30 .

Revista Colombiana de Estadística N- U , VlUembre de 19i6

ESTADÍSTICA DÉ PRUEBA PARA LOCALIZACIÓN

BASADA EN SECUENCIAS

Felipe FeAnández H.

Asistente de Docencia Universidad Nacional

Jorge Ortiz P. Profesor Asociado Universidad Nacional

Resuaen. El presente trabajo contiene algunos

de los principales resultados obtenidos de la

aplicación de la noción de secuencias al proble

jtcíi de comparación de la localización de dos po­

blaciones con base en dos muestrss independien-

jtes. Se propone modificar una estadística estu­

diada anteriormente, para explorar sus conse­

cuencias, obteniéndose resultados que la hacen

más favorable con respecto a propiedades tales

como la convergencia, potencia y simetría.

31.

1. Introducción.

Uno de los conceptos más estudiados en es­

tadística es el de Localización. Un caso cita­

do corrientemente en la literatura disponible

es la comparación de los parámetros de locali­

zación de dos poblaciones de igual varianza

distribuidas normalmente y varianza desconoci­

da; si estos supuestos se satisfacen y se dis­

pone de dos muestras aleatorias independientes,

la estadística más indicada para realizar ésta

comparación está dada por el cociente.

X-P-0

S (1/n+l/m)^

el cual sigue la distribución -t-student no cen

tral con n+m-2 grados de libertad y parámetros

de centralidad G, donde X, Y, son las medias 2

muéstrales y S la varianza ponderada. En mu-P

chas ocasiones se encuentra que los supuestos

antes mencionados no se satisfacen y entonces

surgen situaciones donde hay la necesidad de

aplicar procedimientos diferentes. Como caso

particular se encue^itran los procedimientos ba­

sados en secuencias o rachas en la eatadíatica

no paramétrica donde pruebas tales como el nú­

mero de secuencias o la longitud de la secuen-

32

cia más grande aon las más conocidas. Por otra

parte, pruebas no paramétricas tales como lea

de Wilcoxon y Van der Uaerden aunque son apli­

cables en secuencias no fueran originalmente

diseñadas con este propósito.

Específicamente en este campo, Ortiz (1983),

propuso el estudio de la familia general de e¿

tadísticas de localización dadas por la expre­

sión:

R l-é"^

^-1

donde R es el número de secuencias, S^ ea la

función indicadora del tipo de secuencia (de

tipo X o y) y Q_iltL .) es una función crecien­

te en los parámetros I (posición de la secuen­

cia) y L . (longitud) . Un caso considerado an-

teriormente es la eatadíatica

To - I (-1) ^ I L . / Í R ' I ) l ' l ^

la cual para muestras de igual tamaño mostró

por ejemplo tener igual potencia que la estadís

tica de Wilcoxon en los niveles de significa­

ción donde fue posible establecer comparación.

Sin embargo la ampliación del estudio a mues­

tras de diferente tamaño reveló algunas defi-

33

ciencias en lo que se refiere s au potencia,

desventajas en cuanto a su convergencia a la

distribución normal y falta de simetría.

En lo que sigue de este artículo sa presen

ta el cambio introducido sobre la estadística

y algunos de los principales resultados obteni^

dos.

2. Nodlficación Propuesta.

Teniendo en cuenta que sobre la estsdísti­

ca Tg no había estudios anteriores para mues­

tras de tamaños desiguales, se procedió a cal­

cular su distribución encontrándose algunas

faltas de sensibilidad para captar diferencias

extremas. Por ejemplo cuando n"'7 y m"3» la es­

tadística debería tomar sus valores máximo y

mínimo en las configuraciones extreaas, lo cual

no sa satisfizo. Para obaervar esto consideren

se las aiguientes secuenciaat

Uj : X X X X X X X K y y

a ^ s K X K X X X Y X Y Y

u ^ i X X X X X Y Y Y X X

denotando coa» TgCo^) a l v a l o r que t eaa T^

34

en la configuración u^ rápidamente se puede

verificar que

T^(aj) - 1, T^ iu^ ) - -1/3 y T^ iu^ ) - 5/2

y al ordenar estos valores tenemos que

T Q Í U 3 ) > T ^ i u i ) > T ^ í u j )

sin embargo obsérvese que U] es una configura­

ción extrema. En realidad, el cálculo de la dis

tribución de probabilidad de TQ para estos ta­

maños de muestras, indica que el cuantil TQÍUI)

corresponde a un percentil del 9.17%, lo cual

implica que T^ no detecta una diferencia máxi­

ma en localización como la que se presenta en

la configuración Uj <sn niveles de significación

inferiores a este valor, lo cual necesariamente

conlleva a un empobrecimiento en la potencia de

la prueba. For otra parte se puede verificar

que el número de valores distintos que se pre­

senta hasta el cuantil del 10%, es menor que el

número que se presenta por encima del 90%, por

lo cual se puede afirmar que T^ no es simétrica,

propiedad que sería deseable para una mejor con

vergencia hacia la distribución normal.

Aspectos como los anteriormente mencionadas,

pueden ser atribuíbles sl desequilibrio que se

35

presenta en las ponderaciones asignadas por

las longitudes L¿ de las secuencias ante situa^

ciones, donde los tamaños de las muestras son

diferentes. Esta característica se hace más

evidente en la medida en que el tamaño de una

de las muestras es relativamente grande compa­

rado con el de la otra. Por ejemplo en Uj don-

de Lj = 7 y L2 = 3 el peso que asigna L2 no es

suficiente para contrarrestar el efecto de L i .

Como las ponderaciones deberían ser equilibra­

das indenendientemente del tamaño de las mues­

tras, se consideró apropiado asignar los pesos

de las longitudes en términos relativos de

acuerdo con el tamaño de éstas. Por lo cual la

estadística considerada fue la siguiente:

h " J <- > ^ l-'SÍ IL j A,

itl ( TTTTT

donde n^ toma el valor n cuando la secuencia I

es de tipo X 6 m cuando es de tipo Y. Debe ob­

servarse que si n " m las estadísticas TQ y Tj

son equivalentes en eí sentido de que cualquie­

ra de ellas puede obtenerse como combinación li

neal de la otra. Por otra parte cuando la dife­

rencia en el tamaño de las muestras va crecien­

do, la correlación entre T^ y T^ va disminuyendo.

36

3. iesaltodos.

En esta sección se presentan y comentan a

continuación algunos de los resultados obteni­

dos .

3.1 SlaetrU.

En general puede demostrarse ^ue para cual­

quier estadística de la familia T¿ con función

de narámetros Q.i l ,L^) de la forma í¿*í-//' / don­

de Qy "•• ÍR-^+t ®* constante oara todo I ' 1,2,...R

es simétrica.^ ^ En el caao de T i , obsérvese

que Q.íl,L^) - l ^ L i f n i y que

q^+qjj.^+1 " ^+(R--c+l) - R+1

por lo cual se satiaface la condición anterior.

3.2 Valores Extreaos.

La estadística Tj asume todoa sus valores

dentro del intervalo [-l,l] tomando los valores

1 ó -1 en las configuraciones extremas, propie­

dad que la estadística TQ algunas veces no la

satisface con» escomentado en la sección anterior.

( ) üste resultado se encuentra demostrado en Fernández (1988)

37

3.3 Estudio de Convergoncla.

Laa grSficaa da la pigiaa aiguieate

laa diferenciaa alxiaaa ene ocurren para laa

diatribucionea de nrobabilidad de TQ y T| epo raapacto a la diatribueife aoraal para algmaoa

tamafioa de mueatraa. ^ Coao paade obaervaraa

la convergencia de la eatadísca Tj mejora en

comparación con el de la eatadíatica anterior.

Reaultados aimilarea ae obtuvieron en otroa ta*

mallos de mueatra estudiadoa.

3.4 Estudio de Poteacla en Poblaciones Noniol, Expononclel y V«1fof«o p»r9 Nuostpos Poco­tes Je TaaaHos Diferentes.

Población RorBOl. Las grlficaa 1 a 9 auaa-

tran laa curvea da potencia da laa eatadíatieaa

de Uulcoxon y T^ calculadaa en nivelen de aig-

nifieaeión coaparablea, adieionalaeata la tabla

1 preeenta loa reaultadoa nuaCrieea. Se obaer­

va en tirainoa geaeralaa quo la potaaeia da aa

baa eatadíatieaa aa igoal, ala aabargo T| lado

ce un aapoctro da valoreo aacbo ato aaplio qao

(a) El estudio ae realiaó hasta n y sr aatia^ciodo la condición HMI < 18.

38.

Estudio de convergencia

Máximo error de la aproximación normal de la función de distribución de T y T. pa­ra algunos tamafios de muestras.

Diferencia máxima 0.18-1 0.16> o . . . 0.14- \ *

O.I2J • P

o.ioJ X \ \ 0.08 i \ V O.OóJ Ov(MlJ 0.02^

o . p q ^ - , o 1 2 3

" I ' r * 5 6 7

Tamaños de m

Diferencia máxima

0.18 -i 0.16 J 0. u : 0.12 _

0 . 1 0 ,

0.08 -

0.06. .

O.Wt -

0.02 ..

-r °-

^.

\

n - 7

V T I • ' I

? 3 O 1

Tamaños de m

5 ' " T ' >

i 7

Diferencia máxima

39 .

0.20-. O. tS-0.16_ 0.14 J 0.12

o.io o.osJ 0.06-0.04-0.02

u

n - 6

o <

•• 1 • i ' 1 ! 1 ' 1 1 1

1 2 3 ^ 5 6

Tamaños de m

Diferencia máxima

9 0.221 0.20-0.18J 0.16. O. IV 0.12_ 0.10_ 0.081

0.06-0.04:

Ta

\

n - 5

I I ' I ' I

O 1 2 3

Tamaños de m

• ^ ^ t í - ,

•-• i 1 . ' I • I •

40

el de TQ y por lo tanto con T^ pueden realizar^

se prueves de hipótesis sobre una mayor varie­

dad de niveles de significación.

Para el cálculo de estas potenciaa se uti­

lizaron las tablas de Milton (1970), con las

cuales se obtiene exactitud en los resultados

hasta el orden del octavo decimal.

For otra parte debe mencionarse que la pxue_

be .t-student señalada en la introducción, es

uniformemente más potente en estas poblaciones,

razón por lo cual su potencia no puede ser su­

perada.

Población Exponencial. Lea gráficas 10 a

14 junto con la tabla 2 presenta los resultados

de los tamaños de muestra estudiados. Como pa­

trón general se observa un comportamiento simi­

lar en las estadísticas W y Ti con un desempeño moderado mejor respecto a la ;t-student.

Los cálculos fueron obtenidos utilizando

métodos de simulación para lo cual se generaron

8000 muestras para cada uno de los tamaños indi

cados, este tamaño garantiza que las estimacio­

nes de las potencias cercanas a 0.5 tienen un

margen de error de 0.012 mientras que las cerc£

ñas a 0.05 ó 0.95 tienen un error máximo de

0.002, ambas con un coeficiente de confianza del

41

95% (Burstein, 1971).

Población Uniforme. La tabla 3 junto con

^es gráficos 15 a 19, muestran que en general la

patencia de la ^-student es sensiblemente mejef

^me las de Tj y b/ con excepción del reaultado 0^

tañido para n " ! y m»6 (gráfica 15) donde se ob-

fUrva un comportamiento favorable de estas dos

ultimas con respecto a la ;£-student. Como en el

eUfo anterior, los resultados se obtuvieron uti

^|,(«ndo métodos de simulación bajo las mismas

(Ippdiciones de error.

»V2.

TABLA 1

Comparación de algunas potencias exactas de (tf y T. en poblaciones normales.

Prueba unilateral contra alternativas d en localización.

r ' ' i

TJ

I

^'

1 ^l

1 ^ ^r

•""I

/

| i r7«-6

|if7n-S

¡mlm-*

t ^ T w i

m*t fS

ir«i i .4

••.«•1-3

II-5M-4

« 4 1 ^ 3

> 0 . 0

0.069

0,06»

