estadÍstica y microeconometrÍa con stata€¦ · •medidas descriptivas de una variable...

ESTADÍSTICA Y MICROECONOMETRÍA CON STATA

SESIÓN 01:

ESTADÍSTICA

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CONTENIDO

1.1. Acerca de Estadística

1.2. Distribución de Frecuencias

1.3. Distribución de Probabilidad

1.4. Gráficas

1.5. Pruebas de Hipótesis

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1.1. Acerca de estadística

Estadística es la ciencia que se encarga de planear estudios

y experimentos, obtener datos y luego organizar, resumir,

presentar, analizar e interpretar la información para extraer

conclusiones basadas en los datos. (Triola, 2013, p.4)

Estadística Descriptiva

Describe un conjunto de datos mediante tablas, medidas numéricas o gráficas.

Estadística Inferencial

Por medio de la inducción determina propiedades de una población estadística

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• Una distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias)

indica cómo un conjunto de datos se divide en varias

categorías (o clases) al listar todas las categorías junto con

el número de valores de los datos que hay en cada una.

• Por lo que, una distribución de frecuencias nos ayuda a

entender la naturaleza de la distribución de un conjunto de

datos.

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• Ejemplo

Tamaño muestra N = 104

Valor máximo Xi = 5768

Valor mínimo Xi = 400

Rango o recorrido = 5368

Calculo del Numero de Clases:

Número de clase 1+3.322*LOG(N)= 8

Amplitud = (Rango / Nº Clases) = 671

Tabla 1.

Datos del ejercicio

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INTERVALOS MARCA

DE

CLASE

Xi

FRECUENCIA

ABSOLUTA

FRECUENCIA RELATIVA

[ Li -----Ls ) SIMPLE

fi

ACUMULADA

Fi

SIMPLE

hi%

ACUMULADA

Hi%

1 400 1071 735.5 17 17 16.35 16.35

2 1071 1742 1406.5 40 57 38.46 54.81

3 1742 2413 2077.5 17 74 16.35 71.15

4 2413 3084 2748.5 11 85 10.58 81.73

5 3084 3755 3419.5 9 94 8.65 90.38

6 3755 4426 4090.5 2 96 1.92 92.31

7 4426 5097 4761.5 3 99 2.88 95.19

8 5097 5768 5432.5 5 104 4.81 100.00

SUMA N = 104 100

Tabla 2.

Desarrollo del ejercicio

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1.3.1. Variable Aleatoria

• Dado un experimento aleatorio 𝜀 y 𝛺 el espacio muestral

asociado a 𝜀. Una función 𝑋 que asigna a cada elemento

𝜔 en 𝛺 uno y solamente un número real 𝑥 = 𝑋(𝜔), se

llama variable aleatoria. Es decir, 𝑋 es una función real,

𝑋 : 𝛺 → 𝐼𝑅

• El rango 𝑅𝑋 de la variable aleatoria 𝑋 está dado por el

siguiente conjunto de números reales.

𝑅𝑋 = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 = 𝑋 𝜔 = x, 𝜔 ∈ 𝛺 = 𝑋(𝛺)

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• Sea 𝛺 un espacio muestral asociado a un experimento

aleatorio 𝜀 , y 𝑋 una variable aleatoria con rango 𝑅𝑋

definida sobre 𝛺 . Un evento 𝐴 en 𝛺 y un evento 𝐸𝑥 en 𝑅𝑋

se dice que son eventos equivalentes, Si,

𝐴 = 𝜔 ∈ 𝛺 / 𝑋 𝜔 ∈ 𝐸𝑥

• Si 𝐴 es un evento en el espacio muestral 𝛺 y 𝐸𝑥 A un

evento en el rango Rx de la variable aleatoria X, entonces

definimos la probabilidad como

𝑃 𝐸𝑥 = 𝑃 𝐴 , donde A = 𝜔 ∈ 𝛺 / 𝑋 𝜔 ∈ 𝐸𝑥

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1.3.2. Variables Aleatorias Discretas

• Si el rango de la variable aleatoria 𝑋, es un conjunto finito

o infinito numerable de posibles valores, se llama variable

aleatoria discreta. En este caso

𝑅𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … .

• Sea 𝑋 una variable aleatoria discreta con rango 𝑅𝑥 . Una

función definida por

𝑝 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =

𝜔 ∈ 𝛺 / 𝑋 𝜔 =𝑥

𝑃[ 𝜔 ]

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• Donde la suma es sobre los sucesos 𝜔 𝜖 𝛺 tal que 𝑋 𝜔 =𝑥 y satisface las siguientes condiciones

𝑝 𝑥 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑥 ;

𝑥 ∈ 𝑅𝑥

𝑝 𝑥 =

𝑥 ∈ 𝑅𝑥

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1

se llama función de probabilidad o ley de probabilidad de la

variable aleatoria 𝑋

• La función de probabilidad 𝑝 𝑥 debe estar está bien

definida para 𝑥 ∈ 𝑅𝑥 y se asume para los eventos

imposibles 𝑝 𝑥 = 0

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• El dominio de la función 𝑝 puede considerarse como el

conjunto de los números, reales y su rango el conjunto

< 0,1] ∪ 0 . Es decir, 𝑝: 𝐼𝑅 → 0,1

• La distribución de probabilidad se representa usualmente

en una tabla

x 𝑥1 𝑥2 𝑥3

𝑝 𝑥 = P[X = x] 𝑝(𝑥1) 𝑝(𝑥2) 𝑝(𝑥3) . . .

Tabla 3. Representación tabular de la distribución de probabilidad

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• Función de distribución de variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta con rango

𝑅𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . y función de probabilidad,

𝑝 𝑥𝑖 = 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] , sea 𝑥 un número real cualquiera, la

función de distribución de 𝑋 se denota por "𝐹(𝑥)“ y se

define como

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =

𝑥𝑖≤𝑥

𝑝( 𝑥𝑖) =

𝑥𝑖≤𝑥

𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]

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• Propiedades de la función de distribución

Propiedad 1: 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ, pues 𝐹 𝑥 es una

probabilidad para cualquier 𝑥 real y las probabilidades

están limitadas por 0 y 1.

Propiedad 2: 𝐹 𝑥 es una función no creciente.

Sean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼𝑅 tales que 𝑥1 ≤ 𝑥2, entonces se tiene

𝑥 𝑋 ≤ 𝑥1 ⊂ 𝑥 𝑋 ≤ 𝑥2

Aplicando probabilidades a ambos eventos,

𝐹 𝑥1 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥2]

Obtenemos 𝐹 𝑥1 = 𝐹 𝑥2

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Propiedad 3:

(a) lim𝑥→∞

𝐹(𝑥) = P x / X < ∞ = P X < ∞ = 1, pues el

evento x / X < ∞ , es el conjunto de todos los

números reales.

(b) lim𝑥→−∞

𝐹(𝑥) = P x / X < −∞ = P X < −∞ = 0, pues el

evento x / X < −∞ , es el conjunto nulo.

Propiedad 4:

Sea 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ∈ 𝑅𝑥 , si x es tal que 𝑥𝑘 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑘+1, entonces

𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑥𝑘

Es decir, la función 𝐹 𝑥 es constante e igual a 𝐹 𝑥𝑘 para

todo x ∈ [𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 > Esto implica que si 𝑋 es una variable

discreta, F(𝑥) es una función “escalonada"

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1.3.3. Variables Aleatorias Continuas

• Si el rango 𝑅𝑥, de una variable aleatoria 𝑋 es un intervalo

sobre la recta de los números reales, se llama Variable

Aleatoria Continua.

• Sea 𝑋 una variable aleatoria continua con rango 𝑅𝑥. La

función de densidad de probabilidad asociado a la

variable aleatoria, es una función 𝑓 𝑥 integrable que

satisface las siguientes condiciones

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ (𝑜 𝑓 𝑋 > 0 , 𝑥 ∈ 𝑅𝑥 )

2. 𝑅𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 (𝑜 −∞

+∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 )

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• La probabilidad de que la variable aleatoria tome los

valores entre a y b, donde el intervalo 𝑎, 𝑏 ⊂ 𝑅𝑥 . Es

decir, queremos calcular la P 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏

• Por tanto, la probabilidad del evento 𝐴 = {𝑋 / 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏}

se define P A = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Sea 𝑋 una variable aleatoria continua con función de

densidad 𝑓 𝑥 . La función de distribución acumulada de

la variable aleatoria 𝑋 , denotado por se define por “𝐹 𝑥 ”,

se define por

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = −∞

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ

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• Propiedades de la función de distribución

Las tres primeras propiedades son los mismos que el caso

discreto.

Propiedad 1: 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ

Propiedad 2: lim𝑥→∞

𝐹(𝑥) = lim𝑥→∞

∞

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1;

lim𝑥→−∞

𝐹(𝑥) = lim𝑥→−∞

∞

𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0

• Propiedad 3: La función de distribución es no decreciente,

esto es si 𝑎 ≤ 𝑏, entonces 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏)

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• Propiedad 4: limℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) = 𝐹 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ, con h > 0; o

sea 𝐹 es continua por la derecha, en todos los puntos.

