ESTTICA Profesor: Carlos E. Joo G. UNIVERSIDAD ALAS PERUANASFACULTAD DE INGENIERAS Y ARQUITECURA Escuela Profesional De Ingeniera Civil UNIDAD 1 : CONCEPTOS BSICOS, TEORA GENERAL DE FUERZAS Y FUERZAS DISTRIBUIDAS 1. Introduccin: Conceptos de mecnica yresea histrica 2. Repaso de vectores 3. Fuerzas concurrentes y equilibrio de una partcula 4. Resultantes de sistemas de fuerza. 5. Fuerzas distribuidas 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.2 Estatica - 01 CLASE N4: RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZA 2 PARTE RESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZASistemas de Fuerzas Equivalentes.Resultantes de un sistema de una fuerza y un par Reduccin adicional de un sistema de una fuerza y un par Reduccin de sistema de fuerzas a fuerza nica. Fuerzas paralelas, coplanares.Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par de ejes colineales: Torsor.14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.3 Estatica - 01 4.7. SISTEMAS EQUIVALENTES Dossistemasdefuerzassonequivalentessitiendenaproducirel mismoefectosobreuncuerpo.Sehavistoqueunafuerzase puededesplazarsobresulneadeaccinyelefectosobreel cuerponosemodificatantoparatranslacincomopara rotacin.As mismo se ha dicho que un par, por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posicin sin que se cambie el efecto que produce sobre el cuerpo. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.4 Unsistemadefuerzasymomentosessimplementeun conjunto particular de fuerzas y momentos de pares. Lossistemasdefuerzasymomentospropiosdela ingenierapuedensercomplicados.Enespecial,esto ocurrecuandosetienenfuerzasdistribuidas,comolas fuerzas de presin ejercidas por el agua sobre una presa. Perosislonosinteresanlafuerzatotalyelmomento totalejercidos,unsistemacomplicadodefuerzasy momentossepuederepresentarconunsistemamucho ms sencillo. Definimos los dos sistemas, 1 y 2, como equivalentes si las sumas de las fuerzas son iguales, (EF)1=(EF)2 Si determinamos las sumas de los momentos respecto al punto O, la segunda condicin de equivalencia es: (EM)1=(EM)2 Si estas condiciones se satisfacen, podemos elegir otro punto Oy demostrar que las sumas de los momentos respecto a tambin son iguales. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.5 SISTEMAS EQUIVALENTES Los siguientes ejemplos demuestran cmo se puede determinar si sistemas dados defuerzasymomentosson equivalentes. Sedebenverificarlasdos condiciones de equivalencia: 1. Sonigualeslassumasdelasfuerzas?Sedebendeterminarlassumas vectoriales de las fuerzas en los dos sistemas para ver si son iguales. 2. Sonigualeslassumasdelosmomentosrespectoaunpunto arbitrario? - Sepuedeelegircualquierpuntoconvenienteydeterminarlassumasde losmomentosdelosdossistemasrespectoaesepuntoparaversison iguales. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.6 Ejemplo 4.12: Tres sistemas de fuerzas y momentos actan sobre la viga de la figura 4.34. Son tales. sistemas equivalentes? SOLUCiN: Son iguales las sumas de las fuerzas? Las sumas de las fuerzas son: Son iguales las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario? Las sumas de los momentos respecto al origen O son: Los sistemas 1 y 3 son equivalentes. Recuerdeque puede escoger cualquier punto conveniente para determinar si las sumas de los momentos son iguales. Porejemplo,lassumasdelosmomentosrespectoal extremo derecho de la viga son: 14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.13: Dos sistemas de fuerzas y momentos actan sobre la placa rectangular de la figura 4.35. Son tales sistemas equivalentes? SOLUCiN: Son