Si observamos con cuidado en todo momento estamos haciendo estimaciones. Cuando salimos de la casa a la Universidad, por ejemplo, estimamos el tiempo que gastamos en llegar y decidimos esperar, caminar o correr. En la administracin, el mercadeo, las finanzas se recurre a las estimaciones porque en la mayora de los casos deben tomar decisiones racionales sin disponer de informacin completa y con mucha incertidumbre respecto a lo que les depara el futuro. TiposdeestimadoresLaestimacindeparmetrossepuedehacerdedosformas,estimacinpuntualyestimacinporintervalo. Suponga que el gerente de produccin de una empresa desea estimar el tiempopromedio que gastan los trabajadores en realizar una tarea especfica. Se podra establecer laestimacinmedianteunsolonmero,porejemplo30minutosopodramosdecirqueel tiempomedioestaentre25y35minutos.Elprimer tipo se llamaestimacinpuntual, yaque sepuedeasociar al nico nmero que representa la estimacin mientras que en la segunda forma larepresentacinsehaceentredosvaloresdentrodeloscualesseestimaelparmetropoblacional.La estimacinpuntual utiliza la informacindeunamuestrapara llegar a un solonmero, queestimaelparmetrodeinters.Laestimacinserealizamedianteunestimador.Unestimadoresunareglaqueexpresacmocalcularlaestimacin,basndoseenlainformacindelamuestrayseenunciamedianteunafrmula.

LamediamuestralnX

X i= esunestimadorpuntualdelamediapoblacional.

EnformasimilarlavarianzamuestralS2=1

)( 2

n

XXi esunestimadorpuntualde2

Laproporcinmuestral = !!"#$!"!"#$#!"#$%"&'()! esunestimadorpuntualdeP

ESTIMACIN DE PARMETROS

Ejemplo 74 Se quiere hacer un estudio sobre el precio del galn de gasolina en Bogot, teniendo en cuenta que vara segn la fecha, la estacin de servicio y la localizacin. Los datos tomados en una muestra aleatoria de cinco estaciones en junio del 2011 son:

Precio por galn

7995 8310 8180 7958 8099

a. La estimacin puntual para el precio promedio es:

nX

X i= 5

40542=X

4,8108 ==X

b. La estimacin puntual para la varianza es:

1)( 2

2

=

n

XXS i

22 3,20334 ==S

c. Para estimar la proporcin de estaciones que tienen un precio superior a $8000 es = 35 = 0,6 =

La estimacin por intervalo es una regla que indica como calcular dos nmeros con base en los datos muestrales, estos dos nmeros tienen asociada una probabilidad llamada nivel de confianza y la expresamos como (1 ), la cual mide que el verdadero parmetro poblacional se encuentre dentro del intervalo.

La estimacin puntual no permite medir la confiabilidad de los resultados, es por esto que trabajaremos con ms detalle la estimacin por intervalo IntervalodeconfianzaparalamediapoblacionalPara construir el intervalo de confianza para la media poblacional se tendrn en cuenta tressituacionesdiferentes:

1. Cuandolapoblacinesnormalylavarianzadelapoblacinesconocida2. Cuandolapoblacinesnormalylavarianzadelapoblacinesdesconocida3. Cuandolapoblacinnoesnormal

Como se dijo en las distribuciones muestrales, la distribucin muestral de X , es normal con media y varianza conocida !! , entonces se establece un intervalo de confianza (1 ) de la siguiente manera:

Intervalos de confianza de la media poblacional cuando se conoce la varianza poblacional

2 2X XX Z X Z +

Este intervalo resumido tiene tambin la siguiente presentacin:

n Z xX

Cuando no se conoce el tamao de la poblacin N Si la poblacin es conocida el intervalo queda:

1n Z x

NnNX

Recuerde que en esta expresin el valor de Z corresponde al valor de la tabla de la distribucin normal con probabilidad (1 ). Ejemplo 75 Se recibe un cargamento muy grande de bultos de arroz provenientes de una importacin y se desea estimar el peso promedio () de dichos bultos, para esto se toma una muestra aleatoria de 100 bultos, que arrojan un peso promedio de X =21.6 kilos. Se sabe por experiencias anteriores, que la desviacin estndar de dichos cargamentos es de =5.1 kilos. Se quiere un nivel de confianza en la estimacin del 95% (1-) =0.95 Observemos que no se sabe si el peso de los bultos de arroz se distribuye normalmente, pero como n=100 (muestra grande ya que n>30), entonces, las medias muestrales se comportarn aproximadamente de acuerdo a una distribucin normal, segn el teorema del lmite central.

La variable X: peso de los bultos de arroz La informacin dada es

X =21.6 kilos =5.1 kilos n = 100 por lo tanto el tamao de la poblacin N es desconocida, entonces para reemplazar en el

intervalo

n Z xX

Solo falta encontrar el valor Z en la tabla normal para un nivel de confianza de 0.95. Como el nivel de confianza siempre queda en el centro de la distribucin entonces:

1 0,95 = 0,05 0,05/2 = 0,025 /2 = 0,025 En la tabla normal para un rea de 0,025 el valor de Z es 1,96 Si reemplazamos en la frmula tenemos: 21,6 (1,96)5.1/100 = 21,6 0,9996 El intervalo queda entonces en la forma:

20,6 22,6

La expresin anterior, significa que con una confianza del 95% se estima que el peso promedio de todo el cargamento flucta entre 20,6 y 22,6 kilos.