• Propiedad 5: Del segundo teorema fundamental del cálculo

se tiene que si 𝐹(𝑥) es una función derivable, entonces

𝑓 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥)

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1.3.4. Características de una variable aleatoria

• La variable aleatoria está completamente determinado por

la distribución de probabilidad [𝑥𝑖 , 𝑝 𝑥𝑖 ; i = 1,2,3, … ] si es

discreta, y por la función de densidad 𝑓 𝑥 si es continua

• Medidas descriptivas de una variable aleatoria

El primer momento alrededor del origen es el valor

esperado a la media de la variable aleatoria

(esperanza matemática); el segundo momento

alrededor de la media es la varianza de la variable

aleatoria; finalmente la moda y la mediana.

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• El valor esperado o esperanza matemática de 𝑋, se

denota por E(x) y se define

E(x)= x ∈ 𝑅𝑥𝑥 𝑝 𝑥 , 𝑆𝑖 𝑋 es una variable aleatoria

discreta

E(x)= 𝑅𝑥𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞

∞𝑥 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 , 𝑆𝑖 𝑋 es una

variable aleatoria continua.

• Siempre que x ∈ 𝑅𝑥𝑥 𝑝 𝑥 sea absolutamente

convergente, es decir x ∈ 𝑅𝑥|𝑥| 𝑝 𝑥 finita y

−∞

∞|𝑥| 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 finita respectivamente.

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• La esperanza matemática de 𝑋 , se llama también, media

de la variable aleatoria, y se denota por 𝜇, o sea 𝜇 = E(X)

Propiedades de la esperanza matemática

• Teorema 1.3.4.1: Si 𝑋 es una variable aleatoria, 𝑎 𝑦 𝑏constantes. Entonces

(i) 𝐸 𝑎 = 𝑎,

(ii) 𝐸 𝑎 𝐻 𝑋 = 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 𝑋

(iii) 𝐸 𝑎 𝐻 𝑋 + 𝑏 𝐺(𝑋) = 𝑎 𝐸 𝑎 𝐻 𝑥 + 𝑏 𝐸[𝐺(𝑋)]

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1.3. Distribución de Probabilida

• Teorema 1.3.4.2: Caso especial del (iii)

𝐸 𝑎 𝑋 ± 𝑏 = 𝑎 𝐸 𝑋 ± 𝑏

Si 𝑏=0, entonces 𝐸 𝑎𝑋 = 𝑎 𝐸 𝑥

•Teorema 1.3.4.3: Sean 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, n variables aleatorias

y 𝑎1 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 constantes, entonces

𝐸 𝑎0 +

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖𝑋𝑖 = 𝑎0 +

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖𝐸(𝑋𝑖)

• Consecuencia del Teorema 1.3.4.3: Si 𝑋 e 𝑌 son variables

aleatorias y 𝑎, 𝑏 constantes, entonces

𝐸 𝑎 𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑎 𝐸 𝑋 + 𝑏 𝐸(𝑌)

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• La varianza de una variable aleatoria X, se denota por

Var(𝑋) o por 𝜎𝑋2(o simplemente 𝜎2 ) y se define como

Var 𝑋 = 𝜎2 = E X − 𝜇 2

Por lo tanto

𝜎2 = E X − 𝜇 2 = 𝑥 ∈ 𝑅𝑥(𝑥 − 𝜇)2 𝑝 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑋 es discreta

= −∞

∞(𝑥 − 𝜇)2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖 𝑋 es continua

• Otra media de dispersión llamada desviación típica de la

variable aleatoria, se define

𝝈 = + 𝜎2

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Propiedades de la varianza y desviación típica

• Teorema 1.3.4.4: Si 𝑋 es una variable aleatoria con media

𝜇, la varianza de 𝑋 está dado por

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

• Teorema 1.3.4.5: Si 𝑋 es una variable aleatoria, a y b

constantes, entonces

𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 ± 𝑏 = 𝑎2 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

• Consecuencia del Teorema 1.3.4.5

1. Si 𝑎=0 , 𝑉𝑎𝑟 𝑏 = 0

2. Si 𝑏=0 , 𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 = 𝑎2 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

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• Teorema 1.3.4.6: Si 𝑋 es una variable aleatoria y 𝑐 una

constante, entonces

i) 𝜎𝑐𝑋 = |𝑐|𝜎𝑋

ii) 𝜎𝑋+𝑐 = 𝜎𝑋

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1.4. Gráficas

17

40

17

119

2 35

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1071 1742 2413 3084 3755 4426 5097 5768

400 1071 1742 2413 3084 3755 4426 5097

Frec

uen

cia

Ab

solu

ta

Sueldo Mensual ($)

Hístograma

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1.4. Gráficas

17

40

17

119

2 35

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

735.5 1406.5 2077.5 2748.5 3419.5 4090.5 4761.5 5432.5

Frec

uen

cia

Ab

solu

ta

Marca de Clase (Xi)

Poligono de Frecuencias

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1.4. Gráficas

X min 400

Q1 1159

Q2 1351

Q3 2589

X max 5768

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

1

Gráfico de Caja y Bigotes

Rango

Intercuartilico

(Q3-Q1)

1430

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• Una hipótesis estadística es una aseveración que se

hace a cerca de la distribución de una o más variables

aleatorias (o poblaciones).

