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$: Este documento puede distribuirse libremente a … · y/o erratas, con tacten, p or fa v or, con el autor. T o das las sugerencias ser an bien v enidas. ... Redes de difracci on Bragg$
Dispositivos a tivos y omponentes pasivospara sistemas DWDMCarlos Janer Jim�enezDepartamento de Ingenier��a Ele tr�oni aEs uela Superior de Ingenieros de SevillaUniversidad de Sevillaemail: janer�zipi.us.es;janer�us.esVersi�on provisionalSi quieren expresar omentarios, ha er sugeren iaso omuni ar errores y/o erratas, onta ten, porfavor, on el autor.Todas las sugeren ias ser�an bienvenidas.Junio 2009

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Se prohibe cualquier uso comercial de todo o parte de este libro. Carlos Janer Jiménez, Junio 2009.

2 Pre�ambuloEsta es la primera versi�on de un libro que, en otras ir unstan ias, habr��a tenido otrot��tulo. Mi primera inten i�on fue es ribir onjuntamente on el Dr. D. Alejandro CarballarRin �on un texto sobre omponentes y sistemas DWDM que, de alguna manera, re ejarala do en ia que hasta ha e un a~no y, durante al menos quin e, estuve impartiendo en laasignatura de Comuni a iones �Opti as de la titula i�on de Ingeniero de Tele omuni a i�on dela Es uela de Ingenieros de Sevilla. Sin embargo las numerosas obliga iones de mi olegale han impedido reda tar, omo era su deseo, la parte orrespondiente a sistemas. Quieroaprove har la o asi�on para expresarle mi profundo agrade imiento ya que el ontenido delos ap��tulos do e, tre e, ator e y quin e se ha basado en unos apuntes manus ritos suyosy, adem�as, ha desarrollado los programas que han permitido ha er todas las simula ionesnum�eri as que apare en en el libro.No me siento satisfe ho del resultado �nal y no es s�olo por las numerosos errores yerratas que a buen seguro ontiene ni por su pobre reda i�on. Mi frustra i�on est�a provo adapor los temas que no he podido in luir, entre los que desta o, sin ser exhaustivo, los onverti-dores en longitud de onda, los moduladores �opti os por ele troabsor i�on, las omuni a iones�opti as oherentes y todos los dispositivos basados en semi ondu tores de bajas dimesiones(pozos, l��neas y puntos u�anti os). Creo que la mayor parte de los alumnos de un quinto urso de Ingeniero de Tele omuni a i�on are en de los ono imientos f��si os ne esarios paraabordar estas uestiones. As��mismo debo advertir que los dispositivos que s�� se han estudiadose han modelado de una manera muy burda y que lo �uni o que se pretende on estos modelostan simplistas es permitir es que se entiendan sus prin ipios de fun ionamiento.Tratar�e de seguir puliendo el texto y subsanando errores a medida que se me va-yan omuni ando. Agradez o de antemano a los le tores su olabora i�on en la mejora del ontenido de este libro.Por �ultimo agradez o a mi mujer, Eli, el mero he ho de que exista y quiera ompartirsu vida onmigo.

Carlos Janer.Sevilla, Junio del 2009.



�Indi e general1. Propaga i�on de pulsos por medios dispersivos 71.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Modelo del medio diel�e tri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Momentos dipolar mi ros �opi o y ma ros �opi o . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Sus eptibilidad diel�e tri a en medios de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Sus eptibilidad diel�e tri a en medios de m�ultiples niveles . . . . . . . . . . . 191.6. Propaga i�on de pulsos luminosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7. Propaga i�on de un pulso de envolvente gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. Propaga i�on de ondas luminosas en �bras 312.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. �Opti a geom�etri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. E ua iones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4. E ua i�on de dispersi�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5. E ua i�on de dispersi�on adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503. Atenua i�on y dispersi�on en �bras �opti as 513.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2. Mi roestru tura del s��li e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3. Curva de atenua i�on de la �bra �opti a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4. Dispersi�on rom�ati a del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5. Dispersi�on rom�ati a de gu��a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6. Fibras monomodo espe iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7. Dispersi�on de polariza i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654. El l�aser de niveles dis retos 674.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2. Coe� ientes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3. Ganan ia de un medio at�omi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4. Fun ionamiento de un l�aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5. Condi iones de os ila i�on de un l�aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6. Me anismo de bombeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6.1. L�aser de tres niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6.2. L�aseres de uatro niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843



4 �INDICE GENERAL5. Gana ia �opti a de un semi ondu tor 855.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2. Portadores libres de arga en los semi ondu tores. . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.1. Densidad de estados en las bandas de valen ia y ondu i�on. . . . . . 895.2.2. Probabilidad de o upa i�on de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.3. Con entra i�on de ele trones y hue os en equilibrio t�ermi o en un se-mi ondu tor intr��nse o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.4. Con entra i�on de ele trones y hue os en equilibrio t�ermi o en un se-mi ondu tor extr��nse o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3. Semi ondu tores fuera del equilibrio t�ermi o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4. Semi ondu tores de transi i�on dire ta e indire ta. . . . . . . . . . . . . . . . 1015.5. Densidad de estados ompatibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.6. Intera i�on luz-materia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6.1. Emisi�on espont�anea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6.2. Emisi�on estimulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6.3. Absor i�on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.7. Ganan ia �opti a del medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146. El l�aser de avidad Fabry-P�erot 1156.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2. Comportamiento din�ami o de un l�aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3. Cara ter��sti a est�ati a del l�aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.3.1. Modelo para la zona I (emisi�on espont�anea dominante) . . . . . . . . 1256.3.2. Modelo para la zona II (emisi�on espontimulada dominante) . . . . . . 1256.4. Cara ter��sti a de peque~na se~nal del l�aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307. El l�aser de avidad distribuida: modos a oplados 1317.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2. E ua i�on de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3. Condi i�on de os ila i�on del l�aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448. Estudio matri ial de las avidades distribuidas 1458.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.2. Matri es de s attering elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.3. Cavidad resonante Fabry-P�erot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.4. Re e tores distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.5. P�erdidas en un l�aser de avidad distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589. An hura espe tral de un l�aser monomodo 1599.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.2. Cavidad fr��a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.3. Cavidad aliente sin emisi�on espont�anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.4. Cavidad aliente on emisi�on espont�anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.5. Laser semi ondu tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170



�INDICE GENERAL 510.Re eptores para omuni a iones �opti as 17110.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.2. Cara ter��sti as de los fotodete tores empleados en omuni a iones �opti as. . 17310.3. Foto ondu tores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17410.4. El fotodiodo PIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.4.1. Sensibilidad del dispositivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.4.2. Tiempo de respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.5. El fotodiodo de avalan ha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.6. Fuentes de ruido en un re eptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.6.1. Ruido u�anti o aso iado a la se~nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.6.2. Ruido t�ermi o en la resisten ia de arga. . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.6.3. Ruido del preampli� ador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18610.6.4. Ruido de ampli� a i�on interna (ruido de avalan ha). . . . . . . . . . 18710.7. C�al ulo de la rela i�on poten ia se~nal{poten ia ruido. . . . . . . . . . . . . . 18710.8. Tasa de error binario m�axima admisible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.9. Ap�endi e I: Dedu i�on de los tiempos de respuesta interna. . . . . . . . . . . 19410.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.Ampli� adores �opti os 20111.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20211.2. Ganan ias y an hos de banda aso iados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20611.3. Satura i�on de la ganan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.4. Fa tor de ruido de un ampli� ador �opti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.5. Modelo del EDFA en opropaga i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.6. Modelo del EDFA en ontrapropaga i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21711.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.Componentes basados en el SOP 22512.1. Estado de polariza i�on de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.2. Ve tores y matri es de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.3. Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23012.4. Retardadores de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.5. Rotador de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23412.6. Separadores y ombinadores de haz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.7. Aisladores �opti os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23612.8. Cir uladores �opti os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23713.Filtros �opti os 24113.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24213.2. Filtro de avidad Fabry{P�erot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24313.3. Redes de difra i�on de Bragg en �bras (FBGs) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24513.3.1. FBGs para la implmenta i�on de �ltros . . . . . . . . . . . . . . . . . 24613.3.2. Compensadores pasivos de la dispersi�on . . . . . . . . . . . . . . . . . 24614.A opladores �opti os 25114.1. Prin ipio de fun ionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25214.2. Par�ametros ara ter��sti os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25414.3. A opladores en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256



6 �INDICE GENERAL15.Multiplexores y onmutadores �opti os 25715.1. Multiplexores y demultiplexores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25815.2. Conmutadores �opti os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25916.Efe tos no lineales 26116.1. Introdu i�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26216.2. Origen mi ros �opi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26216.3. Efe to Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26416.4. Fen�omenos no lineales aso iados al efe to Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . 26616.4.1. Automodula i�on de fase (SPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26616.4.2. Modula i�on de fase ruzada (XPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26716.5. Mez lado de uatro ondas (FWM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26816.6. Efe to Raman estimulado (SRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27016.7. Efe to Brillouin estimulado (SBS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272



Cap��tulo 1Propaga i�on de pulsos por mediosdispersivosResumen: Antes de estudiar la propaga i�on de pulsos luminosos por una �bra�opti a, debemos entender primero �omo los fen�omenos de atenua i�on y dispersi�ondegradan y distorsionan las se~nales que se propagan por un medio diel�e tri o.Estos pro esos f��si os apare en in luso si sus dimensiones transversales son in�nitas,es de ir, en medios en los que la luz no est�a on�nada. El origen �ultimo de laatenua i�on y la dispersi�on, reside en la intera i�on de la luz on las part�� ulas argadas (ele trones y n�u leo) de los �atomos del medio. Estos �atomos los vamos amodelar mediante un onjunto de os iladores arm�oni os (modelo de Lorentz) en losque el ampo el�e tri o ejer e una fuerza que tiende a separar estas part�� ulas argadas e indu e, por tanto, dipolos mi ros �opi os. Los dipolos absorben y emitenradia i�on ele tromagn�eti a produ i�endose, as��, la atenua i�on y dispersi�onde los pulsos luminosos que se propagan por el medio material.

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8 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOS

Figura 1.1: �Atomos de una gas at�omi o en un re into errado1.1. Introdu i�onEn este ap��tulo vamos a estudiar la propaga i�on de pulsos luminosos por mediosdiel�e tri os de dimensiones transversales in�nitas 1. Como onse uen ia de la intera i�onentre la luz y el medio diel�e tri o apare en dos fen�omenos f��si os que son:1. La absor i�on.2. La dispersi�on.Si el medio de propaga i�on fuese el va ��o, la atenua i�on y la dispersi�on no se pro-du ir��an. Estos fen�omenos surgen, en �ultima instan ia, por la intera i�on entre la radia i�onluminosa y las part�� ulas argadas que onstituyen el medio material.Para abordar este estudio, vamos a ha er una serie de hip�otesis simpli� ativas:1. Vamos a estudiar, en un prin ipio, la propaga i�on de ondas planas (para no tener queestudiar fen�omenos difra tivos) perfe tamente mono rom�ati as. Estas ondas onstitu-yen una base de des omposi i�on en modos propios espa iales (la m�as ade uada para unmedio de dimensiones in�nitas) sobre la que proye tar el pulso luminoso uya propaga- i�on queremos estudiar. Adem�as, puesto que por el anal (o medio de propaga i�on) sepretende enviar informa i�on en una determinada dire i�on (por ejemplo el eje z), resul-ta onveniente de�nir un sistema de ejes artesianos en el que las super� ies equifasesean perpendi ulares a esta dire i�on.2. La portadora de la informa i�on es perfe tamente mono rom�ati a y se va a modularen amplitud por medio de una envolvente de dura i�on �nita. Por tanto el an ho debanda del pulso est�a �jado por la an hura espe tral de la transformada de Fourier dela envolvente de di ho pulso.1Los fen�omenos de guiado de la luz, ara ter��sti os de medios de dimensiones transversales �nitas (tales omo la �bra �opti a) se abordan en temas posteriores.



1.2. MODELO DEL MEDIO DIEL�ECTRICO 9

Figura 1.2: Modelo me �ani o tridimensional del �atomoVemos, enton es, que para abordar el estudio de la propaga i�on de pulsos lumino-sos, es ne esario analizar previamente la propaga i�on de ondas totalmente mono rom�ati as,ya que �estas onstituyen su base de des omposi i�on natural. Suponemos que el medio depropaga i�on tiene una respuesta lineal y, por tanto, que podemos utilizar la t�e ni a de latransformada de Fourier para analizar la propaga i�on del pulso. En primer lugar, expresare-mos este pulso omo una suma in�nita (integral de Fourier) de ondas planas mono rom�ati as.A ontinua i�on propagaremos independientemente ada una de estas omponentes para, por�ultimo, sumar (integrar) ada una de �estas y obtener, as��, el pulso al otro extremo del a-nal (medio de propaga i�on). En t�erminos matem�ati os, el pulso propagado se expresa omola antitransformada de Fourier del produ to de la fun i�on de transferen ia del anal (quedes ribe omo se propagan las omponentes mono rom�atri as) multipli ada por la transfor-mada de Fourier del pulso a la entrada. Este m�etodo es apli able s�olo si la intera i�on entreel ampo ele tromagn�eti o y el medio material se puede des ribir por medio de un onjuntode e ua iones diferen iales lineales. Ha ia el �nal de este libro, relajaremos la hip�otesis delinealidad del medio de propaga i�on.1.2. Modelo del medio diel�e tri oEl s��li e es un s�olido v��treo, uya estru tura mi ros �opi a estudiaremos en un ap��tuloposterior 2. Para simpli� ar el an�alisis, vamos a onsiderar que el medio diel�e tri o materiales un gas at�omi o diluido. Los fen�omenos de absor i�on y dispersi�on que dedu iremos de esteestudio, ser�an ualitativamente pare idos a los que se produ en en el s��li e.En la �g. f1.1g se muestra un re into errado que ontiene �atomos de un gas a2Veremos que por tratarse de un material amorfo, apare e un fen�omeno f��si o adi ional que provo aatenua i�on: el s attering Rayleigh.




Figura 1.3: Modelo me �ani o unidimensional del �atomobaja presi�on. Los pro esos de intera i�on luz{materia se produ en porque los �atomos est�an onstituidos por part�� ulas argadas apa es de generar dipolos el�e tri os en presen ia dela luz (el ampo ele tromagn�eti o ejer e fuerzas sobre las part�� ulas argadas y se produ euna separa i�on entre las argas positivas y negativas, indu i�endose, de esta manera, dipolosmi ros �opi os). Estos dipolos mi ros �opi os, onvenientemente sumados (es de ir, teniendoen uenta las olisiones que se produ en entre los �atomos), dan lugar a un momento dipolarma ros �opi o a partir del ual podemos al ular el oe� iente de atenua i�on y el ��ndi e derefra i�on. Estas dos magnitudes, que dependen de la pulsa i�on de la onda que se propagapor el medio, permiten al ular la p�erdida de energ��a que se produ e durante la propaga i�on(la atenua i�on) y el ensan hamiento temporal de los pulsos (dispersi�on).En la �g. f1.2g se muestra el modelo me �ani o del �atomo (modelo de Lorentz) [11℄,en el que la regi�on entral representa el n�u leo del �atomo (donde se en uentra on entradala arga positiva). Los muelles representan las fuerzas ele tromagn�eti as que mantienen alos ele trones ( argas negativas) orbitando alrededor del n�u leo. Vamos a onsiderar quela luz in idente est�a linealmente polarizada 3, por lo que el ampo el�e tri o vibra en unadeterminada dire i�on del espa io, dire i�on en la que se va a produ ir la separa i�on entre argas positivas y negativas y la apari i�on de un momento dipolar mi ros �opi o. Por estemotivo podemos emplear el modelo unidimensional me �ani o del �atomo [11℄ mostrado enla �g. f1.3g. La e ua i�on de movimiento de la arga negativa ( onsideramos que la argapositiva est�a �ja por ser mu ho m�as masiva) es la siguiente:Xi Fi = m�x) m�x = �kx � qE(t)) �x + kmx = � qmE(t) (1.1)3En realidad basta on que el tiempo de oheren ia de la luz sea grande en ompara i�on on el tiempo ara ter��sti o de respuesta de los dipolos indu idos.



1.2. MODELO DEL MEDIO DIEL�ECTRICO 11

-0,4

6

-0,8

0 4

t

082

0,4

0,8

10

Figura 1.4: Evolu i�on temporal del os ilador. Representamos x(t)xÆ en el eje verti al frente a2�tT t en el eje horizontal.donde E(t) es el ampo el�e tri o, k es la onstante de elonga i�on del muelle, q y m sonla arga y la masa del ele tr�on. Ahora bien, esta e ua i�on no tiene en uenta la intera i�onque se produ e entre el dipolo indu ido en el �atomo y el ampo ele tromagn�eti o reado por�el mismo. Este fen�omeno de autointera i�on se puede estudiar de una manera relativamentesen illa apli ando el prin ipio de onserva i�on de la energ��a. Aunque el razonamiento no es ompli ado, no lo vamos a reprodu ir aqu�� y remitimos al le tor interesado a la bibliograf��a[11℄. La on lusi�on de ese estudio es que apare e un nuevo t�ermino en la e ua i�on diferen ialque es propor ional a la velo idad y que representa, por tanto, una disipa i�on de energ��a.�x + �m _x+ kmx = � qmE(t) (1.2)donde � es el oe� iente de fri i�on del muelle. Si ahora de�nimos la pulsa i�on a-ra ter��sti a omo !Æ = q km y el oe� iente de fri i�on normalizado omo = �m nos queda�nalmente la siguiente e ua i�on diferen ial:�x+ _x + !2Æx = �qE(t)m (1.3)Esta e ua i�on diferen ial es sobradamente ono ida en la matem�ati a f��si a. Des ribela vibra i�on forzada de un sistema me �ani o, uya pulsa i�on propia de os ila i�on es !Æ y uyo oe� iente de disipa i�on es . Si el ampo ele tromagn�eti o in idente E(t) tiene una



12 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOSpulsa i�on pr�oxima a !Æ, el sistema entra en resonan ia on este est��mulo externo, robaenerg��a ele tromagn�eti a y la emplea en aumentar su energ��a me �ani a. Comprob�emoslo 4:La rela i�on �x+ _x+!2Æx = 0 es la e ua i�on homog�enea aso iada a (1.3), su polinomio ara ter��sti o es �2 + � + !2Æ = 0 y las ra�� es de este polinomio son: � = � �p 2�4!2Æ2 '� 2�j!Æ donde hemos tenido en uenta que el oe� iente de fri i�on es peque~no. Por tanto,la solu i�on de la e ua i�on homog�enea aso iada a (1.3) es (tomando una referen ia de faseade uada): x(t) = Xoe� 2 t os(!Æt) (1.4)Vemos que el dipolo tiene un modo propio de os ila i�on de pulsa i�on !Æ. Esta vibra i�onest�a amortiguado por la intera i�on entre el ampo ele tromagn�eti o reado por el dipolo onsigo mismo, por lo que el sistema va perdiendo energ��a me �ani a progresivamente, tal omo se muestra en �g. f1.4g. Si U(t) es la energ��a me �ani a total del os ilador, se umple,enton es, la siguiente e ua i�on:U(t) = U(t)pot + U(t) in = 12kx(t)2 + 12m _x2 = U(tÆ)e� t (1.5)>Qu�e o urre si tenemos un ampo ele tromagnt�eti o in idente que os ila a una pul-sa i�on er ana a !Æ? Pues que el �atomo entra en resonan ia, produ i�endose una vibra i�onforzada que roba r�apidamente energ��a a la luz in idente, aumentando su energ��a me �ani a.Este pro eso f��si o se ono e on el nombre de absor i�on. La energ��a me �ani a perdida por elt�ermino de fri i�on del dipolo se tradu e en la emisi�on de fotones de pulsa i�on er ana, perono ne esariamente igual, a !Æ y que se propagan en ualquier dire i�on, on ualquier estadode polariza i�on y ualquier referen ia de fase. Este pro eso f��si o se ono e on el nombre deemisi�on espont�anea. En realidad el dipolo indu ido puede perder energ��a por otros pro esosf��si os que no impli an la emisi�on de fotones [15℄. El estudio mi ros �opi o de los fen�omenosde desex ita i�on, aunque resulta muy interesante, se sale fuera de los l��mites de este libro.En la �g. f1.5g vemos �omo la luz in idente, de pulsa i�on ! ' !o, se aten�ua y �omose generan fotones por emisi�on espont�anea. Estos fotones tiene ara ter��sti as distintas delos absorbidos, ya que el estado de polariza i�on, dire i�on de propaga i�on, referen ia de fasey, hasta ierto punto, pulsa i�on, son aleatorios.1.3. Momentos dipolar mi ros �opi o y ma ros �opi oPara des ribir uantitativamente los pro esos de intera i�on entre la luz y el medioat�omi o, tenemos que al ular el momento dipolar ma ros �opi o sumando los momentos4Por supuesto que esta e ua i�on diferen ial se puede integrar exa tamente empleando el m�etodo de latransformada de Fourier. De he ho esto es lo que haremos on una e ua i�on an�aloga a �esta un po o m�asadelante.



1.3. MOMENTOS DIPOLAR MICROSC �OPICO Y MACROSC �OPICO 13

Figura 1.5: Atenua i�on y emisi�on espont�anea de luzdipolares mi ros �opi os produ idos por los �atomos individuales. A la hora de al ular estasuma, debemos tener en uenta que los �atomos est�an ho ando ontinuamente entre s��, yaque se en uentran sometidos a un movimiento de agita i�on t�ermi a (la temperatura ambientees del orden de 300K). Estas olisiones produ en saltos de fase aleatorios [92℄ en la radia i�onemitida por ada �atomo (la fase instant�anea despu�es de una olisi�on est�a in orrelada onrespe to a la que ten��a antes del hoque). Por este motivo no podemos sumar dire tamente( omo si todas estuvieran en fase) las ontribu iones de los �atomos individuales 5.El objetivo de este apartado es, pre isamente, al ular el ve tor polariza i�on ma- ros �opi o a partir de los momentos dipolares mi ros �opi os indu idos en los �atomos. Deter-minemos, primero, el momento dipolar de un �atomo aislado:�x + _x + !2Æx = �qE(t)m�x(t) = �qx(t) 9>>=>>; ) ��x + _�x + !2Æ x = q2E(t)mt = 0; �x(t) = �xÆ; Ex = 09>>=>>;)�x(t) = �xÆe� 2 t os(!Æt + �Æ) (1.6)Si todos los os iladores estuviesen ini ialmente en fase y no hubiese olisiones entre�atomos, el �al ulo del momento dipolar ma ros �opi o ser��a muy sen illo, s�olo habr��a que5Para tiempos ortos on respe to a las onstantes de relaja i�on del sistema, se produ e las llamadasos ila iones de Rabi [11℄, en las que se produ e un inter ambio peri�odi o de energ��a entre el ampo ele tro-magn�eti o y el medio material.



14 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOS1

3

x

5410

0

0,5

-1

-0,5

2

Figura 1.6: Saltos de fase en el momento dipolar mi ros �opi o produ idos por las olisiones.En el eje verti al se representa el momento dipolar mi ros �opi o normalizado �x�xÆ y en elhorizontal el tiempo normalizado 2�tT .multipli ar por la densidad de �atomos, P (t) = N�x(t)dV . Como hay olisiones (que vamos asuponer el�asti as), tenemos que la evolu i�on temporal del momento dipolar mi ros �opi o deun �atomo aislado es, aproximadamente, la des rita por la �g. f1.6g.El momento dipolar ma ros �opi o de ae mu ho m�as r�apidamente que el mi ros �opi o.Esto es debido a que tras una olisi�on la fase del dipolo se ha e aleatoria, distribuy�endoseuniformemente en el intervalo (0; 2�). Los ampos ele tromagn�eti os emitidos por los dipo-los mi ros �opi os que, en un prin ipio interfer��an onstru tivamente, omienzan a interferirdestru tivamente. Se puede probar f�a ilmente que si T es la variable aleatoria que des ribeel tiempo que trans urre entre dos olisiones su esivas de un dipolo (�atomo) y TÆ es la mediade esta variable aleatoria, enton es el momento dipolar ma ros �opi o viene des rito por lasiguiente e ua i�on diferen ial [92℄:�Px + ( + 2TÆ ) _Px + !2ÆPx = Nq2E(t)dV mTÆ :=< T > (1.7)TÆ es el tiempo que, en promedio, trans urre entre dos olisiones su esivas en un �ato-mo. En la �g. f1.7g se muestra el efe to que las olisiones tienen sobre el momento dipolarma ros �opi o. Se han sumado los momentos dipolares de uatro �atomos que ini ialmentevibraban en fase y se han introdu ido saltos de fases aleatorios (que simulan las olisiones)en ada uno de ellos. Se observa que la suma total de estos momentos dipolares de ae m�as



1.4. SUSCEPTIBILIDAD DIEL�ECTRICA EN MEDIOS DE DOS NIVELES 15

3

x

4

5

-2

1 2

-4

2

40

0

Figura 1.7: T�ermino de de aimiento adi ional produ ido por las olisiones. En el eje verti alse ha representado la suma de los momentos dipolares mi ros �opi os de uatro �atomos quesufren olisiones aleatoriamente, 1�xÆ i=4Xi=1 �xi(t) y en el horizontal el tiempo normalizado 2�tT .r�apidamente que la de un dipolo aislado 6, por lo que las olisiones pueden modelarse in-trodu iendo un t�ermino de fri i�on adi ional en la e ua i�on diferen ial del momento dipolarma ros �opi o, t�ermino que no est�a aso iado a una disipa i�on de energ��a (puesto que las oli-siones son el�asti as). Cono iendo la expresi�on del momento dipolar ma ros �opi o, estamos en ondi iones de analizar los pro esos de intera i�on luz-materia (salvo la emisi�on estimulada,que la estudiaremos uando abordemos los prin ipios de fun ionamiento de los l�aseres).1.4. Sus eptibilidad diel�e tri a en medios de dos nive-lesA laremos, en primer lugar, lo que entendemos por un "medio at�omi o de dos niveles"[11℄. Lo que queremos de ir es que suponemos que el os ilador at�omi o tiene una �uni apulsa i�on propia de os ila i�on !Æ. Esto no es normalmente as�� 7, pero vamos a suponerlopara fa ilitar el an�alisis que sigue.Supongamos que se propaga una onda ele tromagn�eti a mono rom�ati a de pulsa i�on! er ana a !Æ. El ampo ve torial que des ribe las propiedades el�e tri as dentro del medioat�omi o, es el ve tor desplazamiento ~D [9℄ y su expresi�on es:6Por lo que las os ila iones de Rabi son observables s�olo a es alas temporales muy ortas, a menos quela temperatura del gas sea extremadamente baja.7En realidad, nun a lo es. Siempre hay varias fre uen ias de os ila i�on propias involu radas, ya que losestados energ�eti os a esibles para los �atomos son no s�olo dos sino mu hos.



16 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOS~D = �Æ ~E(!) + ~P (!) = �Æ 241 + ~P (!)�Æ ~E(!)35 ~E(!) = �Æ�r(!) ~E(!)�r(!) = 1 + �(!); �(!) := ~P (!)�Æ ~E(!) (1.8)�(!) re ibe el nombre de sus eptibilidad diel�e tri a del medio [9℄, mientras que �r(!)es la onstante diel�e tri a relativa del medio [9℄. Ambas son magnitudes omplejas, uyasexpresiones podemos determinar a partir de la e ua i�on diferen ial que des ribe la evolu i�ontemporal del momento dipolar ma ros �opi o 8:�Px + ( + 2TÆ ) _Px + !2ÆPx = Nq2E(t)dV m~E := E(t) = EÆej!t 9>>=>>; ) f�!2 + j( + 2TÆ )! + !2Æg ~P = Nq2 ~EdV m )�(!) := ~P (!)~E(!) = Nq2dV m�Æ 1(!2Æ � !2) + j( + 2TÆ ) (1.9)Esta resultado debe interpretarse on ierta autela. Evidentemente, el modelo me �a-ni o de Lorentz del �atomo es in orre to. Para estudiar la sus eptibilidad diel�e tri a de unamanera rigurosa, deber��amos emplear un modelo me ano{ u�anti o del �atomo y, para estudiarsu intera i�on on la radia i�on ele tromagn�eti a, tendr��amos que uanti� ar �esta tambi�en.As�� entrar��amos de lleno en un problema de ele trodin�ami a u�anti a [22℄{[42℄{[50℄{[67℄ quequeremos evitar 9.El he ho de modelar el �atomo omo un os ilador me �ani o y onsiderar la radia i�onele tromagn�eti a omo una onda l�asi a permite obtener resultados ualitativamente v�alidos,en los que los par�ametros Nq2dV m�Æ , !Æ y �! := ( + 2TÆ ) han de medirse experimentalmente.Si quisi�eramos determinar el momento dipolar ma ros �opi o reado por un ampoel�e tri o dado, s�olo tendr��amos que al ular la transformada de Fourier de este ampo,multipli arlo por la sus eptibilidad diel�e tri a y, por �ultimo, al ular la antitransformada deFourier de este produ to. Evidentemente, �esto no es m�as que resolver la e ua i�on diferen ialrelativa al momento dipolar ma ros �opi o (una vibra i�on forzada por el t�ermino de ampoel�e tri o).Vamos a des omponer (1.9) en sus partes real e imaginaria y a aproximar ada unade ellas para valores de pulsa i�on er anos a la pulsa i�on ara ter��sti a (! ' !o). De esta8Lo que vamos a ha er es tener en uenta que todos los ve tores tienen una dependen ia temporalsinusoidal (o, si se quiere, fasorial).9Este tratamiento tiene, sin embargo, una gran ventaja: permite ha er un tratamiento exa to de lospro esos de intera i�on luz{materia, a saber, absor i�on, emisi�on estimulada y emisi�on espont�anea y ponerde mani�esto la ��ntima rela i�on que existe entre estos dos �ultimos pro esos.



1.4. SUSCEPTIBILIDAD DIEL�ECTRICA EN MEDIOS DE DOS NIVELES 170,2

0

0,1

-1

-0,1

-0,2

-2

x

3210

-3

Figura 1.8: Parte real de la sus eptibilidad diel�e tri a. En el eje verti al se representa lafun i�on adimensionalizada R[�(!)℄a y en el verti al la pulsa i�on, tambi�en adimensionalizadax = !Æ�! + 2TÆ .manera tendremos una idea del aspe to que presenta esta fun i�on. La expresi�on resultantedepende de una sola variable adimensional y de una �uni a ostante:Rf�(!)g = Nq2dV m�Æ !2Æ � !2(!2Æ � !2)2 + ( + 2TÆ )2!2 == Nq2dV m�Æ 1(!Æ + !)(!Æ � !) + ( + 2TÆ )2 !2(!Æ+!)(!Æ�!) '' Nq2dV m�Æ!Æ 2(!Æ � !)4(!Æ � !)2 + ( + 2TÆ )2 � 2ax4x2 + 1If�(!)g = � Nq2dV m�Æ ( + 2TÆ )!(!2Æ � !2)2 + ( + 2TÆ )2!2 == � Nq2dV m�Æ ( + 2TÆ )!Æ4!2Æ(!Æ � !)2 + ( + 2TÆ )2!2Æ � � a4x2 + 1x := !Æ � ! + 2TÆ a := Nq2dV m�Æ!Æ( + 2TÆ ) (1.10)En las �g. f1.8g y f1.9g se muestran el aspe to de la parte real e imaginaria de lasus eptibilidad diel�e tri a. Al ha er la aproxima i�on ! ' !Æ eliminamos el omportamiento




-1

0,2

-2 0

0,8

x

321

1

0,6

0,4

-3Figura 1.9: Parte imaginaria ( ambiada de signo) de la sus eptibilidad diel�e tri a. En el ejeverti al se representa esta fun i�on adimensionalizada, I[�(!)℄a y en el horinzontal la pulsa i�on,tambi�en adimensionalizada x = !Æ�! + 2TÆ .asimpt�oti o de la parte real de la sus eptibilidad diel�e tri a a bajas fre uen ias, que tiende aun valor onstante que, aproximadamente, es Nq2dV m�Æ!Æ( + 2TÆ ) , mientras que a altas fre uen iastiende a ero. Este resultado es importante porque expli a por qu�e a bajas fre uen ias el��ndi e de refra i�on suele tener valores mayores que a altas fre uen ias [49℄. A partir de laexpresi�on de la sus eptibilidad diel�e tri a podemos dedu ir las ara ter��sti as de atenua i�on ydispersi�on de un medio at�omi o. La magnitud f��si a que nos permite determinar la atenua i�ony dispersi�on de un paquete de ondas es el ��ndi e de refra i�on omplejo que es, por de�ni i�on,igual a la ra��z uadrada de la onstante diel�e tri a relativa del medio. El omportamientodispersivo est�a aso iado a la parte real del ��ndi e de refra i�on, mientras que la atenua i�onest�a dire tamente rela ionada on la parte imaginaria.�r(!) = �;r(!) + j�;;r(!) = 1 +Rf�(!)g+ jIf�(!)gn(!) := q�;r(!) + j�;;r(!) ' 1 + 12Rf�(!)g+ j 12If�(!)gnr(!) ' 1 + 12Rf�(!)g; n (!) ' 12If�(!)g (1.11)En el razonamiento anterior hemos supuesto que la luz se propaga por un medio muydiluido (por ejemplo un gas a baja presi�on), de manera que el oe� iente de absor i�on delmedio es bajo, y el ��ndi e de refra i�on er ano a la unidad. Dado que el ve tor de onda deuna onda plana mono om�ati a que se propaga por un medio diel�e tri o en la dire i�on z es



1.5. SUSCEPTIBILIDAD DIEL�ECTRICA EN MEDIOS DE M�ULTIPLES NIVELES 192

x

1

1,5

95 110 1150

105

0,5

100Figura 1.10: Constante diel�e tri a relativa en un medio de tres transi iones. Se han re-presentado tanto la parte real omo la imaginaria on respe to a la pulsa i�on x dada enTerahertzios.el produ to del ve tor de onda en el va ��o multipli ado por el ��ndi e de refra i�on omplejo,llegamos a la on lusi�on de que su propaga i�on viene des rita por la siguiente expresi�on:k = kÆn(!) = kÆnr(!) + jkÆn (!) := �(!) + j �(!)2Ez = EÆe�(!)z2 ej[!t��(!)z℄ (1.12)�(!) re ibe el nombre de oe� iente de atenua i�on del medio (es un n�umero negativo),mientras que �(!) es la onstante de propaga i�on. La dispersi�on de los pulsos luminosos(el aumento de su dura i�on temporal a medida que se propagan) se produ e, tal omose probar�a m�as adelante, porque la onstante de propaga i�on, �, var��a on repe to a lapulsa i�on, !, de forma no lineal o, lo que es equivalente, porque el ��ndi e de refra i�on nr noes onstante sino que depende de la pulsa i�on.1.5. Sus eptibilidad diel�e tri a en medios de m�ultiplesnivelesLos medios diel�e tri os reales tienen m�ultiples fre uen ias de resonan ia !1; !2; :::; !n,por lo que en realidad la sus eptibilidad diel�e tri a depende de la pulsa i�on de la siguientemanera [49℄:



20 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOS�(!) = Nq2dV m�Æ nXi=1 fi(!2i � !2) + j( i + 2TÆi )! (1.13)fi es un fa tor que mide la importan ia relativa de las distintas transi iones ele tr�oni- as. El aspe to de la varia i�on de la parte real e imaginaria de la onstante diel�e tri a relativa on respe to a la pulsa i�on se muestra en la �g. f1.10g.Resulta evidente que el espe tro de absor i�on �(!) y la ara ter��sti a dispersivadel medio n(!) son fun iones ��ntimamente rela ionadas entre s��. Ambas derivan de unamisma fun i�on ompleja anal��ti a �(!), lo que garantiza que existe una rela i�on ausal entreambas. En estas ondi iones, se puede demostrar que hay dos rela i�ones integrales [62℄{[87℄(rela iones de Kramers-Kronig) entre las fun iones �(!) y n(!). Como normalmente es m�asf�a il medir la ara ter��sti a de atenua i�on, damos la expresi�on que rela iona el ��ndi e derefra i�on on respe to a la onstante de atenua i�on:n(!) = 1 + Æ! P Z 10 �(!;)d!;!;2 � !2 (1.14)Donde la P indi a la parte prin ipal de la integral de Cau hy.1.6. Propaga i�on de pulsos luminososTras estudiar los pro esos de intera i�on luz{materia, estamos en ondi iones de des- ribir la propaga i�on de un pulso luminosos por un medio material diel�e tri o [3℄. Este pulsotienen una �uni a des omposi i�on en ondas planas progresivas y mono rom�ati as ( al ulan-do la transformada de Fourier). Puesto que el medio es lineal (suponemos que las poten ias�opti as son lo su� ientemente bajas omo para que los efe tos no lineales sean despre iables),podremos propagar ada omponente independientemente (empleando para ello un ve torde onda ligeramente distinto para ada omponente, ya que los oe� ientes de atenua i�on e��ndi e de refra i�on dependen de la pulsa i�on) y volver a sumarlas tras la propaga i�on (estoes, al ular la transformada inversa de Fourier). A partir de ahora vamos a denotar la pulsa- i�on de la portadora luminosa mediante !Æ porque es una nota i�on que est�a muy extendida.Por supuesto, no debemos onfundirla on la pulsa i�on propia de los dipolos, ya que a lapulsa i�on de trabajo el oe� iente de atenu i�on de la �bra es muy bajo lo que impli a queestamos muy lejos de �esta.En la �g. f1.11g se muestra la dependen ia temporal de los pulsos que se van a propa-gar: una portadora luminosa de una pulsa i�on perfe tamente determinada, !Æ, modulada poruna envolvente de dura i�on �nita. Si la respuesta impulsional del medio de propaga i�on esh(L; t), donde L es la distan ia re orrida, resulta que podemos expresar el pulso propagadode dos maneras distintas: 1.- Como el produ to de onvolu i�on del pulso por la respuestaimpulsional del anal (o medio de propaga i�on). 2.- Como la transformada inversa de Fourierdel produ to de la fun i�on de transferen ia del anal multipla ada por la transformada deFourier de la se~nal que se propaga:



1.6. PROPAGACI �ON DE PULSOS LUMINOSOS 211

0,5

t

2-20

0-1 1

-0,5

-1Figura 1.11: Pulso luminoso portador de informa i�on. En el eje verti al se ha representadoel ampo el�e tri o normalizado, E(x)EÆ y en el horizontal el tiempo normalizado 2�tT t.U(0; t) = A(0; t)ej!Æth(L; t) )) U(L; t) = U(0; t) � h(L; t) = F�1fF [A(0; t)ej!Æt℄F [h(L; t)℄g =F�1fF [A(0; t)ej!Æt℄e��(!)L2 e�j�(!)Lg = F�1f ~A(0; ! � !Æ)e��(!)L2 e�j�(!)Lg �� F�1f ~A(0;�!)e��(!)L2 e�j�(!)Lg (1.15)En el desarrollo anterior hemos dedu ido que la transformada de Fourier del pulso ala entrada del anal es igual a la transformada de la envolvente, desplazada alrededor de laportadora luminosa !Æ. Ahora vamos a tener en uenta el orden de magnitud de la pulsa i�onde la portadora de la informa i�on (!Æ ' 2� � 192T rads ) y la dura i�on t��pi a de las se~nalesluminosas (del orden de unos 50ps para las tasas binarias m�aximas). Esto ha e que el an hode banda aso iado a la envolvente del pulso sea muy peque~na en ompara i�on on !Æ, por loque podemos aproximar las fun iones e��(!)L2 y e�j�(!)L por medio de un desarrollo en seriede Taylor alrededor de !Æ. La dependen ia de � on respe to a ! es muy d�ebil y podemos onsiderar que es una onstante. Tenemos, por tanto, que la fun i�on de transferen ia del anal (medio de propaga i�on) es aproximadamente igual a:�(!) ' �Æ�(!) ' �Æ + _�ÆL(! � !Æ) + ��Æ2 L(! � !Æ)2))e��(!)L2 ' e��ÆL2e�j�(!)L ' e�j(�ÆL+ _�ÆL�!+ ��Æ2 L�!2)9=;) e��(!)L2 ' e��ÆL2e�j�(!)L ' e�j(�ÆL+ _�ÆL�+ ��Æ2 L�2)9=;)



22 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOSH(�; L) = e��ÆL2 e�j�ÆLe�j _�ÆL�e�j ��Æ2 L�2 (1.16)� := ! � !Æ 2 (�1;+1)Por tanto, el pulso propagado a lo largo del anal es:U(L; t) = F�1f ~A(0; �)e�j _�ÆL�e�j ��Æ2 L�2ge��ÆL2 ej(!Æt��ÆL) (1.17)Vemos, pues, que al ha er el ambio de variable � := !�!Æ, podemos trabajar on latransformada de Fourier de la envolvente ompleja (que es una se~nal en banda base) y onuna fun i�on de transferen ia transladada del anal al origen de fre uen ias (a banda base)que, en de�nitiva, veremos que no es m�as que un �ltro de fase. Anali emos, a ontinua i�on,el signi� ado f��si o de los distintos t�erminos que apare en en la expresi�on �nal:e��ÆL2 es un t�ermino de atenua i�on, que afe ta por igual a las distintas omponentesespe trales. Todas ellas pierden energ��a en igual grado a medida que se van propagandopor el anal por lo que el pulso va perdiendo amplitud (energ��a) sin sufrir ninguna otradistorsi�on en su forma temporal. Si ha emos aso omiso de este t�ermino, el anal se omporta omo un �ltro de fase.ej(!Æt��ÆL) nos permite re uperar la portadora de la se~nal, as�� omo su referen ia de fasesi multipli amos la envolvente ompleja (parti ularizada en z = L) por este t�ermino( on lo que obtenemos la se~nal f��si a).e�j _�ÆL� es un t�ermino lineal en � del �ltro de fase. En el dominio temporal representaun retardo puro de valor tr = _�ÆL. Es es tiempo que tarda el pulso luminoso en llegaral otro extremo del anal.e�j ��Æ2 L�2 es el t�ermino dispersivo y es el que en de�nitiva realmente nos interesa. Lasdistintas omponentes espe trales tienen retardos de grupo ligeramente distintos atr = _�ÆL y estos retardos diferen iales est�an representados por este t�ermino. Por estaraz�on la expresi�on � = k ��Æ2 kL�! es una buena aproxima i�on del ensan hamientotemporal que sufre el pulso tras re orrer la distan ia L y donde �! es la an huraespe tral del pulso que se propaga.Si s�olo estamos interesados en al ular la dispersi�on del pulso, podemos ignorar elretardo temporal y la atenua i�on, y tomar las siguientes expresiones omo 1.- la fun i�on detransferen ia del anal (se muestra en la �g. f1.12g) y 2.- la expresi�on del pulso dispersado:H(�; L) = e�j ��Æ2 L�2U(L; t0) = F�1f ~A(0; �)e�j ��Æ2 L�2g (1.18)Por supuesto �esta no es una se~nal f��si a, ya que se le ha eliminado la portadora. Antesde �nalizar esta se i�on es importante que re ordemos lo siguiente:



1.7. PROPAGACI �ON DE UN PULSO DE ENVOLVENTE GAUSSIANA 23

x

3

3

2

2

1

-2

-1

-1

00-3 1

-3

-2

Figura 1.12: Argumento del �ltro de fase uadr�ati o. El eje verti al representa el argumentoen el rango (��; �) y el horizontal la pulsa i�on adimensional �q 2��ÆL.1. ~A(0; �) no es la transformada de Fourier del pulso luminoso a la entrada del anal. Esla transformada de Fourier de la envolvente ompleja del pulso, que resulta de eliminarla portadora luminosa. En general �esta es una fun i�on ompleja, ya que es om�unque los l�aseres on modula i�on dire ta emitan luz que sufre una ligera varia i�on de lapulsa i�on a lo largo de la dura i�on la envolvente. Es el denominado hirp que se expresamatem�ati amente omo un argumento no onstante de la envolvente ompleja.2. A(L; t) no es el pulso a la salida del anal. Es su envolvente ompleja. Para re uperarel pulso, tenemos que multipli ar por ej(�oL�!ot).1.7. Propaga i�on de un pulso de envolvente gaussianaComo ejemplo vamos a onsiderar un pulso uya pulsa i�on es onstante y uya envol-vente es gaussiana [26℄ (en este aso ~A(0; �) es una fun i�on real). Veremos que este problematiene solu i�on anal��ti a y nos servir�a para omprobar que, adem�as del fen�omeno de dispersi�on(ensan hamiento temporal de la envolvente del pulso), se produ e tambi�en una redistribu- i�on no uniforme de las omponentes espe trales durante la propaga i�on (es de ir, el pulsoadquiere un hirp). Apliquemos el m�etodo general dedu ido en el apartado anterior:E(0; t) = A(0; t)e�j!ot = AÆe� t2�2Æ e�j!Æt ) F [A(0; t)℄ = ~A(0; �) = AÆ�Æp�e� �2(2=�Æ)2 (1.19)



24 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOS1

0,5

t

2-20

0-1 1

-0,5

-1Figura 1.13: Pulso luminoso propagado por un medio on dispersi�on rom�ati a positiva.Enel eje verti al se ha representado el ampo el�e tri o normalizado y en el horizontal el tiemponormalizado 2�tT .Puesto que la fun i�on de transferen ia es:H(�; L) = e��ÆL2 e�j _�ÆL�e ��Æ2 L�2 (1.20)La transformada de Fourier del pulso propagado es:~A(L; �) = AÆ�Æp�e��ÆL2 e�j _�ÆL�e� �24 (�2Æ+2j ��ÆL) == AÆ�Æp�q� 2Æ + 2j ��ÆLe��ÆL2 e�j _�ÆL�q� 2Æ + 2j ��ÆLexp0�� 222�2Æ+2j ��ÆL1A (1.21)En la �ultima igualdad hemos multipli ado y dividido por la desvia i�on t��pi a dela fun i�on Gaussian ompleja para poder al ular la transformada inversa de Fourier. Elt�ermino en exp[�j _�ÆL�℄ representa un retardo temporal puro de _�ÆL segundos y no nosinteresa espe ialmente (ya sabemos que la velo idad de grupo del pulso es 1_�Æ ), por lo quede�nimos un nuevo tiempo t; = t� _�ÆL y expresamos el pulso propagado en fun i�on de estanueva variable temporal:A(L; t0) = F�1[ ~A(L; �)℄ = AÆ�Æq� 2Æ + 2j ��ÆLe��ÆL2 e� t02�2Æ+2j ��ÆL (1.22)



1.7. PROPAGACI �ON DE UN PULSO DE ENVOLVENTE GAUSSIANA 251

0,5

t

2-20

0-1 1

-0,5

-1Figura 1.14: Pulso luminoso propagado por un medio on dispersi�on rom�ati a negativa. Enel eje verti al se ha representado el ampo el�e tri o normalizado E(t)EÆ y en el horizontal eltiempo normalizado 2�tT .Para poder interpretar qu�e ha o urrido on el pulso despu�es de propagarse, tenemosque reordenar la expresi�on anterior, de manera que se vea de una manera lara u�al es laenvolvente y u�al es la fase. Para ello des omponemos el argumento de la fun i�on exponen ial omo la suma de su parte real m�as su parte imaginaria y el oe� iente primero lo expresamosen forma polar forma polar (m�odulo{fase):t02� 2Æ + 2j ��ÆL = t02� 2Æ + 2j ��ÆL � 2Æ � 2j ��ÆL� 2Æ � 2j ��ÆL = t02� 2Æ + 4 ��2ÆL2� 2Æ � j 2��ÆL� 4Æ + 4��2ÆL2 t02q� 2Æ + 2j ��ÆL = vuutq� 4Æ + 4��2ÆL2exp "j tg�1 2��ÆL� 2Æ !# == 4q� 4Æ + 4��2ÆL2exp " j2 tg�1 2��ÆL� 2Æ !# (1.23)Teniendo en uenta las rela iones anteriores, resulta:A(L; t0) = AÆ�Æ4q� 4Æ + 4��2ÆL2 e��ÆL2 exp0B�� t02� 2Æ + 4 ��2ÆL2�2Æ 1CA exp j "�12 tg�1 2��ÆL� 2Æ !+ 2��ÆLt02� 4Æ + 4��2ÆL2 #(1.24)



26 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOSInterpretar esta f�ormula es sen illo, ya que podemos determinar la expresi�on de laenvolvente y de la fre uen ia instant�anea:kA(L; t0)k = exp��ÆL2 � AÆ�Æ4q� 4Æ + 4��2ÆL2 exp0B�� t02� 2Æ + 4 ��2ÆL2�2Æ 1CAarg[A(L; t0)℄ = �12 tg�1 2��ÆL� 2Æ !+ 2��ÆL� 4Æ + 4��2ÆL2 t02 )�(t0) := 12� � arg[A(L; t0)℄�t0 = 2� ��ÆL� 4Æ + 4��2ÆL2 t0 (1.25)En estas expresiones omprobamos que la desvia i�on t��pi a de la envolvente del pulso re e linealmente on la distan ia re orrida y on el valor absoluto del oe� iente de disper-si�on rom�ati a. Advertimos, adem�as, que en el pulso se produ e un ambio en la pulsa i�oninstant�anea, aumentando �esta linealmente on el tiempo (adquiere un hirp positivo) si elsigno del oe� iente de dispersi�on rom�ati a es positivo y disminuyendo (adquiere un hirpnegativo) si el signo del oe� iente de dispersi�on rom�ati a es negativo, tal omo se muestraen las �g. f1.13g y f1.14g. Si queremos pasar a fre uen ias f��si as, no tenemos m�as quesustituir ! = !Æ + �.



1.8. PROBLEMAS 271.8. ProblemasProblema 1: Determinar el ensan hamiento temporal que sufre un pulso deenvolvente gaussiana si est�a ini ialmente hirpeado. Considere los uatro asosposibles: hirp ini ial positivo o negativo y dispersi�on rom�ati a positiva o negativa.Solu i�on: La envolvente ompleja de un pulso on hirp tiene la siguiente expresi�on [26℄anal��ti a10:A(0; t) = AÆe� (1+jCÆ)t22�2Æ ) F [A(0; t)℄ = ~A(0; �) = AÆs 2�� 2Æ1 + jCÆ exp0�� 22(1+jCÆ)�2Æ 1AVemos que la desvia i�on t��pi a del pulso se ve in rementada por un fa tor q1 + C2Æfrente al aso no hirpeado. CÆ representa la pendiente de la pulsa i�on a lo largo del pulso ambiada de signo, ya que si derivamos la parte ompleja del argumento de la fun i�ongaussiana obtenemos: � = �CÆt�2Æ . La transformada de Fourier del pulso propagado es:~A(L; �) = AÆr 2��2Æ1+jCÆ exp 24� �22(1+jCÆ)�2Æ 35 exp �j ��Æ2 L�2! == AÆr 2��2Æ1+jCÆ exp "��2 � 2Æ + (1 + jCÆ)j ��ÆL2(1 + jCÆ) #)~A(L; �) = AÆ�Æq 1�2Æ+(1+jCÆ)j ��ÆLexp 2664� �242�2Æ+2(1+jCÆ)j ��ÆL1+jCÆ 3775vuut�(2� 2Æ + 2(1 + jCÆ)j ��ÆL)1 + jCÆSi ahora al ulamos la transformada inversa obtenemos:A(L; t0) = F�1[ ~A(L; �)℄ = AÆ�Æq� 2Æ + (1 + jCÆ)j ��ÆLexp � t02(1 + jCÆ)2� 2Æ + 2(1 + jCÆ)j ��ÆL!Si ahora tenemos en uenta que:AÆ�Æq� 2Æ + (1 + jCÆ)j ��ÆL = AÆ�Æ4r(1� CÆ ��ÆL�2Æ )2 + ��2ÆL2�4Æ exp "�j2tg�1 ��ÆL� 2Æ � CÆ ��ÆL!#y que:10No estamos siendo onsistentes on las expresiones utilizadas anteriormente. Aqu�� Æ es la desvia i�ont��pi a.




600

3,5

3

400

1

800200

L

1,5

0

2,5

1000

2

Figura 1.15: En esta �gura se ha representado el ensan hamiento sufrido por los pulsos, ��Æ ,frente a la distan ia re orrida en Km. El par�ametro dispersivo es �� = 20ps2=Km, la dura i�onini ial de los pulsos era de 100ps y el par�ametro del hirp CÆ ha tomado los valores -1, -0.5,0, 0.5 y 1.�t022 (1 + jCÆ)(� 2Æ � CÆ ��ÆL) + j ��ÆL = �t022 (1 + jCÆ)(� 2Æ � CÆ ��ÆL) + j ��ÆL (� 2Æ � CÆ ��ÆL)� j ��ÆL(� 2Æ � CÆ ��ÆL)� j ��ÆL =�t022 � 2Æ + j[CÆ� 2Æ � (1 + C2Æ) ��ÆL℄(� 2Æ � CÆ ��ÆL)2 + ��2ÆL2Obtenemos �nalmente:A(L; t0) = AÆ4r(1�CÆ ��ÆL�2Æ )2+ ��2ÆL2�2Æ exp 264�12 t02� 2Æ + ��2ÆL2�2Æ (1 + C2Æ )� 2CÆ ��ÆL375exp "�t022 j[CÆ� 2Æ � (1 + C2Æ) ��ÆL℄(� 2Æ � CÆ ��ÆL)2 + ��2ÆL2 � j2tg�1 ��ÆL� 2Æ � CÆ ��ÆL!#Ya estamos en disposi i�on de identi� ar el m�odulo y el argumento de la fun i�on:kA(L; t0)k = AÆ4r(1� CÆ ��ÆL�2Æ )2 + ��2ÆL2�2Æ exp 264�12 t02� 2Æ + ��2ÆL2�2Æ (1 + C2Æ)� 2CÆ ��ÆL375arg[A(L; t0)℄ = �t022 j[CÆ� 2Æ � (1 + C2Æ) ��ÆL℄(� 2Æ � CÆ ��ÆL)2 + ��2ÆL2 � j2tg�1 ��ÆL� 2Æ � CÆ ��ÆL



1.8. PROBLEMAS 29Viendo de la e ua i�on (1.26) es f�a il omprender el omportamiento ualitativo de lapropaga i�on de un pulso hirpeado. Siempre que la dispersi�on rom�ati a ( ��) y el oe� ienteaso iado al hirp (CÆ) tengan signos iguales, existir�a una determinada distan ia durante laque el pulso se omprime y, a partir de ese momento, se dispersa a un ritmo que ya nodepende del signo del hirp, sino de su valor absoluto. Esto se muestra en la �g. f1.15g. Sepuede, adem�as, al ular la distan ia a la ual la dura i�on del pulso es m��nima; basta onminimizar, en fun i�on de L, la desvia i�on uadr�ati a media del pulso:��L "� 2Æ + ��2ÆL2� 2Æ (1 + C2Æ )� 2CÆ ��ÆL# = 0) L = CÆ1 + C2Æ � 2Æ��ÆDe nuevo podemos omprobar que s�olo se obtiene una solu i�on on sentido f��si o si el signodel hirp y de la dispersi�on rom�ati a son iguales. Adem�as vemos que para esta distan iase anula el hirp en el pulso, on lo que las ondi iones de ompresi�on m�axima y hirp nulo oin iden: ��t0 arg[A(L; t0)℄ = 0) L = CÆ1 + C2Æ � 2Æ��Æ



30 CAP�ITULO 1. PROPAGACI �ON DE PULSOS POR MEDIOS DISPERSIVOSProblema 2: Considere la propaga i�on de un pulso de envolvente gaussiana. Lafre uen ia es de 192THz, la dura i�on ini ial es �Æ = 1ps y el oe� ientede dispersi�on rom�ati a es �� = 20ps2=Km. El pulso re orre una distan iade 100Km. Se pide estimar las fre uen ias m�axima y m��nima del pulso y suposi i�on relativa.Solu i�on: Tal omo hemos visto, la desvia i�on t��pi a de un pulso gaussiano no hirpeado re e a un ritmo �jado por la siguiente expresi�on:� 0o = vuut� 2o + 4 ��2oL2� 2o ' 2 ��oL�odonde hemos tenido en uenta que el ensan hamiento temporal produ ido a lo largo delos 100Km es grande en ompara i�on on la dura i�on ini ial del pulso. Vamos a onsiderar omo extremos temporales del pulso ensan hado, los tiempos t = �3�Æ0 y t = 3�Æ0.Las ex ursiones en fre uen ia (frente a 192THz) est�an dadas por:�(t0) = 2� ��oL� 4o + 4��2oL2 t0 ' 12� ��oLt0 on lo ual: �� 0o = 6� 0o = 1220ps2=Km� 100Km1ps = 24nsfmax = fÆ + 3��Æ = 192; 955THzfmin = fÆ � 3��Æ = 191; 045THzComo el signo de la dispersi�on rom�ati a es positivo, eso indi a que el timepo de propa-ga i�on re e on la fre uen ia, por lo que primero llegan las fre eun ias m�as bajas y luegolas m�as altas.



Cap��tulo 2Propaga i�on de ondas luminosas en�brasResumen: Para des ribir el omportamiento de una �bra �opti a, ne esitamos ono er tres propiedades de �esta: 1.- La ara ter��sti a de inye i�on, 2.- La ara te-r��sti a de atenua i�on y 3.- La ara ter��sti a dispersiva. Las ara ter��sti as deatenua i�on y dispersi�on dependen, fundamentalmente, de las propiedades f��si asdel material on el que se fabri an las �bras (generalmente s��li e), aunque en ladispersi�on apare e un t�ermino adi ional aso iado al guiado de la luz. En �bras quesoportan m�as de un modo de propaga i�on (�bras multimodo) este t�ermino re ibeel nombre de dispersi�on intermodal, mientras que en las que existe un �uni omodo (�bras monomodo) se le llama dispersi�on de gu��a.En este ap��tulo estudiaremos super� ialmente las �bras multimodo (usando laaproxima i�on de la �opti a geom�etri a), mientras que analizaremos m�as detallada-mente la propaga i�on de luz en �bras monomodo utilizando la �opti a ele tro-magn�eti a. El desarrollo matem�ati o que permite dedu ir su e ua i�on de dispersi�ons�olo se va a esbozar, dej�andose omo ejer i io para el le tor que ompletelos pasos omitidos. En el pr�oximo ap��tulo emplearemos los resultados obtenidosen �este para determinar las ara ter��sti as dispersivas de una �bra monomodoest�andar.

31



32 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRAS-4

n(r)

r

r=a

n1

n 2

~5x10

a~3 m

-2

a~25 m

n(r)

r

r=a

n1

n2

~10

n(r)

r

r=a

n1

n2

~10

a~12 m

-2

SM

MM

GI

Figura 2.1: Tres tipos de �bras �opti as; a representa el radio del n�u leo y � el salto de ��ndi eadimensional.2.1. Introdu i�onLa �bra �opti a permite guiar longitudinalmente los pulsos luminosos, evitando quesu energ��a se diperse. El guiado de la luz se onsigue gra ias a que en las er an��as del eje dela �bra hay una regi�on il��ndri a, donde el ��ndi e de refra i�on es m�as elevado: esta zona dela �bra se denomina n�u leo. El resto re ibe el nombre de orteza e, idealmente, se extiendetransversalmente hasta el in�nito. Las �bras �opti as se pueden lasi� ar en dos grandesfamilias, seg�un soporten mu hos modos 1 de propaga i�on (�bras multimodo) 2 o un �uni omodo de propaga i�on (�bras monomodo).En la �g. f2.1g se muestra la estru tura optoge�ometri a de tres tipos de �bras: la �bramultimodo a salto de ��ndi e (MM), la �bra multimodo a gradiente de ��ndi e (GI) y la �bramonomodo est�andar (SM). Vemos que las �bras multimodo tienen un n�u leo de di�ametrogrande y una diferen ia relativamente importante entre los ��ndi es de n�u leo y orteza. Por ontra, la �bra monodo est�andar tiene un n�u leo de di�ametro peque~no y la diferen ia entrelos ��ndi es de n�u leo y orteza es mu ho menor que en las multimodo. De esta manera se onsigue, tal y omo probaremos m�as tarde, que, a la longitud de onda de trabajo, exista un�uni o modo guiado.1Un modo de propaga i�on es una distribu i�on transversalmente esta ionaria y longitudinalmente pro-gresiva del ampo ele tromagn�eti o. Adem�as, la densidad de energ��a debe tender a ero a medida que nosalejamos del eje de la �bra.2T��pi amente varios entenares.



2.2. �OPTICA GEOM�ETRICA 33

n

n

1

2

c

o

Figura 2.2: Apertura num�eri a de una �bra �opti a.De una �bra �opti a nos interesa ono er tres propiedades distintas, que son:1. La ara ter��sti a de inye i�on. Nos indi a la forma en la que debemos pro eder parainye tar de manera e� iente poten ia �opti a dentro de la �bra y onseguir, adem�as,que �esta se propague longitudinalmente.2. La ara ter��sti a de atenua i�on. La ontante de atenua i�on permite determinar aqu�e ritmo pierden energ��a los pulsos luminosos durante su propaga i�on por la �bra.3. La ara ter��sti a de dispersi�on. Predi e el ensan hamiento temporal que sufren lospulsos luminosos en fun i�on de la distan ia re orrida a lo largo de la �bra.2.2. �Opti a geom�etri aEl uso de la �opti a geom�etri a est�a justi� ado en aquellas situa iones en los que lasdimensiones transversales del medio de propaga i�on son muy grandes en ompara i�on onla longitud de onda de la luz [17℄. Las �bras multimodo a salto de ��ndi e tienen di�ametrosde n�u leo del orden de 50�m y las multimodo a varia i�on gradual del orden de 25�m. En ambio las �bras monomodo est�andar tienen n�u leos mu ho m�as peque~nos: el di�ametro esdel orden de 5�m. As��, pues, el uso de esta aproxima i�on est�a relativamente justi� ado enlas �bras multimodo, mientras que no lo est�a en absoluto en las �bras monomodo.En la �g. f2.2g se ha representado la super� ie de entrada de una �bra a salto de��ndi e (es de ir, una �bra en la que la varia i�on de ��ndi e entre n�u leo y orteza o urre demanera brus a). >Qu�e tiene que o urrir para que el rayo inye tado a la entrada se propaguesin perder energ��a? Evidentemente, tiene que produ irse una re exi�on total en la super� iede separa i�on entre el n�u leo y la orteza. Es de ir, se tiene que veri� ar que �r � �2 , donde �rrepresenta el �angulo que forma el rayo refra tado (no representado en la �gura) on respe to



34 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRASc

t min

t maxFigura 2.3: Dispersi�on intermodal en una �bra multimodo a salto de ��ndi e (izquierda) y �al ulo de la disperisi�on aso iada a los rayos de velo idades extremas (dere ha).a la normal a la super� ie de separa i�on entre n�u leo y orteza. Para dedu ir qu�e rayo a laentrada umple las ondi iones r��ti as de in iden ia (es de ir, �r = �2 ), apli amos la ley deSnell: n1 sin �i = n2 sin �r�r = �2 )) sin �i = n2n1 ) nÆ sin �Æ = n1 sin(�2 � �i) = n1 os �i )sin �Æ = n1 os �i = n1r1� n21n22 (2.1)Si ahora de�nimos:� := n21 � n222n21 = (n1 + n2)(n1 � n2)2n21 �= 2n1(n1 � n2)2n21 = n1 � n2n1 (2.2)En la expresi�on anterior hemos tenido en uenta que los ��ndi es de refra i�on den�u leo y orteza toman valores muy pr�oximos entre s��, de manera que a la hora de al ularn1+n2 no ometemos un error apre iable si onsideramos que ambos ��ndi es son iguales. La onstante � re ibe el nombre de salto de ��ndi e adimensional y la expresi�on que normalmentese utiliza para al ularlo es la �ultima que es, adem�as, la que justi� a este nombre. Finalmentenos queda: sin �Æ = n1p2�) �Æ = sin�1(n1p2�) ' n1p2� (2.3)La �ultima expresi�on es aproximadamente ierta debido a que el salto de ��ndi e adi-mensional es muy peque~no para todas las �bras utilizadas en omuni a iones �opti as. Porsupuesto, el �angulo �Æ (que re ibe el nombre de apertura num�eri a) se mide en unidades na-turales, esto es, en radianes 3. Ahora vamos a dar valores t��pi os para una �bra multimodo a3En el razonamiento he ho, hemos supuesto que los rayos son meridianos, esto es, rayos que ortan el eje



2.2. �OPTICA GEOM�ETRICA 35n(r)

r

n2

n1

r=a

Figura 2.4: Iguala i�on de los tiempos de propaga i�on en una �bra multimodo a gradiente de��ndi e.salto de ��ndi e y para una �bra monomodo est�andar. El resultado obtenido ser�a uantitativa-mente v�alido para �bras multimodo y, omo mu ho, s�olo ualitativamente v�alido para �brasmonomodo (lo que pretendemos es poner de mani�esto lo ompli ado que resulta a oplarluz en una �bra monomodo).Fibra monomodo: n1 ' 1; 45; � ' 5� 10�4 ) �Æ � 3ÆFibra multimodo: n1 ' 1; 45; � ' 1� 10�2 ) �Æ � 12ÆDesde el punto de vista de la ara ter��sti a de inye i�on, la �bra multimodo tienemejores presta iones que la monomodo, ya que resulta mu ho m�as f�a il a oplar poten ia�opti a en ellas. Adem�as, dado que tienen n�u leos mu hos m�as grandes, resultan m�as f�a ilesde empalmar (ya sea me �ani amente o por soldadura), motivo por el ual los primerossistemas de omuni a iones �opti as que se dise~naron empleaban este tipo de �bra.La apertura num�eri a de�ne el llamado ono de a epta i�on de la �bra. Cualquier rayoinye tado en el ono y que tenga un �angulo de in iden ia inferior a la apertura num�eri ase propaga longitudinalmente. El ono est�a de�nido por la se i�on ir ular del n�u leo y lasre tas que, pasando por su ir unferen ia, ortan al eje formando un �angulo �Æ, tal y omose miestra en la �g. f2.2g.Ahora vamos a evaluar la ara ter��sti a dispersiva de las �bras multimodo a saltode ��ndi e, onsiderando s�olo la propaga i�on de rayos meridianos. En la �g. f2.3g, en suparte izquierda, se muestran distintas familias de rayos que, evidentemente, forman �angulosdistintos on el eje de la �bra. Como la velo idad de la luz es, en todos los asos Æn1 , dedu imosque la velo idad axial es distinta en ada familia de rayos. Por onsiguiente, rayos que seinye taron simult�aneamente al prin ipio de la �bra, llegan al otro extremo en instantesdistintos, produ i�endose un ensan hamiento temporal del pulso que se propaga por la �bra.Este ensan hamiento temporal se ono e on el nombre de dispersi�on intermodal. Vamos,ahora, a tratar de uanti� arlo.longitudinal de la �bra. Si el rayo es obli uo, se puede demostrar que su ondi i�on de re exi�on total es m�aslaxa, por lo que tenemos garantizado que si un rayo est�a dentro del ono de a epta i�on, se va a propagarlongitudinalmente.



