquiere en el eje Y el punto evaluado a = Valor de la constante que define la excentricidad del arco catenario cosh = Coseno hiperblico del ngulo que forma el arco en el punto de inters X = Posicin en el eje X e: Nmero de Euler = 2.7182818

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4.4.3.5 Arco parablico La parbola es el lugar geomtrico de los puntos equidistantes de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco) que no pertenece a esa recta. El punto medio entre el foco y la directriz es el vrtice, y la recta que pasa por el vrtice y el foco es el eje de la parbola (Figura 34).

Figura 34. Parbola y sus principales elementos (Wikipedia, 2009). La frmula de la parbola es:y=ax +bx+c2

Donde: y: Altura que adquiere un punto sobre la parbola. a: Coeficiente del trmino cuadrtico. b: Coeficiente del trmino lineal. c: Valor de la constante numrica. Caractersticas principales de las curvas parablicas (Larson et al., 2004): Todas las parbolas tienen la misma forma, lo nico que cambia es su escala.

Una parbola cuyo vrtice est en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuacin de la forma y=ax, donde el parmetro a especifica la escala de la parbola.43

La distancia entre el vrtice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

En cuanto a cuestiones constructivas, hay que mencionar que se genera una parbola al someter un cable a cargas verticales uniformemente distribuidas sobre el plano horizontal, generando esfuerzos de tensin, por lo que un arco parablico es el reflejo del cable mencionado pero genera esfuerzos de compresin, sin que exista esfuerzo cortante ni momento flexionante, comportndose de manera casi idntica a como la hace un arco catenario. Se puede ver que ambos arcos casi describen la misma curva, sto es as cuando ambos arcos poseen grandes luces o un factor f/L pequeo (Figura 35, Parbola color azul, Catenaria color rojo).

Figura 35. Similitud en las curvas de una parbola y una catenaria (Casaas y Arguiarena, 2007). Un arco parablico es la inversin de un cable con cargas verticales uniformemente distribuidas y las cargas apoyadas sobre l pueden transmitirse a travs de montantes (Figura 36), o bien quedar suspendidas por abajo por medio de tirantes (cables o elementos rgidos) (Figura 37).

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Figura 36. Arco parablico al que se transmite la carga a travs de montantes (Casaas y Arguiarena, 2007).

Figura 37. Arco parablico al que se transmite la carga a travs de tensores o tirantes (Casaas y Arguiarena, 2007).

4.4.3.6 Arco de medio punto En arquitectura, el arco de medio punto o circular, es el arco que tiene la forma de un semicrculo. Antiguamente sola estar conformado por dovelas de adobe, ladrillo o piedra (Figura 38).

Figura 38. Arco de medio punto o circular, (Wikipedia, 2010).45

El arco de medio punto empez a emplearse en Mesopotamia aproximadamente tres mil aos antes de Cristo. Despus fue usado por los etruscos y posteriormente por los romanos que lo difundieron por las regiones del mediterrneo. Es un elemento importante en la arquitectura romana (cabecera de iglesias y capillas absidiales) y de las que derivaron de ella como la arquitectura renacentista o la arquitectura barroca. Los puntos sobre un arco circular se pueden calcular con la siguiente frmula:Y= r 2 X

L 2

2

Donde: r = Radio del crculo (flecha) L = Largo o claro del arco X = Posicin a lo largo del eje X; 0 < X L La curva funicular que se presenta en un arco circular no discurre centrada con el mismo, y ste consigue absorber gracias a su grosor los esfuerzos canalizados a travs de aqulla, pero siempre con un cierto grado de inadaptacin (Figura 39). En los arranques la curva funicular es casi vertical, pero siempre aporta una componente horizontal (empuje lateral o coceo), misma que el arco consigue absorber gracias a su grosor (EG, 2009).

Figura 39. Curva funicular en un arco de medio punto (Wikipedia 2010).

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4.4.3.7 Arco ojival A partir del siglo XI el desarrollo de las ciudades, con la consiguiente expansin comercial, y las peregrinaciones, gener la necesidad de vas de comunicacin lo que condujo a la construccin de nuevos puentes, en paralelo con la de catedrales gticas. El modelo adoptado fue el arco ojival, tal vez importado por los cruzados (Figura 40) (Graciani, 2001).

Figura 40. Arco ojival (Wikipedia, 2010). El arco almendrado, apuntado u ojival cumple con la propiedad de ser lo suficientemente peraltado (alto con relacin a su claro) como para no producir empujes excesivos en los apoyos y a la vez poder construirse mediante piezas de directriz circular, como el de medio punto. Quedando as conjugadas resistencia y facilidad constructiva. Geomtricamente, la ojiva se compone de dos arcos simtricos correspondientes a circunferencias de igual radio y distintos centros, que dan lugar a un vrtice en la interseccin. La ventaja constructiva de la ojiva es que permite trazar huecos de la misma altura para distintas luz de base, simplemente aproximando los centros de los arcos de circunferencia, sin modificar el radio. Esta posibilidad se aprovecha estticamente en los ventanales de las catedrales gticas y contribuy a su difusin (Figura 41). Adems permiti emplear un nico tipo de dovela en un conjunto de arcos, an con geometra diferente, lo que represent una economa

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de esfuerzo para los canteros que unificaron su produccin. La similitud geomtrica entre el arco ojival y el antifunicular ha permiti en las catedrales gticas prescindir de muros resistentes y sustituirlos por vidrieras, sin que se afectara la estabilidad del conjunto; la transmisin de esfuerzos se realiza directamente por el arco (Graciani, 2001).