Observe como la expresin que sumamos y restamos, es decir, n Z x se conocecomoerrorde

estimacine.Enelejemploelerrordeestimacinn

Z x=e =0,9996

Cuando se tiene una muestra aleatoria de tamao n 30 (muestra pequea) cuyas observaciones son tomadas de una distribucin normal con varianza desconocida, es posible hallar un intervalo en el cual se encuentra la media poblacional a un nivel de confianza (1 ) con la varianza muestral S2. Este intervalo se determina as:

En el anterior intervalo 1, 2n

t corresponde al valor de una distribucin t-student con n-1 grados de

libertad. En la forma resumida el intervalo es:

n

. xt SX Ejemplo 76 El sueldo mensual promedio de una muestra de 11 empleados, en el rea administrativa de cierta multinacional, es de $1 500 000 y la desviacin tpica muestral es de 100 000. Si las observaciones son tomadas de una distribucin normal, determine el intervalo de confianza al 90% para el salario promedio de todos los empleados del rea administrativa de la empresa. Primero escribamos los datos dados: X: Salario mensual de los empleados del rea administrativa

111000001500000

=

=

=

nSX

Luego calculamos 2 :

1, 1,2 2n ns sX t X tn n

+

Intervalosdeconfianzaparalamediapoblacionalcuandosedesconocelavarianzapoblacionaly

n30

( )100 1 % 90%1 0.90

1 0.900.10

0.052

=

=

=

=

=

Ahora hallamos el factor de confiabilidad 1, 2nt : es decir t 10 (0,05) = 1,8125

Ntese que en esta tabla se dan los valores de los grados de libertad en la parte vertical de la primera columna y las probabilidades en la primera fila. As el valor de 1,

2nt es 1.8125

Ahora s podemos hallar el intervalo de confianza:

11)100000(8125,11500000

n. xt = SX

54648,931500000

1445351,069 1554648,93

Luego podemos concluir con un nivel de confianza del 95% que el salario promedio de la empresa en el rea administrativa, est entre $1445.351,069 y $1 554.648,93

Las proporciones poblacionales se refieren a aquella parte de la poblacin que satisface cierta caracterstica. Como es una proporcin se refiere a una fraccin, es decir una parte del total que cumple con cierta condicin. Usando el modelo de la distribucin binomial tenemos lo siguiente: si p es la proporcin de xitos en una muestra de n datos independientes, para la cual la probabilidad de xito es P, entonces por el teorema del lmite central se tiene que la variable aleatoria

( )1p PZP Pn

=

Se distribuye normal estndar. Si no se conoce el valor de P (la probabilidad de xito) este valor puede ser estimado por p siempre que el tamao de la muestra dado sea mayor que 30 (n>30), as la variable aleatoria

( ) 1p PZp pn

=

Intervalos de confianza para proporciones de unapoblacin(tamaodemuestragrande)

se distribuye normal estndar. Con esta informacin si se tiene la proporcin de xitos en una muestra aleatoria de tamao n, cuyas observaciones son tomadas de una poblacin que tiene una proporcin de xitos P desconocida que satisfacen que n>30, entonces el intervalo de confianza (1 ) de la proporcin poblacional es

( ) ( )2 2

1 1

p p p pp z P p zn n

+

nP) - P(1 Z P

Y el margen de error de este intervalo es n

P) - P(1 Z =e Ejemplo 77

En una muestra aleatoria de 95 empresas manufactureras, 67 han indicado que su empresa ha obtenido la certificacin ISO en los dos ltimos aos. Halle el intervalo de confianza al 99% de la proporcin poblacional de empresas que han recibido la certificacin en los dos ltimos aos.

Solucin

Organicemos los datos dados:

6795p =

95n =

Calculemos el valor de 2 :

( )100 1 % 99%1 0.99

1 0.990.010.0052

=

== =

=

Determinamos el factor de fiabilidad 2

Z :

2

2 2

2

2

0.025

1

1 0.005

0.995

P Z z

P Z z P Z z

P Z z

P Z z

=

= = y 2 1,1 2n es el valor para

el cual 2 21 1,1 2 2n nP

< = .

Ejemplo 78

El director de control de calidad de una empresa qumica ha extrado una muestra aleatoria de veinte sacos de fertilizante de 100 kilos para estimar la varianza de los kilos de impurezas. Se ha observado que la varianza muestral es de 6.62. Determine el intervalo de confianza al 95% de la varianza poblacional de los kilos de impurezas.

Solucin

Dado que 2 6.62s = y n=20 vamos a establecer los valores 2 1, 2n

y 2 1,1 2n cuando 0.0252

= .

2 21 1, 2 2n nP

> =

2 220 1 20 1, 2

2 219 19, 2

0.025

0.025

P

P

> =

> = de acuerdo a los valores de la tabla 21, 2

32.85n = por otra parte,

2 21 1,1 2 2n nP

< =

Intervalos de confianza de la varianza de unapoblacinquesedistribuyenormal

2 219 19,1 2

0.025P

< = de acuerdo a los valores de la tabla

2 219,1 0.025 19,0.975 8.91 = = .

Luego el intervalo de confianza es 2 2

22 21, 1,12 2

( 1) ( 1)n n

n s n s

< <

2(20 1)6.62 (20 1)6.6232.85 8.91