36 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRASr

r=a

=

=10

=2

=1Figura 2.5: Per�l de varia i�on del ��ndi e de refra i�on para varios valores de �.En la misma �g. f2.3g, en su parte dere ha, se ha representado tambi�en el rayo m�asveloz de todos (que se propaga paralelamente al eje, siguiendo la traye toria m�as orta) y elm�as lento, para el que se dan ondi iones r��ti as de re exi�on y, por tanto, sigue la traye toriam�as larga. Podemos al ular f�a ilmente el tiempo que tardan uno y otro en llegar al extremode la �bra y, al al ular la diferen ia, estimar el ensan hamiento temporal que sufre el pulsoluminoso:tmaxL = n1 Æ 1sin(� r) = n21 Æn2tminL = n1 Æ 9>>>=>>>;) �L = tmax � tminL = n1 Æ (n1n2 � 1) = n21 Æn2 n1 � n2n1 )�L = n21� Æn2 (2.4)Si damos valores t��pi os para el aso de una �bra multimodo a salto de ��ndi e (MM)tendremos que n1 ' 1; 45 y � ' 10�2 por lo que dedu imos que BmaxLmax ' L� � 5Mb=s�Km. Vemos, pues, que on este tipo de �bras no se pueden transmitir grandes tasas binariasa grandes distan ias, motivo por el que no se usan omer ialmente. La dispersi�on intermodalapare e omo onse uen ia de que existen distintas familias de rayos (modos de propaga i�on)que viajan on velo idades longitudinales muy distintas. Por motivos obvios, en las �brasmonomodo no hay dispersi�on intermodal.Una forma de paliar este problema onsiste en fabri ar �bras multimodo en las queel ��ndi e de refra i�on no permanez a onstante en el n�u leo de la �bra. El ��ndi e disminuyea medida que nos alejamos del eje, de manera que aquellos rayos que tienen que re orrerdistan ias mayores (que se alejan m�as del eje de la �bra), tienen velo idades medias m�asaltas ("ven", en promedio, ��ndi es menores) de forma que se redu en las diferen ias entre



2.2. �OPTICA GEOM�ETRICA 372

1,5

p

1

-1

-0,5

1,5 2,50

1

0,5

2 3

Figura 2.6: Dispersi�on intermodal en una �bra a gradiente de ��ndi e. Se muestran tanto la urva te�ori a omo te nol�ogi a. En el eje verti al se ha representado log10( �=L1ns=Km) y en elhorizontal el par�ametro de de�ni i�on del per�l que aqu�� se denota mediante la letra p.los tiempos de propaga i�on de los distintos modos guiado. Esto se muestra en la �g. f2.4g.Ahora se plantea un problema obvio. >Cu�al es el per�l de varia i�on del ��ndi e de refra i�onque minimiza la dispersi�on intermodal? Para resolver esta uesti�on, de�nimos una familia deper�les de varia i�on del��ndi e de refra i�on que depende de un �uni o par�ametro �, par�ametroque al aumentar ha e que la varia i�on del ��ndi e entre el eje y la orteza sea m�as brus a.El rango de varia i�on es 0 � � � 1 y en la �g. f2.5g se muestran los per�les aso iadosa algunos valores parti ulares de �. La expresi�on anal��ti a de esta familia de per�les es lasiguiente: n(r) := ( n1[1��( ra)�℄ r � an1[1��℄ = n2 r � a (2.5)Se puede al ular (aunque no lo haremos) la dispersi�on intermodal para ada valordel par�ametro � y representar, por tanto, el valor de la dispersi�on frente a �, tal omo semuestra en la �g. f2.6g.La mejora que se obtiene [41℄{[76℄ para el per�l �optimo (que es aproximadamenteparab�oli o 4) es extremadamente grande, siendo la expresi�on del ensan hamiento temporaldel pulso la siguiente: �L = n2�28 Æ (2.6)4El per�l �optimo se produ e para un valor de � = 2(1��), aunque no lo vamos a demostrar. El le torinteresado en ono er la justi� a i�on de este resultado puede onsultar la bibliograf��a adjunta.



38 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRASde he ho, la mejora es tan buena que, si realmente hubiese sido posible onstruir �bras uyos per�les de varia i�on del ��ndi e fuesen exa tamente iguales al �optimo, la introdu i�onde los sistemas basados en �bras monomodo podr��a haberse retrasado durante mu hos a~nos.El problema es que el m��nimo de la dispersi�on intermodal es tan abrupto (en un primerorden de aproxima i�on, la dispersi�on intermodal tiende a ero y en un segundo toma el valordado en la expresi�on anterior) que es te nol�ogi amente inviable un pro eso de fabri a i�onde �bras on toleran ias lo su� ientemente peque~nas que permitan a er arnos a este valor�optimo. Esto se pone de mani�esto en la �g. f2.6g, donde su ha representado tambi�en la urva dispersiva de una �bra te nol�ogi amente viable.Pasamos, a ontinua i�on, a estudiar las �bras �opti as que realmente nos interesan:las monomodo. De entre todas ellas, nos vamos a entrar en las �bras monomodo est�andar,que aunque no son las que se suelen instalar en los enla es de hoy en d��a, son las �uni as quepueden estudiarse anal��ti amente. Adem�as son las �bras que m�as se emplearon en la d�e adade los 90 del pasado siglo.2.3. E ua iones de ondaEn este apartado queremos determinar los modos de propaga i�on de una �bra mo-nomodo est�andar (SMF). Por modo de propaga i�on entendemos una onda mono rom�ati aprogresiva (esto es, que se propaga) a lo largo del eje longitudinal de la �bra, manteniendoesta ionaria la distribu i�on transversal del ampo ele troman�eti o. Adem�as, la densidad deenerg��a tiende r�apidamente a ero a medida que nos alejamos del eje de la �bra.A partir de las E ua iones de Maxwell vamos a dedu ir las e ua iones lineales quedes riben la propaga i�on de ondas mono rom�ati as a trav�es de �bras SMF, teniendo uidadode no perder informa i�on relevante en esta dedu i�on 5. Puesto que el medio posee simetr��a il��ndri a pare e, en prin ipio, l�ogi o utilizar este tipo de oordenadas 6.r� ~E = �� ~B�tr� ~H = � ~D�t~B = �Æ ~H; ~D = �Æ ~E + ~P~P = �Æ Z t�1 �(~r; t� �) ~E(�)d�9>>>>>>=>>>>>>; Ft!!*)F�1!!t 8>>>><>>>>: r� ~E! = �j! ~B!r� ~H! = j! ~D!~B! = �Æ ~H!; ~D! = �Æn2(!) ~E!~P! = �Æ�(!) ~E!; �r(!) = 1 + �(!) = n2(!) (2.7)En el dominio temporal, la integral de onvolu i�on que rela iona el momento dipolarma ros �opi o ~P on el ampo el�e tri o ~E tiene una interpreta i�on lara: el medio materialtiene iner ia o, si se quiere, memoria y el valor ~P en el instante a tual depende no s�olodel valor de ~E en este pre iso instante, sino tambi�en de los valores que tom�o en el pasado.Estamos dando por he ho que � no depende de ~E, lo ual es ierto siempre y uando el5Con esto queremos de ir que las e ua iones dedu idas ser�an equivalentes a las de Maxwell en lo quese re�ere a la propaga i�on. No servir�an, por supuesto, para des ribir otros fen�omenos ele tromagn�eti osdistintos que pudieran darse en la �bra.6M�as adelante veremos algo que es ontraintuitivo: uando los ��ndi es de refra i�on de n�u leo y ortezason muy pare idos, es m�as onveniente elegir un sistema de oordenadas artesianas.



2.3. ECUACIONES DE ONDA 39 ampo el�e tri o no sea ex esivamente intenso, es de ir, uando la fuerza que se ejer e sobrelos os iladores at�omi os no es lo su� ientemente grande omo para que la fuerza atra tivaque mantiene al ele tr�on orbitando alrededor del n�u leo deje de ser lineal (propor ional aldesplazamiento) y el os ilador ya no sea arm�oni o. A lararemos este punto en el �ultimo ap��tulo de este libro, uando tratemos efe tos no lineales en sistemas de omuni a ionespor �bra �opti a. Tambi�en supondremos (y esto es rigurosamente ierto, ya que el s��li e es uns�olido v��treo y, por tanto, anis�otropo) que � es una fun i�on y no un tensor 7.Pare e evidente que las e ua iones de la dere ha (en el dominio de Fourier) sonmatem�ati amente m�as sen illas que las de la izquierda: !, al ontrario que t, no es unavariable sino un par�ametro y la integral de onvolu i�on se ha transformado en el produ tode una fun i�on ono ida (la sus eptibilidad diel�e tri a del s��li e) por el ampo el�e tri o (en eldominio espe tral, por supuesto). Puesto que queremos estudiar fen�omenos de propaga i�ontenemos que llegar a una e ua i�on de ondas. Conseguirlo es sen illo: obtenemos el rota ionalde la primera e ua i�on de la dere ha y tenemos en uenta las dem�as:r�r� ~E! = �j!�Æ(r� ~H!) = !2�Æ�Æn2(!) ~E! = !2n2(!) 2Æ ~E! = k2Æn2(!) ~E!r�r� ~E! = r(r � ~E!)�� ~E! = �� ~E! 9=;)� ~E! + k2Æn2(!) ~E! = 0 (2.8)Operando de manera an�aloga on la segunda e ua i�on, llegamos a una expresi�onsimilar en t�erminos del ampo magn�eti o. Por tanto, nos queda el siguiente sistema:� ~E! + k2Æn2(!) ~E! = 0� ~H! + k2Æn2(!) ~H! = 0n(!) = n1(!) r � a; n(!) = n2(!) r � a9>>>>>>=>>>>>>; (2.9)

Cada uno de los dos ampos tiene tres omponentes r; � y z, por lo que, aparentemente,se propagan seis ondas de manera independiente. Evidentemente, esto no es as�� 8 y lo queo urre es que este sistema no es equivalente al de partida y ontiene menos informa i�on (enestas e ua iones hay grados de libertad no f��si os) que aqu�el. En realidad s�olo dos de lase ua iones de onda son independientes entre s�� y la ele i�on de �estas es, hasta ierto punto,arbitraria. Cuando se trabaja en oordenadas il��ndri as, lo m�as �omodo es tomar omoindependientes las omponentes z de ambos ampos. Teniendo en uenta la expresi�on deloperador lapla iano en oordenadas il��ndri as, nos quedan las e ua iones:7Hablando de una manera m�as rigurosa, � es un tensor diagonal, on todos sus elementos iguales.8Sabemos que si el medio es is�otropo, los ampos ~E y ~H han de ser lo almente ortogonales entre s�� yperpendi ulares a su vez al ve tor de onda.



40 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRAS�2Ez!�r2 + 1r �Ez!�r + 1r2 �2Ez!��2 + �2Ez!�z2 + k2Æn2(!)Ez! = 0�2Hz!�r2 + 1r �Hz!�r + 1r2 �2Hz!��2 + �2Hz!�z2 + k2Æn2(!)Hz! = 0n(!) = n1(!) r � a; n(!) = n2(!) r � a9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; (2.10)

Supongamos que ya hemos integrado las dos e ua iones en derivadas par iales ante-riores. >C�omo podemos al ular el resto de omponentes del ampo? Para ha erlo, tenemosque volver a usar las e ua iones de Maxwell y dedu ir, a partir de �estas, las expresiones delas omponentes transversales de los ampos el�e tri o y magn�eti o. Despu�es de una serie deopera iones algebrai as, se llega a 9:~Etr = 1k2Æn2(!)� �2(!) [j!�Ærtr � ~Hz � j�(!)rtr ~Ez℄~Htr = 1k2Æn2(!)� �2(!)[�j!�Ærtr � ~Ez � j�(!)rtr ~Hz℄rtr = ~ur ��r + ~u� �r��9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>; (2.11)

En estas expresiones apare e una onstante, �(!) que re ibe el nombre de onstantede propaga i�on del/los modo(s) guiado(s) de la �bra. Para determinar los modos guiados dela �bra, la manera de pro eder es la siguiente: En primer lugar debemos integrar las e ua io-nes en derivadas par iales (2.10) y determinar las omponentes axiales ( omponentes seg�unel eje z) de los ampos el�e tri o y magn�eti o. Al ha erlo, apare en una serie de onstantesde integra i�on uyos valores hay que determinar imponiendo las ondi iones de ontorno delproblema. Como estamos estudiando fen�omenos ele tromagn�eti os en el seno de diel�e tri- os, estas ondi iones de ontorno son la ontinuidad de las omponentes normales de losve tores indu i�on magn�eti a y ve tor desplazamiento y la de las omponentes tangen ia-les de los ve tores ampo el�e tri o y magn�eti o, tal omo se muestra en la �g. f2.9g. Esta ontinuidad debe veri� arse en la super� ie de separa i�on entre los dos medio diel�e tri os,n�u leo y orteza. El resto de omponentes no tienen por qu�e ser ontinuas en esta interfase.Las omponentes normales y tangen iales, se al ulan a partir de las axiales empleando lasrela iones dadas por las e ua iones (2.11). Al imponer las on i iones de ontorno, se ve-ri� a que todas las onstantes de integra i�on son nulas (solu i�on trivial: por la �bra no sepropaga luz alguna) a menos que �(!) tome un valor determinado, solu i�on de una e ua i�onalgebrai a: es la llamada e ua i�on de dispersi�on.Ahora planteamos una de las dos e ua iones en derivadas par iales, onsiderando quelos ��ndi es de refra i�on de n�u leo y orteza no depende de la pulsa i�on !. De esta maneravamos a determinar ex lusivamente el t�ermino de la dispersi�on rom�ati a que depende delguiado de la luz: la llamada dispersi�on de gu��a. Por tanto, lo que nos queda es:9A partir de ahora dejaremos de utilzar el sub��ndi e ! para simpli� ar la nota i�on.



2.3. ECUACIONES DE ONDA 41

6

0,2

0

-0,4

4

0,4

0

0,8

1

0,6

102

-0,2 x

8

Figura 2.7: Fun iones de Bessel de primera espe ie Jo, J1, J2 y J3.�2Ez�r2 + 1r �Ez�r + 1r2 �2Ez��2 + �2Ez�z2 + k2Æn2Ez = 0n = n1 r � a; n = n2 r � a 9>>>=>>>; (2.12)Puesto que tratamos de en ontrar los modos guiados de la �bra, ensayamos en lae ua i�on anterior solu iones del tipo: Ez = Ez(r; �)e�j�(!)z, donde anti ipamos que � va adepender de ! aunque onsideremos que los ��ndi es de refra i�on de n�u leo y orteza tomanlos valores onstantes n1 y n2. Esta expresi�on lo que indi a es que las ondas ele tromagn�eti asse propagan a lo largo del eje z, permane iendo esta ionarias en la se i�on transversal.Sustituyendo, nos queda:�2Ez�r2 + 1r �Ez�r + 1r2 �2Ez��2 + [k2Æn2Ez � �2(!)℄Ez = 0n = n1 r � a; n = n2 r � a 9>>>=>>>; (2.13)En vez de plantear la e ua i�on de dispersi�on por el m�etodo m�as dire to (que espuramente anal��ti o), vamos a dar un rodeo y de�nir dos variables auxiliares, dependientesentre s��, que permiten resolver la e ua i�on de manera gr�a� a. Para ello, lo primero quedebemos tener en uenta es que �(!) es la onstante de propaga i�on aso iada al modo depulsa i�on !. Como parte del ampo ele tromagn�eti o se propaga por el n�u leo y parte por la orteza, �(!) debe tomar valores omprendidos entre las onstantes de propaga i�on de unaonda plana que viaje por dos medios in�nitos de ��ndi es n2 y n1, esto es kÆn2 � �(!) � kÆn1.De�nimos las siguientes variables positivas:



42 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRAS8

x

10

6

4

0,60,40,2 0,8 1

2

Figura 2.8: Fun iones de Bessel de segunda espe ie Ko y K1.U2 := k2Æn21 � �2(!)W 2 := �2(!)� k2Æn22 9>=>;) U2 +W 2 = k2Æ(n21 � n22) (2.14)

Teniendo en uenta estas de�ni iones, nos queda:�2Ez�r2 + 1r �Ez�r + 1r2 �2Ez��2 + U2Ez = 0 r � a�2Ez�r2 + 1r �Ez�r + 1r2 �2Ez��2 �W 2Ez = 0 r � aU2 +W 2 = k2Æ(n21 � n22)9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; (2.15)

Para integrar las e ua iones en derivadas par iales (2.15), hay que emplear el m�etodode separa i�on de variable, que onsiste en postular solu iones del tipo Ez = AF1(r)F2(�).Si lo ha emos, llegamos a la on lusi�on de que la fun i�on F2 veri� a la e ua i�on diferen ialordinaria del os ilador arm�oni o 10. Adem�as, para que los ampos el�e tri o y magn�eti o seanunievaluados, las dos solu iones linealmente independientes de esta e ua i�on son de la forma:Rfe�jl�g, donde l = 0; 1; 2; 3::: Sustituyendo en las e ua iones anteriores, obtenemos:10Demu�estrelo omo ejer i io.



2.4. ECUACI �ON DE DISPERSI �ON 43d2F1�r2 + 1r dF1dr + [U2 � l2r2 ℄F1 = 0 r � ad2F1�r2 + 1r dF1dr � [W 2 � l2r2 ℄F1 = 0 r � aU2 +W 2 = k2Æ(n21 � n22)

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>; (2.16)Estas son las e ua iones diferen iales de Bessel que apare en en problemas on simetr��a il��ndri a. Nos interesan s�olo las solu iones on sentido f��si o, en parti ular, la fun i�on F1debe tomar un valor �nito uando r ! 0 y debe tender a ero uando r!1. En de�nitiva,la distribu i�on de ampo ele tromagn�eti o debe tener una energ��a �nita y on�nada en las er an��as del n�u leo, por lo que resulta:F1(r) = ( MJl(Ur) r � aNKl(Wr) r � a (2.17)Donde Jl es la fun i�on de Bessel de primera espe ia, mientras que Kl es la fun i�onmodi� ada de Bessel de segunda espe ie. El aspe to de estas fun iones se muestra en las �g.f2.7g y f2.8g. La solu iones de las e ua iones en derivadas par iales (2.10) son:Ez = AJl(Ur) R[e�jl�e�j�(!)z℄ r � aHz = BJl(Ur) R[e�jl�e�j�(!)z℄ r � aEz = CKl(Wr) R[e�jl�e�j�(!)z℄ r � aHz = DKl(Wr) R[e�jl�e�j�(!)z℄ r � a 9>>>=>>>; (2.18)Donde A, B, C , D y �(!) son onstantes a determinar a partir de las ondi ionesde ontorno.2.4. E ua i�on de dispersi�onPara determinar los valores de las onstantes de integra i�on, tenemos que imponerlas ondi iones de ontorno en la super� ie de separa i�on entre el n�u leo y la orteza. Asaber, ontinuidad de las omponentes trasversales de los ampos ~E y ~H y ontinuidad delas omponentes normales de los ampos ~D y ~B. Esto es:Ez)r=a� = Ez)r=a+ E�)r=a� = E�)r=a+ n21Er)r=a� = n22Er)r=a+Hz)r=a� = Hz)r=a+ H�)r=a� = H�)r=a+ Hr)r=a� = Hr)r=a+ ) (2.19)Las omponentes Er, E�, Hr y H� se al ulan a partir de Ez y Hz utilizando lasrela iones (2.11). Cuando imponemos las ondi iones de ontorno, que se muestra en la �g.



44 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRASr=a z

Hr)a-

Dr)a+Hr)a+)a-H

H )a+

E )a-

E )a+a-Dr)

Figura 2.9: Condi iones de ontorno en la super� ie de separa i�on entre n�u leo y orteza.f2.9g, resulta un sistema de uatro e ua iones lineales y homog�eneas en A, B, C y D que,evidentemente, siempre tiene la solu i�on trivial (A = B = C = D = 0), es de ir, queno hay luz propag�andose por la �bra. Para que el sistema admita una solu i�on distinta,el determinante del sistema tiene que ser igual a ero (en uyo aso queda un par�ametrolibre, que representa la poten ia �opti a que atraviesa la �bra). Esta ondi i�on lleva a que la onstante de propaga i�on �(!) tiene que veri� ar la siguiente e ua i�on algebrai a [30℄:" _Jl(Ua)UJl(Ua) + _Kl(Wa)WKl(Wa)# "k2on21 _Jl(Ua)UJl(Ua) + k2on22 _Kl(Wa)WKl(Wa)# = �2(!) l2a2 � 1U2 + 1W 2 �2(2.20)Ahora vamos a tener en uenta una hip�otesis simpli� ativa que se umple siempreen las �bras SMF: la hip�otesis de guiado d�ebil [70℄{[76℄. Esto quiere de ir que la diferen iaentre los valores de los ��ndi es de refra i�on de n�u leo y orteza es muy peque~na: �� 1 y,por tanto, n1 ' n2 ) k2Æn22 ' �2(!) ' k2Æn21, on lo que (2.20) se redu e a:_Jl(Ua)aUJl(Ua) + _Kl(Wa)aWKl(Wa) = �l � 1a2U2 + 1a2W 2� (2.21)Si resolvemos la e ua i�on de dispersi�on de partida (2.20) omprobamos que a medidaque n2 ! n1 existen modos de propaga i�on distintos (distintas distribui iones del ampoele tromagn�eti o) uyas onstantes de propaga i�on tienden a tener un mismo valor �(!), esde ir, tienden a degenerar. Tomando iertas ombina iones lineales estos modos uasidege-nerados [76℄ que son solu iones de (2.20), se obtienen distribu iones de los ampos el�e tri oy magn�eti o que, en la se i�on transversal, tienden a orientarse seg�un dos dire iones or-togonales entre s�� a medida que � ! 0. Es de ir, estas ombina iones de modos est�anlinealmente polarizadas (y se denominan modos LP) en el l��mite n2 ! n1. Hay que tener en uenta que en los modos de partida los ampos el�e tri o y magn�eti o no tienen polariza i�onlineal en la se i�on transversal. S�olo uando ombinamos linealmente determinados modos



2.4. ECUACI �ON DE DISPERSI �ON 45 uasidegenerados (no lo son totalmente ya que n1 6= n2) obtenemos modos que s�� tienen esta ara ter��sti a. Esta informa i�on nos habr��a permitido plantear las e ua iones en un sistemade oordenadas artesianas, que se adapta mejor a la naturaleza de estas solu iones. No seha he ho as�� porque la e ua i�on de dispersi�on (2.21), al igual que los modos linealmente po-larizados (LP), no es m�as que una aproxima i�on de las solu iones exa tas. La aproxima i�ones tanto m�as v�alida uanto menor sea �.Considerando estas ombina iones lineales omo los modos propios de la �bra SMFy teniendo en uenta iertas propiedades de las fun iones de Bessel (propiedades relativas asus derivadas y de re ursividad) se puede demostrar que se llega a la siguiente e ua i�on dedispersi�on [76℄ para los modos LP 11:aUkmJk�1(aUkm)Jk(aUkm) = �aWkmKk�1(aWkm)Kk(aWkm) (2.22)k = 0; 1; 2; 3; ::: U2km +W 2km = k2Æ(n21 � n22)Por ahora, el �uni o sentido que tiene el ��ndi e m es indi ar que, dado una valor dek, la e ua i�on de dispersi�on puede tener m�as de una solu i�on. Para denotar las distintassolu iones, utilizamos este ��ndi e. Resulta un po o extra~no introdu ir dos variables distin-tas Ukm y Wkm que depende de �km(!) y que est�an rela ionadas entre s�� por medio de laidentidad U2km +W 2km = k2Æ(n21 � n22). Planteamos la e ua i�on de dispersi�on de esta manera,porque pretendemos resolverla primero gr�a� amente. La forma de ha erlo ser��a determinarel rango natural de varia i�on de la variable aUkm, representar gr�a� amente aUkmJk�1(aUkm)Jk(aUkm) ,determinar, despu�es, el rango de varia i�on de aWkm = qk2Æ(n21 � n22)a2 � a2U2km, representar�aWkmKk�1(aWkm)Kk(aWkm) y, por �ultimo determinar los puntos de interse i�on de ambas familias de urvas, que nos propor ionar��an los valores num�eri os de las distintas onstantes de propa-ga i�on de los modos guiados �km(!).La onstante V = qk2Æ(n21 � n22)a2 = r4�2a2(n21�n22) 2Æ f re ibe el nombre de fre uen iaadimensional, ya que es un n�umero propor ional a la fre uen ia �opti a, pero sin dimensionesf��si as. Sabemos que kÆn2 � �km(!) � kÆn1 por tanto, puesto que a2U2km = [k2Æn21��2km(!)℄a2,dedu imos, pues, que aUkm toma valores omprendidos en el intervalo 0 � aUkm � V .Para una �bra dada, de radio a, ��ndi es n1 y n2 de valores todos ono ido, �jar elvalor de la fre uen ia adimensional V es equivalente a �jar el valor de la pulsa i�on !, parala que queremos al ular las onstantes de propaga i�on �km(!) de los modos guiados. Lasfun iones de Bessel Jk y Kk las eval�uan dire tamente iertos programas de �al ulo num�eri o,tales omo MATLAB. Por onsiguiente podemos representar gr�a� amente:f(aUkm) := aUkmJk�1(aUkm)Jk(aUkm)k = 0; 1; 2; 3; ::: 0 � aUkm � V (2.23)11Renombramos el ��ndi e l omo k ya que en las ombina iones lineales que se ha en para obtener losmodos LP, intervienen modos on distintos ��ndi es azimutales.



46 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRAS

6420

15

10

5

0

-5x

-10

-15

108

Figura 2.10: Resolu i�on gr�a� a de la e ua i�on de dispersi�on para el aso k = 0, on V = 10.Igualmente, puesto que aWkm = qV 2 � a2U2km, podemos representar sobre la gr�a� aanterior la fun i�on:g(aWkm) := qV 2 � a2U2kmKk�1(qV 2 � a2U2km)Kk(qV 2 � a2U2km)k = 0; 1; 2; 3; ::: 0 � aUkm � V (2.24)Para determinar las onstantes de propaga i�on de todos los modos guiados hay que al ular primero V y tomar, ini ialmente k = 0. Para este valor de k se determinan lasdistintas solu iones de la e ua i�on de dispersi�on y las enumeramos on el ��ndi e m. A on-tinua i�on se toma el valor k = k + 1 para el que habr�a un n�umero de solu iones igual oinferior al anterior. Eventualmente, llegaremos a un valor m�aximo de k, kmax para el queno existir�a interse i�on alguna entre las dos familias de urvas y habremos determinados las onstantes de todos los modos guiados. A modo de ejemplo, se muestra en la �g. f2.10g lastres solu iones que hay para V = 10 y k = 0.Se puede omprobar que para que exista un �uni o modo de propaga i�on, que la ondi i�n que debe umplirse es V < 2; 405, en uyo aso la �bra es monomodo. Si no,tendremos una �bra multimodo a salto de ��ndi e. Normalmente en los enla es que utilizan�bra SMF se trabaja on una V del orden de 2. Este valor es lo su� ientemente grande omopara que el grado de on�namiento en el n�u leo sea importante (m�as del 70% de la poten iaviaja por el n�u leo) y lo su� ientemente alejado del valor r��ti o para el que apare e unnuevo modo guiado.



2.5. ECUACI �ON DE DISPERSI �ON ADIMENSIONAL 47

Figura 2.11: Constante de propaga i�on b de los modos LP frente a V . Curva tomada de [38℄.2.5. E ua i�on de dispersi�on adimensionalVamos, a ontinua i�on, a plantear la rela i�on de dispersi�on omo una e ua i�on impl�� i-ta que rela iona una onstante de propaga i�on adimensional on la fre uen ia adimensional.Para ello, onsideremos primero la siguiente expresi�on:W 2k2Æn21 � k2Æn22 = [�(!) + kÆn2℄[�(!)� kÆn2℄(kÆn1 + kÆn2)(kÆn1 � kÆn2) (2.25)Si tenemos ahora en uenta la ondi i�on de guiado d�ebil (� = n1�n2n1 � 1), esto impli aque n1 ' n2. Adem�as, puesto que kÆn2 � � � kÆn1, dedu imos que kÆn2 ' � ' kÆn1. A lahora de al ular la diferen ia entre dos antidades muy pr�oximas entre s�� es muy importanteno onfundir sus valores, ya que en una expresi�on en la que apare en produ tos de t�erminos,hay una gran diferen ia entre que uno de ellos sea peque~no o que sea nulo (un ero en undenominador ha e que una expresi�on deje de tener sentido y en un numerador la anula).Sin embargo, a la hora de al ular una suma, onsiderar una u otra antidad es irrelevante.Teniendo esto en uenta, podemos es ribir:b := W 2k2Æn21 � k2Æn22 ' �(!)� kÆn2kÆn1 � kÆn2 = �(!)kÆ � n2n1 � n2 = nef � n2n1 � n2 (2.26)De la expresi�on anterior dedu imos que la onstante de propaga i�on adimensional btoma valores omprendidos entre entre 0 y 1 y que representa, en tanto por uno, el ��ndi e



48 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRAS-1

-0,5

0y

0,5 -1-0,5

010,5

x1

Figura 2.12: Distribu i�on transversal de poten ia del modo LP42.de refra i�on efe tivo del modo onsiderado. En ualquier aso, estamos ya en disposi i�onde rees ribir la e ua i�on de dispersi�on en fun i�on de una �uni a variable dependiente, b, y deuna �uni a variable independiente, V .aWkm = VpbkmaUkm = Vp1� bkm 9>=>;) Vp1� bkmJk�1(Vp1� bkm)Jk(Vp1� bkm) = �VpbkmKk�1(Vpbkm)Kk(Vpbkm) (2.27)El inter�es de esta e ua i�on es que es universal y v�alida para todas las �bras a saltode ��ndi e y guiado d�ebil. S�olo hay que resolverla num�eri amente una vez (algo que, eviden-temente ya est�a he ho) y representarla gr�a� amente, tal omo se ha he ho en la �g. f2.11g.Los n�umeros aso iados a ada gr�a� a son los ��ndi es azimutal y radial del modo onsideradoy tienen una lara interpreta i�on f��si a. El primero indi a el n�umeros de eros angulares dela distribu i�on transversal de la intensidad luminosa del modo en uesti�on. Por ero angu-lar entendemos lo siguiente: si trabajamos en oordenadas il��ndri as y existe un valor dela oordenada angular � para el que la intensidad luminosa es nula para todo valor de r,enton es ese modo de propaga i�on presenta un ero angular. El segundo n�umero nos indi ael n�umero de eros radiales menos uno. Por ero radial entendemos que si trabajamos en oordenadas il��ndri as y existe un valor de la oordenada radial r para el que la intensidadluminosa es nula para todo valor de � enton es ese modo de propaga i�on presenta un eroradial. Como ejemplo, mostramos la distribu i�on transversal de poten ia del modo LP42 enla �g. f2.12g.Todos los modos salvo el LP01 existen (es de ir son modos guiados) s�olo a partir de undeterminado valor de la fre uen ia adimensional. La manera de determinar estas fre uen ias,



2.5. ECUACI �ON DE DISPERSI �ON ADIMENSIONAL 49

00

0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

2 8 10 12V

LP LP LP LP LP LP LP

HE

HE

HE

64

HETMTE

HE HE

HETMTE

01 11

11

01

01

02

21

12

12

22

TE

TM02

02

03

13

13

23

03

03

04

14

J

J

0

1

Figura 2.13: Fre uen ias de orte de algunos modos LP.

Figura 2.14: Grado de on�namiento de los modos LPml en fun i�on de la fre uen ia adimen-sional V . Curva tomada de [38℄.llamadas fre uen ias de orte, es muy sen illa. La fre uen ia de orte del modo LPml es igualal valor del l-�esimo ero de la fun i�on de Bessel Jm�1. En la �g. f2.13g se representan algunasfun iones de Bessel y se indi an qu�e modos pasan del orte a ser guiados y a qu�e fre uen iasadimensionales o urre esto.Consideremos una �bra a salto de ��ndi e y guiado d�ebil y un determinado modo LPmlguiado. Evidentemente, uanto mayor sea la diferen ia entre la fre uen ia de fun ionamientoy la fre uen ia de orte de di ho modo, mayor ser�a el grado de on�namiento de la poten ia�opti a dentro del n�u leo de la �bra. Se pueden determinar unas familias de urvas parame-trizadas on respe to a los ��ndi es m y l , que expresan el por entaje, en tanto por uno,de la poten ia que viaja por la orteza de la �bra on respe to al valor de la fre uen iaadimensional V [70℄. Estas urvas se representan en la �g. f2.14g.



50 CAP�ITULO 2. PROPAGACI �ON DE ONDAS LUMINOSAS EN FIBRAS2.6. ProblemasProblema 3: Considere un enla e de omuni a iones �opti as, en el que la longitudde onda de trabajo es �Æ = 1550nm. El radio de la �bra es a = 3; 4�m y los ��ndi esde refra i�on de n�u leo y orteza son n1 = 1; 45 y n2 = 1; 44275 respe tivamente.Compruebe si se trata de un enla e monomodo, determinar las onstantes depropaga i�on de los modos guiados y el grado de on�namiento en el n�u leo.Solu i�on: Lo primero que debemos al ular es la fre uen ia adimensional y ompararla on el valor r��ti o 2,405 para de idir si se trata de un enla e monomodo o no:� := n21 � n222n21 ' n1 � n2n1 = 0;005V = kÆaqn21 � n22 = 2� a�Æn1p2� = 2Por tanto se trata de un enla e monomodo. Si entramos en la �g. f2.11g, dedu imos quela onstante de propaga i�on adimensional del �uni o modo guiado de la �bra es b01 = 0; 4.Por tanto: �01 = kÆb01 = 1621467; 2m�1nef01 = n2 + 0; 4� (n1 � n2) = 1; 44565Si onsultamos la �g. f2.14g llegamos a la on lusi�on de que el 75% de la poten ia viajapor el n�u leo.



Cap��tulo 3Atenua i�on y dispersi�on en �bras�opti asResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar las ara ter��sti as de atenua i�on ydispersi�on de las �bras �opti as monomodo ya que son las que se usan sistem�ati a-mente en los enla es tron ales. La atenua i�on est�a determinada por las propiedadesf��si as del material on el que se fabri a la �bra, generalmente s��li e. La ara te-r��sti a dispersiva tiene dos omponentes: La dispersi�on del material ( uyo origenf��si o ya se ha estudiado en el ap��tulo 2) y la dispersi�on de gu��a queapare e omo onse uen ia de la diferen ia entre los ��ndi es de refra i�on den�u leo y orteza, siendo la dispersi�on total la suma de estas dos ontribu iones, adauna on su propio signo. Existe una ter era omponente dispersiva, la llamadadispersi�on de polariza i�on, que apare e porque el modo LP01 es, en realidad, lasuma de dos modos degenerados y ortogonales. En presen ia de perturba iones quealteren la simetr��a il��ndri a de la �bra, los tiempos de propaga i�on aso iadosa estos dos modos resultan ser distintos y apare e este nuevo t�ermino dispersivo.Por �ultimo vamos a estudiar ualitativamente las �bras monomodo de dispersi�onplana (que se emplean en los sistemas DWDM) y las de dispersi�on desplazada.

51



52 CAP�ITULO 3. ATENUACI �ON Y DISPERSI �ON EN FIBRAS �OPTICAS

SíliceCuarzo

Atomo de SiAtomo de O

Figura 3.1: Estru turas del uarzo y del s��li e. En ima de ada �atomo de sili io hay un �atomode ox��geno que no se ha dibujado, para que la estru tura se vea on mayor laridad.3.1. Introdu i�onEn este ap��tulo vamos a estudiar los fen�omenos de absor i�on y dispersi�on en �bras�opti as. Veremos que por ser el s��li e un material amorfo (un s�olido v��treo) apare e unt�ermino de atenua i�on adi ional no estudiado en el ap��tulo anterior, denominado s atteringRayleigh [18℄{[67℄. Tambi�en existe un t�ermino dispersivo no rela ionado on las propiedadesf��si as del s��li e, sino on el fen�omeno de guiado de la luz. Este t�ermino re ibe el nombre dedispersi�on de gu��a y se va a al ular para las �bras monomodo est�andar (SMF).3.2. Mi roestru tura del s��li eEl material on el que se fabri a la �bra �opti a debe umplir una serie de requisitos:Debe atenuar po o la luz.Debe ser un material s�e til (�brable).Debe ser �opti amente is�otropo.Debe ser un material abundante (barato).Debe tener una gran resisten ia a la tra i�on.Todas estas ondi iones las umple el s��li e. Tiene un m��nimo te�ori o de atenua i�onde 0;15 dBKm a la longitud de onda 1;55�m, se pueden fabri ar �bras on �el f�a ilmente, es unas�olido amorfo y, por onsiguiente, is�otropo. La materia prima (sili atos) de partida es muyabundante y, por �ultimo, es muy resistente a la tra i�on.La omposi i�on qu��mi a del s��li e, al igual que la del uarzo, es Si02. A es ala mi- ros �opi a ambos tienen la misma estru tura: un �atomo de sili io que se sit�ua en el entro



3.3. CURVA DE ATENUACI �ON DE LA FIBRA �OPTICA 53de un tetraedro en uyos v�erti es hay �atomos de ox��geno. Lo que ambia es la forma en quese ombinan estos tetraedros para formar el material [19℄. En el uarzo se ordenan regu-larmente en las tres dire iones del espa io (se trata de un s�olido ristalino), por lo que notodas las dire iones y planos tienen la misma antidad de �atomos. Como onse uen ia, laspropiedades f��si as del uarzo, y en parti ular las �opti as, dependan de la dire i�on en quese midan. Adem�as el uarzo es un material muy r��gido y fr�agil, por lo que resulta imposiblefabri ar una �bra �opti a on �el.En el s��li e la ordena i�on de los tetraedros es irregular (se trata de un v��dreo o s�olidoamorfo). Por onsiguiente no existen dire iones ni planos privelegiadas en el espa io, on loque el material es is�otropo. Adem�as se puede doblar par ialmente sin que se rompa.Veamos de qu�e depende que se forme s��li e o uarzo a partir del di�oxido de sili ioen estado l��quido. Si la velo idad de enfriamiento es muy lenta, los tetraedros se ordenan on regularidad en las tres dire iones del espa io de manera que la energ��a del onjunto seam��nima, form�andose as�� un s�olido ristalino llamado uarzo, uya estru tura se puede ver enla �g. f3.1g. En ambio, si la velo idad de enfriamiento es alta, los tetraedros no al anzan lasposi iones orrespondientes al m��nimo de energ��a, produ i�endose una estru tura desordenadat��pi a de los materiales v��treos y que puede verse en la �g. f3.1g. Este material re ibe elnombre de s��li e.Consideremos un volumen de ontrol unos o dos �ordenes de magnitud mayor que elvolumen de un tetraedro. En el uarzo, la densidad medida a esta es ala es pr�a ti amenteindependiente de la posi i�on, ya que el material es muy homog�eneo. Sin embargo, en els��li e veremos grandes varia iones de la densidad on respe to a la posi i�on del volumen de ontrol, ya que el n�umero de tetraedros ontenidos ser�a muy variable. Por tanto, el ��ndi e derefra i�on del uarzo es uniforme in luso a es alas espa iales muy peque~nas, mientras que eldel s��li e sufre grandes varia iones si se mide por a una es ala su� ientemente peque~na.El volumen de ontrol que, de manera natural, de�ne la luz que se propaga porun medio, es una esfera de radio �, donde � es la longitud de onda de la radia i�on. Amedida que � disminuye, la luz per ibe varia iones re ientes del ��ndi e de refra i�on enel s��li e. Estas varia iones ha en que exista una ierta probabilidad de que se produz a unpro eso de absor i�on de un fot�on y su inmediata reemisi�on (a la misma longitud de onda)en pr�a ti amente ualquier dire i�on del espa io. Este fen�omeno f��si o re ibe el nombre des attering Rayleigh 1. El fot�on reemitido sale en la inmensa mayor��a de las o asiones fuera dela �bra, ontribuyendo as�� a aumentar la atenua i�on. Este t�ermino adi ional de atenua i�ones tanto mayor uanto menor es la longitud de onda de la luz que se propaga por la �bra.3.3. Curva de atenua i�on de la �bra �opti aEn la �g. f3.2g se muestra la varia i�on del oe� iente de absor i�on de una �bra enfun i�on de la longitud de onda de la luz que se propaga por ella [37℄. Vemos que en elinfrarrojo er ano (las longitudes de ondas m�as ortas) el oe� iente de atenua i�on re e1El s attering Rayleigh es un fen�omeno no resonante de intera i�on luz{materia. Al igual que todos lospro esos en los que intervienen estados energ�eti os virtuales, este me anismo de intera i�on es muy d�ebil.




l

2

1,6

1,5

1

1,4

0,5

1,210,8Figura 3.2: Curva de atenua i�on de una �bra �opti a t��pi a. El eje horizontal representa lalongitud de onda medida en �m, mientras que el verti al representa la atenua i�on � medidaen dBKm .r�apidamente, a un ritmo que viene dado aproximadamente por � ' 1�4 dBKm (donde � se mideen mi ras). En esta zona las p�erdidas dominantes son las debidas al s attering Rayleigh. Apartir de 1550nm vemos que, de nuevo, la atenua i�on re e. En este aso el aumento del oe� iente � se debe a la presen ia de un pi o de absor i�on en el infrarrojo lejano y en estaregi�on tenemos que � ' 8 � 1011e� 44� dBKm (aqu�� tambi�en � se mide en mi ras). Los estadosenerg�eti os responsables de la absor i�on en esta zona no son ele tr�oni os, sino que est�anaso iados a vibra iones de los enla es ovalentes entre el sili io y el ox��geno.El pi o de absor i�on que se observa a la longitud de onda de 1; 4�m est�a provo adopor la presen ia de iones OH� en la matriz v��trea del s��li e 2. Si se extreman las pre au ionesen el pro eso de fabri a i�on (humedad ambiente muy baja) de la �bra, este pi o no tienepor qu�e apare er, aunque, naturalmente, la �bra ser�a m�as ara. Esta omponente de laatenua i�on es extr��nse a, ya que no est�a provo ado por las propiedades f��si as intr��nse as dels��li e. Por �ultimo debemos tener en uenta que esta urva re eja la atenua i�on de una �bra on simetr��a il��ndri a perfe ta. Cualquier desvia i�on de �esta, omo es el urvar la �bra ola presen ia de mi ro urvaturas, provo an un aumento de la atenua i�on [37℄. Las p�erdidasser�an tanto mayores uanto menores sean los radios de las urvaturas y mi ro urvaturas.El oe� iente de atenua i�on de una �bra se mide indistintamente en unidades naturales(Km�1), que denotaremos �n, o bien en de ibelios partidos por kil�ometro, que denotaremos�dB. Rela ionar un oe� iente on el otro es sen illo:2El s��li e es un material que tiene una tenden ia enorme a hidratarse. De ah�� que se utili e omo dese ante.



3.4. DISPERSI �ON CROM�ATICA DEL MATERIAL 55n( )( )= co

o /2o o /2

d ( )

d )o /2+

t

L

min =

d ( )

d )o- /2

t

L

max=

d ( )

d )o

t

L

o=

Figura 3.3: Origen f��si o de la dispersi�on rom�ati a del material. El aso mostrado es el deun material que presenta una dispersi�on rom�ati a negativa en !Æ.P (z) = PÆe��nz�dB = 10z Log10 PÆPz )) �dB = (10Log10e)� �n = 4; 343�n (3.1)3.4. Dispersi�on rom�ati a del materialCuando estudiamos la propaga i�on de pulsos luminosos por medios diel�e tri os dedimensiones transversales in�nitas, vimos que �estos se dispersan omo onse uen ia de ladependen ia no lineal de la onstante de propaga i�on, �, on respe to a la pulsa i�on, !. Dadoque para una onda plana � = ! Æn, resulta que un paquete de ondas planas representativodel pulso luminoso sufre dispersi�on siempre que el ��ndi e de refra i�on depende de ! 3. Enuna �bra �opti a el ��ndi e de refra i�on del n�u leo y el de la orteza dependen de ! de unamanera muy pare ida y si onsideramos que n1 ' n2, podremos al ular una de las dos omponentes dispersivas que apare en en la �bra �opti a monomodo: la dispersi�on rom�ati adel material [41℄. Este t�ermino depende, pues, de las propiedades f��si as del s��li e y no delfen�omeno de guiado de la luz. Vamos a evaluar de manera aproximada el ensan hamientotemporal aso iado.3Esto o urre siempre en la realidad.



56 CAP�ITULO 3. ATENUACI �ON Y DISPERSI �ON EN FIBRAS �OPTICASmicras

1,61,41,210,8

ps/nm Km

20

0

-20

-40

-60

-80

-100

Ymmicras

0,01

01,6

-0,01

-0,02

1,41,210,8

Figura 3.4: Curva de dispersi�on rom�ati a del s��li e on unidades f��si as (arriba) y sin ellas(abajo).La inversa de la velo idad de propaga i�on del pulso (esto es, la inversa de la velo idadde grupo del paquete de ondas que onstituyen el pulso) viene dada por:tgL = 1vg = d�d!!!Æ = d�d�!�Æ d�d!!!Æ (3.2)Si ahora tenemos en uenta que � = 2��Æn�(�Æ) y que � = 2� Æ! resulta:tgL = 1vg = d�d!!!Æ = 1 Æ "n�(�Æ)� �Æ dn�d� !�Æ#) ng = n�(�Æ)� �Æ dn�d� !�Æ (3.3)donde n� es el ��ndi e de refra i�on de fase (es de ir, el que hay que tener en uenta uando lo que se propaga por el medio es una onda mono rom�ati a) y ng es el ��ndi e derefra i�on de grupo (el aso iado a la propaga i�on de un pulso).El ��ndi e de refra i�on de grupo, ng permite al ular la velo idad de un paquete deondas entrado alrededor de la longitud de onda entral del pulso luminoso. En los extremossuperior e inferior del espe tro del pulso, los ��ndi es de grupo toman valores ligeramentedistintos a ng, por lo que las omponentes espe trales orrespondientes se desplazan onvelo idades de grupo ligeramente distintas. Si suponemos que en �Æ la onstante de propa-ga i�on no presenta un punto de in exi�on, podremos estimar el ensan hamiento temporal del



3.5. DISPERSI �ON CROM�ATICA DE GU�IA 57pulso al ulando la diferen ia entre los tiempos de propaga i�on de grupo en los extremos delintervalo espe tral 4:tg;maxL = �tgL��Æ+��2tg;minL = �tgL��Æ��29>>>>=>>>>;) Æ(tg;max � tg;min)L = Æ�L = dngd� !�Æ �� == ��Æ d2n�d�2 !�Æ �� (3.4)Es ostumbre expresar la ara ter��sti a dispersiva del s��li e de dos maneras distintas.En la primera el oe� iente dispersivo tiene dimensiones de psnmKm , mientras que en la segundael oe� iente es adimensional. Las expresiones que los justi� an son:� = ��Æ Æ d2n�d�2 !�Æ ��L ps Æ�L = ��2Æ d2n�d�2 !�Æ ��Æ

9>>>>>=>>>>>;) D(�Æ) = ��Æ Æ d2n�d�2 !�Æ psnmKmY�Æ = ��2Æ d2n�d�2 !�Æ9>>>>>=>>>>>; (3.5)

Las urvas que rela ionan los oe� ientes D e Y se muestran en la �g. f3.4g.3.5. Dispersi�on rom�ati a de gu��aLa dispersi�on rom�ati a de gu��a, omo su propio nombre indi a, es una omponentedispersiva adi ional que apare e omo onse uen ia del fen�omeno de guiado de la luz. Si nos entramos en el aso de �bras monomodo est�andar (SMF), el guiado de la luz se produ eporque existe una zona alrededor del eje de la �bra donde el ��ndi e de refra i�on es m�as alto(n�u leo) que en el resto ( orteza). Para al ular la dispersi�on rom�ati a de gu��a suponemosque los ��ndi es no dependen de la pulsa i�on y que toman los valores onstantes n1 y n2 enel n�u leo y la orteza.En el ap��tulo anterior des ribimos la estru tura de una �bra monomodo est�andar.Supongamos que el di�ametro del n�u leo y el salto de ��ndi e adimensional son lo sufu iente-mente peque~nos omo para que, a la longitud de onda de trabajo, la fre uen ia adimensionalV sea inferior a 2,405, on lo que existe un s�olo modo guiado 5. V = 2 es un valor t��pi ode trabajo para estas �bras, ya que est�a relativamente alejado de la fre uen ia de orte delsiguiente modo y el grado de on�namiento de la luz en el n�u leo de la �bra es elevado.Antes de expli ar �omo se al ula num�eri amente la dispersi�on rom�ati a de gu��a apartir de unas urvas adimensionales, vamos a tratar de expli ar ualitativamente el motivo4Vamos a suponer que la fun i�on es re iente en el intervalo espe tral5En realidad son dos modos degenerados que tienen la misma distribu i�on de ampos, on la salvedad deque las polariza iones son ortogonales.



58 CAP�ITULO 3. ATENUACI �ON Y DISPERSI �ON EN FIBRAS �OPTICAS( )

k n

k n

o 1

o 2

Figura 3.5: Varia i�on de la onstante de propaga i�on on respe to a la pulsa i�on.por el que apare e. Sabemos que la luz que se propaga por la �bra tiene una determinadaan hura espe tral 6. En la �g. f3.5g vemos �omo var��a el valor de � a medida que aumentala pulsa i�on: para pulsa iones bajas la mayor parte del ampo ele tromagn�eti o viaja porla orteza, por lo que el valor de � es, pr�a ti amente, el de una onda plana que se propagapor un medio in�nito de ��ndi e n2. Para pulsa iones altas o urre lo ontrario: el grado de on�namiento en el n�u leo es muy grande y la luz se propaga omo lo har��a una onda planapor un medio in�nito de ��ndi e n1. En la gr�a� a vemos que el grado de on�namiento delas omponentes espe trales de mayor fre uen ia es tambi�en mayor, por lo que dedu imosque los tiempos de propaga i�on de los distintos paquetes de onda ambian on la fre uen ia.Como el pulso que se propaga por la �bra tiene una determinada an hura espe tral, apare eun t�ermino de dispersi�on rom�ati a aso iado al guiado de la luz. Suponiendo que en !Æ nohay un punto de in exi�on, los tiempos de propaga i�on m�aximo y m��nimo se produ en enlos extremos del intervalo y podemos al ular la dispersi�on rom�ati a de gu��a al ulando ladiferen ia de las pendientes en los extremos del intervalo:tg;medL = d�d!!!Ætg;maxL = d�d!!!Æ+�!2tg;minL = d�d!!!Æ��!29>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;) �L = d�d!!!Æ+�!2 � d�d!!!Æ��!2 = d2�d!2!!Æ �! (3.6)

6Existen dos asos l��mite: En el primero la an hura espe tral est�a de�nida por la propia fuente de luz (estoo urre en l�aseres que son po o mono rom�ati os). En el segundo (l�aser muy mono rom�ati o on modula i�onexterna), es igual a la an hura espe tral de los propios datos en banda base.



3.5. DISPERSI �ON CROM�ATICA DE GU�IA 59

Figura 3.6: Tiempos de propaga i�on adimensionales de los modos guiados de una �bra asalto de ��ndi e y guiado d�ebil. Curva tomada de [38℄.El tiempo medio de propaga i�on del pulso luminoso por la �bra �opti a est�a de�nidopor el valor de la derivada � d�d!�!Æ, mientras que la dispersi�on de gu��a lo est�a por la segundaderivada � d2�d!2�!Æ. Ahora nos gustar��a rela ionar estas derivadas on las derivadas de la urvauniversal y adimensional b = f(V ). Para ha erlo se parte de las siguientes rela iones:b ' �(!)� kÆn2kÆn1 � kÆn2 = �(!)� ! Æn2! Æn1 � ! Æn2V = ! Æaqn21 � n229>>>>>>>>=>>>>>>>>; (3.7)

Si ahora evaluamos la derivada � d�d!�!Æ , teniendo en uenta las dos igualdades ante-riores, llegamos a que el tiempo medio de propaga i�on del pulso luminoso viene dado por lasiguiente expresi�on [70℄{[76℄: ÆtL = n2g "1 + �d(V b)dV # (3.8)donde n2g es el ��ndi e de refra i�on de grupo de la orteza y � es el salto de ��ndi eadimensional de la �bra. Evidentemente, la fun i�on d(V b)dV es una urva universal v�alida paratodas las �bras de salto de ��ndi e y guiado d�ebil. Esta fun i�on se obtiene derivando num�eri- amente la rela i�on de dispersi�on b = f(V ) (obtenida en el ap��tulo anterior) y est�a tabuladay representada gr�a� amente en la �g. f3.6g.




Figura 3.7: Dispersi�on adimensional de gu��a de una �bra a salto de ��ndi e y guiado d�ebil. Enel eje verti al hemos representado d(V b)dV y en el horizontal V . Curva tomada de [41℄.La forma en la que se dedu e el tiempo medio de propaga i�on de un pulso luminosopor una �bra �opti a a salto de ��ndi e y guiado d�ebil, es derivar la fun i�on �(!) y rela ionaresta derivada on las derivadas de la fun i�on b = f(V ). Resulta, pues, evidente que para al ular la dispersi�on rom�ati a de gu��a tenemos que evaluar � d2�d!2�!Æ y rela ionarla on lasderivadas de segundo orden de la fun i�on b = f(V ). Si ha emos este desarrollo, llegaremosa la siguiente on lusi�on [70℄{[76℄: Æ�L = �n2gV d2(V b)dV 2 �!!Æ = ��n2g V d2(V b)dV 2 ��Æ (3.9)0

1,4

-10

1,31,21,1

micras

20

1,5

10

1,6

30

ps/nm Km

material

total

guía Figura 3.8: Componentes de la dispersi�on rom�ati a de una �bra SMF.Hemos representamos la fun i�on V d2(V b)dV 2 en la �g. f3.7g para el modo LP01 ya queel �al ulo de la la dispersi�on rom�ati a tiene sentido s�olo en las �bras monomodo (en las



3.6. FIBRAS MONOMODO ESPECIALES 61multimodo la dispersi�on intermodal es dominante). Vemos que la dispersi�on rom�ati a degu��a es siempre negativa en las �bras SMF, ya que en el intervalo 0 � V � 2; 405 el signode V d2(V b)dV 2 no ambia. En la �g. f3.8g representamos las dos omponentes de dispersi�on rom�ati a, as�� omo su suma. Vemos que en las �bra SMF la dispersi�on de gu��a representas�olo una peque~na orre i�on sobre la del material. Para fabri ar �bras uyo omportamientodispersivo sea muy distinto al del material tenemos que usar per�les que presenten una dis-persi�on rom�ati a de gu��a muy importante. Los per�les de varia i�on del ��ndi e de refra i�onne esarios, son muy distintos de los de una �bra SMF. En general estos per�les no son ni desalto de ��ndi e ni de guiado d�ebil.3.6. Fibras monomodo espe iales

Figura 3.9: Per�les de varia i�on del ��ndi e de algunas �bras espe iles.La �bra �opti a que m�as se utiliza hoy en d��a no es la monomodo est�andar (SMF).En la mayor parte de los tendidos de �bra que se realizan hoy en d��a, se emplean �brasque tienen la ara ter��sti a dispersiva ade uada para transmitir un n�umero muy elevadode portadoras �opti as multiplexadas en longitud de onda (sistemas DWDM), siendo estas�bras muy distintas de las SMF. El motivo por el que la SMF lleva el adjetivo "est�andar"



62 CAP�ITULO 3. ATENUACI �ON Y DISPERSI �ON EN FIBRAS �OPTICAS0

-10

-20

micras

1,3 1,61,51,4

10

ps/nm Km20

SMF

DSSMF

NZDFSMF Figura 3.10: Cara ter��sti as dispersivas de algunas �bras espe iles.es puramente hist�ori o ya que se utilizaron en la mayor��a de los tendidos realizados en lad�e ada de los 90 que fue uando se a u~n�o este nombre.Entre las �bras monomodo espe iales [59℄ vamos a desta ar dos: la �bra de dispersi�ondesplazada (DSSMF 7) y la �bra de dispersi�on plana (NZDFSMF 8). En la primera de ellasse desplaza el ero de la dispersi�on rom�ati a total a la longitud de onda de 1550nm, demanera que en ter era ventana haya ondi iones �optimas de atenua i�on y dispersi�on. Hayque se~nalar, sin embargo, que el oe� iente de atenua i�on de este tipo de �bras es superioral de la �bra SMF ya que el nivel de dopado del n�u leo de la �bra es sensiblemente m�asalto (el oe� iente de atenua i�on de una �bra re e on el nivel de dopado del n�u leo 9).En la segunda, se tiene un oe� iente de dispersi�on rom�ati a residual no nulo (' 3psnmKm) ypr�a ti amente onstante en un amplio intervalo de longitudes de onda. Por motivos evidenteseste es el tipo de �bra que se utiliza en los sistemas DWDM. Las ara ter��sti as dispersivasde estas dos �bras pueden verse en la �g. f3.10g.La manera de onseguir que la dispersi�on rom�ati a total sea muy distinta de la delmaterial es utilizar per�les de varia i�on del ��ndi e de refra i�on uya dispersi�on rom�ati a degu��a sea importante y la ade uada para onseguir la dispersi�on rom�ati a total deseada. Lossaltos de ��ndi es de estas �bras suele ser importantes (para lo ual hay que dopar el n�u leode la �bra on una on entra i�on importante de germanio) y los per�les son, normalmente,muy distintos del salto de ��ndi e, tal omo se muestra en la �g. f3.9g. Para estas �bras noexiste urvas adimensionales universales y ada fabri ante suministra las urvas de dispersi�on rom�ati a total de sus produ tos. Las t�e ni as de dise~no de estos per�les se basan en el �al ulonum�eri o y hay una extensa bibliograf��a sobre este tema [75℄.7Del ingl�es "Dispersion shifted single mode �ber".8Del ingl�es "Non-zero dispersion attend single mode �ber".9La manera de onseguir aumentar el ��ndi e de refra i�on de una �bra es sustituir un ierto por entajede �atomos de sili io por �atomos de un dopante, generalmente germanio.



3.7. DISPERSI �ON DE POLARIZACI �ON 63

Figura 3.11: Perturba iones de la simetr��a de la �bra que produ en birrefringen ia. Esfuerzos ortantes (izquierda) y elipti idad del n�u leo (dere ha).

0,5

Dp

0,5

3

0,4

0,3

2,5

0,2

0,1

20

1,510Figura 3.12: Fun i�on de densidad de probabilidad de la dispersi�on de polariza i�on.3.7. Dispersi�on de polariza i�onEl modo fundamental de una �bra SMF, el LP01, se ompone, en realidad, de dosmodos degenerados, esto es, on onstantes de propaga i�on que son exa tamente iguales y uyas distribu iones de ampo en la se i�on transversal de la �bra son ortogonales. Esto esas�� en la medida en la que la �bra presenta una simetr��a il��ndri a perfe ta. En las �brareales apare en, sin embargo, perturba iones de ar�a ter aleatorio que rompen esta simetr��ay, por tanto, la degenera i�on de estos dos modos se suprime, onvirti�endose, as�� en una �brabimodal. Dos ejemplos de asimetr��as que podemos itar son, por un lado, la introdu i�on(a idental) de una ierta elipti idad en el n�u leo de la �bra durante su fabri a i�on y, porotro, la apari i�on de esfuerzos ortantes en el n�u leo que indu en una birrefringen ia �opti a,tal y omo se muestra en la �g. f3.11g. Estas perturba iones ambian de un tramo a otrode la �bra y evolu ionan, in luso, a los largo del tiempo.La birrefringen ia indu ida en la �bra introdu e un nuevo t�ermino de dispersi�ondenominado dispersi�on de polariza i�on que es de naturaleza estad��sti a, ya que el lugar y



64 CAP�ITULO 3. ATENUACI �ON Y DISPERSI �ON EN FIBRAS �OPTICASel instante en el que se produ en las asimetr��as son aleatorios. El estudio de esta dispersi�ones muy ompli ado [40℄{[80℄{[81℄{[82℄ ya que se basa en los tratamientos on ve tores ymatri es de Jones, ve tores de Stokes y matri es de M�uller y la representa i�on sobre laesfera de Poin ar�e de los estados de polariza i�on de la luz y de los dispositivos modi� adoresdel estado de polariza i�on 10. Por ello no vamos a desarrollar la teor��a, sino que vamos a dardire tamente la on lusi�on a la que se llega.La dispersi�on de polariza i�on viene dada por una variable aleatoria, de distribu i�onMaxwelliana. La fun i�on de densidad es la siguiente:f(x) = s 2� x2�3 e� x22�2 (3.10)Es inmediato demostrar que la media de esta variable aleatoria es �Dp = q 8��. Ahorabien, al igual que o urre en todos los pro esos de tipo "random walk" la dispersi�on depolariza i�on no re e linealmente on la distan ia re orrida por los pulsos luminosos sino onsu ra��z uadrada, de manera que las unidades de �Dp son psnmpKm . En la �g. f3.12g se muestrala fun i�on de densidad de esta variable aleatoria. Viendo esta �gura resulta laro por qu�e ala hora de evaluar la dispersi�on de polariza i�on se toma omo dispersi�on de polariza i�on:�pol ' 3 �Dp��pL (3.11)

10Adem�as es ne esaria una ierta familiaridad on la representa i�on de los grupos SU(2) y SO(3).



3.8. PROBLEMAS 653.8. ProblemasProblema 4: Se desea dise~nar una �bra de dispersi�on desplazada no nula (NZ-DSF)utilizando el mismo per�l que el de una �bra monomodo est�andar. La dispersi�onresidual deseada es de 4ps/nmKm a una longitud de onda de 1550nm. Los ��ndi es derefra i�on de n�u leo y orteza son, respe tivamente, 1,45 y 1,44275. En aso deexistir m�as de una solu i�on elegir, razonadamente, la m�as onveniente. Si el espe trode emisi�on de la fuente es de 1nm, estime la an hura que tendr�a un pulso dedura i�on 20ps despu�es de re orrer una distan ia de 75 KmSolu i�on: La dispersi�on rom�ati a del material viene dada por: Æ�mL = ��2d2nd�2 �� )�m��L = � � Æ d2nd�2 = 0; 01� 1550nm3� 10�7Km=ps = 21; 5 psnmKmComo queremos que al sumarle la dispersi�on rom�ati a de gu��a quede 4ps/nmKm dedu- imos que �esta debe valer -11.5ps/nmKm. Por tanto:�g��L = ��n2� Æ V d2(bV )dV 2 = �17;5ps=nmKm)V d2(bV )dV 2 = 1�n2 17;5 psnmKm � 1550nm� 3� 10�7KmpsComo � ' n1�n2n1 = 5� 10�3 resulta que:V d2(bV )dV 2 = 17;5 psnmKm � 1550nm� 3� 10�7Kmps 15� 10�3 � 1; 44275 = 1; 128Si onsultamos la gr�a� a V d2(bV )dV 2 dedu imos que V puede tomar dos valores distintos.Tomamos el mayor ya que se orresponde on un radio mayor y, por tanto, on una �bram�as f�a il de onstruir. V d2(bV )dV 2 = 1; 128) V = 1; 6a = V �2�qn21 � n22 = 1; 6� 1; 55� 10�6p1; 452 � 1; 442752 = 2; 72�mEstimar la an hura del pulso tras re orrer 75Km es inmediato:�m = TÆ +D( psnmKm)�� = 20ps+ 4 psnmKm � 1nm� 75Km = 320psa=2; 72�m�m=320ps



66 CAP�ITULO 3. ATENUACI �ON Y DISPERSI �ON EN FIBRAS �OPTICASProblema 5: Cal ular las ara ter��sti as dispersivas de una �bra teniendo en uenta los siguientes datos: �Æ = 1550nm, n1 = 1; 45, n2 = 1; 44275, ��=2nm ya=2; 44�m. Cal ular tambi�en el tiempo que tardan los pulsos en re orrer 30 Km.Solu i�on: Cal ulemos primero el salto de ��ndi e adimensional:� = n21 � n222n1 ' n1 � n2n1 = 5� 10�3A partir de este valor podemos al ular la fre uen ia adimensional:V = 2� a�Æn1p2� = 1; 434 < 2; 403Por tanto la �bra es monomodo y no hay dispersi�on intermodal Æ�mL = ��2Æd2nd�2 ��Æ �� = 0; 01� 21550 = 1; 3� 10�5 Æ�gL = �n2V d(V b)dV 2 ��Æ �� = 10�5 ) Æ�tL = �0; 3� 10�5Por tanto: �t = 168ps ÆtpropL = n2 "1 + �d(V b01)dV # ' 1; 456)tprop = 145; 6�s�t = 168pstprop = 145; 6�s



Cap��tulo 4El l�aser de niveles dis retosResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar el l�aser de niveles dis retos. Estedispositivo no se emplea en omuni a iones �opti as, pero omparte on el resto del�aseres los mismos prin ipios b�asi os de fun ionamiento; adem�as, los fen�omenos dede intera i�on luz{materia que se produ en en su medio a tivo son menos omplejosque los de los l�aseres semi ondu tores, que son los dispositivos empleados en omuni a iones por �bra �opti a. El motivo es que en un l�aser de niveles dis retoslos estados energ�eti os a esibles est�an uantizados y no forman bandas deenerg��a, omo en los semi ondu tores.Para entender el fun ionamiento de los l�aseres tenemos que introdu ir primeroun me anismo de intera i�on luz{materia a�un no estudiado: la emisi�on estimulada.Hallando el balan e del n�umero neto de fotones a~nadidos a la radia i�onele tromagn�eti a omo la diferen ia entre los generados por emisi�on estimuladamenos los robados por absor i�on, podemos determinar la ganan ia de un mediomaterial y, por tanto, las ondi iones de emisi�on de luz l�aser.

67



68 CAP�ITULO 4. EL L�ASER DE NIVELES DISCRETOS

+Vcc

A

R

o~ 1cm

o

i e

r

Figura 4.1: Esquema general de un emisor de ondas de radiofre uen ia.4.1. Introdu i�onEn ap��tulos posteriores, estudiaremos el transmisor que se utiliza normalmente en omuni a iones �opti as (sobre todo en enla es en los que se transmiten tasas binarias elevadasa grandes distan ias): el l�aser a semi ondu tor. Sin embargo existe un tipo de l�aser, queaunque no se emplea en omuni a iones �opti as, es relativamente sen illo de estudiar: el l�aserde niveles dis retos. Constan de los mismos elementos b�asi os que un l�aser semi ondu tory presenta la ventaja de que el medio material ampli� ador tiene unos estados energ�eti osa esibles de estru tura mu ho m�as simple. Por este motivo, omo paso previo al estudiode los l�aseres que realmente nos interesan, abordamos el fun ionamiento de los l�aseres deniveles dis retos.Un l�aser es, b�asi amente, un os ilador o generador de ondas ele tromagn�eti as y suestru tura y elementos b�asi os son los mismos que los de un os ilador de radiofre uen ia, onla parti ularidad de que la longitud de onda de emisi�on es bastante orta, del orden de unami ra. En la �g. f4.1g se muestran los elementos b�asi os de una emisora de radiofre uen ia,que son:1. Un ampli� ador, en argado de reprodu ir a la salida on mayor amplitud ualquierradia i�on ele tromagn�eti a que haya a su entrada, siempre que aiga dentro de su an hode banda de fun ionamiento.2. Una fuente de alimenta i�on que ede al medio ampli� ador la poten ia ne asariapara realizar esta fun i�on.3. Una red o bu le de realimenta i�on que �ja la pulsa i�on de la radia i�on ele tro-magn�eti a emitida por el os ilador.4. Una antena que emita la radia i�on generada al espa io radioel�e tri o.