Figura 41. Presencia del arco ojival en las puertas y torres de una catedral del siglo XVII (Wikipedia, 2010). La estructura arco-pilar, reforzado con estribos, elimin en gran medida al muro como elemento de descarga, reducindolo a simple cerramiento, y generando amplios vanos. En este sentido, podemos afirmar que la caracterizacin de todo un perodo histrico, en el aspecto arquitectnico pero tambin espiritual y social, es consecuencia de la aplicacin de los principios de la Esttica. Es interesante contrastar cmo en ruinas gticas es posible observar los arcos ojivales completos, aun cuando falten la techumbre y otros elementos de la estructura, y sin embargo es infrecuente la misma observacin de arcos de medio punto en restos renacentistas, de los que nicamente permanecen los arranques. El anlisis

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de esttica establece que el arco ojival transmite las tensiones en direccin aproximadamente tangencial, por lo que la inclinacin del arranque indica el valor de la componente horizontal de apoyo (Garca, 2007).

4.4.4 Esfuerzos generales producidos en un arco Un arco dependiendo de la geometra que posea (largo, altura y ngulos que forma) y los diferentes tipos de cargas horizontales o verticales a los que est sometido genera esfuerzo axial, empuje horizontal y reacciones verticales. Pudiera llegar a presentarse momento flexionante, esfuerzo cortante y deformacin axial, pero stos ltimos son de menor importancia en comparacin con los tres primeros, sobre todo cuando el arco es funicular o perfectamente parablico (Figura 42) (Leontovich, 1970).

Figura 42. Sistema de fuerzas actuantes sobre un arco (Leontovich, 1970). La geometra del arco (flecha y claro) y las condiciones existentes (peso propio, magnitud de las cargas y punto de aplicacin) influyen en el comportamiento ante los esfuerzos resultantes. Al comparar tres arcos con la misma Luz pero con diferente flecha se puede ver que producen distintos esfuerzos horizontales (Figura 43), a menor altura se incrementa la reaccin horizontal H (Casaas y Arguiarena, 2007).

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Figura 43. Comparacin de tres arcos con la misma Luz pero diferente flecha (Casaas y Arguiarena, 2007).

4.4.4.1 Lnea funicular de un arco Es un requisito que la funicular de un arco debe pasar por el tercio central de su seccin a todo lo largo de su curva y apoyos, para que no colapse y tenga estabilidad (Figuras 44 y 45). Si la curva funicular (lnea roja) se desplaza hacia arriba del tercio central del arco (malla azul), se producir un colapso hacia la parte interna del mismo.

Figura 44. Desplazamiento de la funicular de un arco hacia arriba (Huerta, 1990).

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Figura 45. Desplazamiento de la funicular de un arco hacia abajo (Huerta, 1990). Cabe destacar que las figuras 44 y 45 son una exageracin de las condiciones enunciadas, ya que en la realidad la lnea funicular tendra que hacer tangencia en otros puntos del arco, por lo menos en cuatro puntos, para que el arco acte como un mecanismo y colapse (Figura 46).

Figura 46. Colapso de un arco cuando la lnea funicular hace tangencia en por lo menos cuatro puntos (VS, 2004).

Para que un arco est en equilibrio se debe cumplir que la suma de las fuerzas horizontales, verticales y de momentos sea igual a cero, es decir: Fy = 0 Fx = 0 M=0

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4.4.4.2 Reaccin vertical (Dvila y Pajn, 1997) Para la suma de fuerzas verticales ( Fy = 0) se tiene que la carga total es igual a la carga uniformemente distribuida a todo lo largo del arco por la longitud del mismo, como se observa en la Figura 47. Como el arco es simtrico, la reaccin vertical en cada apoyo es igual a la carga resultante repartida entre ambos apoyos, lo que queda en cada uno es: RAy + RBy = pL RAy = pL / 2 RBy = pL / 2 Donde: RAY = Reaccin vertical del apoyo izquierdo RBY = Reaccin vertical del apoyo derecho

Figura 47. Diagrama de carga de un arco parablico biarticulado con carga uniformemente distribuida (Dvila y Pajn, 1997).

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4.4.4.3 Reaccin horizontal o coceo (Dvila y Pajn, 1997) Es un hecho conocido desde la ms remota antigedad que el arco empuja en sus apoyos (H). ste empuje se llama reaccin horizontal pero es ms popular nombrarlo como coceo. El coceo es el resultado de la distribucin de esfuerzos generados por las cargas aplicadas a lo largo de su curva, mismos que son transmitidos hacia los apoyos, provocando el coceo (Figuras 48 y 49).