0,07«

0,07*

i 0,062

0,062

0,0M

0.058

0.041

0,0«1

0.0S7

0.0S7

O.OU

0,0*«

O.OM

0,096

O.OM

0,036

cl-0.2

0,133

0.132

0,129

0.129

0,136

0,135

0,095

0.09S

0,075

0,074

0.097

0.096

0.076

0,076

0.092

0.092

0.092

0.092

«t-0,4

0.20S

0,204

0,207

0,203

0.209

0,208

0,146

0,147

0,126

0,124

0,153

0.1S2

0.121

0.121

0.144

0,144

0,144

0,144

dH),6

0,311

0.308

0.307

0,303

0,303

0.300

0,213

0.214

0.196

0,193

0,227

0.223

0,178

0.178

0,212

0.212

0,212

0,212

¡<i>0,8

0,439

0.430

0,424

0,418

0,410

0.403

0.294

0,296

0,287

0.281

0,318

0,315

0.249

0.249

0,299

0.293

0.295

0.295

d-l.O

0.965

0,959

0.547

1 0.939

0,924

0.918

0,387

0.390

0,393

0,384

0,421

0,416

0.332

0,332l

0,391!

0.391'

0.391

0.391

<i-l.3

0.837

0,830

0.814

0,809

0,810

0.802

0,633

0,637

0,933

0,919

0,684

0,677

0.967

0,567'

O.643I

0,6431

0,6431

0,643

d-2,0

0.969

0.965

0.951

0.946

0,931

0.925

0.831

0.834

0.877

0.899

0,874

0.868

0,746

0.7*6

0,842

0,842

0,842

0,B*2<

<i-3.0

1.000

0.9991

0,999

0,999

0,9961

0.9971

0.98*1

0,989

0,999

0.990

0.993

0,991

0,972

0,972

0.967

O.NTI

0.9671

0,9671

«*3

6r<f1ca 1 n«7 n«6

u e e «i o a

1.00 0.3Q,

O.80J

0.70.

0.60-0.50.

0.3<K

0.20-0.10| O.OO

/

/

0.0 O.'S ' lio 1.^ 2.\) • 2.'5 3.6

Di ferenc ia de mediaa

Gráfica 2 n-7 n-5

o fi o o o.

].00n 0.90.. O.8OJ

O.7OJ

O.óO-0.50.

0^40-0.30^ 0.20^ 0.10; ^* 0.00-—r

/ /

t

/

I ' I • « • I ' I • I (».0 0.5 1.0 J.5 2.0 2.S 3.0

Diferencia de mediaa

u^.

« •l-l

u e 0) u O o.

l.OO

0,.9Q.

0.8a:

o. 70 :

0.60,

O,, 50 .

0 .40 :

0,30

0.20, A

0.10

0. OO

Gráfica 3

r

n-7 m-4

.<p

p

..o

T - T — r — ! — I — ^ — i - i

Q.O O.'s 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Diferencia de medias

u c 0) u O o.

0,90

0.80

0 .70 .

0.60. J

Ou 50 -

0.3O-

0.2CJ-

0.10

Grá f i ca 4 n-7 m-3

0.00

/ r

T

é

L ' I - ' :«i- 3.1 Olo O.'S l.'O l.'S 2J0 2,$- 3.0

Di fe renc ia de medias

[T]w

0 ^ 1

45,

Gráfica 5

m Cl

e

o

I.OOn

0.90^ 0.8QL

0.70.

O.CO^

O.SOL

O M l

0.3»

0.20^

0.1» ^0-

0,00- - ^

11-6 III-5

Jt

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.Q

Diferencia de medias

Gráfica 6 1.00.^

0.90-0.80.

0.70.

0.60-

0.-50-

0.40-

0.30-

0.20-

n>6 m-4

a

0.10^

0.00 J-*^

^ 1 1 I ' I ' L ' L ' I 0.0 0.5 K O t.S 2.0 2.5 3.0

Diferencia de medias

E3»

CojTi

i f S .

Grá f i ca 7

co •H O

c 0)

o o.

l . O O . .

0.90-

0.80J

0.70-0.60:

0.50-

0.40-

0.30-

0.20J

0.10-

0.00-

.0

i i«6 SI-3

^ r » '

o!o 0.5 1.0 1.5 2^0 2.5 3.0

D i f e r e n c i a de m e d i a s

Sil

Grá f i ca 8

cd •H y c 01

o o.

1.00-0.90-O.BO:

0.70.

0.60.

0.50.