4.1. INTRODUCCI �ON 69R=1

Figura 4.2: Estru tura de un l�aser y su analog��a on la de un emisor de ondas RF.El medio material de un l�aser de niveles dis retos es, en mu has o asiones, un gasat�omi o omo el des rito en el ap��tulo 1. Sobre este medio se a t�ua externamente suminis-trando una ierta poten ia (este pro eso se ono e on el nombre de bombeo) para onseguirque el gas tenga un oe� iente de ganan ia de manera que se ampli�que la luz que se pro-paga en su seno (siempre que aiga dentro de un determinado intervalo espe tral). El gasest�a metido en un tubo il��ndri o herm�eti o, limitado en sus extremos por dos espejos quetienen un oe� iente de re exi�on en poten ia alto. El volumen de�nido por el tubo y los dosespejos se denomina avidad resonante y es el equivalente a la red de realimenta i�on de unemisor de ondas de RF y determina la longitud de onda de emisi�on �Æ. Para que se produz ala emisi�on de luz, uno de los espejos tiene un oe� iente de re exi�on inferior a la unidad,de forma que deja pasar al exterior parte de la radia i�on ele tromagn�eti a in idente y es elequivalente a la antena emisora del os ilador de RF. En la �g. f4.2g se muestra la estru turade un l�aser de niveles dis retos y se ompara on la de una emisora de radiofre uen ias (RF).Las ara ter��sti as de la luz emitida por un l�aser son las mismas que las de la radia i�onele tromagn�eti a generada por una emisora de RF, a saber:1. Luz espe tralmente pura.2. Luz pertene iente a un �uni o modo espa ial. Esto quiere de ir que la luz sepropaga en una dire i�on espe �� a del espa io 1.3. Luz polarizada. Al igual que la radia i�on generada por una emisora de radio, elestado de polariza i�on es �jo.1Esto es debido a que la avidad resonante es muy alargada. Si la avidad resonante fuese, por ejemplo,esf�eri a, el l�aser emitir��a ondas esf�eri as.



70 CAP�ITULO 4. EL L�ASER DE NIVELES DISCRETOSE ,N

E ,N

2 2

rad 1/ esp= BW( )

Emisión espontánea Absorción

Figura 4.3: Diagrama de estados energ�eti os a esibles de un �atomo y pro esos l�asi os deintera i�on luz{materia.4.2. Coe� ientes de EinsteinEn el primer ap��tulo des ribimos de una manera simpli� ada los me anismos de in-tera i�on entre la luz y un medio material parti ular: un gas at�omi o. Vimos que exist��an dosme anismos de intera i�on luz{materia: El primero, la absor i�on, se mani�esta laramente uando se propaga por el medio una radia i�on ele tromagn�eti a uya pulsa i�on ! toma unvalor er ano a la pulsa i�on ara ter��sti a del �atomo !Æ. La absor i�on se produ e porquelos �atomos (u os iladores me �ani os en el modelo de Lorentz) roban energ��a ele tromagn�eti- a a la radia i�on que se propaga, aumentando su energ��a me �ani a (poten ial y in�eti a)de os ila i�on. El segundo pro eso es la emisi�on espont�anea, que apare e omo onse uen iadel t�ermino de fri i�on del os ilador me �ani o y onsiste en la emisi�on por parte de los�atomos de fotones on pulsa i�on, fase, estado de polariza i�on y dire i�on de propaga i�onrelativamente aleatorios.Existe un ter er me anismo de intera i�on luz{materia sin el que ser��a imposibleel fun ionamiento del l�aser: la emisi�on estimulada. El objetivo de esta se i�on es in luirloen nuestro modelo de intera i�on y des ribir los anteriores pro esos (absor i�on y emisi�onespont�anea) teniendo en uenta que, en realidad, los estados energ�eti os a esibles para los�atomos est�an dis retizados, tal y omo se muestra en la �g. f4.3g. Aunque siempre haym�as de dos estados energ�eti os a esibles, no vamos a onsiderar los dem�as on objeto desimpli� ar el estudio.El modelo me �ani o introdu ido en el ap��tulo 1 predi e resultados ualitativamente iertos para medios materiales diel�e tri os bajo ondi iones relativamente pr�oximas al equi-librio t�ermi o pero, adem�as, podemos modi� arlo para in luir en �el la emisi�on estimulada.



4.2. COEFICIENTES DE EINSTEIN 71Emisión espontánea

Después

Antes Después

Absorción

W( )W( )

W( ) W( )

E ,N2 2 E ,N2 2

2 2E ,N

E ,N2 2E ,N2 2

E ,N1 1 E ,N1 1

E ,N1 1

1E ,N1 1

Figura 4.4: Pro esos elementales de intera i�on luz{materia.La rela i�on que existe entre la pulsa i�on ara ter��sti a !Æ y los par�ametros de la �g. f4.3g es!Æ = E2�E1�h . Sabemos, adem�as, que los �atomos pueden absorber y emitir radia i�on espont�aneade pulsa iones ligeramente distintas a !Æ, lo que quiere de ir que los estados energ�eti os E1y E2 tienen una ierta in ertidumbre 2 en uanto a su valor, tal omo se muestra en la �gura.Por tanto, los pro esos de intera i�on luz{materia no tienen por qu�e produ irse exa tamen-te a la pulsa i�on !Æ, sino que pueden produ irse en un intervalo estre ho de pulsa ionesalrededor de este valor. La fun i�on de densidad de probabilidad de esta variable aleatoria(pulsa i�on o fre uen ia a la que se produ e un pro eso de intera i�on luz{materia) re ibe elnombre de fun i�on de l��nea.La primera des rip i�on u�anti a de los pro esos de intera i�on luz{materia la di�o Eins-tein en 1915 on un modelo fenomenol�ogi o [67℄{[98℄ y en ella, adem�as de los pro esos de2Si ninguno de los dos estados es el de m��nima energ��a, los tiempos medios de permanen ia de un �atomoen ellos son �nitos y la segunda rela i�on de in ertidumbre de Heissenberg a�rma que los valores energ�eti osno est�an bien de�nidos.



72 CAP�ITULO 4. EL L�ASER DE NIVELES DISCRETOSE ,N

E ,N

2 2

1 1

BW( )

Emisión espontánea Absorción

rad 1/ esp=

Emisión estimulada

BW( )

Figura 4.5: Diagrama ompleto de los pro esos de intera i�on luz{materia.absor i�on y emisi�on espont�anea, introdujo un nuevo me anismo de intera i�on: la emisi�onestimulada. Las e ua iones que des riben estos fen�omenos son las siguientes 3: ��N2�t !esp = N2�esp l(!)d! �N2�t !abs = BW (!)l(!)N1d! ��N2�t !est = BW (!)l(!)N2d!9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>; (4.1)

En estas e ua iones N2 representa el n�umero de �atomos que, por unidad de volumen,o upan el estado energ�eti o "2". Este n�umero puede aumentar gra ias a la absor i�on y dis-minuir por ulpa de la emisi�on espont�anea y por el a�un no des rito me anismo de emisi�onestimulada. El t�ermino W (!) representa la densidad espe tral de energ��a ele tromagn�eti apor unidad de volumen, mientras que N1 indi a el n�umero de �atomos que, por unidad devolumen, o upan el estado energ�eti o "1". Este n�umero puede re er gra ias a los me anis-mos de emisi�on espont�anea y emisi�on estimulada y disminuir por ulpa del me anismo deabsor i�on. Los par�ametros B y rad = 1�esp son los oe� iente fenomenol�ogi os de Einstein, uyo valores te�ori os s�olo pueden al ularse a udiendo a me �ani a u�anti a 4.En la �g. f4.4g se representan los tres pro esos arriba men ionados 5. En el primero,3Suponemos que el grado de degenera i�on para los estados "1" y "2" es el mismo.4Si empleamos la "regla de oro" de Dira (injustamente ono ida omo "regla de oro de Fermi") [28℄ los �al ulos se pueden ha er en el mar o de una teor��a semi l�asi a. Si no, hay que a udir a la ele trodin�ami a u�anti a [22℄{[42℄{[50℄{[67℄.5En realidad no es l�� ito representar los fotones omo part�� ulas lo alizadas ni onsiderar un �uni o �atomo.



4.2. COEFICIENTES DE EINSTEIN 73la emisi�on espont�anea, se produ e el paso de un �atomo del estado energ�eti o superior alinferior y la emisi�on de un fot�on de energ��a er ana a E2 � E1, propag�andose en ualquierdire i�on del espa io, on ualquier estado de polariza i�on y on ualquier referen ia de fase.Hay que desta ar el he ho de que este pro eso o urre independientemente de la presen ia ono de radia i�on ele tromagn�eti a en el medio 6 y de ah�� el sentido del adjetivo espont�aneo.Los otros dos pro esos est�an estimulados por la presen ia de un ampo ele tromagn�eti ode pulsa i�on er ana a !Æ = E2�E1�h y, de alguna manera, son el inverso el uno del otro. Elsegundo pro eso, la absor i�on, supone el paso de un �atomo del estado energ�eti o inferior alsuperior, tomando la energ��a ne esaria de la radia i�on ele tromagn�eti a que se propaga por elmedio (es de ir, se roba un fot�on y el �atomo pasa al estado de mayor energ��a). Por �ultimo, laemisi�on estimulada onsiste en el paso de un �atomo del estado superior al inferior, estimuladopor la presen ia de radia i�on ele tromagn�eti a de pulsa i�on er ana a !Æ = E2�E1�h . La energ��aperdida se emplea en aumentar en uno el ujo de fotones que atraviesa el medio at�omi o.El n�umero de fotones produ idos o robados por un pro eso de intera i�on luz{materia,en un intervalo espe tral (!; ! + d!) se es ribe omo el produ to de una serie de t�erminos:1. Un oe� iente de propor ionalidad, que es rad para el pro eso espont�aneo y B paralos pro esos estimulados.2. La densidad de �atomos que orresponda: N1 para la absor i�on y N2 para los pro esosde emisi�on.3. La densidad espe tral de energ��a W (!) (por unidad de volumen) para los pro esosestimulados.4. La probabilidad de que se produz a un pro eso de intera i�on a esa pulsa i�on l(!)d!.El signi� ado de la fun i�on de l��nea pare e laro: puesto que existe una ierta banda dein ertidumbre en uanto a la posi i�on de los estados energ�eti os E1 y E2, pueden produ irsepro esos de intera i�on en un entorno de pulsa iones alrededor de !Æ 7. Como la intera i�ontiene que produ irse a alguna pulsa i�on, queda laro que l(!) veri� a que R10 l(!)d! = 1 omo ualquier fun i�on de densidad de probabilidad.Ya estamos en disposi i�on de representar e interpretar el diagrama ompleto de lospro esos de intera i�on luz{materia. �Este se muestra en la �g. f4.5g. Einstein, a partirde onsidera iones termodin�ami as [98℄, dedujo la existen ia de la emisi�on estimulada ydetermin�o la rela i�on que existe entre el oe� iente aso iado a los pro esos estimulados (B)6En algunos libros de ele trodin�ami a u�anti a se a�rma que la emisi�on espont�anea est�a, en realidad,estimulada por las u tua iones de la energ��a de va ��o del ampo ele tromagn�eti o y que �esta, junto onel efe to Casimir y la renormaliza i�on de masa y arga, son las manifesta iones f��si as m�as evidentes delva ��o ele tromagn�eti o. Interpreta iones m�as profundas y re ientes de la emisi�on espont�anea [73℄ matizan y orrigen esta interpreta i�on.7En realidad hay otros pro esos que ontribuyen a ensan har a�un m�as la fun i�on de densidad [92℄. Loshay que afe tan por igual a toda la pobla i�on at�omi a, en uyo aso se tiene una fun i�on de l��nea homogenea(ser��a el aso en el que las olisiones at�omi as el�asti as fuesen el fen�omeno dominante). En otras o asioneslos pro esos de ensan hamiento espe tral " lasi� an" la pobla i�on at�omi a en "familias", y enton es se di eque la fun i�on de l��nea es inhomogenea (ser��a el aso de un gas en el que el pro eso dominante fuese unensan hamiento por efe to Doppler).




x

x+dx

A AT T

(x) (x+dx)

Figura 4.6: Volumen de ontrol del medio ampli� ador.y el pro eso espont�aneo ( rad), que es el siguiente (f es la fre uen ia de la radia i�on y n el��ndi e de refra i�on del medio): B rad = 3Æ8�hf 3n3 (4.2)Tambi�en podemos determinar �omo var��a on el tiempo la pobla i�on at�omi a: ��N2�t !! = N2�esp l(!)d! +B(N2 �N1)W (!)l(!)d! ) ��N2�t !tot = N2�esp +B(N2 �N1) Z 10 W (!)l(!)d! (4.3)4.3. Ganan ia de un medio at�omi oEn este apartado pretendemos dedu ir la expresi�on del oe� iente �(!) teniendoen uenta la emisi�on estimulada. Adem�as, ono iendo el valor de este oe� iente, podemosdedu ir las ondi iones que deben veri� arse para que el medio no aten�ue la luz, sino que laampli�que. Evidentemente, lo que debemos ha er es determinar el n�umero neto de fotones edidos a la radia i�on que se propaga por el medio, es de ir, la diferen ia entre los a~nadidospor emisi�on estimulada menos los robados por absor i�on e imponer que este n�umero seapositivo:



4.3. GANANCIA DE UN MEDIO AT �OMICO 75

o

( )

sc

BW

N

E

E

E1

2

N1 2N

oE2 E1

h

Figura 4.7: Condi iones de inversi�on de pobla i�on en un medio at�omi o. ��N2�t !! = rad 3Æ8�hf 3n3 (N2 �N1)W (!)l(!)d! (4.4)De esta expresi�on dedu imos que la ondi i�on para que el medio ampli�que la radia i�onele tromagn�eti a es que el n�umero de �atomos que est�an en el nivel energ�eti o superior (elex itado) sea mayor que el n�umero de �atomos que est�an en el estado inferior (fundamental) 8.Cal ulemos, a ontinua i�on, la evolu i�on del ujo de fotones que atraviesan el medio at�omi o.En la �g. f4.6g se muestra un volumen de ontrol que forma parte del medio por el que sepropaga la luz. Este volumen de ontrol est�a entrado en un punto gen�eri o de la oordenadalongitudinal x y est�a de�nido por dos se iones transversales de �area At separadas entre s�� poruna distan ia dx. El n�umero total de fotones edidos a la radia i�on en este volumen de ontroles la diferen ia entre los a~nadidos por emisi�on estimulada menos los robados por absor i�on: ��N2�t !est�abs � At � dx (4.5)Los fotones que se rean en este volumen de ontrol ha en que por la super� ie At entrada en x + dx salga un n�umero de fotones mayor que los que entran por la super� ieAt entrada en x. Es de ir, podemos es ribir: ��N2�t !est�abs � At � dx = �(x + dx)� At � �(x)� At = ��x � At � dx) �N2�t !est�abs = ��x (4.6)



76 CAP�ITULO 4. EL L�ASER DE NIVELES DISCRETOSN N > 02 1

E=E eo

[ ( )- ]z/2e

j[ t- ( )z]

Medio atómico con inversión de población

Onda de pulsación cercana a propagándose

Figura 4.8: Onda propag�andose por una medio at�omi o in inversi�on de pobla i�on.Pero >qu�e es el ujo exa tamente? Pues el n�umero de fotones que atraviesan la unidadde �area transversal en la unidad de tiempo. El o iente W (!)d!hf es el n�umero de fotones que,por unidad de volumen, hay en el intervalo espe tral (!; ! + d!) y si lo multipli amos porla velo idad on la que se mueve el haz Æn obtenemos el n�umero de fotones que atraviesan launidad de �area en la unidad de tiempo en el intervalo espe tral (!; !+d!), es de ir, el ujo:� = W (!) Æhfn (4.7)La ganan ia del medio por unidad de longitud (llamado oe� iente de atenua i�on sies un n�umero negativo) es, por de�ni i�on:

�(!) := 1� ��x = rad 3Æ8�hf 3n3 (N2 �N1)W (!)l(!)N1d!W (!) Æhfn = rad�2Æ8�n2 (N2 �N1)l(!) (4.8)Si ahora parti ularizamos para un medio que tenga omo fun i�on de l��nea una lorent-ziana 9, el oe� iente de ganan ia por unidad de longitud tendr��a la siguiente expresi�on, enla que el t�ermino que apare e en el numerador, 2��! , no es m�as que un oe� iente de norma-liza i�on para onseguir que el �area de la fun i�on de l��nea sea igual a la unidad y represente,por tanto, una densidad de probabilidad:8En realidad la ondi i�on es que g2N2 � g1N1 > 0, donde g1 y g2 representan el grado de degenera i�onde los estados E1 y E2. Para simpli� ar, suponemos que g1 = g2.9Es la fun i�on de l��nea t��pi a de un medio at�omi o on ensan hamiento homog�eneo.



4.4. FUNCIONAMIENTO DE UN L�ASER 77

Figura 4.9: Cavidad resonante en un l�aser de niveles dis retos.�(!) = rad�2Æ8�n2 (N2 �N1) 2��!1 + (! � !Æ�!=2 )2 (4.9)

Puesto que �(!) tiene unidades de la inversa de una longitud, es de ir, [�(!)℄ = L�1,mientras que N2�N1 tiene unidades de la inversa de un volumen, es de ir, [N2�N1℄ = L�3,resulta laro por qu�e al t�ermino restante se le da el nombre de se i�on ruzada o se i�one� az. Su expresi�on anal��ti a es la siguiente:�(!) = rad�28� 2��!1 + (! � !Æ�!=2 )2 (4.10)4.4. Fun ionamiento de un l�aserSupongamos que tenemos un medio material en el que N2�N1 > 0 (se di e enton esque en el medio hay una inversi�on de pobla i�on). En este aso tenemos un oe� iente deganan ia por unidad de longitud �(!) > 0. Al igual que en ualquier otro medio diel�e tri o,existen u tua iones lo ales del ��ndi e de refra i�on que produ en p�erdida por s atteringRayleigh, p�erdidas que podemos suponer onstantes e independientes de la pulsa i�on !, tal omo se muestra en la �g. f4.7g. Veamos qu�e es lo que o urre uando se propaga por estemedio una radia i�on ele tromagn�eti a de pulsa i�on er ana a !Æ = E2�E1�h .En estas ir unstan ias, si la pulsa i�on de la onda ele tromagn�eti a que se propagapor el medio ae dentro del an ho de banda donde el oe� iente de ampli� a i�on es posi-tivo, su amplitud re e a medida que se propaga, tal y omo se muestra en la �g. f4.8g.




Lm

=2Lm

o

n

2 = o=2nLm

p2p

P número entero

Figura 4.10: Longitudes de onda sele ionadas por la avidad resonante.Evidentemente, para mantener la inversi�on de pobla i�on, esto es, N2 � N1 > 0, in luso enausen ia de radia i�on ele tromagn�eti a, es pre iso suministrar una determinada poten ia almedio, ya que la tenden ia natural de los �atomos es aer del estado energ�eti o ex itado (E2)al fundamental (E1) por emisi�on espont�anea 10. En ausen ia de fen�omenos estimulados ydespre iando otros pro esos de desex ita i�on, el tiempo que, en promedio, permane e un�atomo en el estado superior antes de aer al estado fundamental es �esp = 1 rad .>C�omo introdu imos la realimenta i�on en el l�aser? Limitamos el medio ampli� adormetiendo el gas at�omi o en un tubo il��ndri o herm�eti o en uyos extremos olo amos dosespejos (planos o urvos), paralelos entre s��. Uno de ellos debe tener un oe� iente de re exi�onligeramente inferior a la unidad, tal omo se muestra en la �g. f4.9g. Mediante el me anismode bombeo (que a�un no hemos des rito), se matiene la inversi�on de pobla i�on. El objetode la avidad resonante es doble: por un lado, se onsigue que un fot�on 11 re orra el mediomaterial varias ve es antes de salir de la avidad, de manera que ompensamos el he ho deque el oe� iente de gana ia sea bajo 12. Por otra parte la avidad sele iona un onjuntodis reto de longitudes de onda a las que el l�aser puede emitir. Estas longitudes de onda sonaquellas para las que, despu�es de un ida y vuelta ompleta por la avidad, se produ e undesfase un n�umero entero de ve es la antida 2�. Esto se muestra en la �g. f4.10g.La avidad sele iona estas longitudes de onda porque s�olo a �estas se produ e unainterferen ia onstru tiva entre las ondas re ejadas por los espejos. Para el resto, la interfe-ren ia es destru tiva por lo que desapare en de la avidad. Ahora lo que debemos plantearnoses por qu�e el l�aser a aba emitiendo a una �uni a longitud de onda si existe todo un onjuntodis reto de ellas para las que se umple que � > �s + �esp, donde �esp son las p�erdidas quese produ en por la re exi�on par ial en el espejo on R < 1.10En realidad hay pro esos f��si os por los que el �atomo puede pasar del estado "2" al "1" sin emitir unfot�on.11Esta a�rma i�on es po o rigurosa e in luso podr��amos ali� arla de err�onea. Sin embargo, a ve es resultapedag�ogi amente �util referirse a los fotones omo si fuesen bolas de billar.12El medio a tivo est�a, generamente, muy diluido ya que la presi�on del gas que hay dentro de la avidades muy baja.



4.4. FUNCIONAMIENTO DE UN L�ASER 79+sc esp

+sc esp

+sc esp

q-2 q-1 q q+1 q+2

W( )

q-1 q q+1

W( )

q

W( )

Figura 4.11: Evolu i�on de la densidad volum�etri a de energ��a ele tromagn�eti a dentro de la avidad. Las �guras de arriba representan un tiempo un po o posterior al arranque del l�asery las de m�as abajo el r�egimen permanente.En la �g. f4.11g vemos �omo evolu iona la densidad de energ��a dentro de la avidad.Ini ialmente hay genera i�on de fotones por emisi�on espont�anea. Una peque~na fra i�on de �esta oin ide en fre uen ia on los modos longitudinales de la avidad para los que la ganan ia porunidad de longitud es mayor que las p�erdidas. De esta radia i�on hay, a su vez, otra peque~naparte se propaga perpendi ularmente a los espejos de la avidad. Esta peque~na fra i�on deemisi�on espont�anea se realimenta positivamente y empieza a re er su densidad volum�etri ade energ��a. Esta situa i�on se muestra en las �gura de m�as arriba. A medida que re e W (!),hay un mayor n�umero de �atomos que pasan del estado ex itado al fundamental, on lo quela inversi�on de pobla i�on disminuye y, onsiguientemente, el oe� iente de ganan ia tambi�endisminuye. Modos para los que ini ialmente hab��a realimenta i�on positiva, pasan a ver un oe� iente de gana ia inferior al de p�erdidas por lo que la densidad espe tral de energ��aa esas fre uen ias ae a ero. Esta situa i�on se ha representado en las �gura entrales de[4.11℄. Por �ultimo se llega a una situa i�on de r�egimen permanente, en la que pervive un�uni o modo, para el que el oe� iente de gana ia ompensa exa tamente el de p�erdidas. Elmedio ampli� ador repone los fotones que salen de la avidad por los espejos o por s atteringRayleigh, pero no puede ha er re er su n�umero.




Lm

r r1 2

EE~~

o2L

++

( )sc

Figura 4.12: Condi ion de os ila i�on del l�aser: despu�es de una ida y vuelta por la avidadresonante, la amplitud debe ser la misma y el desfase un n�umero entero de ve es la antidad2�. Vemos que el l�aser tiene, en prin ipio, tenden ia e emitir a varias pulsa iones. Sinembargo hay una autorregula i�on a la baja de �(!), de manera que tras un ort��simo r�egimentransitorio emite a �uni a pulsa i�on 13 para la que se veri� a que �(!)rp = �(!)(N2�N1)rp =�s + �esp.4.5. Condi iones de os ila i�on de un l�aserLa ondi i�on de os ila i�on de un l�aser se obtiene imponiento ondi iones esta ionariasal ampo ele tromagn�eti o dentro de la avidad, dese hando, naturalmente, la ondi i�ontrivial E(z; t) = 0. Para imponer ondi iones esta ionarias estudiamos la ida y la vuelta deuna onda ele tromagn�eti a e imponemos que no ambie ni la amplitud ni la fase de la onda omo onse uen ia de este re orrido. Ver �g. f4.12g.E(z; t) = EÆexp[(�(!)� �s )z℄e�j!t t = zn Æ (4.11)8>>>>>>>><>>>>>>>>:E+(0; 0) = EÆE+(L; Ln Æ ) = EÆe[�(!)��s ℄Le�j!Ln ÆE�(L; Ln Æ ) = EÆr2e[�(!)��s ℄Le�j!Ln ÆE�(2L; 2Ln Æ ) = EÆr2e[�(!)��s ℄2Le�j! 2Ln ÆE+(2L; 2Ln Æ ) = EÆr1r2e[�(!)��s ℄2Le�j! 2Ln Æ (4.12)13En realidad esto es ierto s�olo en medios en los que la fun i�on de l��nea es homog�enea. Si no lo es, sepuede produ ir el fen�omeno de "hole burning" espe tral [92℄ y el l�aser puede emitir a longitudes de onda orrespondientes a varios modos longitudinales. De todas maneras, in luso si los me anismos de ensan ha-miento de la fun i�on de l��nea son homog�eneos, puede produ irse emisi�on l�aser a pulsa iones orrespondientesa distintos modos longitudinales. Este fen�omeno se ono e on el nombre de "hole burning" espa ial y esespe ialmente importante en l�aseres a semi ondu tor [4℄.



4.5. CONDICIONES DE OSCILACI �ON DE UN L�ASER 81/2

Figura 4.13: Estima i�on del orden del modo longitudinal presente en la avidad de un l�aserde niveles dis retos.Para tener ondi iones esta ionarias debe veri� arse:E+(2L; 2Ln Æ )E+(0; 0) = 1 6 p2� p 2 N ) 8<: � = �s + 12LLn( 1r1 1r2 )! 2Ln Æ = p� 2� p 2 N (4.13)Estas dos �ultimas expresiones tienen una interpreta i�on sen illa: En primer lugar, lagana ia del medio a tivo (por unidad de longitud) debe ompensar las p�erdidas (tambi�enpor unidad de longitud) de la avidad. De esta manera podemos tener una energ��a ele tro-magn�eti a onstante dentro del ilindro y una poten ia, tambi�en onstante, saliendo por elespejo semire e tante. Por otro lado, omo ya hemos visto, la avidad sele iona un onjuntode pulsa iones o longitudes de onda determinadas: las orrespondientes a los modos propios(o, tambi�en llamados, modos longitudinales 14).Vamos ahora a dar valores t��pi os a los par�ametros de un laser de niveles dis retos.En primer lugar, la avidad resonante tiene una longitud del orden de L ' 0;5m, el ��ndi ede refra i�on es del orden de n ' 1 ya que el gas suele estar muy diluido (la presi�on esmuy baja). El oe� iente de re exi�on en poten ia del espejo semire e tante es R ' 0;8 yun oe� iente de s attering Rayleigh t��pi o puede ser �s ' 1 m�1. Teniendo en uenta queR = jrj2 resulta que la gana ia del medio debe ser del orden de � ' 4 m�1. Sabemos tambi�enque las pulsa iones propias de la avidad vienen dadas por la expresi�on !p = p� 2� Æ2�L , demanera que la separa i�on entre dos modos onse utivos es del orden de �! = !p+1 � !p =2� Æ2nL ' 2�� 300� 106. Viendo la �g. f4.13g podemos estimar u�al es el modo longitudinalexistente en la avidad resonante. Para ello, tenemos que tener en uenta que el o ienteLm�=2 = p es un n�umero entero. Dado que la longitud es del orden de 50 m, la longitud deonda de emisi�on es del orde de 1�m, resulta que p ' 5� 105.14Estamos suponiendo que la distribu i�on transversal admisible para ampo ele tromagn�eti a en la avidades �uni a. Normalmente los l�aseres de niveles dis retos y semi ondu tores (salvo los que se optimizan paraemitir la m�axima poten ia posible) se dise~nan para que esto sea as��.



82 CAP�ITULO 4. EL L�ASER DE NIVELES DISCRETOS4.6. Me anismo de bombeo.Existe una gran variedad de medios a tivos on los que se puede fabri ar un l�aser.Sin embargo todos, salvo el l�aser a semi ondu tor, tienen una ara ter��sti a om�un: el medioa tivo est�a muy diluido, es de ir, hay po os �atomos �opti amente a tivos (tambi�en pueden sermol�e ulas o iones) por unidad de volumen. Si tenemos en uenta que �(!) es propor ional al(!) (fun i�on de densidad de probabilidad de transi i�on entre estados) resulta evidente quela ampli� a i�on ser�a tanto m�as sen illa uanto menor sea la an hura espe tral de la ganan ia15. Esto s�olo es posible en medios diluidos. En los l�aseres de estado s�olido (salvo los l�aseressemi ondu tores), los elementos a tivos son iones dispersos en el seno de un medio v��treoque a t�ua de soporte, en los l�aseres l��quidos (de olorantes) o urre lo mismo: el l��quido no esm�as que un medio donde se disuelve un olorante, que es el material �opti amente a tivo. Por�ultimo, en los gases, la presi�on de trabajo es muy baja, de forma que los �atomos o mol�e ulasest�an separados por distan ias medias grandes.4.6.1. L�aser de tres niveles.N

N

E

E1 1

2 2

Bom

beo

Transicion rapida

Rad

iaci

on e

stim

ulad

a

E3

Figura 4.14: Medio a tivo de tres niveles.Las ara ter��sti as de un l�aser de tres niveles se muestran en la �g. f4.14g. El nivelenerg�eti o "1" es el estado fundamental de los �atomos, mientras que los estados "2" y "3" sonestados ex itados. El sistema de bombeo se en arga de eder energ��a al medio ampli� ador,indu iendo transi iones entre el estado fundamental y el "3", siendo �este inestable, es de ir,su tiempo medio de permanen ia es muy peque~no, es de ir, �32 � �21. Por este motivo los�atomos se desex itan r�apidamente al estado "2", donde permane en m�as tiempo al ser unestado metaestable.15Para que exista empli� a i�on es ne esario que �(!) > �p. Si la an hura espe tral de l(!) es grande, suamplitud debe ser peque~na (de he ho resulta habitual aproximar l(!) ' 1�! ) y la ampli� a i�on dif�� il.



4.6. MECANISMO DE BOMBEO. 83Entre los niveles "1" y "2" se produ en los fen�omenos de absor i�on y emisi�on estimu-lada, que son los responsables de la ampli� a i�on de luz. En este tipo de l�aseres el bombeotiene que ser muy en�ergi o, puesto que hay que llevar un n�umero importante de �atomos alestado "2" (al menos la mitad). Teniendo en uenta que el bombeo es generalmente �opti- o (en este tipo de sistemas) los l�aseres a tres niveles s�olo son fa tibles si en la transi i�on"1"{"3" hay una banda de absor i�on muy importante 16.4.6.2. L�aseres de uatro niveles.N E3 3

Bom

beo

Transicion rapida

E

Rad

iaci

on e

stim

ulad

a

4

N E22

N E1 1Transicion rapidaFigura 4.15: Medio a tivo de uatro niveles.En la �g. f4.15g se muestra la estru tura energ�eti a de un l�aser a uatro niveles. Elnivel 1 es el fundamental y el bombeo se produ e entre los niveles "1" y "4". El nivel "4"es inestable, por lo que r�apidamente se desex ita ha ia el nivel "3", donde el tiempo mediode permanen ia es, en t�erminos relativos, grande. Entre los niveles "3" y "2" se produ enlos fen�omenos de emisi�on estimulada y de absor i�on. Los �atomos que pasan al nivel "2"(por emisi�on estimulada) se desex itan r�apidamente, ya que se trata de un estado inestable,pasando r�apidamente al nivel fundamental. Por onsiguiente la pobla i�on at�omi a del nivel"2" es muy peque~na. Vemos que on un peque~na poten ia de bombeo se onsigue la inversi�onde pobla i�on, ya que N2 ' 0 y se puede produ ir ampli� a i�on �opti a. Esta es la gran ventajade los sistemas de uatro niveles y el motivo por el que la mayor parte de los l�aseres de nivelesdis retos son de este tipo.

16En realidad el estado "3" no es un �uni o nivel energ�eti o, sino un onjunto de niveles pr�oximos entres�� que posibilitan la absor i�on de una parte signi� ativa de los fotones que rea la fuente de luz en argadadel bombeo (normalmente una l�ampara ash o una l�aser semi ondu tor).



84 CAP�ITULO 4. EL L�ASER DE NIVELES DISCRETOS4.7. ProblemasProblema 6: Se desea modi� ar la e ua i�on de polariza i�on ma ros �opi a de ungas de manera que tenga en uenta la emisi�on estimulada. Sugeren ia: ompare los . oe� ientes de gana ia (en realidad de atenua i�on) que se derivan del modelo l�asi o de os iladores y fuer e a que oin ida on la expresi�on obtenida en este ap��tulo.Solu i�on: La e ua i�on de la polariza i�on ma ros �opi a dedu ida en el segundo tema es:�Px + ( + 2To ) _Px + !2oPx = Nq2E(t)dV mde la que se dedu ��a el siguiente oe� iente de absor i�on:�(!) = 2��Æ If�(!)g = ��Æ q2m�Æ!Æ NdV 2�!( !Æ � !1 + �!=2)2la expresi�on que hemos obtenido en este tema es:�(!) = rad�2Æ8�n2 (N2 �N1) 2��!1 + (! � !Æ�!=2 )2Vemos, pues, que lo que hay que ha er es identi� ar la densidad de os iladores l�asi os NdV on la densidad de �atomos en inversi�on de poble i�on N2 �N1 y el o iente qm on rad�3Æ�Æ!Æ8�2n2 .Con estas sustitu iones queda:�Px + ( + 2TÆ ) _Px + !2ÆPx = rad�3Æ�Æ!Æ8�2n2 (N2 �N1)E(t)Que es la expresi�on me ano u�anti a orre ta de la polariza i�on ma ros �opi a de un mediodiel�e tri o de dos niveles.



Cap��tulo 5Gana ia �opti a de un semi ondu torResumen: En este tema vamos a estudiar el medio a tivo del transmisor quem�as se emplean en los sistemas de omuni a i�on por �bra �opti a: el l�aser semi- ondu tor.Los semi ondu tores son s�olidos mono ristalinos uyas propiedades el�e tri asse sit�uan en un punto intermedio entre las de los metales y los aislantes. En este ap��tulo se dar�a una breve introdu i�on a las propiedades f��si as de lossemi ondu tores para estudiar, seguidamente, los pro esos de intera i�onluz{materia en estos materiales. En parti ular pretendemos al ular el oe� iente de ganan ia (o de atenua i�on) y rela ionarlo on la on entra i�on deportadores. La materia tratada en este ap��tulo es fundamental para entender elfun ionamiento de los l�aseres de avidad Fabry-P�erot y los de avidad distribuida.

85



86 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTOR

Trigonal centradaen el cuerpo

Trigonal simple

Cúbica simple Cúbica centradaen el cuerpo

Cúbica centradaen la cara

Figura 5.1: Algunos ejemplos de eldillas elementales.5.1. Introdu i�onLos s�olidos ristalinos [12℄{[88℄ tienen un estru tura muy regular. Los �atomos que los onstituyen se ordenan en el espa io de una manera peri�odi a asi perfe ta, de forma que els�olido puede verse omo un "mosai o", en el que existe un bloque elemental que se repiteregularmente en las tres dire iones del espa io [93℄. En la �g. f5.1g se muestran distintosejemplos de eldas elementales, a partir de las uales puede onstruirse el s�olido ristalinodesplazando �esta a lo largo los tres ve tores de transla i�on aso iados a sus aristas. Estos ristales son sustan ias anis�otropas, es de ir, sustan ias uyas propiedades dependen de ladire i�on o el plano en que se midan. No es dif�� il onven erse de esto si se observa queexisten dire iones y planos esen ialmente distintos, donde la periodi idad en la repeti i�onde �atomos es distinta.La extensi�on espa ial de las "�orbitas" 1 de los ele trones de un �atomo aislado estanto mayor uanto mayor es la energ��a del ele tr�on. Por ello, uando se aproximan entres�� los �atomos para formar un s�olido ristalino, son pre isamente los ele trones de valen ia(que orbitan a mayor distan ia del n�u leo) los �uni os que intera ionan 2. Esto justi� ael onsiderar separadamente el onjunto formado por el n�u leo del �atomo y los ele tronesinternos (a este onjunto lo llamaremos n�u leo de la red ristalina) por un lado y los ele tronesde valen ia por otro.Cuando dos �atomos iguales est�an lo su� ientemente separados, los ele trones de uno1En realidad se deber��a hablar de las fun iones de onda aso iadas [14℄ a los ele trones en estados esta io-narios (es de ir, de energ��a onstante).2En algunos elementos esta hip�otesis simpli� ativa no es v�alida.



5.1. INTRODUCCI �ON 876N estados 2p

2N estados 2s

2Nestados 1s

Banda deconducción

Banda devalencia

(4N estados)

(4N estados)

Atomos muyDistancia de alejadosseparaciónFigura 5.2: Forma i�on de las bandas de valen ia y ondu i�on de un ristal de arbono.y otro no intera ionan entre s��. Las "�orbitas" orrespondientes a ele trones equivalentesde estos dos �atomos no solapan. Aquellos ele trones que o upan niveles similares en ambos�atomos tienen la misma energ��a y sus "�orbitales" son iguales (mientras no haya intera i�onentre ambos). Sin embargo, a medida que se aproximan, las "�orbitas" omienzan a solapar on lo que se ven perturbadas. Cualitativamente se observa un desplazamiento de los nivelesenerg�eti os de ambos ele trones de forma que �estos no oin idan.En la �g. f5.2g se observa lo que o urre a medida que se a er an los N �atomos deuna red ristalina de arbono [71℄. Los 2N niveles energ�eti os 2s de los �atomos, as�� omolos 6N niveles 2p, empiezan a separarse, formando, ini ialmente, dos "bandas" de nivelesenerg�eti os, una orrespondiente a los 2N niveles 2s y otra orrespondiente a los 6N niveles2p (N es el n�umero de �atomos de la red ristalina). Si el a er amiento entre �atomos ontin�ua,las dos bandas se funden en una sola. Si la aproxima i�on es a�un mayor, esta banda se divideen dos, ada una de las uales ontiene 4N niveles energ�eti os. La banda inferior (formadapor orbitales "enlazantes") re ibe el nombre de banda de valen ia y la superior (formada porlos orbitales "antienlazantes") banda de ondu i�on. En la �gura se ha representado tambi�enla distan ia de separa i�on entre �atomos en la red del diamante, es de ir, la distan ia parala ual la energ��a total del sistema se ha e m��nima. El intervalo de separa i�on entre ambasbandas re ibe el nombre de banda prohibida y el valor de la energ��a que las separa, energ��ade la banda prohibida.A una temperatura igual a 0K, los ele trones o upan los niveles de energ��a m�as bajos.El diamante uenta on uatro ele trones en su �ultima apa, por lo que la banda de valen iaestar�a totalmente o upada, mientras que la banda de ondu i�on estar�a totalmente va ��a.Para que un ele tr�on pueda desplazarse omo una part�� ula libre a lo largo de la red ristalina



88 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTOR( ondi i�on indispensable para que sea ondu tor de la ele tri idad) debe tener estados deenerg��a superiores a esibles (va ��os) dentro de la banda a la que pertene e 3. Por ello sepuede dedu ir que a 0K el diamante es un aislante perfe to. A temperaturas superiores a0K los ele trones no tienen por qu�e o upar ne esariamente los niveles energ�eti os m�as bajosposibles y existe una probabilidad no nula de que un ele tr�on que pertene ��a a la banda devalen ia o upe un estado energ�eti o de la banda de ondu i�on. Esta probabilidad dependetanto de la temperatura omo de la an hura de la banda prohibida. En el diamante la an hurade la banda prohibida es lo su� ientemente grande omo para que a ualquier temperaturarazonable la probabilidad de que esto o urra sea ��n�ma. Por ello el diamante es una ex elenteaislante in luso a temperaturas muy altas.Los metales son buenos ondu tores de la ele tri idad debido a que la banda de ondu i�on no est�a va ��a sino que se en uentra par ialmente llena, o bien puede o urrir quela banda de valen ia y la banda de ondu i�on solapen entre s�� (este es el aso de los metalesde transi i�on).Hay determinados s�olidos ristalinos que presentan ara ter��sti as de ondu i�onel�e tri a intermedias entre las de los aislantes y los metales. Son los llamados semi ondu to-res, entre los que abe desta ar el Sili io, el Germanio y el Arseniuro de Galio y sus derivados[1℄. En estos materiales la an hura de la banda prohibida es lo su� ientemente estre ha omopara que a temperaturas razonables haya una on entra i�on no despre iable de ele trones enla banda de ondu i�on. Este tipo de materiales son buenos aislantes a temperaturas bajasy su ondu tividad el�e tri a re e a medida que aumenta la temperatura.5.2. Portadores libres de arga en los semi ondu tores.A medida que la temperatura de un semi ondu tor aumenta por en ima de los 0K,algunos ele trones de valen ia adquieren la su� iente energ��a t�ermi a omo para pasar a labanda de ondu i�on. Cuanto mayor sea la temperatura, mayor ser�a la probabilidad de queun ele tr�on adquiera una energ��a t�ermi a igual o superior a la an hura de la banda prohibida, on lo que el n�umero de ele trones en la banda de ondu i�on aumentar�a. Estos ele trones, alsaltar a la banda de ondu i�on, dejan estados energ�eti os libres en la banda de valen ia, la ual estaba ompletamente llena a 0K. Los estados libres de la banda de valen ia re iben elnombre de hue os. Tanto los ele trones omo los hue os son portadores de arga (los primerosde arga negativa y los segundos de arga positiva) que se desplazan "libremente" 4 por lasbandas de ondu i�on y valen ia respe tivamente, on lo que ontribuyen al fen�omeno de ondu i�on de la ele tri idad [71℄{[93℄.En esta se i�on se pretende determinar la on entra i�on de portadores de arga (ele -trones y hue os) que, a una temperatura dada, existe en un semi ondu tor. Primeramente3Los ele trones de una banda totalmente o upada, si se en uentran sometidos a un ampo el�e tri o,realizan un movimiento arm�oni o, llamado os ila i�on de Blo h, alrededor de los n�u leos de la red ristalina.4La hip�otesis de part�� ula libre es aproximadamente ierta s�olo en las er an��as del m��nimo de la bandade ondu i�on y del m�aximo de la banda de valen ia en semi ondu tores de transi i�on dire ta. En los detransi i�on indire ta la hip�otesis deja de ser v�alida en la banda de ondu i�on. Sin embargo, gra ias a lapresen ia de varios m��nimos sim�etri os en la primera zona de Brillouin [12℄, al promediar el omportamientode los ele trones, su movimiento se puede des ribir omo si fuesen libres.



5.2. PORTADORES LIBRES DE CARGA EN LOS SEMICONDUCTORES. 89Banda de conducción

Banda prohibida

Banda de valencia

Est

ados

acc

esib

les

Figura 5.3: Dis retiza i�on de estados energ�eti os dentro de las bandas de valen ia y ondu - i�on.se entrar�a el estudio sobre los semi ondu tores intr��nse os, es de ir, aquellos en los queele trones y hue os se rean ex lusivamente mediante ex ita i�on t�ermi a. Estos portadoresde arga re iben el nombre de portadores intr��nse os y la ondu tividad debida a estos por-tadores (la �uni a que existe en los semi ondu tores intr��nse os), ondu tividad intr��nse a.En un semi ondu tor intr��nse o el n�umero total de ele trones en la banda de ondu i�on esigual al n�umero total de hue os en la banda de valen ia ya que, al pasar un ele tr�on de labanda de valen ia a la de ondu i�on, autom�ati amente �este deja un hue o en la banda devalen ia.Para hallar la ondu tividad de un semi ondu tor hay que determinar previamentedos fun iones: La densidad de estados energ�eti os a esibles en las bandas de ondu i�on yvalen ia [12℄ y la probabilidad de o upa i�on [12℄, a una temperatura dada, de estos nivelesenerg�eti os.A partir del an�alisis he ho para los semi ondu tores intr��nse os, se estudiar�an lossemi ondu tores extr��nse os, es de ir, aquellos uyas propiedades el�e tri as dependen deimpurezas (llamadas dopantes) que se a~naden al semi ondu tor.5.2.1. Densidad de estados en las bandas de valen ia y ondu i�on.Los niveles de energ��a permitidos en un s�olido ristalino son dis retos, aunque est�anseparados entre s�� por saltos de energ��a extremadamente peque~nos, tal y omo se muestraen la �g. f5.3g. Por esta raz�on, en general, se supone que forman un ontinuo de valores.Consideremos un nivel de energ��a situado en la banda prohibida. Seg�un se dijo en apartados



90 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORanteriores, un ele tr�on de un semi ondu tor ideal no puede tener ese valor de energ��a y,por tanto, si tomamos un intervalo estre ho de energ��as alrededor de ese valor, resulta queel n�umero de estados energ�eti os (por unidad de volumen) a esibles en di ho intervalo esnulo y, por onsiguiente, la densidad de estados, es de ir el n�umero de estados a esiblesdividido por la an hura del intervalo onsiderado y por el volumen del semi ondu tor, es, enla banda prohibida, igual a ero. Si onsideramos una energ��a superior al m��nimo de la bandade ondu i�on, resulta que ese estado s�� es a esible para un ele tr�on y, por onsiguiente, ladensidad es mayor que ero. La separa i�on entre estos niveles no es onstante, sino que esmenor para los niveles energ�eti os m�as altos, es de ir, la densidad de niveles energ�eti os esm�as alta (en la banda de valen ia o urre justo lo ontrario: uanto menor es la energ��a mayores la densidad de estados). Las expresiones de las densidades de estados de los ele tronesen las er an��as del m��nimo de la banda de ondu i�on y de los hue os en las er an��as delm�aximo de la banda de valen ia son, aproximadamente [101℄:Ne(E) = 8p2�h3 m 32eqE � E Nh(E) = 8p2�h3 m 32hqEv � E (5.1)donde E es la energ��a del m��nimo de la banda de ondu i�on, Ev es la energ��a delm�aximo de la banda de valen ia y me y mh son las masas efe tivas de ele trones y hue os enlas bandas de ondu i�on y valen ia. La expresiones (5.1) ponen de mani�esto que, a medidaque nos adentramos en la banda de ondu i�on, el n�umero de estados a esibles para losele trones re e on la ra��z uadrada de la energ��a. La a�rma i�on an�aloga es ierta para loshue os en la banda de valen ia. El oe� iente de propor ionalidad no es en ambos asos elmismo ya que, en general, las masas efe tivas de ele trones y hue os no son iguales.5.2.2. Probabilidad de o upa i�on de estadosPara determinar el n�umero de portadores de arga en la banda de ondu i�on y enla banda de valen ia ne esitamos ono er, adem�as de la densidad de estados energ�eti osa esibles N(E), la probabilidad de que, supuesto que sea a esible, el estado de energ��aE est�e o upado. Esta ara ter��sti a viene de�nida por una fun i�on f(E; T ) de distribu i�ondonde E var��a de 0 a in�nito. El sentido de esta fun i�on es laro. Supongamos un estado deenerg��a E; supuesto que este valor de energ��a pertene e la la banda de ondu i�on (estadoa esible de energ��a) la probabilidad de que est�e o upado por un ele tr�on es f(E; T ).La expresi�on de f(E; T ) es la siguiente:f(E; T ) = 11 + e (E�Ef )kT (5.2)Esta fun i�on re ibe el nombre de fun i�on de distribu i�on de Fermi{Dira [101℄ ydes ribe el omportamiento estad��sti o de ualquier pobla i�on de fermiones y en parti ularel de los ele trones y hue os en un s�olido ritalino. Ef es una " onstante" en el sentido deque no es fun i�on de E, pero depende, aunque sea d�ebilmente, de la temperatura y de las



5.2. PORTADORES LIBRES DE CARGA EN LOS SEMICONDUCTORES. 91f(E)

E

0.5

1

E f

kT

Figura 5.4: Fun i�on de distribu i�on de Fermi-Dira .masas efe tivas de los portadores. Ef re ibe los nombres de poten ial qu��mi o, nivel de Fermio energ��a de Fermi.En la �g. f5.4g hemos representado la fun i�on de distribu i�on de Fermi{Dira parauna temperatura dada. En ella se observa que un estado de energ��a igual a la del nivelde Fermi tiene una probabilidad 0.5 de estar o upado. En una se i�on posterior veremos �omo se determina Ef y �omo depende de la temperatura. La onstante k es la onstante deBoltzmann.5.2.3. Con entra i�on de ele trones y hue os en equilibrio t�ermi oen un semi ondu tor intr��nse o.La on entra i�on de ele trones en la banda de ondu i�on, es de ir, el n�umero deele trones que hay por unidad de volumen en un intervalo in�nitesimal de energ��a (E;E+dE),se obtiene multipli ando la fun i�on de densidad de estados en la banda de ondu i�on por laprobabilidad de que di hos estados est�en o upados, es de ir, por la fun i�on de distribu i�onde Fermi-Dira f(E; T ). Integrando este produ to para energ��as superiores al m��nimo de labanda de ondu i�on se obtiene la on entra i�on total de ele trones libres en la banda de ondu i�on [77℄.La on entra i�on de hue os en la banda de valen ia se obtiene multipli ando la fun i�onde densidad de estados en la banda de valen ia por la probabilidad de que di hos estado noest�en o upados (�esta es, pre isamente, la probabilidad de que exista un hue o), es de ir por1 � f(E; T ). Integrando este produ to para energ��as inferiores al m�aximo de la banda devalen ia se obtiene la on entra i�on total de hue os libres en la banda de valen ia.



92 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORDensidad deelectronesf(e)Nc(e)

Densidad dehuecos

(1-f(e))Nv(e)

Densidad deelectronesf(e)Nc(e)

Densidad dehuecos

(1-f(e))Nv(e)

Densidad deestados en labanda deconducción


Probabilidad deocupación deelectrones


Probabilidad deocupación de

huecosProbabilidad deocupación de

huecos

estados en labanda devalencia

Densidad de estados en labanda devalencia

Densidad de

f(e) f(e)

Ef Ef

p* = m*

em

Nc(e) Nc(e)

Nv(e)Nv(e)

p* m*

em >Figura 5.5: Con entra i�on de ele trones y hue os en un semi ondu tor.En ondi iones de equilibrio t�ermi o, el n�umero de ele trones dn que, por unidad devolumen, tienen una energ��a dE alrededor de E en la banda de ondu i�on es:dno = Ne(E)f(E; T )dE = 8p2�h3 m 32eqE � E 11 + e (E�Ef )kT dE (5.3)Esta es la expresi�on anal��ti a del diferen ial de una de las urvas rayadas que semuestran en la �g. f5.5g (la orrespondiente a la banda de ondu i�on). Para obtener la on entra i�on total de ele trones en la banda de ondu i�on habr��a que integrar para valoresde E que van de E a 1. Sin embargo, la fun i�on (5.3) no tiene una primitiva, ni puede al ularse de forma exa ta (por otros medios omo, por ejemplo, el m�etodo de los residuos)esta integral de�nida, por lo que tendr��amos que realizar una integra i�on num�eri a. Sinembargo, si la energ��a de Fermi est�a dentro de la banda prohibida a varias unidades kTlejos del borde de la banda de ondu i�on (es de ir, si E � Ef � kT ), enton es podemosaproximar la fun i�on de distribu i�on de Fermi-Dira en la banda de ondu i�on mediante[71℄: f(E; T ) ' e� (E�Ef )kT (5.4)Las ondi iones para que esta aproxima i�on sea v�alida se veri� an en todos los se-mi ondu tores intr��nse os normalmente utilizados en la fabri a i�on de dispositivos. Estaaproxima i�on re ibe el nombre de aproxima i�on de Boltzmann y tiene una interpreta i�onf��si a sen illa: la estad��sti a de ele trones y hue os pasa de ser una estad��sti a u�anti a a ser



5.2. PORTADORES LIBRES DE CARGA EN LOS SEMICONDUCTORES. 93- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -

+ ++ + + + ++ + + + + ++ ++ + + +++ + + + + + + ++ + + ++ ++ + + +

EE

c

d

E

E

v

a

E E

Estados donadores

Estados aceptores

Estados de la bandade conducción

Estados de la bandade valenciaFigura 5.6: Estados energ�eti os donadores y a eptores. En un semi ondu tor dopado seda una de las dos posibilidades: o bien existen estados donadores, o bien existen estadosa eptores.una estad��sti a l�asi a, ya que el n�umero de portadores es peque~no y el prin ipio de ex lusi�onde Pauli no juega un papel importante.Efe tuando la integral antes men ionada, resulta:ni ' U e� (E �Ef )kTU = 2 2�mekTh2 ! 32 (5.5)El n�umero de hue os pi por unidad de volumen en la banda de valen ia de un semi- ondu tor, puede al ularse de un modo similar y se obtiene:pi ' Uve� (Ef�Ev)kTUv = 2 2�mhkTh2 ! 32 (5.6)Si mh y me fuesen exa tamente iguales (esto no o urren en ning�un semi ondu torde tipo IV o III-V [1℄), las urvas de densidad de estados en las dos bandas son totalmentesim�etri as, por lo que la energ��a de Fermi debe quedar exa tamente en el entro de la bandaprohibida. De otra forma, la pobla i�on de ele trones en la banda de ondu i�on y la dehue os en la banda de valen ia no oin idir��an. Si mh y me no son iguales (normalmente lamasa efe tiva de los ele trones es m�as ligera que la de los hue os), el nivel de Fermi debedesplazarse ligeramente ha ia arriba o ha ia abajo de forma que al efe tuar las integrales se



94 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORobtengan valores iguales. En este aso, el nivel de Fermi queda er a del entro de la bandaprohibida pero no exa tamente en �el. Esto se muestra en la �g. f5.5g.En un semi ondu tor intr��nse o las on entra iones de ele trones y hue os son iguales,por lo que identi� ando (5.5) on (5.6) puedemos dedu ir la dependen ia del nivel de Fermi on la temperatura. A onsejamos al le tor que demuestre la siguiente expresi�on, ierta paraun semi ondu tor intr��nse o: Ef = 12(Ev + E ) + 34kT lnmhme (5.7)Dado que, a temperaturas ordinarias, kT es una energ��a muy peque~na en ompara i�on on la an hura de la banda prohibida (del orden de magnitud de 1eV ), resulta que, a�un enel aso de semi ondu tores en los que las masas efe tivas de los portadores de arga no seaniguales, el nivel de Fermi est�a situado aproximadamente en el entro de la banda prohibida(en un semi ondu tor intr��nse o). Sime < mh el nivel de Fermi se desplaza ligeramente ha iael m��nimo de la banda de ondu i�on y si mh < me, se desplaza ligeramente ha ia el m�aximode la banda de valen ia.Se puede demostrar on fa ilidad [2℄ que el produ to nopo es una fun i�on ex lusiva dela an hura de la banda prohibida, las masas efe tivas y la temperatura, siendo independientedel nivel de Fermi. Los semi ondu tores extr��nse os pueden des ribirse (tal omo veremosen la pr�oxima se i�on) onsiderando que su nivel de Fermi est�a desplazado en rela i�on a laposi i�on que tendr��a si fuese intr��nse o. Al no depender nÆpÆ del nivel de Fermi, la expresi�onque sigue, al ulada tomando no = ni y po = pi, es v�alida tambi�en para los semi ondu toresextr��nse os. (Con el sub��ndi e Æ se denota una situa i�on de equilibrio t�ermi o).nÆpÆ = n2i (T ) = p2i (T ) = 4 2�kTh2 !3 (memh) 32 e�EgkT (5.8)La demostra i�on de esta f�ormula la dejamos omo ejer i io para el le tor. Este re-sultado, que pone de mani�esto que el produ to de la on entra i�on total de ele trones yhue os es independiente del dopado de un semi ondu tor extr��nse o, se va a usar on mu hafre uen ia.5.2.4. Con entra i�on de ele trones y hue os en equilibrio t�ermi oen un semi ondu tor extr��nse o.Es muy f�a il introdu ir antidades muy peque~nas de substan ias tales omo el ars�eni o5, u otros elementos pertene ientes al grupo V de la tabla peri�odi a, en ristales puros desili io o germanio, omo impurezas de substitu i�on, es de ir, omo �atomos de impurezasque o upan sitios de la red ristalina que normalmente estar��an o upados por �atomos delsemi ondu tor de tipo IV. Los �atomos del grupo V tienen in o ele trones de valen ia.5Estamos suponiendo que el semi ondu tor de tipo IV ( uarta olumna del sistesma peri�odi o) omo, porejempo, el sili io, aunque todos los dispositivos �opti os se fabri an on semi ondu tores de tipo III{IV, esde ir, ompuestos de elementos de las olumnas ter era y quinta del sistema peri�odi o omo, por ejemplo,el arseniuro de galio.



5.2. PORTADORES LIBRES DE CARGA EN LOS SEMICONDUCTORES. 95Ge

Ge Ge Ge Ge

Ge Ge Ge Ge Ge

Ge Ge Ge

Ge Ge Ge Ge Ge

-

+

Ge Ge Ge Ge

Ge

Ge

Ge Ge Ge As+

Ge Ge Ge Ge

Ge

Ge

Ge Ge Ge Ge

GeIn-

Tipo n Tipo pFigura 5.7: Ele trones y hue os libres pro edentes de �atomos de impurezas (interpreta i�on l�asi a).Cuatro de ellos se usan para formar enla es ovalentes on �atomos ve inos y el quinto seenlaza al �atomo de impureza on fuerzas ele trost�ati as muy d�ebiles. El enla e es tan d�ebilque, in luso a temperaturas muy bajas (del orden de 20K), la energ��a de agita i�on t�ermi aes su� ientemente elevada omo para ionizar al �atomo de impureza [71℄, pasando el ele tr�ona la banda de ondu i�on sin produ irse un hue o en la banda de valen ia. Esto puedeinterpretarse omo que existen estados energ�eti os a esibles para los ele trones por debajo,pero muy pr�oximos al m��nimo de la banda de ondu i�on, tal omo se muestra en la �g.f5.6g. La proximidad es tan grande que el aporte de una antidad m��nima de energ��a (esde ir, que la temperatura sea ligeramente superior a 0K) ha e que estos ele trones pasen a labanda de ondu i�on. El �atomo de impureza que ha perdido el ele tr�on se onvierte en un i�onpositivo y �jo. Esta situa i�on se ilustra en la �g. f5.7g. Estos semi ondu tores se denominande tipo n, designados as�� porque la mayor��a de los portadores de arga son, a temperaturasnormales de fun ionamiento, ele trones libres. La omponente de ondu tividad el�e tri a quese produ e por los �atomos de impureza se llama ondu tividad por impureza. Los �atomos delgrupo V de substitu i�on se llaman on fre uen ia �atomos donadores, ya que ada uno deellos dona un ele tr�on libre al ristal.Si en lugar de los �atomos del grupo V se introdu en en la red del semi ondu tor detipo IV �atomos del grupo III (Al,Ga,In,et .), se observar�a un fen�omeno muy distinto. Estos�atomos tienen s�olo tres ele trones de valen ia que se usan para formar enla es ovalentes ontres �atomos ve inos, pero el uarto posible enla e are e de ele tr�on. Esto puede interpretarse omo que existen estados energ�eti os a esibles para los ele trones por en ima, pero muypr�oximos al m�aximo de la banda de valen ia, omo se muestra en la �g. f5.6g. La er an��aes tan grande que el aporte de una antidad m��nima de energ��a (es de ir, que la temperaturasea superior a unas uantas de enas de grados Kelvin) ha e que los ele trones de la bandade valen ia pasen a o upar estos estados energ�eti os, produ i�endose un hue o en la banda devalen ia [71℄. El �atomo de impureza se onvierte en un i�on negativo y �jo. Esta situa i�on seilustra en la �g. f5.7g. Estos semi ondu tores se denominan de tipo p, designados as�� porque



96 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORla mayor��a de los portadores de arga son, a temperaturas normales de fun ionamiento,hue os libres. La omponente de ondu tividad el�e tri a que se produ e por los �atomos deimpureza se llama ondu tividad de impureza. Los �atomos del grupo III de substitu i�on sellaman on fre uen ia �atomos a eptores, ya que ada uno de ellos a epta un ele tr�on de labanda de valen ia produ i�endose un hue o adi ional en la banda de valen ia.La estad��sti a de o upa i�on de estados en los semi ondu tores tipo n y p se ara terizapor la presen ia del nivel de Fermi por en ima (para el tipo n) o por debajo (para el tipo p)del nivel de Fermi de un semi ondu tor puro (intr��nse o). Seg�un lo que vimos en el apartadoanterior, en un ristal tipo n no puede haber m�as ele trones que hue os a menos que elnivel de Fermi est�e situado por en ima del nivel de Fermi del semi ondu tor intr��nse o. Lasitua i�on ontraria se da para un ristal tipo p.En un semi ondu tor en equilibrio t�ermi o debe haber un hue o o un i�on positivo por ada ele tr�on libre, y un ele tr�on libre o un i�on negativo por ada hue o libre ( onsideramos el aso gen�eri o en el que haya simult�aneamente impurezas donadoras y a eptoras). Por tanto,dado que el ristal debe ser el�e tri amente neutro, esta ondi i�on de neutralidad de argas seexpresa igualando la suma algebrai a de argas positivas (�jas y m�oviles) y negativas (�jasy m�oviles): pÆ +Nd = nÆ +Na (5.9)donde pÆ, nÆ son las on entra iones de hue os y ele trones generados t�ermi amentey Nd, Na las on entra iones de argas �jas produ idas por la ioniza i�on de las impurezasdonadoras y a eptoras. Puede probarse que sustituyendo en esta expresi�on (5.5) y (5.6) sellega a: Ef = 12(Ev + E ) + 34kT ln mhme + kT sinh�1 Nd �Na2pU Uve� �E2kT ! (5.10)Los dos primeros sumandos representan el nivel de Fermi del semi ondu tor si �estefuese intr��nse o, Efi. Teniendo en uenta (5.8) la f�ormula anterior puede expresarse de lasiguiente forma: Ef = Efi + kT sinh�1 �Nd �Na2ni � (5.11)Esta es la expresi�on del nivel de Fermi para un semi ondu tor on impurezas. En la�g. f5.8g se observa la posi i�on relativa que o upan los niveles de Fermi en un semi ondu torde tipo n y en uno de tipo p frente al nivel intr��nse o. Cuanto mayor sea el dopado netodel semi ondu tor, mayor ser�a el desplazamiento. Es importante desta ar que para dedu ir(5.11) se ha empleado la aproxima i�on de Boltzmann. Si el dopado neto es muy elevado, elnivel de Fermi se aproxima mu ho (puede, in luso, superarlo), en el primer aso, al m��nimode la banda de ondu i�on y en el otro, al m�aximo de la banda de valen ia. Sugerimos alle tor que estime para qu�e nivel de dopado (5.11) deja de ser v�alida. Para estimarlo se puedetomar omo riterio admitir que la aproxima i�on de Boltzmann deja de ser ierta uando elnivel de Fermi se aproxima a una de las bandas a una distan ia inferior o igual a 3kT .



5.2. PORTADORES LIBRES DE CARGA EN LOS SEMICONDUCTORES. 97Densidad deestados en labanda deconducción




Probabilidad deocupación de

huecosProbabilidad deocupación de

huecos

estados en labanda devalencia

Densidad de estados en labanda devalencia

Densidad de

Ef

Nc(e) Nc(e)

Nv(e)Nv(e)

f(e)

Ef

f(e)

Densidad deelectronesf(e)Nc(e)

Densidad dehuecos

(1-f(e))Nv(e)

Densidad deelectrones

Densidad dehuecos

(1-f(e))Nv(e)

f(e)Nc(e)

Tipo pTipo nFigura 5.8: Ele trones y hue os libres en semi ondutores dopados.La expresi�on (5.11) puede, en la mayor��a de los asos, simpli� arse. Normalmente eldopado en semi ondu tores es lo su� ientemente elevado omo para que la on entra i�onde portadores mayoritarios pro edente de la ioniza i�on de impurezas sea muy grande en ompara i�on on la on entra i�on de portadores mayoritarios de origen t�ermi o. Esto quierede ir que el argumento de la fun i�on sinh�1 es muy grande. En estas ir unstan ias puedeha erse la aproxima i�on: sinh�1 x ' ln j2xj, on lo que resulta:Ef = Efi � kT ln jNd �Najni ! (5.12)en donde el signo m�as se utiliza para materiales de tipo n (Nd > Na), y el signo menospara materiales de tipo p (Nd < Na). El error ometido en la aproxima i�on es del veinte por iento uando ni = Nd�Na e inferior al in o por iento (de re iendo adem�as r�apidamente)para ni = 0;5(Nd � Na). A onsejamos al le tor que utili e esta expresi�on para determinar �omo var��a el nivel de Fermi de un semi ondu tor extr��nse o on respe to a la temperatura.La on entra i�on de portadores en las bandas de ondu i�on y valen ia se puedeen ontrar a udiendo a la e ua i�on de neutralidad de argas. Por ejemplo, uando en (5.9) sesustituye pÆ = n2inÆ se obtiene, resolviendo la e ua i�on de segundo grado resultante [2℄:nÆ = 12(Nd �Na) +s14(Nd �Na)2 + n2i (5.13)Del mismo modo, uando se sustituye no = n2ipÆ , se obtiene:



98 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORpÆ = �12(Nd �Na)�s14(Nd �Na)2 + n2i (5.14)De a uerdo on estas f�ormulas, es evidente que uando Nd � Na = 0, nÆ = pÆ = ni.Este es el aso de ompensa i�on total de dopados y el semi ondu tor se omporta omo sifuera intr��nse o. Si Nd � Na > 0, nÆ > pÆ, omo es de esperarse en un semi ondu tor dedopado tipo n; si Nd �Na < 0, nÆ < pÆ, omo se requiere en un semi ondu tor de tipo p.Para semi ondu tores fuertemente extr��nse os (es el aso habitual), estas f�ormulas sesimpli� an mu ho. Por ejemplo, si Nd � Na � ni, omo su ede para un semi ondu tor defuerte dopado tipo n, resulta:

cm-3

cm-3

cm-3

Ge

Si

10

10

10

10

10

10

7

9

11

13

15

17

AsGa

1000/T (K )-12 3

300K

2.5 10

1.5 10

2 106

10

13

4Figura 5.9: Con entra i�on de portadores intr��nse os en fun i�on de la temperatura.nÆ ' Nd �NapÆ ' n2iNd �Na (5.15)en tanto que para un semi ondu tor tipo p muy dopado, en donde Nd�Na es grandey negativo, pÆ ' Na �NdnÆ ' n2iNa �Nd (5.16)



5.3. SEMICONDUCTORES FUERA DEL EQUILIBRIO T�ERMICO. 99

Ec

Ev

Fc

Fv

Eg

n

p

n= p

c

fc

v

Figura 5.10: Con entra i�on de portadores en un semi ondu tor fuera del equilibrio t�ermi o.Las expresiones anteriores pare en indi ar que, mientras la on entra i�on de porta-dores minoritarios depende fuertemente de la temperatura (ni depende de la temperatura),la de los portadores mayoritarios no depende de �esta. Esta a�rma i�on es ierta en un ran-go de temperaturas limitado. En (5.13) y (5.14) se ha despre iado la ontribu i�on de losportadores intr��nse os frente a los extr��nse os a la hora de determinar la on entra i�on deportadores mayoritarios. Sin embargo, tal omo se muestra en la �g. f5.9g, esta ontribu i�on re e r�apidamente on la temperatura, por lo que uando �esta es su� ientemente elevada,la ontribu i�on de portadores intr��nse os se ha e omparable a la de los extr��nse os [77℄.Sugerimos al le tor que estime a qu�e temperatura un semi ondu tor, que en prin ipio eraextr��nse o, pasa a omportarse omo uno intr��nse o.5.3. Semi ondu tores fuera del equilibrio t�ermi o.En un semi ondu tor en equilibrio t�ermi o, los ele trones de la banda de ondu i�onest�an en equilibrio on los hue os de la banda de valen ia debido a que ambas bandasinter ambian energ��a gra ias a los pro esos de genera i�on y re ombina i�on de portadores [71℄.Por ello existe una �uni a fun i�on de distribui i�on que des ribe la probabilidad de o upa i�on delos estados energ�eti os a esibles en ambas bandas. Si ejer emos alguna a i�on externa sobre



100 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORel material (inye tamos una orriente, por ejemplo) esto deja de ser ierto. Los ele trones de labanda de ondu i�on est�an en una situa i�on de uasiequilibrio entre ellos (estos ele trones son apa es de inter ambiar energ��a r�apidamente mediante olisiones on la red ristalina si su on entra i�on es baja y por olisiones dire tas entre los propios portadores si su on entra i�ones alta [20℄). Lo mismo o urre on los hue os de la banda de valen ia, pero ambas bandasno est�an en equilibrio mutuo. Esto se re eja en la apari i�on de dos fun iones de distribu i�ondistintas, una para los ele trones en la banda de ondu i�on y otra para los hue os en la bandade valen ia. Estas dos fun iones est�an perfe tamente de�nidas si ono emos, respe tivamente,la posi i�on de los uasi niveles de Fermi en la banda de ondu i�on y en la banda de valen ia.L�ogi amente, la posi i�on de los dos uasiniveles de Fermi no es independiente la una de laotra. Sus posi iones determinan las on entra iones totales de ele trones y hue os y, dado queel semi ondu tor tiene que ser el�e tri amente neutro 6, se tiene que umplir que �n = �p.La manera de al ular la on entra i�on de portadores en ada banda sigue siendo lamisma: tenemos que multipli ar la densidad de estados energ�eti os a esibles por la probabi-lidad de que est�en o upados (si lo que estamos al ulando es la on entra i�on de ele tronesen la banda de ondu i�on) y por la probabilidad de que est�en va ��os (si lo que estamos al- ulando es la on entra i�on de hue os en la banda de ondu i�on). Si integramos para todoslos valores energ�eti os de la banda de ondu i�on tendremos la on entra i�on total de ele -trones y si pro edemos de igual forma en la banda de valen ia obtendremos la on entra i�ontotal de hue os:dn(E) = Ne(E)f(E; F ; T )dE = 8p2�h3 m 32eqE � E 11 + e (E�F )kT dEdp(E) = Nh(E)[1� f(E; Fv; T )℄dE = 8p2�h3 m 32hqEV � E 11 + e (E�Fv)kT e (E�Fv)kT dE (5.17)Podemos expresar matem�ati amente la rela i�on que existe entre el uasinivel de Fermien la banda de ondu i�on y el de la banda de valen ia, mediante las siguientes rela ionesintegrales: Z 1E 8p2�h3 m 32eqE2 � E 11 + e (E2�F )kT dE = nÆ +�nZ Ev�1 8p2�h3 m 32hqEV � E1 11 + e (E1�Fv)kT e (E1�Fv)kT dE = pÆ +�n (5.18)Donde nÆ y pÆ son las on entra iones de los portadores en la situa i�on de equilibriot�ermi o. Vemos, pues, que no se pueden �jar independientemente las posi iones de los dos uasiniveles de Fermi. Dada la posi i�on de uno, podemos al ular la del otro, por el sen illomotivo de que el semi ondu tor es el�e tri amente neutro. Normalmente en el medio a tivode un l�aser se ono e la on entra i�on total de portadores en desequilibrio �n = �p = N ,de manera que las rela iones (5.18) sirven para determinar, apli ando m�etodos num�eri os,la posi i�on de los uasiniveles de Fermi F y Fv.6En los "puntos u�anti os" que, entre otras mu has apli a iones, se emplean para fabri ar l�aseres semi- ondu tores, la neutralidad de arga no se veri� a ne esariamente.



