estadÍstica objectius - losclicos.files.wordpress.com · els graus de cada sector es calculen amb...

Departament de Matemàtiques Escola Tècnica Professional del Clot

1

ESTADÍSTICA

Objectius

Freqüències d’una sèrie estadística. Càlcul i representació.

Estudi dels paràmetres estadístics: o Mesures de centralització:

Mitjana aritmètica Mediana Moda

o Paràmetres de dispersió: Recorregut Desviació mitjana Variància Desviació típica

1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

L’estadística és la ciència que proporciona mètodes pel tractament de les dades,

permetent comprovar la verificació o no de certes relacions o lleis.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

La finalitat és recollir dades d’un procés aleatori, classificar-les, representar-les

gràficament i reduir-les a nombres estadístics.

Per fer l’estudi necessitem uns conceptes bàsics:

Població: conjunt sobre el qual es realitza l’estudi estadístic.

Individu: és qualsevol element del conjunt població.

Mostra: és el conjunt d’alguns individus d’una població que és representatiu

d’aquesta.

Caràcter: és l’aspecte, el fenomen o la qualitat que s’estudia en cadascun del

individus de la mostra.

Tipus de caràcters:

o Qualitatius: (qualitats) sexe, professió, ... S’anomenen atributs. Poden

ser:

Nominals: no són ordenables, sexe, ...

Ordinals: es poden ordenar: notes,...

o Quantitatius: (nombres) edats, alçades,.... S’anomenen variables

estadístiques. Poden ser:

Discretes: només poden prendre determinats valors. Ex: el

nombre de fills,...

Contínues: poden prendre tots els valors d’un interval. Ex:

alçades.


2

2. FREQÜÈNCIES

Mitjançant un procés s’estudia un caràcter d’una població. Aquests procés llança unes

dades, repetides o no, que s’anomenen sèrie estadística. Quant organitzem i agrupem

aquestes dades apareixen els conceptes relacionats amb freqüències:

Freqüència absoluta (ni): corresponent a la dada xi, d’una sèrie estadística, és

el nombre de vegades que apareix aquesta dada ni.

Freqüència relativa (fi): és el quocient entre la freqüència absoluta d’xi (ni) i el

nombre total de dades de la sèrie estadística (n).

n

nf i

i k

nnnn ...21

Freqüència absoluta acumulada (Ni): respecte de la dada xi és la suma de les

freqüències absolutes de totes les dades, fins la xi inclosa. Si són qualitatives

han d’estar ordenades. i

iiii

nnnnN1

21... Si hi ha k dades nN

k

Freqüència relativa acumulada (Fi): respecte a la dada xi és la suma de les

freqüències relatives de totes les dades, fins la xi inclosa. Si són qualitatives han

d’estar ordenades. i

iiii

ffffF1

21... Si hi ha k dades 1

kF

Intervals de classe: S la variable és contínua s’agafen intervals normalment de la

mateixa amplitud. Poden ser [ ) o ( ].

La marca de classe és el punt mig de cada interval.

Taula de freqüències

Per a una lectura més fàcil d’una sèrie estadística, les freqüències s’ordenen en taules:

xi Freqüències ordinàries Freqüències acumulades

Absoluta ni

Relativa fi

Absoluta Ni

Relativa Fi

Suma (n)


3

Exemple 1

Al mesurar el diàmetre de 10 cargols anotem el seu valor. Trobar totes les freqüències:

1,2 cm 1,4 cm 1 cm 1,2 cm 0,8 cm

1,4 cm 1,2 cm 1 cm 1,4 cm 1,2 cm

xi Freqüències ordinàries Freqüències acumulades

Absoluta ni

Relativa fi

Absoluta Ni

Relativa Fi

0,8 1 1/10=0.1 1 0.1

1 2 2/10=0.2 3 0.3

1.2 4 4/10=0.4 7 0.7

1.4 3 3/10=0.3 10 1

10 Exemple 2

Al agafar 8 caramels anotem el seu color:

Groc, vermell, groc, blau, vermell, verd, groc, vermell.

Fer la taula de freqüències:

Color del caramel

Freqüències ordinàries Freqüències acumulades

Absoluta ni

Relativa fi

Absoluta Ni

Relativa Fi

Groc 3 3/8=0.375 3 0.375

Vermell 3 3/8=0.375 6 0.75

Blau 1 1/8=0.125 7 0.875

verd 1 1/8=0.125 8 1

8 Exercici 1

Completa la següent taula de freqüències, feta amb un estudi sobre el nombre de fills

en 50 famílies en Barcelona l’any 2001:

Nombre de fills xi

Freqüències ordinàries

Absoluta ni

Relativa fi

0 16 0,32

1

2 13

3 3

4 0,02


4

Solució:

n =50

n

nf 4

4

15002.044 nfn

17)131316(502n

La resta normalment.

