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Estadística Inferencial
ESTADÍSTICA INFERENCIAL.
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Sesión No. 7
Nombre: Pruebas de hipótesis para diferencia de medias y proporciones.
Contextualización En la sesión anterior se mostró como realizar una prueba de hipótesis cuando se
trata de una sola media poblacional o de una sola proporción poblacional.
En esta sesión se continúa el estudio de la inferencia estadística mostrando la
forma de realizar pruebas de hipótesis cuando se tienen dos poblaciones y lo
que interesa es la diferencia entre dos medias poblacionales o entre dos
proporciones poblacionales.
Fuente: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image1047.gif
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Introducción al Tema Por ejemplo, quizá necesite realizar una prueba de hipótesis para determinar si
hay alguna diferencia entre la proporción de piezas defectuosas producidas por
el proveedor A y la proporción de partes defectuosas producidas por el
proveedor B.
El estudio de inferencia estadística para dos poblaciones muestra cómo realizar
una prueba de hipótesis para la diferencia entre las medias de dos poblaciones
en el caso que se considera que se conocen las desviaciones estándar de estas
dos poblaciones.
Para inferencias acerca de diferencias entre dos poblaciones se seleccionan dos
muestras aleatorias independientes.
Fuente: http://spcgroup.com.mx/wp-content/uploads/2013/10/2.jpg
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Explicación Pruebas de hipótesis acerca de µ1 - µ2
Do denota la diferencia hipotética entre µ1 y µ2, las tres formas que puede tener
una prueba de hipótesis son las siguientes:
En muchas aplicaciones Do= 0 con un ejemplo de una prueba de hipótesis de
dos colas, cuando Do= 0 la hipótesis nula es Ho: µ1 - µ2 = 0. En este caso, la
hipótesis nula es que µ1 y µ2 son iguales. Rechazar Ho lleva a la conclusión de
que Ha: µ1 - µ2 ≠ 0 es verdadera: µ1 y µ2 no son iguales.
Los pasos presentados en la sesión anterior para realizar pruebas de hipótesis
son aplicables aquí. Hay que elegir un nivel de significancia, calcular el valor del
estadístico de prueba y encontrar el valor crítico para determinar se acepta o se
rechaza la hipótesis nula.
En el caso de dos muestras aleatorias independientes cuando los tamaños de
las muestras son suficientemente grandes la distribución se puede considerar
normal. En este caso el estadístico de prueba para la diferencia entre dos
medias poblacionales cuando se conoce su desviación estándar está dado por:
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Ejemplo: Como parte de un estudio para evaluar las diferencias en la calidad
entre dos centros de enseñanza, se aplica un examen estandarizado a los
estudiantes de ambas escuelas. La diferencia de la calidad se evalúa
comparando las medias de las puntuaciones obtenidas en el examen. Las
medias poblacionales para cada una de las escuelas están dadas por:
µ1 = exámenes del centro A
µ2 = exámenes del centro B
Debemos de partir de la suposición de que NO hay diferencia entre la calidad de
la capacitación en uno y otro centro de enseñanza. Por lo tanto:
Paso 1. Crear las hipótesis
Ho: µ1 - µ2 = 0
Ha: µ1 - µ2 ≠ 0
Paso 2: Es una distribución normal y su nivel de significancia es de α = 0.05
(cuando no se menciona en el problema este nivel será utilizado ya que es el
más apropiado)
Paso 3: Valor critico Zc = ± 1.96
Paso 4: En exámenes estandarizados practicados con anterioridad se obtuvo
una desviación estándar cercana a 10 puntos. Teniendo las siguientes muestras
simples independientes de cada centro:
Centro A: n1 = 30
Centro B: n2 = 40
Y las medias muestrales correspondientes son 821 =x y .782 =x ¿estos datos
indican que existe una diferencia significativa entre las medias poblacionales de
las escuelas?.
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Encontraremos el estadístico de prueba y lo compararemos contra los valores
del valor crítico, si este valor esta fuera de los límites de este valor se rechaza la
Ho y se considerara que existe diferencia significativa entre las medias
poblacionales de las dos escuelas.
( ) ( ) 66.1
4010
3010
0788222
2
22
1
21
21 =+
−−=
+
−−=
nn
Dxxz o
σσ
Como el estadístico de prueba está dentro de los límites del valor crítico, NO se
rechaza Ho.
