estatica [1] cuerpos vinculados

Ing. Jorge A. Papajorge Estabilidad I – Segunda Parte

15/03/13 UNLZ – Facultad de Ingeniería

1

GGRRAADDOOSS DDEE LLIIBBEERRTTAADD Al tomar un punto cualquiera en un plano y al querer conocer su posición Referida a

dos ejes cartesianos ortogonales. Llamados Grados de libertad a la cantidad de coordenadas libres que tiene ese punto.

Nuestro estudio se referirá a la cantidad de movimientos que ese punto puede realizar en el plano.

Identificamos así el número de coordenadas fijas necesarias, como para que dicho punto permanezca inmóvil.

La cantidad de coordenadas necesarias para conocer su posición serán dos. También dos serán la cantidad de

movimientos.

El punto, sólo se podrá mover con respecto a “x” y con respecto a “y”.

Grados de libertad = Dos gl =2

De igual forma, podemos afirmar que dos puntos independientes tendrán 4 grados de libertad. gl = 4

Si vinculamos los puntos P1 y P2 mediante un elemento rígido e indeformable, donde la distancia que los une es constante e invariable. Esta distancia estará dada por

2122

221 1 yyxxd .

El conjunto así formado tendrá cuatro menos uno grados de libertad (gl = 4 – 1 = 3). Porque debemos conocer tres coordenadas para identificar su posición.

Si el conjunto ahora lo vinculamos a otro punto, también con dos barras rígidas e indeformables.

Las distancias estarán identificadas por:

2232

3223

213

21313

212

21221

yyxxd

yyxxd

yyxxd

por lo tanto el conjunto tendrá seis menos tres grados de libertad (gl = 6 – 3 = 3). Con lo que necesitamos conocer tres coordenadas para identificar la posición del conjunto.

Como sabemos, tres puntos determinan un plano, consecuentemente esos tres puntos identifican a una chapa.

x1

y1

y

x

P1(x1;y1)

x1

y1

y

x

y2

x2

P1

P2

x1

y1

y

x

y2

x2

P1(x1;y1)

P2(x2;y2)(y2-y1)

(x2-x1)

d1-2

x1

y1

y

x

y2

x2

P1(x1;y1)

P2(x2;y2)d1-2

x3

y3 P3(x3;y3)d2-3

d1-3



2

Fijando la Posición de P1 (x1; y1) hace que la chapa quede fija, donde lo único que puede hacer la chapa es girar alrededor de P1.

Al definir x2, estamos evitando que ese giro no ocurra.

Disponemos así de: (x1; y1; x2)

“y2” se define por la fórmula

2122

1221 yyxxd

quedando determinado así el punto P2.

¿Cómo determinamos P3?

De forma similar por las formulas de distancia

333213

21313

223

23223

P punto del scoordenada :A así Definimos

yexyyxxd

yyxxd

El conjunto de tres puntos vinculados con tres barras rígidas e indeformables, quedará fijo, solamente conociendo tres coordenadas que evita que se desplace o gire.

Estamos en condiciones de decir que todo elemento que limita la probabilidad de movimiento de una chapa rígida e indeformable, lo denominamos “Vínculo”.

x1

y1

y

xx2

P1(x1;y1)

P2

P3



3

VVÍÍNNCCUULLOOSS Toda losa, viga, columna, etc. que forman parte de una estructura, debe cumplir:

1) Cada elemento, tiene que estar en equilibrio estático, para lo cual será necesario vincularlo, es decir apoyarlos entre sí y/o con el suelo

2) Dicho equilibrio deberá ser estable, utilizando sólo vínculos eficientes y no aparentes.

3) Cada elemento estructural no deberá sufrir tensiones que excedan los límites admisibles de trabajo, evitando posibles deformaciones permanentes.

De acuerdo al concepto que tenemos ya sobre “vínculo”, podemos decir que llamamos así a:

“Todo elemento físico de existencia real, que evita la aparición de magnitudes elásticas en los puntos de una estructura en los cuales se haya aplicado”.

Existen dos tipos de magnitudes perfectamente diferenciadas: Magnitudes

Elásticas: Desplazamientos Rotación

Estáticas: Fuerza Momento

Son magnitudes correspondientes: La Fuerza son un desplazamiento Colineal al mismo. Un par con una rotación con ejes colineales.

Por lo tanto el vínculo es un elemento físico capaz de generar magnitudes estáticas correspondientes con las magnitudes elásticas que impide.



