ANALISIS DE MARCOS ISOSTATICOSINSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULAINGENIERIA ELECTROMECANICA

 Para deducir una expresión que permita calcular el grado de indeterminación de marcos, se considera la figura siguiente:

• Si se hacen secciones en los miembros del marco, de tal manera que cada nudo sea un cuerpo libre, como se indica en la figura, en cada sección de cada miembro hay tres incógnitas: una fuerza normal, una fuerza cortante y un momento flexionante. Entonces en cada miembro existen seis fuerzas internas desconocidas; pero si se conocen las tres fuerzas de una sección, pueden determinarse las tres fuerzas de la otra sección del mismo miembro.

• Por consiguiente, en cada miembro hay tres fuerzas internas desconocidas independientes. Si m es el número de miembros del marco, el número total de incógnitas en

los miembros será 3m. Denominando r al número de incógnitas de reacción en la estructura considerada, el

número total de las incógnitas será r + 3m.

• Ahora se consideran los diagramas de cuerpo libre de los

nudos de las estructura se puede ver que en cada nudo,

incluyendo apoyos, se pueden plantear tres ecuaciones

independientes de equilibrio. Considerando que la estructura

tiene n nudos, el número total de ecuaciones de equilibrio

será 3n. Cuando el número de incógnitas sea igual al de

ecuaciones de equilibrio, las estructura será estáticamente

determinada, si es mayor, será indeterminada y si es menor,

será inestable.

• Cuando existan ecuaciones de condiciones, como en el caso de articulaciones internas en la estructura, su número deberá añadirse al de ecuaciones de equilibrio. Si se denomina con la letra c al número de ecuaciones de condición, puede plantearse las siguientes ecuaciones para establecer el grado de indeterminación de marcos:

• Si r + 3m = 3n + c,El marco es estáticamente determinado. • Si r + 3m > 3n + c,El marco es estáticamente indeterminado. • Si r + 3m < 3n + c,El marco es inestable.

AHORA BIEN ;

ENTONCES;

• Otra manera de obtener el grado de indeterminación de marcos. Supóngase que el marco de la imagen se hace cortes

en las secciones a-a y b-b de tal manera que la estructura original se ha transformado en las tres estructuras mostradas. Cada una de estas estructuras es isostática, ya que tiene tres reacciones de apoyo y tres ecuaciones de equilibrio, pero en

cada sección de corte existen tres incógnitas; la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento flexionante.

• Se puede ver entonces que el número total de incógnitas redundantes, o sea el grado de indeterminación, es igual a tres veces el número de secciones de corte en las vigas, ya que las fuerzas internas a un lado de la sección de corte son iguales a

las del otro lado.• En el ejemplo de la figura este numero de cortes es de 10.

Ejemplos para una mejor compresión del tema….

• En este ejemplo se ilustra el cálculo del grado de indeterminación de varios marcos. En el primero, se tienen 4 nudos, n , dos que corresponde a la unión de columna y viga y dos que corresponden a los apoyos; se tienen 3 miembros, m, y seis reacciones de apoyo, r, 3 en cada comportamiento. De acuerdo con las ecuaciones vistas anteriormente el marco es indeterminado de tercer grado. Con el segundo método expuesto, se haría un corte en la sección 1-1, en la cual aparecerían tres acciones internas desconocidas que indicarían el grado de indeterminación.

• En el segundo marco se tienen 4 nudos, n, uno interior y 3 apoyos; 3 miembros, m, y nueve reacciones de apoyo, r, 3 en cada empotramiento. Entonces el grado de determinación es de 6. Por el segundo método, hay que hacer los dos cortes señalados para que queden tres estructuras isostáticas. En cada uno de estos quedarían tres acciones internas desconocidas.

El tercer ejemplo puede resolverse de manera semejante a los anteriores, obteniéndose un grado de indeterminación de 9.

En el último ejemplo se ilustra el caso de que existan ecuaciones de condición. En las dos articulaciones el momento flexionante vale 0. Se observa también que en este ejemplo al aplicar el segundo método, resulta conveniente hacer los dos cortes justamente en las articulaciones, porque en cada una hay solamente dos acciones internas desconocidas: la fuerza cortante y la fuerza normal, ya que el momento flexionante es nulo.

MARCOS (Definición)• • Los marcos son estructuras constituidas por columnas y vigas

cuyas uniones son nudos rígidos, es decir, que no permiten la rotación relativa entre los miembros que concurren en el nudo, figura .

• Así, los miembros AB, BC y BD que concurren en el nudo B deben conservar los mismo ángulos que formaban entre si después de que se deforme el marco. Esto se ilustra en la figura 2.12b, en la que se ve que el nudo ha girado, pero los ángulos que forman los tres miembros que concurren en el nudo siguen siendo rectos.

• La resolución de marcos comprende, por lo tanto, la determinación de las reacciones de apoyo y de los diagramas de fuerza cortante, momento flexionante y fuerza normal. En ocasiones, este último solo se determina para las columnas.

• Determinación de las reacciones. Se calcula igual que en vigas y en armaduras a partir de las ecuaciones de equilibrio de la estática y, en su caso, de las ecuaciones de condición.

• Determinación de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. También se determinan igual que en vigas, calculando los valores de la fuerza cortante y del momento flexionante en varias secciones de cada uno de los miembros del marco.

• En el análisis de marcos, resulta de particular importancia revisar el equilibrio de los nudos. Para hacer esta revisión conviene distinguir los momentos que producen los extremos de los miembros sobre el nudo, llamados momentos de barra sobre apoyo, de los que producen los nudos sobre los miembros, llamados de apoyo sobre barra o momentos en los extremos.