5.4. SEMICONDUCTORES DE TRANSICI �ON DIRECTA E INDIRECTA. 101E

Ec

Ev

Figura 5.11: Diagrama de bandas de un semi ondu tor de transi i�on dire ta.5.4. Semi ondu tores de transi i�on dire ta e indire ta.Las fun iones de onda aso iadas a los ele trones que se en uentran en estados esta- ionarios en un s�olido ristalino, es de ir, estados que no ambian on el tiempo, puedendeterminarse de forma aproximada, ya sea apli ando teor��as emp��ri as de pseudopoten ialeso, si s�olo interesan los estados pr�oximos a los m�aximos y m��nimos de las bandas de valen iay ondu i�on, empleando el m�etodo k:p de Kane [44℄{[74℄. En ualquier aso, estas fun io-nes de onda representan estados ele tr�oni os espa ialmente no lo alizados dentro del ristal.Si un ele tr�on se en uentra en un estado de�nido por una de estas fun iones de onda, nose en uentra en una posi i�on dada del ristal pero s�� se ono e de una manera exa ta laenerg��a que tiene y el valor de una magnitud ve torial denominada uasiimpulso o impulsodel ristal, que est�a estre hamente rela ionada on la antidad de movimiento. Esto no debeextra~nar. Re uerdemos que la primera rela i�on de in ertidumbre de Heisenberg a�rma que�p�r > �h2 por lo que si una part�� ula posee una antidad de movimiento perfe tamentedeterminada, su posi i�on en el espa io es totalmente in ierta. Esto es lo que o urre en el ristal, un ele tr�on des rito por una fun i�on de onda esta ionaria posee un valor ono idodel uasiimpulso (magnitud rela ionada on la antidad de movimiento) pero su posi i�on enel ristal est�a asi totalmente indeterminada. El diagrama de bandas de un s�olido rela ionalas energ��as a esibles para los ele trones en sus estados esta ionarios dentro de una banda on los valores de uasiimpulso de di hos ele trones poseen.Un s�olido ondu e la ele tri idad porque los ele trones se desplazan en su seno siguien-do una traye toria determinada, por lo que o upan una posi i�on en el ristal y se desplazan on una velo idad determinada. Por onsiguiente, las fun iones de onda de los estados es-



102 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORFigura 5.12: Poten ial peri�odi o en el interior de un ristal (representa i�on unidimensional).ta ionarios del ele tr�on en el s�olido no des riben el omportamiento de estos ele trones. Sinembargo hallando ombina iones lineales (estas sumas de riben paquetes de ondas) de estasfun iones puede des ribirse un ele tr�on de este tipo.El uasiimpulso, al igual que la antidad de movimiento, es una magnitud ve torial,por lo que, en prin ipio, el diagrama de bandas exige representar una variable dependiente,la energ��a, en fun i�on de tres variables independientes, las omponentes del uasiimpulso.En la �g. f5.11g se ha representado el diagrama de bandas simpli� ado del Arseniurode Galio. El Arseniuro de Galio es un semi ondu tor de transi i�on dire ta, es de ir, el m��ni-mo de energ��a de la banda de ondu i�on y el m�aximo de la banda de valen ia o urren paraun mismo valor del uasiimpulso; adem�as, para in rementos peque~nos del uasiimpulso, laenerg��a no depende m�as que del m�odulo de �este 7, de ah�� que sea posible ha er la representa- i�on bidimensional mostrada en la �gura. Las urvas representadas son par�abolas, al menospara valores peque~nos de la variable independiente. Esto nos permite es ribir la siguienteexpresi�on para la banda de ondu i�on (que re eja la rela i�on uadr�ati a que existe entre laenerg��a y el uasiimpulso): E2 � E = �h2k22me (5.19)donde E es la energ��a del m��nimo de la banda de ondu i�on, me es un t�ermino uya inversa de�ne la urvatura de la banda y que re ibe el nombre de masa efe tiva delos ele trones en la banda de ondu i�on y no oin ide, en general, on la masa en reposo:vemos, por tanto, que el ele tr�on se omporta en la banda de ondu i�on omo una part�� ulalibre de masa me. Es posible dar una expli a i�on intuitiva a esto. La rela i�on que existeen Me �ani a Cl�asi a entre la energ��a y la antidad de movimiento de una part�� ula libre esE = p22m , donde m es la masa de la part�� ula. El equivalente l�asi o del uasiimpulso es la antidad de movimiento, de forma que, estable iendo una analog��a entre esta expresi�on y(5.19), se on luye que me es una "masa efe tiva". El motivo por el que me no oin ide onla masa del ele tr�on es que �este no es en absoluto una parti ula libre, sino que se en uentrasometido a un poten ial peri�odi o produ ido por los n�u leos de la red ristalina [20℄{[93℄,tal omo se observa en la �g. f5.12g. Los portadores libres de arga en la banda de valen ia(hue os) tambi�en podemos onsiderarlos omo part�� ulas libres, siempre que sustituyamos7Esto no es rigurosamente ierto. La banda de valen ia tiene tres subbandas distintas [20℄{[93℄: la dehue os pesados, la de hue os ligeros y otra subbanda adi ional, de mayor energ��a, que no juega un papelimportante. Las super� ies de Fermi [12℄ de los denominados "hue os pesados" demuestran on laridad quesu masa efe tiva no es isotr�opi a.



5.5. DENSIDAD DE ESTADOS COMPATIBLES. 103su masa real, por una masa efe tiva que denotaremos mh. La rela i�on que existe entre laenerg��a de los hue os y el uasiimpulso que poseen viene dada por la rela i�on:E � E1 = �h2k22mh (5.20)Los semi ondu tores de transi i�on dire ta re iben tambi�en el nombre de semi on-du tores �opti amente a tivos, porque un por entaje importante de las re ombina iones sonre ombina iones radiativas, es de ir, la energ��a perdida por el ele tr�on al pasar del m��nimode la banda de ondu i�on al m�aximo de la banda de valen ia se transforma en un fot�on.Esto es as��, porque las re ombina iones dire tas entre bandas son bastante probables, ya queno impli an un ambio del uasiimpulso.En otros semi ondu tores, es el aso del Sili io y el Germanio, el m��nimo de la bandade ondu i�on y el m�aximo de la banda de valen ia no oin iden, por lo que re iben elnombre de semi ondu tores de transi i�on indire ta. El m�aximo de la banda de valen iao urre en ambos para el valor �h~k=0, pero los m��nimos absolutos (son varios) de la bandade ondu i�on se dan para valores de �h~k distintos de ero. Adem�as, aunque el m�aximo dela banda de valen ia de estos ristales tiene una urvatura (masa efe tiva) que no dependede la dire i�on de ~k, no o urre lo mismo on los m��nimos de la banda de ondu i�on, por loque la masa efe tiva de los ele trones en la banda de ondu i�on depende de la dirre i�on(se trata, en realidad, de una magnitud tensorial).Por motivos que no van a expli arse [12℄{[62℄, para los semi ondu tores de transi i�onindire ta tambi�en es posible de�nir una masa efe tiva �uni a en la banda de ondu i�on ytratar a los ele trones omo part�� ulas libres on una ierta masa efe tiva me. Este tipo desemi ondu tores se llaman tambi�en semi ondu tores �opti amente ina tivos, porque la mayorparte de las re ombina iones son re ombina iones no radiativas, es de ir, la energ��a perdidapor el ele tr�on al pasar del m��nimo de la banda de ondu i�on al m�aximo de la banda devalen ia no se transforma en un fot�on. Esto es as��, porque las re ombina iones dire tas entrebandas son muy improbables, ya que impli an un ambio del uasiimpulso que tiene queser edido o absorbido por la red ristalina. En estos semi ondu tores la mayor parte de lasre ombina iones tienen lugar en "trampas" [71℄, que son estados energ�eti os situados en labanda prohibida que apare en omo onse uen ia de imperfe iones en la red ristalina.La inmensa mayor��a de los dispositivos de estado s�olido emisores de luz (diodos LED yl�aser) se onstruyen, l�ogi amente, on semi ondu tores de transi i�on dire ta y, en la segunday ter era ventanas de transmisi�on, son alea iones uaternarias derivadas del AsGa y del PIn(fosfuro de indio) [102℄.5.5. Densidad de estados ompatibles.En el apartado anterior hemos visto que para que la re ombina i�on de un par ele tr�on-hue o sea radiativa, es ne esario que el uasiimpulso se onserve, motivo por el que lossemi ondu tores de transi i�on dire ta son �opti amente a tivos y los de transi i�on indire tano. Pero las onse uen ias de este razonamiento las podemos extender a un semi ondu tor



104 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORE

Ec

Ev

-

+Figura 5.13: Re ombina i�on radiativa de un par ele tr�on-hue o en un semi ondu tor detransi i�on verti al.de transisi�on dire ta: un ele tr�on de la banda de ondu i�on s�olo puede re ombinarse onun hue o de la banda de valen ia si ambos tienen el mismo valor de uasiimpulso, es de ir,si la transi i�on es verti al en el diagrama de bandas [24℄, tal omo se muestra en la �g.f5.13g. Imponiendo esta ondi i�on, podemos dedu ir la expresi�on de la densidad de estadosenerg�eti os ompatibles. En este aso, " ompatible" quiere de ir que el paso del ele tr�on dela banda de ondu i�on a la banda de valen ia, puede produ ir un fot�on y vi eversa, que unele tr�on de la banda de valen ia pueda absorber un fot�on y pasar a la banda de ondu i�ona o upar un estado energ�eti o libre. Para determinar esta densidad de estados ompatiblespartimos de la rela i�on que hay entre la energ��a de un ele tr�on en la banda de ondu i�on ysu uasiimpulso y la rela i�on an�aloga para un hue o en la banda de valen ia:E2 = E + �h2k22meEv = E1 + �h2k22mh (5.21)Como las transi iones tienen que ser verti ales (el valor de �hk en las igualdadesanteriores es el mismo) y la energ��a de un fot�on es �h! = E2 � E1, podemos sumar las dose ua iones anteriores y dedu ir:E2 = E + �h2k22meEv = E1 + �h2k22mh 9>>>>=>>>>;) �h! = E2 � E1 = Eg + �h2k22mr ) �h2k2 = 2mr(�h! � Eg) (5.22)



5.5. DENSIDAD DE ESTADOS COMPATIBLES. 105( )

EgFigura 5.14: Densidad espe tral de estados energ�eti os de un semi ondu tor que puedenintera ionar on la luz (por unidad de volumen).donde: 1mr := 1me + 1mh y Eg := E � Ev.Pretendemos estable er la densidad de estados que pueden rear un fot�on de energ��a�h! o absorberlo (esta fun i�on va a intervenir en todos los pro esos de intera i�on luz{semi ondu tor). Como existe una rela i�on biun��vo a entre los fotones y los estados energ�eti- os de ualquiera de las dos bandas (por supuesto, imponiendo que las transi iones seanverti ales), podemos es ribir: Ne(E2)dE2 = �(!)d! (5.23)y ahora las rela iones (5.21) y (5.22) nos permiten evaluar tanto Ne(E2) en fun i�onde ! omo dE2 en fun i�on de d!:E2 = E + mrme (�h! � Eg)) dE2 = mem �hd! (5.24)Lo �uni o que resta ha er es evaluar la densidad de estados para los ele trones dela banda de ondu i�on (podr��amos, igualmente, haber elegido los hue os en la banda devalen ia y el resultado �nal ser��a el mismo) y tener en uenta las rela iones que a abamos dededu ir (que, en de�nitiva, resultan de imponer que la transi i�on sea verti al en el diagramade bandas):Ne(E2)dE2 = 8p2�h3 m 32eqE2 � E dE2 = (2me)3=22�2�h3 �mrme�1=2q�h! � Egmrme�hd! )�(!) = (2mr)3=22�2�h2 q�h! � Eg (5.25)



106 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTOR5.6. Intera i�on luz-materia.Pasamos ahora a estudiar los tres pro esos de intera i�on luz-materia, on la parti- ularidad de que el medio material es un s�olido ristalino semi ondu tor.5.6.1. Emisi�on espont�anea.Para que puedan produ irse fotones por emisi�on espont�anea de una determinadaenerg��a �h! han de veri� arse una serie de ondi iones que pasamos a enumerar [87℄:1. Que existan estados energ�eti os en el semi ondu tor que puedan produ ir fotones deesa energ��a. Por tanto la tasa de emisi�on espont�anea es propor ional a �(!).2. Que exista un ele tr�on que se pueda re ombinar. La tasa de emisi�on espont�anea es,por tanto, propor ional a la probabilidad de que haya un ele tr�on on la energ��a E2,f (E2; F ) = 11+e (E2�F )kT .3. Que exista un hue o que se pueda re ombinar. La tasa de emisi�on espont�anea es propor- ional, pues, a la probabilidad de que haya un hue o on la energ��a E1, 1�fv(E1; Fv) =e (E1�Fv)kT1+e (E1�Fv)kT .Con luimos, enton es, que la tasa de emisi�on espont�anea (n�umero de fotones generadospor unidad de volumen y unidad de tiempo en ada intervalo espe tral) viene dada por lasiguiente expresi�on: rsp = rad�(!)f (E2; F )[1� fv(E1; Fv)℄ (5.26)En realidad las energ��as E1 y E2 est�an rela ionadas on la energ��a del fot�on ya que,tal omo vimos en el apartado anterior, las transi iones entre bandas han de ser verti ales,por lo que se veri� a [25℄: E2 = E + mrme (�h! � Eg)Ev = E1 + mrmh (�h! � Eg) 9>>>>=>>>>; (5.27)La e ua i�on (5.26) est�a sujeta a la restri i�on �n = �p (que es una antidad ono idasi sabemos la orriente de polariza i�on del l�aser), on lo que el �uni o problema onsiste endeterminar la posi i�on de los uasiniveles de Fermi en fun i�on de la on entra i�on de por-tadores. Para resolver este problema de forma exa ta, habr��a que manipular num�eri amentela fun i�on de Fermi{Dira . Afortunadamente existen diversas rela iones aproximadas que



5.6. INTERACCI �ON LUZ-MATERIA. 107simpli� an el problema y permiten al ular F y Fv en fun i�on de �n = �p. Damos, omoejemplo, las rela iones de Nilsson [25℄:F = fln Æ + Æ[64 + 0;05524Æ(64 +pÆ)℄gFv = fln �+ �[64 + 0;05524�(64 +p�)℄gÆ := �n2�meKT2��h2 �3=2� := �n2�mhKT2��h2 �3=29>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.28)Vamos a onsiderar ahora el aso parti ular de que el semi ondu tor no est�a ex esiva-mente lejos del equilibrio t�ermi o (es de ir, la inye i�on de portadores es d�ebil 8), podemosha er la aproxima i�on de Boltzmann en las bandas de valen ia y ondu i�on, lo que nos llevaa: f (E2; F ) = 11+e (E2�F )kT ' e�(E2�F )kT1� fv(E1; Fv) = e (E1�Fv)kT1+e (E1�Fv)kT ' e (E1�Fv)kT (5.29)Si ahora sustituimos en la expresi�on de la tasa de emisi�on espont�anea llegamos a:rsp = rad(2mr)3=2��h2 eF �Fv�EgkT q�h! � Ege� �h!�EgkT (5.30)Esta expresi�on predi e la tasa de emisi�on espont�anea de un semi ondu tor s�olo en ondi iones de inye i�on d�ebil (es de ir, in rementos en la on entra i�on de portadores bajosen ompara i�on on la on entra i�on de portadores mayoritarios en ondi iones de equilibriot�ermi o).5.6.2. Emisi�on estimulada.Para que puedan produ irse fotones por emisi�on estimulada de una determinadaenerg��a �h! se tienen que umplir los siguientes requisitos [87℄:8En los l�aseres nun a se veri� a esta hip�otesis. La inye i�on de portadores siempre es fuerte ya que el uasinivel de Fermi de los ele trones siempre est�a situado dentro dela banda de ondu i�on y el de los hue os er a del m�aximo de la banda de valen ia.



108 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTORE

Ec

Ev

-

+

Fc

Fv

< <Ec Ev- Fc Fv-

Figura 5.15: Intervalo de pulsa iones en las que el semi ondu tor puede ampli� ar.1. Que existan estados energ�eti os en el semi ondu tor que puedan produ ir fotones deesa energ��a. Por tanto la tasa de emisi�on estimulada es propor ional a �(!).2. Que exista un ele tr�on que se pueda re ombinar de forma estimulada. La tasa deemisi�on estimulada es propor ional, por tanto, a la probabilidad de que haya un ele tr�on on la energ��a E2 en la banda de ondu i�on, f (E2; F ) = 11+e (E2�F )kT .3. Que exista un hue o on el que se pueda re ombinar el ele tr�on. La tasa de emisi�onestimulada es propor ional, por tanto, a la probabilidad de que haya un hue o on laenerg��a E1, 1� fv(E1; Fv) = e (E1�Fv)kT1+e (E1�Fv)kT .4. Que exista radia i�on (fotones) que estimulen a los ele trones de la banda de ondu i�ona re ombinarse on hue os de la banda de valen ia. As��, pues, la tasa de emisi�on defotones estimulados es propor ional al ujo de fotones.Por tanto la tasa de emisi�on estimulada (n�umero de fotones generados por unidad devolumen y unidad de tiempo en ada intervalo espe tral) viene dada por:rest = ��2 rad8� �(!)f (E2; F )[1� fv(E1; Fv)℄ (5.31)Repetimos, para reunir todas las expresiones ne esarias para evaluar la tasa de emisi�onestimulada, las expresiones que rela ionan E1 y E2 on �h! y las rela ions de Nilsson (dado



5.6. INTERACCI �ON LUZ-MATERIA. 109que suponemos que no vamos a tratar de invertir la fun i�on de Fermi{Dira num�eri amente)[25℄: E2 = E + mrme (�h! � Eg)Ev = E1 + mrmh (�h! � Eg)F = fln Æ + Æ[64 + 0;05524Æ(64 +pÆ)℄gFv = fln �+ �[64 + 0;05524�(64 +p�)℄gÆ := �n2�meKT2��h2 �3=2� := �n2�mhKT2��h2 �3=2

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(5.32)

5.6.3. Absor i�on.Para que puedan absorberse fotones de una determinada energ��a �h! han de veri� arseuna serie de ondi iones [87℄:1. Que existan estados energ�eti os en el semi ondu tor entre los que se pueda produ irla absor i�on. Por tanto la tasa de absor i�on es propor ional a �(!).2. Que exista un ele tr�on en la banda de valen ia que pueda ser absorbido. La tasa deabsor i�on es, pues, propor ional a la probabilidad de que haya un ele tr�on on la energ��aE1 en la banda de valen ia, fv(E1; Fv) = 11+e (E1�Fv)kT .3. Que exista un estado energ�eti o no o upado en la banda de ondu i�on. La tasa deabsor i�on es propor ional, por tanto, a la probabilidad de que haya un estado libre enla banda de ondu i�on de energ��a E2, 1� f (E2; F ) = e (E2�F )kT1+e (E2�F )kT .4. Que exista radia i�on (fotones) que estimulen la absor i�on de ele trones de la banda devalen ia y los lleven a la banda de ondu i�on. Por onsiguiente, la tasa absor i�on defotones es propor ional al ujo de �estos.En de�nitiva, la tasa de absor i�on (n�umero de fotones perdidos por unidad de volumeny unidad de tiempo en ada intervalo espe tral) viene dada por la siguiente expresi�on:rabs = ��2 rad8� �(!)fv(E1; Fv)[1� f (E2; F )℄ (5.33)




0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9−2

0

2

4

6

8

10x 10

4

Figura 5.16: Evolu i�on de la ganan ia de un semi ondu tor (medida en m�1) on respe toa la on entra i�on de portadores y la energ��a del fot�on (en eV). Las urvas representadas se orresponden on las siguientes on entra iones de portadores: 0; 9�1024m�3, 1; 34�1024m�3,1; 78� 1024m�3, 2; 22� 1024m�3, 2; 66� 1024m�3 y 3 � 1024m�3. Simula i�on realizada porAlejandro Carballar Rin �on.que ompletamos on [25℄:E2 = E + mrme (�h! � Eg)Ev = E1 + mrmh (�h! � Eg)F = fln Æ + Æ[64 + 0;05524Æ(64 +pÆ)℄gFv = fln � + �[64 + 0;05524�(64 +p�)℄gÆ := �n2�meKT2��h2 �3=2� := �n2�mhKT2��h2 �3=2

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(5.34)



5.7. GANANCIA �OPTICA DEL MEDIO. 1115.7. Ganan ia �opti a del medio.Para al ular el n�umero neto de fotones edidos por unidad de volumen y tiempoa la radia i�on que se propaga por el semi ondu tor (en ada intervalo espe tral) tenemosque restarle a los que se eden por emisi�on estimulada los que se pierden por absor i�on.Adem�as sabemos que este in remento se tradu e en una varia i�on del ujo en la dire i�onde propaga i�on [20℄:dNfdt = ��z = rest � rabs = ��2 rad8� �(!)[f (E2; F )� fv(E1; Fv)℄)�(!) := 1� ��z = �2 rad8� �(�h!)[f (E2; F )� fv(E1; Fv)℄ (5.35)que, de nuevo, ompletamos on:E2 = E + mrme (�h! � Eg)Ev = E1 + mrmh (�h! � Eg)F = fln Æ + Æ[64 + 0;05524Æ(64 +pÆ)℄gFv = fln �+ �[64 + 0;05524�(64 +p�)℄gÆ := �n2�meKT2��h2 �3=2� := �n2�mhKT2��h2 �3=2

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(5.36)

Analizando la e ua i�on (5.35) podemos sa ar algunas on lusiones ualitativas. En pri-mer lugar, para que haya gana ia �opti a, se tiene que umplir que f (E2; F )�fv(E1; Fv) > 0,lo que es equivalente a de ir que la energ��a de los fotones debe ser inferior a la separa i�onentre los uasiniveles de Fermi y mayor que la energ��a de banda prohibida. El medio semi- ondu tor es apaz de ampli� ar radia i�on ele tromagn�eti a en el intervalo: Eg�h � ! � F �Fv�h[20℄, tal y omo se muestra en la �g. f5.15g.Ahora vamos a mostrar los resultados de simula i�on de la urva de ganan ia �opti a deun semi ondu tor que est�a a temperatura ambiente (T=300K). El semi ondu tor en uesti�on




0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 1024

−2

0

2

4

6

8

10x 10

4

Figura 5.17: Ganan ia m�axima del semi ondutor (medida en m�1) frente a la on entra i�onde portadores (medida en m�3). Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.es una muestra de InGaAsP on una an hura de banda prohibida Eg = 0; 78eV , es de ir, unsemi ondu tor que emite luz a �Æ = 1; 55�m. El tiempo medio de re ombina iones radiativases �r = 0; 9ns y las masas efe tivas de ele trones y hue os son me = 0; 046m y mh = 0; 46m(dondem es la masa de un ele tr�on libre). La urva est�a parametrizada para in rementos de la on entra i�on de portadores ada vez mayores: �n = 0;9�1018 m�3, �n = 1; 34�1018 m�3,�n = 1; 78�1018 m�3, �n = 2; 22�1018 m�3, �n = 2; 66�1018 m�3 y �n = 3�1018 m�3.Esto se muestra en la �g. f5.16g.Un l�aser emite luz en los modos longitudinales que est�an pr�oximos a los m�aximos delas urvas que rela ionan la gana ia frente a la energ��a de los fotones, puntos que se hanmar ados en la �g. f5.16g. Por tanto, lo que realmente nos interesa en este apartado, esrela ionar los valores m�aximos de �(!) frente a la on entra i�on de portadores �n = �p. La urva resultante se ajusta relativamente bien [20℄ por medio de una l��nea re ta 9, tal omo semuestra en la �g. f5.17g. �Esta es la rela i�on que ne esitamos para modelar el omportamientode los l�aseres de materiales semi ondu tores. La expresi�on anal��ti a de la gana ia es:�(�n) = �abs( �n�nT � 1) = �abs�nT (�n��nT ) := gN(N �NÆ) (5.37)�abs es el oe� iente de absor i�on del semi ondu tor, �nT := NÆ es la on entra i�onde portadores de transparen ia, es de ir, la on entra i�on de portadores en ex eso (frente a la9Esta rela i�on es lineal s�olo en los semi ondu tores volum�etri os. En los pozos, l��neas o puntos u�anti osesta dependen ia no es lineal [20℄.



5.7. GANANCIA �OPTICA DEL MEDIO. 113situa i�on de equilibrio t�ermi o) que debe haber para que el semi ondu tor sea transparente(es de ir, que ni ampi�que ni aten�ue la luz que se propaga por el medio) y, por �ultimo gn esla gana ia diferen ial del medio.Este documento puede distribuirse libremente a condición de no modificar su contenido ni ocultar o falsear la identidad de su autor.


114 CAP�ITULO 5. GANACIA �OPTICA DE UN SEMICONDUCTOR5.8. ProblemasProblema 7: Se tiene un semi ondu tor intr��nse o en el que se inye tanportadores de arga. La inye i�on es d�ebil, lo que quiere de ir que los uasiniveles de Fermi no se alejan mu ho de su posi i�on de equilibrio t�ermi o.Se trata de un semi ondu tor de transi i�on dire ta por lo que va a emitir luz poremisi�on espont�anea. Se desea ono er la pulsa i�on a la que la densidad espe tralde poten ia �opti a emitida es m�axima.Solu i�on: La expresi�on de la tasa de emisi�on espont�anea es:rsp = rad(2mr)3=2��h2 eF �Fv�EgkT q�h! � Ege� �h!�EgkTLa densidad espe tral de poten ia ser�a m�axima a aquella pulsa i�on que veri�que:0 = �rsp(!)�! ' rad(2mr)3=2��h2 eF �Fv�EgkT 24 �he� �h!�EgkT2q�h! � Eg � �hq�h! � EgkT e� �h!�EgkT 35)0 = kT � 2(�h!max � Eg)) �h!max = Eg + kT2 (5.38)Por tanto la respuesta es: �h!max = Eg + kT2



Cap��tulo 6El l�aser de avidad Fabry-P�erotResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar el l�aser de avidad Fabry-P�erot.En realidad vamos a estable er dos e ua iones de balan e, una para los portadoresde arga dentro de la regi�on a tiva y otra para los fotones dentro de la avidadresonante. Estas dos e ua iones, ono idas on el nombre de "rate{equations"en ingl�es, son v�alidas para ualquier tipo de l�aser, no s�olo para los de avidadFP, y permiten estable er la rela i�on que hay entre la orriente inye tada y laevolu i�on temporal de la poten ia �opti a total emitida. Estas mismas e ua ionesrela ionan, tambi�en, la orriente inye tada on la varia i�on en el tiempo de la on entra i�on de portadores en la regi�on a tiva. Adem�as de plantear estase ua iones, expli aremos, ualitativamente, las ara ter��sti as espe trales de estosl�aseres y des ribiremos su estru tura f��si a, es de ir, veremos que la regi�ona tiva de estos l�aseres es una doble heteroestru tura en la que se onsigue un on�namiento asi total de los portadores y un on�namiento par ial de la luz.Aunque la mayor parte de los l�aseres que se emplean hoy en d��a en omuni a iones�opti as son l�aseres de pozos u�anti os (y, quiz�as en el futuro lo sean de l��neaso puntos qua�anti os), estos l�aseres, uyas regiones a tivas son semi ondu tores debajas dimensiones (pozos u�anti os: dos, l��neas u�anti as: una y puntos u�anti os: ero) no se abordan en este libro.

115



116 CAP�ITULO 6. EL L�ASER DE CAVIDAD FABRY-P�EROT

y

x z

I

p

n

++

++

Figura 6.1: Estru tura tridimendional de un diodo de avidad Fabry-P�erot.6.1. Introdu i�onEn la �g. f6.1g se ha representado la estru tura de un l�aser de avidad Fabry-P�erotguiado por el ��ndi e. La apa de material semi ondu tor que se ha dibujado a rayas, re ibe elnombre de regi�on a tiva del l�aser y est�a onstituida por un semi ondu tor �opti amente a tivoa la longitud de onda de trabajo (1300nm o 1550nm, normalmente) que est�a muy d�ebimentedopado o que in luso puede ser intr��nse o. El resto de semi ondu tores que rodean a la regi�ona tiva, tanto en la dire i�on "x" omo en la dire i�on "y" tienen unas an huras de bandasprohibidas mayores que la de �esta. No se ha intentado representar los semi ondu tores quehay alrededor de la regi�on a tiva, ya que son estru turas de geometr��as muy omplejas y quevar��an mu ho de un l�aser a otro. En la bibliograf��a adjunta [4℄{[102℄ se pueden en ontrarvarios ejemplos. El he ho de que la regi�on a tiva tenga una an hura de banda prohibidamenor que los semi ondu tores que hay alrededor tiene una importan ia primordial para el orre to fun ionamiento del dispositivo, ya que de esta manera se onsiguen los siguientosobjetivos [10℄{[63℄:1. Un on�namiento asi total de los portadores en la regi�on a tiva del l�aser.2. Un on�namiento par ial de la luz en la regi�on a tiva del l�aser.Vamos a expli ar detenidamente ada una de estas a�rma iones. Consideremos, pri-mero, el diagrama de bandas de los semi ondu tores que apare en en el plano y = 0, estandoel diodo dire tamente polarizado, diagrama que se muestra en la �g. f6.2g. Supongamosque ir ula una orriente I por el dispositivo. La barrera de poten ial que apare e en lase i�on "A" impide que los hue os se difundan por la zona n++ y quedan atrapados en la



6.1. INTRODUCCI �ON 117P++ Región

activa N++

-- - - - - -- - - - - - -

+ + + + ++ + + + + +

+++

Banda deconducción

Banda devalencia

h

e

Figura 6.2: Diagrama de bandas de la doble heteroestru tura de un diodo de avidad Fabry-P�erot.regi�on a tiva. De igual forma, la barrera de poten ial que apare e en la se i�on "B" en labanda de ondu i�on, impide que los ele trones se despla en por difusi�on por la zona p++y tambi�en quedan atrapados en la regi�on a tiva. Por supuesto, en esta zona se produ e unaimportante re ombina i�on de pares ele tr�on{hue o, que es la responsable de la orriente queest�a atravesando el diodo 1. Vemos, pues, que la orriente I = �qAt�e = qAt�h produ e unaa umula i�on de portadores en la regi�on a tiva �n = �p = N (ambas on entra iones soniguales, para que el semi ondu tor sea el�e tri amente neutro 2). Si esta on entra i�on de por-tadores es su� ientemente alta, la regi�on a tiva tendr�a un oe� iente de ganan ia por unidadde longitud � > 0, en vez de un oe� iente de atenua i�on, que es la situa i�on que se da enequilibrio t�ermi o y para on entra iones de portadores inferiores a un determinado valor,llamada on entra i�on de transparen ia que se denota NÆ. En resumen, utilizando semi on-du tores on distintas an huras de banda prohibida (las llamadas dobles heteroestru turas), onseguimos que el on�namiento de ele trones y hue os se produz a en una determinadaregi�on del dispositivo llamada regi�on a tiva 3.1Estamos despre iando los portadores que saltan las barrera por efe to termoi�oni o y las orrientesdifusivas que no llegan a la regi�on a tiva. En un modelo m�as exa to del l�aser deber��amos uanti� ar e in luirestos t�erminos.2Si no fuese as��, se generar��an unas fuerzas el�e tri as muy intensas que onsiguen, en un intervalo detiempo muy orto, reestable er el equilibrio de argas. La hip�otesis de neutralidad de argas se apli a en elmodelado de asi todos los dispositivos ele tr�oni os y fot�oni os.3La idea de utilizar dobles heteroestru turas para onseguir un on�namiento simult�aneo de portadoresy fotones es, posiblemente, el hito m�as importante en la historia de los l�aseres a semi ondu tor, ya quehizo posible el fun ionamiento de estos dispositivos a temperatura ambiente y en r�egimen ontinuo. La ideaoriginal la propusieron simult�aneamente en 1963 H. Kroemer en EE.UU. y R.F. Kazarinov y Z.I. Alfero enla Uni�on Sovi�eti a .




R=n -1n +1

s

s

2

n -1n +1

s

s

2R=Figura 6.3: Distribu i�on transversal de los modos guiados de una avidad Fabry-P�erot guiadapor el ��ndi e.Los materiales semi ondu tores tienen una propiedad importante [1℄: uanto menores su an hura de banda prohibida, mayor es su ��ndi e de refra i�on, por lo que la regi�ona tiva tiene un ��ndi e de refra i�on mayor que el de todos los materiales que la rodean,ha i�endose posible, por tanto, el guiado longitudinal de la luz. Re ordemos que en las �bras�opti as la existen ia de una regi�on entral (el n�u leo) on un ��ndi e de refra i�on m�as altoque las regiones m�as alejadas del eje (la orteza) era lo que permit��a que la luz se propagaralongitudinalmente. El onjunto formado por la regi�on a tiva y el resto de materiales semi on-du tores que la rodean onstituyen, pues, un guiaonda que permite que la luz se propaguelongitudinalmente.Tenemos, pues, una estru tura de guiado longitudinal de la luz, en la que la regi�ona tiva ha e la fun i�on que en la �bra realiza el n�u leo. Todos los materiales semi ondu toresque hay alrededor de �esta tienen an huras de banda prohibida mayores, por lo que sus��ndi es de refra i�onson menores y umplen una fun i�on an�aloga a la de la orteza en una�bra �opti a. Las super� ies frontal y posterior del diodo l�aser son ortes pre isos a lo largode planos ristalogr�a� os del semi ondu tor, por lo que apare e una varia i�on brus a del��ndi e de refra i�on. En el AlxAsGa1�x el ��ndi e de refra i�on toma valores er anos a 3,5,mientras que el del aire es pr�a ti amente igual a la unidad, on lo que que estas super� iestienen un oe� iente de re exi�on en poten ia er ano la 31% 4. As��, pues, hay dos espejosplanos paralelos entre s�� situados en los extremos de la avidad, es de ir, tenemos una avidadresonante.El l�aser de avidad Fabry P�erot se dise~na de manera que a la longitud de onda detrabajo, exista un �uni o modo transversal soportado por la estru tura, tal omo se muestra4Los oe� ientes de re exi�on toman el valor R = (ns�1ns+1 )2.



6.1. INTRODUCCI �ON 119

Figura 6.4: Espe tro de un diodo de avidad Fabry-P�erot guiado por el ��ndi e en fun i�on dela poten ia emitida.en la �g. f6.3g. Esto quiere de ir que existe una �uni a distribu i�on transversal del ampoele tromagn�eti o para la que es posible la propaga i�on longitudinal de la luz l�aser. En esta�gura su muesta tambi�en que s�olo fra i�on de intensidad luminosa que se propaga por la avidad solapa on la regi�on a tiva y, por tanto, s�olo esta fra i�on puede produ ir fen�omenosestimulados. Esta fra i�on, expresada en tanto por uno, la denotamos por medio de � yre ibe el nombre de fa tor de on�namiento.El dispositivo emite a m�as de una longitud de onda, es de ir, emite en varios modoslongitudinales [4℄. Los l�aseres guiados por el ��ndi e [4℄ (que son los que estamos onsiderando)tiene la propiedad de que uanto mayor es la poten ia de emisi�on y bajo ondi iones der�egimen permanente, son m�as mono rom�ati os, es de ir, la distribu i�on de poten ia entre losdistintos modos guiados se vuelve m�as asim�etri a, de manera que a poten ias altas, la mayorparte de �esta se emite a la longitud de onda orrespondiente al modo longitudinal prin ipal,tal y omo se muestra en la �g. f6.4g.En este apartado hemos identi� ado los elementos b�asi os del l�aser de avidad Fabry-P�erot guiado por el��ndi e (existen otros tipos de l�aseres de este tipo, los guiados por ganan ia,que no vamos a onsiderar):1. El medio ampli� ador, es de ir, la regi�on a tiva. Es un paralelep��pedo ompuesto deun material semi ondu tor de an hura de banda prohibida baja (en ompara i�on onel resto de semi ondu tores que lo rodean) que es �opti amente a tivo a la longitud deonda de emisi�on del l�aser y que no est�a dopado.2. El me anismo de bombeo, que onsiste en la inye i�on de una orriente, ha e quela on entra i�on de portadores en la regi�on a tiva rez a y uando �esta aumenta por



120 CAP�ITULO 6. EL L�ASER DE CAVIDAD FABRY-P�EROT+sc E

P fotones

Figura 6.5: Cavidad resonante en la que hay radia i�on espont�anea y estimulada.en ima de la on entra i�on de transparen ia, el medio a tivo adquiere una ganan ia quees propor ional a la diferen ia entre la on entra i�on de portadores y la on entra i�onde transparen ia.3. La avidad resonante, que o upa un volumen mayor que la regi�on a tiva, ya que ladistribu i�on transversal del ampo ele tromagn�eti o se extiende mu ho m�as all�a delos l��mites de �esta. La avidad resonante est�a limitada por dos planos ristalogr�a� osparalelos entre s��, que tienen un oe� iente de re exi�on en poten ia er ano al 31%.En realidad, la mayor��a de los l�aseres que se emplean hoy en d��a en omuni a iones�opti as son dispositivos de pozos u�anti os [109℄ y, quiz�as, en un futuro no muy lejano,sean l�aseres on medios a tivos onstituidos por l��neas y puntos u�anti os [44℄{[74℄{[97℄. Novamos a abordar el estudio de estos emisores de luz porque no le presuponemos al le torlos ono imientos de me �ani a u�anti a y f��si a de semi ondu tores que son impres indiblespara tratar estas uestiones.6.2. Comportamiento din�ami o de un l�aserEn este apartado vamos a dedu ir dos e ua iones diferen iales no lineales a opladasentre s�� que permiten determinar la evolu i�on temporal de la poten ia emitida por el l�aseren fun i�on de la orriente inye tada. Estas dos rela iones son e ua iones de ontinuidad,que expresan la varia i�on en el tiempo del n�umero de portadores (o su on entra i�on, si sepre�ere) que hay en la regi�on a tiva y la varia i�on temporal del n�umero de fotones (o su on entra i�on) en la avidad resonante. Es importante re al ar que estos dos vol�umenes de ontrol en los que vamos a dedu ir estas dos e ua iones son distintos. La regi�on a tiva es elparelelep��pedo rayado representado en la �g. f6.1g, mientras que la avidad resonante es elvolumen ompleto del diodo semi ondu tor. Ambas son e ua iones de balan e, en las que



6.2. COMPORTAMIENTO DIN�AMICO DE UN L�ASER 121

Lm

P (0)+ P (L)+

P (L)-P (2L)

-

Figura 6.6: C�al ulo de la onstante de p�erdidas en la avidad resonante.se eval�ua la varia i�on del n�umero de fotones o portadores en su orrespondiente volumen de ontrol, omo la suma de todos los t�erminos que tienden a introdu ir fotones o portadoresmenos la suma de todos los que tienden a sa arlos fuera de all��.Para poder plantear la e ua i�on de balan e del n�umero de fotones, tenemos que uanti� ar los pro esos que tienden a introdu ir fotones dentro de la avidad y los quetienden a sa arlos. Consideremos primero el oe� iente de ganan ia por unidad de longituddel medio a tivo. Evidentemente la ganan ia del medio ampli� ador tiende a aumentar la on entra i�on de fotones en su volumen de ontrol. Deduz amos la expresi�on exa ta:P = PÆe��gx ) dPdt !est�abs = dPdx dxdt = ��gPÆe��gx Æn := �P�g (6.1)

En la expresi�on (6.1) hemos tenido en uenta que s�olo una fra i�on � (re ordemos que� re ibe el nombre de fa tor de on�namiento) de la intensidad luminosa total viaja por laregi�on a tiva. Adem�as hemos de�nido el tiempo medio que tarda en ganarse un fot�on omoresultado de los pro esos estimulados (emisi�on estimulada menos absor i�on) omo �g := n�g Æ .Si ahora tenemos en uenta que �g = gn(N �NÆ) resulta que �g = ngn(N�NÆ) Æ .Ahora vamos a onsiderar los pro esos f��si os que sa an fotones de la avidad re-sonante: el s attering Rayleigh y la re exi�on par ial en los espejos. Para ello vamos a ver �omo disminuye el n�umero de fotones omo onse uen ia de un viajes de ida y vuelta por la avidad, tal omo se muestra en la �g. f6.6g:



122 CAP�ITULO 6. EL L�ASER DE CAVIDAD FABRY-P�EROT8>>>>>><>>>>>>: P+(0) = PÆP+(L) = PÆe��s LP�(2) = RPÆe��s LP�(2L) = RPÆe��s 2LP+(2L) = R2PÆe��s 2L (6.2)Vemos que el n�umero de fotones va disminuyendo por ulpa de las p�erdidas pors attering Rayleigh y las re exiones par iales en los espejos. Resulta onveniente repartirlas p�erdidas lo alizadas en los espejos mediante un oe� iente de p�erdidas por unidad delongitud aso iado a los espejos e introdu irlo en el argumento de la fun i�on exponen ial.De�niendo �esp := 12LLn( 1R2 ), nos queda:P+(2L) = PÆe�(�s +�esp)2L ) P (x) = PÆe�(�s +�esp)x ) dPdt !per = dPdx dxdt = �2(�s + �esp)P Æn = P�p (6.3)donde la onstante de tiempo de p�erdidas de la avidad fr��a (p�erdidas que no est�anrela ionadas on la atenua i�on del medio material) tiene la expresi�on: �p := n2 Æ(�s +�esp) ydonde �esp := 12LLn( 1R2 ). El signi� ado f��si o de �p es evidente: es el tiempo que, en promedio,tarda en salir un fot�on de la avidad por alguno de los dos fen�omenos antes men ionados,que son o bien una re exi�on par ial en uno de los espejos, o bien un pro eso de s atteringRayleigh.Hay un �ultimo t�ermino que tiene tenden ia a aumentar el n�umero de fotones que hayen la avidad: la peque~na fra i�on de fotones � del total generado por emisi�on espont�aneaque se propagan en la dire i�on perpendi ular a los espejos y que ae dentro del an ho debanda de la luz generada por el l�aser. Si el n�umero total de fotones generados por emisi�onespont�anea por unidad de volumen y tiempo es �N�esp los que se suman a la radia i�on generadapor el l�aser es � �N�esp . Realmente no es ne esario introdu ir este oe� iente emp��ri o � [4℄{[24℄,tal omo veremos en el ap��tulo 10 donde se demostraremos que la emisi�on espnt�anea y laestimulada pueden rela ionarse entre s��. La expresi�on que des ribe de forma aproximada la ontribu i�on de la emisi�on espont�anea es: dPdt !esp = ��N�esp (6.4)En realidad el n�umero de fotones generados por emisi�on espont�anea por unidad devolumen y tiempo es, bajo ondi iones de inye i�on fuerte (que son las habituales en la regi�ona tiva de un l�aser), aproximadamente propor ional al uadrado del n�umero de portadores 5.5En un semi ondu tor se produ en tres tipos de re ombina iones [4℄{[74℄{[90℄: re ombina iones en tram-pas, re ombina iones radiativas y re ombina iones Auger. S�olo las primeras permiten de�nir un tiempo dere ombina i�on onstante. Ni las re ombina iones en trampas ni las Auger ontribuyen a la genera i�on defotones espont�aneos.



6.2. COMPORTAMIENTO DIN�AMICO DE UN L�ASER 123

Luz láser

Luz láser

V(volumen de la región activa)

Fotones generados poremisión espontánea

Figura 6.7: Volumen de ontrol donde vamos a plantear la e ua i�on de ontinuidad de losportadores de arga.La f�ormula anterior, que es habitual en los modelos m�as sen illos del l�aser a semi ondu tor,la podemos a eptar omo v�alida si suponemos que �esp depende de N , aunque, on objetode simpli� ar el modelo, onsideraremos que �esp es onstante. Para modelos m�as realistasremitimos al le tor a la bibliograf��a adjunta [20℄{[24℄{[25℄{[74℄. El oe� iente � apare eporque el volumen de la avidad resonante es mayor que el de la regi�on a tiva y el o ientede �este �ultimo dividido por el anterior es, pre isamente, el fa tor de on�namiento. Ya hemos al ulado todos los t�erminos que tienden a ambiar la on entra i�on de fotones dentro de la avidad. Por tanto, teniendo en uenta las expresiones (6.1), (6.3) y (6.4), podemos es ribirla primera a ua i�on de balan e, la de los fotones dentro de la avidad resonante:dPdt = �P�g � P�p + ��N�esp�g := n Ægm(N �NÆ) ; �p = n2 Æ(�s + �esp)�esp := 12L ln� 1R2� (6.5)Vamos a plantear ahora la e ua i�on de ontinuidad del n�umero de portadores endesequilibrio N (no espe i� amos si son ele trones o hue os, ya que las on entra iones dedesequilibrio tienen que ser iguales para que el semi ondu tor sea el�e tri amente neutro) enel volumen de ontrol de�nido por la regi�on a tiva del diodo. Este volumen de ontrol semuestra en la �g. f6.7g. El �uni o t�ermino que ontribuye a que la on entra i�on de portadoresen la regi�on a tiva aumente es la inye i�on de orriente I y el aumento provo ado es: dNdt ! orr = IqV (6.6)



124 CAP�ITULO 6. EL L�ASER DE CAVIDAD FABRY-P�EROTPara simpli� ar la e ua i�on de balan e, suponemos que todos los portadores inye -tados llegan a la regi�on a tiva (lo ual no es ierto) y que los portadores no pueden saltarlas barreras de poten ial (una ierta propor i�on de ellos lo ha e por efe to termoi�oni o).Los t�erminos que tienden a ha er disminuir la on entra i�on de portadores son el efe toneto emisi�on estimulada menos absor i�on y la tasa de emisi�on espont�anea 6 (en este aso uenta todos los fotones produ idos por emisi�on espont�anea, ya que todos apare en omo onse uen ia de la re ombina i�on de un pares ele tr�on{hue o): dNdt !est�abs = �P�g dNdt !esp = � N�esp (6.7)Ahora no apare e � en la primera expresi�on debido a que el volumen de la regi�ona tiva es menor que el de la avidad resonante. Por tanto, el par de e ua iones de balan eque des ribe, de forma simpli� ada, el omportamiento del l�aser es:dPdt = P��g � P�p + ��N�espdNdt = IqV � P�g � N�esp�g := n Ægm(N �NÆ) ; �p = n2 Æ(�s + �esp)�esp := 12LLn( 1R2 )

9>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>; (6.8)El modelo din�ami o del l�aser viene, pues, des rito por un par de e ua iones diferen- iales no lineales y a opladas entre s��, ya que apare e t�erminos en las e ua iones que sonprodu tos de on entra iones de portadores multipli ados por on entra iones de fotones.6.3. Cara ter��sti a est�ati a del l�aserQueremos determinar en este apartado la ara ter��sti a est�ati a del l�aser, es de ir, larela i�on que hay, en r�egimen permanente, entre la poten ia emitida por el l�aser y la orrienteque lo atraviesa. Para dedu irla vamos a anular las derivadas temporales en la e ua i�on (6.8)y de�nimos la onstante A := Ægnn on lo que queda:6De nuevo estamos suponiendo que la re ombina i�on de portadores se puede des ribir por medio de untiempo �esp independiente de N y no onsideramos las re ombina iones no radiativas (re ombina iones entrampas y re ombina iones Auger) que pueden ser del mismo orden de magnitud que las re ombina ionesradiativas.



6.3. CARACTER�ISTICA EST�ATICA DEL L�ASER 1250 = �AP (N �NÆ)� P�p + ��N�esp0 = IqV � PÆA(N �NÆ)� N�esp (6.9)En la �g. f6.4g se ha representado, junto al espe tro de emisi�on de un l�aser de avidad Fabry-P�erot guiado por el ��ndi e, su ara ter��sti a est�ati a. Vemos que hay doszonas laramente diferen iadas en las que la poten ia �opti a re e linealmente respe to ala orriente inye tada on pendientes muy distintas. En la primera (zona I), la pendientees muy suave, debido a que la luz se genera, en su mayor parte, por emisi�on espont�anea.Determinaremos la rela i�on entre P e I en esta zona despre iando los fen�omenos estimulados(ya que el medio no tiene una ganan ia apre iable) y reteniendo s�olo el t�ermino de emisi�onespont�anea. En la segunda regi�on (zona II) los fen�omenos estimulados son los responsablesde la genera i�on de la mayor parte de la poten ia �opti a emitida. En el odo de transi i�onentre la zona I y la II, no se puede ha er esta aproxima i�on y, adem�as, habr��a que modi� arla e ua i�on de balan e del n�umero de fotones para prede ir on exa titud el omportamientodel l�aser en esta zona [24℄. En esta regi�on de transi i�on, la emisi�on espont�anea pasa de estarrepartida entre un enorme n�umero de modos longitudinales a on entrarse en uno s�olo (siel l�aser es monomodo) y en unos uantos (si el l�aser es multimodo). Un tratamiento exa tode la emisi�on espont�anea ha e inne esaria esta linealiza i�on por tramos de la ara ter��sti aest�ati a del l�aser. Desgra iadamente un tratamiento de esta naturaleza se sale de los l��mitesde este libro.6.3.1. Modelo para la zona I (emisi�on espont�anea dominante)El modelo para esta zona de fun ionamiento lo determinamos despre iando en (6.9)los t�erminos estimulados, on lo que resulta:0 = �P�p + �� N�esp0 = IqV � N�esp

9>>>>>=>>>>>;) P = ��gqV I (6.10)Vemos que, efe tivamente, la pendiente de la re ta que rela iona P on I es muypeque~na, ya que la onstate � es � � 1.6.3.2. Modelo para la zona II (emisi�on espontimulada dominante)Ahora, al sustituir en (6.9) despre iamos el t�ermino en el que apare e � on lo quenos queda:



126 CAP�ITULO 6. EL L�ASER DE CAVIDAD FABRY-P�EROT0 = �P�g � P�p0 = IqV � P�g � N�esp

9>>>>>=>>>>>;) �g = n Ægn(N �NÆ) = ��pN = Nth := NÆ + n� Ægn9>>>>=>>>>;) P = ��pqV (I � Ith)Ith := Nth�

9>>>>>=>>>>>; (6.11)Vemos que en todos los puntos de la zona II de la ara ter��sti a est�ati a del l�aser la on entra i�on de portadores por en ima del equilibrio t�ermi o es onstante e igual a Nth.Cualquier in remento en la orriente inye tada, se tradu e en un in remento del n�umerode fotones que hay en la avidad y, por tanto, en un in remento de la poten ia �opti a quegenera el l�aser. Vemos, tambi�en, que en todos los puntos de la zona II la ganan ia del medioampli� ador permane e onstante e igual a las p�erdidas que hay en la avidad resonante7. S�olo en la zona I de fun ionamiento, un in remento en la orriente inye tada se tradu een un aumento de la on enta i�on de portadores en la regi�on a tiva. Por onsiguiente, s�oloen la zona I se onsigue que la on entra i�on de portadores aumente y que el oe� ientede atenua i�on disminuya a medida que aumenta la orriente y que, eventualmente, se hagapositivo y se traduz a en una oe� iente de ganan ia por unidad de longitud. Cuando la orriente llega al valor de la orriente umbral, estamos justo en el odo que une las zonas I yII. A partir de ese instante, aunque aumentemos la orriente, la on entra i�on de portadoresse mantiene igual a Nth. Tambi�en vemos que la pendiente que rela iona P on I en la zona IIes mu ho mayor que en la zona I, ya que � ha desapare ido del oe� iente de popor ionalidad.6.4. Cara ter��sti a de peque~na se~nal del l�aserEn este apartado vamos a determinar el modelo de peque~na se~nal de un l�aser polariza-do en un punto de la zona II de fun ionamiento. Vamos a derivar este modelo, no porque nosinterese el resultado en s�� mismo, sino porque nos va a dar una informa i�on muy �util a er adel omportamiento del l�aser en onmuta i�on. Conmutamos un l�aser semi ondu tor uandovariamos r�apidamente su punto de polariza i�on desde uno en el que genera una poten iamuy baja (se transmite un "0" l�ogi o) a otro donde la poten ia generada es alta (y en el quese transmite un "1" l�ogi o). Este es la manera m�as sen illa de transmitir informa i�on digital on un l�aser y se ono e on el nombre de modula i�on dire ta 8. El ir uito on el que sepolarizar��a el l�aser para medir su ara ter��sti a de peque~na se~nal se muestra en la �g. f6.8g.En las e ua iones que siguen vamos a despre iar la poten ia �opti a generada por emisi�onespont�anea. Para el le tor interesado en un modelo m�as detallado del l�aser semi ondu tor,lo referimos a [4℄{[24℄{[74℄.La fun i�on de transferen ia que deseamos obtener (que ara teriza el omportamientodel l�aser de peque~na se~nal) es la que rela iona ~p on ~i, es de ir, las u tua iones senoidalesde la poten ia �opti a, que es la variable ontrolada, on respe to a las u tua iones de la orriente, que es la variable de ontrol. La poten ia PÆ, la on entra i�on Nth y la orriente7Lo mismo pasa en los l�aseres de niveles dis retos y, en general, en ualquier tipo de l�aser.8Las tasas binarias m�aximas que se pueden transmitir on modula i�on dire ta son del orden de un parde gigabits por segundo.



6.4. CARACTER�ISTICA DE PEQUE~NA SE~NAL DEL L�ASER 127

+

+Vo

Io+i~

Po+p~

v~

Figura 6.8: Cir uito de peque~na se~nal del l�aser.IÆ de�nen el punto de polariza i�on de la zona II alrededor del ual se van a produ ir lasperturba iones senoidales. Por tanto veri� an las siguientes igualdades:0 = PÆ��g � PÆ�p0 = IÆqV � Nth�esp � PÆ�g 9>>>=>>>; (6.12)Ahora tenemos que sustituir en las e ua iones din�ami as del l�aser los valoresP = PÆ+ ~p, I = IÆ+~i y N = Nth+ ~n, donde ~p, ~i y ~n son peque~nas perturba iones senoidales(o fasores de peque~na amplitud, si se trabaja on n�umeros omplejos, osa que haremos):dNdt = IqV � A(N �NÆ)P � N�espdPdt = �A(N �NÆ)P � P�p9>>>>>=>>>>>;)j!~n = IÆqV � A(Nth �NÆ)PÆ � Nth�esp + ~iqV � A(Nth �NÆ)~p� APÆ~n� A~n~p� ~n�espj!~p = �A(Nth �NÆ)PÆ � PÆ�p + ~p[�A(Nth �NÆ)� 1�p ℄ + �APÆ~n

9>>>>>>=>>>>>>;(6.13)Si ahora tenemos en uenta las rela iones (6.12), que 1�p = �A(Nth�NÆ) y sustituimos




0 0.5 1 1.5

x 10−8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 6.9: Comportamiento del l�aser en peque~na se~nal. La on entra i�on de portadores seha normalizado on respe to a 1; 7 � 1024m�3 y la poten ia on respe to a 0; 65mW . Losdatos del l�aser se han tomado del Problema 9. Simula i�on realizada por Alejandro CarballarRin �on.en (6.13), nos queda: j!~n = ~iqV � ~p�p � APÆ~n� A~n~p� ~n�espj!~p = ~p[A(Nth �NÆ)� 1�p ℄ + APÆ~n9>>>>>>=>>>>>>; (6.14)

Las rela iones (6.14) se pueden simpli� ar a�un m�as si tenemos de nuevo en uentaque �A(Nth � NÆ) = 1�p y que dado que los fasores ~n y ~p son de muy peque~na amplitud, elprodu to de los dos se puede despre iar, on lo que queda:j!~n = ~iqV � ~p�p � APÆ~n� ~n�espj!~p = �APÆ~n 9>>>>=>>>>; (6.15)Si ahora eliminamos en la e ua i�on (6.15) la variable ~n y de�nimos la pulsa i�on ara ter��sti a omo !r := q�APÆ�p y el tiempo de amortiguamiento omo �r := 1APÆ+ 1�espdedu imos que la fun i�on de transferen ia del modelo de peque~na se~nal del l�aser viene dadapor la siguiente expresi�on:



6.4. CARACTER�ISTICA DE PEQUE~NA SE~NAL DEL L�ASER 129~p~i = �pqV !2r!2r � !2 + 2j !�r!r := s�APÆ�p �r := 1APÆ + 1�esp

9>>>>>>>=>>>>>>>; (6.16)Lo interesante de este resultado es que la fre uen ia de os ila i�on resultante y el tiempode estable imiento (o amortiguamiento, omo se pre�era llamar) oin iden on los medidosen un l�aser en onmuta i�on, tal y omo se observa en la �g. f6.9g, donde se representala evolu i�on de los t�erminos normalizados N(t) ( on entra i�on de portadores en la regi�ona tiva) y P(t) (poten ia �opti a generada por el l�aser) al onmutar brus amente la orrientedesde el valor I=0 hasta un valor I=10.5mA (el resto de datos est�an tomados del problemaresuelto 9), situado dentro de la zona II.



130 CAP�ITULO 6. EL L�ASER DE CAVIDAD FABRY-P�EROT6.5. ProblemasProblema 8: Se tiene un l�aser de avidad Fabry-P�erot uya regi�on a tivatiene las siguientes dimensiones: L=300�m, W=1,2�m y e=0,2�m. Los oe� ientes de re exi�on en poten ia son R1 = R2 = 0; 3, el oe� iente de p�erdidaspor s attering Rayleigh es �r = 40 m�1 y los ��ndi es de refra i�onde fase y grupo son n� = 3; 5 y ng = 4. La ganan ia diferen ial debida a losfen�omenos estimulados es �gn = 1; 5� 10�16 m2 y la densidad deportadores en la regi�on a tiva bajo ondi iones de transparen ia esNÆ = 1018 m�3. La tasa de emisi�on espont�anea es � = 10�4 y eltiempo medio de vida de los portadores en la regi�on a tiva es � = 2ns.Se pide:1.- Cal ular el tiempo medio de permanen ia de un fot�on en la avidad resonante.2.- Determinar la on entra i�on de portadores y la orriente en la zona umbral.3.- Determinar la on entra i�on de fotones en la avidad resonante, si se polarizael l�aser on una orriente de 13,834mA4.- Deterinar la fre uen ia de os ila i�on del l�aser y su tiempo de estable imiento.5.- Estimar la tasa binaria m�axima que se puede transmitir on el l�aser mediantemodula i�on dire ta.Solu i�on:1. Tal omo hemos visto en el tema anterior, el tiempo medio de permanen ia de un fot�onen la avidad es �p = ng Æ(�E+�s ) . �s = 40 m�1 = 4000m�1. Por otra parte sabemos que�E = 1LLn( 1R1R2 ) = 4013m�1, on lo que las p�erdidas totales por unidad de longitudvalen: � = �E + �s = 8013m�1. Por tanto el tiempo medio de permaneni a de unfot�on en la avidad fr��a es �p = ng Æ(�E+�s ) = 43�108�8013 = 1; 664ps.2. La on entra i�on de portadores en la zona umbral del l�aser la al ulamos imponiendoque el oe� iente de ganan ia por unidad de longitud (fa tor de on�namiento in luido),sea igual a las p�erdidas por unidad de longitud de la avidad fr��a, es de ir: gn(Nth �NÆ) = �E+�s . Sustituyendo, queda: 1; 5�10�16(n�1018) = 80; 13) Nth = 80;131;5�10�16+1018 = 1; 5342 � 1018 m�3. Para al ular la orriente umbral, tenemos en uenta queIth = qNthV� = 1;6�10�191;5342�1024300�10�61;2�10�60;2�10�62�10�9 = 8; 834mA.3. La on entra i�on de fotones dentro de la avidad viene dada por la expresi�on P =�pqV (I � Ith). Como ya hemos al ulado todos los t�erminos que intervienen en estaexpresi�on, podemos sustituirlos: P = 1;664�10�125�10�31;6�10�19300�10�61;2�10�60;2�10�6 = 7; 22�1020m�3.4. Sabemos que !2r = APÆ�p = ÆgNPÆng�p = 3�1081;5�10�207;22�102041;664�10�12 ) fr = 3; 5163GHz. 2�r = ÆgNPÆng + 1� = 3�1081;5�10�207;22�10204 + 12�10�9 ) �r = 1; 524ns.5. Vamos a admitirque el pulso se ha e estable uando trans urre un tiempo que es dosve es el de estable imiento. Por tanto, si asumimos una odi� a i�on NRZ, tendremosque Bmax ' 121;524�10�9 = 328; 1MHz.



Cap��tulo 7El l�aser de avidad distribuida: modosa opladosResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar el l�aser de avidad distribuidautilizando el formalismo de modos a oplados. Sin embargo la dedu i�on que vamosa ha er de las e ua iones no es matem�ati amente rigurosa. Esto se ha e as��porque la dedu i�on rigurosa y orre ta de las e ua iones de modos a opladoses larga y requiere unos ono imientos matem�ati os que no se le presuponen al le tor.La manera en que vamos a razonar es "intuitiva" y nos pare e que esta raz�on justi� ala falta de rigor matem�ati o. En primer lugar expli aremos, de una manera tambi�en ualitativa, por qu�e una perturba i�on senoidal del ��ndi e de refra i�onpuede a oplar energ��a entre dos modos propios que se propagan en sentidos ontrarios. A ontinua i�on "dedu iremos" la e ua i�on de modos a oplados para,a ontinu a i�on, resolverla y demostrar que el l�aser propuesto es, en prin ipio,bimodal, es de ir, que emite a dos longitudes de onda distintas. Veremos, por�ultimo, qu�e modi� a iones hay que introdu ir en la estru tura para que eldispositivo emita a una �uni a longitud de onda.

131



132 CAP�ITULO 7. EL L�ASER DE CAVIDAD DISTRIBUIDA: MODOS ACOPLADOS

Región activa

Reflector distribuido

r=0r=0 Figura 7.1: Corte longitudinal de un l�aser de Bragg.7.1. Introdu i�onEn la �g. f7.1g se muestra una se i�on longitudinal de un l�aser de avidad distribuida.Las super� ies anterior y posterior del dispositivo han sido tratadas de manera que tengan un oe� iente de re exi�on en ampo nulo. Sin embargo, para longitudes de onda er anas a undeterminado valor (longitud de onda de Bragg) la perturba i�on peri�odi a senoidal presenteen el dispositivo introdu e un fuerte a oplamiento (inter ambio de energ��a) entre dos modosque se propagan en sentidos opuestos [56℄.En el l�aser el ��ndi e de refra i�on omplejo viene des rito por medio de la siguienteexpresi�on: n(z) = nÆ + n1 os(2�� z) + jn2 (7.1)donde nÆ es el ��ndi e de refra i�on promedio, n1 es la amplitud de la perturba i�on del��ndi e, � es el periodo de la perturba i�on y n2 representa la ganan ia del medio (de la quees responsable, por supuesto, la regi�on a tiva del l�aser). Supongamos que por el dispositivose est�a propagando una onda y que en los m�aximos del ��ndi e de refra i�on se produ enre exiones par iales, tal omo se muestra en la �g. f7.2g.La longitud de onda para la ual la estru tura presenta un oe� iente de re exi�onelevado es aqu�ella para la que todas las ondas par ialmente re ejada se suman en fase, esde ir, para la que se umple:�� = 2��B=nÆ 2� = 2� ) �B = 2nÆ� (7.2)



7.1. INTRODUCCI �ON 133no

n1

n(z)

z

Figura 7.2: Refexiones par iales en una red de difra i�on de Bragg.donde no tiene sentido que nos planteemos que el desfase sea un m�ultiplo entero de2� distinto de la unidad, ya que a esas longitudes de onda el medio a tivo no ser��a apazde ampli� ar la luz. Por tanto, si suponemos que las ondas que se propagan son planas(en realidad lo �uni o que ha emos es ignorar la distribu i�on transversal del modo guiado)llegamos a la on lusi�on de que estas ondas tienen onstantes de propaga i�on er anas a�nÆ 2��B = � �� . Por onsiguiente, y dado que la red de difra i�on de Bragg tiene una longitud�nita, lo �uni o que podemos a�rmar de una manera ierta es que por el l�aser s�olo se puedeemitir ondas ele tromagn�eti as uyas onstantes de propaga i�on en el medio tomen valores er anos a � �� : �� ' �B = �� (7.3)La longitud de onda real de emisi�on del l�aser, aunque pr�oxima a �B, no tiene porqu�e oin idir exa tamente on este valor. Vamos a de�nir una serie de onstantes de pro-paga i�on aso iadas a los distintos ��ndi es que apare en en la estru tura, que nos resultar�anmuy �utiles m�as adelante [34℄: 8>>>>>>><>>>>>>>:Æ := �B � �� := kÆn12g := 2kÆn2 (7.4)

El t�ermino Æ representa la desvia i�on, medida omo una onstante de propaga i�on,entre la longitud de onda de la luz que se propaga por el medio y la longitud de onda deBragg. La onstante � es la amplitud de la perturba i�on del ��ndi e (n1) expresada omo una



134 CAP�ITULO 7. EL L�ASER DE CAVIDAD DISTRIBUIDA: MODOS ACOPLADOSno

n1

n(z)

z

R(z)

S(z)

Figura 7.3: Inter ambio de enrg��a entre las ondas ontrapropagadas en el re e tor de Bragg. onstante de propaga i�on e indi a �omo de intenso es el a oplamiento entre las ondas o y ontrapropagadas. Por �ultimo, g es la ganan ia del medio medida, tambi�en, omo onstantede propaga i�on.7.2. E ua i�on de HelmholtzVamos a plantear ahora las e ua iones de dos ondas planas que se propagan por unmedio omo el des rito por la �g. f7.3g. Evidentemente, la perturba i�on senoidal del ��ndi eprovo a un inter ambio de energ��a entre dos ondas que se propagan en sentidos opuestos on una misma onstante de propaga i�on de fase (en valor absoluto) er ana a �B. Laamplitud de la onda que viaja ha ia la dere ha la denotaremos R(z) y asumimos (dadoque la perturba i�on del ��ndi e es peque~na) que var��a lentamente frente a la oordenadalongitudinal z. La amplitud de la onda que se propaga ha ia la izquierda es S(z) y ambia,por id�enti os motivos, lentamente on respe to a la oordenada longitudinal z.La expresi�on anal��ti a del ��ndi e omplejo de refra i�on de la estru tura es:n(z) = nÆ + n1 ej 2�n� + e�j 2�n�2 + jn2 (7.5)y es pre isamente el t�ermino en n1 el que a opla las ondas R(z) y S(z). La e ua i�onque des ribe la propaga i�on de las ondas es la e ua i�on de Helmholtz:d2Edz2 + k2Æn(z)E = 0 (7.6)Postulamos omo solu i�on de esta e ua i�on la suma de dos ondas que tienen la misma



7.2. ECUACI �ON DE HELMHOLTZ 135 onstante de propaga i�on, �� en valor absoluto, pero que se propagan en sentidos ontra-rios. Adem�as vamos a onsiderar que las envolventes R(z) y S(z) var��an lentamente on la oordenada longitudinal, es de ir, ensayamos on una solu i�on uya expresi�on es:E(z) = R(z)e�j��z + S(z)ej��z )_E(z) = ( _R � j��R)e�j��z + ( _S + j��S)ej��z )�E(z) ' �(2j�� _R + �2�R)e�j��z + (2j�� _S � �2�S)ej��z (7.7)En esta �ultima expresi�on hemos tenido en uenta que las envolventes var��an muy po oa lo largo de una longitud de onda, por lo que los t�erminos uadr�ati os y lineales en �� sondominantes frente al resto.Ahora vamos a al ular k2Æn2 despre iando los t�erminos que sean produ tos de dosmagnitudes peque~nas (tanto n1 omo n2 son peque~nas perturba iones on respe to al valormedio del ��ndi e de refra i�on nÆ):k2Æn2(z) ' k2Æ n2Æ + 2jnÆn2 + 2nÆn1 e2j�Bz + e�2j�Bz2 !E(z) = R(z)e�j��z + S(z)ej��z )k2Æn2(z)E(z) ' �2BRe�j��z + �2BSej��z + 2j�BkÆn2Re�j��z + 2j�BkÆn2Sej��z++�BkÆn1Rej(2�B��)z + �BkÆn1Se�j(2�B��)z ' �2BRe�j��z + �2BSej��z++2j�BkÆn2Re�j��z + 2j�BkÆn2Sej��z + �BkÆn1Rej��z + �BkÆn1Se�j��z

(7.8)Los t�erminos en ej(2�B+��)z y e�j(2�B+��)z no se han onsiderado ya que para laslongitudes de onda orrespondientes no hay realimenta i�on alguna y el medio a tivo esabsorbente. Adem�as hemos he ho la aproxima i�on 2�B � �� ' ��. La expresi�on resultantees la suma de dos ondas, una que se propaga de izquierda a dere ha y otra que se propagade dere ha a izquierda. Para que la suma de ambas ondas sea nula, el sumatorio de los oe� ientes de las ondas que se propagan de izquierda a dere ha ha ser igual a ero al igualque el sumatorio de los oe� ientes de las ondas que se propagan en sentido ontrario. Por onsiguiente, tienen que veri� arse las siguientes rela iones:(�2B � �2�)R + 2j�BkÆn2R � 2j�� _R + �BkÆn1S = 0(�2B � �2�)S + 2j�BkÆn2S � 2j�� _S + �BkÆn1R = 0 (7.9)Si ahora dividimos ambas e ua iones por 2j��, apare en los siguientes oe� ientes:



136 CAP�ITULO 7. EL L�ASER DE CAVIDAD DISTRIBUIDA: MODOS ACOPLADOS�2B � �2�2j�� = (�B + ��)(�B � ��)2j�� ' 2��(�B � ��)2j�� = �jÆ2j�B � kÆn22j�� ' kÆn2 = g2�B � kÆn12j�� ' �j kÆn12 = �j� (7.10)

El sistema de e ua iones diferen iales resultante es:� _R + �g2 � jÆ�R = j�S_S + �g2 � jÆ�S = j�R (7.11)donde g y � son la onstante de ganan ia y a oplo, mientras que Æ es la variable querepresenta la longitud de onda o, si se pre�ere, la onstante de propaga i�on. Estos t�erminosse de�nieron en (7.4).Las e ua iones (7.11) de�nen un sistema de dos e ua iones diferen iales de primerorden a opladas entre s�� para el que hay pro edimientos de integra i�on dire ta. En vez deapli arlos, vamos a dedu ir dos e ua iones diferen iales de segundo orden, lineales y des-a opladas. Evidentemente, en la solu i�on de estas e ua iones apare en uatro onstantes deintegra i�on de las que s�olo dos son independientes. Este problema lo resolveremos impo-niendo que las solu iones de estas e ua iones diferen iales de segundo grado sean tambi�ensolu iones de (7.11).� _R + �g2 � jÆ�R = j�S_S + �g2 � jÆ�S = j�R 9>>=>>;) � �R + �g2 � jÆ� _R = j� _S�S + �g2 � jÆ� _S = j� _R 9>>=>>;)� �R + �g2 � jÆ� _R = ��2R� j��g2 � jÆ�S�S + �g2 � jÆ� _S = �2R + j��g2 � jÆ�R 9>>=>>;) �R� 2R = 0�S � 2S = 0) (7.12)Donde la onstante veri� a la rela i�on 2 := �2+(g2�jÆ)2. Ahora podemos integrarde manera inmediata las e ua iones diferen iales (7.12), uya solu i�on es:R(z) = r1e z + r2e� zS(z) = s1e z + s2e� z (7.13)



7.3. CONDICI �ON DE OSCILACI �ON DEL L�ASER 137

Región activa


r=0r=0

z=0z=-L/2 z=L/2

R(z)

S(z)

Figura 7.4: Sistema de referen ia para imponer las on i iones de ontorno r=0.Si ahora imponemos que las solu iones (7.13) veri�quen las e ua iones (7.11) nosquedan las siguientes rela iones entre las onstantes de integra i�on r1, r2, s1 y s2:� r1 + �g2 � jÆ� r1 = j�s1 r2 + �g2 � jÆ� r2 = j�s2 (7.14)La pregunta que ahora debemos plantearnos es �omo podemos hallar otras dos rela- iones que nos permitan determinar los valores de las uatro onstantes de integra i�on. Simiramos la �g. f7.1g vemos que los oe� ientes de re exi�on en las dos super� ies extremasdel l�aser son iguales a ero. En la �g. f7.4g vemos laramente que para que el oe� iente dere exi�on sea ero en la super� ie izquierda, la onda R debe anularse en z = �L2 . De igualmanera, para que el oe� iente de re exi�on en la super� ie de la dere ha sea ero, la ondaS parti ularizada en z = L2 debe ser igual a ero tambi�en. De esta manera dedu imos lassiguientes rela iones entre las onstantes de integra i�on:r1e� L2 + r2e L2 = 0s1e L2 + s2e� L2 = 0 (7.15)7.3. Condi i�on de os ila i�on del l�aserSi ahora reunimos las rela iones (7.14) y (7.15) nos queda el siguiente sistema linealy homog�eneo de uatro e ua iones on uatro in �ognitas:




Región activa


r=0r=0

z=0z=-L/2 z=L/2

R(z)S(z)

1

r(f)

Figura 7.5: Estru tura a la que vamos a al ularle el oe� iente de re exi�on.8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:r1e� L2 + r2e L2 = 0s1e L2 + s2e� L2 = 0� r1 + �g2 � jÆ� r1 � j�s1 = 0 r2 + �g2 � jÆ� r2 � j�s2 = 0 (7.16)

Este sistema siempre tiene omo solu i�on la solu i�on trivial r1 = r2 = s1 = s2 = 0,es de ir, el l�aser no emite luz alguna. Para que exista una solu i�on distinta de la trivial,el determinante del sistema debe ser igual a ero, en uyo aso queda un par�ametro libreque �ja la poten ia de emisi�on del l�aser. Vamos ahora a operar sobre las �las de la matrizaso iada al sistema de e ua iones, para onvertirla en una matriz triangular superior, ya paraestas matri es el determinante aso iado es igual al produ to de los elementos de la diagonalprin ipal:266664 e� L2 e L2 0 00 0 e L2 e� L2� + (g2 � jÆ) 0 �j� 00 + (g2 � jÆ) 0 �j� 377775F2$4 !




z=0z=-L/2 z=L/2

Figura 7.6: Desfases que se produ en dentro de la estru tura a las longitudes de onda deemisi�on.266664 e� L2 e L2 0 00 + (g2 � jÆ) 0 �j�� + (g2 � jÆ) 0 �j� 00 0 e L2 e� L2 377775F31[ � (g2 � jÆ)℄e� L2 !266664 e� L2 e L2 0 00 + (g2 � jÆ) 0 �j�0 e L[ � (g2 � jÆ)℄ �j� 00 0 e L2 e� L2 377775F32[�e L � (g2 � jÆ) + (g2 � jÆ) ℄!2666664 e� L2 e L2 0 00 + (g2 � jÆ) 0 �j�0 0 �j� j�e L �( g2�jÆ) +( g2�jÆ)0 0 e L2 e� L23777775F43[e L2j� ℄!26666664 e� L2 e L2 0 00 + (g2 � jÆ) 0 �j�0 0 �j� j�e L �( g2�jÆ) +( g2�jÆ)0 0 0 e L2 + e 3 L2 �( g2�jÆ) +( g2�jÆ)

37777775 (7.17)Para que el determinante de (7.17) sea nulo, se tiene que umplir que el produ to desus elementos diagonales sea igual a ero, es de ir que:




−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

x 10−9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

x 10−9

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 7.7: Coe� iente de re exi�on omplejo (m�odulo a la izquierda y argumento a la dere ha)de una estru tura l�aser de Bragg bimodo on ganan ias inferiores a la umbral. Las urvasde m�odulo representadas se orresponden on las ganan ias g = 0 m�1, g = 100 m�1,g =200 m�1 y g = 250 m�1. El argumento se ha representado s�olo para g = 250 m�1. El restode par�ametros son, en todas las gr�a� as, los mismos: � = 50 m�1, L = 125�m nÆ = 3; 5 y�B = 1; 3�m. Simula i�on relizada por Alejandro Carballar Rin �on.� = e� L2 � + g2 � jÆ� (�j�)e L2 e� L � + �g2 � jÆ��+ e L2 � � �(g2 � jÆ�� + �g2 � jÆ� == j� �2 Ch( L)� �g2 � jÆ� 2Sh( L)� = 0)Cotgh( L) = �g2 � jÆ�L L

(7.18)La e ua i�on (7.18) es ompleja y, de he ho, hay dos in �ognitas reales: por un ladoel valor de Æ, es de ir la longitud de onda de os ila i�on del l�aser y, por otro, g2 , es de ir,el valor que debe tomar la gana ia a tiva para que el dispositivo pueda emitir luz. Lospar�ametros �B y � son ono idos ya que sabemos qu�e periodo tiene la perturba i�on senoidaldel ��ndi e introdu ida en la estru tura y la amplitud de la misma. Sin embargo la resolu i�onde esta e ua i�on no aporta ninguna informa i�on intuitiva a er a del omportamiento deldispositivo. Por ello, vamos a onsiderar la �g. f7.5g y vamos a al ular el oe� iente dere exi�on de la estru tura representada. Esto quiere de ir que vamos a resolver el mismosistema de e ua iones a partir del que dedujimos la ondi i�on de os ila i�on, salvo que ahorala ondi i�on de ontorno en z = �L2 es S(�L2 ) = 1 (lanzamos, por la izquierda, una onda deamplitud 1 a todas las longitudes de onda), on lo que obtenemos el sistema:




−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

x 10−9

0

5

10

15

20

25

30

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

x 10−9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figura 7.8: Coe� iente de re exi�on omplejo (m�odulo a la izquierda y argumento a la dere ha)de una estru tura l�aser de Bragg bimodo on ganan ia igual a la umbral. La urva dem�odulo representadas se orresponden on la ganan ia g = 372; 9 m�1. El argumento se harepresentado tambi�en para g = 372; 9 m�1. En la urva del argumento se observa laramenteun salto de fase igual a � a las dos longitudes de onda de emisi�on. El resto de par�ametrosson, en todas las gr�a� as, los mismos: � = 50 m�1, L = 125�m nÆ = 3; 5 y �B = 1; 3�m.Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.266664 e� L2 e L2 0 00 0 e L2 e� L2� + (g2 � jÆ) 0 �j� 00 + (g2 � jÆ) 0 �j� 377775 26664 r1r2s1s2 37775 = 26664 1000 37775 (7.19)Para resolver este problema, realizamos las mismas opera iones por �las que uan-do al ulamos el determinante de la matriz, pero ahora lo ha emos on la matriz 4 � 5,resultante de a~nadir el ve tor olumna de los t�erminos independientes. No vamos a repetirlas opera iones y damos los valores dedu idos de los oe� ientes s1 y s2 y el oe� iente dere exi�on resultante:

s1 = j�=2e� L2 Ch( L)� �g2 � jÆ�Sh( L)s2 = �j�=2e L2 Ch( L)� �g2 � jÆ�Sh( L)9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;)r = S(�L=2) = �j�Sh( L) Ch( L)� (g2 � jÆ)Sh( L) (7.20)




z=0z=-L/2 z=L/2/2

/2Figura 7.9: Estru tura de un l�aser de Bragg monomodo.Este oe� iente de re exi�on es omplejo, lo que indi a que la onda re ejada tieneuna amplitud distinta de la onda in idente y un desfase on respe to a ella. Lo que vamos aha er es representar tanto el m�odulo del oe� iente de re exi�on omo su argumento. El �uni opar�ametro que vamos a onsiderar variable es � (o, lo que es equivalente, Æ). Vamos a �jar lalongitud del l�aser igual a L = 125�m, el ��ndi e de refra i�on promedio lo tomamos nÆ = 3; 5,la longitud de onda de Bragg orrespondiente a la perturba i�on del ��ndi e ser�a �B = 1; 3�m,el oe� iente de a oplamiento lo ha emos igua a � = 50 m�1 y parametrizamos las urvas delm�odulo para los valores de ganan ia g = 0 m�1; 150 m�1; 200 m�1 y 250 m�1. La gr�a� aaso iada al argumento del oe� iente de re exi�on s�olo se ha representado para este �ultimo aso, tal omo se muestra en la �g. f7.7g.En estas gr�a� as vemos que si la ganan ia del medio se ha e su� ientemente grande,el m�odulo del oe� iente de re exi�on tiende a in�nito a dos longitudes de onda distintas [74℄.>C�omo debemos interpretar este he ho? Si vemos la gr�a� a orrespondiente al argumento del oe� iente de re exi�on on g = 250 m�1, omprobamos que a la dos longitudes de onda deemisi�on donde el oe� iente de re exi�on es m�aximo se produ e un desfase de valor er anoa �. Si ahora simulamos el omportamiento de la estru tura para g = 372; 9 m�1 vemos enla �g. f7.8g que a las dos longitudes de onda donde r se ha e in�nito, el desfase a umuladoen una ida y vuelta a lo largo de la avidad es exa tamente igual a 2� on lo que se danlas ondi iones de realimenta i�on positiva. Sin embargo esta situa i�on no nos interesa enabsoluto, ya que lo que se quiere es que el dispositivo emita a una �uni a longitud de onda,es de ir, se bus a un l�aser monomodo y no bimodal.Para solventar el problema se puede modi� ar la estru tura de la perturba i�on intro-du iendo un salto de fase de valor � en z=0. Se puede omprobar (empleando las t�e ni asde simula i�on num�eri a des ritas en el siguiente ap��tulo) que el l�aser representado en la�g. f7.9g emite a una �uni a longitud de onda, tal y omo se muestra en la �g. f7.10g. Nor-malmente el salto de fase que se introdu e dentro del re e tor de Bragg vale �2 (tambi�en ono ido omo salto de fase de �4 ) [34℄{[74℄ ya que se onsigue una pureza espe tral mayor.




−1 0 1

x 10−9

0

50

100

150

200

250

300

−1 0 1

x 10−9

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

Figura 7.10: Coe� iente de re exi�on omplejo (m�odulo a la izquierda y argumento a ladere ha) de una estru tura l�aser de Bragg monomodo ( on un salto de fase igual a �)) on ganan ia igual a la umbral. La urva de m�odulo representadas se orresponden on laganan ia g = 372; 9 m�1. El argumento se ha representado tambi�en para g = 372; 9 m�1.En la urva del argumento se observa laramente un salto de fase igual a � a la longitud deonda de emisi�on. El resto de par�ametros son, en todas las gr�a� as, los mismos: � = 50 m�1,L = 125�m nÆ = 3; 5 y �B = 1; 3�m. Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.Estamos utilizando un modelo demasiado simpli� ado del l�aser de avidad distribuida, porlo que no podemos justi� ar esta a�rma i�on.




z=0z=-L/2 z=L/2Figura 7.11: Estru tura de un l�aser de Bragg monomodo on salto de fase de �2 .−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

x 10−9

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

x 10−9

−18

−17.5

−17

−16.5

−16

−15.5

−15

−14.5

Figura 7.12: Coe� iente de re exi�on omplejo (m�odulo a la izquierda y argumento a ladere ha) de una estru tura l�aser de Bragg monomodo ( on un salto de fase igual a �2 )) on ganan ia igual a la umbral. La urva de m�odulo representadas se orresponden on laganan ia g = 372; 9 m�1. El argumento se ha representado tambi�en para g = 372; 9 m�1.En la urva del argumento se observa laramente un salto de fase igual a � a la longitud deonda de emisi�on. El resto de par�ametros son, en todas las gr�a� as, los mismos: � = 50 m�1,L = 125�m nÆ = 3; 5 y �B = 1; 3�m. Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.7.4. ProblemasProblema 9: Simular el omportamiento de un l�aser de avidad distribuida onun salto de fase de �2 . Las ondi iones de simula iones son las mismasque las del l�aser bimodo y el l�aser monomodo on un salto de fase de �. Lassimula iones deben ha erse utilizando el modelo matri ial expli ado en el siguiente ap��tulo.Solu i�on: Para resolver este problema modi� amos la perturba i�on senoidal del ��ndi e on un salto de fase de valor �2 en z=0. El l�aser resultante se ha representado en la �g.f7.11g. Para simular su omportamiento, ha emos unos �al ulos num�eri os des ritos en elsiguiente ap��tulo que se basan en el formalismo de las matri es de transmisi�on. El dispositivoemite a una �uni a longitud de onda, tal y omo se muestra en la �g. f7.12g. Se observa undesplazamiento de la longitud de emisi�on on respe to a la longitud de onda de Bragg.



Cap��tulo 8Estudio matri ial de las avidadesdistribuidasResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar de nuevo los l�aseres de avidaddistribuida. Esta vez utilizaremos el formalismo de las matri es de s atteringy transmisi�on para dedu ir las propiedades de las avidades resonantes de estosdispositivos. Este formalismo permite, adem�as, abordar el an�alisis de �ltrosmulti apa y �ltros he hos on �bras de difra i�on de Bragg (que se estudiar�anen un ap��tulo posterior). A modo de ejemplo, analizaremos el �ltro de avidadFabry{P�erot. Tambi�en estudiaremos los l�aseres de avidad verti al ya que,aunque no se utilizan en omuni a iones �opti as, tienen ostes de produ i�on muybajos. Estos dispositivos se usan hoy en d��a fundamentalmente en reprodu tores ygrabadores de DVD y quiz�as, en el futuro, se empleen tambi�en en las omuni a io-nes por �bra �opti a. Por �ultimo des ribiremos super� ialmente el fun ionamientode los l�aseres de Bragg (DBR) uya ara ter��sti a distintiva es que son l�aseressintonizables en los que se puede ontrolar tanto la poten ia emitida, omo lalongitud de onda y la fase de la onda ele tromagn�eti a que generan. Estos sonlos l�aseres utilizados en los sistemas DWDM.

145



146 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDASa a

b b

1

1

2

2

S ijPuerto 1 Puerto 2

Figura 8.1: Esquema de una bipuerta des rita por una matriz de s attering.8.1. Introdu i�onEl an�alisis de mu hos dispositivos, tanto �opti os omo de mi roondas, puede abordar-se mediante las llamadas matri es de s attering o matri es de reparto y otras formula ionesequivalentes [24℄{[34℄{[68℄{[107℄. Estas matri es pueden des ribir el fun ionamiento de multi-puertas (dispositivos on m�ultiples puertos de entrada y salida), aunque todos los dispositivosestudiados en este ap��tulo ser�an bipuertas, es de ir, dispositivos de s�olo dos puertas que sevan a denotar por medio de los n�umeros "1" y "2". Las matri es de s attering des riben lasrela iones que impone el omponente (o dispositivo) entre las ondas que salen de la bipuerta(ondas que denotaremos por medio de la letra "b") on respe to a las ondas que entran enella (que se van a denotar on la letra "a"). Estas ondas no son ondas f��si as, en el sentidode que no representan un ampo el�e tri o o magn�eti o. Sus amplitudes son iguales a la ra��z uadrada del ujo de poten ia ( ujo entrante, si se trata de las ondas "a" y saliente si setrata de las ondas "b"), mientras que la fase es igual a la fase de ualquiera de los dos ampos(el�e tri o o magn�eti o). En la �g. f8.1g se ha representado una bipuerta, uyos par�ametrosSij rela ionan las ondas "b" on las ondas "a" de la siguiente manera:" b1b2 # = " S11 S12S21 S22 # " a1a2 # (8.1)A ontinua i�on vamos a dedu ir la expresi�on de las matri es de s attering de losdos pro esos f��si os elementales (re exi�on en una interfaz diel�e tri a y propaga i�on a lolargo de un medio diel�e tri ode longitud �nita), a partir de los que podemos des ribir elfun ionamiento de todos los dispositivos que vamos a estudiar a lo largo de este ap��tulo.



8.2. MATRICES DE SCATTERING ELEMENTALES 147a

b

1

1

n n1 2

L=0

medio infinitode índice n2

medio infinitode índice n1

r

t

r n -nn+n

12

2

t n+n12n

a2

b2

1 21Figura 8.2: Esquema de una bipuerta orrespondiente a una interfaz diel�e tri a.8.2. Matri es de s attering elementalesEmpe emos on la interfaz diel�e tri a, que no es m�as que una regi�on de espesorin�nitesimal (una super� ie plana) en la que se produ e una varia i�on brus a del ��ndi e derefra i�on, que pasa de tomar el valor n1 a la izquierda de esta super� ie, a tomar otrovalor distinto n2 a la dere ha, tal y omo se representa en la �g. f8.2g. Supongamos queex itamos esta estru tura desde el puerto "1" on una onda in idente a1. Para garantizar quelos puertos "1" y "2" no van a introdu ir re exiones adi ionales indeseadas, los "adaptamos",es de ir, los ontinuamos on medios de longitud in�nita uyos ��ndi es toman los valores n1y n2 respe tivamente. De esta manera no se produ en ambios de ��ndi e de refra i�on y nohay re exiones en ninguno de los dos puertos. >Qu�e expresi�on anal��ti a tiene la onda a1?En primer lugar debe apare er omo t�ermino multipli ando la amplitud del ampo el�e tri oin idente EÆ. A ontinua i�on debemos dividir por la ra��z uadrada de la impedan ia delmedio, q2�Æn1 para que el uadrado de la onda represente el ujo de poten ia in idente. Por�ultimo debe apare er el t�ermino que indique que la propaga i�on de la onda se produ e deizquierda a dere ha, e�j�z, es de ir:a1 = EÆpn12�Æ e�j�z (8.2)>Qu�e ondas se produ en omo respuesta ante esta onda in idente a1? En primer lugarapare e una onda transmitida b2 que obtenemos de la siguiente manera: su amplitud E 0Æes el produ to del oe� iente de transmisi�on en ampo t multipli ado por la amplitud del ampo in idente EÆ, E 0Æ = tEÆ. A ontinua i�on debemos dividir por la ra��z uadrada de laimpedan ia del medio, q2�Æn2 para que el uadrado de la onda represente el ujo de poten iatransmitida. Por �ultimo debe apare er el t�ermino que indi a que la propaga i�on de la ondase produ e de izquierda a dere ha, e�j�z 1, es de ir:1No estamos teniendo en uenta que las onstantes de propaga i�on a ambos lados de la interfaz sonligeramente distintas.



148 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDASa

b

1

1

L

medioinfinito deíndice n1

medioinfinito deíndice n1

n1

a

b2

2

Figura 8.3: Esquema de una bipuerta orrespondiente a un medio diel�e tri o de longitud L.b2 = tEÆpn22�Æ e�j�z (8.3)En segundo lugar apare e una onda re ejada b1 que obtenemos de la siguiente forma:su amplitud E 00Æ es el produ to del oe� iente de re exi�on en ampo r multipli ado porla amplitud del ampo in idente EÆ, E 00Æ = rEÆ. A ontinua i�on debemos dividir por la ra��z uadrada de la impedan ia del medio,q2�Æn1 para que el uadrado de la onda represente el ujode poten ia re ejada. Por �ultimo debe apare er el t�ermino que indique que la propaga i�onde la onda se produ e de dere ha a izquierda, ej�z, es de ir:b1 = rEÆpn12�Æ ej�z (8.4)Ahora vamos a omprobar que se umple la onserva i�on del ujo de poten ia, esde ir, omprobemos que a1a�1 = b1b�1 + b2b�2:a1a�1 = E2Æn12�Æb1b�1 + b2b�2 = E2Æ4n21n22�Æ(n1 + n2)2 + E2Æn1(n2 � n1)22�Æ(n1 + n2)2 = E2Æn12�Æ (8.5)Si ensayamos el dispositivo por el puerto "2" llegamos a unos resultados an�alogos ydedu imos que la bipuerta se puede des ribir por medio de la siguiente matriz de s attering:" b1b2 # = " r t1t2 r # " a1a2 # (8.6)



8.2. MATRICES DE SCATTERING ELEMENTALES 149a a

b b

1 2

1 2

n n11 n2 =

L

nr

n1 2

t1

+n2

Ln-r

n2 1

t2

+

t = n + n2n

1

1

12t = n + n

2n2

2

12

r=n - nn + n2

2

1

1Figura 8.4: Cavidad Fabry-P�erot des ompuesta en sus elementos fundamentales.donde: r = n1 � n2n1 + n2t1 = 2n1n1 + n2t2 = 2n2n1 + n2 (8.7)Vamos a estudiar a ontinua i�on la bipuerta (y su matriz de s attering aso iada) orrespondiente a la propaga i�on por un medio diel�e tri o de ��ndi e de refra i�on onstantede valor n1 y de longitud L. De nuevo, nos aseguraremos de que las puertas de entrada ysalida ("1" y "2") no introdu en re exiones indeseadas "adaptando" impedan ias, es de ir, ontinu�andolas on un medio de dimensiones in�nitas uyo ��ndi e de refra i�on sea onstantee igual a n1, tal y omo se muestra en la �g. f8.3g.Si ex itamos el dispositivo por el puerto "1" on una onda in idente de expresi�on:a1 = EÆpn1p2�Æ e�j�z (8.8)resulta que esta onda se propaga sin re exi�on hasta el puerto "2", por lo que se tiene:b1 = 0b2 = EÆpn1p2�Æ e�j�Le�j�z (8.9)De igual forma, si ex itamos el dispositivo por el puerto "2" obtenemos un resultadoan�alogo: no se produ e onda re ejada alguna y la onda sale por el terminal "1" on un desfase



150 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDASA A

B B

1

1

2

2

T ijPuerto de

entrada ( 1 )Puerto desalida ( 2 )

Onda que viaja de izquierda a derecha

Onda que viaja de derecha a izquierdaFigura 8.5: Des rip i�on de bipuertas seg�un el formalismo de las matri es de transmisi�on.igual a e�j�L. Dedu imos que la matriz de s attering que des ribe el omportamiento de estabipuerta es: Sij = " 0 e�j�Le�j�L 0 # (8.10)8.3. Cavidad resonante Fabry-P�erotEn la �g. f8.4g se ha representado una avidad Fabry-P�erot. �Esta puede des ribirse omo la su esi�on de un interfaz diel�e tri a ara terizada por unos oe� ientes de re exi�on ytransmisi�on en ampo r y t1, la propaga i�on a lo largo de un medio de ��ndi e de refra i�on onstante n2 y longitud L y, por �ultimo, otra interfaz diel�e tri a uyos oe� ientes de re exi�ony transmisi�on en ampo son �r y t2. Ahora nos gustar��a en ontrar la matriz de s atteringaso iada a la avidad a partir de las expresiones de las matri es de s attering de adauno de sus elementos. Sin embargo el formalismo de matri es de s attering no est�a bienadaptado para la des rip i�on de un onjunto de omponentes one tados entre s�� en as ada.El formalismo matri ial que se adapta bien a este tipo de problemas es el de las matri es detransmisi�on, en el que se onsideran omo variables independientes las ondas en el puerto desalida y omo variables dependientes las ondas en el puerto de entrada, adem�as se lasi� anlas ondas seg�un se propaguen por el dispositivo de izquierda a dere ha (ondas "A") o dedere ha a izquierda (ondas "B"). Esto se muestra en la �g. f8.5g.Puesto que la matriz de tansferen ia rela iona las ondas a la entrada de la bipuerta(puerto "1") on las ondas a la salida (puerto "2"), resulta que la matriz que representa a un onjunto de elementos olo ados en serie, no es m�as que el produ to ordenado de las matri esque representan a ada uno de estos elementos. Al igual que en el aso de las matri es des attering, se supone que en los puertos de entrada y salida se adaptan impedan ias a la horade medir los oe� ientes de la matriz de transmisi�on. Tambi�en pare e laro que, ono iendo lades rip i�on de una bipuerta mediante la matriz de s attering, podemos determinar la matrizde transmisi�on aso iada y vi eversa 2. Las expresiones que rela ionan estas dos des rip iones2Siempre que ambas sean no singulares.



8.3. CAVIDAD RESONANTE FABRY-P�EROT 151son: Sij = 1T11 " T21 det(T )1 �T12 #Tij = 1S21 " 1 �S22S11 �det(S) # (8.11)Teniendo en uenta estas rela iones, podemos es ribir:T (1)ij = 2666664 1t1 rt1rt1 1t1

3777775 T (2)ij = " ej�L 00 ej�L # T (3)ij = 2666664 1t2 �rt2�rt2 1t23777775 9>>>>>=>>>>>;)

T (1)ij T (2)ij T (3)ij = 2666664 ej�L � r2e�j�Lt1t2 �rej�L + re�j�Lt1t2rej�L � re�j�Lt1t2 ej�L � r2e�j�Lt1t23777775 (8.12)

Si ahora tenemos en uenta (8.11), resulta que la matriz de s attering aso iada a estamatriz de transmisi�on es:Sij = 2666664 r � rt1t2e�2j�L1� r2e�2j�L t1t2e�j�L1� r2e�2j�Lt1t2e�j�L1� r2e�2j�L r � rt1t2e�2j�L1� r2e�2j�L

3777775 (8.13)Hasta ahora hemos dado por supuesto que la avidad es pasiva, es de ir, que � 2R. Consideremos, por un instante, que la avidad es a tiva, es de ir, que � 0 = � + j �2 ytratemos de ver u�al es la ondi i�on de os ila i�on del l�aser de avidad Fabry{P�erot resultante.Evidentemente, para que este dispositivo emita luz sin ne esidad de que haya luz in idente,es ne esario que los elementos de la matriz Sij tengan un polo, para lo ual es ne esario ysu� iente que: 1� r2e�2j�0L = 0 de donde dedu imos el siguiente par de rela iones (que sonlas ondi iones de os ila i�on de un l�aser de avidad Fabry-P�erot, que ya hab��amos dedu idoen el ap��tulo orrespondiente): �2 = 12LLn( 1jrj2 )�p = 2Ln2p (8.14)



152 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDASVolvamos al aso de una avidad sin ganan ia ( avidad fr��a). En este aso lo quetenemos es un �ltro de avidad Fabry{P�erot. Para analizar las ara ter��sti as de este �l-tro, vamos a representar los n�umeros omplejos omplejos S11 y S12, dando sus m�oduloselevados al uadrado y sus argumentos frente a la fre uen ia de la radia i�on in idente, yparametriz�andolos on respe to a distintos oe� ientes de re exi�on en ampo r de la inter-faz diel�e tri a. Este resultado lo utilizaremos en el ap��tulo dedi ado a los �ltros �opti os y,m�as espe �� amente, uando estudiemos los �ltros sintonizables en transmisi�on. En la �g.f8.6g se representan los oe� iente de re exi�on y transmisi�on omplejos (R = jS11j2, 6 S11)y (T = jS12j2, 6 S12) frente a f�fÆFSR , donde fÆ es la fre uen ia entral de trabajo (que ha deser un m�ultiplo entero de FSR) y FSR es el denominado "rango espe tral libre", uyo valorviene dado por FSR := Æ2n2L .Si de�nimos el oe� iente de re exi�on en poten ia de la interfaz diel�e tri a omoR = jrj2, tendremos que la fun i�on de transferen ia del �ltro en transmisi�on viene de�nidapor [104℄: T (f) := jS21j2 = (1�R)2(1�R)2 + 4R sin2( �fFSR) FSR := Æ2n2L (8.15)

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−3 −2 −1 0 1 2 3−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−3 −2 −1 0 1 2 3−26

−24

−22

−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

Figura 8.6: Coe� iente de re exi�on (izquierda) y transmisi�on (dere ha) omplejos (m�oduloarriba y argumento abajo) de una avidad Fabry{P�erot de L = 300�m, r1 = 0; 4 (trazodis ontinuo) y r2 = 0; 87 (trazo ontinuo). Simula i�on realizada por Alejandro CarballarRin �on.



8.4. REFLECTORES DISTRIBUIDOS 153Es inmediato omprobar que el oe� iente de transmisi�on se ha e m�aximo, T (f) =Tmax = 1, para las fre uen ias que son m�ultiplos enteros del rango espe tral libre, f =k � FSR on k = 1; 2; 3:::, mientras que es m��nimo, T (f) = Tmin = (1�R1+R)2, para lasfre uen ias que son m�ultiplos semienteros del rango espe tral libre, f = k2 � FSR onk = 1; 3; 5:::. Vemos, pues, que la avidad resonante Fabry{P�erot se omporta omo un�ltro paso de banda en transmisi�on peri�odi o en fre uen ia, siendo la an hura del periodofundamental igual al rango espe tral libre. Tambi�en se puede omprobar que el an ho debanda del �ltro, entendido omo el intervalo de fre uen ias para el que T (f) � 12 , es:FWHM := Æ�n2L sin�1(1� R2pR ) (8.16)Las avidades resonantes pasivas Fabry{P�erot se utilizan mu ho en omuni a iones�opti as omo �ltros paso{banda sintonizables en transmisi�on, fundamentalmente en sistemasdensos de multiplexa i�on en longitud de onda (DWDM).8.4. Re e tores distribuidos.

... ...

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Región activa

Luz láser

L1L2

n1

n1

n1

n1

n1

n1

n1

n1

n2

n2

n2

n2

n2

n2

n2

n2

n2

Figura 8.7: L�aser de avidad verti al (VCSEL).Existen distintos tipos de l�aseres semi ondu tores de re e tores distribuidos. Vamosa onsiderar primero el denominado l�aser de avidad verti al o VCSEL [8℄ que, aunqueno se utiliza mu ho en omuni a iones �opti as (est�an empezando a emplearse en algunosenla es de primera ventana [58℄), tiene un prin ipio de fun ionamiento f�a il de entender.



154 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDAS

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

Figura 8.8: Coe� iente de re exi�on omplejo (m�odulo a la izquierda y argumento a la dere ha)de la avidad distribuida de un VCSEL de 8 (trazo ontinuo), 20 (trazo dis ontinuo) y 80 apas (trazo punteado). La variable independiente es ÆLg� . Simula i�on realizada por AlejandroCarballar Rin �on.Su estru tura se muestra en la �g. f8.7g. En este tipo de l�aser se ha sustituido uno de losespejos de la avidad Fabry{P�erot por un onjunto de apas de material diel�e tri o uyasan huras e ��ndi es de refra i�on toman, alternativamente, dos valores distintos. Si el n�umerode apas es su� ientemente grande, el oe� iente de re exi�on de la estru tura es muy altoen un entorno estre ho de longitudes de onda entrado alrededor la denominada "longitudde onda de Bragg".Queremos determinar la matriz de transmisi�on del re e tor distribuido. Para ello nos�jamos en el periodo elemental que se repite a lo largo de la estru tura: est�a formado poruna apa de diel�e tri o de espesor L2 e ��ndi e de refra i�on n2 seguido de otra apa, tambi�ende material diel�e tri o, de espesor L1 e ��ndi e de refra i�on n1. Debemos hallar la matriz detransmisi�on de esta estru tura, elevarla a la en�esima poten ia (el re e tor est�a ompuesto porun n�umero n de estas estru tura) y determinar, as��, la matriz de transmisi�on del onjunto.Vemos que lo primero que en ontramos es una interfaz diel�e tri a aso iada al ambio de��ndi edel valor n1 al valor n2, a ontinua i�on nos en ontramos on un fen�omeno de propaga i�ona lo largo de un medio de longitud L2 e ��ndi e n2, luego otra interfaz diel�e tri a en la queel ambio de ��ndi e es desde el valor n2 al valor n1 y, por �ultimo, otra propaga i�on a lolargo un medio de longitud L1 e ��ndi e n1. Para redu ir el n�umero de par�ametros de los quedepende el problema (para ha er la simula i�on num�eri a no es ne esaria esta aproxima i�on),vamos a suponer que los aminos �opti os aso iados a las dos propaga iones son iguales:Lopt = n1L1 = n2L2 ' n1+n22 L1+L22 � n�2 . La pen�ultima igualdad es aproximadamente v�alidasi los ��ndi es son muy pare idos entre s��, lo ual es siempre ierto (se onsiguen re e tividadesgrandes apilando mu has apas su esivas, no porque la re e tividad de una interfaz sea alta).Las matri es aso iadas son:T (1)ij = 2666664 1t1 rt1rt1 1t1

3777775T (2)ij = " ej��n�2 00 e�j��n�2 #T (3)ij = 2666664 1t2 �rt2�rt2 1t23777775T (4)ij = " ej��n�2 00 e�j��n�2 #



8.4. REFLECTORES DISTRIBUIDOS 155T (1)ij T (2)ij T (3)ij T (4)ij = 2666664 ej��n� � r2t1t2 �rej��n� + rt1t2r � re�j��n�t1t2 e�j��n� � r2t1t2

3777775 (8.17)En las expresiones anteriores tenemos que � = L1 + L2, n = n1+n22 , r = abs(n1�n2n1+n2 ),t1 = 2n1n1+n2 , t2 = 2n2n1+n2 y �� = 2�� . Por supuesto, � representa la longitud de onda de laluz en el va ��o. Las opera iones matri iales hay que realizarlas num�eri amente utilizando unprograma de �al ulo num�eri o, omo, por ejemplo, MATLAB. En el aso de que el oe� ientede re exi�on resultante sea inferior a 0.15 se pueden despre iar las re exiones internas dentrode la estru tura y se puede demostrar que el m�odulo del oe� iente de re exi�on est�a des rito,aproximadamente, por la siguiente expresi�on [60℄:jS11j ' 2mr sin(ÆLg)ÆLgLg := m�; Æ := 2�� n� �� (8.18)

1

193

x

191

1,2

0,4

0,6

0,8

194192190

0,2Figura 8.9: Curvas de ganan ia y p�erdida en un l�aser de avidad distribuida. La l��nea ho-rizontal representa la urva de p�erdidas de un l�aser de avidad Fabry{P�erot. La letra xrepresenta la fre uen ia en THz.Donde m representa el n�umero de periodos de la red y 2mr el oe� iente de re exi�onm�aximo de la estru tura (suponiendo que sea inferior a 0.15). En la �g. f8.8g se muestrael oe� iente de re exi�on simulado en MATLAB para 2mr = 0;4, 2mr = 1 y 2mr = 4(para los uales la aproxima i�on anterior no es v�alida). Las ondi iones de simula i�on son� = 221; 4nm, n1 = 3; 675 y n2 = 3; 5. Observamos que a medida que mr va re iendo el



156 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDAS oe� iente de re exi�on de la estru tura toma un valor ada vez m�as er ano a la unidadpara un intervalo de longitudes de onda ada vez mayor, mientras que en la ara ter��sti a defase omprobamos que �esta va ha i�endose ada vez m�as no lineal. La ondi i�on de re exi�onm�axima se produ e, evidentemente, a la longitud de onda �B = 2n� que re ibe el nombrede longitud de onda de Bragg. Dejamos omo ejer i io para el le tor el omprobar que a estalongitud de onda todas las re exiones par iales se suman en fase.8.5. P�erdidas en un l�aser de avidad distribuidaControl ganancia Control fase Control longitud de onda

Figura 8.10: Se iones longitudinales de un DFB (arriba) y un DBR (abajo).Los l�aseres de avidad distribuida [8℄{[56℄{[58℄{[74℄ que sistem�ati amente se empleanen omuni a iones �opti as son el DFB (que emite a una longitud de onda �ja) y el DBR (queemite a una longitud de onda programable dentro de un ierto rango). Ambos son l�aseres queemiten en un �uni o modo longitudinal y por tanto son mu ho m�as mono rom�ati os que el de avidad Fabry{P�erot (que emiten poten ia en varios modos longitudinales). Esto podemosentenderlo intuitivamente observando la �g. f8.9g. Vemos que la urva de p�erdidas de una avidad distribuida puede ser tangente a la urva de ganan ia en un �uni o punto on m�asfa ilidad que la urva de p�erdidas de una avidad Fabry{P�erot, ya que �esta es una re tahorizontal.Las avidades resonantes de los l�aseres DFB y DBR son radi almente distintas a lade los l�aseres VCSEL. En ellas se produ e una varia i�on longitudinal del ��ndi e efe tivo que,re ordemos, se de�ne omo �kÆ , donde � es la onstante de propaga i�on del modo guiado.Las varia iones senoidales del espesor de la apa semi ondu tora rayada de la �g. f8.10g,provo an una varia i�on senoidal del ��ndi e efe tivo a lo largo de la estru tura del l�aser.



8.5. P�ERDIDAS EN UN L�ASER DE CAVIDAD DISTRIBUIDA 157Estas perturba iones senoidales son mu ho m�as peque~nas que las del VCSEL (donde la luzatraviesa materiales de��ndi es distintos) pero aumentando el n�umero de periodos se onsigueque el re e tor distribuido tenga una re e tividad alta.En el DFB normalmente 3 s�olo se puede ontrolar un par�ametro, la poten ia �opti a,regulando la orriente el�e tri a que inye tamos en la regi�on a tiva. En el DBR se pueden, sinembargo, ontrolar tres par�ametros de fun ionamiento distintos [8℄{[56℄: la poten ia �opti a,la fre uen ia de emisi�on (dentro de un determinado rango, laro est�a) y, por �ultimo, la fase del ampo ele tromagn�eti o emitido. La poten ia se ontrola regulando la orriente que se inye taen la regi�on a tiva, la longitud de onda se puede modi� ar en un rango amplio inye tandouna orriente en la zona orrespondiente al re e tor distribuido. De esta manera se produ euna varia i�on en la on entra i�on de portadores que modi� a el ��ndi e de refra i�on medio deesta zona. Este ambio de ��ndi e produ e una varia i�on en la longitud de onda de Bragg delre e tor distribuido. Por �ultimo, la fase puede ontrolarse tambi�en inye tando una orrienteajustable en la ter era regi�on del DBR ( ambiando, as��, el ��ndi e del medio). Una se i�onlongitudinal de un DFB bimodal y un DBR se muestra en la �g. f8.10g.

3Existen DFBs uyas estru turas son distintas a las vistas hasta ahora, en los que se puede modi� arligeramente por efe to t�ermi o la longitud de onda de emisi�on.



158 CAP�ITULO 8. ESTUDIO MATRICIAL DE LAS CAVIDADES DISTRIBUIDAS

−4 −3.9 −3.8 −3.7 −3.6 −3.5 −3.4 −3.3 −3.2 −3.1 −3

x 10−9

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

−4 −3.9 −3.8 −3.7 −3.6 −3.5 −3.4 −3.3 −3.2 −3.1 −3

x 10−9

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 8.11: Coe� iente de transmisi�on omplejo del DBR (m�odulo elevado al uadrado ala izquierda y fase a la dere ha). La longitud de onda de emisi�on es 1296; 3nm. La variableindependiente es �� lambdaB . Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.8.6. ProblemasProblema 10: Simular el omportamiento de un l�aser DBR utilizando el forma-lismo de las matri es de transmisi�on. Sustituya la perturba i�on senoidal del re e torde Bragg por una uadrada uyo primer arm�oni o oin ida on la amplitud de laperturba i�on senoidal. Suponga que s�olo hay ganan ia en la zona de la avidaddonde el ��ndi e medio es onstante. La longitud de onda de Bragg es �B = 1300nm,el ��ndi e de refra i�on medio vale nÆ = 3;5, la amplitud de la perturba i�on senoidaln1 = 0;0021, � = 185; 714nm y la longitud del re e tor es L2 = 125�m. La longitudde la zona del ��ndi e sin perturba i�on senoidal es L1 = 125�m, la ganan ia de laregi�on a tiva n2 = 0;00345 y el oe� iente de re exi�on del espejo: R = 31%.Solu i�on: La forma de resolver este problema es al ular el oe� iente de transmisi�onde esta estru tura, que est�a onstituida por una interfase de oe� iente de re exi�on R=31%(aunque se podr��a haber dado un tratamiento a esta super� ie, de forma que el oe� ientede re exi�on en poten ia fuese pr�oximo a la unidad), una regi�on diel�e tri a de longitud L =125�m e ��ndi e n = 3; 5 � j0; 00345 (la parte imaginaria representa la ganan ia del medioa tivo, que se ha he ho igual a la ganan ia umbral del l�aser) y, por �ultimo, de un re e tor deBragg de longitud 125�m de ��ndi e n = 3; 5 + 0; 0021 sin(2�� z). Por tanto podemos al ularla matriz de transmisi�on del onjunto y determinar el oe� iente de transmisi�on o re exi�onaso iado. La ganan ia del medio se ha tomado igual al valor umbral, de manera que el oe� iente de re exi�on (o el de transmisi�on) se ha e in�nito a una determinada longitud deonda. Esa es, pre isamente, la longitud de onda de emisi�on del l�aser.En la f8.11g hemos representado el oe� iente de transmisi�on omplejo del DBR (ala izquierda hemos representado el modulo elevado al uadrado y a la dere ha la fase). Lalongitud de onda nominal de emisi�on del DBR es 3; 7nm inferior a la longitud de onda deBragg, aunque no hemos onsiderando inye i�on de orriente alguna en la zona del re e tor(no hemos simulado este efe to que podr��a ambiar la longitud de onda de emisi�on del l�aser).



Cap��tulo 9An hura espe tral de un l�asermonomodoResumen: En este ap��tulo vamos a determinar la an hura espe tral de emi-si�on de un l�aser monomodo en ondi iones esta ionarias, es de ir, emitiendouna poten ia onstante. Veremos que la emisi�on espont�anea es la responsablede que, in luso en estas ondi iones, se produz an u tua iones aleatorias enla fase del ampo ele tromagn�eti o emitido por el dispositivo, lo que provo aun ensan hamiento del espe tro emitido. Para redu irlo se puede aumentar lapoten ia de emisi�on, ya que el produ to poten ia emitida multipli ada por laan hura espe tral es igual a una onstante. Los l�aseres a semi ondu tor sonintr��nse amente m�as ruidosos que los de niveles dis retos, ya que en �estos seprodu e un a oplamiento entre los ruidos de amplitud y fase aso iados a la emi-si�on espont�anea. Por este motivo estudiaremos primero el aso m�as simple de unl�aser de niveles dis retos para, despu�es, in luir los fen�omenos de a oplamientode las dos omponentes de ruido y dedu ir las ara ter��sti as espe tralesde los l�aseres semi ondu tores.

159



160 CAP�ITULO 9. ANCHURA ESPECTRAL DE UN L�ASER MONOMODO9.1. Introdu i�onNuestro objetivo es analizar el espe tro de emisi�on de un l�aser monomodo semi on-du tor bajo ondi iones de r�egimen permanente (es de ir, emitiendo una poten ia �opti a onstante). Puesto que este estudio es bastante ompli ado, preferimos determinar primeroel espe tro de emisi�on de un l�aser de niveles dis retos y generalizar, despu�es, el resultadopara el aso de un l�aser semi ondu tor. En ualquier aso, la raz�on �ultima por la que unl�aser monomodo ualquiera no emite un ampo ele tromagn�eti o ompletamente senoidal(en uyo aso su densidad espe tral de poten ia ser��a una delta de Dira ) es que en la a-vidad resonante hay fotones generados por emisi�on espont�anea que produ en u tua ionesaleatorias en la amplitud y la fase del ampo ele tromagn�eti o emitido por el l�aser. Estas u tua iones produ en, inevitablemente, un ensan hamiento espe tral de la luz generada porel dispositivo.Un an�alisis riguroso de ualquier fen�omeno rela ionado on la emisi�on espont�aneaobliga a uanti� ar la radia i�on ele tromagn�eti a. Para evitar esto y limitarnos a un an�alisissemi l�asi o del problema, vamos a introdu ir un postulado (que, evidentemente, es inde-mostrable) on erniente a la emisi�on espont�anea: el efe to de la emisi�on espont�anea en un onjunto de �atomos que ampli� an radia i�on ele tromagn�eti a se redu e a a~nadir a los foto-nes de esta radia i�on nsp fotones in orrelados por modo [92℄. El t�ermino nsp se ono e on elnombre oe� iente de emisi�on espont�anea en ex eso y, para los l�aseres de niveles dis retos,tiene la expresi�on nsp = N2N2�N1 . Si el medio ampli� ador es un semi ondu tor, enton es el oe� iente de emisi�on espont�anea en ex eso viene dado por nsp ' 11�e�F �Fv�EgkT .En los siguientes apartados (salvo el �ultimo) vamos a ir des ribiendo, su esivamente,los distintos t�erminos que introdu en o sa an fotones de la avidad resonante de un l�aserde niveles dis retos. En el segundo apartado, estudiaremos una avidad fr��a en la que �uni- amente salen fotones por p�erdidas aso iadas a las re exiones par iales en los espejos y als attering Rayleigh. Comprobaremos que la densidad espe tral de energ��a de la luz emitidaes inversamente propor ional al tiempo medio de permanen ia del fot�on en la avidad. En elter ero, tendremos en uenta, adem�as, la ganan ia �opti a del medio pero no los fotones gene-rados por emisi�on espont�anea. En estas ondi iones (imposibles de onseguir en la pr�a ti a)el tiempo medio de vida del fot�on se ha e in�nito, ya que la ganan ia del medio (emisi�onestimulada menos absor i�on) repone los fotones que se pierden. En estas ondi iones (queson irrealizables), la densidad espe tral de poten ia de la luz generada por el l�aser vendr��adada por una delta de Dira . En uarto apartado in luiremos, tambi�en, el t�ermino de emisi�onespont�anea y dedu iremos la expresi�on real de la an hura espe tral de emisi�on de un l�asermonomodo de niveles dis retos. Por �ultimo, estudiaremos el a oplamiento entre los ruidosde amplitud y fase que se produ e en los l�aseres semi ondu tores y veremos que el espe trode emisi�on es onsiderablemente m�as an ho que el de un l�aser de niveles dis retos.9.2. Cavidad fr��aConsideremos la avidad resonante de un l�aser en el que s�ubitamente interrumpimosel bombeo, de manera que solamente tenemos p�erdidas, tal y omo se muestra en la �g.



9.2. CAVIDAD FR�IA 161

Lm

P (0)+ P (L)+

P (L)-P (2L)

- Figura 9.1: Cavidad fr��a.f9.1g. La evolu i�on del n�umero de fotones en la avidad, viene dada por:P+(0) = PÆP+(L) = PÆe��s LP�(2L) = RPÆe��s LP�(2L) = RPÆe��s 2LP+(2L) = R2PÆe��s 2L (9.1)Ahora vamos a distribuir las p�erdidas lo alizadas en los espejos a lo largo de toda la avidad, para lo que de�nimos un oe� iente de p�erdidas por unidad de longitud aso iado alas re exiones par iales en �estos. De�niendo �esp := 12LLn( 1R2 ) nos queda:P+(2L) = PÆe�(�s +�esp)2L ) P (x) = PÆe�(�s +�esp)x ) dPdx !per = dPdx dxdt = �2(�s + �esp)P Æn = �P�p (9.2)donde la onstante de tiempo de p�erdidas de la avidad fr��a (p�erdidas que no est�anrela ionadas on la atenua i�on del medio a tivo) viene dada por: �p := n2 Æ(�s +�esp) y donde�esp := 12LLn( 1R2 ). El signi� ado f��si o de �p es evidente: es el tiempo que, en promedio, tardaen salir un fot�on de la avidad por alguno de los dos me anismos men ionados, que son obien una re exi�on par ial en uno de los espejos o bien un pro eso de s attering Rayleigh.Si ahora integramos la e ua i�on diferen ial dPdt = � P�p queda: P (t) = PÆe� P�p . A partirde esta expresi�on (evolu i�on temporal de la poten ia �opti a presente en la avidad del l�aser)podemos al ular f�a ilmente la evolu i�on temporal del ampo el�e tri o:E(t) = EÆe� t2�p ej!Æt ) E(!) = EÆ12�p + j(! � !Æ) (9.3)



162 CAP�ITULO 9. ANCHURA ESPECTRAL DE UN L�ASER MONOMODOLa densidad espe tral de energ��a no normalizada viene dada por:S(!) = E�(!)E(!) = E2Æ14�2p + (! � !Æ)2 (9.4)Para expresar esta densidad espe tral de energ��a en forma normalizada, imponemosque el �area de�nida por la fun i�on Snor(!) y el eje ! sea igual a 1.Z 1�1 S(!)d! = Z 1�1 E2Æ14�2p + (! � !Æ)2d! = Z 1�1 E2Æ4� 2p1 + [2�p(! � !Æ)℄2d! (9.5)Si ahora de�nimos x = 2�p(! � !Æ) y sustituimos en (9.5) nos queda:Z 1�1 S(!)d! = E2Æ2�p Z 1�1 dx1 + x2 = �E2Æ2�p ) Snor(!) = S(!)�E2Æ2�p = 2��!1 + (! � !Æ�!=2 )2 (9.6)Donde �! = 1�p es la an hura espe tral de la energ��a del ampo emitida por la avidadfr��a. Vemos que uanto mayor es el tiempo medio de permanen ia de un fot�on en la avidad�p, menor es la an hura espe tral �! de emisi�on y vi eversa.9.3. Cavidad aliente sin emisi�on espont�aneaAhora introdu imos el t�ermino de ganan ia en la e ua i�on de balan e del n�umerode fotones que hay en la avidad (para simpli� ar la nota i�on introdu imos el fa tor de on�namiento en la de�ni i�on de �g):dPdt = P�g � P�p = P�g�p�p � �g (9.7)En ondi iones esta ionarias todas las derivadas temporales son nulas. Como estamossuponiendo que el l�aser emite luz, resulta que P 6= 0 por lo que se umple que �p = �g y, portanto, el tiempo medio de permanen ia de un fot�on en la avidad resulta ser in�nito on loque la densidad espe tral de poten ia de la radia i�on emitida es:S(!) = E2ÆÆ(! � !Æ)) Snor(!) = Æ(! � !Æ) (9.8)



9.4. CAVIDAD CALIENTE CON EMISI �ON ESPONT�ANEA 163Im( )

Re( )

.

..

. ..

.

..

..

..

..

...

. ..

...

. .

..

.

.

.

.

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..

.

. .

.

..

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

..

.

)

Figura 9.2: Campo ele tromagn�eti o dentro de la avidad.9.4. Cavidad aliente on emisi�on espont�aneaSi ahora in luimos el t�ermino de emisi�on espont�anea, la e ua i�on de balan e deln�umero de fotones que hay dentro de la avidad resonante es:dPdt = P�g � P�p +R (9.9)donde R es el n�umero de fotones espont�aneos que, por unidad de tiempo, se a~nadena los generados por los pro esos estimulados (emisi�on estimuladas menos absor i�on). Estosfotones pertene en al mismo modo espa ial y temporal que los estimulados, pero no tienenpor qu�e estar en fase on la radia i�on que se est�a ampli� ando (de he ho se suman on undesfase arbitrario). Si imponemos ondi iones de r�egimen permanente resulta:0 = P�g � P�p +R) 1�p � 1�g = RP ) �eq = �p�p�p + �g = PR (9.10)Vemos que ahora el tiempo medio de permanen ia de un fot�on dentro de la avidades �nito e igual al o iente entre el n�umero de fotones que hay en la avidad resonante, P ,y la tasa de emisi�on espont�anea, R. Si la tasa de emisi�on espont�anea fuese nula, de nuevotendr��amos un tiempo in�nito de permanen ia dentro de la avidad. Vemos, pues, que elmotivo por el que el l�aser tiene una an hura espe tral de emisi�on no nula es, pre isamente,la existen ia de fotones que, generados por emisi�on espont�anea, se suman a los produ idopor fen�omenos estimulados. En la �g. f9.2g se ha representado el ampo ele tromagn�eti odentro de la avidad del l�aser (hemos eliminado, laro est�a, el t�ermino de pulsa i�on ej!Æt).



164 CAP�ITULO 9. ANCHURA ESPECTRAL DE UN L�ASER MONOMODOI

Q

1

Re( )

Im( )

Figura 9.3: Varia i�on de fase del ampo ele tromagn�eti o omo onse uen ia de que se sumaun fot�on generado por emisi�on espont�anea.Se observa que tanto la amplitud pP omo la fase ' van variando on el tiempo omo onse uen ia de los fotones a~nadidos por emisi�on espont�anea. Estos fotones tiene una fasetotalmente in orrelada on la fase del ampo ele tromagn�eti o que hay en la avidad ', deah�� que se produz an varia iones tanto de amplitud omo de fase. Las u tua iones de faseson las que provo an un mayor ensan hamiento espe tral del l�aser y van a ser las �uni as quevamos a onsiderar en lo que sigue.En la �g. f9.3g hemos representado el ambio sufrido por el fasor ampo el�e tri o uando se a~nade un fot�on pro edente de la emisi�on espont�anea. La omponente en fase (I)produ e un ambio de la amplitud del ampo el�e tri o uya in uen ia en el espe tro de emi-si�on del l�aser podemos onsiderar despre iable. Sin embargo, la omponente en uadratura(Q) produ e una varia i�on de fase que es la prin ipal responsable del espe tro de emisi�ondel l�aser. Como la fase del fot�on agregado por emisi�on espont�anea puede ser ualquiera, estosigni� a que � es una variable aleatoria on distribu i�on uniforme en el intervalo (0; 2�), esde ir, � � U(0; 2�), on lo que podemos es ribir:tg(�') = sin(�)pP (9.11) omo '� 1 tenemos que �' ' sin(�)pP y resulta:



9.4. CAVIDAD CALIENTE CON EMISI �ON ESPONT�ANEA 165< �' >= 12� Z 2�0 sin(�)pP d� = 0< �'2 >= 12� Z 2�0 sin2(�)pP d� = 12� Z 2�0 1� os(2�)2P d� = 12P (9.12)En realidad tenemos una tasa R de fotones generados por unidad de tiempo, de formaque la varia i�on de fase �' por unidad de tiempo tiene omo estad��sti os prin ipales:< �' >= 0< �'2 >= R2P (9.13)Pero, >qu�e valor toma R? Vimos en la introdu i�on de este ap��tulo que para teneren uenta los fen�omenos de emisi�on espont�anea hab��a que tratarla omo si fuese emisi�onestimulada, sustituyendo los P fotones que se tienen en la avidad (generados por pro esosestimulados, esto es, por emisi�on estimulada menos absor i�on) por nsp fotones produ idospor emisi�on espont�anea. Dado que el n�umero de fotones produ idos por unidad de tiempopor fen�omenos estimulados es P�g ' P�p dedu imos que R ' nsp�p (n�umero de fotones generadospor unidad de tiempo por pro esos espont�aneos) quedando:< �' >= 0< �'2 >= nsp2P�p 9=;) < �'(�) >= 0< �'2(�) >= nsp�2P�p 9=; (9.14)Dado que el ampo el�e tri o que hay dentro de la avidad es una se~nal aleatoria, para al ular el espe tro de �esta tenemos que al ular su fun i�on de auto orrela i�on y, una vezobtenida, al ular su transformada de Fourier (teorema de Wiener{Kint hine [85℄{[104℄).E(t) = EÆej[!Æt+�(t)℄ )< E�(t)E(t + �) >= E2Æej!Æ� < ej[�(t+�)��(�)℄ > (9.15)Ahora, sabiendo que �'(�) se distribuye omo una variable aleatoria gaussiana demedia 0 y desvia i�on t��pi a p< �'2 >, es de ir, �' � N(0;q nsp��p2P ), se puede demostrar deforma rigurosa que la fun i�on de auto orrela i�on viene dada por (9.16). El desarrollo que semuestra a ontinua i�on no es m�as que una regla mnemot�e ni a para re ordar el resultado:RE(�) :=< E�(t)E(t+ �) >= E2Æej!Æ� < ej[�(t+�)��(�)℄ >== E2Æej!Æ� < [1 + j(�'(�)� 12�'2(�) + :::℄ >== E2Æej!Æ� [1 + j < �(�) > �12 < �'2(�) > +:::℄ == E2Æej!Æ� [1� 12 < �'2(�) > +:::℄ = E2Æej!Æ�e� 12<�'2(�)> (9.16)

Si ahora de�nimos �!l := nsp�p2P nos queda:



166 CAP�ITULO 9. ANCHURA ESPECTRAL DE UN L�ASER MONOMODOP número de fotones en la cavidad

P/2 la mitad va hacia la derecha

velocidad de los fotones

P/2 c /no g

energía de un fotón

potencia x longitud

E pérdidas por unidad de l. del espejo

W=

Potencia óptica que sale del espejo

cavidad resonante

c /no gP/2 E

c /no g

Figura 9.4: Rela i�on entre la poten ia �opti a emitida por el l�aser y el n�umero de fotones quehay en la avidad. RE(�) = E2Æe� 12�!l�ej!Æ��!l := nsp�p2P (9.17)Por tanto, teniendo en uenta que una desvia i�on t��pi a es siempre una antidadpositiva, el espe tro de emisi�on normalizado del l�aser viene dado por:Enor(!) = SE(!)E2Æ := 1E2Æ Z 1�1RE(�)e�j!�d� = 2��!l1 + ! � !Æ�!l=2 !2�!l := nsp�p2P9>>>>>>>>=>>>>>>>>; (9.18)

Sin embargo esta expresi�on de la an hura espe tral, �!l = nsp�p2P , no es f�a il de inter-pretar ya que P representa el n�umero de fotones que hay dentro de la avidad. Nos gustar��arela ionar P on W , la poten ia �opti a emitida por el l�aser, que es la variable f��si a aso iadaa P que se puede medir on fa ilidad. Si observamos la �g. f9.4g, resulta laro que podemoses ribir: W = P2 Æng �h!�E�p = ng Æ(�s + �E) 9>>=>>;) �!l = nsp�p2P = nsp�h!�E(�E + �s ) 2Æ4Wn2g (9.19)



9.5. LASER SEMICONDUCTOR 167I

Q

1

Re( )

Im( )

1

2

cos( )

sin( )

cos( )

Figura 9.5: Varia i�on de fase del ampo ele tromagn�eti o omo onse uen ia de que se sumaun fot�on generado por emisi�on espont�anea y el a oplamiento entre el ruido de amplitud y elruido de fase.que es la famosa rela i�on de S hawlow y Townes [91℄.Si ahora tomamos valores t��pi os para nsp, �E y �s nos queda un valor �!lW '2��5MHz�mW resultado que est�a de a uerdo on las medidas experimentales del espe trode emisi�on de un l�aser de niveles dis retos. Sin embargo en un DFB o un DBR los valoresexperimentales t��pi os son �!lW ' 2� � 100MHz �mW . Esto quiere de ir que hay alg�unfen�omeno f��si o importante en los l�aseres a semi ondu tor que no hemos tenido en uenta[51℄.9.5. Laser semi ondu torEl ��ndi e de refra i�on de un medio material es una magnitud ompleja, n = nR�jnI ,donde la parte real nR afe ta al desfase que sufre la onda ele tromagn�eti a que se propagapor el medio (la onstante de propaga i�on en un medio diel�e tri o es �(!) = kÆnR), mientrasque la parte imaginaria nI es la responsable de la atenua i�on (o de la ampli� a i�on) que sufreel m�odulo (re ordemos que el oe� iente de atenua i�on de un medio diel�e tri o es �2 = kÆnI).A la parte imaginaria le hemos asignado un signo negativo porque estamos estudiando unl�aser y, por tanto, el medio material tiene ganan ia, no atenua i�on. La parte real e imaginaria



168 CAP�ITULO 9. ANCHURA ESPECTRAL DE UN L�ASER MONOMODOdel ��ndi e de refra i�on no pueden variar independientemente, ya que derivan de una mismafun i�on anal��ti a ompleja, �(!). Re ordemos que las rela iones integrales que ligan nR y nIse ono en on el nombre de rela iones de Kramers{Kronig. Una aproxima i�on grosera deesta rela i�on (v�alida para un an ho de banda espe tral peque~no) es �nR�nI = a, donde �nRy �nI son las varia iones de la parte real e imaginaria del ��ndi e de refra i�on produ idaspor la emisi�on espont�anea y a es una onstante positiva que re ibe el nombre de fa torde ensan hamiento espe tral en ex eso 1 [51℄. Veamos que onse uen ias se derivan de estarela i�on:jEj = EÆe�nI!Æz Æ' = !Æ �t� �nRz Æ � 9>>>>>>=>>>>>>;) 1jEj djEjdz = �nI!Æ Æd'dz = ��nR!Æ Æ9>>>>>=>>>>>;) d'djEjjEj = ��nR�nI = �a (9.20)

Esta e ua i�on nos di e que las varia iones unitarias del m�odulo del ampo el�e tri- o produ en, adem�as, una varia i�on de fase de valor d' = �adjEjjEj . En la �g. f9.5g se harepresentado la varia i�on total de la fase produ ida por un fot�on generado por emisi�on es-pont�anea, teniendo en uenta el fen�omeno de a oplamiento entre el ruido de amplitud y elde fase. A partir de este resultado, y razonando de la misma manera que en el apartadoanterior tenemos: tg(�') = sin(�)� a os(�)pP (9.21)Como '� 1 tenemos que �' ' sin(�)�� os(�)pP on lo que podemos es ribir:< �' >= 12� Z 2�0 sin(�)� a os(�)pP d� = 0< �'2 >= 12� Z 2�0 [sin(�)� a os(�)℄2pP d� = 1 + a22P (9.22)Por tanto el espe tro de emisi�on del l�aser vuelve a ser Lorentziano, pero ahora laan hura espe tral de emisi�on �!l viene dada por:�!l = nsp�p2P = nsp�h!�E(�E + �s ) 2Æ4Wn2g (1 + a2) (9.23)La tasa de emisi�on espont�anea en ex eso de un l�aser a semi ondu tor es:nsp = 11� e�F �Fv�EgkT (9.24)1En ingl�es "linewidth enhan ement fa tor".



