estándares y expectativas de matemáticas 00 - introduccion

Estándares de matemáticas: Introducción Página 1

ESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICODEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN

ESTÁNDARES DE CONTENIDOY EXPECTATIVAS DE GRADO

PROGRAMA DE MATEMÁTICAS

2007

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Concepto ArtísticoReinaldo Santiago SerpaTécnico de Artes Gráficas y Escenografía

FotografíasNorma N. Curet AyalaFotógrafa

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Derechos ReservadosConforme a la Ley

Departamento de Educación de Puerto Rico

NOTIFICACIÓN DE POLÍTICA PÚBLICA

El Departamento de Educación no discrimina por razón de raza, color, género,nacimiento, origen nacional, condición social, ideas políticas o religiosas, edad oimpedimento en sus actividades, servicios educativos y oportunidades de empleo.

NOTA ACLARATORIA

Para propósitos de carácter legal en relación con la Ley de Derechos Civiles de1964, el uso de los términos maestro, director, supervisor, estudiante y cualquier otroque pueda hacer referencia a ambos géneros, incluye tanto al masculino como alfemenino.

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JUNTA EDITORA

Dr. Rafael Aragunde TorresSecretario

Dra. Yolanda Vilches NoratSubsecretaria para Asuntos Académicos

Profa. Myrna E. Rodríguez CorreaSecretaria Auxiliar Servicios Académicos

Prof. Leonardo Torres PagánDirector

Programa de Matemáticas


COLABORADORES

El documento de Estándares y Expectativas Generales de Grado del Programa deMatemáticas se desarrolló como producto del esfuerzo y la participación de un equipode profesionales.

El Programa de Matemáticas tiene una deuda de gratitud con los siguienteseducadores, por su compromiso y contribución al mejoramiento de la enseñanza deesta disciplina académica en Puerto Rico.

Consultores

Dr. Jorge M. LópezCatedrático

Departamento de MatemáticasRecinto de Río Piedras

Universidad de Puerto Rico

Dr. Edgardo QuiñonesCatedrático

Escuela Graduada de EducaciónUniversidad Metropolitana

Vicente JaimeConsultor

Compañía TRI-LIN

Brunilda Rivera ColónDirectora Ejecutiva

Comisión de EstándaresPrograma de Matemáticas

Luz N. Vélez RiveraSub-directora

Ex-Supervisora de ZonaDistrito Escolar de Arecibo I


Equipo de Redacción

Kindergarten – Tercer Grado Cuarto-Sexto Grado

Dra. Daisy Méndez Nieves

Supervisora de ZonaDistrito Escolar Aguadilla

Ivelisse Ortiz Feliciano

Escuela Purificación RodríguezDistrito Escolar Coamo

Itzel Pérez PérezEscuela S. U. Diego BravoDistrito Escolar Arecibo I

Petra Vázquez Santiago

Escuela Raúl JuliáDistrito Escolar Bayamón II

Aileen Velázquez EstrellaEscuela Carmen D. Ortiz

Distrito Escolar Aguas Buenas

Julio A. Pérez

Escuela Ofelia Díaz RodríguezDistrito Escolar Vega Baja

Eulalia Reyes LugoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Toa Alta

José A. Rodríguez González

Supervisor de ZonaDistrito Escolar Gurabo

Séptimo - Noveno Grado Décimo - Duodécimo Grado

Lidyana López DíazSupervisora de Zona

Distrito Escolar San Juan III

Prof. Elba VelázquezEscuela University GardensDistrito Escolar San Juan III

Prof. Diana RiveraEscuela Pablo Casals

Distrito Escolar de Bayamon I

Lcda. Marisol Ballagas CachoEscuela Atiles Moreau


José L. de Jesús MoralesSupervisor de Zona

Distrito Escolar Toa Baja

Priscilla Torres RamosSupervisora de Zona

Distrito Escolar San Juan II

Equipo de Validación

Kindergarten – Tercer Grado Cuarto a Sexto Grado

José A. Pabón OliveroEscuela Julio J. Henna

Distrito Escolar San Juan I

Amarilys Salgado ReyesEscuela Julio J. Henna


Ana M. Torres CartagenaSupervisora de Educación Especial

Distrito Escolar Bayamón I

Blanca E. Martínez VallésSupervisora de ZonaDistrito Escolar Cayey

Rosa Rodríguez Peñalbert

Escuela Antonio Valero Bernabé

Distrito Escolar Fajardo

Zenonita Traverso BonillaMaestra de Educación Especial

Escuela Pablo CasalsDistrito Escolar Bayamón I


Equipo de Validación

Kindergarten – Tercer Grado Cuarto a Sexto Grado

Lydia SotoEscuela Manuel Fernández Juncos

Distrito Escolar Juana Díaz

Iris N. Rodríguez RiveraEscuela Berta Zarduondo Cruz

Diustrito Escolar Fajardo

María Teresa LópezEscuela Manuel Fernández Juncos

Distrito Escolar Juana Díaz

Alice Rivera ToroEscuela Elba Lugo CarriónDistrito Escolar Arecibo II

Lydia Alvarado LópezEscuela Berta Zarduondo Cruz

Distrito Escolar Fajardo

Séptimo - Noveno Grado Décimo - Duodécimo

Prof. Rocket Caraballo(recientemente fallecido)

Distrito Escolar de Mayaguez

Tomás Colón DortaEscuela Luis Felipe PérezDistrito Escolar Arecibo I

Nydia Medina ForteEscuela Brigida Alvarez

Distrito Escolar de vega Baja

Héctor Román Vega

Escuela Sabana LlanaDistrito Escolar San Juan III

Prof. Edwin Benvenutti Justiniano

CROEMDistrito Escolar Mayagüez

Analise Colón Berríos

Escuela Miguel Meléndez MuñozDistrito Escolar Cayey

Gerardo Cruz LópezEscuela Juan SerrallosDistrito Escolar Ponce I

José MuneraEscuela Superior Vocacional

Distrito Escolar Villaba

Soraya Lagares NazarioEscuela Trina Padilla

Distrito Escolar Arecibo


Equipo de RevisiónEspecificaciones

Ricardo Almodóvar RodríguezSupervisor de Zona

Distrito Escolar Ponce

Mayra Avilés VelézSupervisora de Zona

Distrito Escolar Canóvanas

Marie S. Cabán AcevedoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Trujillo Alto

Iria C. Flores JenaroSupervisora de Zona

Distrito Escolar Caguas II

Xandra González MaldonadoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Guayama

Nelly López GarcíaSupervisora de Zona

Distrito Escolar Juncos

Viviana Nieves CintrónSupervisora de Zona

Distrito Escolar Luquillo

José A. Rodríguez VegaSupervisor de Zona

Distrito Escolar Villalba

Manuel Sevilla EstelaSupervisor de Zona

Distrito Escolar Bayamón II

Apoyo y consultoría

Prof. Eliezer Cotto PomalesDepartamento de Matemáticas

Universidad Politécnica de Puerto Rico

Prof. Daisy RamosSuperintendente de escuelas

Distrito Escolar de Rincón

Ing. Martha DumoisDepartamento de Matemáticas

Universidad Politécnica de Puerto Rico

Edith Rivera GonzálezDirectora

Escuela Manuel Fernández Juncos

Melissa Natal PantojaEstudiante de Primer AñoUniversidad Politécnica

Edsel ColbergCROEM

Distrito Escolar Mayagüez

Arlene M. Irizarry SotoDirectora Programa de Kindergarten

Nivel Central

Pablo Borges PimentelSuperintendente de escuelasDistrito Escolar de Trujillo Alto

Gracia Ruiz de TalaveraSuperintendente de escuelasDistrito Escolar de Mayagüez


Agradecemos igualmente los consejos del Prof. Waldo Torres, la Dra. Ana HelviaQuintero, la Dra. Myrna Fuster, el Dr. Edwin Morera, la Prof. Julia Rodríguez,la Prof. Carmen Martínez, la Prof. Sandra García, la Prof. Nercy Pared, el Prof. RenéHernández, el Dr. Roberto Colón, el Prof. Edward Caro, la Prof. Mayra Alonso,la Dra. Luz Maritza Fernández, el Prof. Joaquin Padovani, la Dra. María Maldonado, laProf. Nereida Rodríguez, la Prof. Bethzaida Correa, la Prof. Violeta Santiago y laProf. Emely Fernández, que de una manera especial apoyaron los esfuerzos delPrograma de matemáticas en el proceso de redacción de estos estándares.

Comité de Reingeniería Curricular

Ricardo Almodóvar RodríguezSupervisor de Zona


Yolanda Amadeo AlvaradoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Coamo

Wanda Ávila OcasioSupervisora de Zona

Distrito Escolar Camuy

Mayra Avilés VelézSupervisora de Zona

Distrito Escolar Canóvanas

Marie S. Cabán AcevedoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Trujillo Alto

Blanca EstrellaSupervisora de ZonaDistrito Escolar Cayey

Iria C. Flores JenaroSupervisora de Zona

Distrito Escolar Caguas II

Xandra González MaldonadoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Guayama

Nelly López GarcíaSupervisora de Zona

Distrito Escolar Juncos

Juan Maldonado ToledoSupervisor de Zona

Distrito Escolar de Hatillo

Julio Montes de OcaSupervisor de Zona

Distrito Escolar San Sebastián

Viviana Nieves CintrónSupervisora de Zona

Distrito Escolar Luquillo

Javier Quiles OquendoSupervisor de Zona

Distrito Escolar Las Piedras

Eulalia Reyes LugoSupervisora de Zona

Distrito Escolar Toa Alta

José A. Rodríguez VegaSupervisor de Zona


Manuel Sevilla EstelaSupervisor de Zona


Rosa M. Vélez MuñizSupervisora de Zona


Janet Dávila SantanaSupervisor de Zona

Distrito Escolar Ceiba


Comité de Reingeniería Curricular

Sarai Nieves BernardEscuela Superior Luis Muñoz Marín

Distrito Escolar Añasco

Marcel RuizEscuela Especializada University Gardens

Distrito Escolar San Juan II

Luis RosadoEscuela Superior José Gautier Benítez

Distrito Escolar Caguas I

Marta AlvaradoEscuela Superior Jaime Collazo

Distrito Escolar Morovis

Luis RiveraEscuela Superior Antonio Luchetti


Roberto L. Díaz DíazEscuela Bilingue Ramírez Hostos

Distrito Escolar Añasco

Félix González MercadoEscuela Superior Josefina León Zayas

Distrito Escolar Jayuya

Eneid BetancourtEscuela Superior Tomás C. Ongay


Marisol Ballagas CachoEscuela Atiles Moraeu


Hilda E. CastejónEscuela Superior Antonio Luchetti


Iris BermudezEscuela Central de Artes Visuales


José H. Pérez RosadoEscuela Superior Jaime Collazo

Distrito Escolar Morovis

Gregorio RuizEscuela Superior Eugenio María de Hostos

Distrito Escolar Mayaguez

Yolanda RiveraEscuela Superior Lysander Borerro Terry


Nydia Medina ForteEscuela Intermedia Brígida Álvarez

Distrito Escolar Vega Baja

Manuel Vigo TosadoEscuela Superior Papa Juan XXIII

Distrito Escolar Bayamón

Egberto ZayasEscuela Superior UrbanaDistrito Escolar Salinas

Héctor RománEscuela Intermedia Sabana Llana


Equipo de Apoyo

Maria de L. AquinoCoordinadora

Proyecto CENIT

Gladys FigueroaMecanógrafa


Mirna Rosado MolinaSecretaria Ejecutiva

Unidad de Escuelas Especializadas

Elba R. SantiagoMecanógrafa


Maria E. MoránAyudante Especial

Secretaría Auxiliar de Servicios Académicos

Victoria VivesMecanógrafa



Finalmente, damos especialmente las gracias a todas las personas –demasiadas para sermencionadas aquí- que tan generosamente colaboraron desde la preparación del borradorde discusión hasta la elaboración del documento final, particularmente los profesores delas universidades del país, los artistas gráficos y los técnicos del Departamento deEducación.


Introducción

El Departamento de Educación cumple con su misión de promover la excelenciaeducativa para que cada estudiante esté capacitado para contribuir productivamente enla sociedad actual. El Programa de matemáticas, en su compromiso de hacer unarealidad la misión del Departamento, presenta este documento que contiene losEstándares de Contenido y las Expectativas Generales de Aprendizaje por Grado,como criterios de excelencia necesarios para lograr cambios significativos en laenseñanza de matemáticas de nuestro sistema educativo.

Los Estándares y las Expectativas de Grado representan un componente esencial parapromover el cambio en nuestro sistema educativo; y además, contribuye a conectar loscambios curriculares con el desarrollo profesional de los maestros, los métodos deinstrucción y la evaluación del aprendizaje del estudiante.

Específicamente, estos estándares hacen un llamado a los maestros de matemáticas areflexionar y dar énfasis e importancia a:

la solución de problemas la comunicación en la matemática el razonamiento matemático la representación la integración de la matemática con otros contenidos la integración de los temas transversales del currículo

Los Estándares y Expectativas de Grado enuncian altas expectativas de ejecución paraTODOS los estudiantes –incluyendo estudiantes con impedimentos, limitacioneslingüísticas y estudiantes vocacionales; permiten flexibilidad en las formas en que losmaestros conducen sus clases y en el aprendizaje de los estudiantes y ayudan almaestro a definir su currículo sin restringir ideas creativas o el uso de algunos métodoso técnicas instruccionales. Constituyen a la vez, un documento diseñado paraestablecer un marco amplio de referencia para reformar la enseñanza de lamatemática en Puerto Rico. Los mismos requieren de la creatividad y el esfuerzode los maestros para operacionalizarlos en prácticas educativas que mejoren lacalidad de la enseñanza.

El Programa de Matemáticas exhorta a la comunidad docente a presentar estedocumento en todos los foros educativos y que se analice, reflexione y utilice, demanera que las ideas expuestas en el mismo se transformen en instrumentos quefaciliten una educación de excelencia en matemáticas.


Base legal

La Ley Número 149 del 15 de julio de 1999, según enmendada conocida como Ley

Orgánica del Departamento de Educación de Puerto Rico, en su Artículo 5.12 que el

Secretario formulará normas de aplicación en todas las escuelas con el fin de darle

coherencia a la gestión educativa del Sistema de Educación Pública.

En particular, las normas se referirán, entre otras, a: “planes de estudio por grados y

niveles” (inciso a) y “a las metas de aprovechamiento específicas para los distintos

grados y niveles del sistema” (inciso c).

Además, el Artículo 6.03, en su inciso c, dispone que el Secretario en su función de

director académico del Sistema de Educación Pública de Puerto Rico: “establecerá un

currículo básico para el Sistema de Educación Pública con márgenes de flexibilidad

suficientes para que las escuelas lo adapten a sus necesidades y prescribirá el plan de

estudios correspondiente a cada grado y nivel del Sistema”.