4

GGrraaddoo ddee uunn vvíínnccuulloo:: Se llama así, a cada Magnitud elástica que el vínculo impide o a cada magnitud

estática que ese vínculo genera.

Por lo tanto existen vínculos de distintas especies o grados.

VVÍÍNNCCUULLOOSS DDEE PPRRIIMMEERR GGRRAADDOO::

aa)) AAppooyyoo ssiimmppllee

PERMITE IMPIDE GENERA

A

y

y

Fy

Desplazamiento en “x”

Giro en A

Desplazamiento en “y” Una fuerza

Elimina una magnitud elástica, generando una magnitud estática (fuerza), de cualquier magnitud pero de dirección conocida, perpendicular al punto tangente de la estructura.

Magnitud elástica Magnitud

estática Referencias

y = 0 Fy 0 x 0 Fx = 0 0 M = 0

= Desplazamiento F = Fuerzas = Giro M = Momento



5

bb)) EEmmppoottrraammiieennttoo LLiibbrree


M

Desplazamiento en “x” e “y” Giro Un momento


estática y 0 Fy = 0 x 0 Fx = 0 = 0 M 0

VVÍÍNNCCUULLOOSS DDEE SSEEGGUUNNDDAA EESSPPEECCIIEE

Estos vínculos eliminan dos magnitudes elásticas.

aa)) AAppooyyoo DDoobbllee


A

Fy

Fx

Giro en A Desplazamiento en “x” e “y” Dos fuerzas



6

Impide Dirección horizontal y vertical, generando una fuerza de cualquier Dirección y magnitud, permitiendo a la estructura girar alrededor del punto “A”.


estática y = 0 Fy 0 x = 0 Fx 0 0 M = 0

bb))


M

Fy

Desplazamiento en “x” Giro

Desplazamiento en “y”

Una fuerza

Un momento


estática

y = 0 Fy 0

x 0 Fx = 0

= 0 M 0



7

VVÍÍNNCCUULLOOSS DDEE TTEERRCCEERRAA EESSPPEECCIIEE

EEmmppoottrraammiieennttoo


A

Fy

MFx

Desplazamiento en “x” e “y”

Giro en A

Dos fuerzas

Un momento

Capaz de generar una fuerza de cualquier Dirección y magnitud ubicada en cualquir lugar del plano.


estática

y = 0 Fy 0

x = 0 Fx 0

= 0 M 0

Existen otros tipo de vínculos, que a los efectos de nuestro estudio no analizaremos.

Como sabemos, una chapa tiene en el plano tres grados de libertad y para determinar la cantidad de vínculos necesarios, se procede a quitarle a la chapa todo tipo de movimientos. Esto significa anular todas las coordenadas libres, a los efectos que la chapa se encuentre Isostáticamente sustentada o en equilibrio Isostático.

Los vínculos estudiados hasta el presente son vínculos externos o absolutos.

Una vez definidos los vínculos se los colocamos a las estructuras en cantidad mínima, a los efectos de equilibrar cualquier estado de cargas. Vale decir que al Sistema Activo generado por las cargas, se lo equilibrará con un Sistema Reactivo generado por las Reacciones de Vínculos.

Toda estructura plana a la que le colocamos vínculos externos, puede estar formada por una o más chapas. Estas chapas estarán unidas mediante Vínculos internos o Relativos que analizaremos más adelante.



8

Todas estas estructuras son isostáticas. Y son aquellas que podemos resolver mediante las ecuaciones de la Estática.

Es decir, se puede hallar cualquier magnitud estática mediante la aplicación de estas ecuaciones.

Para verificar que las magnitudes elásticas sean nulas debe cumplir que las magnitudes estáticas correspondientes totales también sean nulas.

Resumiendo: una chapa tiene tres grados de libertad, para determinar la cantidad de vínculos necesarios, se procede a quitarle todo tipo de movimiento, lo que significa anular todas las coordenadas libres.

EEccuuaacciioonneess ddee llaa eessttááttiiccaa

0

0

0

AFFM

yFF

xFF

RA

RA

RA

chx1

x2

x3

ch



9

VVíínnccuullooss AAppaarreenntteess Para fijar una estructura, a veces no basta tener la cantidad de vínculos necesarios,

pues al estar colocados en determinadas forma, no adecuada, la estructura se desplazará. Cuando esto ocurre, la vinculación será Aparente.

se desplaza

Gira

se desplaza

El eje del apoyosimple no debepasar por laarticualación delapoyo doble

EEJJEEMMPPLLOO

Para determinar el sistema reactivo de una estructura, debemos conocer, primero los tipos de cargas a la que está sometida.