9.5. LASER SEMICONDUCTOR 169donde F y Fv son los uasiniveles de Fermi en la banda de ondu i�on y de valen ia yEg es la an hura de banda prohibida del semi ondu tor.Una uesti�on que se plantea de manera natural es por qu�e el fen�omeno de a oplamientoentre el ruido de fase y el ruido de amplitud o urre s�olo en los l�aseres semi ondu tores.Despu�es de todo, se trata de una onse uen ia de las rela iones de Kramers{Kronig y �estasson v�alidas para ualquier medio a tivo. Se puede demostrar, sin embargo, que el oe� ientea es nulo a la longitud de onda orrespondiente al m�aximo de la urva de ganan ia del mediosi �esta es sim�etri a, osa que o urre en los medios a tivos de los l�aseres de niveles dis retos,pero no en los l�aseres semi ondu tores.



170 CAP�ITULO 9. ANCHURA ESPECTRAL DE UN L�ASER MONOMODO9.6. ProblemasProblema 11: Se tiene un l�aser monomodo semi ondu tor uya fre uen ia entral deemisi�on es f=192THz. La longitud de la avidad es L=300�m, el ��ndi e de refra i�ondel medio es ng = 3; 5 y el oe� iente de p�erdidas por unidad de longitud de por s at-tering Rayleigh es �s = 40 m�1. Teniendo en uenta que el oe� iente de emisi�onespont�anea en ex eso nsp = 5 y el oe� iente de a oplamiento entre el ruido de amplitudy el de de fase es � = 6, se desea determinar la poten ia de emisi�on ne esaria paraque la an hura espe tral de emisi�on sea de 50MHz.Solu i�on:R = ng � 1ng + 1!2 ' 0; 31�E = 12L ln� 1R2� = 3904m�1�s = 40 m�1 = 4000m�1

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;) �p = ng(�E + �s ) Æ = 1; 5� 10�12s) �f = 12��p = 0; 106THzW = nsp�h!�E(�E + �s ) 2Æ8��fWn2g (1 + a2) == 5� 1;241;551; 6� 10�19(3904 + 4000)3904(3� 108)28� � 50� 103 � 3; 52 (1 + 36) = 4; 27W



Cap��tulo 10Re eptores para omuni a iones�opti asResumen: En este ap��tulo vamos a expli ar, en primer lugar, el fun ionamientode los dos fotodete tores que m�as se emplean en omuni a iones �opti as: el fotode-te tor PiN y el de avalan ha (APD). El primero genera un portador de arga por ada fot�on absorbido, mientras que el segundo tiene gana ia interna, es de ir,genera, en promedio, un n�umero M�1 de portadores por fot�on dete tado. A onti-nua i�on dedu iremos un modelo el�e tri o (en el que tambi�en se in luir�an las fuentesde ruido) de ada uno de los elementos que forman parte del re eptor de omuni a- iones �opti as: el fotodete tor, la resisten ia de arga y la primera etapa ampli�- adora del re eptor. A partir de este modelo, al ularemos el o iente entre la poten- ia de la se~nal y la poten ia del ruido en el re eptor para las dos on�gura ionesm�as empleadas: el preampli� ador de tensi�on y el de transimpedan ia.Por �ultimo, dado que la mayora parte de los sistemas de omuni a i�on por �bra�opti a son digitales, rela ionaremos, para un aso general, este o iente on latasa de error binaria m�axima admisible del enla e. Veremos, tambi�en, u�al ha deser el valor umbral (o tensi�on de ompara i�on) �optimo en el ir uito de de isi�on,de manera que se minimi e la probabilidad de error del enla e.

171



172 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICAS10.1. Introdu i�onEn un sistema de omuni a iones �opti as, el re eptor tiene omo �nalidad onvertir lase~nal �opti a en una se~nal el�e tri a. El fotodete tor (primer elemento del re eptor) transformael ujo de fotones que llegan al extremo de la �bra �opti a en una orriente el�e tri a (un ujode ele trones) que hay que ampli� ar para que �esta se distinga laramente del ruido t�ermi ode fondo presente en el re eptor.A g(t)*

vco

thrs.

+

-clk

fibraoptica

fotodetector maspreamplificador

filtro adaptadocomparador

recuperacion delreloj

+-

Figura 10.1: Esquema de un re eptor de omuni a iones opti as.En la �g. f10.1g se muestra el diagrama de bloques de un posible re eptor de unsistema digital de omuni a iones �opti as. Consta de un fotodete tor que a partir de lapoten ia �opti a in idente genera una orriente propor ional a �esta. A ontinua i�on hay unbloque ampli� ador y un �ltro adaptado 1 que minimiza la interferen ia entre s��mbolos [83℄de forma que la probabilidad de error aso iada sea muy baja. La salida del �ltro se ompara,en el instante de muestreo, on un valor umbral, de manera que si es mayor que �este, se de ideque se ha re ibido un uno y en aso ontrario se de ide que se ha re ibido un ero. El instantede muestreo lo determina el bloque de re upera i�on del reloj (PLL, del ingl�es "Phase lo kedloop" [48℄), que onsta de un VCO (un os ilador ontrolado por tensi�on [48℄) realimentadoal que se le da omo referen ia la salida de un �ltro sintonizado a la fre uen ia del reloj. Eneste esquema se supone que se ha utilizado una odi� a i�on de los datos de forma que ladensidad espe tral de poten ia a la fre uen ia del reloj (o a un m�ultiplo de �esta) es elevada.Otro esquema muy popular en enla es digitales onsiste en olo ar un integrador a la salidadel preampli� ador y muestrear la salida del integrador al �nal del tiempo de dura i�on delbit [83℄. La interferen ia entre s��mbolos no es m��nima, pero se mejora la sensibilidad delre eptor ya que la SNR (rela i�on se~nal a ruido) es mayor.Como en ualquier otro sistema de omuni a iones, la primera etapa del ampli� adores la que limita la sensibilidad del re eptor y es a la salida de �esta donde hay que onseguirque el o iente entre la poten ia de se~nal dividido por la poten ia del ruido tenga un valorm��nimo que garanti e una tasa binaria de error inferior a un m�aximo pre�jado. En este ap��tulo vamos a estudiar los dispositivos fotodete tores y las ara ter��sti as de ruido del1Esto es, en mu has o asiones, muy dif�� il de llevar a abo. Unas ve es porque no se ono e la fun i�on detransferen ia del anal y otras porque �esta var��a en el tiempo, obligando a implementar un �ltro adaptativo.



10.2. CARACTER�ISTICAS DE LOS FOTODETECTORES EMPLEADOS EN COMUNICACIONES �OPTICAS.173 onjunto formado por el fotodete tor y el preampli� ador de entrada, ya que ambos de�nenla sensibilidad del re eptor.10.2. Cara ter��sti as de los fotodete tores empleadosen omuni a iones �opti as.El elemento fotodete tor se olo a al extremo de la �bra �opti a para onvertir elpulso luminoso re ibido en una pulso el�e tri o. La poten ia de la se~nal luminosa re ibidapuede ser muy d�ebil (del orden del nW ), por lo que el dete tor debe ser apaz de responderante se~nales muy d�ebiles (es de ir, ser muy sensible). Las propiedades que debe tener unfotodete tor para omuni a iones �opti as son las siguientes:1. Buena sensibilidad a la longitud de onda de trabajo.2. Una velo idad de respuesta elevada. El onvertidor optoele tr�oni o debe ser apaz degenerar una orriente que siga �elmente las r�apidas varia iones de los pulsos luminosos.3. Un bajo nivel de ruido. Puesto que la se~nal �opti a in idente es muy d�ebil, el ruido deorigen el�e tri o a~nadido por el fotodete tor podr��a enmas arar la informa i�on �util.4. Dimensiones redu idas, ompatibles on el tama~no de la �bra.5. Fiabilidad y bajo oste.Los �uni os dispositivos que reunen todos estos requisitos son los fotodete tores se-mi ondu tores, on ganan ia interna o sin ella. El dispositivo sin ganan ia interna es elfotodiodo PIN y el que s�� la tiene es el fotodete tor de avalan ha (APD).P(x)

Po

(1-R)Po

xFigura 10.2: Evolu i�on de la poten ia �opti a en el seno de un semi ondu tor absorbente.



174 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICAS10.3. Foto ondu tores.Cuando se ilumina un material semi ondu tor on luz de una fre uen ia f tal quela energ��a de los fotones hf es superior a la an hura de la banda prohibida (Eg), �esta esabsorbida re�andose pares ele tr�on{hue o 2.

1.81.61.41.00.8 1.20.60.410

10

10

10

1

-1

2

3

µ

Longitud de onda ( m)µ

Si

AsGa

Ge

In Ga As0.53 0.47

Pro

fund

idad

de

pene

trac

ion

( m

)

−1C

oefic

ient

e de

abs

orci

on

(cm

)α

10

10

10

10

10

2

3

4

5

Figura 10.3: Coe� iente de absor i�on de varios semi ondu tores.Si representamos la intensidad luminosa frente a la penetra i�on en el material (ver la�g. f10.2g) 3, observamos que la fun i�on presenta una ara ter��sti a exponen ial de re ientede�nida por un oe� iente, denominado oe� iente de absor i�on del semi ondu tor y quedenotaremos mediante la letra �. La inversa del oe� iente de absor i�on, 1� , tiene dimensionesde longitud y representa la distan ia re orrida en promedio por un fot�on antes de absorberse.El valor de � para un determinado semi ondu tor depende de la longitud de onda de laradia i�on in idente (ver la �g. f10.3g) y de si �este es de transi i�on dire ta o indire ta. Lossemi ondu tores de transi i�on dire ta presentan una varia i�on brus a en el oe� iente deabsor i�on a la fre uen ia orrespondiente a la an hura de la banda prohibida, mientras queen los semi ondu tores de transi i�on indire ta la varia i�on es m�as suave [90℄.En la �g. f10.4g se muestra un foto ondu tor (que no es m�as que un semi ondu tord�ebilmente dopado). Evidentemente la resisten ia del semi ondu tor depende de que est�e ono iluminado. Si hay luz presente, la on entra i�on de portadores libres de arga es mayor, porlo que la resisten ia ser�a m�as peque~na. Por tanto, midiendo la resisten ia de este dispositivo,podemos determinar la intensidad luminosa in idente.El problema que presentan los foto ondu tores es que una sensibilidad alta exige un2El rendimiento u�anti o del pro eso de absor i�on es el o iente entre el n�umero de pares ele tr�on{hue ogenerados y el n�umero de fotones absorbidos.3La dis ontinuidad que se observa en x = 0 es debida a la fra i�on de luz que se re eja en la super� iede separa i�on entre el aire y el semi ondu tor.



10.4. EL FOTODIODO PIN. 175tiempo de respuesta grande (din�ami a lenta), mientras que un tiempo de respuesta peque~no(din�ami a r�apida) onlleva una sensibilidad baja. Esto es f�a il de omprender si pensamosque uanto mayor sea el tiempo medio de re ombina i�on entre portadores, mayor ser�a lavaria i�on de la resistividad pero su din�ami a ser�a m�as lenta.

semiconductor contactoohmico

Luz

Figura 10.4: Foto ondu tor.Si el foto ondu tor estaba iluminado y brus amente interrumpimos la luz, la on en-tra i�on de portadores empieza a de re er exponen ialmente on una onstante de tiempoigual al tiempo medio de re ombina i�on de los pares ele tr�on{hue o (de igual forma, si elsemi ondu tor estaba a os uras y brus amente lo iluminamos la on entra i�on de portadoresen desequilibrio empieza a re er exponen ialmente on una onstante de tiempo igual altiempo medio de re ombina i�on �).Si el tiempo medio de re ombina i�on de los pares ele tr�on{hue o en desequilibrioes alto, tendremos una sensibilidad apre iable (habr�a un ambio grande de resisten ia enr�egimen permanente) pero resulta evidente que su din�ami a es ina eptablemente lenta. Sipor el ontrario el tiempo medio entre re ombina iones es peque~no, su din�ami a ser�a r�apida,pero su sensibilidad ser�a muy baja.10.4. El fotodiodo PIN.Una forma de mejorar las ara ter��sti as de sensibilidad y tiempo de respuesta esutilizar un diodo de uni�on inversamente polarizado. Si la mayor parte de los pares ele tr�on{hue o formados por la absor i�on de fotones se generan en la regi�on de arga espa ial, elfuerte ampo el�e tri o presente en la zona separa los portadores llevando a ada uno de ellosa la zona donde son mayoritarios, on lo que apare e un portador de arga que atraviesa eldipositivo por ada fot�on absorbido (ver la �g. f10.5g).La orriente que atraviesa el diodo es una orriente inversa de ir ula i�on que tomaun valor muy peque~no si la uni�on no est�a iluminada y ser�a algo mayor si hay luz in idente[77℄. En la �g. f10.5g se muestra la urva ara ter��sti a est�ati a del diodo para el aso enque hay luz presente y para el aso en que no la hay.



176 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASR +-i

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

--

--

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

P Nluz

por la absorcion de un fotonPar electron-hueco creado

+-

+

I

V

corriente de

corrienteoptica

obscuridad

Figura 10.5: Estru tura del fotodiodo (izquierda) y urvas ara ter��sti as (dere ha).10.4.1. Sensibilidad del dispositivo.Supongamos que la uni�on p{n inversamente polarizada (el fotodete tor) se iluminapor la zona p. Podemos distinguir tres zonas distintas donde se van a absorber fotones:Primero tenemos la zona p, omprendida entre la super� ie de entrada y la de omien-zo de la regi�on de arga espa ial. Aqu�� la intensidad luminosa I(x) es grande y segeneran mu hos pares ele tr�on{hue o por unidad de volumen. Para que el el fot�onabsorbido en esta zona pueda ontribuir a la orriente que atraviesa el dispositivo, esne esario que el ele tr�on (que es el portador minoritario) pueda difundirse hasta laregi�on de arga espa ial, donde el ampo el�e tri o lo arrastrar�a a la zona donde es elportador mayoritario. Esto no ser�a posible si la super� ie de entrada del dispositivotiene una velo idad de re ombina i�on super� ial alta [71℄, ya que enton es el ele tr�ontiende a difundirse en sentido ontrario. Por tanto, para aumentar la sensibilidad delfotodete tor, es pre iso onseguir que esta velo idad de re ombina i�on sea peque~na. Ensegundo lugar, puesto que queremos que el ele tr�on llegue a la zona de deplexi�on sinre ombinarse en el volumen, la distan ia a re orrer deber�a ser peque~na en ompara i�on on la longitud de difusi�on. Para onseguir esto es ne esario que el espesor de la zonap sea peque~no frente a la longitud de difusi�on de los ele trones 4 [93℄. En resumidas uentas la sensibilidad es tanto mayor uanto menor sea la velo idad de re ombina i�onsuper� ial del plano de entrada y uanto m�as estre ha sea la zona p frente a la longitudde difusi�on de los ele trones.En segundo lugar tenemos la regi�on de arga espa ial. Los pares ele tr�on{hue o ge-nerados aqu�� se separan y llegan a las zonas volum�etri as donde son mayoritarios, ontribuyendo as�� a la foto orriente que atraviesa el diodo. Interesa que esta regi�on sealo m�as an ha posible para que la mayor parte de los fotones se absorban aqu��.Por �ultimo tenemos la zona n. Si la regi�on de deplexi�on es lo su� ientemente an hapodemos despre iar la intensidad luminosa que llega hasta aqu��.4El motivo por el que se ilumina por la zona p es que los ele trones, que son los portadores minoritarios,tienen oe� ientes de difusi�on m�as altos que los hue os, por lo que la longitud de difusi�on es mayor.



10.4. EL FOTODIODO PIN. 177ρ

x

E

x

N+

P+

Π

capaantireflectante

metalizaciones

Figura 10.6: Estru tura de un fotodiodo pin.Con objeto de maximizar la sensibilidad del fotodete tor se suelen utilizar fotodiodosPIN [77℄{[102℄, es de ir, diodos formados por una apa de un semi ondu tor tipo p fuerte-mente dopado, una apa asi intr��nse a (es de ir, en la que el dopado es muy d�ebil 5) y por�ultimo una apa donde hay un fuerte dopado tipo n. En la �g. f10.6g se muestra esta estru -tura. Las tensiones de polariza i�on inversa ne esarias para que la regi�on de arga espa ialse extienda por toda la regi�on intr��nse a, tal y omo se ha representado en la �gura, sondel orden de la de ena de voltios. En la super� ie de entrada se intenta que la velo idad dere ombina i�on super� ial sea baja 6. El espesor de la zona p es estre ho on objeto de mini-mizar la absor i�on de luz en esta zona, mientras que la regi�on intr��nse a es lo su� ientementean ha omo para que en ella se absorba la pr�a ti a totalidad de la luz.10.4.2. Tiempo de respuesta.Entre el momento en que se genera un par ele tr�on{hue o ( omo onse uen ia de laabsor i�on de un fot�on) y el momento en que el portador de arga atraviesa la resisten iade arga, ontribuyendo as�� a rear una se~nal el�e tri a dete table y ampli� able, trans urreun ierto tiempo, es de ir, hay un ierto retraso. Estos retrasos no son iguales para todoslos fotones que se han absorbido en un mismo instante, lo que provo a una dispersi�on de lase~nal el�e tri a on respe to a la �opti a o, lo que es lo mismo, una dispersi�on en el tiempo derespuesta del dispositivo.Tiempo de respuesta interna. El tiempo de respuesta interno est�a aso iado altiempo que tardan los portadores en llegar a los onta tos met�ali os del dispositivo.En realidad existen dos tiempos de respuesta interna, uno aso iado a la difusi�on delos ele trones [71℄ pro edentes de la absor i�on de luz en la zona p (en realidad a la5Cuanto menor es el dopado de un semi ondu tor mayor es el tiempo medio de re ombina i�on de paresele tr�on{hue o.6Sin embargo en �esta se suelen depositar una serie de apas de un material diel�e tri o on objeto dedisminuir el oe� iente de re exi�on [68℄ (que es del orden del 30% en una interfaz aire{semi ondu tor). Estadeposi i�on suele aumentar, desgra iadamente, la velo idad de re ombina i�on super� ial.



178 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICAS

Cd

Ct

G Rs

Figura 10.7: Modelo de peque~na se~nal del fotodete tor donde se ha eliminado la fuente de orriente. Ct es la apa idad par�asita aso iada a la regi�on de arga espa ial y Cd la aso iadaa la varia i�on de arga libre a umulada fuera de la regi�on de arga espa ial.dispersi�on de estos tiempos) y otro aso iado al arrastre de los portadores [71℄ en laregi�on de arga espa ial. El tiempo de respuesta del pro eso de difusi�on es mayor queel del de arrastre. Un valor t��pi o para el primero puede estar en los 100ps, mientrasque el segundo en los 10ps. En el ap�endi e 1 se dedu en las expresiones anal��ti as deestos dos tiempos.Tiempo de respuesta externa. El fotodiodo se polariza inversamente por lo queapare e una apa idad par�asita entre sus extremos, denomidada apa idad de transi- i�on. La regi�on de arga espa ial se omporta omo un material diel�e tri o que separados regiones ondu toras (zonas p y n del diodo) y de ah�� el omportamiento apa itivodel dispositivo. La expresi�on del valor de este ondensador es:C = �o�r Awd (10.1)donde wd es la an hura de la regi�on de arga espa ial y uyo valor t��pi o es 200fF .Normalmente las apa idades par�asitas de onexi�on del dispositivo son m�as importan-tes. En ualquier aso, si onsideramos el modelo de peque~na se~nal representado en la�g. f10.7g vemos que la tensi�on entre los extremos de la resisten ia de arga no puedevariar m�as r�apidamente que la onstante de tiempo del ir uito.En la �g. f10.8g se representa [3℄ la respuesta temporal de un fotodiodo uya din�ami aest�a limitada por el tiempo de respuesta interna. La din�ami a r�apida ini ial est�a aso iadaal tiempo de tr�ansito por la regi�on de arga espa ial y la lenta al tiempo de difusi�on de losportadores minoritarios.10.5. El fotodiodo de avalan ha.Cuando la tensi�on de polariza i�on inversa apli ada a una uni�on p{n es su� ientementeelevada, los portadores de arga (ele trones y hue os) que atraviesan la regi�on de arga



10.5. EL FOTODIODO DE AVALANCHA. 179Popt

t

Iopt

t

Respuesta interna delfotodiodo

Impulso optico

Figura 10.8: Respuesta de un fotodiodo limitado por los tiempos de tr�ansito y difusi�on.espa ial pueden adquirir una energ��a in�eti a muy grande. Cuando ho an on los n�u leos dela red ristalina rean pares ele tr�on{hue o al transferir ele trones de la banda de valen iaa la banda de ondu i�on. Estos portadores de arga se undarios, generados por hoquesde los primarios pueden, a su vez, produ ir otros pares ele tr�on{hue o, produ i�endose unfen�omeno de avalan ha [77℄{[64℄{[71℄.La multipli a i�on de portadores se puede uanti� ar dando dos t�erminos, � y �,denominados oe� ientes de ioniza i�on, que de�nen las tasas de rea i�on de pares se undariosa partir de ele trones y hue os primarios [64℄. Los oe� ientes � (relativo a los ele trones) y� (relativo a los hue os) dependen del ampo el�e tri o al que se ven sometido de la siguientemanera [77℄: � = A1exp(�A2E ) (10.2)� = B1exp(�B2E ) (10.3)donde A1, A2, B1 y B2 son t�erminos que dependen del tipo de semi ondu tor y de latemperatura.Los oe� ientes de ioniza i�on representan la ganan ia por unidad de longitud de lasdensidades de orriente aso iadas a los ujos de ele trones y hue os debidas al pro eso deavalan ha, esto es: dJnJn = �dx (10.4)dJpJp = �dx (10.5)



180 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASρ

E

zona de absorcionzona de ionizacion

N+

metalizaciones

P+

Π

capaantireflectante P

-+

Figura 10.9: Estru tura de un fotodiodo de avalan ha.En el fotodiodo de avalan ha la ganan ia en orriente, el tiempo de respuesta y elruido a~nadido a la se~nal �util dependen fuertemente de los valores que tomen los oe� ientesde ioniza i�on � y �. Podemos distinguir dos asos l��mites: uno primero en el que el oe� ientede ioniza i�on de los fotoportadores (portadores primarios que, por su mayor movilidad sonele trones) es mu ho mayor que el de los hue os y uno segundo en el que ambos son delmismo orden de magnitud. Vamos a ver, seguidamente, que para garantizar una din�ami ar�apida y bajos niveles de ruido la primera situa i�on es la �uni a admisible.En la �g. f10.9g se muestra la estru tura de un fotodiodo de avalan ha [102℄. Paraque la regi�on de arga espa ial o upe toda la regi�on intr��nse a y se ree una zona dondese produz a el efe to avalan ha, son ne esarias tensiones de polariza i�on inversas del ordendel entenar de voltios. En la parte intr��nse a (zona �) se produ e la absor i�on de fotones,gener�andose pares ele tr�on{hue o que son separados por el ampo el�e tri o presente. Loshue os se desplazan ha ia la izquierda y los ele trones ha ia la dere ha. Estos ele trones(portadores primarios) entran en la uni�on p+{n+ donde, debido al intenso ampo el�e tri o,provo an, al ho ar on la red ristalina, la apari i�on de pares se undarios produ i�endoseun efe to avalan ha y, onsiguientemente, la ampli� a i�on de orriente. El oe� iente deampli� a i�on se denota por medio de la letra M y toma, para el aso de APDs de AsGa,valores que son del orden de 100. Si se umple que � � � el ruido introdu ido por elfotodete tor no es demasiado grande y adem�as el tiempo de respuesta no empeora demasiado on respe to al fotodiodo PIN.En la �g. f10.10g se muestra el omportamiento de la regi�on de avalan ha para los asos � � � y � ' �. En el eje horizontal se representa la oordenada longitudinal y en elverti al el tiempo. Puesto que suponemos que los portadores se desplazan a una velo idadde arrastre onstante (para una des rip i�on detallada de los fen�omenos de transporte ensemi ondu tores remitimos al le tor interersado a la bibliograf��a adjunta [101℄{[71℄{[90℄{[93℄),las traye torias son re tas de pendiente onstante (positiva para los ele trones y negativapara los hue os, ya que se desplazan on sentidos ontrarios). En la primera �gura se observaque s�olo los ele trones generan pares ele trones{hue o se undarios, ya que su oe� iente deioniza i�on es mu ho mayor que el de los hue os. Esto lleva a que el retraso m�aximo entre



10.6. FUENTES DE RUIDO EN UN RECEPTOR. 181-

-+

++

+++

+

--

-

-

+

x

t

>>α β

βα ∼

x

t

-

−

−−+

++ −

−

−

−

−

−+

+Figura 10.10: Comportamiento de la regi�on de avalan ha.el instante en que entra el portador primario en la regi�on de avalan ha y el momento enque deja de haber portadores se undarios provo ados por �el sea, aproximadamente, la sumadel tiempo de tr�ansito del ele tr�on m�as el tiempo de tr�ansito del hue o. Adem�as el ruidointrodu ido por el efe to de avalan ha est�a determinado s�olo por el ar�a ter aleatorio de lagenera i�on de pares se undarios.En la segunda �gura se observa que no podemos a otar de una forma sen illa el retrasom�aximo y que el n�umero de portadores se undarios generados por un portador primario esmu ho m�as variable que en el aso anterior. Por este motivo las ara ter��sti as de ruido ytiempo de respuesta son medio res.10.6. Fuentes de ruido en un re eptor.La �g. f10.1g representa el diagrama de bloques de un re eptor de omuni a iones�opti as. Como ya hemos visto, el fotodete tor onvierte la poten ia �opti a re ibida en una orriente el�e tri a. En el siguiente bloque del re eptor, el ampli� ador, se onvierte esta orriente en una tensi�on que debe ser lo su� ientemente intensa omo para poder ser tratadaen el bloque demodulador. Como en ualquier otro sistema de omuni a iones, la primeraetapa del ampli� ador es la que limita la sensibilidad del re eptor. En este punto hay quegarantizar una rela i�on poten ia de se~nal{poten ia de ruido m��nima que garanti e la alidadde la transimisi�on. En la �g. f10.11g se representa la etapa de entrada del re eptor, as�� omo



182 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASsu modelo de peque~na se~nal 7.A

C RId

Figura 10.11: Conjunto formado por el fotodete tor y el preampli� ador.Existen varios fen�omenos f��si os que introdu en ruidos (se~nales de ar�a ter aleatorio ymedia ero) que no est�an in luidas en este modelo. Para analizar la sensibilidad del re eptor,vamos a estudiar las ara ter��sti as de las distintas fuentes de ruido para despu�es modelarlasel�e tri amente 8 e in luirlas en el ir uito de peque~na se~nal.1. En primer lugar tenemos el llamado ruido u�anti o aso iado a la propia se~nal. Esel �uni o t�ermino de ruido que es imposible eliminar, ni tan siquiera en un experimentoidealizado ya que est�a aso iado a la naturaleza u�anti a de la propia se~nal �util. Consi-deremos que se dete ta una pulso luminoso de poten ia P y dura i�on � . En el pro esode dete i�on, el pulso luminoso se omporta omo un onjunto de orp�us ulos, llama-dos fotones, uyo n�umero no es determinista sino aleatorio. Este ar�a ter aleatorio esel responsable del ruido u�anti o aso iado a la se~nal re ibida.2. Ruido t�ermi o de la resisten ia de arga. Est�a provo ado por el movimientoaleatorio de los portadores de arga (ele trones) en la resisten ia de arga RL. Estemovimiento, de origen t�ermi o, provo a u tua iones de tensi�on en los extremos de laresisten ia de arga. Te�ori amente podr��a eliminarse enfriando �esta a la temperaturade 0K.3. Ruido t�ermi o del ampli� ador. Cualquier ampli� ador degrada el o iente SN dela se~nal que est�a tratando, debido al ruido a~nadido por los elementos a tivos on losque se ha onstruido.4. Ruido u�anti o aso iado a la orriente de obs uridad. Una orriente el�e tri aest�a provo ada por el paso de portadores dis retos de arga (ele trones y hue os enel aso de un semi ondu tor) a trav�es del dispositivo. El ar�a ter orpus ular de �estos7En la mayora parte de las o asiones la se~nal luminosa que llega al re eptor es lo su� ientemente d�ebil omo para que el modelo linealizado (de peque~na se~nal) de la etapa de entrada des riba orre tamente su omportamiento.8El modelo el�e tri o de una fuente de ruido onsiste en una fuente de orriente de media ero y valor uadr�ati o medio ono ido. El valor uadr�ari o medio representa la poten ia del ruido.



10.6. FUENTES DE RUIDO EN UN RECEPTOR. 183provo a u tua iones de la orriente alrededor de su valor medio. En el aso de unfotodiodo, sabemos que existe una ierta orriente que lo atraviesa en ausen ia de luz( orriente inversa de satura i�on, tambi�en llamada orriente de obs uridad) que es tantom�as importante uanto menor sea la an hura de la banda prohibida del semi ondu tordel que est�a he ho el fotodiodo. Las u tua iones de la orriente de obs uridad alre-dedor de su valor medio introdu en un t�ermino de ruido que puede ser importante sila orriente inversa de satura i�on es (relativamente) grande 9. Sin embargo no vamosa onsiderar esta fuente de ruido en nuestro an�alisis.5. Si el fotodete tor que se emplea es un fotodiodo de avalan ha apare e un fa tor deruido adi ional: el ruido de avalan ha, provo ado por el he ho de que el n�umero deportadores se undarios generados a partir de uno primario es variable, por lo que seintrodu e un t�ermino de ruido en el pro eso de ampli� a i�on interna.En los pr�oximos apartados vamos a estudiar ada uno de estos t�ermino, a modelarlose in luirlos en el modelo de peque~na se~nal del re eptor [41℄-[57℄.10.6.1. Ruido u�anti o aso iado a la se~nal.Pro eso de dete i�on.El pro eso de dete i�on de la luz impone sobre �esta un omportamiento orpus ular10. La tasa media de llegada fotones al dete tor se puede al ular f�a ilmente. Si P es lapoten ia luminosa, el n�umero de fotones medios dete tados por unidad de tiempo es:r = Phf (10.6)Si admitimos que los tiempos de llegada de los fotones no est�an temporalmente orre-lados, se puede demostrar que el pro eso estad��sti o de�nido por las probabilidades dis retaspn(t) de re ibir n fotones al abo de t segundos es poissoniano. Por onsiguiente [52℄{[69℄{[89℄:pn(t) = (rt)nn! e�rt (10.7)Si parti ularizamos para t = � (tiempo de de�ni i�on de un bit) y tenemos en uentaque el produ to r� es el n�umero medio (esperado) de fotones por ada pulso luminoso,enton es resulta que el n�umero de fotones que vienen en un pulso luminoso se des ribemediante una variable aleatoria dis reta de�nida por las probabilidades:pn = nnn! e�n (10.8)donde n = P�hf .9Como es el aso de los fotodete tores de Germanio, ya que la banda prohibida de este semi ondu tor esrelativamente estre ha.10Los quantos, entes f��si os des ritos por la me �ani a u�anti a, mani�estan una naturaleza ondulatoria o orpus ular dependiendo del experimento en que intervienen.



184 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASLa se~nal �util transmitida est�a aso iada al valor medio de la variable aleatoria, mien-tras que el ruido u�anti o est�a aso iado a las u tua iones que sufre el n�umero de fotonesdete tados en torno al valor esperado. Puesto que ono emos las expresiones de las probabi-lidades dis retas, podemos al ular f�a ilmente la desvia i�on uadr�ati a media de la variablealeatoria. Ha iendo las opera iones orrespondientes, resulta:�n2 = n (10.9)Cono iendo el valor esperado del n�umero de fotones por pulso y la desvia i�on uadr�ati- a media podemos obtener f�a ilmente el modelo "ruidoso" de la se~nal el�e tri a generada porel dete tor. La se~nal �util est�a aso iada a la media de la variable aleatoria. La orriente mediaque atraviesa el fotodete tor ser��a igual al produ to del n�umero medio de pares ele tr�on{hue o generados por la absor i�on de fotones, multipli ados por el rendimiento u�anti o delfotodete tor y por la arga de un portador y dividido por el tiempon de dura i�on del pulsoluminoso, es de ir: i = q�n� = q�Phf (10.10)La poten ia de la se~nal el�e tri a �util es igual al uadrado de la expresi�on anterior.La poten ia del ruido el�e tri o la podemos al ular f�a ilmente (suponiendo que � es una onstante y no una variable aleatoria):�i2 = q2�2�n2� 2 = q2�Phf� (10.11)Si ahora elevamos al uadrado (10.10) y dividimos el resultados por (10.11) obtenemosla expresi�on del o iente poten ia �util de la se~nal dividida por la poten ia del ruido u�anti oaso iado a �esta: SN = i2�i2 = P��hf (10.12)Vemos, pues, que el fotodete tor ne esariamente degrada la rela i�on se~nal a ruido, amenos que tenga ara ter��sti as ideales (� = 1). El ruido u�anti o existe en todos los sistemasde omuni a iones, aunque s�olo en omuni a iones �opti as es pre iso tenerlo en uenta. Estose puede justi� ar f�a ilmente a partir de (10.12). En el dominio radioel�e tri o las longitudesde onda son lo su� ientemente largas (y, por onsiguiente, las fre uen ias lo su� ientementebajas) omo para que el produ to hf sea despre iable. A estas fre uen ias tan bajas el ar�a ter orpus ular de la energ��a dete tada no es observable 11. En omuni a iones �opti asla energ��a de un uanto de luz (de un fot�on) es apre iable frente a la del pulso luminoso 12,por lo que este ar�a ter orpus ular se pone de mani�esto, apare iendo un t�ermino de ruidoadi ional, el ruido u�anti o.11Esto es as�� porque en un pulso siempre hay un n�umero enorme de uantos.12Siempre y uando la energ��a del pulso luminoso, es de ir, el produ to P� , sea su� ientemente peque~no.



10.6. FUENTES DE RUIDO EN UN RECEPTOR. 185Modelo el�e tri o.Para modelar el pro eso de dete i�on, se onsideran dos fuentes de orriente en pa-ralelo, una de las uales representa la se~nal �util mientras que la otra representa el ruido u�anti o aso iado a �esta. El valor medio de la fuente de orriente aso iada al ruido es 0,mientras que el de la se~nal �util es 13: i = RPR := q�hf (10.13)La otra fuente representa las u tua iones alrededor de este valor medio. Teniendoen uenta (10.10) y (10.11) llegamos a [41℄:�i2 = qi� = 2qi�f (10.14)donde �f es el an ho de banda de la envolvente de la se~nal �opti a. Normalmente elan ho de banda del ampli� ador de entrada es igual al de la se~nal por lo que, a partir deahora, onsideraremos que �f es el an ho de banda el�e tri o del ampli� ador.10.6.2. Ruido t�ermi o en la resisten ia de arga.Los portadores de arga de una resisten ia (ele trones) est�an sometidos a un movi-miento de agita i�on t�ermi a ontinuo. Si olo amos dos resisten ias en paralelo, tendremosque la energ��a m�axima que, por unidad de tiempo y de intervalo espe tral, puede eder unaa la otra viene dada por 14: eP = hfdfe hfkT � 1 (10.15)Si tomamos omo temperatura 290K tenemos que la poten ia total m�axima 15 que sepodr��a eder es: Ptot = Z 10 hfe hfkT � 1df = 40nW (10.16)Esta n�umero es muy grande y, si realmente �este fuese el valor de la poten ia debida alruido t�ermi o, la se~nal �util estar��a, en la mayor parte de los asos, totalmente enmas arada.13Esta expresi�on se dedu e de modo inmediato de (10.10) y de la de�ni i�on de R (que re ibe el nombrede responsividad del fotodete tor).14Esta expresi�on es una onse uen ia inmediata de la ley de Plan k a er a de la radia i�on de un uerponegro.15La poten ia transferida ser��a m�axima siempre que hubiera adapta i�on de impedan ias, es de ir, que lasegunda resisten ia fuese de igual valor que la primera.



186 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASSin embargo el an ho de banda del ampli� ador es limitado, por lo que en la pr�a ti a lapoten ia debida al ruido t�ermi o es mu ho menor ya que se �ltran las omponentes de m�asalta fre uen ia. Para al ularla bastar��a on al ular la integral anterior sustituyendo1 porla fre uen ia de orte del ampli� ador B.En realidad el �al ulo de la poten ia del ruido t�ermi o se puede simpli� ar mu ho. Atemperatura ambiente kT = 0;026eV lo que se orresponde on una fre uen ia f ' 3THz,es de ir un valor muy grande en ompara i�on on la de orte del ampli� ador 16. Esto noslleva a que hf � kT , on lo que podemos aproximar la densidad espe tral de poten ia delruido t�ermi o mediante la ono ida expresi�on 17:eP = kT�f (10.17)Una vez ono ida esta expresi�on es inmediato determinar el modelo de ruido de laresisten ia de arga. Este onsiste en una fuente de orriente de media 0 y valor uadr�ati omedio �i2 = 4kTR �f en paralelo on la resisten ia, ya que de esta manera si one t�aramosuna resisten ia de arga igual (adapta i�on de impedan ias), se disipar��a una poten ia devalor kT�f .

∆i 2

a

____

∆va2

____ Amplificadorlibre de ruido

+ A

Figura 10.12: Modelo de ruido del preampli� ador.10.6.3. Ruido del preampli� ador.La fun i�on del preampli� ador es la de produ ir una se~nal lo su� ientemente intensa omo para que la puedan tratar las etapas posteriores del re eptor. La ampli� a i�on in-trodu e un ruido adi ional de origen omplejo 18 que podemos modelar por medio de dos16Esta fre uen ia puede ser, omo mu ho, del orden de algunas de enas de Ghz.17Vemos que en esta aproxima i�on, v�alida para el dominio radioel�e tri o, el ruido t�ermi o se puede onsi-derar espe tralmente blan o.18Intervienen fuentes de ruido u�anti o y t�ermi o, entre otras.



10.7. C �ALCULO DE LA RELACI �ON POTENCIA SE~NAL{POTENCIA RUIDO. 187fuentes que vamos a suponer independientes entre s�� 19, una de intensidad y otra de tensi�on, olo adas a la entrada del ampli� ador de la manera indi ada en la �g. f10.12g. Las medias uadr�ati as de estas dos fuentes de ruido dependen del tipo de dispositivo que se emplee [41℄(transistor bipolar de Si, JFET de Si o MESFET de AsGa) y de las ondi iones de polariza- i�on. Normalmente las ondi iones de polariza i�on �optimas en uanto a niveles de ruido no oin iden on una ganan ia m�axima. Los valores t��pi os de los par�ametros de ruido de untransistor bipolar de Si polarizado en ondi iones �optimas son q�i2a = 2pApHz y q�V 2a = 2nVpHz .Los de un transistor J-FET de Si son q�i2a = 10fApHz y q�V 2a = 4nVpHz . Por �ultimo, los de unMES{FET de AsGa son q�i2a = 100fApHz y q�V 2a = 1nVpHz . Este tipo de transistores tienen apa idades de entrada muy bajas, del orden de 0;5pF .10.6.4. Ruido de ampli� a i�on interna (ruido de avalan ha).El efe to de avalan ha ha e que por ada fot�on absorbido se generen, omo media,Mportadores de arga que atraviesan el dispositivo. Sin embargo, el n�umero real, en un asoparti ular, viene representado por una variable aleatoria que tiene una determinada desvia- i�on uadr�ati a media. Estas u tua iones provo an una degrada i�on del o iente poten iase~nal{poten ia ruido. Esta degrada i�on viene determinada por el siguiente oe� iente [102℄:F := M2M2 = 1 + �M2M2 (10.18)Los valores t��pi os de ganan ia en orriente y fa tor de ruido de un fotodiodo APD deSi (empleado en la primera ventana de transmisi�on) son M = 100 y F = 6, mientras que losde un APD de Ge (empleados en la seguda y ter era ventana de transmisi�on) son M = 20 yF = 10.10.7. C�al ulo de la rela i�on poten ia se~nal{poten iaruido.Ya estamos en ondi iones de in luir los t�erminos debidos a las fuentes de ruido en elmodelo de la �g. f10.11g. El ir uito resultante se muestra en la �g. f10.13g.La resisten ia R (resisten ia equivalente al onjunto formado por la resisten ia de arga del fotodete tor y la resisten ia de entrada del preampli� ador) y la apa idad C (sumade la apa idad par�asita del fotodete tor m�as la apa idad de de entrada del preampli� ador)de�nen un �ltro paso bajo de fre uen ia de orte 12�RC que puede distorsionar la se~nalre ibida. En prin ipio ser��a deseable que esta fre uen ia fuese superior al an ho de bandael�e tri o de la se~nal que se transmite. Para onseguir esto se pro ura minimizar durante elpro eso de fabri a i�on el valor de las apa idades par�asitas. Una manera obvia de onseguirque el preampli� ador tenga un an ho de banda grande es tomar una resisten ia de arga19Esto no es ierto a altas fre uen ias. Sin embargo, on objeto de fa ilitar los �al ulos, vamos a admimitiresta simpli� a i�on.




=∆ i2 ∆2+x

M i C

2qM i f =∆ i2 4kTR

∆f

R

+

∆

∆v

ia2

2a

EQVi

G(f)

Go

Figura 10.13: Modelo de ruido del re eptor ompleto.peque~na. El problema es que enton es el ruido t�ermi o introdu ido por esta resisten ia seha e tambi�en grande.Hay asos (transmisi�on de grandes vol�umenes de informa i�on a grandes distan ias20) en las que resulta inevitable que la resisten ia R y el ondensador C �ltren la se~nalque se re ibe. Para orregir esto es pre iso a~nadir un e ualizador que ampli�que m�as las omponentes de alta fre uen ia que se han �ltrado durante la dete i�on. Este e ualizador seha in luido en la �g. f10.13g.Si ha emos aso omiso de los t�erminos de ruido, tendremos que la tensi�on a la entradadel preampli� ador es 21:Vi =MiZeq =Mi 11R + j2�fC = RMi1 + j2�fRC (10.19)La red de e ualiza i�on debe estar dise~nada para orregir este �ltrado, de manera quela se~nal a la salida del preampli� ador sea:VÆ = ViG(f) = RMi1 + j2�fRCGÆ(1 + j2�RC) = GÆRMi (10.20)Si ahora tenemos en uenta s�olo las fuentes de ruido, podemos al ular la desvia- i�on t��pi a 22 de las u tua iones alrededor de la tensi�on media obtenida anteriormente.Supondremos que las fuentes de ruido son independientes, on lo que podemos sumar lasdesvia iones uadr�ati as medias produ idas por ada una de las fuentes de ruido. Vamos aagrupar todas las fuentes de orriente de ruido en una sola, uya media uadr�ati a es la sumade las medias uadr�ati as de ada una de las omponentes ( onsideramos que las variables20En estos asos es inevitable tomar una resisten ia de arga grande ya que si no se hi iera esto el ruidot�ermi o introdu ido por R enmas arar��a la se~nal �util.21Estamos onsiderando el aso m�as general en el que el fotodete tor sea un fotodiodo de avalan ha. Paraparti ularizar para un fotodiodo PIN basta on tomar M = 1.22La desvia i�on t��pi a de una variable aleatoria es la ra��z uadrada de la desvia i�on uadr�ati a media.



10.7. C �ALCULO DE LA RELACI �ON POTENCIA SE~NAL{POTENCIA RUIDO. 189+

∆v2a

EQVi

G(f)

Go

RC

∆ i2 Figura 10.14: Modelo equivalente de ruido del re eptor.aleatorias son independientes). Por tanto el modelo de ruido equivalente es el mostado en la�g. f10.14g.Teniendo en uenta que tenemos dos fuentes independientes, una de tensi�on y otrade intensidad, podemos dedu ir, apli ando el prin ipio de superposi i�on, la expresi�on de las u tua iones uadr�ati as medias de tensi�on (por unidad de an hura espe tral) a la entradadel ampli� ador{e ualizador:�V 2i = �i2 R21 + 4�2f 2R2C2�f +�V 2a �f (10.21)A partir de esta expresi�on al ulamos las u tua iones uadr�ati as medias totales ala salida: �V 2Æ = Z B0 R2�i21 + 4�2f 2R2C2 jG(f)j2df + Z B0 �V 2a jG(f)j2df (10.22)Desarrollando esta expresi�on 23 se dedu e la siguiente expresi�on para la desvia i�ont��pi a de la tensi�on de salida:q�V 2o = GoRvuut�i2 +�V 2a " 1R2 + 4�23 (�f)2C2#q�f (10.23)Teniendo ahora en uenta las distintas omponentes que intervienen en la fuente deruido �i2, se llega a que el o iente [41℄ entre el valor medio de la tensi�on de salida divididopor la desvia i�on t��pi a de sus u tua iones, o iente que denotamos mediante la letra K,tiene la siguiente expresi�on 24:23A onsejamos al le tor que haga el desarrollo.24De nuevo hemos onsiderado el aso m�as general en el que el fotodete tor es un fotodiodo de avalan ha.Para ontemplar el aso de un fotodiodo PIN basta on ha er M = 1 y F = 1.



190 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASK := Voq�Vo = ivuut2qF i+ 4kTRM 2 + �I2aM 2 + �V 2aM 2 " 1R2 + 4�23 (�f)2C2#p�f (10.24)De esta expresi�on podemos dedu ir algunas on lusiones de ar�a ter general:1. El o iente K re e a medida que aumenta el oe� iente de avalan ha M , hasta quellega un momento en el que el ruido de avalan ha, que est�a multipli ado por el fa torF , se ha e dominante.2. Un aumento en la resisten ia de arga R aumenta el o iente K, siempre que alguno delos t�erminos en los que interviene sea el dominante. Sin embargo, utilizar resisten iasde arga de valor elevado tiene un in onveniente obvio: es pre iso a~nadir un ir uito dee ualiza i�on, lo que limita el rango din�ami o de fun ionamiento del re eptor. El rangodin�ami o indi a la apa idad de manejar simult�aneamente se~nales fuertes y d�ebiles. Enun esquema omo el des rito hasta ahora, el rango din�ami o es peque~no ya que para onseguir una sensibilidad grande en toda la banda de paso es pre iso ampli� ar mu hoen baja fre uen ia (antes del polo de�nido por R y C). En el aso de que la se~nal deentrada tome un valor elevado (si el rango din�ami o es alto, habr�a ve es en las que lase~nal de entrada ser�a d�ebil y otras en las que ser�a intensa), las omponentes de bajafre uen ia pueden saturar el preampli� ador provo ando distorsi�on.3. A altas fre uen ias, el t�ermino apa itivo del denominador puede ha erse dominante,ya que re e on el uadrado de la fre uen ia. Este es un motivo adi ional para intentarminimizar C.

R

Rf

CM i

G (f)o-

Figura 10.15: Preampli� ador de transimpedan ia.La on�gura i�on del preampli� ador que hemos estudiado hasta ahora (la de unampli� ador de tensi�on en el que la resisten ia de arga sirve omo onvertidor intensidad{tensi�on), no es la que se utiliza m�as habitualmente. Con mayor fre uen ia se emplea el ir uito representado en la �g. f10.15g, el ampli� ador de transimpedan ia [86℄.



10.8. TASA DE ERROR BINARIO M�AXIMA ADMISIBLE. 191Si al ulamos la fun i�on de transferen ia de este ir uito, llegamos a la siguienteexpresi�on: V = � RfM1 + 1GÆ + RfGÆR1 + j 2�fCRf1 + RfR +GÆ i (10.25)Si la ganan ia del ampli� ador veri� a GÆ � (1 + RRf ) la expresi�on anterior se sim-pli� a, quedando: V ' �RfMi(1 + j2�fRfCGÆ ) (10.26)Por lo que si adem�as se toma una ganan ia lo su� ientemente alta omo para queGÆ � 2�CRf�f , resulta que no es pre iso e ualizar ya queV ' �RfMi (10.27)La ventaja de estos preampli� adores onsiste en que, al no ser ne esario e ualizarsu respuesta, tienen un rango din�ami o de fun ionamiento mayor que el del ampli� adorde tensi�on. Como desventaja, sus ara ter��sti as de ruido son peores y los requerimientosde dise~no del ampli� ador son mu ho m�as estri tos (la ganan ia debe ser muy alta en todoel an ho de banda). Se puede demostrar que la expresi�on (10.24) sigue siendo v�alida paralos preampli� adores de transimpedan ia, a ondi i�on de sustituir la resisten ia R por elparalelo de las resisten ia R y Rf , lo que ha e que aumente el ruido t�ermi o.10.8. Tasa de error binario m�axima admisible.En la �g. f10.16g se ha representado las fun iones de densidad de probabilidad (al ha-ber ruidos aleatorios superpuestos las se~nales no son deterministas) aso iadas a los siguientessu esos: re ibir un s��mbolo orrespondiente a un ero (denotado en la �gura omo "o�") yre ibir un s��mbolo orrespondiente a uno (denotado en la �gura omo "on"). Tambi�en seha representado el valor umbral de de isi�on. Si la tensi�on medida en el bloque de de isi�on( omparador) es mayor que Vth se asume que se ha re ibido re ibido un uno l�ogi o y en aso ontrario un ero l�ogi o. Debido al ruido presente en el re eptor, puede o urrir que sehaya re ibido un ero y el ruido superpuesto a la se~nal haga que la tensi�on sea superior ala umbral. En este aso de idiremos, err�oneamente, que se hemos re ibido un uno. Tambi�enpuede o urrir que llegue un uno y por ulpa del ruido, la tensi�on a la entrada del ompa-rador sea inferior a Vth. Tambi�en en este aso on luiremos que hemos re ibido el s��mboloequivo ado (un ero en este aso). Vamos a suponer que los ruidos superpuestos a la se~nales�utiles (representadas por los valores medios �on y �off) son gaussianos; denotaremos la pro-babilidad de re ibir un "1" por medio de la letra a y la de re ibir un "0" por medio de 1� ay las probabilidades de de idir, err�oneamente, que ha llegado un "1" por medio de PÆ y la




off

off

on

on

Vth

f(v)Figura 10.16: fun iones de densidad de probabilidad de error y umbral de de isi�on.probabilidad de de idir, tambi�en equivo adamente, que hemos re ibido un "0" por medio deP1. Cal ulemos la probabilidad de error total:PE = aP1 + (1� a)PÆPÆ = Z 1Vth 1p2��off e� (V��off )22�2off dVP1 = Z Vth�1 1p2��on e� (V��on)22�2on dV (10.28)Ahora si ha emos los siguientes ambios de variables: � := V��offp2�off y � := V��onp2�on ytenemos en uenta que las gaussianas tienen simetr��a par on respe to a la media, resulta:PE = aP1 + (1� a)PÆPÆ = 1p� Z 1QÆ e��2d� = 12erf (QÆ)P1 = 1p� Z �Q1�1 e��2d� = 1p� Z 1Q1 e��2d� = 12erf (Q1) (10.29)Por tanto, dedu imos:



10.8. TASA DE ERROR BINARIO M�AXIMA ADMISIBLE. 193PE = a2erf [QÆ(Vth)℄ + 1� a2 erf [Q1(Vth)℄ (10.30)Evidentemente, tomaremos omo valor de Vth aqu�el que minimi e la propabilidad deerror:dPEdVth = �PE�QÆ dQÆdVth!V �th + �PE�Q1 dQ1dVth!V �th = 0) � ap2��off e�Q2Æ + 1� ap2��on e�Q21 = 0)a1� a �on�off = eQ2Æ�Q21 ) V �th � �offp2�off !2 � �on � V �thp2�on !2 = ln a1� a �on�off ! (10.31)Esta e ua i�on algebrai a habr��a que resolverla num�eri amente en ada aso parti ularpara obtener el valor V �th. El aso des rito en asi ualquier libro de omuni a iones digitaleses a = 12 y �on = �off que, sustituido en el que la expresi�on anterior lleva a [3℄{[83℄:QÆ = Q1V �th = �on+�off2PE = 12erf �on � �off2p2� ! (10.32)



194 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICAS10.9. Ap�endi e I: Dedu i�on de los tiempos de respues-ta interna.Estimemos el tiempo que tarda un ele tr�on en atravesar la zona p de entrada. Paraha erlo tenemos en uenta que el ujo es puramente difusivo (por ser el portador minoritario).Por tanto, la expresi�on del ujo la podemos aproximar mediante:�n = Dn��n�x ' Dn�nwp (10.33)donde �n representa la on entra i�on de portadores en desequilibrio justo a la entradadel dispositivo 25 y wp representa la an hura de la zona p.A partir del ujo difusivo es f�a il dedu ir la velo idad media de desplazamiento de losele trones. Para ello basta dividir el ujo por la on entra i�on media de ele trones ya queeste o iente tienen las dimensiones f��si as de una velo idad:�n�n=2 ' wp�dif ' 2Dnwp (10.34)de donde dedu imos que el tiempo medio de difusi�on de los ele trones viene dado porla expresi�on siguiente: �dif = w2p2Dn (10.35)

25La aproxima i�on he ha en (10.33) es muy buena puesto que la zona p es muy estre ha on respe to ala longitud de difusi�on y, en onse uen ia, la urva exponen ial se aproxima muy bien mediante una l��neare ta. La on entra i�on de portadores en desequilibrio en la regi�on de deplexi�on es peque~na, de ah�� que lapendiente (negativa) de la re ta se aproxime por el o iente �nwp .



10.10. PROBLEMAS 19510.10. ProblemasProblema 12: Cal ule la poten ia �opti a requerida en una omuni a i�on en la que setransmiten datos on un r�egimen binario (Rb) de 155Mbps (�f = 310MHz).La longitud de onda de trabajo es �Æ = 1300nm. Se ha elegido un preampli� ador uyospar�ametros de ruido son (�i2a) 12= 2pA=(Hz) 12 , (�v2a) 12=2nV=(Hz) 12 . La apa idadtotal del ir uito de entrada es C=3pF, la resisten ia de arga es RL = 40K y laresisten ia de realimenta i�on (se trata de un ampli� ador de transimpedan ia)es Rf = 10K. Se pre isa en el re eptor una K=20.Datos: q = 1;6� 10�19C, kT=0.026eV, Æ = 3� 108m=s, h = 6;6� 10�34Js.1.- Considere un fotodiodo PIN on � = 0;5 y al ule la poten ia �opti a que de llegaral re eptor, as�� omo el n�umero de fotones.2.- Considere, ahora, un fotodiodo APD on � = 0;2. M=20 y F =Mx = 10 y determine lapoten ia �opti a que ha de llegar al re eptor as�� omo el n�umero de fotones.Solu i�on:Apartado 1:�i2a = 4� 10�24 A2Hz�v2aR2 = 6; 25� 10�18(8� 103)2 = 6; 25� 10�26 A2Hz�v2a 4�23 C2(�f)2 = 4; 54� 10�23 A2Hz4KTRM = 2; 08� 10�24 A2Hz2qF i ' 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;) i[5; 16� 10�23℄1=2[310� 106℄1=2 = 20)

i = 2; 53�A on el valor de i obtenido se veri� a que, efe tivamente, 2qF i = 8; 09� 10�25 A2Hz ' 0. Siadem�as tenemos en uenta que en una odi� a i�on NRZ el tiempo de de�ni i�on de un bit esTb = 1Rb , nos queda: Popt = ih Æ�q� = 4; 81�Wn = PopthfRb = 203747



196 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASApartado 2�i2aM2 = 10�26 A2Hz�v2aR2M2 = 1; 56� 10�26 A2Hz�v2aM2 4�23 C2(�f)2 = 1; 135� 10�25 A2Hz4KTRM2 = 5; 2� 10�27 A2Hz2qF i = 3; 2� 10�18i A2Hz

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;) 20 = i[3; 2� 10�18i+ 1; 28� 10�25℄1=2[310� 106℄1=2

La e ua i�on de segundo grado resultante es:i2 � 3; 968� 10�7i� 1; 584� 10�14 = 0) i = 4; 33� 10�7A;Mi = 8; 66�A on lo que resulta: Popt = ih Æ�q� = 824nWn = PopthfRb = 34905



10.10. PROBLEMAS 197Problema 13: Se tiene un sistema de omuni a iones anal�ogi as en el que se quierentransmitir 30 anales de televisi�on utilizando 30 subportadores el�e tri as, de maneraque la se~nal resultante tiene una o upa i�on espe tral de 800MHz. En el re eptor quehay al otro extremo de la �bra, la apa idad par�asita onjunta del fotodete tor y elpreampli� ador es de 1pF. Para evitar posible fen�omenos de satura i�on en unhipot�eti o e ualizador se ha de idido emplear un preampi� ador de tensi�on,dese h�andose la op i�on del ampli� ador de transimpedan ia y de un e ualizador en aso de que la primera etapa ampli� adora �ltre la se~nal. Teniendo esto en uenta,se pide:1.- Determine el valor de la resisten ia de arga del fotodete tor.2.- Si los par�ametros de ruido del ampli� ador son 1pA/pHz y 0,1nV/pHz omprue-be que el t�ermino de ruido t�ermi o dominante es el de la resisten ia de arga.3.- En las ondi iones anteriores, al ule el valor �optimo de la gana ia internadel fotodete tor.4.- En la expresi�on del apartado anterior, tome x=1 (valor t��pi o para un APDde germanio) y al ule la expresi�on de la SNR �optima.5.- Teniendo en uenta que en una omuni a i�on anal�ogi a se ne esita una SNR poren ima de 40dB, razone si tiene sentido utilizar un APD de germanio omo dete tor.6.- Considere un fotodete tor formado por el onjunto de un ampli� ador �opti o m�asun fotodete tor PiN y se mod�elelo omo si fuese un APD on un valor muy bajo de x,x=0,01. Cal ule la gana ia del ampli� ador �opti o y la orriente ne esaria enel fotodete tor para tener una SNR de 40dB.7.- Dise~ne el ampli� ador �opti o. �Æ = ��(N2 �N1) � = 0; 1� = 5� 10�25m�3 N2 �N1 = 2� 1024m�3Solu i�on:Apartado 1:Como hay que emplear un preampli� ador de tensi�on sin e ualiza i�on, el ir uito RC deentrada no debe �ltrar la se~nal: ~V = ~IZeq = ~IYeqYeq = 1R + j!Cp = 1 + j!RCpR ) Zeq = R1 + j!RCp!RCp = 1) Rmax = 12�fmaxCp = 12� � 800� 106 � 10�12 ' 200



198 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASApartado 2:Cal ulemos ada uno de los t�erminos de ruido u�anti o:4KTR = 4� 0; 026� 1; 6� 10�19200 = 8� 10�23 A2Hz�i2a = 10�24 A2Hz�v2aR2 = 2; 5� 10�25 A2Hz4�2�v2aC2(�f)23 = 8; 41� 10�23 A2HzLuego, efe tivamente, el ruido t�ermi o dominante es el de la resisten ia de arga.Apartado 3:Tenemos que maximizar la expresi�on de la SNR:K2 ' i2 2qMxi+ 4kTRM 2!�fdK2dM = 09>>>>>>=>>>>>>; ) 2qixMx�1 � 2MM 4 4KTR = 0) 2qxMx�1 = 4KTR 2M 3 )Mopt = 4KTxRqi! 12+x )Mopt = 5� 10�4xi ! 12+xApartado 4:En la expresi�on anterior tomamos x=1 y sustituimos en la f�ormula de la SNR:M opt = 3s4KTqRiSNR℄opt = K2opt = i2242q 4KTRqi ! 13 i+ 4kTR(4KTRqi ) 23 35�f = i 4324 32q2kTR !13 + 4kTq2R !1335�f =

= i 433�f 4q2kTR !13Si sustituimos valores queda:



10.10. PROBLEMAS 199SNR i 43 M opt40dB=104 12,97�A 6,250dB=105 72,94�A 2,640dB=106 410,19�A 1,1(SNR)opt = i 433; 0478� 10�11Apartado 5:Imponiendo una SNR de 40, 50 y 60dB y teniendo en uenta que i = (3; 0478� 10�11) 34y Mopt = q5�10�4i obtenemos los datos de la tabla (10.10). Vemos que las gana ias �optimasson muy bajas, debido al elevado fa tor de ruido del fotodete tor. Las ganana ia internade un APD de germanio es del orden de 100, por lo que no tiene sentido emplearlo en estaapli a i�on.

Apartado 6:Como ahora tenemos x=0,01, la sensibilidad del re eptor va a ser m�as alta. Cal ul�emosla:Mopt = 4KTxRqi! 12+x ' 4KTxRqi! 12SNRopt = i2M2opt�2qiM2+x + 4KTR ��f ' i2 4KTxRqi 2qi4KTxRqi + 4KTR !�f = iq�f(x+ 2) )i = SNRoptqB(x+ 2) = 104 � 1; 6� 10�19 � 8� 108 � 2; 01 = 2; 57�AMopt ' s4KTxqRi = 139; 5



200 CAP�ITULO 10. RECEPTORES PARA COMUNICACIONES �OPTICASApartado 7:Dise~nemos el ampli� ador �opti o. Para ello, tendremos en uenta que GEDFA = e�ÆL yque �Æ = ��(N2 �N1)L = lnG��(N2 �N1) = ln 139; 50; 1� 5� 10�25 � 2� 1024 = 49; 37m



Cap��tulo 11Ampli� adores �opti osResumen: En este ap��tulo vamos a expli ar el fun ionamiento del ampli� ador �opti ode �bra dopada on erbio (EDFA). En los apartados dos, tres y uatro haremos una apro-xima i�on que, siendo admisible en los ampli� adores �opti os a semi ondu tor (SOAs), nolo es en los EDFAs. Esta aproxima i�on onsiste en suponer que la inversi�on de pobla i�ondel medio a tivo es la misma en todos los puntos del ampli� ador. De esta maneraresulta sen illo introdu ir los on eptos de an ho de banda de ampli� a i�on,satura i�on de la ganan ia y fa tor de ruido del ampli� ador. En los dos �ultimos aparta-dos modelaremos el omportamiento del EDFA en sus dos on�gura iones b�asi as: la de opropaga i�on y la de ontrapropaga i�on. Un aspe to no tenido en uenta a la hora dededu ir este modelo es que las se iones ruzadas aso iadas a la emisi�on estimuladay a la absor i�on son distintas y, a su vez, estas dos se iones ruzadas dependen de lafre uen ia a lo largo de todo el an ho de banda de opera i�on. Al no haber tenido en uenta estos aspe tos, lo modelos obtenidos tan s�olo reprodu en ualitativamente elfun ionamiento de los ampli� adores de �bra dopada on erbio.

201



202 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOS11.1. Introdu i�onN N > 02 1

E=E eo

[ ( )- ]z/2e

j[ t- ( )z]

Medio atómico con inversión de población

Onda de pulsación cercana a propagándose

Figura 11.1: Medio at�omi o on inversi�on de pobla i�on que ampi� a la radia i�on ele -tromgn�eti a in idente.En las omuni a iones por �bra �opti a se utilizan dos tipos de ampli� adores �opti os:1.- El EDFA [13℄{[16℄{[27℄ (del ingl�es "Erbium Doped Fiber Ampli�er") uyo medio a tivoson iones de erbio on arga positiva trivalente que, inmersos en la matriz v��trea del n�u leode una bobina de �bra monomodo, tienen estados energ�eti os a esibles dis retos. 2.- ElSOA [25℄ (del ingl�es "Semi ondu tor Opti al Ampli�er") es un ampli� ador �opti o uyomedio a tivo es un semi ondu tor. El EDFA es, on diferen ia, el m�as utilizado de los dos,ya que se emplean sistem�ati amente omo ampli� ador de l��nea [72℄, omo "booster" [72℄y omo preampli� ador [72℄ para aumentar la sensibilidad de los re eptores. El SOA es undispositivo on mu has posibles apli a iones en redes todo{�opti as que, quiz�as, se desarrollenen un futuro no muy lejano. Sus apli a iones m�as prometedoras son los onvertidores enlongitud de onda [25℄{[59℄{[58℄, la realiza i�on f��si a de regeneradores 3R [25℄{[59℄{[58℄ y dedispositivos apa es de llevar a abo una multiplexa i�on temporal de pulsos en el dominio�opti o [25℄{[59℄{[58℄. Su fun ionamiento se basa en una serie de efe tos no lineales que,normalmente, est�an indu idos por la varia i�on de la on entra i�on de los portadores libresen el medio a tivo, (aunque, di ho sea de paso, la din�ami a aso iada a estos fen�omenoses relativamente lenta, del orden de 50ps, pero se ree que la nueva genera i�on de SOAsbasados en puntos u�anti os permitir�a superar este in onveniente). En este ap��tulo nos entraremos en el estudio del EDFA ya que �estos son omponentes omer iales que se empleasistem�ati amente en las redes �opti as a tuales.En ap��tulos anteriores estudiamos los me anismos de intera i�on luz{materia en



11.1. INTRODUCCI �ON 203medios uyos estados energ�eti os a esibles estaban dis retizados, omo el mostrado en la�g. f11.1g. Re ordemos una serie de resultados que obtuvimos enton es:d�dz = �Æ(f)�+ �es(f)�Æ(f) = ��(f)(N2 �N1)�(f) = �2l(f)8��spl(f) = 2��f 11 + f � f21�f !29>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(11.1)La primera e ua i�on de (11.1) des ribe la evolu i�on del ujo � de una onda ele -tromagn�eti a que se propaga por un medio a tivo. El t�ermino �Æ(f) re ibe el nombre deganan ia por unidad de longitud puesto que los tres t�erminos que intervienen en la e ua i�ontienen, ne esariamente, las mismas unidades f��si as. Dado que d�dz es, dimesionalmente, un ujo dividido por una longitud, �Æ ha de tener la dimensi�on de la inversa de una longitud yde ah�� su nombre.

E1

E2

N1

N 2

Figura 11.2: Estados energ�eti os a esibles del medio diel�e tri o.La segunda f�ormula de (11.1) indi a que la ganan ia por unidad de longitud del medioampli� ador, �Æ(f), es positiva s�olo si el n�umero de �atomos (por unidad de volumen) 1 quehay en el estado energ�eti o ex itado, N2, es mayor que el que hay en el estado inferior, N1.El t�ermino �, que interviene en la de�ni i�on de la gana ia por unidad de longitud, re ibeel nombre de fa tor de on�namiento y pone de mani�esto que s�olo una fra i�on del ujo(esta fra i�on, expresada en tanto por uno, es, pre isamente, el fa tor de on�namiento) sepropaga por el medio a tivo e intera iona on �este. El t�ermino �(f) re ibe el nombre dese i�on ruzada debido a que tiene unidades de super� ie. De alguna manera, si interpretamoslos pro esos de intera i�on luz{materia omo la olisi�on de un fot�on on un i�on de erbio,la se i�on ruzada es el �area que presenta el i�on de erbio ( onsiderado omo una "diana")1Suponemos el mismo grado de degenera i�on en los dos estados energ�eti os a esibles.