Por otro lado, el Artículo 4.02 establece que “el Secretario, los directores de escuela y los

consejos escolares validarán la autonomía docente del maestro, que incluye la libertad

para: a. Hacer los cambios que estime pertinentes con el fin de adaptar el temario de los

cursos al perfil socio-cultural y geográfico de sus estudiantes. b. Adoptar la metodología

pedagógica que según su juicio profesional suscite mejor el interés y la curiosidad de sus

alumnos en los temas bajo estudio. c. Prestarle atención singularizada a estudiantes con

impedimentos, lo mismo que a estudiantes de alto rendimiento académico o con habilidades

especiales. d. Organizar grupos de alumnos para realizar estudios o proyectos especiales

relacionados con sus cursos. La autonomía docente que aquí se reconoce no excusará al

maestro de cubrir su curso según éste se establece en el currículo maestro del sistema

educativo”.


¿Que son los estándares?

Un estándar es un criterio que juzgará la calidad del currículo de matemáticas. En suesencia, son aseveraciones sobre lo que se valora en una disciplina, en este caso, enlas matemáticas. En resumen, un estándar puede definirse como:

Una afirmación que puede ser utilizada para juzgar la calidad de un currículomatemático o de métodos de evaluación; así, los estándares son declaracionesde qué tiene valor y que no lo tiene.

La visión de lo que se pretende que los estudiantes sean capaces de hacer. Un criterio que sirve para juzgar excelencia y calidad. Una aseveración que describe los resultados deseados.

Los estándares representan metas altas pero alcanzables para TODOS los estudiantes.Además, sirven como base para el desarrollo de las Expectativas Generales deGrado y para definir el perfil de competencias que los estudiantes deben conocer ydemostrar durante sus estudios escolares.

A partir de los estándares y las expectativas:

Se definirán los objetivos, el alcance, la secuencia y la profundidad deconceptos, destrezas y actitudes de cada curso.

Se definirán las competencias que los estudiantes deberán dominar en cadacurso.

Se desarrollarán actividades educativas y la metodología apropiada paraatender los diversos estilos de aprendizaje.

Se recomendarán los métodos y las técnicas para llevar a cabo la medición y elassessment del aprendizaje.

A continuación se presenta los estándares de contenido y una sinopsis de losmismos.

ESTÁNDARES CURRICULARES DE CONTENIDO

Los estándares curriculares de contenido presentan un resumen del contenido y lashabilidades o destrezas que los estudiantes deben conocer y poder hacer, durante susestudios y representan la base sobre la cual se desarrollan los currículos dematemáticas.

El documento de los estándares curriculares de matemáticas de Puerto Rico incluye unaexplicación de la necesidad y dirección del cambio, así como los postulados básicos queorientan el proceso de enseñanza-aprendizaje en cada nivel escolar. Resume, además,el contenido que merece más atención y el que merece menos atención.


Las personas encargadas de desarrollar currículo, así como aquellas que deseen mayorinformación al respecto, deben estudiar todo el documento de estándares de Puerto Ricopara asegurarse de que cumplen con todas las disposiciones del mismo.

Se han dado tres razones para adoptar formalmente un conjunto de estándares:(1) para asegurar la calidad, (2) para explicitar objetivos, y (3) para propiciar cambios.Para el Programa de Matemáticas, estas tres razones son de igual importancia.

En primer lugar, los estándares se usan para proteger al público de un artículo de bajacalidad. Por ejemplo, a un farmacéutico no se le permite vender un medicamento hastaque éste no haya pasado rígidos controles, tanto en su fabricación como en lo referente asu efectividad. En este sentido, los estándares son criterios mínimos de calidad.Imponen condiciones necesarias, pero no suficientes, para la obtención de resultadosrequeridos; no hay garantía de que un medicamento se usado de manera inadecuada porel consumidor.

En segundo lugar, los estándares son usados como un medio para expresar intencionesde objetivos. Los objetivos son amplías afirmaciones de intención social. Por ejemplo,podemos estar de acuerdo en que dos objetivos de cualquier examen estandarizado esque sean tanto válidos como fidedignos. Los estándares de evaluación desarrollados porla American Psychological Association describen el tipo de documentación que debeadjuntarse con cada examen acerca de la validez y veracidad de éstos instrumentos.

Por último, los estándares se establecen para conducir a un grupo hacia nuevos ydeseados objetivos. Por ejemplo, la comunidad médica ha adoptado, y lo revisaperiódicamente, un conjunto de estándares para la certificación de especialistas, basadosen los recientes cambios en tecnología, investigación, entre otros. Lo que se intenta esmejorar o poner al día la práctica cuando sea necesario. En este sentido, los estándaresse basan en una perspectiva informada de lo que se debe hacer a partir del conocimientoy de la experiencia con que se cuenta.

Los estándares son necesarios en la matemática escolar por las tres razones anteriores.Ni escuelas, ni maestros, ni estudiantes, ni el público en general cuentan con protecciónalguna contra material de baja calidad. Parece razonable que cuando se preparenmateriales para el salón de matemáticas se diga cómo se relacionan los materiales conlos conceptos actuales que hace falta enseñar y se demuestre su efectividad. Para elPrograma de Matemáticas lo importante es desarrollar estándares que fueran criterioscon el objeto de provocar y facilitar un cambio. Las escuelas han de reflexionar sobre lasimportantes consecuencias que conlleva el actual movimiento de reforma si es que sequiere preparar adecuada mente a nuestros jóvenes para vivir en el siglo XXI. Losestándares deben ser vistos como facilitadores de esta reforma.


La necesidad de nuevos objetivos

Lo que para nosotros es la educación matemática se basa en una revisión de losobjetivos educativos. Históricamente. Las sociedades han creado escuelas para:

Facilitar a los jóvenes los diferentes aspectos de la cultura; Proporcionar a los jóvenes de oportunidades de realización personal

Por tanto, los objetivos que todas las escuelas tratan de alcanzar son a la vez reflejo delas necesidades de la sociedad y de las necesidades de los estudiantes.

Las demandas de reforma para las matemáticas escolares hacen pensar que senecesitan nuevos objetivos. Todos los países industrializados han experimentado uncambio de una sociedad industrial a una sociedad basada en la información y elconocimiento, y dicho cambio ha transformado tanto aquellos aspectos de la matemáticaque hace falta facilitar a los estudiantes, como los conceptos y técnicas que debendominar si se pretende que sean ciudadanos realizados y productivos en el siglo queviene.

La sociedad de la información

Este cambio social y económico puede atribuírsele, al menos en parte, a lo accesible delas calculadoras, las computadoras y otros instrumentos tecnológicos en nuestroshogares. El uso de toda esta tecnología ha supuesto un cambio drástico en la naturalezade las ciencias físicas, sociales y de la vida; los negocios; la industria y el gobierno. Unosmedios mecánicos de comunicación relativamente lentos – la voz y el papel impreso –han sido reemplazados por la comunicación electrónica, como el correo electrónico y elFAX, haciendo que se pueda compartir la información casi al instante con personas – omáquinas – desde cualquier lugar. La información es el nuevo capital y el nuevomaterial, y la comunicación es el nuevo medio de producción. El impacto que ha tenidoeste cambio tecnológico ha dejado de ser una abstracción intelectual. Se ha convertidoen una realidad económica. Hoy día, el ritmo del cambio económico se acelera con lacontinua innovación en las comunicaciones y en la tecnología informática.

Nuevos objetivos sociales

La escuela, tal como está organizada hoy día, es producto de la era industrial. En lamayoría de los países democráticos, las escuelas regulares se creaban paraproporcionarles a la mayoría de los jóvenes la preparación que necesitaban paraconvertirse en trabajadores del campo, fábricas o comercios. Con este tipo deescolarización, también se suponía que los estudiantes llegaban al grado necesario deeducación que les permitiera ejercer un voto bien informado. Por tanto, se exigía detodos los estudiantes una mínima competencia en lectura, escritura y aritmética, y elentrenamiento académico más avanzado se reservaba para una selecta minoría. Estosestudiantes más aventajados asistían a escuelas diseñadas para educar a los futurosdirigentes de la cultura, del mundo académico, de los negocios y del gobierno.


El sistema educativo de la era industrial no satisface las necesidades económicasactuales. Los nuevos objetivos sociales de la educación exigen (1) trabajadores coneducación matemática, (2) aprendizaje continuo, (3) oportunidad para todo el mundo, y(4) un electorado bien informado. De estos objetivos se deduce un sistema escolarorganizado de forma que proporcione a todos los ciudadanos recursos para toda la vida.

1. Trabajadores con educación matemática. El status quo económico por el cual losempleados de una fábrica realizaban los mismos trabajos para producir los mismosbienes de la misma forma durante décadas no es más que una regresión a nuestropasado de la era industrial. Hoy día, la supervivencia económica y el crecimientodependen del establecimiento de fábricas nuevas que produzcan productos yservicios complejos en ciclos de mercado muy cortos. Literalmente, antes de que sevendan los primeros productos se diseñan los nuevos que habrán de reemplazarlosen un mercado en cambio constante. Al mismo tiempo, el departamento deinvestigación trabaja en el desarrollo de nuevas ideas para que los equipos de diseñoatiendan la demanda incesante de productos nuevos que, a su vez, se canalizanhacia el mercado de productos. Las nociones tradicionales de competenciamatemática elemental se han visto rebasadas por exigencias cada vez mayores encuanto a las destrezas y conocimientos que deben poseer los trabajadores; métodosnuevos de producción requieren una fuerza laboral tecnológicamente capaz. ElDepartamento de Congreso de los Estados Unidos para la Valoración Tecnológica(1988) declara que los empleados han de estar preparados para entender lascomplejidades de las tecnologías de la comunicación, hacer preguntas, asimilarinformación nueva y trabajar en equipos de forma solidaria. Las empresas no buscanya trabajadores con hombros fuertes, manos hábiles y conocimientos matemáticos“de tendero”. De hecho, se afirma que “el crecimiento más significativo en puestos detrabajo entre ahora y el año 2000 se dará en aquellos campos que requieran unamayor educación ”(Lewis 1988, p.468). Henry Pollak (1987), un notable matemáticoespecializado en aplicaciones a la industria, resumió hace poco las exigencias encuanto a matemáticas de los nuevos trabajadores industriales:

Ser capaz de plantear problemas con las operaciones adecuadas. Conocer técnicas diversas para plantear y resolver problemas. Comprender las implicaciones matemáticas de un problema. Poder trabajar en grupo sobre un problema. Ver la posibilidad de aplicar ideas matemáticas a problemas comunes y

complejos Estar preparado para enfrentarse a problemas abiertos, ya que la mayoría

de los problemas reales no están bien formulados. Creer en la utilidad y validez de las matemáticas.


Puede verse la diferencia entre las destrezas y la preparación inherentes a estasexigencias y las que adquieren los estudiantes que trabajar en solitario para resolveruna serie dada de ejercicios de repetición y práctica. Aunque no sólo se enseñen lasmatemáticas en la escuela para que los estudiantes encuentren trabajo, estamosconvencidos de que la experiencia escolar refleja en cierta medida la de cualquierpuesto laboral actual.

Esto es particularmente cierto dado que la disponibilidad de este tipo de trabajadorescon una educación amplia será un factor importante a la hora de determinar larespuesta que den las empresas a las cambiantes condiciones económicas de hoydía.

2. Aprendizaje permanente. Los asesores laborales, conscientes de la rapidez conque cambian la tecnología y los modos de empleo, afirman que, por términomedio, los trabajadores cambiarán de trabajo al menos de cuatro a cinco vecesdurante los próximos veinticinco años y que cada trabajo requerirá un nuevoentrenamiento en destrezas comunicativas. Por consiguiente, se necesita unafuerza laboral flexible que sea capaz de seguir aprendiendo de por vida; estoimplica que las matemáticas escolares deben subrayar una forma de instruccióndinámica. La resolución de problemas – incluyendo el modo en que se presentan losproblemas, los significados del lenguaje matemático, y el modo en que se hacenconjeturas y razonamientos – debe ser un punto central durante laescolarización de forma que los estudiantes puedan explorar, crear, acomodarse acondiciones alteradas, y crear conocimientos nuevos de forma activa a lo largo detoda su vida.

3. Oportunidad para todos. Ya no pueden tolerarse las injusticias de las antiguasprácticas escolares. Las estadísticas actuales indican que los que cursan estudiossuperiores de matemáticas son por lo común jóvenes con altos ingresos económicos.(Universidad de Puerto Rico, 2007) Los estudiantes con bajos ingresos económicosestudian menos matemáticas y están pobremente representados en carrerascientíficas y tecnológicas. La cuestión no es ya crear una sociedad justa en la queTODOS disfruten de igualdad de oportunidades y de un trato equitativo. Lasmatemáticas se han convertido en un filtro crítico a la hora de encontrar empleo y unaparticipación completa en nuestra sociedad. No podemos permitirnos que la mayoríade la población carezca de educación matemática: la igualdad se ha convertido enuna necesidad económica.

4. Electorado bien informado. En un país democrático donde las decisiones políticas ysociales implican aspectos técnicos cada vez más complejos, es imprescindible queexista un electorado bien informado. Las cuestiones actuales – como la proteccióndel medio ambiente, la economía del hogar, los gastos del gobierno, y el pagode impuestos – llevan consigo muchas cuestiones interrelacionadas. Pararesolverlas de forma seria es necesario conocer y entender la tecnología. Eneste sentido, los ciudadanos han de ser capaces de leer e interpretar informacióncompleja y a menudo contradictoria.


En resumen, la sociedad de hoy exige que la escuela asegure a todos losestudiantes la oportunidad de poseer una cultura matemática, ser capaces deampliar su aprendizaje, tener igualdad de oportunidades para aprender y serciudadanos bien informados capaces de entender las cuestiones propias de unasociedad tecnológica. A medida que cambia la sociedad, deben asimismo cambiar lasescuelas.

Este documento presenta los Estándares y Expectativas de Grado del Programa deMatemáticas y esboza lo que debería valorarse en la enseñanza de las matemáticas. Elprograma reconoce que se requieren unos estándares y expectativas ambiciosas paralograr una sociedad que tenga la capacidad de pensar y razonar matemáticamente, y unabase útil de conocimientos y destrezas matemáticos.

Los cinco Estándares de Contenido describen un conjunto coherente de conocimientos ycompetencias matemáticas; una base comprensiva recomendada para todos losestudiantes, en lugar de un menú a partir del cual tomar decisiones curriculares. Sondescripciones de lo que la enseñanza matemática debería lograr que los estudiantesconozcan y hagan. Especifican la comprensión, el conocimiento y las destrezas quedeberán adquirir los estudiantes, desde el nivel elemental hasta el secundario.

Cada uno de estos Estándares es aplicable a todos los niveles. El conjunto deEstándares, que se discute próximamente con más detalle, presenta las matemáticas quetodos los estudiantes deberán tener la oportunidad de aprender. Cada Estándarcomprende un pequeño número de dominios comunes a todos los niveles, una basecomún que marca un enfoque del desarrollo y la complejidad del conocimiento de losestudiantes a medida que avanzan en el currículo. Para cada Estándar de contenidos, sepresenta un conjunto adicional de expectativas específicas por grado. A su vez estasexpectativas se subdividen en Indicadores de ejecución, mucho más específicos, y queservirán al maestro en el momento de la planificación diaria.