• Se puede especificar una hipótesis, dando el tipo de

distribución y el valor o valores del parámetro o los

parámetros que la definen. Por ejemplo:

(a) 𝑋, tiene una distribución binomial con 𝑝 =1

3

(b) 𝑋, tiene una distribución normal con 𝜇 = 50, 𝜎 = 5

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• La prueba estadística de una hipótesis, toma los valores

experimentales que son observados y conducen a una

decisión; no rechazar (aceptar) o rechazar la hipótesis bajo

consideración.

• La hipótesis estadisticas se pueden especificar en

hipótesis nula 𝐻0 (es la hipótesis que se quiere probar) y

hipótesis alternativa 𝐻1 (es una suposición contraria a la

que se quiere probar), que se acepta en caso de que la

primera sea rechazada.

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• En una terminología de prueba, hablamos de probar la

hipótesis nula contra una alternativa en el supuesto

tentativo que la hipótesis nula es cierta.

• Hay tres tipos principales de pruebas, cada uno de los

cuales es identificado por la forma en que se formulan 𝐻0 y

𝐻1.

1. Prueba de una cola o unilateral, estas pueden ser:

(a) Prueba de cola inferior o prueba del lado izquierdo:

𝐻0: 𝜃 = 𝜃0 ; 𝐻1: 𝜃 < 𝜃0

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Este tipo de prueba se emplea cuando se tiene alguna

evidencia que el parámetro no es igual a 𝜃0 ,si no que

debe ser menor.

(b) Prueba de la cola superior o prueba de la cola derecha:

𝐻0: 𝜃 = 𝜃0 ; 𝐻1: 𝜃 > 𝜃0

Este tipo de prueba se emplea, en problemas, en que se

tiene algún indicio que el parámetro no es igual al valor

postulado, debe ser mayor que el postulado.

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2. Pruebas de dos colas o bilaterales

𝐻0: 𝜃 = 𝜃0 ; 𝐻1: 𝜃 ≠ 𝜃0

Este tipo de prueba se emplea, en el caso que el valor

que se prueba no sea verdadera; entonces, todos los

demás valores son posibles.

• Teorema del Limite Central

Una estadística para la media de la población, es la media

muestral 𝑋 Si la población es normal (o si la muestra es

grande 𝑛 ≥ 30, aún cuando la población no es normal),

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La distribución de 𝑋 es 𝑁 𝜇,𝜎2

𝑛y variable aleatoria

𝑍 = 𝑋−𝜇0

𝜎/ 𝑛, tiene una distribución 𝑁(0,1).

Entonces, dada una muestra suficientemente grande de la

población, la distribución de las medias muestrales

seguirán una distribución normal.

lim𝑛→∞

Pr( 𝑋 − 𝜇0

𝜎/ 𝑛≤ 𝑧) =

1

2𝜋

−∞

𝑥

𝑒−12𝑡2

𝑑𝑡

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• A continuación se muestran algunas distribuciones para

probar hipótesis, suponiendo la normalidad de los errores

del MRSL. Como 𝜎2 no suele conocerse en los estudios

empíricos, casi siempre se usan las distribuciones 𝑡 y 𝐹.

1 restricción 1 o más restricciones

𝜎2 conocida 𝑁 𝜒2

𝜎2 desconocida 𝑡 de Student 𝐹 de Snedecor

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• Según el supuesto de normalidad, la variable que se

distribuye como una 𝑡 de Student con 𝑛 − 2 gl, se le

considera como estadístico de prueba 𝒕 (o 𝑡 calculado)

𝑡 = 𝛽2 − 𝛽2

𝑒𝑒 𝛽2

• Prueba de hipótesis de 2: prueba 𝜒2

Las conjeturas para una prueba bilateral son:

𝐻0: 𝜎2 = 𝜎02

𝐻1: 𝜎2 ≠ 𝜎02

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• El estadístico de prueba es:

𝜒2 = 𝑛 − 2 𝜎2

𝜎2

se distribuye con 𝑛 − 2 gl. Con un nivel de significancia

dado, 𝛼, se obtendrá el 𝜒2 de tabla.

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Método del valor p

• El valor 𝑝 es el nivel de significancia más bajo al cual

puede rechazarse una hipótesis nula.

• Consiste en encontrar la “probabilidad real” (nivel exacto

de significancia) en la tabla de valores pertinente,

utilizando el estadístico de prueba, 𝑡 𝑜 𝜒𝟐

• Si el valor 𝑝 es menor al nivel de significancia supuesto, 𝛼,

se puede rechazar la hipótesis nula.

estadÍstica y microeconometrÍa con stata€¦ · •medidas descriptivas de una variable...

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