204 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSfrente a un ujo in idente de fotones (que, en esta inexa ta analog��a, ser��an los "proye tiles").Cuanto mayor es la se i�on ruzada, m�as intensos son los pro esos de intera i�on luz{materia.Por �ultimo, l(f) re ibe el nombre de fun i�on de l��nea y su signi� ado es laro: representa ladensidad de probabilidad de la variable aleatoria aso iada a que un fen�omeno de intera i�onluz{materia se produz a en un intervalo de fre uen ias df determinado. En (11.1) hemossupuesto que la fun i�on de l��nea es una Lorentziana lo ual es ierto s�olo en medios a tivosde niveles dis retos y ensan hamiento homog�eneo (que no es el aso de los iones de erbio delEDFA). Por �ultimo, el t�ermino �es(f) representa el peque~no in remento de ujo aso iado ala fra i�on de emisi�on espont�anea que se propaga en la misma dire i�on y sentido y en elmismo an ho de banda que el ujo in idente.En la �g. f11.2g observamos el diagrama de estados energ�eti os a esibles de unmedio a tivo en el que hay inversi�on de pobla i�on. El ujo in idente, que est�a ompuestopor fotones de fre uen ia f21 = E2�E1h , estimula pro esos de absor i�on y emisi�on estimulada.Como N2 > N1, la emisi�on estimulada es m�as importante que la absor i�on y el ujo re eexponen ialmente a medida que se propaga por el medio, tal omo se muestra en la �g.f11.1g.so

bo bl

sl

L

EDFA

3N =0,E3

N ,E2 2

N ,E1 1

32=0

21s

b

C

Figura 11.3: Ampli� ador �opti o de �bra dopada on erbio. Bombeo en opropaga i�on.Los ampli� adores �opti os de �bra dopada on erbio 2 tienen una estru tura pare idaa la mostrada en la �g. f11.3g. Consisten en una bobina de �bra �opti a monomodo uyalongitud es t��pi amente de unas uantas de enas de metros, en uyo n�u leo se introdu e una ierta on entra i�on de iones de erbio, una tierra rara, que denotamos Er3+. Estos iones onstituyen el medio a tivo del ampli� ador �opti o y sus estados energ�eti os a esibles semuestran tambi�en en la �g. f11.3g. Este diagrama es el t��pi o de un l�aser de tres nivelesdis retos, en el que el estado energ�eti o "3" onstituye la banda de bombeo y los estados2Se fabri an tambi�en ampli� adores de �bra dopada on yterbio para enla es de segunda ventana. Estodispositivos no han llegado, sin embargo, a popularizarse por una serie de in onvenientes t�e ni os que novamos a expli ar.



11.1. INTRODUCCI �ON 205"1" y "2" son los estados entre los que se produ en las transi iones estimuladas (absor i�ony emisi�on estimulada). Como en ualquier l�aser de tres niveles, el estado "3" es inestable (esde ir, el tiempo medio de permanen ia de un i�on en este estado es muy peque~no, �32 ' 0),el nivel "2" es metaestable (es de ir, �21 es grande) y, por �ultimo, el estado "1" es estable yaque es el estado de m��nima energ��a).Por el ampli� ador �opti o se propagan dos ujos de radia i�on luminosa de longitudesde onda distintas. Por un lado est�a el ujo de bombeo (que normalmente est�a generado porun l�aser semi ondu tor) y que, en en la �g. f11.3g, se propaga en el mismo sentido quela otra radia i�on luminosa, la de la se~nal que se quiere ampli� ar. A esta on�gura i�on debombeo, por motivos obvios, se le da el nombre de bombeo en opropaga i�on. Tambi�en esposible realizar el bombeo desde el otro extremos de la �bra y en sentido ontrario, en uyo aso tendr��amos una on�gura i�on en ontrapropaga i�on. Se pueden utilizar dos longitudesde onda distintas para realizar el bombeo: 980nm y 1480nm, ya que el Er3+ tiene estasdos bandas de absor i�on. Las ara ter��sti as del EDFA (mayor o menor sensibilida a lasatura i�on y fa tor de ruido m�as o menos a usado) dependen tanto del tipo de on�gura i�onde bombeo ( opropaga i�on, ontrapropaga i�on o bombeo bidire ional) omo de la banda enla que se efe t�ue el bombeo; desgra iadamente, el modelado que vamos a ha er del EDFA nopermitir�a prede ir estas ara ter��ti as. El motivo es que tendr��amos que estudiar previamentela espe tros op��a de las tierras raras [13℄ (el erbio lo es) y el ensan hamiento que produ e lamatriz v��trea sobre los estados energ�eti os, lo que laramente ex ede los objetivos mar adosen este libro. Destaquemos, por �ultimo, que los EDFAs tienen una an ho de banda de unos30nm en los que la ganan ia es pr�a ti amente plana 3..

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n2

n1

Figura 11.4: Fa tor de on�namiento de la �bra dopada on erbio.En la �g. f11.4g se ha representado un trozo de la �bra �opti a monomodo dopada onerbio. Vemos que el dopado se realiza en el n�u leo de la �bra pero no ne esariamente en todasu se i�on. El signi� ado del fa tor de on�namiento � es laro: es el �area rallada divididapor el �area total, orrespondiente a la fra i�on de intensidad luminosa que se propaga por3Esto se onsigue introdu iendo en el EDFA una �bra on p�erdidas que e ualiza la ganan ia en el rangode fre uen ias de inter�es.



206 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSla zona a tiva de la �bra expresada en tanto por uno. S�olo esta fra i�on produ e fen�omenosde intera i�on luz{materia. Puesto que el ujo de bombeo y el de la se~nal se realizan alongitudes de onda distintas, los fa tores de on�namiento aso iados son, tambi�en, diferente.Con objeto de no ompli ar el modelado del EDFA los tomaremos iguales aunque esto noes, evidentemente, ierto.Hay otro aspe to de los EDFAs que no vamos a estudiar: los iones trivalentes del erbiopresentes en el n�u leo de la �bra generan un ampo el�e tri o que in uye sobre sus estadosenerg�eti os a esibles. Este ampo el�e tri o ha e que, por efe to Stark [14℄, estos estadosa esibles se separen en bandas que son a�un m�as an has, modi� ando las se iones ruzadasdel medio a tivo. A efe tos del modelado del EDFA, la onse uen ia m�as importante es quela urva que rela iona la se i�on ruzada de la emisi�on estimulada frente a la fre uen ia dela radia i�on luminosa es distinta de la de la absor i�on [13℄{[16℄{[27℄{[36℄. Como ya hemosexpli ado anteriormente, el estudio de la espe tros op��a de las tierras raras, el grado dedegenera i�on de los estados energ�eti os a esibles y la in uen ia que tiene en �estos la matrizv��trea (el s��li e) y el efe to Stark rebasa, on re es, los l��mites de este libro por lo quevamos a ignorarlos y tomaremos se iones ruzadas iguales para los fen�omenos de emisi�onestimulada y absor i�on. Tampo o vamos a intentar modelar de una manera pre isa el ruidode emisi�on espont�anea (ruido "ASE") que se produ e en los EDFAs. Pedimos dis ulpas poresta grosera simpli� a i�on de la realidad y remitimos al le tor interesado en profundizar enestas interesantes uestiones a la bibliograf��a adjunta [13℄{[14℄{[16℄{[27℄{[36℄.En los tres apartados que siguen haremos una aproxima i�on que, siendo relativamentev�alida en los ampli� adores �opti os a semi ondu tor (salvo la expresi�on de la fun i�on del��nea) [25℄{[66℄{[86℄, no se puede justi� arse en los ampli� adores de �bra dopada on erbio.Esta aproxima i�on onsiste en suponer que la inversi�on de pobla i�on del medio a tivo esla misma en todos los puntos del ampli� ador. Lo que pretendemos on esto es introdu irde una manera sen illa los on eptos de an hos de banda de ampli� a i�on (an ho de bandaaso iado a la ganan ia por unidad de longitud y el aso iado a la ganan ia total), el fen�omenode satura i�on de la ganan ia y el fa tor de ruido de un ampli� ador �opti o. Creemos que,puesto que estos fen�omenos se dan en todos los ampli� adores �opti os, el "insight" que seadquiere on este tratamiento tan sen illo ompensa la falta de rigor.11.2. Ganan ias y an hos de banda aso iadosEl primer an ho de banda que podemos de�nir en un ampli� ador �opti o est�a rela io-nado on la ganan ia por unidad de longitud. Lo de�nimos omo el intervalo de fre uen iaspara el que esta ganan ia es superior o igual a la mitad del m�aximo y los denotamos mediateFWHM� (del ingl�es "full width half maximum"). En la �g. f11.5g hemos representado ladependen ia de la ganan ia por unidad de longitud aso iada a una fun i�on de l��nea Lorent-ziana (dividida por su valor m�aximo) frente a la fre uen ia y hemos trazado tambi�en unare ta horizontal de valor 12 . Los dos puntos de orte entre de�nen FWHM�. Veamos u�al essu expresi�on anal��ti a:



11.2. GANANCIAS Y ANCHOS DE BANDA ASOCIADOS 207

f

198192190 196

1

188186

0,8

0,2

1840

194

0,6

0,4

Figura 11.5: An ho de banda aso iado a la ganan ia por unidad de longitud. En el eje verti alse ha representado �Æ(f)�Æmax junto a una l��nea horizontal de ordenada 0,5 y en el horizontal lafre uen ia medida en THz. El valor de f21 es f21 = 192THz.�Æ(f) = ��2(N2 �N1)8��es 2��f1 + (f � f21�f )2�Æmax = �Æ(f21) = 2��f ��2(N2 �N1)8��es

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;) �Æmax2 = �Æ ) f = f21 � �f2 (11.2)Por tanto el an ho de banda resulta ser:FWHM� = �f (11.3)Determinemos, a ontinua i�on, la ganan ia total del ampli� ador �opti o teniendo en uenta que �esta es, por de�ni i�on, el o iente entre el ujo de salida y el ujo de entrada:d�dz = �Æ(f)z = 0 � = �Æ; z = L � = �L 9>>>=>>>;) Z �L�Æ d�� = Z L0 �Æ(f)dz ) G(f) = e�Æ(f)L (11.4)La ganan ia total m�axima se produ e tambi�en para la fre uen ia f = f21:GÆmax = GÆ(f = f21) = e�ÆmaxL (11.5)



208 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSSi ahora imponemos la ondi i�on de que sea igual a la mitad del m�aximo, resulta:e�Æ(f)LGÆmax = 12; ln GÆmaxexp0� �ÆmaxL1 + (f�f21�f )21A = ln 2;lnGÆmax � lnGÆmax1 + f � f21�f !2 = ln 2; f � f21�f !2 = lnGÆmaxlnGÆmax=2 � 1

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;) FWHMG = �fs ln 2lnGÆmax=2 (11.6)

Puesto que normalmente GÆ � 1 resulta que FWHMG � FWHM�.11.3. Satura i�on de la ganan iaNaturalmente un modelo que predi e un re imiento exponen ial del ujo de salidatiene un rango de validez muy limitado (s�olo predi e resultados orre tos si el ujo de entradaes muy d�ebil). La ganan ia debe disminuir por debajo de lo predi ho por el modelo delapartado anterior a medida que el ujo se haga del mismo orden de magnitud o mayor queun determinado valor umbral que llamaremos ujo de satura i�on. Postulamos, omo modelom�as relista del EDFA, uno en el que la ganan ia por unidad de longitud de re e on respe toal ujo de a uerdo on la siguiente expresi�on:�sÆ = �Æ(f)1 + ��sat (11.7)La ganan ia por unidad de longitud es propor ional a la inversi�on de pobla i�onN2 � N1, pero si el ujo que atraviesa el ampli� ador se ha e muy grande, el n�umero deiones que pasan del estado ex itado al fundamental aumenta, disminuyendo, por tanto, lainversi�on de pobla i�on. La rela i�on m�as sen illa que podemos estable er y que re eja estadisminu i�on es (11.7). El par�ametro �sat es una ara ter��sti a propia del ampli� ador quehay que determinar experimentalmente on alg�un tipo de ensayo. La e ua i�on diferen ialresultante, que des ribe la varia i�on del ujo en un ampli� ador �opti o on el modelo desatura i�on propuesto, es integrable:d�dz = �Æ(f)1 + ��sat �) d�� + d��sat = �Æ(f)dz ) Z �out�in d�� + �out � �in�sat = lnGÆ(f) (11.8)La gana ia total del ampli� ador la vamos a denotar mediante G(f), mientras que laganan ia sin satura i�on omo GÆ(f). Teniendo esto en uenta resulta:



11.4. FACTOR DE RUIDO DE UN AMPLIFICADOR �OPTICO 209lnG(f) + �out�sat [1� 1G(f) ℄ = lnGÆ(f)) G(f) = GÆ(f)exp �G(f)� 1G(f) �out�sat! (11.9)La rela i�on (11.9) de�ne una e ua i�on impl�� ita que nos permite al ular la ganan iadel ampli� ador �opti o para un valor determinado del ujo de de salida. Con objeto detener una idea ualitativa del omportamiento del ampli� ador, �jamos la fre uen ia alvalor f = f12: Gmax = GÆmaxexp��Gmax � 1Gmax �out�sat� (11.10)y, dado que para valores razonable de �in (es de ir, ujos de entrada muy inferioresal de satura i�on), se veri� a Gmax � 1 por lo que Gmax�1Gmax ' 1 resultando:Gmax ' GÆmax(f)exp��out�sat� (11.11)Vemos que uando el ujo de salida se ha e del mismo orden de magnitud que el ujode satura i�on, la ganan ia del ampli� ador �opti o de re e exponen ialmente. >Qu�e tipo deensayo habr��a que ha er para determinar el ujo de satura i�on �sat de un ampli� ador �opti o?Supongamos que introdu imos ini ialmente un ujo a la entrada que es lo su� ientemented�ebil omo para que la ganan ia (es de ir, el o iente entre el ujo de salida y el de entrada)sea igual a GÆ. Supongamos, tambi�en, que aumentamos este ujo de manera que la ganan iadel ampli� ador empieza a aer por debajo del valor te�ori o m�aximo GÆ. Si ontinuamosaumentando la entrada hasta que G � �out�in = GÆ2 , en este momento anotamos el ujo desalida y lo denotamos, por ejemplo, omo �satout. En estas ondi iones tendremos:GÆmax2 = GÆmaxexp0BBB�� GÆmax2 � 1GÆmax2 �satout�sat 1CCCA) �sat = GÆmax � 2GÆmax ln 2�satout (11.12)Esta rela i�on nos permite, pues, al ular el valor de �sat a partir de la medida expe-rimental de �satout11.4. Fa tor de ruido de un ampli� ador �opti oEn los apartados anteriores hemos integrado la e ua i�on diferen ial aso iada al ujode la se~nal sin tener en uenta el t�ermino de emisi�on espont�anea. Sin embargo, una peque~nafra i�on de estos fotones se re eja en la super� ie de separa i�on entre n�u leo y orteza,produ iendo una se~nal a la salida en ausen ia de entrada. Esta se~nal es, evidentemente, un



210 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSruido que se superpone a ualquier radia i�on luminosa ampli� ada por el EDFA. Vamosa determinar la densidad espe tral de poten ia aso iada a este ruido (por supuesto, en elmar o del modelo simpli� ado que estamos onsiderando).d�dz = �Æ(f)� + �sp(f)z = 0 � = 0 9>>>=>>>; (11.13)Como queremos al ular la densidad espe tral de poten ia del ruido a la salida delampli� ador, no onsideramos ning�un ujo a la entrada. Cualquier se~nal que aparez a a lasalida estar�a provo ada por los fotones generados por emisi�on espont�anea y posteriormenteampli� ados en el dispositivo. La e ua i�on diferen ial (11.13) es de variables separadas, demanera que la podemos integrar f�a ilmente:d��Æ(f)� + �sp(f) = dz ) ln [�Æ(f)� + �sp(f)℄�L0 = �Æ(f)L)�L = �sp(f)�Æ(f) [e�ÆL � 1℄Re ordemos que �sp es la fra i�on de fotones que, generados por emisi�on espont�aneaen el n�u leo de la �bra, son guiados por la �bra en el mismo sentido que el ujo de la se~nal, aen en el mismo an ho de banda que �esta y tienen polariza i�on verti al (suponemos que ala salida del ampli� ador hay un polarizador orientado seg�un esta dire i�on de manera quepodemos eliminar la mitad del ruido).�sp(f) = N2�sp l(f)Bel d2� 4� (11.14)N2�sp es el n�umero total de fotones generados por emisi�on espont�anea por unidad devolumen y tiempo.l(f)Bel es la fra i�on de fotones que oin ide en an ho de banda on la se~nal (el restolo podemos eliminar on un �ltro �opti o paso{banda).d2� 4� es la fra i�on de fotones espont�aneos guidos por la �bra, que se propagan enel mismo sentido que la se~nal y tienen polariza i�on verti al. d es el �angulo s�olidoaso iado a las dire iones para las que los fotones generados por emisi�on espont�aneason guiados por la �bra.La expresi�on del oe� iente de gana ia por unidad de longitud es:�Æ(f) = ��2l(f)4��sp (N2 �N1) (11.15)



11.4. FACTOR DE RUIDO DE UN AMPLIFICADOR �OPTICO 211Con lo que el o iente �(f)�Æ(f) tiene la siguiente expresi�on:�(f)�Æ(f) = N2�sp l(f)Bel d2� 4��2l(f)4��sp (N2 �N1) = N2N2 �N1 d��2Bel (11.16)La poten ia a la salida del ampli� ador �opti o es PL = �LAthf donde At es la se i�onefe tiva de la �bra. Teniendo esto en uenta resulta:PL = N2N2 �N1 d��2At (GÆ � 1)hfBel (11.17)Ahora tendr��amos que demostrar que el �angulo s�olido d es pre isamente ��2At (no lovamos a ha er para no ompli ar m�as la demostra i�on), on lo que queda:PL = N2N2 �N1 d��2At (GÆ � 1)hfBel ) SASE = nsp(GÆ � 1)hf ' nspGÆhf (11.18)En la rela i�on (11.18) omprobamos que si el ampli� ador fun iona en ondu ionesideales (es de ir, on inversi�on de pobla i�on ompleta) nsp = 1, el ruido ASE (del ingl�es "Am-pli�ed Spontaneous Emission") ser��a, en este aso, equivalente a suponer que a la entrada,aparte de la se~nal a ampli� ar, hay, adem�as, un fot�on in orrelado on �esta.Para de�nir el fa tor de ruido de un ampli� ador �opti o hay que pasar, sin embargo,al dominio el�e tri o ya que la dete i�on introdu e t�erminos de "mez la" entre la se~nal �utilampli� ada y el ruido ASE (esta interferen ia entre la se~nal �util y el ruido ASE es, porsupuesto, un ruido indeseado). El ampo el�e tri o total en el fotodete tor es la suma del ampo debido a la se~nal �util ampli� ada y el aso iado al ruido ASE superpuesto. Dado queel fotodete tor genera una orriente que es propor ional al uadrado del ampo el�e tri ototal, apare en t�erminos de interferen ia entre las distintas se~nales ele tromagn�eti as. Lost�erminos de ruido dominantes son a) El ruido u�anti o aso iado a la se~nal ampli� ada y b) Elruido de interferen ia (o mez la) entre la se~nal ampli� ada y el ruido ASE. Esta a�rma i�ones ierta siempre que se tenga la pre au i�on de olo ar a la salida de ampli� ador �opti o un�ltro pasobanda �opti o que limite el an ho de banda del ruido ASE que llega al fotodete tor.Si esto no se ha e, dos t�erminos de ruido que no estamos al ulando, la mez la del ruido ASE onsigo mismo y el ruido u�anti o aso iado al ruido ASE, se ha en importantes e in lusopueden llegar a ser dominantes.A la hora de al ular la �gura de ruido del ampli� ador �opti o supondremos, parasimpli� ar el razonamiento, que la se~nal a ampli� ar es perfe tamente mono rom�ati a tal y omo la hemos representado en la �g. f11.6g (esta simpli� a i�on, aunque fa ilita los �al ulos,



212 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOS

P ( )o

P ( )o G P ( )oo

G P ( )oo

ASE( )

11

2

AO

i i

1 1

G P ( )oo 1

2ASE

-B +B1 E 1 E

Figura 11.6: C�al ulo de la �gura de ruido de un ampli� ador �opti o.no es impres indible). La �gura de ruido (o fa tor de ruido) de un ampli� ador es, porde�ni i�on, el o iente entre la rela i�on se~nal a ruido a la entrada dividido por la rela i�onse~nal a ruido a la salida del ampli� ador, es de ir, F := SN )ÆSN )L . Evidentemente, el o iente queresulta dif�� il de al ular es la rela i�on se~nal a ruido a la salida del ampli� ador.Cuando se produ e la mez la de la se~nal �util GÆPÆ on el ruido ASE (ver �g. f11.6g),las omponentes espe trales situadas por en ima de la pulsa i�on !1 + BE y por debajo de!1 �BE aen, al mez larse, fuera del an ho de banda de la primera etapa ampli� adora delre eptor, motivo por el que no vamos a tenerlas en uenta. Consideremos una omponentede ruido ASE arbitraria de pulsa i�on !2 2 (!2; !2+d!2). La orriente generada al mez larseen el fotodete tor este ruido ASE on la se~nal �util GÆPÆ es, evidentemente, una omponentede ruido. Cal ulemos u�anto vale la orriente total de mez la:�iT = R[p2Etot℄2 = R[p2pGÆPÆ sin(!1t) +p2pSASEd!2 sin(!2t+��)℄2 )�iM = 4RpGÆPÆpSASEd!2 < sin(!1t) sin(!2t+��) >== 2RpGÆPÆpSASEd!2 < os[(!1 � !2)t +��℄ > (11.19)En la e ua i�on (11.19) �� representa el desfase que hay entre la se~nal �util y el ruidoASE. Una uesti�on que debemos dilu idar es si �� var��a r�apida o lentamente en ompara i�on on el tiempo de de�ni i�on de un bit. En el primer aso, al promediar 4, obtendr��amos un4Suponemos que el re eptor integra la se~nal durante el tiempo de de�ni i�on del bit.



11.5. MODELO DEL EDFA EN COPROPAGACI �ON 213valor nulo y en el segundo el promedio dar��a un valor distinto de ero que tendr��amos que al ular. Para averiguarlo, debemos re ordar que el ruido ASE tiene un an ho de bandaefe tivo limitado e igual a 2BE. Por tanto, el tiempo de oheren ia de este ruido (el tiempodurante el ual �� no var��a apre iablemente) resulta ser t oh = 1BR = 12BE = Tbit [69℄{[78℄.Dedu imos, pues, que �� permane e pr�a ti amente onstante y, por omodidad, lo tomamosigual a ero:�iM = 2RpGÆPÆpSASEd�! os(�!t)) �i2M = 4R2GÆPÆpSASE[12 + 12 os(2�!t)℄d�! )�i2totM = 4R2GÆPÆSASE Z BE�BE [12 + 12 os(2�!t)℄d�! = 4R2GÆPÆSASEBE (11.20)Ya estamos en ondi iones de al ular el fa tor de ruido F del ampli� ador �opti o.Sabemos que a la entrada el �uni o ruido presente es el ruido u�anti o aso iado a la se~nal,mientra que a la salida tenemos dos t�erminos: el ruido u�anti o aso iado a la se~nal a ampli-� ada y el ruido de mez la. Como son estad��sti amente independientes, podemos sumar susvarianzas. SN �in = RPÆ2qBESN �out = RGÆPÆ2qBE + 4RSASEBE 9>>>=>>>;) F = RPÆ2qBERGÆPÆ2qBE + 4RSASEBE == 2qBE[1 + 2 Rq=hf nsp(GÆ � 1)℄2qBEGÆ = 1 + 2�nsp(GÆ � 1)GÆ (11.21)En la f�ormula (11.21) � es el rendimiento u�anti o interno del fotodete tor y dadoque estamos onsiderando un fotodete tor ideal, tomamos � = 1. Si, adem�as, tenemos en uenta que la ganan ia del ampli� ador suele ser muy alta, resulta:F ' 2nsp (11.22)donda nsp es la tasa de emisi�on espont�anea en ex eso.11.5. Modelo del EDFA en opropaga i�onEn la �g. f11.7g hemos representado un ampli� ador �opti o de �bra dopada on erbio on una on�gura i�on de bombeo en opropaga i�on. Tal omo se observa en la �gura, en losextremos se han olo ado dos aisladores que sirven para evitar que las re exiones par�asitasen la �bra onviertan el ampli� ador en un l�aser 5, ya que el aislador s�olo permite que la luz5Re ordemos que un l�aser no es m�as que un medio material on ganan ia que est�a limitado en sus extremospor dos espejos.



214 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSso

bo bl

sl

L

EDFA

3N =0,E3

N ,E2 2

N ,E1 1

32=0

21s

b

CFigura 11.7: Ampli� ador �opti o de �bra dopada on erbio. Bombeo en opropaga i�on.se propague en un �uni o sentido. El multiplexor de entrada sirve para introdu ir en la �brael ujo de bombeo (que puede ha erse a � = 980nm o bien a � = 1480nm), mientras queel desmultiplexor de salida permite extraer el ujo de bombeo ex edente, que si el EDFAest�a bien dise~nado debe ser muy peque~no. La diferen ia entre bombear a 980nm y ha erloa 1480nm onsiste en que el fa tor de ruido del ampli� ador es m�as bajo en el primer aso,mientras que la poten ia de satura i�on es m�as alta en el segundo (tal omo indi amos en laintrodu i�on de este ap��tulo, los modelos que vamos a dedu ir en este y el pr�oximo apartadono nos van a permitir prede ir este omportamiento).En la �g. f11.7g tambi�en se representa el diagrama de estados energ�eti os a esiblespara los iones Er3+ on los que se ha dopado el n�u leo de la �bra. El estado "3" es, omoen un l�aser de tres niveles, inestable, por lo que el tiempo medio de permanen ia en esteestado es muy peque~no: �32 ' 0 y, en onse uen ia, entre los estados "0" y "3" s�olo puedehaber absor i�on y nun a emisi�on estimulada (ya que N3 ' 0). El ujo de bombeo �B sirve,pre isamente, para estimular la absor i�on entre los estados "0" y "3" y onseguir que los iones aigan r�apidamente al estado "2". De esta manera se rea una inversi�on de pobla i�on entre losestados "1" y "2" y se produ en m�as fotones por emisi�on estimulada que los que se roban porabsor i�on. La onstante de tiempo de la transi i�on "1{2", �21, es lo su� ientemente grande omo para que resulte posible mantener la inversi�on de pobla i�on y el n�umero de fotonesgenerados por emisi�on espont�anea sea bajo.Para simpli� ar, supondremos que los fa tores de on�namiento aso iados a los u-jos de bombeo y se~nal son iguales (lo ual no es ierto). Planteemos, a ontinua i�on, lase ua iones diferen iales de evolu i�on de los ujos, la onserva i�on del n�umero total de iones,la e ua i�on diferen ial que des ribe la varia i�on del n�umero de iones en el estado "1" (im-ponemos ondi iones esta ionarias, ya que bus amos un modelo est�ati o del EDFA) y las ondi iones de ontorno del problema:



11.5. MODELO DEL EDFA EN COPROPAGACI �ON 215d�Bdz = ��BN0�Bd�Sdz = ��S(N1 �N0)�SNEr3+ = N0 +N1dN1dt = ��BNÆ�B � ��S(N1 �N0)�S � N1�10 = 0z = 0; �B = �B0; �S = �S0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11.23)

Estas e ua iones dependen de un n�umero ex esivamente grande de par�ametros, asaber: �, �S, �B, �10, �B, �S, NEr3+ y L. Para redu ir este n�umero vamos a adimensionalizarlas e ua iones, expres�andolas en fun i�on de variables adimensionales que toman valores omprendidos entre 0 y 2:�B = �B�B0 ; �S = �S�B0�0 = 2N0NEr3+ ; �1 = 2N1NEr3+� = zz ; �B0 = 1; �S0 = �S0�B0

9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>; (11.24)El ujo de la se~nal a la entrada del ampli� ador (en z = 0) suele ser mu ho m�aspeque~no que el de bombeo. Adem�as, en una situa i�on ideal (que nun a se veri� a exa ta-mente en la pr�a ti a), en z = L todos los fotones del ujo de bombeo habr��an pasado alde la se~nal, de manera que omo mu ho, el ujo de se~nal a la salida ser��a igual a la sumade los ujos de bombeo y se~nal a la entrada, motivo por el que se toma �B0 omo ujode adimensionaliza i�on. La distan ia ara ter��sti a de adimensionaliza i�on, z , no tiene porqu�e oin idir on L (de he ho, la mayor parte de las ve es no oin ide). El signi� ado f��si ode z es la distan ia a lo largo de la que los dos t�erminos de la primera e ua i�on del sistema(11.23) son del mismo orden de magnitud. Expresamos a ontinua i�on el sistema (11.23) enfun i�on de las variables adimensionales de�nidas en (11.24):



216 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOS�B0z d�Bd� = ��BNEr3+�B02 �0�B�B0z d�Sd� = ��SNEr3+�B02 (�1 � �0)�SNEr3+ = NEr3+2 (�0 + �1)��BNEr3+�B02 �0�B + ��BNEr3+�B02 (�1 � �0)�S � NEr3+2�10 �1 = 0� = 0; �B = 1; �S = �S0�B0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11.25)

Para que los dos t�erminos de la primera e ua i�on del sistema (11.25) sean del mismoorden de magnitud, tomamos z = 2��BNEr3+ , on lo que queda:d�Bd� = ��0�Bd�Sd� = a(�1 � �0)�S�0 + �1 = 2�0�B � a(�1 � �0)�S � �1b = 0� = 0; �B0 = 1; �S0 = �S0�B0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11.26)

Comparando los sistemas de e ua iones (11.23) y (11.26) vemos que hemos redu idoel n�umero de par�ametros a dos a := �S�B y b := �10��B�B0. En los ampli� adores �opti os se umple, aproximadamente, que b � 1 (es de ir, la aporta i�on de la emisi�on espont�anea enla varia i�on del n�umero de �atomos que o upan el estado "1" es po o importante). Si ahoraresolvemos en �Æ y �1 el sistema formado por las e ua iones ter era y uarta de (11.26)queda: �0 + �1 = 2�0�B � a(�1 � �0)�S � �1b = 0 9=;) �0 ' 2a�S�B + 2a�S�1 ' 2�B + 2a�S�B + 2a�S9>>>>>=>>>>>; (11.27)

Vemos que al despre iar la emisi�on espont�anea, podemos expresar las pobla iones delos estados "0" y "1" en fun i�on de los ujos de se~nal y bombeo. Si ahora sustituimos (11.27)en las e ua iones primera y segunda de (11.26) queda:



11.6. MODELO DEL EDFA EN CONTRAPROPAGACI �ON 217d�Bd� = � 2a�B�S�B + 2a�Sd�Sd� = 2a�B�S�B + 2a�S

9>>>>>=>>>>>; (11.28)Sumando las dos e ua iones (11.28) omprobamos que se dd� (�B + �S) = 0 ya queal despre iar el t�ermino de emisi�on espont�anea, ada fot�on perdido por el ujo de bombeose tradu e en un fot�on ganado por el ujo de la se~nal. Si parti ularizamos en � = 0 queda�B(�) + �S(�) = 1 + �S0�B0 ' 1, que sustituido en (11.28) resulta:d�Sd� = � 2a�S(1� �S)1 + 2a�S � �S� = 0; �S = �S0 = �S0�B0

9>>>>>=>>>>>;) ln ��SL�S0 � 12a�SL � 1�S0 � 1 = Lz ) G = �1� �SL�B0�2a e 2aLz (11.29)Donde a := �S�B y z := 2��BNEr3+ .11.6. Modelo del EDFA en ontrapropaga i�on

so

bo bl

sl

L

EDFA

3N =0,E 3

N ,E2 2

N ,E1 1

32=0

21s

b

C

Figura 11.8: Ampli� ador �opti o de �bra dopada on erbio. Bombeo en ontrapropaga i�on.



218 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSEn la �g. f11.8g se muestra un EDFA on bombeo en ontrapropaga i�on. La diferen iafundamental on respe to al aso anterior onsiste en que el bombeo se realiza desde elextremo de la �bra, on lo que la zona donde se bombea on m�as intensidad oin ide on laregi�on donde el ujo de la se~nal �util es mayor. Como onse uen ia, la poten ia de satura i�ondel ampli� ador es m�as alta, aunque el modelo que vamos a dedu ir no es apaz de predi ireste omportamiento. d�Bdz = ��BN0�Bd�Sdz = ��S(N1 �N0)�SNEr3+ = N0 +N1dN1dt = ��BN0�B � ��S(N1 �N0)�S � N1�10 = 0z = 0 �S = �S0; z = L �B = �BL

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11.30)

Comparando las e ua iones (11.30) on (11.23) advertimos de que la �uni a diferen ia on el aso anterior es que el ujo de bombeo re e on la oordenada longitudinal z, ya queel l�aser de bombeo est�a olo ado al �nal del ampli� ador.De nuevo, estas e ua iones dependen de un n�umero grande de par�ametros: �, �S,�B, �10, �B , �S , NEr3+ y L. Para redu ir este n�umero adimensionalizamos las e ua iones,expres�andolas en fun i�on de las siguientes variables adimensionales:�B = �B�BL ; �S = �S�BL�0 = 2N0NEr3+ ; �1 = 2N1NEr3+� = zz ; �BL = 1; �S0 = �S0�BL9>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>; (11.31)

Hemos tomado �BL omo ujo de adimensionaliza i�on. Al igual que en el apartadoanterior, la distan ia ara ter��sti a de adimensionaliza i�on z es la distan ia a lo largo dela ual los dos t�erminos de la primera e ua i�on del sistema (11.30) son del mismo orden demagnitud. Expresemos el sistema (11.30) en fun i�on de las variables adimensionales de�nidasen (11.31).



11.6. MODELO DEL EDFA EN CONTRAPROPAGACI �ON 219�BLz d�Bd� = ��BNEr3+�BL2 �0�B�BLz d�Sd� = ��SNEr3+�BL2 (�1 � �0)�SNEr3+ = NEr3+2 (�0 + �1)��BNEr3+�BL2 �0�B + ��BNEr3+�BL2 (�1 � �0)�S � NEr3+2�10 �1 = 0� = Lz �B = 1; � = 0 �S = �S0�BL

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11.32)

Para que los dos t�erminos de la primera e ua i�on del sistema (11.32) sean del mismoorden de magnitud, tomamos z = 2��BNEr3+ , on lo que queda:d�Bd� = �0�Bd�Sd� = a(�1 � �0)�S�0 + �1 = 2�0�B � a(�1 � �0)�S � �1b = 0� = 0; �S0 = �S0�BL �BL = 1

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11.33)

Comparando los sistemas de e ua iones (11.23) y (11.26) vemos que hemos redu idoel n�umero de par�ametros a dos a := �S�B y b := �10��B�BL. Al igual que en el aso anteriorse umple, aproximadamente, b� 1. Si ahora resolvemos en �0 y �1 el sistema formado porlas e ua iones ter era y uarta de (11.33) queda:�0 + �1 = 2�0�B � a(�1 � �0)�S � �1b = 0 9>>>=>>>;) �0 ' 2a�S�B + 2a�S�1 ' 2�B + 2a�S�B + 2a�S9>>>>>=>>>>>; (11.34)

Si ahora sustituimos (11.34) en las e ua iones primera y segunda de (11.33) queda:



220 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSd�Bd� = 2a�B�S�B + 2a�Sd�Sd� = 2a�B�S�B + 2a�S

9>>>>>=>>>>>; (11.35)Restando las e ua iones (11.35) omprobamos que se veri� a dd� (�B ��S) = 0 ya queal despre iar el t�ermino de emisi�on espont�anea, ada fot�on perdido por el ujo de bombeose tradu e en un fot�on ganado por el ujo de la se~nal. A diferen ia del aso anterior, nopodemos parti ularizar esta expresi�on para ning�un � ya que no son ono idos los dos ujossimult�aneamente en niguno de los dos extremos. Sin embargo, a udiendo a la de�ni i�on de lagana ia del ampli� ador, tenemos que �SL = G�S0 por lo que llegamos a la integral primera�B(�)� �S(�) = 1�G�S0. Sustituyendo en (11.35) resulta:d�Sd� = 2a�S(1�G�S0 + �S)2a�S + 1�G�S0 + �S� = 0; �S = �S0 = �S0�BL 9>>>=>>>;) lnG+ 2a ln� 11 + �S0 �G�S0� = 2aLz )G ' �1� �SL�BL�2a e 2aLz (11.36)



11.7. PROBLEMAS 22111.7. ProblemasProblema 14: Se tiene una ampli� ador �opti o de �bra dopada on erbio en opropaga i�on. El oe� iente de absor i�on de la �bra a 980nm es de 1dB/m y losfa tores de on�namiento aso iados a los ujos de se~nal y bombeo valen � = 0; 5. Eltiempo de permanen ia de un i�on de erbio en el estado 2 es despre iable, mientras queel aso iado al estado 1 es �10 = 50ms. La se i�on ruzada de se~nal vale �S = 3� 10�25m2y la de bombeo el doble. La se i�on efe tiva aso iado a ambos ujos es At = 40�m2,las poten ias de bombeo y se~nal al prin ipio del ampli� ador son PB0 = 10mWPS0 = 1�W y la longitud de onda de la se~nal es �Æ = 1553nm.Datos adi ionales: �h! = 1;24�Æ(�m) y q = 1; 6� 10�19C.Se pide: 1.- Cal ule los valores de las onstantes a, b y z as�� omo el valor del ujoadimensional de la se~nal a la entrada del EDFA.2.- Determine la expresi�on anal��ti a de la evolu i�on del ujo de la se~nal alo largo del ampli� ador �opti o. Cal ular la longitud de la �bra de manera queel ujo adimensional de la se~nal a la salida sea el 95 por iento del ujo de bombeoa la entrada.3.- Cal ule la poten ia �opti a de se~nal y bombeo a la salida del ampli� ador�opti o.Solu i�on:Apartado 1:El oe� iente de atenua i�on de la �bra a 980nm expresado en unidades de m�1 es:�980(m�1) = �980(m�1)10Log10e = 14; 343 = 0; 2303m�1Teniendo en uenta que �980 = ��BNEr3+ resulta:NEr3+ = 980��B = 0; 23033� 10�25 = 7; 677� 1023m�3Cal ulemos, ahora, los par�ametros a y z z = 2��BNEr3+ = 2�980 = 8; 684ma = �S�B = 12Puesto que b = �10��B�B0, tenemos que al ular primero �B0�B0 = PB01; 24�B(�m) � q � At = 10�21; 240; 98 � 1; 6� 10�1940� 10�12 = 1; 2348� 1027m�2b = �10��B�B0 = 5� 10�2 � 10�25 � 1; 2349� 1027 = 18; 524



222 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSCal ulemos tambi�en �s0�S0 = PS01; 24�S(�m) � q � At = 10�61; 241; 55 � 1; 6� 10�19 � 40� 10�12 = 1; 9569� 1023m�2Apartado 2:Puesto que b � 1 y a = 12 la e ua i�on diferen ial de evolu i�on del ujo de se~nal dentrodel EDFA es:d�S�d� = �S�(�S� � 1)) ln26664 ��S��S0��S� � 1�S0 � 1�37775 = � ) �S��S� � 1 = �S0�S0 � 1e�Ahora lo �uni o que hay que ha er es imponer la ndi i�on �S�= Lz = 0; 95:�S0 = �S0�B0 = 1; 9569� 10231; 2349� 1027 = 1; 5847� 10�4�0;950; 95� 1 = 1; 5847� 10�41; 5847� 10�4 � 1e Lz ) L = 11; 69� z = 101; 55mApartado 3:Puesto que hay que al ular la poten ia de la se~nal a la salida, al ulamos primero el ujo aso iado: �SL = 0; 95) �SL = 0; 95�B0 = 1; 1731� 1027m�2y, despu�es, la poten ia:PSL = �SL�h!At = 1; 241; 55 � 1; 6� 10�1940� 10�12 � 1; 1731� 1027 = 6mW al ulemos, por �ultimo, la poten ia de bombeo a la salida:�BL = 0; 05�B0 = 6; 175� 1025m�2 ) PBL = �BL�h!At == 1;240;98 � 1; 6� 10�19 � 10� 10�12 � 6; 174� 1025 = 0; 5mW



11.7. PROBLEMAS 223Problema 15: Considere un onjunto k de ampli� adores �opti os one tados en as ada, separados entre s�� por �bra uyas atenua iones son L1, L2 ..., Lk.Las gana ias de los ampli� adores y sus fa tores de ruido son G1 y F1, G2 y F2,..., Gk y Fk. Cal ule la expresi�on general del fa tor de ruido del onjunto yoptimi e el dise~no para los siguientes asos:1.- Un preampli� ador on un bajo nivel de ruido que ha de trabajar on se~nales uyo rango din�ami o es muy elevado.2.- Ampli� adores de l��nea que ompensen la atenua i�on del vano de l��nea anterior.Solu i�on: Pensemos, primero, �omo afe ta el fa tor de ruido del ampli� ador olo adoen la primera posi i�on al fa tor de ruido global. A su entrada el fa tor de ruido vale F1 perosi onsideramos que al prin ipio del primer vano la se~nal �util es 1L1 ve es m�as fuerte, resultaque el primer ampli� ador ontribuye al fa tor de ruido total de la siguiente manera:Ftot := (S=N)in(S=N)out = F1L1 + :::La ontribu i�on del segundo ampli� ador tambi�en es f�a il de la ular: vale F2 en laposi i�on que est�a olo ado, pero a la entrada de la adena la se~nal es 1L1G1L2 ve es m�as fuerte,por lo que su ontribui i�on vale:Ftot = F1L1 + F2L1G1L2 + :::Razonando por indu i�on llegamos a:Ftot = F1L1 + F2L1G1L2 + ::: + Fk(Pk�1i=1 LiGi)LkConsideremos ahora el primer aso. Evidentemente, los tramos de �bras van a sermuy ortos (latiguillos) uyas p�erdidas podemos despre iar. Ne esitaremos, normalmente,s�olo dos ampli� adores �opti os: uno que tenga un fa tor de ruido lo m�as bajo posible (F1),a�un a osta de tener una poten ia de satura i�on y una gana ia medio res y un segundo quedebe tener una poten ia de satura i�on muy alta (para poder trabajar on un rango din�ami oalto) a�un a osta de tener una fa tor de ruido medio re (F2). El fa tor de ruido ser�a:Ftot = F1 + F2G ' F1En el siguiente aso, omo las gana ias de los ampli� adores tienen que ompensarlas p�erdidas, se umplir�a que GiLi = 1 on lo que tendremos:Ftot = F1L1 + F2L2 + ::: + FkLk = kXi=1GiFi



224 CAP�ITULO 11. AMPLIFICADORES �OPTICOSNormalmente los ampli� adores se olo an equiespa iados por los que queda:Ftot = kGFVemos, pues, que todos los ampli� adores ontribuyen por igual a la �gura de ruidodel onjunto.



Cap��tulo 12Componentes basados en el SOPResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar dos omponentes muy utilizados en omuni a iones �opti as, el aislador y el ir ulador �opti o, uyo fun ionamiento sebasa en modi� ar el estado de polariza i�on de la luz. Para omprender �omo fun io-nan, hay que estudiar previamente una serie de elementos que modi� an de maneraelemental el estado de polariza i�on de la luz (SOP), tales omo los polarizadores, losretardadores de onda, rotadores (re ��pro os y de Faraday) y los ombinadores y se-paradores de ha es. Para analizar estos dispositivos vamos a emplear el formalismo deLos ve tores y matri es de Jones y, aunque el formalismo de las matri es de M�uller yve tores de Stokes es omplementario al anterior y resulta impres indible para estudiarfen�omenos tan importantes omo la dispersi�on de polariza i�on, no los vamos a uti-lizar por su omplejidad matem�ati a. Empezaremos este ap��tulo dando una breveintrodu i�on a los estados de polariza i�on de la luz ya que es ne esario ono er lasdistintas bases de des omposi i�on de un estado de polariza i�on arbitrario. Los aisla-dores y ir uladores des ritos en este ap��tulo son de te nolog��a mi ro{�opti a,aunque existen produ tos omer iales basados en otras te nolog��as, tales omo la de ristales fot�oni os.

225



226 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOP12.1. Estado de polariza i�on de la luzy x

z

Figura 12.1: Estado de polariza i�on (SOP) el��pti o.Consideremos un haz de luz polarizada y mono rom�ati a propag�andose por un mediois�otropo. Este haz luminoso lo des ribimos por medio de una onda lo almente plana uyove tor de onda ~k oin ide en dire i�on y sentido on el ve tor de Poynting, mientras quelas magnitudes ve toriales ampo el�e tri o y magn�eti o se mantienen perpendi ulares entres�� y on respe to a la dire i�on de propaga i�on (es de ir, la dire i�on a la que apunta ~k).El extremo del ampo el�e tri o (o el del ampo magn�eti o) re orre, en el aso m�as general,una traye toria heli oidal uya proye i�on sobre el plano perpendi ular a ~k es una elipse[17℄, tal omo se indi a en la �g. f12.1g. Diremos que la heli idad del estado de polariza i�ones positiva si, al ontemplar la onda alej�andose de nosotros, el extremo del ve tor ampoel�e tri o (o magn�eti o) re orre la h�eli e en el mismo sentido que las agujas del reloj y en aso ontrario diremos que la heli idad es negativa. En la �g. f12.1g la heli idad es, pues,positiva.La expresi�on matem�ati a gen�eri a del ve tor ampo el�e tri o es:~E = R[ ~Aej!Æ(t� zn Æ )℄ (12.1)La �uni a restri i�on que imponemos ~A es que sea perpendi ular a ~k. Por tanto,si �jamos z = 0 y analizamos la evolu i�on temporal del ampo el�e tri o en este plano,tenemos que siempre lo podemos des omponer en una suma de dos fasores espa ialmenteperpendi ulares entre s�� (orientados, por ejemplo, seg�un los ejes x e y) que tienen, en general,amplitudes y referen ias de fase distintas:~E = ~Aej!Æt = axej�xej!Æt + ayej�yej!Æt (12.2)12.2. Ve tores y matri es de JonesEn el aso m�as general, la omposi i�on de estos dos movimientos arm�oni os, ha e queel extremo del ve tor ampo el�e tri o (y el magn�eti o) tra e una elipse que no ne esariamenteest�a orientada seg�un los ejes "x" e "y" (estos son sus ejes prin ipales s�olo en el aso en queel desfase entre ambos fasores sea igual a �2 radianes). El estado de polariza i�on (SOP) dela luz lo vamos a representar por medio de un ve tor olumna (ve tor de Jones) [78℄ uyas



12.2. VECTORES Y MATRICES DE JONES 227x

y

Figura 12.2: Cambio de ejes para que el fasor y; se adelante �2 radianes on respe to al fasorx;. La heli idad es positiva ya que al apli ar la regla del sa a or hos, el eje z; avanza ha ia elobservador y, al mirar �omo se aleja la onda en este sentido, el giro de la h�eli e es dextr�ogiro. omponentes van a ser las amplitudes y referen ias de fase de los dos fasores ortogonalesentre s��. Sin embargo, lo que tiene relevan ia f��si a no es la fase absoluta de ada uno de losdos fasores, sino el desfase que hay entre ambos, por lo que los siguientes ve tores de Jonesson equivalentes entre s��: J = " axej�xayej�y # � " axayej(�y��x) # (12.3)Si ahora ha emos el ambio de ejes indi ado en la �g. f12.2g tendremos que el desfaseentre los dos fasores es de �2 radianes, estando el fasor orientado seg�un y; adelantado.J = " axej�xayej�y # � " axayej(�y��x) # � " a0xja0y # (12.4)El desfase antes men ionado impli a que si observamos �omo se aleja la onda denosotros, el sentido de giro de la elipse oin ide on el de las agujas del reloj (es de ir, el giroes dextr�ogiro). Se puede demostrar (y se deja omo ejer i io para el le tor) que el valor del�angulo � que de�ne el ambio de ejes de la �g. f12.2g viene dado por la siguiente expresi�on[53℄: tan(2�) = 2axaya2x � a2y os � (12.5)En mu hos asos s�olo nos va a interesar el SOP (la norma del ve tor, que indi a lapoten ia de la onda, no nos va a preo upar espe ialmente), on lo que podremos es ribir:J = " axej�xayej�y # � " axayej(�y��x) # � " 1ayax e�j� # � " a0xja0y # � 24 1j a0ya0x 35 (12.6)



228 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOPx

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Figura 12.3: Estados de polariza i�on parti ulares.En la �g. f12.3g se muestran los estados de polariza i�on siguientes (enumeramos dearriba ha ia abajo y de izquierda a dere ha);1. SOP el��pti o orientado seg�un unos ejes no prin ipales (heli idad positiva).2. SOP el��pti o orientado seg�un unos ejes prin ipales (heli idad positiva).3. SOP lineal orientado seg�un unos ejes no prin ipales.4. SOP lineal orientado seg�un unos ejes prin ipales.5. SOP ir ular a izquierdas (heli idad positiva).6. SOP ir ular a dere has (heli idad negativa). uyos ve tores de Jones son los siguientes [78℄:J1 = " axaye�j� # J2 = " ax�jay # J3 = " os �sin � # J4 = " 10 # J5 = " 1j # J6 = " 1�j # (12.7)Ahora vamos a introdu ir una nota i�on [40℄ que va a resultar �util a lo largo de todo este ap��tulo 1. Los ve tores de Jones, tal omo los hemos de�nido, los denominaremos ve tores1Esta es la nota i�on de Dira de su formula i�on de la me �ani a u�anti a [14℄.



12.2. VECTORES Y MATRICES DE JONES 229del espa io dire to (que, evidentemente, es un espa io bidimensional omplejo) o, tambi�en,ve tores "ket" y los denotaremos jJai >, siendo i el ��ndi e que enumera las dos omponentes.Los ve tores �la aso iados, uyas omponentes son los omplejos onjugados, son ve toresque pertene en al espa io dual, los denominaremos ve tores "bra " y los denotaremos < Jai j.Un ve tor "bra " multipli ado por un ve tor "ket" produ e omo resultado un "bra ket"( or hete en ingl�es) que no es m�as que un n�umero ( omplejo en general). El bra ket de dosve tores de Jones es un produ to interno uyo resultado depende de qu�e ve tor tomemos omo "bra " y u�al tomemos omo "ket" (inter ambiar los papeles de los dos ve tores ha eque el n�umero resultante sea el omplejo onjugado del original). El "bra ket" de un estadode polariza i�on es su norma (que, ne esariamente, es un n�umero positivo) y est�a rela ionada on el ujo de poten ia:< Jai jJai >= [A�a1 A�a2℄ " Aa1Aa2 # = A2a1 + A2a2 > 0x

y

z

Dispositivo modificador del SOP

J J1 2

Figura 12.4: Dispositivo modi� ador del estado de polariza i�on. Su representa i�on on res-pe to a ualquier base de des omposi i�on es una matriz 2� 2.De imos que dos ve tores son ortogonales si su produ to interno es ero y los dos sondistintos del ve tor nulo. Si la norma de los dos ve tores ortogonales es igual a uno, diremosque los ve tores son ortonormales. Cualquier par de ve tores ortonormales onstituyen unabase ade uada sobre la que proye tar un estado de polariza i�on abitrario, aunque lo habituales tomar omo base de referen ia dos estados de polariza i�on lineales perpendi ulares entres�� y perpendi ulares a la dire i�on de propaga i�on. Normalmente los experimentos se realizansobre la super� ie de una mesa antivibratoria situada en un laboratorio. La dire i�on depropaga i�on de la luz, normalmente se aso ia al eje "z" y es paralela a la super� ie de lamesa. El eje "x" (perpendi ular a "z", laro est�a) es tambi�en paralelo a esta super� ie,mientras que el eje "y" es perpendi ular a la mesa. Los ejes "x", "y" y "z" forman unatriedro a dere has (dV = fdx ^ fdy ^ fdz).Otra base de des omposi i�on habitual (que sirve para estudiar dispositivos on efe togiromagn�eti o) est�a formada por los ve tores de norma unidad aso iados a los estados de



230 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOPpolariza i�on ir ulares a dere ha e izquierda. Si expresamos estos ve tores on respe to a labase formada por los estados de polariza i�on lineales orientados seg�un los ejes "x" e "y" nosresulta:jJdi >= 1p2 " 1j # ; jJ li >= 1p2 " 1�j #)< Jdi jJ li >= 12[1 + (�j)� (�j)℄ = 0 (12.8)En la �g. f12.4g se ha representado un dispositivo modi� ador del SOP. Al a tuarsobre la onda de entrada jJ in >, produ e un estado de polariza i�on a la salida jJo >. El omportamiento del dispositivo se des ribe por medio de una matriz uadrada 2 � 2 [53℄que denotaremos por medio de T ij on i; j = 1; 2 y que al multipli ar al ve tor jJ inj > da omo resultado el ve tor olumna jJoi >= T ijjJ inj >, o, es rito de una manera abreviada,jJo >= T jJ in >, que des ribe el SOP de la luz a la salida. Si en vez de haber un �uni odispositivo hay una su esi�on de ellos T 1ij (el primero que a t�ua sobre el haz de entrada), T 2ij(el segundo), T 3ij (el ter ero) el estado de polariza i�on resultante viene des rito por:jJo >= fT 3ij[T 2ij(T 1ijjJ in >)℄g (12.9)donde es muy importante efe tuar los produ tos en el orden indi ado. En generallas matri es que des riben el omportamiento de los dispositivos modi� adores del SOP notienen por qu�e ser no singulares y, por tanto, el produ to de �estas no disfruta de la propiedadaso iativa.12.3. Polarizadoresx

y

z

J JINOUT

Figura 12.5: Polarizador orientado seg�un el eje "x".Los polarizadores son normalmente l�aminas di roi as [53℄{[55℄, es de ir, son disposi-tivos fabri ados on un material que presenta oe� ientes de atenua i�on muy distintos (unogrande y otro peque~no) seg�un dos dire iones perpendi ulares. Idealmente dejan pasar sin



12.4. RETARDADORES DE ONDA 231atenua i�on alguna la omponente de luz linealmente polarizada seg�un el eje privilegiado yabsorben toda la luz orrespondiente a la luz linealmente polarizada seg�un la dire i�on per-pendi ular. Supongamos que el eje de baja atenua i�on del polarizador est�a alineado seg�unla dire i�on "x". Si la base de des omposi i�on son los estados de polariza i�on lineales seg�unlos ejes "x" e "y" la matriz que des ribe el polarizador es:T polx = " 1 00 0 # (12.10)El omportamiento del polarizador se ha representado en la �g. f12.5g. La uesti�onque podemos plantearnos a ontinua i�on es qu�e expresi�on tendr��a la matriz si los ejes "x" e"y" estuviese girados un �angulo arbitrario � on respe to a los del laboratorio [104℄. Esto esf�a il de averiguar. En primer lugar deber��amos referir el estado de polariza i�on a la entrada,no on respe to a los ejes del laboratorio, sino on respe to a los ejes girados aso iados alpolarizador. Con respe to a esos ejes, la matriz del polarizador viene dada por (12.10), por loque tendr��amos que multipli ar esta matriz por la que representa el giro (o ambio de base)antes men ionado. La matriz produ to servir��a para al ular el estado de polariza i�on de laonda a la salida on respe to a los ejes girados del polarizador. Como queremos referir elestado de polariza i�on a los ejes del laboratorio, tenemos que multipli ar la matriz anteriorpor la matriz aso iada a un giro de ejes de valor ��, on lo que resulta:T pol� = os � � sin �sin � os � !" 1 00 0 ! os � sin �� sin � os � !# = 0BB� os2 � sin 2�2sin 2�2 os2 � 1CCA (12.11)La matriz orrespondiente al polarizador girado un �angulo � on respe to a los ejes dellaboratorio es tambi�en singular. Esto es as�� porque el dispositivo absorbe toda la poten iade la onda linealmente polarizada seg�un el eje girado � grados on respe to al "x". De he ho,si al ulamos el determianante de la matriz (12.11) omprobamos que vale ero.12.4. Retardadores de ondaEl retardador de onda [106℄ es un dispositivo que tiene dos ejes privilegiados y orto-gonales entre s�� llamados eje r�apido y eje lento. Si referimos el estado de polariza i�on de laluz entrante a la base onstituida por las dos polariza iones lineales alineadas seg�un estosdos ejes, el dispositivo introdu e un retraso de fase en la omponente lenta on respe to ala r�apida de valor � (� es el par�ametro que ara teriza al retardador). En la �g. f12.6g serepresenta un retardador de onda uyo eje lento est�a orientado seg�on el eje "x". La matrizde Jones aso iada a este dispositivo es:T retx = " e�j� 00 1 # (12.12)Si tomamos � = � resulta que el retardador gira espa ialmente �2 radianes un haz deluz on polariza i�on lineal a �4 , de manera que a la salida se obtiene otro haz de luz linealmente



232 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOPx

y

z

Figura 12.6: Retardador de onda uyo eje lento est�a orientado seg�un el eje "x".polarizado a ��4 y vi eversa. Si tomamos omo refere ia la rela i�on (12.12) y seguimos elmismo razonamiento del apartado anterior, podemos determinar la matriz aso iada a unretardador uyo eje lento forma un �angulo � on respe to al eje "x":T �� = " os � � sin �sin � os � # " e�j� 00 1 # " os � sin �� sin � os � # == " sin2 � + os2 �e�j� sin � os �(1� e�j�)sin � os �(1� e�j�) os2 � + sin2 �e�j� # (12.13)-

1e -j

-e-j1-e -j

1+e-j

-

/2

/2

/2- /2

/2- /2

Figura 12.7: Diagrama fasorial.Si ahora parti ularizamos para el valor � = �4 queda:T ��4 = 12 " 1 + e�j� 1� e�j�1� e�j� 1 + e�j� # (12.14)Como la expresi�on anal��ti a de la matriz (12.14) es dif�� il de interpretar vamos arepresentar los fasores 1, e�j�, 1+ e�j� y 1� e�j� en el plano. Estos fasores se han dibujado



12.4. RETARDADORES DE ONDA 233en la �g. f12.7g y demuestran que los fasores 1 + e�j� y 1� e�j� son perpendi ulares entres�� estando el primero retrasado on respe to al segundo. Como adem�as resulta evidente quej1 + e�j�j = 2 os(�2 ) y j1� e�j�j = 2 sin(�2 ) resulta que la matriz (12.14) es equivalente a:T ��4 = " os(�2 ) j sin(�2 )j sin(�2 ) os(�2 ) # (12.15)z

x

y

n 0 0

0 n 0

0 0 n

o

o

en =ij

d

=k d(n n )o oe

Figura 12.8: Prin ipio f��si o de fun ionamiento de un retardador de onda.Si en (12.15) tomamos � = � vemos que el dispositivo resultante transforma una ondalinealmente polarizada seg�un el eje "x" en otra, tambi�en linealmente polarizada, pero seg�unel eje "y" y vi eversa.Los retardadores de onda se fabri an a partir de medios uniaxiales. Re ordemosque mu hos s�olidos ristalinos son materiales anis�otropos, es de ir, sus propiedades f��si asdepende de la dire i�on en la que se midan. Una de esas propiedades puede ser el ��ndi e derefra i�on, que en medios anis�otropos se des ribe por medio de un tensor de segundo ordende dimensiones 3� 3. En estos materiales los ve tores desplazamiento y ampo el�e tri o noest�an, en general, alineados. Para simpli� ar el an�alisis, vamos a suponer que el sistema dereferen ia del laboratorio oin iden on los ejes prin ipales del llamado elipsoide de ��ndi es[53℄{[106℄. Con respe to a este sistema de referen ia, la matriz de ��ndi es es diagonal, on loque ne esitamos ono er s�olo tres ��ndi es de refra i�on distintos nx, ny y nz para des ribir lapropaga i�on de ona onda luminosa. Un medio �opti amente anis�otropo re ibe el nombre demedio biaxial si los tres ��ndi e son distintos y el nombre de medio uniaxial si dos ��ndi es soniguales (��ndi es ordinarios) y otro distinto (��ndi e extraordinario) [53℄{[106℄. Normalmenteel ��ndi e ordinario es menor que el extraordinario.Si lanzamos un haz de luz polarizada por un medio uniaxial en la dire i�on prin ipal"z", la omponente linealmente polarizada seg�un el eje ordinario se adelanta en fase onrespe to a la omponente linealmente polarizada seg�un el eje extraordinario, tal y omo semuestra en la �g. f12.8g. El valor del desfase es � + p2� = kÆd(ne � nÆ) = 2��Æd(ne � nÆ),donde p es un n�umero entero. De esta manera, para un valor de � deseado, podemos tomaruna longitud d de un valor razonable (y ah�� es donde entra el tomar un n�umero p ade uado),dado que ono emos los valores nÆ y ne de nuestro material ristalino.



234 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOP12.5. Rotador de FaradayEl efe to Faraday [53℄{[87℄ es un fen�omeno que se produ e en medios materiales trans-parentes on simetr��a il��ndri a en los que apare e una dire i�on privilegiada. El motivo es lapresen ia de un ampo man�eti o ~H alineado seg�un di ha dire i�on. Para estudiar la propa-ga i�on de la luz en estos medios, resulta onveniente tomar omo base de des omposi i�on losestados de polariza i�on ir ulares a izquierda y dere ha, ya que estos estados de polariza i�onson autove tores on respe to a la propaga i�on a trav�es del medio (un estado de polariza i�on ir ular, sea a dere has o izquierdas, lo sigue siendo despu�es de atravesar un medio mag-neto�opti o). Se puede demostrar que los ��ndi es de refra i�on vistos por estos dos estadosde polariza i�on son distintos (los autovalores son distintos) y los denotaremos nd y ni. Portanto, apare e un retardo de fase uyo valor es � + p2� = 2��Æ (nd � ni)d. Dado que la baseformada por los estados de polariza i�on ir ulares es po o intuitiva, vamos a ver qu�e o urre on dos ondas uyos estados de polariza i�on son lineales y est�an alineados seg�un los ejes "x"e "y" del laboratorio uando atraviesan este medio:

y

z

espejo

x

=45º

rotadorpolarizadorFigura 12.9: Apli a i�on de un rotador de Faraday.J ix = " 10 # = 12 " 1j #+ 12 " 1�j #J iy = " 01 # = 12j " 1j #� 12j " 1�j # (12.16)Si ahora propagamos estos dos ha es luminosos por el medio magneto�opti o nosresulta, a la salida:Jox = 12e�j 2��Æ ndd " 1j # + 12e�j 2��Æ nid " 1�j # = e�j ��Æ (nd+ni)d " os(��2 )sin(��2 ) #J iy = 12j e�j 2��Æ ndd " 1j #� 12j e�j 2��Æ nid " 1�j # = e�j ��Æ (nd+ni)d " sin(��2 ) os(��2 ) # (12.17)Donde ��2 + 2p� = ��Æ (nd � ni)d. Vemos, pues, que en un medio donde existe efe toFaraday, un estado de polariza i�on lineal que se propaga por su seno sigue siendo lineal pero



12.6. SEPARADORES Y COMBINADORES DE HAZ 235gira espa ialmente un �angulo que podemos ontrolar �jando el par�ametro d . La rela i�on quehay entre el �angulo de giro y el espesor del rotador es �+2p� = ��Æ (nd � ni)d. Esta rota i�ondel plano de polariza i�on fue des ubierta por Faraday en 1845. Hay que desta ar que setrata de un fen�omeno no re ��pro o, es de ir, si detr�as del rotador de Faraday olo �asemosun espejo, el estado de polariza i�on de la onda re ejada, al pasar por el medio dos ve es,una vez en un sentido y otra en el ontrario, ser��a lineal pero girado en el espa io un �anguloigual a 2�. La matriz de Jones de un rotador de Faraday es:T � = " os(�) � sin(�)sin(�) os(�) # (12.18)En la �g. f12.9g se muestra una apli a i�on del rotador de Faraday (un aislador de-pendiente del estado de polariza i�on). El fun ionamiento es sen illo: el espejo representadono debe entenderse omo tal, sino omo un dispositivo que tiene un ierto oe� iente dere exi�on. La hipot�eti a onda re ejada ha pasado dos ve es por el rotador de Faraday, a u-mulando un giro espa ial de valor �, motivo por el que no puede atravesar el polarizador olo ado a la entrada.Existen tambi�en medios materiales que presentan efe to giromagn�eti o (birrefringen- ia ir ular [53℄) de manera natural y que se pueden utilizar para fabri ar rotadores [87℄.A diferen ia de los rotadores de Faraday, los rotadores fabri ados on estos materiales sonre ��pro os, por lo que no sirven para fabri ar aisladores pero son indispensables en la fabri- a i�on de ir uladores �opti os.12.6. Separadores y ombinadores de haz

Figura 12.10: Prisma de Wollaston.En te nolog��a mi ro�opti a estos dispositivos se fabri an a partir de ubos de mate-riales uniaxiales. El ubo tiene el eje extraordinario orientado de destintas maneras a amboslados de un plano que bise iona el ubo [78℄, tal y omo se muestra en la �g. f12.10g. En lasuper� ie de entrada (separa i�on entre el aire y el ubo) no hay ning�un ambio de dire i�on



236 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOPen la propaga i�on de las dos omponentes linealmente polarizadas, ya que la in iden ia esnormal. Dentro de la primera regi�on del ubo, la omponente on polariza i�on verti al "ve"el ��ndi e extraordinario (siempre indi amos en el ubo expl�� itamente la orienta i�on del ejeextraordinario) mientras que la omponente on polariza i�on horizontal, al ser perpendi ularal eje extraordinario, "ve" el ��ndi e ordinario. Al llegar al plano que bise iona el ubo, la omponente verti al pasa de vibrar paralelamente al eje extraordinario, a ha erlo perpendi- ularmentea �este, por lo que pasa a un medio �opti amente menos denso. En onse uen ia ambia su dire i�on de propaga i�on, alej�andose de la normal al plano bise tor. Con la ompo-nente horizontal o urre lo ontrario, por lo que tambi�en ambia su dire i�on de propaga i�on,esta vez a er �andose a la normal al plano bise tor. De esta manera onseguimos separar elhaz luminoso de entrada en las dos omponentes de polariza i�on lineal (horizontal y verti- al). De izquierda a dere ha, tenemos un separador de ha es pero si invertimos los sentidosde propaga i�on tendremos un ombinador de ha es.Prisma de Wollaston Prisma de Rochon Prisma de SernarmontFigura 12.11: Prismas separadores de haz.Evidentemente la on�gura i�on mostrada en la �g. f12.10g no es la �uni a manerade separar (o ombinar) un haz en sus dos omponentes linealmente polarizadas. En la �g.f12.11g se muestran, junto al prisma de Wollaston, otras dos on�gura iones [78℄.12.7. Aisladores �opti os

ypolarizador a /4

x

=45º

rotadorpolarizador

z

Figura 12.12: Aislador dependiente del SOP.Este es el primero de los dos dispositivos que quer��amos estudiar. Este omponentepermite que la luz se propague en un sentido, pero impide que lo haga en el ontrario. En



12.8. CIRCULADORES �OPTICOS 237los EDFAs se olo an aisladores en ambos extremos del aislador para evitar que se produz auna realimenta i�on positiva en el ampli� ador y se omporte omo un l�aser. Primero vamosa ver �omo se onstruye un aislador uyo estado de polariza i�on de entrada es ono ido y,despu�es, �omo a partir de �este, se puede fabri ar uno para un estado de polariza i�on deentrada arbitrario [84℄.x

y

z

x

y

z/4

1 00 -1T =1

0 11 0T =2

1 11 -1

1 1-1 1

DE 45º A -45º

DE -45º A 45º

1 00 1

0 11 0

/4

AISLADORDEPENDIENTE

DEL SOP

SÍMBOLO DELAISLADOR

/4

- /4

Figura 12.13: Fun ionamiento de dos retardadores de onda (izquierda). Aislador indepen-diente del estado de polariza i�on (dere ha).En la �g. f12.12g se muestra �omo fun iona este dispositivo. Si a la salida del polari-zador a �4 hay un omponente que introdu e un peque~no oe� iente de re exi�on, el rotadorde Faraday ha e que la luz re ejada llegue al polarizador de entrada, perpendi ularmente aleje "x", por lo que no puede atravesarlo.Para omprender el fun ionamiento de un aislador independiente del SOP de la luz deentrada debemos re ordar, primero, el fun ionamiento de los retardadores de onda. Para el aso parti ular de � = � y estando orientado seg�un el eje "y" el retardador de onda ambiala polariza i�on lineal de entrada de ��4 a �4 y vi eversa. Si el eje lento est�a orientado a �4 on respe to al eje "x" ha e que si la polariza i�on lineal de entrada est�a alineada on el eje"x" pase a estarlo on el eje "y" y vi eversa, tal y omo se muestra en la �g. f12.13g. Conestos elementos y el aislador dependiente del estado de polariza i�on podemos onstruir unaislador independient del SOP de la luz de entrada. Lo �uni o que hay que ha er es, primero,separar el haz luminoso de entrada en sus dos omponentes linealmente polarizadas on unprisma de Sernamont. La omponente de polariza i�on horizontal la transformamos, medianteun retardador de onda, en una onda de polariza i�on verti al. A ontinua i�on ha emos pasarpor el aislador dependiente del SOP ambas omponentes, on lo que a la salida tenemos dosondas linealmente polarizadas a �4 . Ha emos que una de ellas atraviese otro retardador paratransformarla en una onda de polariza i�on lineal a ��4 . Por �ultimo ombinamos ambos ha es on otro prisma de Sernamont (girado espa ialmente un �angulo �4 ). El aislador resultante semuestra en la �g. f12.13g.12.8. Cir uladores �opti osEstos omponentes son fundamentales en redes on multiplexa i�on en longitud de onda(WDM) y su fun ionamiento es id�enti o a los ir uladores que se utilizan en mi roondas: sondispositivos on tres o uatro puertos, uya fun i�on es sa ar por el puerto siguente, y s�olo por



238 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOP

puerto 1

puerto 2

puerto 4

puerto 3

rotador deFaraday 45º

rotadorrecíproco 45ºFigura 12.14: Cir ulador �opti o.el puerto siguiente, la se~nal de entrada [84℄. En la �g. f12.14g se muestra la implementa i�onen te nolog��a mi ro�opti a de un ir ulador �opti o de uatro puertos. El s��mbolo que aparentaser un prisma es, en realidad, un dispositivo que deja pasar la omponente de polariza i�onverti al, re ejando la horizontal y uyo prin ipio de fun ionamiento se basa en el denominado"�angulo de Brewster" 2. El onjunto formado por un rotador de Faraday de �4 y una rotadorre ��pro o tambi�en de �4 ha e que, si una onda atraviesa los dispositivos en un sentido (deizquierda a dere ha en la �gura), el plano de polariza i�on gire un �angulo de �2 , pero silo atraviesa en sentido ontrario no modi� a el estado de polariza i�on. De esta manera se onsigue el omportamiento no re ��opro o t��pi o de un ir ulador. Adem�as de la mi ro�opti a,existen otras te nolog��as de fabri a i�on de ir uladores �opti os [99℄.