Aunque cada uno de los cinco Estándares de Contenido es de aplicación en todos losniveles, el énfasis varía, tanto dentro de cada etapa como en las diferentes etapas. Porejemplo, la importancia que se da al Estándar de Números es máxima desdeKindergarten al tercer grado, recibiendo menos atención en el nivel superior. El tiempototal disponible para la enseñanza de la asignatura se repartirá desigualmente deacuerdo con las necesidades particulares de cada nivel como se muestra en la siguientefigura:


Este conjunto de Estándares no separan netamente el currículo de matemáticas enbloques sin conexión. Ya que las matemáticas constituyen una disciplina altamenteinterconectada, las áreas descritas se superponen e integran. Los procesos puedenaprenderse con los contenidos, y los contenidos junto con los procesos. Abundan ricasconexiones e interconexiones. El área de Números, pongamos por caso, impregna todaslas demás áreas. Algunos temas del Análisis de datos pueden considerarse una parte dela medida. En Geometría aparecen patrones y funciones. Los procesos de razonamiento,prueba, resolución de problemas y representación intervienen en todas las áreas.

La disposición del currículo dentro de estos Estándares se propone como unaorganización coherente de contenidos y procesos matemáticos significativos. Los cincoestándares de contenido del Programa de Matemáticas describen explícitamentelos dominios de contenido que los estudiantes deben aprender. Constituyen unresumen de las habilidades o destrezas que los estudiantes deben conocer y poderdesarrollar en cada grado. Además, representan la base sobre la cual se desarrollaránlos currículos del programa de matemáticas.

¿Dónde están los Estándares y Expectativas de Grado Doce?

A la vista de las disparidades que existen en cuanto a la oportunidad educativa enmatemáticas y la creciente necesidad de que todos los estudiantes puedan optar por unaeducación de excelencia y puedan cumplir con TODOS los estándares que se esbozanen este documento el programa de matemáticas estableció en el nivel superior uncurrículo central diferenciado. Los años de estudio de nuestros estudiantes en el nivelsuperior girarán alrededor de un currículo central, diferenciado tanto por la profundidad yamplitud del tratamiento que se da a los temas como por la naturaleza de lasaplicaciones. El currículo central puede ampliarse de diversas formas para ajustarse alas necesidades, intereses y niveles de ejecución de cada estudiante o de grupos deestudiantes.

En este sentido, el Cuarto Año se convertirá en una experiencia de transición hacia elmundo académico postsecundario o al mundo del trabajo. Para lograr esta experienciade transición, los estudiantes optarán por el curso de matemáticas que se ajuste a susmetas e intereses.

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Estándares de Contenido

NUMERACIÓNY OPERACIÓN

• Sentido numérico• Significado de las

operaciones• Operaciones y

estimados

ÁLGEBRA

• Patrones yrelaciones

• Representación(Ecuaciones,inecuaciones yexpresiones)

• Modelosmatemáticos

• Cambio

GEOMETRÍA

• Formasgeométricas ypropiedades

• Localización yrelacionesespaciales

• Transformaciones ysimetría

• Razonamientoespacial y modelos

MEDICIÓN

• Unidades demedida

• Técnicas demedición

ANALISIS DE DATOSY PROBABILIDAD

• Representación dedatos

• Análisis de datos• Inferencias y

predicción• Probabilidad

P R O C E S O S

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ESTANDARES DE CONTENIDODEL PROGRAMA DE MATEMATICAS

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 1: NUMERACIÓN Y OPERACIÓNEl estudiante es capaz de entender los procesos y conceptos matemáticosal representar, estimar, realizar cómputos, relacionar números y sistemasnuméricos.

El Estándar de Numeración y Operación describe el conocimiento y las competenciasbásicas relativas a contar, a los números y a la aritmética, así como una forma decomprender los conjuntos numéricos y sus estructuras. Incluye los conceptos yalgoritmos de la aritmética elemental y las características de los conjuntos de númerosque intervienen en los inicios de la teoría de números. El foco de este Estándar es eldesarrollo del sentido numérico: la habilidad para descomponer números, utilizarciertos números como 100 o ½ como puntos de referencia, usar las relaciones entre lasoperaciones aritméticas para resolver problemas, comprender el sistema denumeración decimal, estimar, dar sentido a los números y reconocer las magnitudesrelativas y absoluta de los números.

En el nivel elemental, el estudiante entiende el significado de los números enforma gradual. Su comprensión del mundo de los números requiere inicialmentede la manipulación de objetos hasta llegar a la abstracción y formulación deconclusiones. Además, reconoce en contextos tanto aritméticos como geométricos, lanecesidad de la existencia de los números más allá de los números naturales,entendiendo que la matemática implica algo más que exactitud, por lo tanto,estima situaciones cuantitativas aplicadas en la vida diaria.

Históricamente, el número ha sido la piedra angular del currículo de matemáticas, tantointernacionalmente como en Estados Unidos. (Reys, 2006). Todas las matemáticaspropuestas, están fuertemente basadas en el número. Los principios que rigen laresolución de ecuaciones en álgebra coinciden con las propiedades estructurales de losconjuntos numéricos. En Geometría y Medición, los atributos se describen connúmeros. El área de Análisis de Datos y Probabilidad conlleva dar sentido a losnúmeros en un contexto.

El razonamiento matemático de los estudiantes más pequeños es más probable que sedé sobre situaciones numéricas, y sus primeras representaciones concretas seanprobablemente de números. Las investigaciones sugieren que el aprendizaje de losnúmeros y operaciones es un proceso complejo para los niños. En estos Estándares, lacomprensión del número y las operaciones, el desarrollo del sentido numérico yconseguir fluidez en el cómputo aritmético, constituyen el núcleo de la educaciónmatemática en los niveles elementales. Según van avanzando desde Kindergarten alúltimo nivel, los estudiantes deberán alcanzar una rica comprensión de los números:los que son; cómo pueden representarse con objetos, numerales o rectas numéricas;

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cómo se relacionan unos con otros; cómo están inmersos en sistemas que poseenestructuras y propiedades, y cómo utilizar números y operaciones para resolverproblemas.

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No podemos minimizar la importancia de conocer las combinaciones básicas de losnúmeros: la adición y multiplicación con pares de números de un solo dígito e,igualmente, respecto a la sustracción y la división. Asimismo, es esencial la fluidez dede los cómputos, esto es, tener y utilizar métodos eficaces y seguros para llevar a cabolos cómputos matemáticos. Esta fluidez tiene que ponerse de manifiesto al usarestrategias mentales y anotaciones sobre papel o un algoritmo con papel y lápiz,particularmente con números grandes, en la producción rápida de resultados exactos.Independientemente del método utilizado, los estudiantes deben ser capaces deexplicar cuál han empleado, entender que existen distintos métodos y ver la utilidad demétodos que sean eficaces, seguros y generales. También necesitan ser capaces deestimar y juzgar lo razonable de los resultados. La fluidez en el cómputo deberíadesarrollarse conjuntamente con la comprensión del papel y significado de lasoperaciones aritméticas en los sistemas numéricos.

En determinadas ocasiones, debería disponerse de calculadoras, en particular cuandose necesitan muchos o incómodos cómputos para resolver problemas. El programa dematemáticas reconoce la importancia de las calculadoras en la enseñanza dematemáticas, sin embargo, deben utilizarse una vez el estudiante domine losalgoritmos de cómputo fundamentales.

SENTIDO NUMÉRICO

La comprensión de los números se desarrolla, en el primer nivel, cuando los niñoscuentan y aprenden a reconocer “cuántos hay” en colecciones de objetos. Una ideaclave es que un número puede ser descompuesto y representado de varias formas.Por ejemplo, 35 es 3 dieces y 5 unos y también, 3 conjuntos de quinces. Pasar de ver“diez” como la reunión de 10 unos, a verlo como 10 unos y también como 1 diez,constituye un primer paso importante en la comprensión de la estructura del sistemade numeración decimal. En el nivel elemental, los estudiantes pueden aprender sobrelos tipos de números y sus características; por ejemplo, qué números son impares,pares, primos, compuestos o cuadrados.

Además de comprender los números naturales, se puede animar a los niños para queentiendan y representen fracciones usadas en contextos familiares, tales como la mitadde una galleta o una tercera parte de una pizza, y para ver las fracciones como partesde una unidad entera o de una colección. Los maestros deben ayudar a los estudiantesa desarrollar la noción de fracción como división de números. Y, en los nivelesintermedios, en parte como una base para el estudio del razonamiento proporcional,los estudiantes necesitan poseer un dominio conceptual amplio de las fracciones comonúmeros. El conocimiento y uso de los decimales debería asegurarse bien antes dellegar a los niveles superiores. Con un conocimiento sólido del número, los estudiantesde estos niveles pueden utilizar variables que representen números, para hacermanipulaciones simbólicas con significado.

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La representación de números con diversos materiales físicos debería constituir unaparte significativa de la educación matemática en los niveles elementales. En estenivel, los estudiantes deben llegar a comprender que los números puedenrepresentarse de diversas maneras; ver que, por ejemplo, 1/2, 50% y 0.50 sondiferentes formas de expresar el mismo número. La comprensión y la habilidad pararazonar irán creciendo a medida que vayan representando fracciones y decimales conmateriales físicos y sobre la recta numérica, y aprendiendo a generar representacionesequivalentes de fracciones y decimales.

Al tiempo que los estudiantes llegan a comprender los números y cómo representarlos,adquieren los fundamentos para entender las relaciones entre ellos. Pueden aprendera comparar fracciones, mediante referencias familiares, como ½. Y, a medida que sedesarrolla su sentido numérico, deberán ser capaces de razonar sobre números; porejemplo, explicar que 1/2 + 1/4 tiene que ser menos que 1, porque uno de lossumandos es 1/2 y el otro es menor que 1/2. A medida que el estudiante entra al nivelintermedio, es importante que sepan desenvolverse bien con fracciones equivalentes,decimales y porcentajes, y de ordenar y comparar números racionales utilizandodiversas estrategias. Al pasar de los naturales y los cardinales a los enteros, elestudiante contrastará las propiedades y características de estos conjuntos denúmeros. En el nivel superior, pueden utilizar variables y funciones para representarrelaciones entre conjunto de números y para observar las propiedades de las distintasclases de números.

Aunque en los niveles superiores se da más importancia a otras áreas que a la denúmeros, los estudiantes deberán ver los conjuntos numéricos desde una perspectivamás global. Deberán aprender las diferencias entre ellos y qué propiedades seconservan y cuáles no al pasar de un conjunto a otro.

SIGNIFICADO DE LAS OPERACIONES

En los primeros grados, los estudiantes deberán enfrentarse con una amplia variedadde significados para la adición y la sustracción de los números naturales.Investigadores y maestros (Quintero, 1986; López, 2004) han llegado a saber cómoentienden los niños las operaciones, a través de cómo abordan sencillos problemasaritméticos como el que sigue:

Yolanda compró 2 galletas. Ahora tiene 5 galletas. ¿Cuántas galletas teníaantes?

Para resolver este problema, los niños pueden usar la adición y contar a partir de 2,llevando la cuenta con los dedos, hasta llegar a 5. O bien, reconocer en este problemauna situación que involucra la resta y utilizar el hecho de que 5 – 2 = 3. Explorarestrategias de pensamiento como éstas o darse cuenta de que 7 + 8 es lo mismo que 7+ 7 + 1, ayudará a los estudiantes a comprender el significado de las operaciones.Estas exploraciones ayudan también a los maestros a determinar lo que piensan sus

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estudiantes. La multiplicación y la división pueden empezar a tener sentido para losniños en los primeros grados, al resolver problemas que surjan de su entorno; porejemplo, cómo repartir por igual una bolsa de dulces entre cuatro personas.

En el nivel cuarto a sexto, la enseñanza debe orientarse a ayudar a desarrollar elsignificado de la multiplicación y de la división con números naturales. Al construir ytrabajar con representaciones (diagramas u objetos concretos, por ejemplo) desituaciones de multiplicación y de división, los estudiantes pueden llegar a dar sentido alas relaciones entre las operaciones. Deben ser capaces de decidir si deben sumar,restar, multiplicar o dividir para resolver un problema determinado. Para hacerlo, tienenque darse cuenta de que una misma operación puede aplicarse a problemas queparecen totalmente diferentes, saber cómo se relacionan unas operaciones con otras, ytener una idea de qué clase de resultado debe esperar.

En el nivel intermedio, deben enfatizarse las operaciones con números racionales. Lasideas de los estudiantes sobre las operaciones, deben adaptarse cuando trabajan conuna estructura numérica ampliada (Graeber y Campbell 1993). Por ejemplo, almultiplicar un número natural por una fracción comprendida entre 0 y 1 (p. ej. 10 x 1/4),el resultado es menor que dicho número natural. Esto hecho aparentemente contradicela experiencia previa (con números naturales) de los estudiantes, según la cual, almultiplicar resulta siempre un número mayor.

Una de las grandes ideas de Estándares en el nivel intermedio es trabajar conproporciones. Los estudiantes deben llegar a ser competentes en la generación derazones y proporciones numéricas para hacer comparaciones en situaciones que serefieran a parejas de números, como en el siguiente problema:

Si con tres paquetes de café pueden hacerse quince tazas de café caliente,¿cuántos paquetes se necesitan para hacer sesenta tazas?

En el nivel intermedio, los estudiantes necesitan también aprender a operar connúmeros enteros. En el nivel superior, cuando aprendan a combinar aritméticamentevectores y matrices, experimentarán con otras clases de conjuntos en los que aparecennúmeros con propiedades y patrones nuevos. A medida que amplía su horizontematemático, que incluye cardinales, fracciones y decimales, así como lasoperaciones básicas, el estudiante comprende las ideas comunes que subyacenen todos estos conjuntos numéricos así como las diferencias que existen entreellos

OPERACIONES Y ESTIMADOS

Desarrollar fluidez requiere equilibrio y conexión entre la comprensión conceptual y lacompetencia de cómputo. Por un lado, los métodos de cómputos que se practicanrepetidamente sin comprenderlos, con frecuencia se olvidan o se recuerdanincorrectamente (Hiebert y Lindquist 1990). Por otro, comprender, pero no tener la

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fluidez necesaria para calcular, puede inhibir el proceso de resolución de problemas(Thornton 1990). A medida que los niños en todos los grados van comprendiendo elsignificado de los números naturales y de las operaciones de adición y sustracción, laenseñanza debería centrarse sobre estrategias de cómputos para desarrollar fluidez.Los estudiantes generarán una serie de estrategias interesantes y útiles para resolverproblemas de cómputos, que deberán compartirse y discutirse. Al final el segundogrado los niños, deberán conocer las combinaciones básicas de adición y sustracción,y tener destrezas de sumar y restar números de dos cifras.

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Entre el tercer grado y el sexto grado según van desarrollando las combinacionesnuméricas básicas respecto a la multiplicación y la división, tendrían también quedesarrollar algoritmos para resolver problemas aritméticos con eficacia y seguridad.Estos métodos deberán aplicarse a números mayores, y practicarse para adquirirfluidez.