Ejemplo

• En la figura se muestra nuevamente el nudo B del marco. Los momentos de MBA, MBC y MBD son momentos de barra sobre apoyo, mientras que los momentos M’BA, M’BC y M’BD son momentos de apoyo sobre barra.

• En todos los nudos de un marco la suma de los momentos de barra sobre apoyo, o de los momentos de apoyo sobre barra, deben de ser cero para que el nudo este

en equilibrio. En general, para cualquier nudo :

EM = 0

• La notación de signos para marcos es tal que los momentos de apoyo sobre barra en una viga se consideran positivos cuando su sentido de giro es el horario.

Para establecer el signos en los momentos en las columnas se sigue lo sig:

Determinación de signo

• Para establecer el signo de los momentos en columnas, en este texto se sigue la convención de considerar que la parte inferior de las columnas equivale al extremo izquierdo de las vigas, y la parte superior, al extremo derecho, figura 2.15a. Esto equivale a considerar que las columnas se miran desde los puntos de observación indicados en la figura 2.15b. Los diagramas de momento flexionante se trazan siempre en la cara de los miembros en que existen esfuerzos de comprensión.

• Las fuerzas cortantes en las columnas se consideran positivas cuando tienen el sentido indicado en la figura 2.6e, si la columna se mira como se muestra en la figura 2.15.

• Los diagramas positivos de fuerza cortante se trazan a la izquierda de las columnas, y los negativos, a la derecha.

• 2.9.1 DETERMINACIÓN DE LAS REACCIONES. Se calculan igual que en vigas y en armaduras a partir de las ecuaciones de equilibrio de la estática y, en su caso, de las ecuaciones de condición.

• 2.9.2 DETERMINACIÓN DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES. También se determinan igual que en vigas, calculando los valores de la fuerza cortante y del momento flexionante en varias secciones de cada uno de los miembros del marco.

• • 2.9.3 DETERMINACIÓN DE FUERZAS NORMALES. Las fuerzas

normales que actúan en los miembros de los marcos son generalmente las reacciones de otros miembros del marco. Por lo tanto, las fuerzas normales pueden calcularse aislando cada miembro del marco, después de obtener sus diagramas de momento flexionante y fuerza cortante, y analizando las reacciones que producen sobre otros miembros.

• Ejemplo 2.10• El marco de este ejemplo tiene 4 reacciones de apoyo y 3

ecuaciones de equilibrio. Como también tiene una articulación de momento en el punto C, se cumple la condición n + c = r y el marco es, por lo tanto, isostático.

• También puede verificarse su grado de indeterminación con la ecuación r + 3m = 3n + c (ecuación 2.13). En efecto, m vale 3 porque el marco tiene 3 miembros, r es igual a 4, n es igual a 4 (incluyendo los apoyos) y c vale 1 porque hay una ecuación de condición, la que indica que en el punto C el momento flexionante es nulo.

• Para obtener las reacciones, primero se planteó la ecuación de condición, calculando el momento flexionante en el punto C como la suma de las fuerzas a la derecha de la sección con signo cambiado. Esta ecuación permitió obtener una relación entre las reacciones R-Ex y R-Ey. Obsérvese que como no hay ninguna fuerza entre la reacción E y la articulación C, la resultante de R-Ex y R-Ey debe pasar por el punto C para que el momento flexionante sea nulo en este punto.

• Esto se ha indicado con la línea punteada en el ejemplo.• Después se plantearon las 3 ecuaciones de equilibrio ∑Ma = 0, ∑Fx = 0, y

∑Fy = 0. Por las características del marco, con la primera de estas ecuaciones ya se pudieron obtener las reacciones R-Ex y R-Ey, y con cada una d las otras 2 ecuaciones se obtuvo una de las reacciones faltantes; no fue necesario, por lo tanto, resolver el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, como sucede en algunos casos. Los sentidos de las reacciones no se conocen de antemano. Puede entonces suponerse cualquier sentido y si es correcto, al resolver las ecuaciones se obtiene el valor de la reacción con signo positivo. Por el contrario, si el resultado es negativo, el sentido supuesto es opuesto al que realmente tiene la reacción. Esto sucedió con la reacción R-Ax que resultó con signo negativo; su sentido correcto es pues de derecha a izquierda y no como esta mostrada en el croquis. En muchos casos, el sentido correcto puede establecerse de antemano por simple inspección.

• En este mismo ejemplo, si la fuerza aplicada de 12 ton en el punto B actúa hacia la derecha, la reacción R-Ax debe ser de sentido contrario.

• Obtenidas las reacciones, se calcularon las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes y las fuerzas normales. En el miembro AB la fuerza cortante es constante e igual a R-Ax, ya que no actúa ninguna fuerza entre los puntos A y B. de acuerdo con la convención de signos, esta fuerza cortante es positiva, ya que si se observa la columna AB desde el interior del marco, figura 2.15b, la reacción R-Ax actúa hacia arriba (recuérdese que el sentido correcto es contrario al del croquis). En el punto B del miembro BD la fuerza cortante es igual a la reacción R-Ay. Es positiva porque actúa hacia arriba y se mantiene constante hasta el punto de aplicación de la carga de 18 ton. En este punto toma un valor de +6 -18 =-12 que se mantiene constante hasta el punto D. Para obtener la fuerza cortante en el miembro ED conviene observarlo como se indica en la figura 2.15b. Se ve que la fuerza cortante es igual a la reacción R-Ex, es positiva porque actúa hacia arriba, y es constante porque a lo largo del miembro no hay ninguna carga aplicada.