Paso 5: Se acepta H0 y se considera que no hay evidencia suficiente para creer
que existe una diferencia significativa entre las medias poblacionales de las dos
escuelas.
Prueba de hipótesis para p1 – p2.
Ahora se consideraran las pruebas de hipótesis acerca de la diferencia entre las
proporciones de dos poblaciones. En tal caso, las tres formas de las pruebas de
hipótesis son las siguientes:
Si se supone que Ho, considerada como igualdad, es verdadera, se tiene que p1
– p2 = 0, que equivale a decir que dichas proporciones poblacionales son iguales
p1 = p2.
Como no se conoce p, se combinan los estimadores puntuales de las dos
muestras con el objeto de obtener un solo estimador puntual de p.
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La fórmula general de estadístico de prueba es:
Por ejemplo: una empresa que se dedica a la elaboración de declaraciones de
impuestos desea realizar una prueba de hipótesis para determinar si las
proporciones de errores en las dos oficinas son diferentes.
Para esto se requiere una prueba de hipótesis de dos colas:
Paso 1: Crear las hipótesis
Ho: p1 – p2 = 0
Ha: p1 – p2 ≠ 0
Paso 2: Es una distribución normal y como nivel de significancia se usara α=0.10
Paso 3: Valor critico Zc = ± 1.65
Paso 4: En los datos muestrales recogidos previamente se encuentra que
14.01 =p en una muestra de n1= 250 declaraciones de la oficina 1 y 09.02 =p
en una muestra de n2= 300 declaraciones de la oficina 2. Calcularemos el
estimador combinado:
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1127.0300250
)09(.300)14(.250
21
2211 =++
=++
=nn
pnpnz
Ahora calcularemos el estadístico de prueba:
85.1
3001
2501)1127.01(1127.0
)09.014.0(
11)1(
)(
21
21 =
+−
−=
+−
−=
nnpp
ppz
Como el estadístico de prueba z= 1.85 está fuera de los límites del valor critico
Zc = ± 1.65 se rechaza Ho
Paso 5: Se considera que hay evidencia suficiente para concluir que las
proporciones de errores de las dos oficinas difieren.
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Conclusión En esta sesión se estudiaron los procedimientos para realizar pruebas de
hipótesis cuando se tienen dos poblaciones. Primero se mostró como hacer
inferencia acerca de la diferencia entre dos medias poblacionales con muestras
aleatorias simples independientes y con desviaciones estándares conocidas. Se
usó la distribución normal estándar z que nos ayudó al cálculo del estadístico de
prueba.
Después estudiamos el caso de la diferencia entre dos proporciones
poblacionales.
En la siguiente sesión estudiaremos el último caso de las pruebas de hipótesis
estas se realizaran con el estadístico de la varianza poblacional y se hará
inferencia acerca de dos varianzas poblacionales.
Fuente: http://html.rincondelvago.com/000440910.png
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
• Contraste de hipótesis para diferencias de medias y proporciones
poblacionales. Consultado el día 30 de diciembre del
2013: http://augusta.uao.edu.co/moodle/file.php/284/14_contraste_de_hip
otesis_para_diferencias.pdf
Video relacionado con:
• (26 de mayo del 2010). Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias
poblacionales. Consultado el día 30 de diciembre del
2013: http://www.youtube.com/watch?v=64v6qJIggvo
• (06 de enero del 2013). Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos
proporciones. Consultado el día 30 de diciembre del
2013: http://www.youtube.com/watch?v=MqfEbUx3k8k
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de las Pruebas de hipótesis para
diferencia de medias y proporciones, resuelve el siguiente ejercicio:
Se aplicó un examen a dos grupos de alumnos, el primero con 40 y el segundo
con 50 estudiantes. En el primer grupo, la calificación media fue de 74 con una
desviación estándar de 8, mientras que en el segundo grupo la calificación
media fue de 78 y una desviación estándar de 7. ¿Hay diferencia significativa
entre el desempeño de las dos clases a un nivel de significancia de a) 0.05 y b)
0.10?
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma.
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Bibliografía
• Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.
ISBN: 970-686-278-1
• Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y
Estadística. (3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-607-
15-0270-4