Investigadores y maestros con experiencia coinciden en que cuando se anima a losestudiantes de los niveles elementales a desarrollar, registrar, explicar y criticar lasestrategias de resolución de problemas de cómputo, tiene lugar un número importantede tipos de aprendizaje. Debe discutirse la eficacia de las diversas estrategias. Eigualmente respecto a la generalización: ¿Funcionará esto con números cualesquierao sólo con los dos que intervienen en este caso? Y la experiencia enseña que en lasclases centradas en el desarrollo y discusión de las estrategias, surgen naturalmentevarios algoritmos “estándar” o pueden ser introducidos oportunamente por el maestro.El hecho es que los estudiantes han de llegar a tener fluidez con los cómputosaritméticos y métodos eficaces y precisos que se apoyen en la comprensión de losnúmeros y las operaciones. Los algoritmos “estándar” del cómputo aritmético son unmedio para alcanzar esta fluidez.

Entre los grados terceros al sexto, el desarrollo de los conceptos de número racional esun objetivo fundamental, lo que debería conducir a métodos informales de cómputo confracciones. Por ejemplo, un problema tal como calcular ¼ + ½ se resolveríamentalmente con facilidad, porque los estudiantes pueden imaginar ½ y ¼, o puedenutilizar estrategias de descomposición, tal como ¼ + ½ = ¼ + (¼ + ¼).

En estos grados, habría que desarrollar y aplicar los métodos de cómputo condecimales, y en el nivel intermedio los estudiantes deben adquirir fluidez operando connúmeros enteros y racionales, tanto en forma de fracción como en forma decimal. Enlos grados superiores, deben operar con fluidez con números reales, y tener ciertacompetencia básica con vectores y matrices para resolver problemas, utilizando latecnología cuando sea apropiado.

Parte de la capacidad de calcular con fluidez radica en decidir inteligentemente quéherramientas usar y cuándo usarlas. Los estudiantes deberán tener experiencias queles ayuden a aprender a elegir entre cómputo mental, estrategias de lápiz y papel,estimación y uso de la calculadora. El contexto, la pregunta y los números queintervengan desempeñan papeles importantes en esas decisiones. ¿Permiten losnúmeros un cómputo mental? ¿Pide el contexto una estimación? ¿El problemarequiere cómputos repetidos y tediosos? Los estudiantes deberán considerar loscontextos de los problemas para determinar si es necesario un resultado estimado oexacto, usar provechosamente su sentido numérico y ser capaces de dar racionalidad asus decisiones.

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ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ALGEBRAEl estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricasque incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios,empleando números, letras (variables) y signos.

El álgebra es una rama de las matemáticas que consiste de reglas formales en lasque se utilizan símbolos para representar números o variables. Este sistema derepresentación algebraico sirve para efectuar operaciones de solución de problemas.

El Álgebra tiene sus raíces históricas en el estudio de métodos generales para resolverecuaciones. El Estándar de Álgebra se centra en las relaciones entre cantidades-incluyendo las funciones-, las formas de representación de relaciones y funcionespueden expresarse usando la notación simbólica, lo que permite expresar ideasmatemáticas complejas y analizar el cambio. Actualmente, el trabajo en muchas áreasse apoya en los métodos e ideas del Álgebra. Por ejemplo, las redes de distribución ycomunicación, las leyes de la física, los modelos de crecimiento de población y losresultados estadísticos pueden expresarse en el lenguaje simbólico algebraico.Además, el Álgebra también tiene que ver con las estructuras abstractas y con el usode los principios referentes a éstas en la resolución de problemas expresados consímbolos.

Mucho del énfasis simbólico y estructural en el Álgebra puede construirse a partir de laexperiencia numérica de los estudiantes. Las ideas incluidas en el Estándar de Álgebraconstituyen un componente principal del currículo de la matemática escolar, y ayudan aunificarlo y darle coherencia. La competencia algebraica es importante en la vidaadulta, tanto para el trabajo como para la educación postsecundaria.

El estudiante del nivel elemental desarrolla intuitivamente las ideas de relacióny función, observando la regularidad y trabajando con patrones generalizables.Para lograr esto, necesita apoyarse en materiales concretos e ilustraciones. De estamanera puede reconocer y crear patrones y relaciones. A su vez, el niño observadiferentes representaciones del mismo patrón para identificar sus propiedades.

A la hora de generalizar una descripción, el niño usa letras y símbolos,preparándose así para el álgebra. Al reconocer patronesaprende nuevos conceptos, como identificación de color y forma, dirección,orientación, tamaño y relaciones numéricas. Los mismos le sirven para identificar,ampliar y crear patrones. Como resultado, el niñotoma conciencia de las estructuras geométricas como numéricas.

Al considerar el Álgebra como un bloque del currículo, desde Kindergarten, losmaestros pueden ayudar a los estudiantes a construir una sólida base de comprensióny experiencia, como preparación para un trabajo más complejo en Álgebra en losniveles intermedio y superior. Por ejemplo: Una experiencia sistemática con patrones

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puede ayudar a entender la idea de función en la experiencia con números y suspropiedades se fundamenta el trabajo posterior con símbolos y expresionesalgebraicos.

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Cuando los estudiantes aprenden que las situaciones pueden describirsefrecuentemente usando las matemáticas, pueden empezar a adquirir nocioneselementales de la construcción de modelos matemática. Muchos adultos equiparan elÁlgebra escolar con la manipulación de símbolos: resolver ecuaciones y simplificarexpresiones algebraicas. Definitivamente estamos de acuerdo que los símbolosalgebraicos y los procedimientos para trabajar con ellos son imprescindibles en elquehacer matemático, pero el Álgebra es más que manipular símbolos. Losestudiantes necesitan comprender los conceptos, las estructuras y principios que rigenla manipulación de los símbolos y cómo pueden usarse éstos para registrar ideas yampliar su comprensión de las situaciones.

Frecuentemente, el Álgebra no se trata explícitamente en el currículo escolar hasta elcurso tradicional de Álgebra en la escuela secundaria. Al promover que se estudiedesde los primeros niveles, el Programa de matemáticas apoya otras posibilidades dereconfigurar programas en el nivel secundario. En el nivel intermedio hay un mayorénfasis en el Álgebra, propone mucha más Geometría que la que hasta ahora se haofrecido normalmente, y aboga por la integración de ambas áreas. Los Estándarespara el nivel superior, describen un ambicioso programa de Álgebra, Geometría,Análisis de datos y Estadística, y hacen una llamada a la integración y la conexiónentre las ideas.

PATRONES, RELACIONES Y FUNCIONES

Las primeras experiencias clasificando y ordenando objetos resultan naturales einteresantes a los niños. Los maestros podrían ayudarlos a notar que la secuenciarojo-azul-azul-rojo-azul-azul puede ampliarse añadiendo otra secuencia rojo-azul- azul,o ayudarles a predecir que el duodécimo término es azul, considerando que el patrónrojo-azul-azul se repite indefinidamente. Inicialmente, los estudiantes pueden describirverbalmente la regularidad de patrones, más que con símbolos matemáticos (English yWarren 1998). Entre el cuarto y el sexto grado, pueden empezar a usar variables yexpresiones algebraicas cuando describen y amplían patrones. Al final de la escuelasecundaria, podría resultarles cómodo utilizar la notación de las funciones paradescribir relaciones.

En los primeros niveles, pueden describir patrones como 2, 4, 6, 8,… fijando la atenciónen cómo se obtiene un término a partir del anterior. Más tarde, es posible estudiarsucesiones que pueden definirse y calcularse mejor mediante la recursión; tal es elcaso de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,…en la que cada término es la sumade los dos términos anteriores.

A medida que los estudiantes avanzan hacia la escuela secundaria, deben desarrollarun catálogo de funciones, centrándose en la comprensión de las relaciones lineales enel nivel intermedio. Luego, deberán ampliar el repertorio y estudiar las característicasde diferentes tipos de funciones.

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Muchos estudiantes universitarios entienden la noción de función sólo como una reglao fórmula, como “dado n, hallar 2n , para n = 0, 1, 2 y 3” En el nivel intermedio, debenser capaces de comprender las relaciones entre tablas, gráficas y símbolos, yconsiderar las ventajas y desventajas de cada una de estas formas de representar lasrelaciones, según el caso particular. Trabajando con diversas representaciones(verbales, numéricas, gráficas y simbólicas) desarrollarán una comprensión más ampliade las funciones.

REPRESENTACION: EXPRESIONES, ECUACIONES E INECUACIONES

La comprensión de las propiedades de los números se desarrolla gradualmente desdeKindergarten hasta la escuela secundaria. Mientras los niños cuentan de dos en dos,pueden observar que los números resultantes terminan en 0, 2, 4, 6 u 8, y luego utilizaresta observación de tipo algebraico para ampliar el patrón. Entre los grados cuarto alsexto, al investigar las propiedades de las operaciones con números naturales, puedendescubrir que se puede multiplicar mentalmente 18 por 14 calculando 18 x 10 yañadiendo 18 x 4, esto es, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto a la adición.

La investigación sugiere que los estudiantes tienen dificultades con el concepto devariable por lo que es importante desarrollar la comprensión de tal concepto a través delos niveles. En los niveles elementales, lo típico es considerar que una variable es elsímbolo indicativo de un número determinado, como en + 2 = 11. Más tarde, debería

aprenderse que el uso de la variable x en la ecuación 3x + 2 = 11 es muy diferente deluso de la variable x en la identidad 0 x x = 0 y que ambos son completamentediferentes del uso de r en la fórmula A = p r2. La comprensión de la noción de variablerequiere mucho tiempo y necesita basarse en una amplia experiencia. La noción deigualdad debería también desarrollarse a lo largo del currículo. Como consecuencia dela enseñanza recibida, los niños perciben generalmente el signo igual desde un puntode vista operativo, es decir, como una señal para “hacer algo” Deberán llegar a verlocomo un símbolo de equivalencia y equilibrio.

Los estudiantes del nivel intermedio deben empezar a desarrollar destreza para hallarexpresiones equivalentes y resolver ecuaciones lineales, tanto mentalmente como conlápiz y papel. En la escuela secundaria, deberán adquirir fluidez operando consímbolos; a mano o mentalmente en los casos sencillos, y con programas simbólicosde ordenador en casos complicados. En general, si los estudiantes se ocupanexcesivamente de la manipulación simbólica antes de haber desarrollado un sólidofundamento conceptual para su trabajo, serán incapaces de hacer algo más quemanipular de forma mecánica (NRC 1998). La base para un trabajo útil con la notaciónsimbólica debería prepararse durante mucho tiempo.

MODELOS MATEMÁTICOS

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Uno de los usos más poderosos de las matemáticas es la construcción de modelos defenómenos físicos. Los estudiantes de todos los niveles deberán tener oportunidadesde modelar matemáticamente una amplia variedad de fenómenos, en la formaapropiada para cada nivel. En los niveles iniciales, pueden utilizar objetos, dibujos ysímbolos para modelar situaciones relativas a la adición y sustracción de númerosnaturales. Cuando los niños muestran la situación “José tiene 4 manzanas y Brunitiene 5 más” disponiendo fichas, están empezando a construir modelos.

Eventualmente, los estudiantes deberán usar modelos para hacer predicciones, extraerconclusiones o entender mejor situaciones cuantitativas. Estos usos de modelos iránaumentando en complejidad. Los estudiantes de la escuela secundaria deberán sercapaces de desarrollar modelos a partir de su conocimiento de muchos tipos defunciones - para decidir, por ejemplo, si un situación se puede modelar mejor medianteuna función lineal o una función cuadrática - y de extraer conclusiones acerca de lasituación analizando el modelo.

CAMBIO

Comprender el cambio es fundamental para comprender las funciones. El estudio delcambio se formaliza en Cálculo, cuando los estudiantes estudian el concepto dederivada. La investigación sugiere que la noción de cambio no es generalmentecomprendida con profundidad, incluso después de estudiar cómputo. Si las ideasrelativas al cambio reciben un enfoque más explícito desde los primeros niveles, quizáslos estudiantes lleguen, con el tiempo, a abordar el cómputo con una base más sólidapara entenderlo. Desde Kindergarten hasta el tercer grado, los niños pueden, alprincipio, describir cambios cualitativos (“crecí más durante el pasado verano”); luego,cambios cuantitativos (“el año pasado crecí dos pulgadas”). Mediante gráficas y tablas,los estudiantes entre el cuarto y el sexto grado pueden empezar a observar y describircambios; por ejemplo, en la forma de crecer una planta: “crece despacio, luego másdeprisa, después va más despacio.“ Y cuando examinan sucesiones, pueden distinguirente crecimiento aritmético (2, 5, 8, 11, 14, …) y crecimiento geométrico (2, 4, 8, 16,…). Con una considerable atención a la linealidad en el nivel intermedio, losestudiantes podrán aprender que la pendiente representa la razón de cambio constantede las funciones lineales, y estar así preparados para estudiar, en la escuelasecundaria, tipos de funciones en los que la razón de cambio no es constante.

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 3: GEOMETRÍAEl estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar susestructuras, características, propiedades y relaciones para entender ydescubrir el entorno físico.

El Estándar de Geometría presenta una amplia visión del poder de la geometría, elcual invita a los estudiantes a analizar características de las figurasgeométricas y desarrollar argumentos acerca de las relaciones geométricas; asícomo a usar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos geométricos

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para resolver problemas. La geometría es un área de las matemáticas quepermite el desarrollo natural de las habilidades de razonamiento y justificación en losestudiantes.

A través del estudio de la Geometría, los estudiantes aprenderán sobre las formas yestructuras geométricas y cómo analizar sus características y relaciones. Lavisualización espacial, esto es, construir y manipular mentalmente representaciones deobjetos de dos y tres dimensiones y percibir un objeto desde perspectivas diferentes,es un aspecto importante del pensamiento geométrico.

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La Geometría es el lugar natural para el desarrollo del razonamiento y de lashabilidades para la justificación, culminando en la enseñanza secundaria con el trabajocon demostraciones. La construcción de modelos geométricos y el razonamientoespacial ofrecen vías para interpretar y describir entornos físicos y pueden constituirherramientas importantes en la resolución de problemas.

Las ideas geométricas son útiles para representar y resolver problemas en otras áreasde las matemáticas y en situaciones del mundo real; por eso, la Geometría deberíaintegrarse, cuando sea posible, con otras áreas. Las representaciones geométricaspueden servir de ayuda para dar sentido a las nociones de área y de fracción; loshistogramas y las nubes de puntos pueden ayudar a formarse una idea sobre unconjunto de datos, y las representaciones en ejes de coordenadas pueden servir paraconectar la Geometría y el Álgebra. El razonamiento espacial es útil en el empleo demapas, la planificación de rutas, el diseño de planos y la creación artística. Losestudiantes pueden aprender a ver la estructura y la simetría a su alrededor. Usandomodelos concretos, dibujos y programas informáticos de Geometría dinámica, puedenimplicarse activamente con las ideas geométricas. Con actividades bien diseñadas, lasherramientas apropiadas y el apoyo de sus maestros, pueden formular y explorarconjeturas sobre Geometría y aprender a razonar cuidadosamente sobre ideasgeométricas, desde los primeros años de escolaridad. La Geometría es más quedefiniciones; es describir relaciones y razonar. La idea de construir el conocimientogeométrico a través de los niveles, desde el pensamiento informal al más formal, estáde acuerdo con lo que opinan teóricos e investigadores (Burger y Shaughnessy 1986;Fuys, Geddes y Tischler 1988; Senk 1989; van Hiele 1986).