iguales las sumas de las fuerzas? Las sumas de las fuerzas son: Sonigualeslassumasdelosmomentosrespectoaun punto arbitrario? Las sumas de los momentos respecto al origen O son: Los sistemas son equivalentes. COMENTARIO Verifiquemos que las sumas de los momentos de los dos sistemas respecto a puntos diferentes sean iguales. Las sumas de los momentos respecto a P son: 14/04/2012 12:51:24 p.m. SOLUCiN: Son iguales las sumas de las fuerzas? Las sumas de las fuerzas son: Sonigualeslassumasdelosmomentosrespectoaun punto arbitrario? Las sumas de los momentos respecto al origen O son: Los sistemas son equivalentes. Ejemplo 4.13: En la figura 4.36 se muestran dos sistemas Son tales sistemas equivalentes? 14/04/2012 12:51:24 p.m. Veamosahoracmosehaceparatrasladarunafuerzadeun punto a otro, fuera de su lnea de accin, sin que se modifique el efecto que la fuerza produce.4.8. REPRESENTACIN DE SISTEMAS CON SISTEMAS EQUIVALENTESA. Reduccin de un sistema de fuerzas a otro equivalente (fuerza par) Cuandoelpuntosobreelcuerpoestsobrelalneade accindelafuerza,simplementetransmitaodeslicela fuerza a lo largo de su lnea de accin al punto.14/04/2012 12:51:24 p.m. Cuando el punto no est sobre la lnea de accin de la fuerza: 1. Secoloca en O dos fuerzasF y F ,con lo cual se mantiene invariable el sistema.2. Ahorabien,lafuerzaenA,FylafuerzaF enOformanunpardefuerzascuyo momentoes el momento de la fuerzacon respecto al punto O.3. El vectorM0es perpendicular a Fy como es el momento de un par, es un vector libre que se puede colocar en cualquier lugar del espacio. 4. Sepuedeconcluirentoncesqueparatrasladarunafuerzaaunpuntoarbitrario,sin quesemodifiqueelsistema,sedebecolocarunparcuyomomentoesigualal momento de la fuerza con respecto al punto seleccionado. Cuando se observen estas reglas, se producirn efectos externos equivalentes.A este proceso se le llama descomponer una fuerza dada en una fuerza en O y un par Representacin de una fuerza por medio de una fuerza y un par 14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.14 Remplacelafuerzade350Nporunafuerzayunacuplaenel punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.12 solucin Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresin vectorial de F es El momento C ser: Asi,setieneahoraun momentoCylafuerzaF trasladada en el punto C 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.13 Cuando se desea trasladar varias fuerzas a un punto determinado 1. Sehaceelprocedimientoqueseacabadeexplicarparacadafuerza,obteniendo duplas fuerza-par: F1 y M1 , F2 y M2 , F3 y M3 , que son mutuamente perpendiculares. 2. Al tener un sistema de fuerzas y pares concurrentes se puede obtener la resultante de las fuerzasR=F1 + F2 + F3 yy el par resultante MR0 = M1+M2+M3 . 3. Si bien, las duplasson mutuamente perpendiculares, en general R y MR0no lo son.Representacin de un sistema por medio de una fuerzay un par 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.14 Ejemplo4.15:Elsistema1delafigura4.43consisteenlasfuerzasyelpar siguientes: FA = -10i + 10j - 15k (kN), FB = 30i + 5j + 10k (kN), Mc = -90 i + 150j + 60 k (kN-m). Suponga que se quiere representar con una fuerza F que acte en P y un par M (sistema 2). Determine F y M. SOLUCiN Las sumas de las fuerzas deben ser iguales: Lassumasdelosmomentosrespectoaunpunto arbitrario deben ser igualesLassumasdelosmomentosrespectoalpuntoPdebenser iguales: 14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo4.16:Reemplacelasfuerzasqueactansobrelapieza mostradaenlafigura4-36aporunafuerzaresultanteyun momento de par equivalentes actuando en el punto A . 