1- Cara concentrada y distribuida

2- Cargas Permanentes: que son las que existen siempre en las estructuras como: el peso propio

3- Cargas accidentales: que actúan en forma temporaria como el viento, la nieve, etc.

4- Cargas Fijas: actuando siempre en el mismo lugar.

5- Cargas Móviles: actuando en diferentes lugares de la estructura.

6- Cargas Vibratorias: que producen vibraciones en determinado punto de la estructura.



10

Por lo tanto Estado de Cargas, es un grupo de cargas de distinto origen que actúan a la vez sobre una Estructura.

q=1t/mB

x3

x2

M=2 tm

P= 3t

3 m

3 m

x1

A

1 m 2 m 2 m

1) Verificamos si la isostaticidad es real y no aparente

2) Ponemos en evidencia las incógnitas colocando las magnitudes estáticas que los vínculos generan.

3) Planteamos las ecuaciones generales de la estática

4) Tomamos como positivos los ejes y momentos siguientes

x

y

M

txtttxx

tm

tmx

mmmttmmtxmM

mmtxxF

txxtF

B

y

x

2,028,12

8,159

12123·350

210

330

2

12

1

1

21

supuesto al Inverso Sentido33



11

VVÍÍNNCCUULLOOSS IINNTTEERRNNOOSS Al hablar de Vínculos, dijimos que:

Llamamos vínculos a todo elemento físico, de existencia real que evita la aparición de Magnitudes Elásticas en puntos de una estructura los cuales se haya aplicado.

Magnitudes elásticas: Desplazamiento –Rotación

Magnitudes estáticas: Fuerza –Momento

Por lo tanto vínculo: elemento físico capaz de generar magnitudes estáticas correspondientes con las magnitudes elásticas que impide:

VVíínnccuullooss IInntteerrnnooss Vimos que:

A una estructura solicitada a un estado de cargas cualquiera le colocamos vínculos absolutos a los efectos que permanezcan en equilibrio isostático generando magnitudes estáticas correspondientes a las magnitudes elásticas que impiden.

Existen vínculos que actúan en la parte interna de una estructura: vínculos internos o vínculos relativos, que unen entre sí, elementos de igual rigidez de una misma estructura en equilibrio. Capaces de impedir magnitudes elásticas relativas, generando magnitudes estáticas relativas.

Al hablar de estructuras, hablamos en el plano de chapa, como una estructura infinitamente delgada.

Vínculosabsolutos



12

ch1 1 chapa tiene 3 G.L. desplaza

gira

desplaza (x)

desplaza (y)

(giro)

3 g.l.

ch1x1

x2

x3Habrá que identificar las3 incógnitas para que semantenga en equilibrioisostático.

2 CHAPAS

CH1CH2SEPARADAS

tienen 3 g.l. cadauna, entonces lasdos: 6 g.l.

UNIDAS OVINCULADAS

EN A

CH1CH2

A

Pasamos a Analizar

Vínculo en A: ARTICULACIÓN

III

R

Representación

A

0 RderoizqAM

Q

Q

NN

PERMITE IMPIDE (Magnitud elástica) GENERA (Magnitud estática)

Giro relativo (I; II) R Desplazamiento Horizontal (x)

Desplazamiento Vertical (y)

Esfuerzo horizontal (N)

Esfuerzo Vertical (Q)

Sabemos que:

Qué pasa con ?



13


estática r

y = 0 Q 0 r

x = 0 N 0 r 0 M = 0

¿¿QQuuéé eess uunnaa AArrttiiccuullaacciióónn?? Es un vínculo Interno (V.I.) o un Vínculo relativo de segunda especie

¿¿PPoorr qquuéé ddee 22ddaa eessppeecciiee?? Porque restringe (2 g.l.) dos grados de libertad

¿¿CCóómmoo llooss rreessttrriinnggee?? Impidiendo el desplazamiento relativo en x e y.

ch1

ch2

A

para fijarlas a tierra, necesitamos 4 V.E. cuatro vínculos externos

¿¿EEssttooss 44 VV..EE.. ssee ccoollooccaarráánn ddee ccuuaallqquuiieerr mmaanneerraa?? La colocación de los 4 V.E. “No es arbitraria”.

Puede Ocurrir

ch1

ch2

A

Ch1 fija (hemos colocado 4 V.E.)