La Geometría ha sido considerada durante mucho tiempo como el lugar del currículoescolar donde los estudiantes aprenden a razonar y a ver la estructura axiomática delas matemáticas. El Estándar de Geometría incluye un enfoque intenso sobre eldesarrollo cuidadoso del razonamiento y la demostración, utilizando definiciones yestableciendo hechos. La tecnología desempeña también un papel importante en laenseñanza y el aprendizaje de la Geometría. Herramientas como un programado deGeometría dinámica, capacitan para modelar una gran variedad de figuras de dosdimensiones y para tener una experiencia invectiva con ellas. Usando tecnología, losestudiantes pueden generar muchos ejemplos como un medio de establece r y explorarconjeturas, pero es importante que se den cuenta de que generar muchos ejemplos deun determinado fenómeno no constituye una demostración. La visualización y elrazonamiento espacial se enriquecen mediante la interacción con animaciones deordenador y en otros contextos tecnológicos.

FORMAS GEOMÉTRICAS, PROPIEDADES Y ARGUMENTOS MATEMÁTICOS

Los niños tienen una inclinación natural a observar y describir una diversidad de figurasy empezar a fijarse en sus propiedades. Identificar figuras es importante, pero tambiéndebería ser intenso el enfoque sobre sus propiedades y relaciones. Por ejemplo, desde

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Kindergarten al nivel 2, los niños pueden observar que los rectángulos son apropiadospara embaldosar porque tienen cuatro ángulos rectos.

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En estos niveles, pueden aprender sobre las figuras geométricas utilizando objetos quepuedan verse, sostenerse y manipularse. Más tarde, el estudio de los atributos de lasfiguras y de sus propiedades se hace más abstracto. En niveles posteriores, el estudiopuede centrarse en los componentes de las figuras, como lados y ángulos, y en laspropiedades de las clases de figuras. Por ejemplo, por medio de objetos o programasde geometría dinámica para experimentar con varios rectángulos, los estudiantes delos niveles 3-5 podrían ser capaces de conjeturar que siempre los rectángulos tienendiagonales congruentes que se cortan en su punto medio.En el nivel secundario, cuando estudian temas como la semejanza y la congruencia, losestudiantes deberán aprender a utilizar el razonamiento deductivo y técnicas dedemostración más formales para resolver problemas y probar conjeturas. En todos losniveles, deberán aprender a dar explicaciones convincentes para sus conjeturas ysoluciones. Al finalizar sus estudios escolares, deberán ser capaces de describir,representar e investigar relaciones dentro de un sistema geométrico, y de expresarlas yjustificarlas con argumentos lógicas. Y, también, de comprender el papel de lasdefiniciones, axiomas y teoremas, y de elaborar sus propias demostraciones.

LOCALIZACIÓN Y RELACIONES ESPACIALES

Al principio, los niños aprenden nociones de posición relativa como arriba, detrás, cercay entre. Más tarde, pueden hacer y usar rejillas rectangulares para localizar objetos ymedir la distancia entre puntos situados en rectas horizontales o verticales. Lasexperiencias con el plano de coordenadas rectangulares les serán de gran utilidadcuando resuelvan problemas más complejos de Geometría y Álgebra. Desde el cuartogrado en adelante, el plano de coordenadas puede ser útil cuando trabajen en eldescubrimiento y análisis de propiedades de las figuras. Es importante que leestudiante aprenda a hallar distancias entre puntos del plano al usar escalas sobremapas o la relación pitagórica. En el nivel intermedio, pueden representarse rectasanalíticamente, y en la escuela superior, triángulos y círculos; de este modo seestablece una conexión fundamental entre Álgebra y Geometría.

Los estudiantes deben adquirir experiencia en el uso de una gran variedad derepresentaciones visuales y de coordenadas para analizar problemas y estudiarmatemáticas. En los niveles elementales, por ejemplo, puede mostrarse unainterpretación de la suma de números naturales mediante la recta numérica, y éstapuede utilizarse más tarde para representar operaciones con otros tipos de números.Entre los grados tercero al sexto, las cuadrículas y las configuraciones de puntospueden ayudar a los estudiantes a entender la multiplicación. Más tarde, puedenconsiderarse problemas más complejos. Por ejemplo, al tratar de minimizar la distanciaque tendría que recorrer una ambulancia para llegar a un nuevo hospital desdecualquier lugar del barrio, los estudiantes pueden utilizar distancias medidas en lascalles. En la escuela secundaria, podría pedirse a los estudiantes que hallaran la rutamás corta de un avión, entre dos ciudades, y que compararan los resultados usando unmapa, con los obtenidos usando un globo terráqueo. Si se tratara de minimizar lasdistancias a varias ciudades viajando en carro, podrán usarse grafos. Los estudiantes

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de la escuela secundaria deberán utilizar coordenadas cartesianas, tanto para resolverproblemas como para verificar sus resultados.

TRANSFORMACIONES Y SIMETRÍA

Los niños llegan a la escuela con ideas intuitivas sobre cómo pueden moverse lasfiguras. Pueden explorar movimientos como deslizamientos, reflexiones y giros usandoespejos, plegado de papel y papel de calco. Más tarde, su conocimiento sobre lastransformaciones debería llegar a ser más formal y sistemático. Entre el cuarto grado yel sexto, los estudiantes pueden investigar los efectos de las transformaciones yempezar a describirlos en términos matemáticos. Mediante programados de geometríadinámica, los estudiantes pueden empezar a aprender qué atributos se necesitan paradefinir una transformación. En el nivel secundario, deberán aprender a comprender loque significa que en una transformación se conserve la distancia, como ocurre en lastraslaciones, las rotaciones y las reflexiones. En secundaria, deberán aprenderdiversas formas de expresar las transformaciones, incluyendo el empleo de matricespara mostrar cómo se transforman las figuras en el plano de coordenadas, así como lanotación de función. También, deberán empezar a comprender los efectos de lacomposición de transformaciones. Y, en todos los niveles, una adecuadaconsideración de la simetría proporciona una mejor comprensión en el campo de lasmatemáticas, del arte y de la estética.

RAZONAMIENTO ESPACIAL Y MODELOS GEOMÉTRICOS

En los primeros años, los niños deberán desarrollar destrezas de visualización a travésde experiencias con distintos objetos geométricos y mediante tecnología que lespermita girar, reducir y deformar figuras de dos y tres dimensiones. Más tarde,desarrollarán confianza analizando y dibujando vistas en perspectiva, enumerando suscomponentes y describiendo atributos que no pueden verse pero sí inferirse. Losestudiantes, a medida que desarrollan sus conocimientos sobre congruencia,semejanza y transformaciones, necesitan aprender, física y mentalmente, a cambiar laposición, la orientación el tamaño de los objetos de forma sistemática.

Un aspecto fundamental de la visualización espacial requiere tratar con figuras de dos ytres dimensiones y sus representaciones. Los niños de la escuela elemental puedenplegar las figuras de dos dimensiones, usualmente hechas de papel, para formarobjetos tridimensionales, como un paso para aprender a predecir si ciertos desarrolloscorresponden a determinados cuerpos. Eventualmente, los estudiantes deberáninterpretar y dibujar perspectivas de objetos desde arriba y de lado. Esta habilidadpuede desarrollarse retándoles a construir una estructura dándoles solamenteperspectivas de frente y de lado. En los niveles intermedios y en la enseñanzasecundaria, se les puede pedir averiguar el mínimo número de bloques necesario paraconstruir la estructura. En la escuela secundaria, los estudiantes deberán ser capacesde visualizar y dibujar otras secciones transversales de las estructuras y una variedadamplia de cuerpos geométricos.

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ESTÁNDAR DE CONTENIDO 4: MEDICIÓNEl estudiante es capaz de utilizar sistemas, herramientas y técnicas demediciónpara establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos.

El estudio de la medición es fundamental en el currículo de matemática debido asus aplicaciones en muchos aspectos de la vida. El Estándar de Medición incluye lacomprensión de los atributos, unidades, sistemas y procesos de medición, así comola aplicación de técnicas, herramientas y fórmulas para determinar medidas. Lamedición es el empleo de diversas unidades, mediante las cuales se evalúa laspropiedades de un objeto, asignando valores numéricos. A través de este estándar,el estudiante es capaz de entender los procesos matemáticos incluidos alpresentar, estimar, realizar cómputos y relacionar números y sistemas numéricos.

La medición puede servir como una forma de integrar los diferentes dominios dela matemática, debido a que ofrece oportunidades de aprender y aplicar esteconocimiento en otras áreas de las matemáticas como la numeración, la geometría,las funciones y las estadísticas.

La medición consiste en asignar un valor numérico a un atributo de un objeto; porejemplo, a la longitud de un lápiz. A niveles más complejos, la medición supone laasignación de un número a una característica de una situación; tal es el caso, porejemplo, del índice de precios al consumo. En este Estándar se hace énfasisprincipalmente en la comprensión de qué es un atributo medible y en llegar afamiliarizarse con las unidades y procesos usados en la toma de medidas. DesdeKindergarten al noveno grado, los estudiantes deberán llegar a ser hábiles en el uso deinstrumentos, técnicas y fórmulas para medir, en situaciones diversas.

El estudio de la Medición, desde Kindergarten hasta la escuela superior, es importantedebido a su práctica y su presencia constante en muchos aspectos de la vida diaria.Ofrece también la oportunidad de aprender y aplicar otros aspectos de lasmatemáticas, como las operaciones con números, las ideas geométricas, los conceptosestadísticos y las nociones de función. Resalta las conexiones dentro de lasmatemáticas y entre éstas y otras áreas como las ciencias sociales, las ciencias, el artey la educación física.

La medición se presta especialmente al uso de materiales concretos. De hecho, esimprobable que los niños puedan llegar a tener un entendimiento profundo de ella sinmanipular materiales, hacer comparaciones físicamente y utilizar instrumentos demedida. Los conceptos relativos a la medida deberán crecer en complejidad y amplituda través de los niveles, y los programas de enseñanza no deberán repetir el mismocurrículo de medida año tras año. Sin embargo, el énfasis debería ser mayor en elnivel elemental que en el nivel superior.

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UNIDADES Y SISTEMAS DE MEDIDA

Un atributo mensurable de una característica cuantificable de un objeto. Lossegmentos de recta tienen longitud, las regiones planas tienen área y los objetos físicostienen masa. Según los estudiantes avanzan en sus estudios, debería ampliarse elconjunto de atributos a medir. Reconocer que los objetos poseen atributos medibles esel primer paso en el estudio de la medida. Durante los años que van del Kindergartenal tercer grado, los niños empiezan por comparar y ordenar objetos utilizandoexpresiones como más largo y más corto. En esta etapa, la longitud debería ser elcentro de atención, aunque deberán también explorarse el peso, el tiempo, el área y elvolumen. En los próximos grados, deberán aprender más a fondo lo relativo al área,perímetro y volumen, y a la temperatura y la medida de ángulos. También aprendenque las medidas pueden obtenerse por medio de fórmulas, y que no siempre esnecesario hacerlas directamente con instrumentos de medida. Eventualmente, losestudiantes se basan en estas primeras experiencias para continuar su estudio delperímetro, área y volumen, y empezar a explorar magnitudes derivadas, como lavelocidad. Deberán también llegar a ser competentes midiendo ángulos y en lacomprensión de las relaciones entre ángulos. En secundaria, deberán comprendercómo las decisiones sobre la unidad de medida y la escala, pueden afectar a lasmedidas. Cualquiera que sea el nivel, los estudiantes deberán tener muchasexperiencias informales para la comprensión de los atributos, antes de utilizarinstrumentos para medirlos o recurrir a fórmulas para hacerlo.

A medida que los estudiantes avanzan en sus estudios en la escuela, no sólo debeampliarse el repertorio de atributos medibles, sino que debería también desarrollarse lacomprensión de las relaciones entre atributos. En los niveles elementales, se puedeexplorar cómo el cambio en los atributos de un objeto, afecta a ciertas medidas. Porejemplo, separando y reagrupando de otra forma las piezas de una figura, puedecambiar el perímetro pero no cambia el área. En los niveles medios, puede ampliarseesta idea explorando cómo puede variar la superficie de un prisma rectangular ypermanecer constante el volumen. Tales observaciones pueden ofrecer una primeravisión de conceptos matemáticos complejos, tales como la invariabilidad bajo ciertastransformaciones.

Las unidades que utilizan los estudiantes para medir y las formas en que las utilizandeberán ampliarse y cambiar a medida que avanza sus estudios en el nivel elementalEn este nivel, los niños deberán empezar el estudio de la medida usando unidades noconvencionales. Debe animárseles a emplear una variedad de objetos; por ejemplo:sujetapapeles para medir longitudes, losetas cuadradas para medir áreas y vasos depapel para la medida de volúmenes. También deberán tener oportunidades de usarcentímetros, libras y horas. La “estandarización” de las unidades debería surgir mástarde, cuando los estudiantes se den cuenta, por ejemplo, que utilizando el pie de Abelpara medir el largo de la clase, da un resultado distinto que haciéndolo con el pie deElvira. Estas experiencias les ayudan a ver la conveniencia y coherencia del uso de lasunidades estándar. Mientras que avanzan hacia el nivel secundario, deberán aprender

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a usar las unidades convencionales para medir nuevos atributos como el volumen y ladensidad. En la escuela secundaria, al medir atributos abstractos, deberán emplearunidades más complejas, tales como la libra por pulgada cuadrada y el día porpersona.

A veces, los niños tienen dificultad para entender que para medir atributos diferentes,se necesitan unidades distintas. Aprender cómo elegir la unidad apropiada es parteimportante de la comprensión de la medida. En los grados elementales, debe aprenderque la longitud puede medirse mediante instrumentos lineales, pero el área no sepuede medir directamente así; deberán ver que para medir áreas necesitarán unidadescuadradas. Los estudiantes del cuarto al sexto grado medios deberán aprender que lasunidades cuadradas no sirven para la medida de volúmenes, y deberán explorar elempleo de unidades cúbicas. En todos los niveles, los estudiantes tendrían queaprender a hacer elecciones convenientes de unidades o escalas, dependiendo de lasituación del problema; una elección adecuada es algo importante. Por ejemplo,aunque la longitud de un campo de fútbol puede medirse en centímetros, el resultadopuede ser difícil de interpretar y usar. Al finalizar la enseñanza elemental, losestudiantes deberán tener un conocimiento razonable del papel de las unidades en lasmediciones.

El sistema métrico posee una organización interna sencilla y coherente. Cada unidadse relaciona siempre con la unidad anterior mediante una potencia de 10: un centímetroes diez veces mayor que un milímetro, un decímetro es diez veces mayor que uncentímetro, y así sucesivamente.

Dado que el sistema de medidas inglés es todavía predominante en Puerto Rico, losestudiantes deberán aprender ambos sistemas y conocer algunas equivalenciasaproximadas entre uno y otro; por ejemplo, saber que una botella de dos litros derefresco es algo más que medio galón. El estudio de los dos sistemas empieza en laescuela elemental, y los estudiantes deberán aprender a hacer conversiones simplesde uno a otro. Luego del cuarto grado deben llegar a tener destreza en estasconversiones y aprender algunas referencias útiles para efectuarlas. El estudio de lossistemas de medida puede contribuir a entender aspectos del sistema decimal denumeración, como el del valor posicional. Al hacer conversiones, los estudiantesaplican su conocimiento de las proporciones.

