Estadística

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Sesión No. 9

Nombre: Distribuciones de probabilidad discreta. Segunda parte.

Contextualización

¿A qué nos referimos con probabilidad discreta?

En la presente sesión analizarás y describirás un experimento binomial, definirás

y conocerás la función de probabilidad de este experimento, su valor esperado y

la varianza.

Asimismo, tendrás la posibilidad de resolver problemas que involucren la

variable aleatoria discreta binomial.

Fuente: http://www.boost.org/doc/libs/1_36_0/libs/math/doc/sf_and_dist/graphs/binomial_pdf_1.png

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Introducción al Tema

¿Qué fenómenos influyen en el resultado de una variable aleatoria?

Algunos fenómenos comunes dan como resultado variables aleatorias discretas

y pueden ser descritos por distribuciones de probabilidad de tipo estándar.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad que tiene muchas

aplicaciones. Está relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se

le llama experimento binomial.

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Explicación Distribución Binomial

¿Qué es una Distribución Binomial?

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta útil para

describir una diversidad de fenómenos.

Un experimento es binomial si cumple con las siguientes características:

1. En una ejecución hay dos resultados posibles: éxito y el otro fracaso. 2. Hay n ejecuciones, donde n es un número entero positivo fijado de

antemano. 3. Las ejecuciones son independientes. 4. La probabilidad de éxito para todas las ejecuciones es la misma.

Modelo de la Distribución Binomial

Si un experimento consiste de n ensayos binomiales, cada uno con una

probabilidad p de obtener un éxito y una probabilidad q para un fracaso (q=1 – p),

entonces, la probabilidad de x éxitos en n ejecuciones es:

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Ejemplos del experimento son:

• Lanzamiento de una moneda

• Inspeccionar un objeto al azar para clasificarlo como defectuoso o no

defectuoso.

Cálculo de la media y varianza:

Ejemplo: en San Francisco, 30% de los trabajadores emplean el transporte

público.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores

exactamente tres empleen el transporte público?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores por lo

menos tres empleen el transporte público?

a. p = 30% = .3, q= 1 – p = 1-.3 = .7, n = 10, x= 3

xnxqpxn

pnxb −

=),;(

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2668.0)0823)(.027)(.120()7(.)3(3

10)3,.10;3( 73. ==

=b

b. Probabilidad x≥3

P(x≥3) = 1- P(x<3)

P(x≥3) = 1- [P(x=1)+P(x=2)]

Ahora aplicaremos la fórmula de la binomial para encontrar las dos

probabilidades:

2334.0)7(.)3(.2

10)3,.10;2(

1210.0)7(.)3(.1

10)3,.10;1(

82

91

=

=

=

=

b

b

Sumando estas dos probabilidades nos da el resultado de P(x<3)

P(x<3) = 0.1210 + 0.2334

P(x<3) = 0.3544

Teniendo este dato, pasamos a calcular la P(x≥3)

P(x≥3) = 1- P(x<3)

P(x≥3) = 1- 0.3544 = 0.6456

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El siguiente ejemplo está tomado de Vadenúmeros.es

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar Si o NO.

Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a ninguna

de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar, hallar:

a) Probabilidad de obtener cinco aciertos. b) Probabilidad de obtener algún acierto. c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.

Es una distribución binomial, la persona sólo puede acertar o fallar la pregunta.

Suceso A (éxito)=acertar la pregunta p=(A)=0,5

Suceso Ā=no acertar la pregunta q=p(Ā)=0,5

Distribución binomial de parámetros n=10.p=0,5 B(10; 0,5)

a. Probabilidad de obtener cinco aciertos:

Obtener exactamente cinco aciertos K=5, aplicamos la fórmula:

b) Probabilidad de obtener algún acierto

p(x≥1)=

p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)

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El suceso “obtener algún acierto” es el suceso contrario a “no obtener ningún

acierto”.

P(x≥ 1) = 1 – p(x=0)

Calculamos la probabilidad de no obtener ningún acierto p(x=0)

c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos Acertar cinco o más

P(x≥5) = p(x=5) + p (x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(x≥5) = 0.2461 + 0.2051 + 0.1172 + 0.0439 + 0.00098 + 0.0010 = 0.6231

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Conclusión

En esta sesión aprendimos a calcular la probabilidad a través de la distribución

binomial, la cual tiene como característica principal el éxito o fracaso de los

eventos (experimentos) que se están analizando.

En la siguiente sesión aprenderemos el cálculo de la distribución Poisson.

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-de-poisson.jpg

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Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

• Khanacademy.org. (s.f.). Distribución binomial. Consultado el 6 de

noviembre de 2013:

http://brd.unid.edu.mx/distribucion-binomial/

• Distribuciones de probabilidades discretas. (s/f). Consultado el 6 de

noviembre de 2013:

http://brd.unid.edu.mx/distribuciones-de-probabilidades-discretas/

• LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL-EXPONENCIAL TRUNCADA CON

APLICACIONES EN EL SECTOR DEL SEGURO DE

AUTOMÓVILES. Consultado el 22 de Julio del 2019.

https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/4499/G%

F3mez,%20Prieto,%202008.pdf?sequence=1

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje

Con lo aprendido en esta sesión acerca de Distribución binomial realiza el

siguiente ejercicio:

En un sistema bancario, 12% de las veces se excede el tiempo promedio de

atención a clientes. Para los siguientes 15 clientes, encuentra:

a. La probabilidad de que al menos 6 excedan el tiempo promedio de

atención.

b. Haya clientes que excedan el tiempo promedio de atención.

c. Más de dos y menos de 7 excedan este tiempo.

d. La probabilidad de que menos de 5 excedan el tiempo de atención.

Sube la actividad a la plataforma.

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Bibliografía

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.

Cibergrafía

Vadenumeros.es. Actividades interactivas. Consultado el 3 de marzo de

2014: http://www.vadenumeros.es/