Exercici 2

Les notes de 25 alumnes en un cert control han estat:

5,8 5,3 4,8 8,9 8 7,8 7,5 6,8 4 7,5 4,5 5 5

8,3 5 8,3 5,8 10 7,8 6,5 9 10 8,3 4,8 8,9

Escriu la taula corresponent agrupant en classes d’amplitud 1 punt amb les freqüències

absolutes i relatives de cada classe.

Freqüències ordinàries Freqüències acumulades

Notes xi Absoluta

ni Relativa

fi Absoluta

Ni Relativa

Fi

(3,4]

(4,5]

(5,6]

(6,7]

(7,8]

(8,9]

(9,10]

Solució: Freqüències ordinàries Freqüències acumulades

Notes xi Absoluta

ni Relativa

fi Absoluta

Ni Relativa

Fi

(3,4] 3,5 1 0,04 1 0,04

(4,5] 4,5 6 0,24 7 0,28

(5,6] 5,5 3 0,12 10 0,40

(6,7] 6,5 2 0,08 12 0,48

(7,8] 7,5 5 0,2 17 0,68

(8,9] 8,5 6 0,24 23 0,92

(9,10] 9,5 2 0,08 25 1

25

Nombre de fills xi

Freqüències ordinàries

Absoluta ni

Relativa fi

0 16 0,32

1 17 0,34

2 13 0,26

3 3 0,06

4 1 0,02

50


5

3. REPRESENTACIONS GRAFIQUES

La informació sobre les variables es pot resumir en gràfics:

Diagrama de barres: sobre l’eix de les abscisses es representen els valors

possibles de la variable estadística. Sobre cada valor s’aixeca un segment

(barra) que representa la freqüència absoluta, la relativa o la acumulada.

Polígon de freqüències: és la línia formada per la unió de segments dels

extrems de les barres de distribució de la sèrie estadística.

Histograma: rectangles amb la base l’amplitud de la classe i l’alçada la freqüència absoluta o relativa. El polígon de freqüències s’obté unint els punts mitjos de la base superior dels rectangles.

Diagrama de sectors: és un cercle en el qual dibuixem sectors l’àrea del qual és proporcional a la freqüència de cada dada de la sèrie estadística.

Els graus de cada sector es calculen amb la fórmula: n

ni

i

360

Pictograma: dibuixos que fan referència al caràcter que s’està estudiant. La

mida és proporcional a la freqüència que representen.

Cartogrames: gràfics realitzats sobre mapes.

Exemple 3

En una comarca la població té les següents ocupacions:

Població ocupada Persones

Agricultura 450

Indústria 850

Construcció 382

Serveis 1200

2882

Dibuixa el diagrama de barres i el polígon de freqüències


6

Exemple 4

Es fa un test a 20 persones i s’obtenen les puntuacions següents:

45 36 23 52 23

38 45 38 32 38

52 32 36 45 52

38 23 45 32 38

Dibuixa l’histograma i el diagrama de freqüències:

Puntuació xi ni

(20,30] 25 3

(30,40] 35 10

(40,50] 45 4

(50,60] 55 3

20

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Agricultura Indústria Construcció Serveis

Fre

qü

èn

cie

s ab

solu

tes

Sector

Ocupació per sectors

(20

,30

]

(30

,40

]

(40

,50

]

(50

,60

]

2

4

6

8

10

Intervals

Freq

üèn

cies

ab

solu

tes


7

4. PARÀMETRES ESTADÍSTICS

S’utilitzen per comparar variables estadístiques (qualitatives).

Es poden comparar els valors centrals (paràmetres de centralització) o les desviacions

respecte d’aquests valors (paràmetres de dispersió).

4.1 Paràmetres de centralització

a) Mitjana aritmètica (_

x ) : es calcula sumant tots els valors i dividint-los pel total

d’individus de la mostra.

n

nx

x

k

i

ii

1_

b) Mediana: és el valor central de la mostra un cop ordenats els valors. Es pot

calcular veient quin valor ocupa la posició 2

1n

Si n és parell es fa la mitjana entre els valors anterior i posterior. Si n és senar

és el valor de la posició exacte.

c) Moda: és el valor de la sèrie que té major freqüència absoluta. Pot tenir més

d’una moda (bimodal, trimodal, ...)