El importante que el estudiante comprenda que toda medida es una aproximación.Deben familiarizarse con esta noción en entre el cuarto y el sexto grado medianteactividades en las que midan determinados objetos, comparen sus medidas con lasobtenidas por otros y observen que muchos de los valores no concuerdan. De ladiscusión en clase de estas observaciones pueden extraerse ideas sobre la precisión yla exactitud. En el nivel intermedio, debe continuarse desarrollando una comprensiónde las medidas como aproximaciones. Luego del noveno grado, los estudiantesdeberán llegar a reconocer la necesidad de utilizar un número significativo de cifrasdecimales cuando calculan con medida.

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TÉCNICAS Y FÓRMULAS PARA LA MEDICIÓN

Las técnicas de medición son estrategias usadas para determinar una medida, talescomo contar, estimar y utilizar fórmulas o instrumentos. Estos últimos son lo que lamayoría de la gente asocia con la medición; entre otros: reglas graduadas, cintasmétricas, recipientes, escalas, relojes y cronómetros. Las fórmulas son relacionesgenerales que proporcionan medidas cuando se especifican valores para las variablesque intervienen en ellas.

En los primeros grados, los estudiantes deberán aprender a utilizar una variedad detécnicas, incluyendo contar y estimar, y de instrumentos como las reglas graduadas, lasescalas y los relojes analógicos. En los niveles elemental e intermedio, deberáncontinuar usando estas técnicas y desarrollar otras. Además, deben empezar aadaptar sus instrumentos corrientes e inventar técnicas nuevas para hallar medidasmás complicadas. Por ejemplo, podrían usar papel cuadriculado transparente parahacer un cómputo aproximado del área de una hoja de árbol. Los estudiantes de losniveles medios pueden utilizar las fórmulas del área del triángulo y del rectángulo paracalcular la de un trapecio. Una técnica importante de medición en Secundaria es la deaproximaciones sucesivas, precursora de conceptos del Cálculo.

Los estudiantes de los niveles elementales deberán empezar a desarrollar fórmulaspara el cómputo de perímetros y áreas. Luego del cuarto grado, deberán formalizarestas técnicas y desarrollar fórmulas para determinar el área y el volumen de prismas ycilindros. Muchos niños de los niveles elementales tienen dificultad para entender lasnociones de perímetro y área. Frecuentemente, estos niños emplean fórmulas como P= 2l+ 2a o A = l x a sin entender cómo se relacionan estas fórmulas con el atributo quese está midiendo o con la unidad de medida que se está utilizando. Los maestrostienen que ayudarles a ver las conexiones entre la fórmula y el objeto real. En laescuela secundaria, cuando se usan fórmulas para resolver problemas, los estudiantesdeberán darse cuenta que las unidades de medida se comportan como las variables enlos procesos algebraicos, y que pueden usar esta observación para organizar susconversiones y cómputos.

La estimación de medidas es otra técnica que debería desarrollarse. Las actividadesde estimación, desde Kindergarten hasta tercer grado, deberán centrarse en ayudar alos niños a que comprendan mejor el proceso de toma de medidas y el papel quedesempeña el tamaño de la unidad que se emplee. En la escuela elemental y en laintermedia, deberán darse muchas oportunidades a los estudiantes para hacerestimaciones por comparación con alguna referencia. Por ejemplo, un alumno podríaestimar la altura del maestro observando que es una vez y media más alto que él.

Entre cuarto y el sexto grado, deberán usarse mapas y hacerse dibujos sencillos aescala. En el nivel intermedio, los estudiantes deberán ampliar sus conocimientos delempleo de escalas para resolver problemas que conlleven factores de escala. Estos

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problemas pueden ayudarles a dar sentido a las relaciones de proporcionalidad y adesarrollar una comprensión de la semejanza.

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En la escuela secundaria, deberán estudiarse aspectos más complejos del uso deescalas, incluyendo el efecto del cambio de escala en un problema. También deberánllegar a entender los cambios no lineales de escala, tales como el de escalalogarítmica, y cómo se usan tales técnicas en el análisis de datos y en la construcciónde modelos.

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 5: ANÁLISIS DE DATOS YPROBABILIDADEl estudiante es capaz de utilizar diferentes métodos de recopilar,organizar, interpretar y presentar datos para hacer inferencias y conclusiones.

El razonamiento estadístico es esencial para desempeñarse como un ciudadano yun consumidor informado. El estándar Análisis de Datos y Probabilidad lleva alos estudiantes a formularse preguntas acerca de diferentes temas y recolectar,organizar y mostrar datos relevantes para responderse esas preguntas. Además,este estándar enfatiza el aprendizaje de métodos estadísticos apropiados paraanalizar datos, hacer inferencias y predicciones basadas en los datos; comprendery usar los conceptos básicos de probabilidad.

Este estándar conduce a que los estudiantes formulen preguntas que puedancontestarse mediante datos y que afronten lo que esto requiere: la recolección de losdatos y su uso apropiado. Deberán aprender a recolectar datos, organizar los propios ylos ajenos, y representarlos en gráficas y diagramas que resulten útiles para respondera las preguntas. Incluye también el aprendizaje de algunos métodos para analizar losdatos y algunas formas de hacer inferencias y obtener conclusiones a partir de ellos.También se abordan los conceptos y las aplicaciones básicos de la Probabilidad,haciendo énfasis en cómo se relacionan ésta y la Estadística.

Es abrumador el número de datos disponible para ayudar a tomar decisiones en losnegocios, la prensa, la política, la investigación y la vida ordinaria. Las encuestassobre consumo orientan el desarrollo y el estudio de mercado de los productos. Lossondeos de opinión contribuyen a definir estrategias en las campañas políticas. Losexperimentos se usan para valorar la seguridad y eficacia de nuevos tratamientosmédicos. Las estadísticas se manipulan frecuentemente con objeto de influir en laopinión pública o sobrevalorar la calidad y eficacia de los productos comerciales. Losestudiantes necesitan saber Análisis de datos y otros aspectos relativos a laProbabilidad para poder razonar estadísticamente. Son habilidades necesarias parallegar a ser ciudadanos bien informados y consumidores inteligentes.

Para comprender las ideas estadísticas fundamentales, los estudiantes deben trabajardirectamente con datos. En énfasis del trabajo con datos acarrea el que losestudiantes encuentren nuevas ideas y procedimientos nuevos según progresan através de los niveles, en lugar de repasar las mismas actividades y los mismos tópicos.El Análisis de datos y la Estadística permiten a maestros y estudiantes establecerconexiones importantes entre ideas y procedimientos sobre Números, Álgebra,

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Medición y Geometría. Trabajar con el Análisis de datos y con la Probabilidad ofrece alos estudiantes una forma natural de conectar las matemáticas con otras asignaturas ycon las experiencias de la vida cotidiana.

Además, los procesos inherentes a los datos y la estadística servirán a los estudiantesen el trabajo y en la vida. Algunas de las cosas que los niños aprenden en la escuelales parecen predeterminadas y acotadas por reglas. Al estudiar Análisis de datos yEstadística, pueden también aprender que las soluciones a algunos problemasdependen de las hipótesis que se establezcan y tienen cierto grado de incertidumbre.

REPRESENTACIÓN DE DATOS

Los niños sienten una curiosidad natural acerca de su mundo; por eso formulan confrecuencia preguntas como éstas: ¿cuántos?, ¿cuánto cuesta?, ¿qué clase de…?,¿cuál de éstos? Tales preguntas proporcionan la oportunidad para empezar el estudiodel Análisis de datos y de la Probabilidad. A los niños les gusta hacer preguntas sobrecosas cercanas a su experiencia, como qué clase de mascotas tienen sus compañeroso cuáles son sus pizzas favoritas. A medida que avanzan en los niveles deescolaridad, las preguntas que hacen para investigar pueden basarse en hechos eintereses corrientes. Por ejemplo, los estudiantes pueden interesarse por el reciclaje,la conservación o las reclamaciones a los fabricantes. Pueden hacer preguntas como¿es mejor usar platos de papel o de plástico en la cafetería? ¿qué tipo de batería duramás? En el nivel secundario estarán preparados para proponer e investigar problemasque exploren temas complejos.

Los niños pueden diseñar planes simples de recolección de datos para tratar deresponder a las preguntas planteadas. En los primeros niveles, el maestro podríaayudar a formular la pregunta o proporcionar hojas de registro, listados o diagramas, enlos que anotar los datos recogidos. Los “datos” podrían ser objetos reales, tales comolos zapatos de los niños presentados en un diagrama de barras, o los propios niñoscolocados por áreas de interés. A medida que van pasando de nivel, deberán invertirmás tiempo planificando la recogida de datos y evaluando cómo funcionan susmétodos para obtener información sobre las preguntas. En los niveles medios, sedebería trabajar más con datos recogidos por otros o generados mediantesimulaciones. En la escuela superior, deberán comprender los diversos propósitos delas encuestas, los estudios de observación y los experimentos.

Una idea fundamental en el nivel elemental, es que los datos pueden organizarse uordenarse, y que el “cuadro” resultante proporciona información sobre el fenómeno o lapregunta. Eventualmente a medida que progresa el estudio de esta estándar en elnivel elemental, los niños deberán adquirir destreza en la representación de sus datos,utilizando con frecuencia diagramas de barra, tablas o diagramas de puntos. Deberánaprender lo que significan los diferentes números, símbolos y puntos. Es un gran pasoreconocer que algunos números representan los valores de los datos, y que otrosrepresentan la frecuencia con que se presentan tales valores. Cuando los estudiantes

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empiecen a comprender las formas de representación de datos, estarán preparadospara comparar dos o más conjuntos de éstos. Los libros, los periódicos, la Internet yotros medios, están llenos de representaciones de datos y, al final de la etapaelemental, los niños deben aprender a leerlas y comprenderlas.

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Los estudiantes del nivel intermedio deberán empezar a comparar la eficacia dediversas clases de representaciones, al organizar los datos para un análisis posterior oal exponerlos con claridad a un auditorio. Cuando los estudiantes traten con conjuntosde datos mayores o más complejos, pueden registrarlos y representarlos rápidamenteen gráficos utilizando la tecnología, ya así, poder centrarse en el análisis de estos datosy en comprender lo que significan.

ANÁLISIS DE DATOS

Aunque los niños están frecuentemente más interesados en su propia muestra dedatos en un gráfico (hay cinco personas en mi familia), colocando la información detodos los estudiantes en un lugar se atrae la atención hacia el conjunto de datos. Mástarde, deberán empezar a describir el conjunto de datos como un todo. Aunque estatransición no es tan fácil, los estudiantes pueden, por ejemplo, observar que “vienenmás estudiantes en autobús a la escuela que de todas las otras formas juntas”.Deberán ir comprendiendo el significado de la agregación de datos. A medida que losmayores empiezan a ver un conjunto de datos como un todo, necesitan herramientaspara describirlo. Las medidas de centralización (media, mediana y moda) y dedispersión (rango, desviación típica), y los atributos sobre la forma de la distribución dedatos llegan a ser útiles a los estudiantes como descriptores. En los niveleselementales, los conocimientos de los estudiantes se pueden basar en ideasinformales como las de mitad, concentración o punto de equilibrio. Con mayorcomplejidad en la escuela secundaria, los estudiantes deberán elegir estadísticosespecíficos de acuerdo con las cuestiones que han de contestar.

Los estudiantes deberán aprender lo que significa hacer comparaciones estadísticasválidas. En los niveles elementales, podrían decir que un grupo tiene más o menosque otro de un determinado atributo. Luego, deberán cuantificar estas diferenciascomparando estadísticas específicas. Eventualmente, se debería pasar de analizar ydescribir un conjunto de datos a comparar dos o más conjuntos. Según se va pasandoa la escuela secundaria, los estudiantes necesitarán nuevas herramientas paraidentificar semejanzas y diferencias entre los conjuntos de datos; entre ellas,histogramas, gráficos de tronco, gráficos de caja y nubes de puntos.

También necesitarán investigar asociaciones y tendencias en datos bivariantes,incluyendo nubes de puntos y líneas de ajuste, y análisis de residuos y correlación enel nivel superior.

INFERENCIAS Y PREDICCIONES

Los estudiantes deberán llegar a comprender los elementos básicos del análisisestadístico: seleccionar una muestra adecuada, recoger datos de esta muestra,describir la muestra y hacer inferencias razonables que relacionen la muestra y lapoblación. Al principio, los niños trabajan con más frecuencia con datos censales; porejemplo, con una encuesta sobre la clase de helados favorita de cada niño de la clase.

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La noción de que la clase puede considerarse como una muestra de una poblaciónmayor, no es obvia en estos primeros niveles.

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Los estudiantes mayores de la escuela elemental y los de los niveles medios, puedenllegar a adquirir nociones sobre inferencia estadística, pero desarrollar la comprensiónde la idea del proceso de muestreo es difícil. Las investigaciones han puesto demanifiesto que los estudiantes entre los grados cuarto a octavo suponen que su propiojuicio es más digno de crédito que la información que se obtiene de los datos. Al finaldel nivel intermedio y en la enseñanza secundaria, los estudiantes deberán utilizar lasideas de selección de muestras e inferencia estadística, y empezar a comprender quehay maneras de cuantificar el grado de certeza de los resultados estadísticos.

En el nivel superior, los estudiantes deberán usar simulaciones para aprender sobredistribuciones de muestras y hacer inferencias informales. En particular, deberán saberque las técnicas estadísticas básicas se utilizan para controlar la calidad en el mundolaboral. Deberán graduarse de la escuela secundaria capacitados para juzgar la validezde los argumentos basados en datos, como lo que aparecen en la prensa.

PROBABILIDAD

La probabilidad está conectada a otras áreas de las matemáticas, sobre todo a losNúmeros y la Geometría. Sus ideas sirven de base a la recolección, descripción einterpretación de datos.

En los primeros grados, las ideas sobre la probabilidad deberán tratarse de manerainformal. Los maestros deberán basarse en el vocabulario en desarrollo de los niños,para introducir y resaltar nociones de probabilidad; por ejemplo: probablementetendremos recreo esta tarde o es improbable que llueva hoy. Los niños puedenempezar a construir un cierto conocimiento de la probabilidad y el azar haciendoexperimentos con objetos concretos, tales como sacar fichas coloreadas de una bolsa.A medida que avanzan sus estudios en el nivel elemental, los estudiantes puedenconsiderar ideas de probabilidad mediante experimentos (usando monedas, dados ospinners) con resultados teóricos conocidos o a través de designar sucesos familiarescomo posibles, improbables, probables o ciertos. Los de los niveles medios, deberánaprender y usar la terminología apropiada y ser capaces de calcular probabilidades desucesos compuestos sencillos, como el número de veces que se espera que salgandos caras cuando se lanzan dos monedas al aire 100 veces. En grados másavanzados, deberán calcular probabilidades de sucesos compuestos y entender lossucesos condicionados e independientes. Los estudiantes deberán poder avanzardesde situaciones en las que la probabilidad de un suceso se puede determinarfácilmente, a situaciones en las que la toma de muestras y las simulaciones les ayudana cuantificar la probabilidad de un resultado incierto.