“A” fijo y pertenece a la ch1

ch2 Rota en torno a “A”

“Como nuestra necesidad es de 4 V.E.” ¿Qué hacemos para que ch2 “NO ROTE”?

Necesidad de fijar ch2 a tierra. Le sacamos un vínculo a ch1 y se lo agregamos a ch2.

C/chapa 3 g.l.

Separadas 6 G.L.

Unidas (Vinculadas) 6 G.L. –2 V.I. = 4 G.L.



14

ch1

ch2

A

Vemos que:

ch1 y ch2 están articuladas en “A”

para que sean isostáticas necesitamos 4 V.E. (6 G.L. – 2 G.L.)

Por lo tanto el sistema constituido por dos chapas articuladas se denomina “Cadena cinemática abierta” de dos chapas.

VViimmooss qquuee llaa uubbiiccaacciióónn ddee llooss VV.. EE.. ““NNoo eess aarrbbiittrraarriiaa”” ¿¿QQuuéé ppuueeddee ooccuurrrriirr??

ch1

ch2

A

Si los 4 V.E. los colocamos en ch1 ch2 gira.

Si colocamos 1 vínculo () en ch2 no gira “pero” tenemos 5 V.E.

Hiperestático de 1º grado



15

Las reacciones de vínculo deberán estar distribuidas de tal manera que: No existe más de 3 V.E. por chapa

Existen 2 posibilidades

3 V.E. en ch1

ch1

ch2

A

Caso de un tri-articulado

ch1

ch2

A

Vimos

ch1

ch2

A

ch1

ch2

A

ch1

ch2

A

¿¿QQuuéé ppaassaa ccoonn llaa vviinnccuullaacciióónn aappaarreennttee??

““OOJJOO””

ch2

A

ch1

ch2

A

ch1

Si las normales concurren a un mismo punto “Problemas indeterminado”.

¿¿CCóómmoo ssee rreessuueellvvee?? = 4 G.L.

Relativo Vínculo 1Absolutos Vínculos3

r 00

giroun departir A "1G.L.estática" la de generales Ecuaciones" G.L. 3

M

ch1

ch2

A



16

0

0

0

0

..R

deroizqA

B

y

x

M

M

F

F

¿¿QQuuéé ppaassaa ccuuaannddoo llee aaggrreeggaammooss aall ssiisstteemmaa mmááss cchhaappaass?? Forma una cadena cinemática abierta de 3 chapas

glglglVI

glglchglchglch

5494

9 separadas333

3

2

1

0M

0M relativas ecuaciones 2

0

0

0

estática la de generales ecuaciones 3

ecuaciones 5:RESOLUCIÓN

aparente noy Realn Vinculacióchapapor V.E. 3 de más No

Externos Vinc. 5 :QUE RECORDAR

Rder o izqB

Rder o izqA

c

y

x

M

F

F

ch1

ch2

ch3A B



17

¿¿QQuuéé ppaassaa ccuuaannddoo ccoonnvveerrggeenn vvaarriiaass cchhaappaass aa uunn mmiissmmoo nnuuddoo??

Fija A

O viceversa

Ahora:

V.I. los todosrestringen que G.L. los 1-N2V.I.cada restringe que G.L. de cantidad 2

Internos Vínculos de Cantifad1-N Siendochapas de Nº N

Cuando convergen dos chapas solamente en el nudo A:

Se restringen: VR = 2 (N – 1)

= 2 ( 2 – 1)

= 2 G.L.

Ahora:

fija A II

I

III

esHorizontalyVerticales:nulos ientosDesplazam

III de Respecto Fija"" III de Respecto Fija"" I

Restringe 4 G.L.

Por la fórmula: VR = 2 ( N – 1) = 4 G.L.

Por lo tanto ese vínculo interno restringe 4 G.L.

Gira y “NO se desplaza ni en “x” ni en “y”

Cuando convergen 3 chapas al nudo A.

Se cumple



18

¿¿CCuuáánnttooss vvíínnccuullooss eexxtteerrnnooss nneecceessiittaammooss??

RESOLUCIÓNLGNecesariosExtVinc

LGrestringequeVincLGLGxch u

c

..5....4.int...9..33

nulosea A en giro el que asegureque relativo equilibrio de ecuaciones 2

0abajo

0arriba

estáticala de generalesEcuaciones3

0

0

0

5

deróizqRA

deróizqRA

B

y

X

M

M

M

F

F

ECUACIONES

Fija: I

Móviles: II – III – IV – V – VI – VII – VIII

VR = 2 (N – 1)

= (8 – 1)

= 14 gl. Que restringe el vínculo

8 ch x 3 gl = 24 gl

por vinculación interna = 14 gl

necesidad de vinc. externa = 10 gl. ¿Resolución?