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.16 OTRA FORMA DE SIMPLIFICACIN: El mtodo anterior, de simplificar cualquier sistema de fuerza y momento de par a una fuerza resultante que acte en el punto O y un momento de par resultante, puedesergeneralizadoyrepresentadomediantelaaplicacindelasdos ecuaciones siguientes. FRestablecequelafuerzaresultantedelsistemaes equivalente a la suma de todas las fuerzas;MR0 establece que el momento de par resultante del sistemaesequivalentealasumadetodoslos momentosdeparEMc,mslosmomentoscon respecto al punto O de todas las fuerzas EMo.Si el sistema defuerzas se encuentra en elplano x-y y cualesquiera momentos de par son perpendiculares a este plano, que est a lo largo del eje z, entonces las ecuaciones anteriores se reducen a las siguientes tres ecuaciones escalares. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.17 Ejemplo4.17:Un miembro estructural est sometido al momento de un par M y alasfuerzasF1yF2comosemuestraenlafigura4-37a.Reemplaceeste sistemaporunafuerzaresultanteequivalenteyelmomentodeun par actuando en su base, en el punto O. SOLUCiN: Solucin (Anlisis vectorial) Al expresar las fuerzas y el momento de par como vectores cartesianos tenemos: Suma de fuerzas: Suma de momentos: Cuando R y MR0 son perpendiculares, [Fig. 1-23], el sistema se puede reemplazar por uno defuerzanicacuyopuntodeaplicacinesA,talquerR=MR0.Ntesequeeste procedimiento es el inverso al de trasladar una fuerza. B. Reduccin adicional de un sistema de una fuerza y un par a una fuerza nica 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.19 siunsistemareducidodefuerza-paresperpendicular,stesepuedereduciraunafuerza nica. Veamos en que casos es valida esta condicin. 1. Fuerzas coplanares Sinperdergeneralidadconsideremosunsistemadefuerzasenelplanoxy;losmomentos de estas fuerzas respecto a cualquier punto estn en la direccin del eje z, por consiguiente RyMR0sonperpendiculares;entonceselsistemasepuedereduciraunafuerzanicaR, cuya lnea de accin pasa por los puntos A(x,0) y B(-y,0) tal que -yRX=MR0 y -xRy=MR0 , [Fig. 1-24]. rR=MR0 .Ntese que este procedimiento es el inverso al de trasladar una fuerza. B. Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza nica 14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.18: El sistema 1 de la figura 4.42 consiste en dos fuerzas y unparqueactansobreuntubo.Setrataderepresentarelsistema 1mediante(a)unasolafuerzaqueacteenelorigenOdelsistema coordenadayunsolopar,y(b)unasolafuerza.

SOLUCIN: a) Las condiciones de equivalencia son b) Las sumas de las fuerzas de los sistemas 2 y 3 son iguales. Igualando las sumas de los momentos respecto a O, Encontramosqueelsistema3equivaleal sistema 2 si D = 8 m. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo 4.19: Reemplace el par y la fuerza mostrados en la figura por una sola fuerza equivalente aplicada a la palanca. Determine la distancia desde el eje hasta el punto de aplicacin de esta fuerza equivalente. SOLUCIN: Primero se reemplazan la fuerza y el par dados por un sistema equivalente fuerza-par en O.Hallamos el momento de F respecto del punto O. Se calcula el momento del par, y se suma Obteniendo :(-84N.m k) Esteparresultantepuedesereliminado aplicando la fuerza F en un punto C sobre la pieza seleccionado de manera que: (OC)cos60=0,210m OC=0,420m=420mm 14/04/2012 12:51:24 p.m. 1. Fuerzas coplanares 2. Fuerzas paralelas Consideremos,sinperdergeneralidad,un sistema de fuerzas paralelas al eje y, [Fig. 1-25],Ycomoestasfuerzasproducenmomento nicamenteconrespectoalosejesxyz,el momento resultante MR0 ser paralelo al plano xz y por consiguiente perpendicular a R. Entonceselsistemasepuedereducirauna fuerza nica aplicada en el punto A tal que: . zR=(MR0) xyxR=(MR0 ) z

Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza nica 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.23 Ejemplo4.20:Elsistema1delafigura4.44 consisteenfuerzasparalelas.Supongamosque sequiererepresentarmedianteunafuerzaF (sistema 2). Qu valor tiene F y dnde corta su lnea de accin el plano x-z. SOLUCIN: Las sumas de las fuerzas deben ser iguales Lassumas de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser iguales.Sean (x, y, z) las coordenadas del punto P. Las sumas de los momentos respecto al origen O deben ser iguales. Desarrollando los determinantes, obtenemos: (20 +40z) i+ (100 - 40x) k = O. Las sumas de los momentos respecto al origen son iguales si: x = 2.5 pie, z = -0.5 pie. Tambin pudimos hacer(EMejeX )2 = (EMejeX )1; (EMejeZ )2 = (EMejeZ )1 14/04/2012 12:51:24 p.m. 1. Fuerzas coplanares 2. Fuerzas paralelas 3. Fuerzas distribuidas 4. Fuerzas concurrentes Uncasotrivialparareducirunsistemadefuerzasaunafuerza nica es el de fuerzas concurrentes ya que el sistema referido al puntodeconcurrenciatieneunmomento.LaresultanteRser lasumadelasfuerzasysupuntodeaplicacinelpuntode concurrencia.Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza nica 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.25 Cuando la dupla R y MR0del sistema equivalente a un sistema general de fuerzas, referido al punto O, no es perpendicular, sta se puede reducir de la siguiente manera, [Fig. 1-28].SedescomponeMR0endoscomponentesM1yM2 paralelayperpendiculara R respectivamente.Ahora bien, como R y M2 son perpendiculares se pueden reemplazar por una fuerza nica RenunpuntoAtalquerAR=M2 ,ycomoM1esunvectorlibresetrasladapor conveniencia al mismo punto A. Seobtieneasunsistemafuerza-parcuyosvectoressoncolineales.Aestesistemasele conocecomotorsoryrepresentafsicamentelatendenciaquetieneunsistemageneral defuerzasqueactasobreuncuerpo,estoes,unatranslacinenladireccindeRyuna rotacin alrededor de un eje paralelo a la misma direccin.C. Reduccin de un sistema general de fuerzas a una llave de torsin otorsor 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.26 Unejemplodeestesistemasimplificadose presentacuandoseintroduceuntornilloen unapiezacualquiera,yaqueparahacerlose aplicaunafuerzayunparquesoncolineales, [Fig. 1-29]. C. Reduccin de un sistema general de fuerzas a una llave de torsin otorsor Unallavedinamomtricaconsistenenuna llave fija de vaso con un mecanismo en el que se regula el par de apriete, de forma que si se intenta apretar ms, salta el mecanismo que lo impide.llavedinamomtricadesaltoContieneun sistemamecnicoregulableatravsdeun nonio, que libera la tensin de la llave cuando sealcanzaelpardeaprietepreajustado.Se usaparaaplicarunpardeapriete determinado de forma repetitiva. Por elenplo: en las cadenas de montaje, o en piezas unidas con muchos tornillos iguales. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.27 Ejemplo4.21:Elsistemadelafigura4.47consiste en la fuerza y el par: F = 3i + 6j + 2k (N-m). M = 12i + 4j +6k(N-m).Represntelomedianteunallavede torsin,ydetermineenqupuntolalneadeaccin de la fuerza de la llave corta el plano z, SOLUCIN: Dividiendo F entre su magnitud, obtenemos un vector unitario e con la misma direccin que F: Podemos usar e para calcular la componente de M paralela a F: Mp = (e.M)e = [(0.429)(12) + (0.857)(4) + (0.286)(6)] e = 4.408 i + 8.816j + 2.939 k (N-m). La componente de M normal a F es: MN = M - Mp = 7.592i - 4.816j + 3.061k (N-m). La llave se muestra en la figura (b). Sean (x, 0, z) las coordenadas de P. El momento de F respecto a O es Igualando este momento a MN, (condicin) -6z i - (2x - 3z)j + 6x k = 7.592i - 4.816j + 3.061 k, obtenemos las ecuaciones: Resolviendo estas ecuaciones encontramos las coordenadas del punto P:x =0.510 my z -1.265 m. 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.28 Ejemplo4.22:DosfuerzasdelamismalongitudPactansobreuncubocon aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsin equivalente y determine: a) la magnitud y direccin de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsin y c) el punto donde el eje de la llave de torsin interseca al plano yz.SOLUCIN: Sistemaequivalentefuerza-parenO.Primerose determinaelsistemaequivalentefuerza-parenel origen O.Vectores de posicin ele los puntos de aplicacin E y D de las dos fuerzas dadas son:rE = ai + aj y rD = aj + ak.La resultante R de las dos fuerzas: R=F1 + F2 = Pi + Pj = P(i+j) yelmomentoresultanteMgdedichasfuerzascon respecto a O estn dados porMR0= rE F1 + rD F2 = (ai + aj) Pi + (aj + ak) Pj = -Pak - Pai = -Pa(i + k) a. Fuerza resultante: modulo R=P\2 Direccin ux=uy=45; uz=90 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.29 Ejemplo4.22:DosfuerzasdelamismalongitudPactansobreuncubocon aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsin equivalente y determine: a) la magnitud y direccin de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsin y c) el punto donde el eje de la llave de torsin interseca al plano yz.SOLUCIN: b. Paso de la llave de torsin:se define como la razn entre la componente paralela del momento Mp y el modulo de la resultante R: p= Mp/R De la expresin para Mp: La llave de torsin se puede hallar: As queMp =p.R

Tenemos entonces mas de un modo de obtener los resultados solicitados. Escojamos aquel que nos sea mas simple obtener de acuerdo al problema: 222) . (RM RMRRe M e MP -= - |.|

\|= =2RM RRMRRRMpP -=-= =14/04/2012 12:51:24 p.m. Ejemplo4.22:DosfuerzasdelamismalongitudPactansobreuncubocon aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsin equivalente y determine: a) la magnitud y direccin de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsin y c) el punto donde el eje de la llave de torsin interseca al plano yz.SOLUCIN: b. Paso de la llave de torsin: utilizaremos Y la componente paralela del momento Mp =p.R c. Eje de la llave de torsin: es la lnea de accin de R, y su interseccinconelplanoyz.EselpuntodondeRyM seaplican,esdecirelTorsor.Podemosseguir2 opciones: HaciendorR=MN ;DondeMN=M-Mp (como en el ej. Anterior), o Haciendo (Mp)+ (rR)=M ,2RM Rp -=14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.31 Ejemplo4.22:DosfuerzasdelamismalongitudPactansobreuncubocon aristas de igual longitud, como se muestra en la figura. Reemplace las dos fuerzas por una llave de torsin equivalente y determine: a) la magnitud y direccin de la fuerza resultante R, b) el paso de la llave de torsin y c) el punto donde el eje de la llave de torsin interseca al plano yz.SOLUCIN: Haciendo (Mp)+ (rR)=M , probemos este ltimo: Sumando e Igualandolas componentes se tiene que: y=ayz=a/2 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.32 FIN DE LA CLASE 04: GRACIAS LINKS: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem01/lec01_2_1.htm PROXIMA CLASE:PRACTICA DE EJERCICIOS N6 Estatica - 01 14/04/2012 12:51:24 p.m. Lic. Carlos E. Joo G.33 fisicajoo@hotmail.com agregue la direccinir a perfilskydriveesttica o https://skydrive.live.com/?cid=6f268ac744853383#cid=6F268AC744853383&id=6F268AC744853383!741