Muchos de los fenómenos con los que se encuentran los estudiantes especialmente enla escuela, tienen resultados predecibles. Cuando se lanza una moneda no cargada,es igualmente probable que salga cara o cruz. Lo que resultará de un lanzamientodeterminado es incierto; incluso si en diez lanzamientos seguidos ha salido siemprecara, para mucha gente va contra la intuición que el lanzamiento undécimo tenga sólo

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un 50% de posibilidades de salir cruz. Si un suceso es aleatorio y se repite muchas,muchas veces, la distribución de resultados forma una tendencia. La idea de que lossucesos individuales no son predecibles en tal situación, sino que sólo puedepredecirse una tendencia, es un concepto importante que sirve de fundamento alestudio de la inferencia estadística.

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Implicaciones de los Estándares y Expectativas de Grado

Los Estándares y la Equidad: Grandes expectativas para TODOS

Hacer realidad de que estos Estándares y Expectativas sean para todos losestudiantes, desde el Kindergarten hasta el nivel superior, no sólo es un objetivofundamental sino también un importante reto. Alcanzar este objetivo requiere aumentarlas expectativas de aprendizaje para todos los estudiantes, desarrollar métodosefectivos de apoyo, y proporcionar, a estudiantes y maestros, los recursos necesarios.

Todos los estudiantes, independientemente de sus características, impedimentos,limitaciones lingüísticas y/o circunstancias personales, deben tener oportunidades paraestudiar matemáticas y apoyo para aprenderlas. La equidad no significa que todosdeban recibir la misma instrucción; por el contrario, exige que se hagan adaptacionesrazonables y apropiadas para proporcionar la posibilidad a todos los estudiantes dealcanzar las expectativas que esbozamos en este documento.

Todos los estudiantes necesitan acceder cada año a un currículo coherente yestimulante, enseñado por maestros de matemáticas competentes y de alta calidad.Además, el aprendizaje y aprovechamiento de los estudiantes deberán ser evaluados einformados de manera que se señalen las áreas que requieran una atención adicionalinmediata.

Equidad en educación matemática supone un reto frente a una creencia, muyextendida en nuestra sociedad, de que sólo algunos estudiantes son capaces deaprender matemáticas. Esto, conduce a bajas expectativas para demasiadosestudiantes. Las bajas expectativas son especialmente problemáticas, ya que losestudiantes pobres, los que no tienen dificultades con el idioma, los que sufren algunadiscapacidad, las mujeres, los estudiantes con bajos niveles de pobreza, losestudiantes que siguen estudios en escuelas vocacionales y otros estudiantes, hantenido tradicionalmente muchas más probabilidades de ser las víctimas, que suscolegas de otros grupos demográficos. Las expectativas tienen que aumentar: lasmatemáticas pueden y deben ser aprendidas por todos los estudiantes.

Equidad requiere que se haga partícipe, de palabra y obra, a todos los estudiantes, degrandes expectativas de aprendizaje. Los maestros comunican expectativas alinteractuar con sus estudiantes durante las clases, a través de sus comentarios a lastareas escritas, cuando asignan grupo a los estudiantes, por medio de la presencia oausencia de apoyo constante a los que se esfuerzan por conseguir grandes logros, yen sus contactos con los adultos significativos en la vida del alumno. Estas acciones,junto con las ya realizadas y las decisiones tomadas fuera del salón de clases paraasignar a los estudiantes diferentes clases o currículo diferentes, determinan lasoportunidades de aprender e influyen en las creencias que tienen los estudiantes en sucapacidad para tener éxito en matemáticas. Las escuelas están obligadas a asegurarque todos los estudiantes participen en un programa de educación sólido que apoye su

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aprendizaje matemático. Las grandes expectativas pueden alcanzarse en parte conprogramas que interesen al estudiantado y le ayuden a considerar la importancia y lautilidad, para su provenir, de un estudio continuado de las matemáticas.

Mayores expectativas, no bastan para alcanzar el objetivo de una educaciónmatemática igualitaria para todos los estudiantes. Todos deberán tener acceso a unprograma de matemáticas excelente y equitativo, que proporcione un sólido apoyo parasu aprendizaje, y considere los conocimientos previos, las capacidades intelectuales ylos intereses personales.

Algunos estudiantes pueden necesitar mayor ayuda para enfrentarse a grandesexpectativas en matemáticas. Por ejemplo, algunos de ellos pueden necesitaracomodos en la evaluación. Otros estudiantes con algún tipo de discapacidad puedennecesitar más tiempo para completar sus tareas, o bien, les beneficiarían más lasevaluaciones orales que las escritas. Los que tengan dificultades en matemáticaspueden necesitar recursos adicionales, como programas especiales, clasesparticulares, ayuda de sus compañeros o de estudiantes de niveles más avanzados.También, aquellos estudiantes con especial interés por la disciplina o excepcionaltalento para ella, pueden necesitar programas más ricos o más recursos paraestimularlos y comprometerlos. El talento e interés de estos estudiantes tienen quealimentarse y apoyarse para que tengan la oportunidad y la guía necesarias parasobresalir. Las escuelas deben tener cuidado en acomodar las necesidades especialesde algunos estudiantes, sin entorpecer el aprendizaje de otros.

La tecnología puede contribuir a alcanzar la equidad en la clase. Por ejemplo, lasherramientas tecnológicas pueden proporcionar oportunidades a todos los estudiantespara explorar ideas y problemas matemáticos complejos; pueden aportar programastutoriales estructurados para aquellos estudiantes que necesitan enseñanzacomplementarias y ejercitación en las tareas, o pueden conectar a estudiantes decomunidades rurales a oportunidades educativas o recursos intelectuales de los que nodisponen con facilidad.

Las computadoras con programas de reconocimiento y creación de voz pueden ofrecera maestros y compañeros de clase el acceso a ideas matemáticas y argumentosdesarrollados por los estudiantes con discapacidades, quienes, de otro modo, seríanincapaces de compartir sus pensamientos. Además, la tecnología puede ser eficazpara atraer a los estudiantes que se desentienden de las matemáticas cuando elenfoque no es tecnológico. Es importante que todos los estudiantes tenganoportunidades de usar la tecnología en forma adecuada para acceder a ideasmatemáticas interesantes e importantes. El acceso a la tecnología no debe convertirseen otro componente de la desigualdad educativa.

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Investigaciones bien documentadas apuntan a que todos los estudiantes, incluidosaquéllos que han sido tradicionalmente marginados, pueden aprender matemáticascuando disponen de programas de gran calidad que sostengan su aprendizaje(National Council of Teachers of Mathematics, 2000, 2007).

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Los Estándares y el Currículo: Hacia un currículo coherente

Un currículo es algo más que una colección de actividades. Tiene que ser coherente,estar centrado en matemáticas importantes y bien articulado a través de los diferentesgrados y niveles del sistema educativo.

Un currículo de matemáticas determina, en gran manera, lo que los estudiantes tienenoportunidad de aprender y lo que realmente aprenden. En un currículo coherente, lasideas matemáticas están entrelazadas y se construyen unas sobre otras, para que asíprofundice la compresión y el conocimiento del estudiante y aumente su habilidad paraaplicarlas. Un currículo efectivo se centra en unas matemáticas importantes;matemáticas que preparen para un estudio continuado y para la resolución deproblemas en diferentes entornos: el salón de clases, su hogar o el mundo del trabajo.Una buena articulación del currículo incentiva a los estudiantes para ir aprendiendoideas matemáticas cada vez más complejas a medida que avanzan en sus estudios.

En un currículo debidamente articulado, las conexiones deberían destacarse, tanto enel currículo como en las lecciones y en el material de enseñanza. Un currículorealmente coherente organiza e integra ideas matemáticas importantes para que losestudiantes puedan ver cómo se basa una en otras o se conectan entre sí y,consecuentemente, los capacite para desarrollar conocimientos y destrezas nuevos.

Al planificar las lecciones, los maestros deberán esforzarse en organizar los contenidospara que las ideas fundamentales formen un todo integrado. Las ideas centralescorrespondientes a contextos diversos deberán establecerse cuidadosamente,prestando la debida atención a la terminología, las definiciones, la notación y losconceptos y destrezas que van apareciendo en el proceso. Secuenciar coherentementelas lecciones a lo largo de las unidades y los niveles de enseñanza, supone un desafío.Por lo demás, es necesario que los maestros sean también capaces de adaptar y sacarprovecho de las oportunidades que se presenten para enfocar las lecciones endirecciones no previstas.

Por otro lado, los currículos deberán centrarse en contenidos y procesos que seanmerecedores de la atención y el tiempo que le dedican los estudiantes. Los temasmatemáticos se consideran importantes por ser útiles para desarrollar otras ideasmatemáticas, enlazar diferentes áreas de las como disciplina y como creación humana.Es de destacar también la importancia de los conceptos matemáticas para la resoluciónde problemas en matemáticas y en otros campos. Nociones básicas como las de valorposicional, equivalencia, proporcionalidad, función y tasa de variación deberán ocuparun lugar prominente en el currículo, ya que capacitan para entender otras ideas y sirvende conexión entre diferentes áreas de matemáticas. El pensamiento matemático y lashabilidades de razonamiento, incluyendo formular conjeturas y desarrollar sólidosargumentos deductivos, tienen importancia porque sirve de base a nuevas ideas ypromueven un estudio posterior. Muchos conceptos y procesos, tales como la simetría

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y la generalización, pueden ayudar a profundizar en la naturaleza y belleza de lasmatemáticas.

Muchos autores (Hargreaves, 1998; Drake, 1998; Quintero, 2005; López, 2005)destacan el esfuerzo que debe realizarse para dejar de trabajar el currículo de manerafragmentada y buscar puentes que permitan construir currículos en los que el énfasisno sean los contenidos, sino la manera en la que éstos se relacionan entre sí. Esteenfoque puede atender: la reducción y duplicidad de destrezas y conceptos; un mayorgrado de pertinencia para los estudiantes, dándole un contexto de su realidad; unavisión integradora por parte del estudiante de los temas e ideas tratadas, en lugar de uncuadro fragmentado y desconectado de su realidad. A diferencia del currículo regular,en el que los conceptos y destrezas se presentan en un orden jerárquico y específico,hay más libertad para ordenar los mismos, aunque en el interior de un área temática esnecesario cierto orden. Este nuevo enfoque permite la enseñanza de las destrezas encontexto y con sentido para el estudiante, atemperándolas a las necesidades yexigencias de la nueva economía del conocimiento.

Además, el currículo debería ofrecer experiencias que permitan ver que esta disciplinase utiliza poderosamente para modelar y predecir fenómenos del mundo real. Deberíaenfatizarse también los procesos y destrezas que fundamentan la capacidad paracuantificar de los estudiantes. Unos ciudadanos inteligentes deberán ser capaces dejuzgar afirmaciones, descubrir falacias, evaluar riesgos y sopesar pruebas (Price,1997).

Aunque reconocemos la naturaleza dinámica de los documentos curriculares, elcurrículo en sí no se necesario que permanezca invariable. Son posibles y, en ciertomodo inevitables, diferentes configuraciones de ideas matemáticas importantes. Laimportancia relativa de algunos tópicos puede cambiar con el tiempo, como respuestaal cambio de sensibilidad en cuanto a su utilidad y a nuevas demandas y posibilidades.Por ejemplo, la recursión, la iteración y la comparación de algoritmos están recibiendomayor atención en las matemáticas escolares debido a su creciente relevancia yutilidad en el mundo de la tecnología.

Asimismo, aprender matemáticas supone acumular ideas e ir construyendo,sucesivamente, conocimientos más profundos y perfeccionados. El currículo deberíaproporcionar una guía que ayude al maestro a conducir a sus estudiantes a nivelescrecientes de complejidad y profundidad de conocimiento. Tal guía requiere uncurrículo bien articulado, para que los maestros sepan qué matemáticas han estudiadosus estudiantes en los niveles anteriores y qué debe enfatizarse en los siguientes.Según van subiendo de nivel, los estudiantes deberán comprometerse másprofundamente con las ideas matemáticas, y se espera que aumente su comprensión yhabilidad para aplicar sus conocimientos.

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Sin una clara articulación del currículo a través de todos los niveles, es inevitable laduplicación de esfuerzos y la revisión constante. Un currículo bien articulado asesora alos maestros en cuanto a las ideas matemáticas importantes, o los temas principalesque deben recibir especial atención en cada momento. También les guía y asegurarespecto a la profundidad de tratamiento de determinados conceptos y destrezas, ysobre cuándo se espera que concluya este tratamiento.

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Los Estándares y el Assessment

La evaluación y el assessment son una parte integral de la instrucción matemática, quecontribuye significativamente al aprendizaje de todos los estudiantes. Cuando sepresenta en conexión con los Estándares, se centra, a veces, en utilizar los exámenespara certificar los logros de los estudiantes, pero tiene otros propósitos importantes.Debería ser algo más que un mero examen al final del período de enseñanza para vercómo trabaja los estudiantes en condiciones especiales; debería constituir una parteintegral de la enseñanza que informe al maestro y le sirva de guía para la toma dedecisiones. No sólo debería hacerse a los estudiantes, sino también para losestudiantes, para guiar y mejorar su aprendizaje.

La afirmación de que la evaluación y el assessment debería enriquecer el aprendizajepuede sorprender: Después de todo, si la evaluación comprueba lo que los estudianteshan aprendido y son capaces de hacer, ¿cómo puede tener también consecuenciaspositivas para el aprendizaje? Las investigaciones indican que considerar la evaluacióncomo una parte integral de la práctica de la clase, se asocia con la mejora delaprendizaje.

Una buena evaluación puede enriquecer el aprendizaje de diversa formas. Primero, lastareas que se propongan en una evaluación pueden transmitir un mensaje a losestudiantes respecto a qué clase de conocimiento matemático y qué capacidades seevalúan. Este mensaje puede, a su vez, influir en las decisiones que tomen losestudiantes; por ejemplo, si es conveniente o dónde conviene esforzarse al estudiar. Enconsecuencia, es importante que los trabajos propuestos en la evaluación seanmerecedores de la atención prestada y del tiempo empleado por los estudiantes.Debería incluirse actividades que sean coherentes con las realizadas en la clase y, aveces, las mismas. Cuando los maestros emplean técnicas de evaluación como lasobservaciones, las conversaciones y las entrevistas, o los diarios interactivos, losestudiantes probablemente aprendan al expresar sus ideas y al contestar las preguntasque les formulan.

La retroalimentación (feedback) a partir de tareas de evaluación puede ayudar tambiéna los estudiantes a fijar objetivos, asumir la responsabilidad del propio aprendizaje yllegar a ser aprendices más independientes. Por ejemplo, las puntuaciones asignadas acada cuestión y las instrucciones para realizar el examen, pueden servir de ayuda a losmaestros para analizar y describir las respuestas de sus estudiantes a tareascomplejas y determinar sus niveles de competencias. Pueden ayudar también a losestudiantes a comprender las características de una respuesta completa y correcta. Deigual forma, las discusiones en clase, en las que los estudiantes presentan y evalúandiferentes enfoques en la resolución de problemas complejos, pueden agudizar suideas de la diferencias entre una respuesta excelente y una mediocre.