A gire no queaseguren que relativo equilibrio de 7estática la de generales 3

Ecuaciones 10Con

"Siempreuna fija"

I (fija)

IIIII

IV

V

VIVII

VIII

A



19

¿¿EExxiisstteenn oottrrooss VVíínnccuullooss IInntteerrnnooss?? ...... SSII

DDIISSTTIINNTTOOSS TTIIPPOO DDEE VV ÍÍNNCCUULLOOSS IINNTTEERRNNOOSS

i

iP3

P2

P1

I

II

Separamos en 2 chapas

Parte Ich1

Parte IIch2

¿¿QQuuéé ppaassaa eenn llaa sseecccciióónn ii –– ii?? Aparecen 3 magnitudes elásticas

Desplazamiento en x Desplazamiento en Y giro

Magnitudes elásticas Aparecen

Magnitudes estáticas Establecen el equilibrio

Las Colocamos

Fuerzas horizontales N

Fuerzas Verticales Q Magnitudes estáticas

Momentos M

La vinculación que existe en la sección i-i será relativa y de 3º especie ó grado.

N M Q NM

Q



20

MMaaggnniittuuddeess eessttááttiiccaass qquuee aappaarreecceenn ddee qquuiittaarr llaa vviinnccuullaacciióónn

Vinculación de 3º especie Magnitudes

Permite (Nada) Elásticas Estática

xr = 0 N 0

Impide

Despl.: (x)

Despl.: (y)

Giro: r

yr = 0 Q 0

r = 0 M 0 Genera

Esfuerzo horizontal: N

Esfuerzo vertical: Q

Momento: M

VVíínnccuullooss IInntteerrnnooss oo rreellaattiivvooss

DDEE 22ºº EESSPPEECCIIEE

N NM M

Permite Impide Genera

Desplazamiento vertical en Y Desplazamiento Horizontal en X Y Giro r

Esfuerzo horizontal N Momento M


estática x

r = 0 N 0 y

r 0 Q = 0 r = 0 M 0



21

Q QM M

0.. izqóderHF

Permite Impide Genera

Desplazamiento en Horizontal X Desplazamiento vertical en Y Y Giro r

Esfuerzo Vertical Q Momento M


estática x

r 0 N = 0 y

r = 0 Q 0 r = 0 M 0


r

Q

Q

Permite Impide Genera Desplazamiento Horizontal en X Y Giro r

Desplazamiento Vertical en Y Esfuerzo Vertical Q


estática x

r 0 N = 0 y

r = 0 Q 0 r 0 M = 0



22


N

N

Permite Impide Genera Desplazamiento Vertical en Y Y Giro r

Desplazamiento Horizontal en X Esfuerzo Horizontal N


estática x

r = 0 N 0 y

r 0 Q = 0 r 0 M = 0



23


Q

Q Permite Impide Genera

Desplazamiento Vertical en Y Desplazamiento Horizontal en X Giro r Momento M


estática x

r 0 N = 0 y

r 0 Q = 0 r = 0 M 0



24

CCAADDEENNAA DDEE CCHHAAPPAASS CCEERRRRAADDAASS IISSOOSSTTÁÁTTIICCAASS

SSuusstteennttaacciióónn ––VViinnccuullaacciióónn ccoorrrreeccttaa yy aappaarreennttee

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE RREEAACCCCIIOONNEESS

En una cadena cinemática de N chapas, donde cada una de ellas tienen si fueran independientes 3 grados de libertad, vale decir que todo el conjunto no vinculado tendrá 3N

grados de libertad. Luego al estar vinculadas y debido que cada vinculación relativa entre dos chapas restringe 2 grados de libertad (2 G.L.) y como dicho conjunto tendrá (N-1) vínculos internos, todos los vínculos internos restringirán por lo tanto 2 (N-1) grados de libertad.

Por lo tanto, la estructura de cadena cinemática abierta contará con: (N+2) grados de libertad.

..2..123 lgNlgNN

Si ahora tratamos una cadena cinemática cerrada, veremos que ésta tendrá una articulación intermedia más, lo que dicho vínculo agregado restringe dos grados de libertad (2 gl) adicional quedando: [(N + 2) – 2] gl = N gl

Que operando serán N los grados de libertad que tendrá una cadena cinemática cerrada.