Figura 48. Arco sin fuerza aplicada (Dvila y Pajn, 1997).

Figura 49. Coceo en el arco al aplicar una carga sobre l (Dvila y Pajn, 1997). Para contrarrestar el coceo se pueden usar cables, anillos o tirantes. Tambin se puede hacer ms robusta la seccin del arco con los denominados contrafuertes, (Figura 50). Los contrafuertes mantienen la lnea funicular dentro del tercio central de su seccin, reduciendo riesgos de colapso.

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Figura 50. Refuerzos o contrafuertes de los apoyos de un arco para contrarrestar las fuerzas horizontales (Dvila y Pajn, 1997) Para la suma de fuerzas en x ( Fx = 0), como se observa en la Figura 51, se puede ver que el momento que se genera es el siguiente (Dvila y Pajn, 1997):M=H1Y+V1 X P X X 2

Como la reaccin vertical V1 es igual a 2 a cero, se sustituye:0=H1Y+

PL

y el Momento obtenido debe ser igual

PL PX 2 X 2 22

Se despeja el trmino H1*Y:H1Y= H1Y= PLX P X 2 2 PLX PX 22

2

y al final se deja Y:Y= P L X P X 2H1

L Cuando se aplica la carga a mitad del claro se tiene: x= 2 ; f = Y.

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L L PL P 2 2 Al despejar H1 y sustituirlo queda: H1= 2 f PL 2 PL 2 2 4 H1= 2 f P H1=

2

L L 2 4 2 f

2

2

L2 4 H1= 2 f P

Y finalmente:

H1=

PL 2 8 f

Figura 51. Diagrama de carga de un arco con carga uniformemente distribuida sobre una seccin (Dvila y Pajn, 1997). Considerando que el arco es simtrico y que est cargado de manera uniforme: RAx = RBx. Por lo que las reacciones horizontales en ambos apoyos son de igual magnitud.

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4.4.4.4 Esfuerzo axial o normal (Willems y Lucas, 1978) Las cargas aplicadas sobre un arco generan acciones internas verticales y horizontales, pero es ms conveniente expresarlas en trminos de esfuerzo axial (N) y esfuerzo cortante (V Q). En la Figura 52 se muestra el componente vertical (Fy, flecha roja) y horizontal (Fx, flecha azul) de la fuerza axial de arco, adems del ngulo que se forma en el punto sealado (, color rosa).

Figura 52. Componente vertical y horizontal de la fuerza axial de un arco (Willems y Lucas, 1978). En un arco, el esfuerzo axial corre a todo lo largo de su curva en su seccin transversal. El esfuerzo axial es perpendicular al plano sobre el que se aplica una fuerza idealmente distribuida de manera uniforme por toda la superficie de un cuerpo (Figura 53). Este esfuerzo (representado por las flechas de color azul) puede ser de compresin (los extremos del arco presionan hacia el centro) o de tensin (cada extremo del arco jala hacia s el otro extremo, las flechas azules se invertiran, Figura 54).

Figura 53. Fuerza axial y esfuerzo cortante en un arco (Willems y Lucas, 1978).56

Aparecen esfuerzos axiales siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a que la seccin experimente esfuerzos de tensin (desprendimiento o rasgadura, Figura 54) o compresin (aplastamientos y colapso, Figura 55).

Figura 54. Esfuerzo axial de tensin (Wikipedia, 2010).

Figura 55. Esfuerzo axial de compresin (Wikipedia, 2010). El esfuerzo axial en una seccin de un arco se calcula como: N = Fx * Cos + Fy * Sen Donde: N = Esfuerzo Axial Fx = fuerza interna horizontal Fy = Fuerza interna vertical Sen = seno del ngulo en el punto considerado Cos = coseno del ngulo en el punto considerado

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4.4.4.5 Consideraciones para el Esfuerzo Cortante y el Momento Flexionante en los arcos Un arco parablico distribuye sus esfuerzos casi tan bien como un arco catenario y aunque no influya demasiado, por cuestiones de seguridad se debe considerar el momento flexionante al igual que el esfuerzo cortante.

4.4.4.5.1 Esfuerzo cortante (Beer et al. 2004) El Esfuerzo cortante (o de cizallamiento) es producido por fuerzas que actan paralelamente al plano que las resiste, tambin puede denominarse esfuerzo tangencial. El Esfuerzo cortante es el resultado de las cargas verticales aplicadas a lo largo del arco. Este esfuerzo ser igual a la magnitud de la carga perpendicular al eje del arco en cualquier punto. Se le puede designar como T, V o Q. En la Figura 53 se representa este esfuerzo por las flechas de color rojo; puede ser positivo, considerando que acta hacia abajo o negativo si acta hacia arriba. El esfuerzo cortante en una seccin de un arco se calcula como: Q = F