0.40:

O.30J

0.20-i

o.ia 0.0a •

n=5 m^i

[TjW

^ I — r — • |i » I — • — r — 1 ^ — í — " — I

OvO 0.5 IvO 1.5 2.0 2.5 3^0

D i f e r e m c i a de s K d i a s

e s

I 4)

l.OOu

0.90^

o.ao^ o;70-

0.60-

0.50-

0.40-

O.30J

O.20J

0.10-

0.00-

G r á f l c a 9 n=5 m=3

9

-i ! 1 1 r -I 1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Diferencia de medias

47.

Grá f i ca 10

1

1.00^

0.90-0.80:

0.70-0.60:

0.50_ o.íio: Q.30:

P. 20 -0.10-Q 00 J u.vv .-

.•

/

1

-

i

n-7 m«6 (ExpO

_ _ - - - - B ^ i y w I T ^ Í - s t u d e n t

1 I * I 1 I

0.0 0.5 l.p 1.5 2.0 2.5 3.0

D i f e r e n c i a de medias

íf8.

TAM.A 2.

Coaparación de algunas poblaciones simuladas V« T.. y -student en poblaciones exponencia­les con parámetro lamda - 1. Prueba unilateral contra alternativas den localización.

l?nMlM

j « ! Ti

|e-«tadMC

V

Ti

It-acadMt

«

1 ' U-sCadMtt

V

1 ' U-«tadMt

»

T,

L ^ llf«M4

•••71*4

1^711.*

• « • * 4

'

n l „ J

*K>,0

0.0366

0.03S1

0,0366

0.0490

0.0*63

0,0460

0.0460

0.0430

0,0*20

0,0649

0.0649

0.066S

0.1297

0,1316

«.lassl

d-0.2

0.1006

0.1013

0,0671

0.1209

0,1227

0,1003

0,0892

0,0679

0.0762

0.1439

0.1442

0.1336

0.2S1*

0.24M

».23M

<W>.4

¡0.2061

0,2104

0,1692

0.2369

0.2390

0,1839

0,1730

0,1629

0,1360

0.2969

0,2579

0.2239

0.3S73

0.36461

0.36S6

<M),6

10.3329

0,3369

0.2739

0,3707

0,3730

0,2969.

0,2839

0,2790

0^2231

0,3936

0.3699

0.344S

e.9tS7

0.9116

0.46M

(M.8

¡0,4662

0.4669

0.4069

0 .90n

0.9042

0.4239

0.399*

0.3860

0.3192

0.9167

0,9122

0,*7M

0.6913

«.6330

ítísfá

k'l.O

0,9923

0,9930

0.9386

0.63*0

0.6192

0,9479

0,9491

0.9166

0.*76*

0.63*0

0.626*

0.6010

0 . 7 5 a

0.7327

Stsm

4-1.9

0.622*

0.8132

0,7697

0,8373

0.6276

0.7663

0.7662

0.76*9

0.7396

0.6362

0.6293

0.6199

0.90*31

0.86S6

.«l»»l

d-2.0

0.9239

0.9277

¡0.9162

0.93*7

0.9299

0.91*7

0.90*3

0.900*

0.8741

0.9399

0.9264

0.9196

0.96361

0,99*2

s.jwoj

1^3.0 1

¡0,9886

¡0.9873

0.9902

0.9669

0.9672

0.9692

0.963o|

0.98?^

0.96aJ

,.„^ OIMÜJ

\pm 0 . 9 9 ^

ojaj

u e o w O e.

Gráfica 11

1.00-1 0.90.

0.80-0.70-O.áO. O.SO. 0.40. 0.30H

0.10-1'-0.00

/

49.

n"7 Nr*5 (Exp.)

C J t ' a t u d a n t

T-»-r 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Di ferenc ia da aad iaa

o 8 « w O SL

1 . 0 0 <^

0.90 -0.80 . 0.70 .

0.60. 0.50.

e.4o> 0.30. 0.20 .

0.10 « 0,00

Gráfica 12

/ .

l i t •

u

N.y M*4 (Bxp . )

Qt-a tudaae

< i • I • I < I • I I 0.0 0.5 1.0 t.S 2.0 2.5 3.0

Difaraaeia da aadiaa

«Oi

•rt u e 4) u o O.

8;.50-

o.fco:

O.30J

0.20-0.10 0.00

G r á f i c * 13 « • * m-5 (Earp.)

CT^-student

Q T ^ y W

/

/

/

-t—T" ' I ' I ' I • .

0.0 0.5" 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Di fe renc ia de medias

Gráficas 14

u s « o-

1.00.n 0.90: 0.80^ 0.70-

0^0 -0.50-o.4o: 0.J»-

'ft.!1» U20- /

/

//•

n-6 m-4 (Exp.)

E l Ti y W

n ^ s t u d e n t

' I ' I ' I ' I ' » ' I <0U> 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 J.O

Dl f wr aac4ai.. da., mad 1 aa>

51.

TABLA 3

Comparación de algunas potencias simuladas de W, T y í-student en poblaciones unifor mes (0,1). Prueba unilateral contra alterna tivas den localización.

— I —

d-O.O d'O.ll d - a . i (l-0,3|d-0,4 d.0,5|d'0,6 Fru.b. TsaaSoa

«.7 m.6 0,1145 0,2636 0.4748 0,6853 0,8483 O,9430 0,9843

0.1091 0.2515 0.4555 0.6714 0.8381 0.93821 0.9836

{-stud.nt 0.1042 0.2403 0.4516 0.6890 0.874S 0 .96M 0.9949

« • 7 iii"5 0.1104 0.230S 0.4120 0.6172 0,796010. I 0.9720

0.1084 0,234C 0.4206 0.6228 0.7981 0.920810.9766

. ( -« tudao t 0.1001 0.224« 0.4224 0,6604 0.8388 0.95601 0.9906

i i"7 m"4 0.0523 0.1312 0,2592 0,4300 0.6093 ,8995 I n

U_ 0,0567 0.1530 0.2940 0,4713 0.6450 0.80771 0,9160

¿-•tndaac O.O510 0.1227 0.2498 0.4268 0,6360 0,814t( 0.9415

Ka6 in>5 0.0922 0.2039 0.3642 0.5980 0.7423 0.670^ 0.9482

0,0923 0,1991 0,3651 0.5622 0.7487 0.8763| 0.9536

^¡-•tttdaBt 0,0933 0,2004 0,3891 0,6003 0.6007 0.922*1 0.9798

11.6 11.4

•'1

. t - a tudan t

0.0691

0,0652

0.0863

0,1963

0,190!

0,1948

0.3453

0,3417

0,3427

0,5163

0,5142

0.5453

0,6667

0,692i

0,729C

0,8333 0,9287

0,8323 0,9336

I 0.9620

52.

G r á f i c a 15 n - 7 m«6

u « o o.

I ' I ' í ' I ' I ' I f ' I

0.0 02.0.Í» 0.6 0.81.0 1.2 I.V 1.6

Diferencia de medias

cm student

EEl i

o c a>

o O.

1.00-0.90.

0.8G.

0.70-

0.60-

0.50-

O.liO-

0.30.

1»--20J

0.10

Grá f i ca 16 n-7 m-5

. • • /

. j y

/

/

U /

/

/

T T T aOOO.10 0.20 0.30a40 o.so 0.6p

3 .t-student

BTi

Diferencia de Medias

53.

u e

o O.

l .OO

0.90 Oi8lÍ

0.7Q

oM 0 . ^

0.4CÍ

0.30

0.20 0.10 O.OO

Grá f i ca 17 n-7 m-4 (Unif.)

. y

^

•••y . . ' J l '

' I • I ' I ' I ' I • i 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0;60

Diferencia de medias

QX-stttdent

ElTi

o e «

1.00.^ 0.90-0.80.

0.70. 0.60. 0.5a: 0.4

0.304 0.2a 0.104^

.0.0»

Grá f i ca 18 K«6 mas (unif)

/ y

. / y

/

' i ' I ' I • I ' I ' I Q.OO O.IÓ 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

Diferencia de medias

CTÜ -t-studant

B ^ i o»

5 4 .

co •H U e (U u O o.

I.OO-j

).90.

1.0

• o 0.8o. 0.70.

0.60-0.5a

o.4d 0.3a

0.2d o » i a /

Gráfica 19 n-6 m-4 (Unif)

y /

/

/

coa 0.00o.io 0.20 0.30 0.4o 0.50 0.60

P .¿-student

BTI

Bw

Diferencia de medias

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