Por lo tanto podemos afirmar que el número de grados de libertad de una cadena cinemática cerrada, será igual al número de chapas (N) que la integra gl = N

Grados de libertad de las chapas desvinculadas

Grados de libertad que restringen los vínculos internos

Grados de libertad de la estructura vinculada

ch1

ch2

ch3



25

CCaaddeennaa cciinneemmááttiiccaa cceerrrraaddaa Entendemos por cadenas cinemática cerrada, aquella en que sus resultado así que la

totalidad de las chapas que integran la cadena, se encuentran articuladas con dos chapas vecinas y consecuentemente, para fijarla a la tierra, será necesario imponerle N condiciones de vínculos, que estarán distribuidos de forma tal que ninguna chapa resulte vinculada a tierra por más de tres de ellos.

La cadena cinemática cerrada más simple, será la constituida por sólo tres chapas que poseerá tres grados de libertad (3 gl). Es decir el mismo número que una chapa aislada en el plano.

De lo expuesto se puede afirmar que una cadena cinemática cerrada de tres chapas, se comporta cinemáticamente como una chapa rígida. Para fijarla a tierra, será necesario

imponerle tres condiciones de vínculo , los que de acuerdo con la forma en que se encuentren distribuidas, conducen a las siguientes variantes, en cuanto a su sustentación.

La determinación de sus reacciones de vínculos solicitada por un sistema de fuerzas exteriores. No ofrece mayores dificultades si se lo encuadra por procedimientos gráficos o analíticos.

Siendo tres el número de incógnitas a determinar, analíticamente se resuelve e inmediatamente el planteo de las ecuaciones generales de equilibrio.

0

0

0

P

y

x

M

F

F

Gráficamente, será el correspondiente a una chapa simple sustentada mediante tres condiciones de vínculos.

Al analizar una cadena cinemática cerrada de cuatro chapas y siendo el número de chapas N = 4, tendrá como hemos visto cuatro grados de libertad (4 gl), con lo que será necesario imponerle entonces cuatro condiciones de vínculo para sustentarla isostáticamente. Claro está que cumple un factor muy importante la distribución correcta de esos vínculos y tratando de colocar no más de tres vínculos por chapa.

Pudiendo resultar los siguientes casos:

a) 3 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa adyacente.

b) 3 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa no adyacente.

c) 2 vínculos con 1 chapa y 2 en chapa adyacente.

d) 2 vínculos con 1 chapa y 2 en chapa no adyacente.

e) 2 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa adyacente y 1 en no adyacente

ch 1

ch 1

ch2

ch2

ch3

ch3



26

f) 2 vínculos con 1 chapa y 1 en chapa adyacente y otra adyacente

g) 1 vínculo en cada chapa.

¿¿CCóómmoo eennccaarraammooss eell eessttuuddiioo?? Una cadena cinemática cerrada de N chapas, o comúnmente denominada Marco

cerrado, estará compuesto por un conjunto de barras, que como hemos dicho anteriormente, se cierran en algún punto de dicha estructura, que a su vez estará vinculada isostáticamente a tierra.

Ello implica que a través de sus vinculaciones, se podrán obtener, un sistema reactivo que será capaz de equilibrar al sistema activo de cargas actuantes ó estado de cargas, mediante el estudio analítico, con la aplicación de las 3 ecuaciones generales de la estática.

Ahora bien, cuando pretendemos hallar para cada punto de la estructura, el valor y ubicación de la resultante izquierda ó derecha a través de los esfuerzos característicos M, N, y

Q, que definirán a dicha resultante, se puede comprobar que dentro del marco cerrado NO será posible definir la parte izquierda o parte derecha de la estructura y consecuentemente tampoco podremos definir la resultante izquierda o derecha. Esto se puede verificar recorriendo la estructura a partir de un punto cualquiera donde nos interesa determinar los valores de las solicitaciones características, ya que en un punto cualquiera será imposible determinarlas, llegando nuevamente al mismo

punto de partida involucrando en su recorrido todas las fuerzas o Estado de cargas que actúan en dicha estructura.

Esta determinación originada en el ,marco cerrado, se podrá evitar, tentando resolver la estructura, mediante la eliminación de vínculos internos (V.I.).

Como mencionamos en capítulos anteriores cuando analizamos vínculos internos, hemos dicho que cada punto de la estructura, actúa de vínculo interno de ella misma, poniendo en evidencia las magnitudes estáticas en correspondencia de las magnitudes elásticas que ese punto está impidiendo.

Es decir que cortando el marco cerrado, en un punto cualquiera, ponemos en evidencia la totalidad de las magnitudes estáticas correspondientes con las magnitudes geométricas relativas que impiden la vinculación.

Si bien hemos eliminado la indeterminación antes descripta, vemos que nos aparecerán tres incógnitas internas x1; x2; x3 que no son otra cosa que los esfuerzos característicos (M, N y Q) en dicho punto.

Por lo tanto, aparecerán en la estructura tres nuevas incógnitas, quedando así convertida en una estructura estática

abierta, para la cual la estática nos brinda solamente las tres ecuaciones generales de equilibrio. Con lo que tendremos:

N N

MM Q

Q



27

Sólo 3 ecuaciones

Y 6 incógnitas = 3 por vínculos internos y 3 por vínculos externos.

Por lo tanto será un hiperestático de 3º grado.

Si bien en cada sección está definida la parte izquierda y derecha, no podremos calcular M, N y Q, ya que no tenemos forma de conocer los valores de todas las incógnitas.

En estas condiciones se trata de una estructura externamente isostática pero hiperestática debido a su vinculación interna.

¿¿CCuuááll eess nnuueessttrroo oobbjjeettiivvoo?? Nuestro objetivo es llegar a concluir

cuando una estructura de marco cerrado es isostática.

Tomamos la estructura anterior y le eliminamos un vínculo interno en un punto (E) del marco cerrado, ello implica colocarle a la estructura un vínculo interno de 2º especie, que será una articulación.

Dispondremos entonces de: 4 ecuaciones y 6 incógnitas

InternasxxxExternasxx

MóM

M

F

F

rEd

rEi

P

y

x

654

321x Incógnitas 6

00

0

0

0

Ecuaciones 4

Ahora la estructura se ha transformado en un hiperestático de 2º grado.

Ahora bien, si colocamos en el marco cerrado otra articulación vemos que se transforma en un hiperestático de 4º grado: 5 ecuaciones con 6 incógnitas comprobamos entonces que para que una estructura de marco cerrado sea isostática (debido a su vinculación interna), deberá tener como mínimo 3 vínculos relativos de 2º especie por marco cerrado.

Para resolverlo, debemos lograr como mínimo, un corte por macro, logrando de esta manera definir la izquierda y la derecha de la estructura en todos los puntos.

EEJJEEMMPPLLOO::

X1

X2X3

E

X4X5

X6



28

Estamos en presencia de una estructura cinemática de chapas cerradas isostáticas porque:

a) El marco cerrado tiene 3 vínculos relativos de 2º especie.

b) Está formada por 3 chapas, las cuales de estar libres tendrán 3N grados de libertad cada una. Por lo

tanto las 3 chapas desvinculadas tendrán 9 grados de libertad.

Los que necesitaremos impedirlos:

Por vínculos internos se restringen = 6 grados de libertad

Por vínculos externos se restringen = 3 grados de libertad.

De esta forma estamos restringiendo los 9 grados de libertad por medio de la vinculación externa e interna.

Si resolvemos la estructura cortando en un punto cualquiera del marco cerrado, veremos que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

Dispondremos de 6 ecuaciones con 6 incógnitas:

654

321

..

..

..

x:Incógnitas

00

00

00

0

0

0

:Ecuaciones

xxxInternasxxExternas

FóF

MóM

MóM

M

F

F

estáticaladegeneralesEcuaciones

rderV

rizqV

rderD

rizqD

rderE

rizqE

P

y

x

Si cortamos la estructura en el punto i, se ponen en evidencia 3 incógnitas (M, N y Q); pero si cortamos la estructura en el punto j, sólo aparecerán 2 incógnitas (N y Q); pues en ese punto el vínculo existente es una articulación donde sabemos que el momento vale cero (M = 0).

E

I

II

III

X1

X2X3

E

X4X5

X6

A BC

D i

j



29

La eliminación de vínculos internos pueden realizarse simultáneamente en uno o más puntos.

Al eliminar vínculos en los puntos i, j, hemos transformado a nuestra estructura en dos sub—estructuras independientes entre sí, relacionadas únicamente por las tres magnitudes que aparecen en i (M, N, Q) y por las dos magnitudes que aparecen en j (N, Q). Las que serán en

ambas caras de cada corte ó lo que es lo mismo en cada sub—estructura, iguales y de sentido contrario.