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Mediante la propuesta de buenas tareas y la discusión pública de criterios paradeterminar la corrección de las respuestas, los maestros pueden cultivar tanto ladisposición como la capacidad del alumnado para implicarse en la autoevaluación desus trabajos y reflexionar sobre las ideas propuestas por otros.

Para asegurar la profundidad y la calidad del aprendizaje de todos los estudiantes, laevaluación y la enseñanza debe estar integradas de forma que aquélla llegue aconstruir, en lugar de algo ocasional, una parte rutinaria de actividad docente. Talevaluación proporciona también la información que necesitan los docentes para tomardecisiones apropiadas. Además de las evaluaciones formales, tales como losexámenes, los maestros deberán estar continuamente recabando información sobre elprogreso de sus estudiantes, mediante preguntas durante el desarrollo de laslecciones, entrevistas individuales, etc.

Cuando los maestros tienen información útil sobre lo que los estudiantes vanaprendiendo, pueden apoyar su progreso hacia objetivos matemáticos significativos.Las decisiones relativas a cuándo y cómo repasar los conocimientos previos, cómoanalizar un concepto difícil o cómo adaptar los tareas para los estudiantes conproblemas de aprendizaje o para los que necesitan aprender. La evaluación es unaprimera fuente de datos sobre los que se basan estas inferencias, y las decisiones quetomen los maestros serán tan buenas como lo sean aquéllos.

La evaluación debería reflejar las matemáticas que todos los estudiantes necesitanconocer y son capaces de hacer, y centrarse en su compresión y en sus destrezasprocedimentales. Los maestros necesitan tener una idea clara de lo que se debeenseñar y aprender, y la evaluación debería estar en consonancia con dicha idea. Alproporcionar información sobre el progreso individual y colectivo en cuanto a estosobjetivos, la evaluación puede ayudar a garantizar que cada uno avanceproductivamente en la dirección apropiada.

Para toma decisiones acertadas, los maestros deberán buscar la convergencia deindicios a través de diversas fuentes. La evaluación formal proporciona un único puntode vista sobre lo que los estudiantes hacen en una situación muy particular (confrecuencia, trabajar individualmente en tareas de lápiz y papel, con un tiempo limitadopara realizarlas). Depender excesivamente de este modo de evaluar puede dar unaidea incompleta y tal vez distorsionada del rendimiento de los estudiantes. Ya que estomuestran lo que saben y pueden hacer de modos distintos, las evaluaciones deberándar ocasión a múltiples enfoques, para obtener así una imagen más acabada y permitirque cada uno muestre sus mejores potencialidades.

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Los maestros pueden utilizar muchas técnicas de evaluación, incluyendo preguntasabiertas, tareas de ejecución donde hay que elaborar la respuesta, donde hay queseleccionar una respuesta entre varias, tareas prácticas, observaciones,conversaciones, diarios de clase y cuadernos de trabajo. Todos estos métodos puedenser apropiados para la evaluación de la clase, pero algunos pueden aplicarse másfácilmente a objetivos determinados. Por ejemplo, las preguntas de respuesta simple odonde hay que elegir una respuesta entre varias, sirven para averiguar si losestudiantes saben aplicar procedimientos. Las tareas donde hay que elaborar larespuesta o las tareas prácticas, pueden mostrar mejor su capacidad para aplicar lasmatemáticas en situaciones complejas o nuevas. Las observaciones y conversacionesen clase pueden proporcionar puntos de vista sobre el pensamiento de los estudiantes.Mediante los diarios de clase y los cuadernos de trabajo, los maestros pueden seguirlos cambios en el pensamiento y el razonamiento de los estudiantes a través deltiempo.

Cuando los maestros seleccionan métodos de evaluación, deberán considerar la edad,la experiencia y las necesidades especiales de los estudiantes. Tienen que asegurarsede que todos tengan oportunidad para demostrar clara y totalmente lo que saben ypueden hacer.

Cuando está bien hecha, la evaluación y el assessment ayuda al maestro en la toma dedecisiones sobre contenidos o formas de enseñanza (frecuentemente llamadaevaluación formativa), puede usarse también para juzgar los logros de los estudiantes(evaluación sumativa). Las mismas fuentes de datos pueden reunirse para obteneruna visión del progreso individual de los estudiantes. Para obtener el máximo valor dela evaluación, los maestros necesitan superar la consideración superficial de tarea“correcta o incorrecta”, y centrarse en cómo piensan los estudiantes al hacer las tareas.Deberán hacer esfuerzos para identificar las ideas válidas de los estudiantes-sobre lasque puede basarse un posterior progreso-más que centrarse únicamente en los erroreso conceptos falsos. Reuniendo datos de una variedad de fuentes, es más probable quese obtenga una imagen más exacta de lo que cada alumno sabe y es capaz de hacer,aunque ello sea menos directo que promediar calificaciones de exámenes.

Ya sea de la evaluación formativa, esto es, dirigida a guiar la enseñanza, o de lasumativa, cuyo objetivo es evaluar el progreso del alumnado, el conocimiento de losmaestros es determinante para reunir información útil y extraer inferencias válidas. Losmaestros tienen que tener muy claros sus objetivos matemáticos, entender lo que susestudiantes piensan acerca de las matemáticas, tener un buen control de los posiblessignificados de la evaluación de conocimientos y ser hábiles al interpretar lainformación proveniente de múltiples fuentes. Para que los maestros alcancen lanecesaria formación al respecto, la evaluación debe convertirse en el foco principal desu preparación y desarrollo profesional.

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Los Estándares y la Profesionalización de la Docencia

La nueva visión de la enseñanza de las matemáticas no es suficiente para lograr elcambio en los núcleos escolares. Es necesario contar con maestros que tenganconocimientos actualizados en su disciplina, así como en los nuevos desarrolloseducativos. Para alcanzar la excelencia de la enseñanza de matemáticas, losmaestros deben convertirse en agentes de cambios constructivos. Esto se logra alincorporar nuevos enfoques en sus practicas educativas y demostrar su compromisocomo educador. Además deben facilitar el aprendizaje de sus estudiantes promoviendoel razonamiento, la comunicación, la imaginación, la creatividad, la solución deproblemas y la búsqueda del conocimiento. Estas cualidades los capacitaran parautilizar los métodos y técnicas de enseñanza más efectivas, y así, lograr las metas delprograma. De igual forma, los facultaran para hacer las revisiones necesarias alcurrículo, de manera que les permitan servir mejor al sector de la comunidad queatienden

Los Estándares y el papel de la tecnología

La tecnologías electrónicas, tales como calculadoras y computadores, sonherramientas esenciales para enseñar, aprender y “hacer” matemáticas. Ofrecenimágenes visuales de ideas matemáticas, facilitan la organización y el análisis de losdatos y hacen cálculos en forma eficiente y exacta. Ellas pueden apoyar lasinvestigaciones de los estudiantes en todas las áreas de las matemáticas, incluyendonúmeros, medidas, geometría, estadístic y álgebra. Cuando los estudiantes disponende herramientas tecnológicas, se pueden concentrar en tomar de decisiones, razonar yresolver problemas.

Los estudiantes pueden aprender más matemáticas y en mayor profundidad con el usoapropiado de la tecnología. El Programa de Matemáticas sugiere que la tecnología nose debe utilizar como un reemplazo de la comprensión básica y de las intuiciones; másbien, puede y debe utilizarse para fomentar esas comprensiones e intuiciones. En losprogramas de enseñanza de las matemáticas, la tecnología se debe utilizar frecuente yresponsablemente, con el objeto de enriquecer el aprendizaje de las matemáticas porparte de los alumnos.

El poder gráfico de las herramientas tecnológicas posibilita el acceso a modelosvisuales que son poderosos, pero que muchos estudiantes no pueden, o no quieren,generar en forma independiente. La capacidad de las herramientas tecnológicas parahacer cálculos amplía el rango de los problemas a los que pueden acceder losestudiantes y además, les permite ejecutar procedimientos rutinarios en forma rápida yprecisa, liberándoles tiempo para elaborar conceptos y modelos matemáticos.

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Igualmente, el nivel de compromiso y apropiación por parte de los estudiantes, de ideasmatemáticas abstractas, puede fomentarse mediante la tecnología. Enriquece elalcance y calidad de las investigaciones ya que provee una manera de visualizar lasideas matemáticas desde diferentes perspectivas. La tecnología también suministra unpunto focal, cuando los estudiantes discuten entre sí y con su maestro, acerca de losobjetos que muestra la pantalla y los efectos que tienen las diferentes transformacionesdinámicas que permite realizar la tecnología.

La tecnología ofrece además a los maestros opciones para adaptar la instrucción anecesidades específicas de los alumnos. Los estudiantes que se distraen fácilmente,pueden concentrarse mejor cuando las tareas se realizan en computador, y aquellosque tienen dificultades de organización se pueden beneficiar con las restriccionesimpuestas por un ambiente de computador. Los estudiantes que tienen problema conlos procedimientos básicos pueden desarrollar y demostrar otras formas decomprensión matemática, que eventualmente pueden a su vez, ayudarles a aprenderlos procedimientos. Las posibilidades de involucrar estudiantes con limitaciones físicascon las matemáticas, se incrementan en una forma dramática con tecnologíasespeciales.

La tecnología no reemplaza al maestro de matemáticas. Cuando los alumnos utilizanherramientas tecnológicas, muchas veces trabajan de formas que los hacen aparecercomo independientes del maestro; sin embargo esta es una impresión engañosa. Eldocente juega varios roles importantes en un aula enriquecida con la tecnología, tomadecisiones que afectan el proceso de aprendizaje de los alumnos de manerasimportantes. Inicialmente el docente debe decidir si va a utilizarse tecnología, cuándo ycómo se va a hacer. A medida que los estudiantes utilizan calculadoras ycomputadores en el aula, el docente tiene la oportunidad de observarlos y fijarse cómorazonan. A medida que los estudiantes trabajan haciendo uso de la tecnología, puedenmostrar formas de razonamiento matemático que son difíciles de observar en otrascircunstancias. Por lo tanto la tecnología ayuda en la evaluación, permitiendo a losmaestros examinar los procesos que han seguido los alumnos en sus investigacionesmatemáticas, como también, en los resultados obtenidos, enriqueciendo así lainformación disponible para que los maestros la utilicen cuando van a tomar decisionesrelacionadas con la enseñanza.

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La tecnología influye no solamente en la forma en que se enseñan y aprenden lasmatemáticas, sino que juega también un papel importante respecto a qué se enseña ycuándo aparece un tópico en el currículo. Si se tiene la tecnología a mano, los niñospequeños pueden explorar y resolver problemas relacionados con números grandes, opueden investigar características de las formas utilizando software dinámico degeometría. Estudiantes de escuela primaria pueden organizar y analizar grandesgrupos de datos. Alumnos de los grados medios pueden estudiar relaciones lineales ylas ideas de inclinación y cambio uniforme con representaciones de computador yrealizando experimentos físicos con sistemas de laboratorio basados en calculadoras.Los estudiantes de los grados superiores pueden utilizar simulaciones para estudiardistribución de muestras, y pueden trabajar con sistemas algebraicos de computadorque ejecutan eficientemente la mayor parte de la manipulación simbólica que constituíael foco de los programas de matemáticas tradicionales de las escuelas. El estudio delálgebra no debe limitarse a situaciones simples en las cuales la manipulación simbólicaes relativamente sencilla. Utilizando herramientas tecnológicas, los alumnos puedenrazonar acerca de asuntos de carácter más general, tales como cambios en losparámetros, y pueden elaborar modelos y resolver problemas complejos que antes noeran accesibles para ellos. La tecnología también diluye algunas de las separacionesartificiales entre los diferentes temas de álgebra, geometría y análisis de datos,permitiendo a los estudiantes utilizar ideas de un área de las matemáticas paraentender mejor otra.

La tecnología puede ayudar a los maestros a conectar el desarrollo de habilidades yprocedimientos con un desarrollo más general de la comprensión matemática. En lamedida en que algunas habilidades anteriormente consideradas esenciales se vuelvenmenos necesarias debido a las herramientas tecnológicas, se puede pedir a losestudiantes que trabajen en niveles más altos de generalización o abstracción. Eltrabajo con manipulables virtuales (simulaciones en computador de manipulablesfísicos) o con Logo, puede permitir a niños pequeños ampliar su experiencia física ydesarrollar una comprensión inicial de ideas sofisticadas, tales como el uso dealgoritmos. El software dinámico de geometría puede permitir la experimentación confamilias de objetos geométricos, con un enfoque explícito en transformacionesgeométricas. En forma similar las herramientas gráficas facilitan la exploración decaracterísticas de las clases de funciones.

Sin embargo, el Programa advierte que la tecnología no es una panacea. Como concualquier herramienta de enseñanza, puede usarse adecuada o deficientemente. Losmaestros deben utilizar la tecnología con el fin de mejorar las oportunidades deaprendizaje de sus alumnos, seleccionando o creando tareas matemáticas queaprovechen lo que la tecnología puede hacer bien y eficientemente. Recomienda quelos maestros sean bien cautelosos en sus decisiones en torno a la tecnología.

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Finalmente el programa de matemáticas recalca que la tecnología NO DEBEUTILIZARSE PARA SUSTITUIR EL DOMINIO DE LAS OPERACIONESFUNDAMENTALES BASICAS SENCILLAS EN NINGÚN NIVEL ESCOLAR. ELPROGRAMA DE MATEMÁTICAS INSISTE EN QUE EL ESTUDIANTE DEBEEFECTUAR CON FLUIDEZ LAS OPERACIONES BÁSICAS CON LOS DIFERENTESCONJUNTOS NUMÉRICOS, AL IGUAL QUE LAS MANIPULACIONESALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ASI COMO ENTENDER EL SIGNIFICADO DELAS OPERACIONES Y LA FORMA EN QUE SE RELACIONAN ENTRE SÍ.

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Estructura organizacional del documento

Los estándares en este documento están divididos por dominios que seespera constituyan el elemento unificador y asegure la alineación del currículo através de los niveles. Estos dominios se descomponen en expectativas generalesde aprendizaje, las cuales se descomponen a su vez en indicadores de evaluación conobjetivos mucho más específicos.

Cada indicador se identifica por medio de un código que incluye el estándar, eldominio,el grado, y el número de la expectativa y el indicador

Códigos

E. DO. 10. 1. 1

Estándar, Dominio, Grado, Expectativa, Indicador

NUMERACIÓN YOPERACIÓN

(N)

ÁLGEBRA(A)

GEOMETRÍA(G)

MEDICIÓN(M)

ANÁLISIS DEDATOS Y

PROBABILIDAD( E)

Dominios(SN) Sentido numérico

(SO) Significado delas operaciones

(OE) Operaciones yestimados

(PR) Patrones,relaciones yfunciones

(RE) Representación

(MO) Modelosmatemáticos

(CA) Cambio

(FG) Formasgeométricas

LR) Localización yrelacionesespaciales

(TS) Transformacionesy simetría

(MG) Modelosgeométricos

(UM) Unidades demedida

(TM)Técnicas demedida

(RD) Representaciónde datos

(AD) Análisis de datos

(IP) Inferencia yPredicción

(PR) Probabilidad

estándares y expectativas de matemáticas 00 - introduccion

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