2En una super� ie de separa i�on entre dos diel�e tri os, la luz on polariza i�on TE ( ampo el�e tri ovibrando paralelamente a la super� ie de separa i�on) se ve totalmente re ejada si el �angulo de in iden iatoma una valor determinado, llamado �angulo de Brewster.



12.8. CIRCULADORES �OPTICOS 239x

y

z

Px1 Px2

Figura 12.15: Analizador �opti o.Problema 16: Dado el analizador representado en la �g. f12.15g, se pide dedu ir laintensidad luminosa a la salida en fun i�on de la longitud de onda de la luz in idente.Solu i�on: Puesto que el eje lento del retardador de onda forma un �angulo de �4 radianes on respe to a los ejes prin ipales, la matriz de Jones aso iada es:T � = " os(�2 ) j sin(�2 )j sin(�2 ) os(�2 ) # (12.19)Por lo que el analizador viene des rito por el siguiente produ to matri ial:T = 1 00 0 !" os(�2 ) j sin(�2 )j sin(�2 ) os(�2 ) ! 1 00 0 !# = os �2 00 0 ! (12.20)La intensidad luminosa a la salida del analizador es:I = os2(�2 ) = os2[�(ne � nÆ)d� ℄ (12.21)



240 CAP�ITULO 12. COMPONENTES BASADOS EN EL SOP45º

n =1,5n =1,7

o

e

1

2

45º- 1

2-45º

h

v

Figura 12.16: Prisma separador de Wollaston.Problema 17: Dado el prisma separador de ha es de Wollaston mostrado en la�g. f12.16g determine las dire iones de salida de las omponentesde polariza i�on horizontal y verti al.Solu i�on: 1; 7� sin(�4 ) = 1; 5� sin(�2)1; 5� sin(�4 ) = 1; 7� sin(�1) )) �2 = 53; 263Æ�1 = 38; 603Æ ) (12.22)1; 7� sin(�4 � �1) = 1� sin(�h)1; 5� sin(�2 � �4 ) = 1� sin(�v) )) �h = 10; 918Æ�v = 12; 449Æ ) (12.23)



Cap��tulo 13Filtros �opti osResumen: En este ap��tulo vamos a estudiar los �ltros �opti os pasobanda que seemplean en sistemas DWDM. Estos �ltros pueden ser �jos, en uyo aso se fabri anen te nolog��a todo �bra, o bien sintonizables, en uyo aso se fabri an en te nolog��ami ro�opti a. Los primeros re iben el nombre de �bras de difra i�on de Bragg (FBGs)y se emplean tanto en la sele i�on de anales omo en la fabri a i�on de ompensa-dores pasivos de la dispersi�on. Los segundos son avidades pasivas Fabry{P�eroty se utilizan, tambi�en, para la sele i�on de anales en aquellos asos en los queel nodo de la red deba tener la posibilidad de sintonizar distintas longitudes deonda (distintos anales). El estudio de los �ltros se va a basar en el formalismomatri ial de bipuertas, m�as on retamente, en la des rip i�on de bipuertas mediantematri es de transmisi�on.

241



242 CAP�ITULO 13. FILTROS �OPTICOS13.1. Introdu i�on

TxRx

... ...1 2 i n ... ...1 2 i n... ...1 2 i n i

i

i

i

RxTx

... ...1 2 i n ... ...1 2 i n

i

ii

Figura 13.1: Multiplexor "add & drop" �jo (izquierda) y sintonizable (dere ha).Los �ltros �opti os paso{banda tienen una importan ia primordial en los sistemasDWDM. En primer lugar sirven para la implementa i�on f��si a de los denominados multi-plexores "add & drop" [8℄{[84℄, uya misi�on es extraer la informa i�on del anal "i", queest�a soportada por la longitud de onda �i, y la sustituirla por otra distinta odi� ada enla misma longitud de onda, que denotamos mediante �0i para indi ar que la informa i�on esdistinta a la extraida. Estos multiplexores se onstruyen siempre a partir de �ltros pasoban-da (�jos o sintonizables seg�un el tipo de multiplexor) y ir uladores �opti os, tal y omo seobserva en la �g. f13.1g.Si el multiplexor fun iona a una longitud de onda �ja, el �ltro se suele implementarmediante una �bra de difra i�on de Bragg (FBG) [60℄, que no es m�as que trozo de �bramonomodo en la que hay una perturba i�on longitudinal del ��ndi e de refra i�on del n�u leo.Esta perturba i�on peri�odi a (normalmente senoidal) re eja 1 una determinada longitud deonda (la longitud de onda de Bragg) y transmite el resto. Los multiplexores "add & drop" �josse olo an siempre en serie on la �bra �opti a por la que se propagan los anales multiplexadosen longitud de onda, tal y omo se muestra en la parte izquierda de la �g. f13.1g. Este �ltrono es sintonizable, ya que no se puede modi� ar el periodo de la perturba i�on introdu idaen la FBG.Si el multiplexor tiene que ser sintonizable, enton es el �ltro se implementa f��si amentemediante una avidad Fabry{P�erot que fun iona en transmisi�on, es de ir, deja pasar unadeterminada longitud de onda, re ejando el resto. Los �ltros de avidad Fabry{P�erot sonsintonizables ya que en ellos se puede modi� ar f�a ilmente la longitud de la avidad y,por tanto, la longitud de onda transmitida. Los multiplexores "add & drop" se olo a enderiva i�on, tal y omo se mueastra en la parte de la dere ha de la �g. f13.1g.Otra apli a i�on importante de los �ltros en sistemas DWDM es la realiza i�on f��si ade ompensadores pasivos de la dispersi�on [60℄. Estos �ltros, que se fabri an en te nolog��a1La inmensa mayor��a de estos �ltros fun ionan en re exi�on y, muy raramente lo ha en en transmisi�on.



13.2. FILTRO DE CAVIDAD FABRY{P�EROT. 243todo �bra (son FBGs), tienen una varia i�on lineal del periodo de Bragg, de manera que lasdistintas longitudes de onda se re ejan en distintos puntos dentro de la FBG, on lo que seintrodu e un retardo de grupo que depende de la longitud de onda y que puede, por tanto, ompensar as�� la dispersi�on rom�ati a. Es posible, pues, onstruir regeneradores "2R" en eldominio �opti o ( ompensa i�on de la atenua i�on on ampli� adores �opti os y de la dispersi�on on redes de difra i�on de Bragg). Lo �uni o que falta para poder implementar un regenerador"3R" en el dominio �opti o es la "resin roniza i�on" de los pulsos on el reloj de transmisi�on(aunque es un ampo donde se est�a ha iendo una intensa labor de investiga i�on, siendo losdispositivos basados en SOAs los m�as �rmes andidatos para realizar esta fun i�on [25℄).13.2. Filtro de avidad Fabry{P�erot.Los �ltros de avidad Fabry{P�erot los estudiamos en el ap��tulo o ho donde, utili-zando el formalismo de matri es de s attering y transmisi�on, llegamos a la on lusi�on deque la fun i�on de transferen ia en transmisi�on de estos �ltros viene des rita por la siguienteexpresi�on: T (f) := jS21j2 = (1�R)2(1�R)2 + 4R sin2( �fFSR) FSR := Æ2n2L (13.1)FSR min

FSR min

EL FILTRO SINTONIZA EL CANAL 1

EL FILTRO NO SINTONIZA CANAL ALGUNOFigura 13.2: Rango espe tral libre (FSR) m��nimo del �ltro para que el multiplexor "add &drop" fun ione orre tamente.Los �ltros de avidad Fabry{P�erot usados en sistemas de multiplexa i�on en longitudde onda (WDM), no se onstruyen on materiales semi ondu tores omo los vistos en di ho ap��tulo ya que los oe� ientes de re exi�on en poten ia de las super� ies de entrada y salidadeben ser onsiderablemente m�as altos (re ordemos que en las avidades semi ondu toraslos oe� ientes de re exi�on eran del orden de R = 0;3), siendo R = 0;9 un valor t��pi o.Estos �ltros presentan oe� ientes de transmisi�on en poten ia m�aximos (para m�ulti-plos enteros de la fre uen ia FSR, denominada fre uen ia espe tral libre) y m��nimos (para



244 CAP�ITULO 13. FILTROS �OPTICOSCRISTAL PIEZOELÉCTRICO

CRISTAL PIEZOELÉCTRICO

R R

L

Vc

no

Figura 13.3: Implementa i�on en te nolog��a todo �bra de un �ltro de avidad Fabry{P�erotsintonizable.m�ultiplos semienteros de FSR) alternados. El valor m�aximo del oe� iente de transmisi�ones la unidad, mientras que el m��nimo es Tmin = (1�R1+R)2. Normalmente hay que tratar lassuper� ies de entrada y salida del �ltro (por ejemplo, on la deposi i�on de un materialmet�ali o) para que presenten un oe� iente de re exi�on en poten ia R elevado y que el �ltrosea lo su� ientemente sele tivo. Una sele tividad alta est�a dire tamente rela ionada on un oe� iente de transmisi�on bajo a las fre uen ias antirresonantes y, por extensi�on, en toda labanda de re hazo. Es f�a il demostrar que la an hura espe tral del �ltro viene dada por:FWHM := Æ�n2L sin�1(1� R2pR ) (13.2)Los par�ametros del �ltro de avidad Fabry{P�erot, R, FSR y FWHM , deben �jarsede la siguiente manera:1. Debemos tomar un oe� iente de re exi�on (R) que garanti e que la atenua i�on en labanda de re hazo del �ltro sea importante.2. La an hura espe tral del �ltro en la banda de paso (FWHM) se elige de forma que laatenua i�on sea baja en todo el an ho de banda de la informa i�on transmitida (y, portanto, no la distorsione), tal y omo se muestra en la �g. f13.2g.3. El rango espe tral libre del �ltro (FSR), debe ser superior a un valor m��nimo que ga-rantize que, en las ondi iones m�as desfavorables, no sele ionamos un anal indeseado.En la �g. f13.2g hemos onsiderado que el �ltro tiene la posibilidad de no sintonizarning�un anal (por lo que la banda de paso del �ltro se entra a la izquierda del pri-mer anal), y el siguiente l�obulo ae a la dere ha del �ultimo anal (la e ha en trazodis ontinuo indi a que esa portadora no existe).En la �g. f13.3g se muestra una posible realiza i�on f��si a de un �ltro de avidadFabry{P�erot sintonizable [72℄. La longitud de la avidad se puede modi� ar apli ando una



13.3. REDES DE DIFRACCI �ON DE BRAGG EN FIBRAS (FBGS) 245

Figura 13.4: Fibras de difra i�on de Bragg en re exi�on.tensi�on al ristal piezoel�e tri o. El ristal, al deformarse, modi� a la distan ia que separalas super� ies re e tantes de las dos �bras monomodo.13.3. Redes de difra i�on de Bragg en �bras (FBGs)Las FBGs son �bras �opti as monomodo en las que, longitudinalmente, se introdu euna perturba i�on senoidal del ��ndi e de refra i�on. Esta perturba i�on se "es ribe" en la �bra,exponiendo al n�u leo a una radia i�on ultravioleta que var��a sinusoidalmente en intensidada lo largo del eje de la �bra. En las zonas donde la intensidad luminosa de la radia i�onultravioleta es nula, el ��ndi e de refra i�on del n�u leo no sufre ambio alguno 2, mientras queen las iluminadas el ��ndi e de refra i�on lo al aumenta de manera propor ional a la poten ia�opti a, as�� omo al tiempo de exposi i�on. Este fen�omeno re ibe el nombre de fotosensibilidady fue observado por primera vez en 1978 [39℄.Los pro esos f��si os responsables de la fotosensibilidad del n�u leo no est�an del todoestable idos, pero el modelo que uenta on m�as a epta i�on es el de los entros de olor. Eneste modelo, la radia i�on ultravioleta desen adena una serie de rea iones fotoqu��mi as quemodi� an las on entra iones de una serie de defe tos �opti amente a tivos [7℄. Por defe to,entendemos ualquier mi roestru tura distinta a la de un tetraedro elemental de sustitu i�on,esto es, en el que el sili io se ha sustituido por germanio 3 (la matriz regular del s��li e pare eno jugar un papel importante en la fotosensibilidad de la �bra). Estos defe tos pare en estaraso iados a de� ien ias de ox��geno en los enla es ovalentes del Ge02. Como los pi os deabsor i�on de rea tivos y produ tos se produ en a longitudes de onda diferentes, se produ euna varia i�on del espe tro de absor i�on que provo a, en onse uen ia, una varia i�on del��ndi ede refra i�on ya que ambos par�ametros est�an ligadas por medio de las rela iones integralesde Kramers{Kronig.En la inmensa mayor��a de las o asiones, las FBGs se dise~nan para fun ionar en re e-2Esto no es del todo ierto. Tras exponer la �bra a la radia i�on ultravioleta, se produ e un in rementodel ��ndi e medio (en todos los puntos el mismo) y otro lo al (propor ional a la intensidad luminosa).3Re ordemos que el n�u leo de la �bra tiene un��ndi e de refra i�on mayor que el de la orteza pre isamenteporque parte de los�atomos de sili io se sustituyen por �atomos de germanio.



246 CAP�ITULO 13. FILTROS �OPTICOSxi�on, tal y omo se muestra en la �g. f13.4g. Esto es as�� porque las fun iones de transferen iaen transmisi�on son, ne esariamente, de fase m��nima [61℄ (es de ir, las ara ter��sti as de m�odu-lo y fase de la fun i�on de transferen ia tienen una rela i�on biun��vo a), lo que impone severasrestri iones a la hora del dise~no de los �ltros [94℄.El an�alisis de las FBGs (es de ir, dado un per�l de varia i�on del ��ndi e, dedu ir lafun i�on de transferen ia orrespondiente) es sen illo [60℄. No hay m�as que apli ar el forma-lismo matri ial visto en el ap��tulo 8, sustituyendo el per�l senoidal por uno re tangular uyo primer arm�oni o tenga la misma amplitud que el per�l senoidal. Por supuesto, tambi�enpuede utilizarse el formalismo de modos a oplados. En ambos asos hay que utilizar m�etodosnum�eri os, por lo que en la subse i�on siguiente nos vamos a limitar a exponer los resultadosde las simula iones, aunque a onsejamos al le tor que los ompruebe por s�� mismo realizandosus propias simula iones.El problema de la s��ntesis de las FBGs (dada una fun i�on de transferen ia deseada,determinar el per�l de varia i�on del ��ndi e) es algo m�as omplejo, aunque tambi�en est�a re-suelto. No se van a expli ar los algoritmos de s��ntesis y referimos al le tor interesado a labibliograf��a adjunta [31℄{[79℄{[95℄.Como ya hemos di ho, las apli a iones fundamentales de las FBGs en omuni a- iones �opti as (en sistemas de multiplexa i�on en longitud de onda) son dos: la realiza i�onf��si a de �ltros paso banda en re exi�on y la implementa i�on de ompensadores pasivos de ladispersi�on.13.3.1. FBGs para la implmenta i�on de �ltrosEn la �g. f13.5g se muestran las ara ter��sti as de m�odulo y de retardo de grupo 4de una red de periodo uniforme [29℄. En la �g. f13.6g se han representado los oe� ientesde re exi�on en poten ia y retardo de grupos de una red de per�l apodizado, de per�l mediono onstante [29℄. Por �ultimo, en la �g. f13.7g se muestran las ara ter��sti as de m�odulo yretardo de fase de una red apodizada on ��ndi e medio onstante [29℄. Vemos en la �g. f13.5gque hay l�obulos se undarios a ambos lados de la fre uen ia entral del �ltro. Estos l�obulosapare en por la varia i�on brus a que sufre el ��ndi e a la entrada y la salida de la FBG, loque provo a re exiones internas por efe to Fabry{P�erot. En la �g. f13.6g s�olo se presentanl�obulos se undarios a la dere ha de la fre uen ia entral y en la �ultima (�g. f13.7g ) �estosdesapare en ompletamente.En la �g. f13.8g se presentan, on los peridos magni� ados, la varia i�ones de ��ndi easo iadas a los tres �ltros anteriormente itados.13.3.2. Compensadores pasivos de la dispersi�onOtra apli a i�on importante de las redes de disfra i�on de Bragg es la fabri a i�onde dispositivos pasivos ompensadores de la dispersi�on rom�ati a. La dispersi�on rom�ati a4El retardo de grupo es la derivada de la ara ter��sti a de fase y representa el tiempo que trans urre entrela in iden ia y la re exi�on de un paquete de ondas.




1.9295 1.93 1.9305 1.931 1.9315 1.932 1.9325

x 1014

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.9295 1.93 1.9305 1.931 1.9315 1.932 1.9325

x 1014

0

1

2

3

4

5

x 10−11

Figura 13.5: Red de difra i�on de Bragg uniforme. El ��ndi e de refra i�on medio es 1,452, elperiodo de Bragg � = 535nm, la amplitud de la perturba i�on senoidal es 0.001 y la longitudde la �bra es 4mm. Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.

1.929 1.9295 1.93 1.9305 1.931 1.9315 1.932 1.9325 1.933

x 1014

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.929 1.9295 1.93 1.9305 1.931 1.9315 1.932 1.9325 1.933

x 1014

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−11

Figura 13.6: Red de difra i�on de Bragg apodizada on per�l de oseno alzado. El ��ndi e derefra i�on medio es 1,452, el periodo de Bragg � = 534;47nm, la amplitud de la perturba i�onsenoidal tiene la expresi�on 0;0005 os2(�2 + �zLper ) y la longitud de la �bra es Lper = 10mm.Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.

1.929 1.9295 1.93 1.9305 1.931 1.9315 1.932 1.9325 1.933

x 1014

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.929 1.9295 1.93 1.9305 1.931 1.9315 1.932 1.9325 1.933

x 1014

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−11

Figura 13.7: Red de difra i�on de Bragg apodizada on per�l de oseno de media ero. El��ndi e de refra i�on medio es 1,452, el periodo de Bragg � = 534;47nm, la amplitud de laperturba i�on senoidal tiene la expresi�on 0;0004 + 0;0004 os2(�2 + �zLper ) y la longitud de la�bra es Lper = 10mm. Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.



248 CAP�ITULO 13. FILTROS �OPTICOS4

x

62-2 0

1,5014

1,501

1,5002

1,5

8

1,5006

1,5012

1,5004

1,5008

0

x

2

1,501

-2-4

1,5014

1,5008

1,5006

1,5002

1,5

4

1,5012

1,5004

0

1,501

1,5005

1,5

x

-4

1,4985

1,499

4-2

1,4995

1,5015

2Figura 13.8: Per�les (no est�an a es ala) de las redes de Bragg uniforme (izquierda), apodizada( entro) y apadizada on valor medio onstante (dere ha).de la �bra por la que se propagan las se~nales �opti as, ha e que deteminadas omponentesespe trales (las que "ven" un ��ndi e de grupo m�as bajo) se adelanten, ya que se propagana una velo idad ligeramente mayor. Este efe to se puede ompensar mediante una �bra dedifra i�on de Bragg en la que el periodo de la perturba i�on var��a linealmente a lo largo dela red, de manera que aquellas omponentes que llegan m�as tarde (que se han retrasado) sere ejen al prin ipio del dispositivo, de forma que el ompensador de la dispersi�on introduz a,para estas omponentes, una retardo de grupo nulo. Por ontra, las omponentes que m�asse han adelantado (las que han llegado antes), deben re orrer todo el dispositivo antes deen ontrar la zona donde se umple la ondi i�on de Bragg y re ejarse, de manera que seintrodu e una retardo de grupo que ompensa exa tamente el adelanto provo ado por ladispersi�on rom�ati a. Esto puede entenderse f�a ilmente viendo la �g. f13.9g.Retardo de grupo sufrido por

Retardo de grupo sufrido por

o

B1

n1=o

B2

n2=o

B3

n3=

Retardo de grupo sufrido por

1

2

3Figura 13.9: Red de difra i�on de Bragg on varia i�on linel del periodo. Introdu e un retardode grupo que es propor ional (o inversamente propor ional si se olo a al rev�es) a la longitudde onda que llega al dispositivo. Este dispositivo es un ompensador pasivo de la dispersi�on rom�ati a.Puesto que las �bras de difra i�on de Bragg fun ionan en re exi�on, el montaje del ompensador de la dispersi�on in luye, ne esariamente, un ir ulador �opti o, tal y omo seobserva en la �g. f13.10g. Evidentemente, el periodo m��nimo de Bragg se orresponde onla omponente espe tral de menor longitud de onda que llega al ompensador (que estar�a alprin ipio o al �nal del dispositivo dependiendo de que el signo de la dispersi�on rom�ati asea negativo o positivo), mientras que el periodo m�aximo se orresponde on la de mayorlongitud de onda. La longitud del ompensador es tal que el tiempo que trans urre en laida y vuelta de la omponente espe tral que llega adelantada sea igual al retardo que sufrela omponente m�as lenta. Por supuesto estamos suponiendo que el oe� iente de dispersi�on




Figura 13.10: Compensador pasivo de la dispersi�on. Consta de un ir ulador y una rede dedifra i�on de Bragg on varia i�on lineal del periodo. rom�ati a permane e onstante en todo el an ho de banda de las se~nales �opti as transmitidas, on lo que una varia i�on lineal del periodo de Bragg es apaz de ompensar este valor dedispersi�on rom�ati a onstante.

1.924 1.926 1.928 1.93 1.932 1.934 1.936 1.938

x 1014

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.924 1.926 1.928 1.93 1.932 1.934 1.936 1.938

x 1014

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

−9

Figura 13.11: Compensador pasivo de la dispersi�on. M�odulo a la izquierda y retardo de grupoa la dere ha. Simula i�on realizada por Alejandro Carballar Rin �on.A ontinua i�on vamos a determinar la fun i�on de transferen ia ( oe� iente de re exi�ony retardo de grupo) de un ompensador pasivo de la dispersi�on. El an ho de banda de la se~nal�opti a va desde los 192; 6THz hasta los 193; 7THz. La longitud de la �bra es de 100Km y su oe� iente de dispersi�on rom�ati a es D = 4psnmKm . El ��ndi e de refra i�on medio de la red dedifra i�on es 1; 452, mientras que la amplitud de la perturba i�on del ��ndi e es �n = 0;0004.Realizando los �al ulos orrespondientes, resulta que �min = 534; 83nm, �max = 535; 95nm yla longitud del ompensador es L = 0; 365m. Las simula iones las vamos a ha er bas�andonosen el m�etodo matri ial des rito en el ap��tulo 9, onsiderando per�les re tangulares uyoprimer arm�oni o oin ide on la amplitud de la perturba i�on senoidal. Los resultados semuestran en las �g. f13.11g.



250 CAP�ITULO 13. FILTROS �OPTICOSProblema 18: Se tiene un sistema WDM donde se transmite a las fre uen iasf1=192,6THz, f2=192,7THz, f3=192,8THz y f4=192,9THz. Se quiere dise~narun �ltro de avidad Fabry{P�erot para que sele iones la fre uen ia f1. Variandola longitud de la avidad, el �ltro debe ser apaz de sintonizar ualquier otro anal,in luyendo el anal nulo (re ejar todas las fre uen ias insidentes). En la banda dere hazo, se ne esita un Tmin=0,02. El ��ndi e de refra i�on del medio es n=1,5.Solu i�on: Debemos tomar una FSRmin = 500GHz para tener la posibilidad de re ejartodos los anales, (el periodo de repeti i�on de las bandas de paso del �ltro es, pre isamente,la FSR). Puesto que en la banda de re hazo ne esitamos una Tmin = 0;02 resulta:0; 02 = �1� R1 +R�2 ) R = 0; 75Para sintonizar el anal f1 = 196; 6THz el o iente f1FSR debe ser entero. Comprob�emoslo:k = f1FSR = 385; 2Este n�umero no es entero, pero la FSR puede ser mayor que 500GHz, por los que tomamosk0 = 385 y al ulamos la FSR real: Æ2nL = FSRreal = f1385 = 500; 26GHz ) L = 199; 89�mYa podemos al ular la an hura del �ltro:FWHM = Æ�nL sin�1 1�R2pR ! = 46; 15GHz



Cap��tulo 14A opladores �opti osResumen: En este ap��tulo vamos a des ribir los a opladores �opti os.Los a opladores son dispositivos pasivos que distribuyen una o varias se~nales�opti as de entrada entre varias salidas. Se fabri an tanto en te nolog��aintegrada omo en te nolog��a todo �bra y tienen un ampo de apli a i�onmuy importante en las redes �opti as pasivas (redes PON).

251



252 CAP�ITULO 14. ACOPLADORES �OPTICOS14.1. Prin ipio de fun ionamiento1 1/2

1/2

1 1/2

1/2

Figura 14.1: A oplador dire ional.Los a opladores �opti os m�as utilizados, los denominados a opladores dire ionales, sefabri an generalmente en te nolog��a de �opti a integrada [65℄{[75℄. Normalmente se empleael niobato de litio (NbO3Li) omo material sustrato sobre el que se realiza un dopado ( ontitanio, por ejemplo) en aquellas regiones uyo ��ndi e de refra i�on se quiere aumentar, re�andose, de esta forma, una estru tura gu��aonda de geometr��a planar. En la �g. f14.1gse muestran dos guiaondas (las zonas re tangulares representan las zonas de mayor ��ndi e)que se a er an mu ho entre s��, de forma que el ampo evanes ente (la zona donde el ampoele tromagn�eti o de re e exponen ialmente) de la onda introdu ida por uno de los puertos,solapa par ialmente on el n�u leo del otro guiaonda. Si estuviesen aislados el uno del otro, Losdos guiaondas soportar��an, a la longitud de onda de trabajo, un �uni o modo de propaga i�on.La estru tura mostrada se puede estudiar onsiderando que, al a er arse los dos n�u leos,se produ e una peque~na perturba i�on que a opla entre s�� los fen�omenos de propaga i�onque, en ausen ia de di ha perturba i�on, ser��an independientes el uno del otro. Puesto quehemos de idido, por su relativa omplejidad, no introdu ir el formalismo de modos a oplados[103℄{[65℄, no vamos a dedu ir las e ua iones resultantes. Si lo hi i�esemos y las integr�asemos, omprobar��amos que, para una determinada longitud de la zona de a oplo L, se produ ir��auna transferen ia total de energ��a de un guiaonda al otro. Si in rement�asemos la zona dea oplo en otra longitud L, se produ ir��a el fen�omeno inverso a �este y el inter ambio serepetir��a de manera peri�odi a si la longitud de la zona de a oplo fuese in�nita. En la �g.f14.1g, la longitud de a oplo es la ne esaria para que se trans�era s�olo la mitad de la poten ia�opti a.Si ha emos una serie de onsidera iones generales a er a del fun ionamiento del dis-positivo, podremos dedu ir que su matriz de s attering depende de un �uni o par�ametro [72℄.En la �g. f14.2g hemos representado el a oplador dire ional y hemos enumerado los uatropuertos que lo onstituyen. Tambi�en hemos representado una matriz de s attering gen�eri a



14.1. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO 253

0 0 S S0 0 S SS S 0 0S S 0 0

13 14

23 24

31 32

41 42

S =ij

1

2

3

4a

b

a

b

ab

a

b

1

1

2

2

3

3

4

4

Figura 14.2: Matriz de s attering del a oplador dire ional.que des ribe su fun ionamiento. Lo �uni o que hemos tenido en uenta al es ribirla es que, enausen ia de re exiones en los puertos, a partir de una onda que se propaga en un sentido nose puede generar otra que se propague en sentido ontrario, de ah�� los eros que apare en enla matriz. Si tenemos en uenta que el dispositivo es re ��pro o, deben umplirse las siguientesrela iones: S13 = S24S31 = S42 (14.1)Si despre iamos las p�erdidas que se produ en en el a oplador, tenemos que la matrizde s attering del a oplador dire ional es unitaria, por lo que se veri� an las siguientesigualdades: S13S�13 + S14S�14 = 1S23S�23 + S24S�24 = 1S13S�23 + S14S�24 = 0S31S�31 + S41S�41 = 1S41S�41 + S42S�42 = 1S31S�41 + S32S�42 = 0 (14.2)De donde dedu imos que la matriz de s attering se puede es ribir omo:26664 b1b2b3b4 37775 = 26664 0 0 p1� � jp�0 0 jp� p1� �p1� � jp� 0 0jp� p1� � 0 0 37775 26664 a1a2a3a4 37775 (14.3)



254 CAP�ITULO 14. ACOPLADORES �OPTICOSEntrada 1

Entrada 2

Salida 1

Salida 2

Cubierta

Nucleo

(a)

Calor

(b)Figura 14.3: A opladores �opti os fabri ados en te nolog��a de �bra. De ampo evanes ente(izquierda) y �bras fusionadas (dere ha)El par�ametro real � indi a �omo se reparte la poten ia entre ada uno de los dospuertos de salida y t��pi amente toma el valor de 0,5. Para al ular la longitud de la regi�onde a oplo ne esaria para obtener un valor de � determinado es ne esario, evidentemente,resolver la e ua i�on de modos a oplados.Los a opladores �opti os se fabri an tambi�en en te nolog��a de �bra [72℄, tal y omomuestra la �g. f14.3g. El representado a la izquierda ( ada una de las �bras soporta un �uni omodo) tiene un oe� iente de a oplo variable ya que desplazando lateralmente una �bra onrespe to a la otra, el solapamiento entre los dos modos guiados ambia. En el a opladorrepresentado a la dere ha, los n�u leos de las distintas �bras est�an fundidos por lo que no sepuede variar el oe� iente de a oplo.1

2

3

4

P1

P2

P3

P4Figura 14.4: Poten ias que salen por los distintos puertos del a oplador dire ional trasex itarlo por la entrada "1".14.2. Par�ametros ara ter��sti osHasta ahora hemos supuesto que el dispositivo se omporta de manera ideal, esde ir, que no introdu e p�erdidas y que no hay propaga i�on de ondas ontradire ionales (seentiende que on los puertos adaptados). En la pr�a ti a esto no es as�� por lo que es ne esario



14.2. PAR�AMETROS CARACTER�ISTICOS 255de�nir una serie de par�ametros que des riban el omportamiento real de un a oplador �opti o.Tomando omo referen ia la �g. f14.4g, de�nimos [72℄:1. Constante de a oplo: k := P4P3+P4 que, t��pi amente toma el valor 0,5.2. P�erdidas en ex eso: �(dB) := 10 log10( P1P3+P4 ) que, t��pi amente vale 0,5 dB.3. Dire tividad: D(dB) := 10 log10(P2P1 ) que, t��pi amente toma el valor de -50 dB.4. P�erdidas de inser i�on: Mi(dB) := 10 log10(P1Pi ) i=3, 4 que, t��pi amente vale 3,8 dB.3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

3dB

P

P

P

P

P

P

P

P

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

i1/8 p

i=1

8

7

8

6

5

4

3

1

2

Figura 14.5: A oplador en estrella 8� 8.



256 CAP�ITULO 14. ACOPLADORES �OPTICOS14.3. A opladores en estrellaPor a oplador en estrella entendemos un dispositivo �opti o pasivo que, a partir deun onjunto de se~nales de entrada, las ombina y distribuye entre varias salidas [72℄. Nor-malmente se onstruyen a partir de a opladores dire ionales de onstante de a oplo 0,5.En la �g. f14.5g se muestra una a oplador en estrella 8 � 8 fabri ado a partir de a opla-dores dire ionales 2� 2. Estos a opladores se utilizan mu ho en redes �opti as pasivas [84℄, ono idas omo redes PON (del ingl�es "passive opti al networks").



Cap��tulo 15Multiplexores y onmutadores �opti osResumen: En este ap��tulo vamos a des ribir otros dispositivos empleados en lasredes DWDM: los multiplexores (y demultiplexores) y los onmutadores �opti os. Losprimeros introdu en (o separan) las distintas longitudes de onda que viajansimult�aneamente por la �bra. Los segundos de�nen el en aminamiento de la informa i�onpor la red �opti a.

257



258 CAP�ITULO 15. MULTIPLEXORES Y CONMUTADORES �OPTICOS15.1. Multiplexores y demultiplexores

, , ,1 2 3 4

1

2

3

4

L+ LL+2 L

L

L+(m-1) L

L+m L

.

.

.

R2R Detalle del círculo de Rowland

Esquema del AWGFigura 15.1: Multiplexor/demultiplexor fabri ado en te nolog��a mi ro�opti a (izquierda).Multiplexor para en aminamiento est�ati o (dere ha).Los multiplexores sirven para introdu ir varios anales, ada uno de ellos odi� adoa una longitud de onda distinta, en la misma �bra �opti a, mientras que los demultiplexoresrealizan la fun i�on inversa. Este tipo de dispositivos se emplean, evidentemente, en sistemasDWDM y pueden fabri arse en distintas te nolog��as. As��, por ejemplo, en la �g. f15.1g serepresenta, a la izquierda, un multiplexor/demultiplexor fabri ado en te nolog��a mi ro�opti a[8℄. Su prin ipio de fun ionamiento se basa en una red de difra i�on espa ial en la que el�angulo de difra i�on var��a de manera importante on respe to a la longitud de onda. Para elloes ne esario que las perturba iones en la super� ie del espejo sean de un tama~no omparable(o m�as peque~nas) a las longitudes de onda de los anales a multiplexar o demultiplexar, ya quelos �angulos de difra i�on son propor ionales a �id , donde d es la longitud de la perturba i�onexistente en el espejo.En los sistemas DWDM se emplean multiplexores m�as omplejos para de�nir tablasde en aminamiento est�ati o entre los nodos de la red. En la �g. f15.1g se muestra, a ladere ha, un AWG (del ingl�es "Arrayed Waveguide Grating") o WGR (tambi�en del ingl�es"Waveguide Grating Router") [8℄{[65℄{[96℄. Como se observa, el AWG est�a ompuesto porun a oplador de entrada, m guiaondas, ada uno de los uales introdu e un retardo onstante on respe to al anterior (ya que es �L metros m�as largo que el anterior) y un a opladorde salida. Los a opladores de entrada y salida son " ��r ulos de Rowland". El ��r ulo deRowland de la izquierda realiza m opias de la informa i�on que de las n �bras entrantes. Losguiaondas introdu en un retardo onstante entre dos entradas onse utivas y, �nalmente,esta informa i�on se vuelve a ombinar en el a oplador de salida. Ahora, para ada anal ylongitud de onda, las ondi iones de interferen ia onstru tiva dentro del ��r ulo de Rowlandde la dere ha no tienen por qu�e darse (y de he ho en general no es as��) para la misma �braque a la entrada.Una posible tabla de en aminamiento ser��a la mostada en la �g. f15.2g (parte dere- ha). El dispositivo se trata de un demultiplexor{multiplexor de uatro entradas y uatrosalidas y su fun ionamiento es el siguiente: sa a la longitud de onda �1 por la misma �bra



15.2. CONMUTADORES �OPTICOS 259, , ,1 2 3 4

1 1 1 1

, , ,1 2 3 42 2 2 2

, , ,1 2 3 43 3 3 3

, , ,1 2 3 44 4 4 4

, , ,1 2 3 41 2 3 4

, , ,2 1 4 31 2 3 4

, , ,3 2 1 41 2 3 4

, , ,4 3 2 11 2 3 4

MUX-DMUX

b =1/ 23

b =j/ 24

a =11 1

2

=0

=j

3

4

2x2 2x2

, , ,1 2 3 4

2

2

2

2

, , ,1 2 3 4Figura 15.2: Ejemplo de tabla de en aminamiento de un AWG (izquierda). Multiplexor addand drop fabri ado on a opladores dire ionales (dere ha).por la que entra, la longitud de onda �2 por la siguiente siguiente, la informa i�on odi� adaen �3 por la �bra desplazada dos posi iones y, por �ultimo, la longitud de onda �4 por la queest�a desplazada tres posi iones.Otro tipo de multiplexor, que ya hemos estudiado en un ap��tulo anterior, es elmultiplexor "add and drop". En la parte dere ha de la �g. f15.2g se muestra otra posibleimplementa i�on de este multiplexor que, b�asi amente, onsiste en dos a opladores de k =50% implementados en �opti a integrada [8℄. Adem�as, en los guiaondas que one tan losdos a opladores, se deposita un re e tor de Bragg sintonizado a la longitud de onda que sequiere sustituir. Para entender su fun ionamiento lo �uni o que tenemos que ha er es al ularla matriz de reparto de dos a opladores olo ados en as ada:266664 b01b02b03b04 377775 = ( 1p2)2 2666664 0 0 p22 jp220 0 jp22 p22p22 jp22 0 0jp22 p22 0 03777775 2666664 0 0 p22 jp220 0 jp22 p22p22 jp22 0 0jp22 p22 0 0

3777775 26664 1000 37775 = 26664 000j 37775 (15.1)Vemos que lo que entra por el puerto "1" sale por el "4" desfasado 90Æ. Teniendo en uenta este resultado, resulta f�a il dedu ir que el fun ionamiento de este multiplexor es elrepresentado en la �g. f15.2g.15.2. Conmutadores �opti osLos onmutadores �opti os se utilizan en sistemas DWDM on distintas �nalidades.En fun i�on de la apli a i�on, los tiempos de onmuta i�on han de ser de un determinado ordende magnitud [8℄{[84℄:Provisi�on de nuevos enla es. De esta manera podemos re on�gurar la red �opti a"o�-line", es de ir, uando no est�a en uso. En este aso los tiempos de onmuta i�onest�an en el rango de 1{10 ms. Suelen fabri arse en te nolog��a mi ro�opti a y no son m�asque una matriz de mi roespejos y su onmuta i�on onsite en mover (girar) los espejos.



260 CAP�ITULO 15. MULTIPLEXORES Y CONMUTADORES �OPTICOSC

F.O.V. Control

Láser1

2

3

4

1 2 3 4Figura 15.3: Modulador ele tro�opti o en �opti a integrada (izquierda). Conmutador r�apido rossbar (dere ha).Son relativamente baratos, por lo que pueden fabri arse onmutadores on un n�umeromuy elevado de entradas y salidas.Conmuta i�on para prote i�on. Se realiza uando una �bra falla (por rotura, porejemplo) y en el able �opti o hay �bras no usadas (llamadas �bras os uras) que sonredundantes. Los tiempos de onmuta i�on deben estar en el rango de 1{10�s.Conumuta i�on de paquetes �opti os. Las redes DWDM tienden a in orporar mul-tiplexa i�on temporal en el dominio �opti o (OTDM) on el objeto de implimentar enel dominio �opti o las apas de la red orrespondientes al en aminamiento de la in-forma i�on. Las redes existentes no in luyen esta posibilidad pero se ree que uandose onsigan fabri ar de manera e� iente onversores en longitud de onda (WLCs delingl�es "wavelength onverters") esta t�e ni a se llevar�a a la pr�a ti a. Los tiempos de onmuta i�on estimados son del orden de 1ns.Moduladores externos. Los l�asers que se fabri an en la a tualidad no se puedenmodular por inye i�on de orriente por en ima de unos po os Gb/s. Las tasas binariasde 10 y 40 Gb/s (est�andares en sistemas DWDM, al menos la primera) se onsigueempleando moduladores externos, es de ir, dispositivos que se pueden ha er transpa-rentes u opa os en fun i�on de una tensi�on apli ada. Existen dos tipos de moduladoresexternos: moduladores de ele troabsor i�on y a opladores por efe to ele tro�opti o. Losprimeros son dispositivos a base de pozos u�anti os, uyo estudio no se aborda en estelibro ya que su prin ipio de fun ionamiento se basa en un efe to u�anti o. Los segun-dos son a opladores por ampo evanes ente en los que se puede variar r�apidamente lalongitud efe tiva de a oplo por efe to ele tro�opti o. Los tiempos de onumuta i�on sondel orden de 10ps. En la �g. f15.3g se ha representado un modulador de este tipo.Cuando se ne esitan onmutadores de m�ultiples entradas y salidas on tiempos de onumuta i�on muy ortos, no queda m�as remedio que que fabri ar matri es de a opladores2�2 que fun ionen por efe to ele tro�opti o. As��, por ejemplo, se muestra en la �g. f15.3gun onmutador de on�gura i�on " rossbar". Este dispositivo tiene la ventaja de que no sebloquea nun a y el in onveniente de requerir un n�umer N2 de a opladores 2�2, donde N esel n�umero de �bras de entrada y de salida.



Cap��tulo 16Efe tos no linealesResumen: En los sistemas DWDM se propagan entenares de anales multiplexadosen longitud de onda, ada uno de los uales transmite una tasa binaria del orden dealgunas de enas de Gb/s. Las distan ias a las que se transmite la informa i�on puedenser del orden de algunos miles de kil�ometros (por ejemplo en las omuni a ionestranso e�ani as). La onjun i�on de estos dos he hos: poten ias �opti as muy altasy distan ias re orridas muy elevadas, ha en que sea pre iso tener en uenta lasintera iones no lineales entre los pulsos luminosos. Como regla general, los efe tosno lineales son pro esos no deseados que degradan la alidad del enla e. En labibliograf��a se dan riterios de dise~no que limitan las poten ias m�aximas quese pueden transmitir por ada anal en fun i�on de la no linealidad onsiderada. Eneste ap��tulo nos vamos a limitar a enumerar y expli ar el origen f��si o deestos pro esos.

261



262 CAP�ITULO 16. EFECTOS NO LINEALES16.1. Introdu i�onLa �opti a no lineal estudia los fen�omenos en los que las propiedades del medio materialse ven modi� adas por la presen ia de una luz muy intensa. T��pi amente s�olo la luz l�aser eslo su� ientemente potente omo para produ ir efe tos no lineales.El s��li e es un medio material po o propenso a sufrir este tipo de fen�omenos [18℄{[45℄de manera que en los sistemas donde se transmite un �uni o anal y, a menos que se hayandise~nado para que propaguen solitones, los efe tos no lineales son po o importantes. Lasitua i�on es, sin embargo, muy distinta en los sistemas DWDM, donde se propagan entenaresde anales a lo largo de entenares o in luso miles de kil�ometros. Es la onjun i�on de estosdos fen�omenos (poten ias muy elevadas propag�andose a lo largo de enormes distan ias) laque provo a la apari i�on de estos fen�omenos que, en general, no son deseados y que degradanlas presta iones del enla e [26℄.

m-q

x(t)

k/2

k/2

x+ x+ x=-qE(t)/m.. .

o2

Figura 16.1: Modelo de Lorentz de un �atomo.16.2. Origen mi ros �opi oEn el modelo me �ani o del �atomo representado en la �g. f16.1g suponemos que lafuerza ele tromagn�eti a que mantiene al ele tr�on orbitando alrededor del n�u leo es F =�kx(t) = �m!2Æx(t). Esto es ierto siempre que el desplazamiento x(t) del ele tr�on onrespe to a su posi i�on de equilibrio sea peque~no. Si el ampo el�e tri o E(t) se ha e muy



16.2. ORIGEN MICROSC �OPICO 263V(x)

7

4

5

3

02

1

x

0-2

6

2

31-1-3Figura 16.2: Desvia iones del poten ial respe to al parab�oli o.grande porque la luz es muy intensa, esta hip�otesis deja de ser ierta, la fuerza que ejer enlos muelles dejan de ser propor ionales al desplazamiento y ya no derivan, por tanto, del ampo poten ial parab�oli o V (x) = 12m!2Æx2(t).En la �g. f16.2g se han representado en trazo grueso dos tipos de desvia iones frenteal poten ial parab�oli o: la urva asim�etri a representa una no linealidad propia de un mediomaterial sin simetr��a de inversi�on (no es el aso del s��li e) mientras que la asim�etri a es propiade un medio on simetr��a de inversi�on (es el aso del s��li e) [18℄. S�olo vamos a onsiderareste �ultimo aso.Para poder estudiar anal��ti amente lo que o urre en presen ia de ampos ele tro-magn�eti os intensos debemos modi� ar la e ua i�on diferen ial de Lorentz e introdu ir unt�ermino no lineal ad{ho peque~no. La e ua i�on resultante es [18℄:�x + _x + !2Æx� bx3 = �qE(t)m (16.1)Si resolvemos la e ua i�on diferen ial (16.1) apli ando un m�etodo perturbativo, llega-mos a la on lusi�on de que la polariza i�on mi ros �opi a provo ada por un ampo el�e tri oin idente senoidal tiene un aspe to pare ido la mostrado en la �g. f16.3g. A la hora de al ular el momento dipolar ma ros �opi o no podemos, evidentemente, pasar al dominioespe tral ya que las e ua iones no son lineales. La polariza i�on ma ros �opi a la podemosexpresar omo:~P (t) = Z t�1 �1)(t� �) ~E(�)d� + Z t�1 Z t�1 Z t�1 �3)(t� �1; t� �2; t� �3) ~E(�1) ~E(�2) ~E(�3)d�1d�2d�3



264 CAP�ITULO 16. EFECTOS NO LINEALESt/(2Pif)

0 10,5

P(t)

-1,5

1

-1

-0,5

-1

0,5

1,5-0,50

Figura 16.3: Momento dipolar mi ros �opi o no lineal (exagerado) provo ado por la e ua i�on(16.1). Ahora vamos a determinar el tensor de sus eptibilidad de ter er orden �3) en unaserie de situa iones que tienen espe ial importan ia para nosotros, puesto que que des ribenfen�omenos �opti os no lineales que se produ en en los sistemas DWDM.16.3. Efe to KerrVamos a resolver la e ua i�on (16.1) utilizando un m�etodo perturbativo, ya que asu-mimos que bx2 � !2Æ [18℄. Vamos a suponer que por la �bra se propaga una �uni a portadora uya pulsa i�on es mu ho menor que la pulsa i�on ara ter��sti a del os ilador de Lorentz, esde ir, ! � !Æ, por lo que el n�umero de dipolos en resonan ia es muy redu ido y por tanto eltiempo medio entre olisiones muy alto (TÆ ' 1). Adem�as, para simpli� ar las e ua ionesvamos a despre iar el t�ermino de fri i�on _x.1. Aproxima i�on de orden 1. No tenemos en uenta el t�ermino no lineal bx3 on lo quenos queda: �x1 + !2Æx1 = �qE(!)m os(!t)) x1(t) = �q=mE(!)!2Æ � !2 os(!t))�1) = Nq2dV �Æm(!2Æ � !2) (16.2)2. Aproxima i�on de orden 2. Consideramos la e ua i�on ompleta, sustituyendo en el t�ermino



16.3. EFECTO KERR 265de la dere ha la aproxima i�on de orden 1 y resolvemos en x2:�x2 + !2Æx2 = �qE(!)m os(!t) + bx31 (16.3)�x2 + !2Æx2 = �qE(!)m os(!t) + bx31x1 = �q=mE(!)!2Æ � !2 os(!t) 9>>>>>=>>>>>;)x2(t) = � qE(!)m(!2Æ � !2) os(!t)� 3q3bE3(!)4m3(!2Æ � !2)4 os(!t)� 3q3bE3(!)4m3(!2Æ � !2)4 os(3!t)(16.4)Las os ila iones aso iadas al primer t�ermino son las responsables del momento dipolarlineal. El segundo t�ermino es el responsable de que aparez a un efe to no lineal quere ibe el nombre de efe to Kerr y que onsiste, tal y omo probaremos m�as adelante,en un ambio en el ��ndi e de refra i�on del medio indu ido por la propia poten ia�opti a que se propaga por la �bra. El ter er sumando des ribe la genera i�on de unter er arm�oni o (una onda luminosa de pulsa i�on triple) que no se produ e realmenteen �bras �opti as 1.Teniendo en ienta que la pulsa i�on es mu ho menor que la pulsa i�on ara ter��sti adel os ilador de Lorentz, es de ir, ! � !Æ, resulta que la sus eptibilidad diel�e tri a y lapolariza i�on no lineal aso iadas al efe to Kerr tienen la siguiente expresi�on:�3)K ' 3Nq4bdV 4m3!8ÆPK(!) = �3)K jE(!)j2E(!) 9>>>>=>>>>; (16.5)

Lo que realmente nos interesa es al ular la varia i�on produ ida en el valor de lasus eptibilidad diel�e tri a (o en el ��ndi e de refra i�on) por ausa del efe to Kerr. Teniendoen uenta que la rela i�on que hay entre la intensidad luminosa y el ampo el�e tri o esI = jE(!)j22� , donde � es la impedan ia del medio, resulta [87℄:�� = PK(!)�Æ = 2��3)K�Æ In2 = 1 + �) �� = 2n�n 9>>>>=>>>>;) n(I) = n+ n2I; n2 = �Æn2�Æ�3)K (16.6)1El motivo es que no se veri� a la ondi i�on de a uerdo de fase. En el apartado dedi ado al mez lado de uatro ondas, expli aremos en qu�e onsiste esta ondi i�on.



266 CAP�ITULO 16. EFECTOS NO LINEALES16.4. Fen�omenos no lineales aso iados al efe to Kerr16.4.1. Automodula i�on de fase (SPM)Como onse uen ia del efe to Kerr, un pulso �opti o de intensidad luminosa alta quese propaga por una �bra, sufre un pro eso de automudula i�on de fase (SPM del ingl�es "Selfphase modulation"). Aquellas zonas del pulso donde la intensidad luminosa es mayor, "ven"un in remento lo al del ��ndi e de refra i�on uyo valor es �n = n2I, on lo que sufren unretardo de fase on respe to a las zonas donde la intensidad es menor. Si la envolvente delpulso tiene una poten ia �opti a P onstante, la se i�on transversal de la �bra es A y lalongitud de la �bra es L, enton es el retardo de fase es el mismo en todos los puntos delpulso y su valor ser��a �' = 2�n2 PL�ÆA . Evidentemente esta no es la situa i�on habitual en omuni a iones �opti as, ya que la dispersi�on de la �bra suavizar��a las transi iones de unaenvolvente re tangular.En la �g. f16.4g se ha representado un pulso de envolvente Gaussiana, el desfasea umulado y el hirp indu ido [47℄. Vemos que la automodula i�on de fase produ e una dis-tribu i�on no uniforme de las omponentes espe trales a lo largo de la envolvente. En la �gurano se ha simulado el efe to de la dispersi�on rom�ati a de la �bra. Si la tenemos en uenta, el hirp indu ido ha e que, en la mayor parte de las o asiones, la dispersi�on rom�ati a distor-sione mu ho la forma del pulso, por lo que, en general, se debe trabajar on poten ias �opti aslo su� ientemente d�ebiles omo para que no haya una automodula i�on de fase apre iable.La automodula i�on de fase es, pues, un fen�omeno indeseado en los sistemas DWDM quedebe evitarse. Sin embargo, si los sistemas se dise~nan uidadosamente, de manera que lospulsos tengan una envolvente muy espe ial (las llamadas ondas solitarias o, "solitones") laSPM ombinada on una dispersi�on rom�ati a negativa de un valor determinado ha e quelos pulsos se propaguen sin distorsi�on, es de ir, sin sufrir dispersi�on alguna [46℄.En la �g. f16.4g vemos que al prin ipio del pulso se a umulan omponentes espe tralesde baja fre uen ia, mientras que al �nal est�an las omponentes de mayor fre uen ia. Ende�nitiva, la SPM indu e un oe� iente de hirp (CÆ) negativo en el pulso. Si la dispersi�on rom�ati a de la �bra es negativa (esta es la situa i�on habitual para la mayor parte lossistemas en ter era ventana) las omponentes espe trales de menor fre uen ia (que van alprin ipio del pulso) se propagan on menor velo idad que las de mayor fre uen ia (quevan al �nal del pulso), por lo que se produ e una " ompresi�on" del pulso. En el ap��tulo2 ya estudiamos un fen�omeno pare ido. La diferen ia estriba en que ahora el fen�omenode ompresi�on no se produ e por la presen ia de un hirp ini ial en el pulso, sino por laautomodula i�on de fase. Esta tenden ia que tiene el pulso a omprimirse puede ompensar ompletamente la dispersi�on rom�ati a (que tiende a ensan har el pulso) si la envolvente tieneuna forma muy parti ular: la del "solit�on" de primer orden 2. En la a tualidad existen algunossistemas omer iales basados en una varia i�on de este prin ipio ono ido omo propaga i�onde solitones on gesti�on de la dispersi�on [7℄{[35℄{[46℄.2La e ua i�on no lineal de S hr�odinger, que es la que des ribe la propaga i�on de solitones por �bras �opti as,puede integrarse apli anso el m�etodo del s attering inverso [100℄{[108℄.



16.4. FEN �OMENOS NO LINEALES ASOCIADOS AL EFECTO KERR 267

0-2

1

0,8

0,6

0,2

0

-0,2 t

0,4

1 2

-0,4

-3 -1 3

Figura 16.4: Chirp produ ido en un pulso Gaussiano por la automodula i�on de fase. Laenvolvente se ha representado en trazo dis ontinuo. El desfase es �� = 2�n2L�ÆA P (t), mientrasque el hirp (que se ha representado en trazo m�as �no) es �! = d��dt .16.4.2. Modula i�on de fase ruzada (XPM)La modula i�on de fase ruzada (XPM del ingl�es "Cross phase modulation") apare e,tambi�en, omo onse uen ia del efe to Kerr. O urren en sistemas DWDM, en los que seprodu e una varia i�on no lineal de la fase en los pulsos de un anal determinado omo onse uen ia de la poten ia �opti a que ir ula por el resto de los anales [6℄. La expresi�onde la XPM es [26℄: ��m(t) = 2�n2L�ÆA [PÆm(t) + 2Xi6=mPÆi(t)℄ (16.7)El primer sumando representa la SPM, mientras que el segundo es la XPM. Lasitua i�on peor se da uando en el resto de los anales se propaga un pulso (es de ir, un "1"l�ogi o) que solapa totalmente on el pulso que se est�a propagando por el anal onsiderado.En esta situa i�on la varia i�on de fase produ ida por la modula i�on de fase ruzada vale:��m(t) = 2�n2L�ÆA PÆi(t)(2M � 1) (16.8)Evidentemente al evaluar esta expresi�on hemos sido ex esivamente pesimistas, ya quehemos supuesto que todos los anales se propagan on igual velo idad. Esto es ierto s�olo



268 CAP�ITULO 16. EFECTOS NO LINEALESsi la dispersi�on rom�ati a de la �bra es nula. Para redu ir los problemas provo ados por laXPM se utilizan �bras que tiene una dispersi�on rom�ati a residual de unos 5ps/nmKm y setoma un espa iamiento entre anales lo su� ientemente alto omo para que la velo idad depropaga i�on de los anales adya entes sea onsiderablemente distinta [26℄. De esta manerase onsiguen paliar los problemas planteados por la modula i�on de fase ruzada, ya que lospulsos se ruzan on velo idades relativas bastante altas. Otra manera de minimizar la XPMes trabajar on �bras de dispersi�on rom�ati a alta, pero alternando dispersiones positivas onnegativas (iguales en valor absoluto), de manera que las velo idades relativas de propaga i�onde los pulsos anales adya entes son grandes.16.5. Mez lado de uatro ondas (FWM)En el apartado anterior determinamos la sus eptibilidad diel�e tri a de ter er ordenpara el aso de una �uni a onda in idente. Ahora vamos a onsiderar que se propagan tresondas de pulsa iones !1, !2 y !3. En este aso nos queda (ahora vamos a representar lasondas por medio de fasores) [6℄:1. Aproxima i�on de orden 1. No tenemos en uenta el t�ermino no lineal bx3 on lo quenos queda:�x1 + !2Æx1 = �qE(!1)m ej!1t + e�j!1t2 � qE(!2)m ej!2t + e�j!2t2 � qE(!3)m ej!2t + e�j!2t2 )x1(t) = �q=mE(!1)!2Æ � !21 ej!1t + e�j!1t2 � q=mE(!2)!2Æ � !22 ej!2t + e�j!2t2 � q=mE(!3)!2Æ � !23 ej!3t + e�j!3t22. Aproxima i�on de orden 2. Consideramos la e ua i�on ompleta, sustituyendo en el t�erminode la dere ha la aproxima i�on de orden 1 y resolvemos en x2:�x2 + !2Æx2 = � qm 3Xi=1 e!it + e�!it2 + bx31 = � qm 3Xi=1 e!it + e�!it2 �� bq38m3 Xijk E(�!i)E(�!j)E(�!k)(!2Æ � !2i )(!2Æ � !2j )(!2Æ � !2k) e!lt + e�!lt2 )x2(t) = � qm 3Xi=1 E(!i)(!2Æ � !2i ) e!it + e�!it2 �� bq38m3 Xijk E(�!i)E(�!j)E(�!k)(!2Æ � !2i )(!2Æ � !2j )(!2Æ � !2k)(!2Æ � !2l ) e!lt + e�!lt2 (16.9)El primer t�ermino de esta �ultima expresi�on no nos interesa ya que es el responsable dela polariza i�on lineal. El segundo est�a aso iado al mez lado de uatro ondas. La polariza i�onma ros �opi a aso iada ( onsiderando, de nuevo, que el n�umero de �atomos en resonan ia espeque~no, por lo que TÆ ' 1) tiene la siguiente expresi�on:P 3)F (!l) = � Nbq48dV m3 Xijk E(�!i)E(�!j)E(�!k)(!2Æ � !2i )(!2Æ � !2j )(!2Æ � !2k)(!2Æ � !2l ) e!lt + e�!lt2 (16.10)



16.5. MEZCLADO DE CUATRO ONDAS (FWM) 2691 2 3

= + -ijk i j k

132

312123

213

332223112 232

231

321

331

P

Figura 16.5: Se~nales esp�ureas produ idas por el mez lado de uatro ondas.Evidentemente se tiene que umplir !l = �!i � !j � !k. Como estamos estudiando �omo afe ta el mez lado de uatro ondas (FWM, del ingl�es "Four wave mixing") a lossistemas DWM, resulta laro que para que !l aiga dentro del an ho de banda de los analestransmitidos, se tiene que veri� ar que dos de los signos de (16.10) sean positivos y unonegativo. Como los anales est�an equiespa iado, !l tiene la misma pulsa i�on que uno de ellos on lo que el FWM puede introdu ir unas diafon��as entre anales muy perjudi iales. Adem�asel n�umero de se~nales que se produ en por FWM es muy elevado, tal y omo se muestra enla �g. f16.5g.Supongamos que por la �bra se propagan tres anales de pulsa iones !1, !2 y !3.Una onda que se podr��a generar ser��a aquella uya pulsa i�on fuese !4 = !1 + !2 � !3. Sinembargo, para que esta onda se pueda propagar por la �bra es ne esario que se veri�que lasiguiente ondi i�on: ~k4 = ~k1 + ~k2 � ~k3 (16.11)Esta ondi i�on re ibe el nombre de a uerdo de fase y su signi� ado f��si o es que setiene que onservar el momento total en este pro eso de intera i�on entre los uatro fotones[87℄. La ondi i�on !4 = !1 + !2 � !3, a su vez, no representa m�as que el prin ipio de onserva i�on de la energ��a total [87℄. La ondi i�on (16.11) se umplir��a exa tamente en una�bra on dispersi�on rom�ati a nula, ya que enton es la rela i�on entre ~k y ! ser��a lineal ypuesto que se umple !4 = !1+!2�!3, autom�ati a se veri� ar��a la rela i�on (16.11). Puestoque el mez lado de uatro onda puede introdu ir una diafon��a muy importante, las �brasque se emplean en DWDM (las �bras de dispersi�on plana) tienen una dispersi�on residualde unos 5ps/nmKm, a�un uando podr��an fabri arse on una dispersi�on mu ho m�as baja. Elmotivo es impedir que se umpla la ondi i�on de a uerdo de fase y redu ir, as��, el FWM [26℄.



270 CAP�ITULO 16. EFECTOS NO LINEALES

g

e

v

fonón

L s

L

s

n

Figura 16.6: S attering de fotones por efe to Raman espont�aneo.16.6. Efe to Raman estimulado (SRS)Antes de estudiar el efe to Raman estimulado, vamos a des ribir el efe to Ramanespont�neo [18℄. Se trata de un pro eso no resonante, lo que quiere de ir que se absorbeun fot�on que tiene un energ��a inferior a la ne esaria para ha er pasar al �atomo al estadoex itado. El fot�on absorbido y el ele tr�on pasan a un estado virtual 3. Cuando el ele tr�onvuelve al estado fundamental �este, en algunos asos, tiene una energ��a ligeramente mayor queantes de produ irse la transi i�on, ya que ha absorbido un fon�on �opti o (los fonones son los uantos aso iados a las vibra iones de los enla es del material y transportan tanto energ��a omo uasiimpulso). Por onsiguiente, el fot�on emitido tiene una energ��a ligeramente menorque la que ten��a antes de produ irse la transi i�on al estado virtual, tal y omo se muestraen la �g. f16.6g.Si la luz est�a generada por un l�aser y es su� ientemente potente se produ e el denomi-nado s attering Raman estimulado en el que un por entaje importante de la luz se tranformaen la denominada onda Stokes ( uya pulsa i�on es menor que la de la radia i�on in idente,!s < !). Adem�as, a diferen ia de lo que o urre on el s attering Raman espont�aneo, la luzas�� produ ida no es isotr�opi a, sino que se propaga odire ionamente o ontradire ional-mente on la radia i�on que ex ita el pro eso. El motivo por el que se produ e este fen�omenoes que al propagarse por el medio tanto la intensa luz generada por el l�aser omo la ondade Stokes, estos dos ha es intera ionan on el medio material estimulando la rea i�on denuevos fonones �opti os, on lo que se produ e una realimenta i�on positiva [18℄. El resultadoes que una fra i�on importante de la luz l�aser se puede transformar en la onda de Stokes,tal omo se muestra en la �g. f16.7g.3Los estados virtuales no pueden medirse experimentalmente y su tiempo de existen ia viene dado por lasegunda rela i�on de in ertidumbre de Heissenberg: �E�t � �h.



16.6. EFECTO RAMAN ESTIMULADO (SRS) 271

L

V= -S L V

V

L L

= -

V

L

L

S

S L V

Figura 16.7: Realimenta i�on positiva que da lugar al efe to Raman estimulado.Al efe to Raman se le puede dar una interpreta i�on l�asi a basada en el modelo deLorentz del �atomo. Este fen�omeno o urre porque los dipolos el�e tri os que se indu en enel medio material depende ligeramente de la distan ia interat�omi a. Por tanto, uando losenla es entre �atomos vibran, el momento dipolar indu ido en el medio material se modi� a.El estado "n" ex itado (por las vibra iones del enla e) no es, en realidad, un estado dis reto,sino que forma una banda, de manera que se puede produ ir transferen ia de energ��a desdeun !L a todo un ontinuo de valores !s (el an ho de banda es del orden de una de ena deTHz). Aunque el efe to Raman estimulado se puede usar para implementar ampli� adoresdistribuidos [5℄ inye tando una !L peri�odi amente a lo largo de la �bra, en los sistemasDWDM puede llegar a ser muy perjudi ial. Esto es debido a que los anales de mayor fre- uen ia (menor longitud de onda) pueden a tuar omo poten ia �opti a que estimule el efe toRaman ( on lo que se ven atenuados), mientras que los de menor fre uen ia (mayor longitudde onda) son ampli� ados [26℄, tal y omo se muestra en la �g. f16.8g. Evidentemente, seprdu e SRS s�olo uando los pulsos de los distintos anales solapan. De nuevo, para minimi-zar el tiempo de solapamiento de los bits, se trabaja on �bras que tienen una dispersi�on rom�ati a residual onsiderable y on un espa iado amplio entre anales. De todas manerasel efe to Raman limita la poten ia �opti a total que se puede transmitir por la �bra.



272 CAP�ITULO 16. EFECTOS NO LINEALES16.7. Efe to Brillouin estimulado (SBS)El efe to Brillouin estimulado es pare ido al SRS salvo que los estados vibratorios dels��li e involu rados en este pro eso son a �usti os y no �opti os [18℄. Por este motivo el an hode banda de este fen�omeno es muy estre ho y las distorsiones que provo a en los sistemasDWDM son siempre distorsiones intra anal. La forma de evitar el SBS es impedir que lapoten ia �opti a en ada anal supere un determinado valor m�aximo [7℄....

...

P

Bombeo por efecto Raman estimulado

Figura 16.8: Degrada i�on en un sistema DWDM por SRS.



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