Así por ejemplo, el momento en el punto i (Mi) lo suponemos positivo (+) en la cara derecha ó sea en la sub—estructura II y será negativa (-) y de igual valor en la cara izquierda ó sea en la sub—estructura I. –y así sucesivamente.

Ahora bien, las cinco incógnitas que aparecerán al cortar la estructura en los puntos i, j, la resolveremos por medio de las Ecuaciones generales de la estática, las ecuaciones de equilibrio relativo.

II ó I estructura-sub la de0

II ó I estructura-sub la de0

II ó I estructura-sub la de 0

0

0

0

P

y

x

P

y

x

M

F

F

M

F

F

De las ecuaciones de equilibrio relativo respecto de un punto, se toma la ecuación izquierdo ó derecha de ese punto.

Importante: NO se podrá tomar en una ecuación, por ejemplo F(x) = 0 en la sub—estructura I y II simultáneamente, pues ya hemos utilizado para calcular los vínculos externos las ecuaciones generales de la estática y de hacerlo en ambas sub—estructuras I y II.

Estamos detectando F(x) = 0 como ecuación general y no como ecuación de equilibrio relativo en uno u otro lado.

Tenemos que tener en cuenta que si tomamos:

F(x) = 0 En I; al tomar la segunda

F(x) = 0 En II; esta última no es independiente ya que aparecerá como

combinación lineal de las dos anteriores. Es decir de:

IEnF

F

x

x

0

0

Por lo tanto, no tendrá valor para el proceso resolución de las ecuaciones.

I

IIi

j

x1

x2 x3

x4x5

x6

x7

x8



30

A medida que cortamos a la estructura en mayor cantidad de lugares, impondremos más incógnitas y ecuaciones. El proceso será más fatigoso, pero luego se hará más simple a los efectos de obtener los esfuerzos característicos M; N; Q de toda la estructura.

Una vez elegido el sistema de incógnitas debemos plantear todas las ecuaciones linealmente independientes posibles, esta cantidad y calidad nos reflejará la naturaleza de la estructura, pudiendo ocurrir que:

a) El número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas. Por lo tanto estamos en presencia de una estructura Hipostático.

Nº Ecuaciones Nº de incógnitas Est. Hipostática.

Ejemplo:

A

B B

A

x1

x2 x3

Ecuaciones: Cantidad cuatro (4)

una siempre pero derecha ó izquierdarelativo equilibrio deEcuación Una

00

estática la de generales ecuaciones tresLas

0

0

0

..r

derBr

izqB

P

y

x

MóM

M

F

F

Incógnitas: cantidad tres (3)

{x1; x2; x3

Este caso a) no tiene solución, solo lo tendrá para un sistema de fuerzas que pasen por A y B.

b) El número de ecuaciones es menor al número de incógnitas donde la estructura será Hiperestática.

Nº de Ecuaciones Nº de incógnitas HIPERESTÁTICA

De solución indeterminada por los métodos de la estática.

El número de ecuaciones faltantes, para la resolución de este problema, serán provistas por la teoría de la elasticidad. Pudiendo ser una solución por Deformaciones.

c) El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas puede tener dos posibilidades



31

Nº de Ecuaciones = Nº de Incógnitas

SolucionescSoluciónc

00

2

1

c1) Si el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones es 0, la estructura será isostática y tendrá solución para cualquier sistema de cargas.

c2) Si el determinante de la matriz de los coeficientes de sistema de ecuaciones = 0 (nulo). El sistema tendrá infinitas soluciones.

isostática será Noleincompatibadoindetermin)

b)a

VViinnccuullaacciióónn aappaarreennttee 1) Cuando alguna condición de vínculo de una o varias chapas es aparente, por lo

tanto permitirá un desplazamiento infinitésimo.

2) Cuando algunas de las chapas correspondan más de tres condiciones de vínculo, por lo tanto podrá desplazarse las restantes. Donde una chapa será hiperestática y otra hipostática (visto anteriormente en cadena cinemática)

En todos los casos en que alguna de las chapas no resulte con reacciones estáticamente determinables, a pesar que el conjunto de la cadena tenga N condiciones de vínculo y que como hemos visto parte de la misma resulta con desplazamientos visibles. No puede haber equilibrio bajo la acción de una fuerza cualquiera, cuando ello sucede, quiere decir que el sistema de N ecuaciones, no tiene solución posible o determinadas = 0

estatica [1] cuerpos vinculados

Engineering