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Estado Slido

Estructuras Cristalinas

Cristal

Un cristal es un arreglo peridico de tomos ogrupos de tomos que es construido por la repeticin infinita de estructuras unitarias idnticasen el espacio. La estructura mnima puede ser untomo o un conjunto de tomos formando una molcula.

Estructura Cristalina

La estructura de cristal puede ser descrita entrminos de una red (arreglo peridico de puntos en el espacio, abstraccin matemtica), con un grupode tomos unidos a cada punto de la red. El grupode tomos es llamado la base.

Red + Base = Estructura Cristalina

Red

La red est definida por tres vectores fundamentalesde traslacin a1, a2, a3, de tal manera que el arreglo atmico se vea igual cuando se observa desde cualquier punto r.

As, cualquier punto de red r puede ser obtenido desde otro cualquier punto de red r ms una combinacin lineal de los vectores.

r = r + u1a1 + u2a2 + u3a3

Red

La red tiene una simetra de traslacin definida por T

Si el desplazamiento de cualquier par de puntos de la red ra r puede ser definida por T con un determinado conjunto de enteros u1, u2 y u3, entonces a1, a2, a3 se denominan vectores primitivos de la red. El volumen definido por los vectores primitivos de la red es el menor posible.

T = u1a1 + u2a2 + u3a3

V = |a1a2a3|

Celdas

Celda Unitaria. Unidad que se repite en el cristal. Su volumen se define por los vectores a1, a2, a3.Celda Unitaria Primitiva. Es la unidad ms pequea y se define cuando a1, a2, a3 son vectores primitivos.Celda de Wigner-Seitz. Es una celda primitiva.

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Celda de Wigner-Seitz

Se toma un punto de red.Se trazan lneas a todos los puntos vecinos.Se trazan planos (en 3D) o lneas (en 2D) perpendiculares y que bisecten a las lneas trazadas anteriormente.El volumen o rea obtenida es la celda de Wigner-Seitz.

Estructura Cristalina

+ =

Simetra

Para construir las estructuras cristalinas, adems de la simetra de traslacin, es necesario hacer uso de las consideraciones de simetra.

Tipos de Simetra

Rotacin. Cada punto de la red realiza un giro de 2/n alrededor de un eje de referencia. El nmero n puede ser 1, 2, 3, 4 y 6. Se denomina simetra n.Inversin. Una simetra donde cada punto (x, y, z) se mapea a (-x, -y,-z). Se denomina simetra i.Reflexin. Existe un plano de tal suerte que alcambiar una de las coordenadas por su negativo, todos los puntos de la red se mapean nuevamente sobre los puntos de la red. Se denomina simetra m.

Pgina Provisional

http://www.mty.itesm.mx/decic/deptos/f/f811-01/home.htm

Redes en 2 Dimensiones

Red cuadrada|a| = |b|; = 90

a

b

a

b

Red hexagonal|a| = |b|; = 120

a

b

Red oblicuaa b, 90

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Redes en 2 Dimensiones

Red rectangular|a| |b|; = 90

a

b

Red rectangular centrada: los ejes semuestran para ambas celdas primitivas ypara la celda unitaria, para |a| |b|; = 90

a

b

a

b

Actividad

Dibujar un punto.Colocar otro punto a una distancia a y juntar ambos puntos con una lnea.Dibujar una lnea adicional rotada por un ngulo de 2/n (n=2,3,4,5,6,7).Colocar un punto a la misma distancia a al final de la lnea.Repetir los pasos 3 y 4 hasta que se forme un objeto con simetra rotacional de n.Tomar un punto diferente al que iniciaste y repetir el procedimiento delos pasos 2, 3, 4 y 5.Identificar celdas unitarias.Demostrar que en los casos n=5,7 NO se genera un estructura consimetra traslacional.

Entender el papel de la simetra rotacional para la existencia deposibles estructuras cristalinas en dos dimensiones.

14 Redes de Bravais (3D)

SistemaNmero

deredes

Restricciones en los ejesconvencionales de lacelda y los ngulos

Triclnica 1 a b c

Monoclnica 2 a b c = = 90

Ortorrmbica 4 a b c = = = 90

Tetragonal 2 a = b c = = = 90

Cbica 3 a = b = c = = = 90

Trigonal 1 a = b = c = = < 120, 90

Hexagonal 1 a = b c = = 90 = 120

Simetras de los Sistemas

Una simetra 6HexagonalUna simetra 3Trigonal4 simetras 3 en las diagonales del cuerpoCbicaUna simetra 4TetragonalTres simetras 2 perpendicularesOrtorrmbicoUna simetra 2MonoclnicoUna simetra iTriclnicoSimetraSistema

Los ndices de Miller

Define los ejes.Toma las intersecciones del plano en unidades de las constantes de red.Calcula el recproco de los nmeros obtenidos y redcelos al menor entero.

Ejemplos

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Po K

Vectores Primitivos para BCC FCC

Vectores Primitivos para FCC HCP

5

Vectores Primitivos de HCP FCC vs HCP

CsCl NaCl

Diamante CdS

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Actividad

Nmero de puntos de red por celdaEl volumen de la celda primitivaLos puntos de red por unidad de volumenDibuja los vecinos cercanos de cada estructuraLa distancia de los vecinos ms cercanos

Existen tres estructuras cbicas, simple (sc), centrada en elcuerpo (bcc) y centrada en la cara (fcc). Demuestra para las tres estructuras lo siguiente: