A continuación definiremos dos tipos de productos de vectores. El primero, llamado producto punto o producto escalar, produce un resultado escalar. El segundo el producto vectorial o producto cruz, genera otro vector.

PRODUCTO PUNTO

El producto escalar de dos vectores A y B Se denota como: A . B . Debido a esta notación también se denomina producto punto.

Para definir el producto punto se tienen 2 vectores A y B que comparten el mismo origen, que forman un ángulo θ.

Ahora proyectamos B sobre A

Definimos A . B como la magnitud A por la componente paralela de B sobre A :

ABcos θLeyes del producto punto

Ley conmutativa: A . B = B . A

Multiplicación por un escalar: m( A . B) = (m A ). B = (mB) . A

Ley Distributiva: A( B+D) = ( A . B) + ( A . D)

Formulación vectorial

Sabemos que un vector tiene las componentes x, y, z; cuyos respectivos vectores unitarios son: i , j, k .

También sabemos que:

i.i = j . j = k .k = (1).(1)cos0º = 1 i. j = i . k = j.k = (1).(1)cos90º = 0

Entonces tenemos:

A

B

θ

A

B

θ

B cosθ

A . B = (AX i +AY j + AZ k).(BX i +BY j + BZ k)

= AXBX (i.i) + AXBY (i.j) + AXBZ (i.k)

=AYBX (j.i) + AYBY (j.j) + AYBZ (j.k)

=AZBX (k.i) + AZBY (k.j) + AZBZ (k.k)

Al realizar las operaciones correspondientes del producto punto, el resultado final es:

A . B = AXBX + AYBY +AZBZ