Per fer els càlculs es sol utilitzar una taula:

Exemple 5

El nombre de gols marcats per un equip en 30 partits de futbol han estat:

0 1 6 3 2 6 1 5 4 6

2 1 3 4 2 2 3 2 1 3

2 3 2 1 3 2 2 6 1 2

Calcula els paràmetres de centralització:

a) Mitjana aritmètica

b )Mediana

c) Moda.

ix in iN iinx

suma

suma


8

a) Mitjana aritmètica:

7,230

811_

n

nx

x

k

i

ii

b) Mediana:

5,152

31

2

130

2

1n

c) Moda: 2

ix in iN iinx

0 1 1 0

1 6 7 6

2 10 17 20

3 6 23 18

4 2 25 8

5 1 26 5

6 4 30 24

30 81

Posició 15: 2

Posició 16: 2 Mediana: 2 gols

Mitjana aritmètica: 2,7 gols

Moda: 2 gols


9

4.2 Paràmetres de dispersió

Amiden el grau de separació respecte d’una mesura central.

a) Recorregut: és la diferència entre els valors extrems de la variable.

b) Desviació mitjana (d ): és la mitjana de les desviacions dels valors respecte de

la mitjana de la distribució.

n

nxx

d

k

i

ii

1

_

c) Variància ( 2

): és la mitjana dels quadrats de les desviacions respecte de la

mitjana

2__

2

2_

1

2

1

2_

2

)(

xxxn

nx

n

nxxK

I

ii

k

i

ii

La variància és la mitjana dels quadrats menys el quadrat de la mitjana.

d) Desviació típica ( ): és l’arrel quadrada positiva de la variància.

Per fer els càlculs es sol utilitzar una taula:

ix in iinx _

xxi ii nxx_

ii nx 2

suma suma suma suma

Exemple 6

Les notes finals de matemàtiques d’un grup d’alumnes es recullen en la següent taula:

ix 2 3 4 5 6 7 8 9 10

in 3 2 7 14 10 12 5 3 2

Calcula els paràmetres de dispersió: recorregut, desviació mitjana, variància i desviació

típica.


10

ix in iinx _

xxi ii nxx_

ii nx 2

2 3 6 3,87 11,61 12

3 2 6 2,87 5,74 18

4 7 28 1,87 13,09 112

5 14 70 0,87 12,18 350

6 10 60 0,13 1,3 360

7 12 84 1,13 13,56 588

8 5 40 2,13 10,65 320

9 3 27 3,13 9,39 243

10 2 20 4,13 8,26 200

58 341 85,78 2203

a) Recorregut: 10-2 =8 b) Desviació mitjana: prèviament s’ha de calcular la mitjana

87,558

3411_

n

nx

x

k

i

ii

47.158

74,851

_

n

nxx

d

k

i

ii

c) Variància:

2__

2

2_

1

2

1

2_

2

)(

xxxn

nx

n

nxxK

I

ii

k

i

ii

53,345,3498,3787.558

2203 2

2_

1

2

2 xn

nxK

I

ii

d) Desviació típica:

87,153,3

47,1d

87,1

53,32

Recorregut: 8


11

Variables contínues

Si les variables són contínues es divideixen per intervals. Els valors de la columna ix

són les marques de classe i es tracten com una variable discreta.

La moda és l’interval que té una freqüència absoluta més gran.

La mediana :

o Si n és parell es calcula el valor de la posició 2

n

o Si n és senar es calcula el valor de la posició 2

1n

Per calcular el valor de la posició es fa una interpolació lineal.

Els altres paràmetres es calculen amb ix.

Exemple 7

Les alçades d’un grup d’alumnes són:

Alçades Alumnes

(155,160] 2

(160,165] 6

(165,170] 8

(170,175] 9

(175,180] 4

(180,185] 1

Determina la moda, la mediana, la mitjana i la desviació típica.

Alçades ix in iN iinx ii nx 2

(155,160] 157.5 2 2 315 49612,5

(160,165] 162.5 6 8 975 158437,5

(165,170] 167.5 8 16 1340 224450

(170,175] 172.5 9 25 1552,5 267806,25

(175,180] 177.5 4 29 710 126025

(180,185] 182.5 1 30 182,5 33306,5

5075 859637,75


12

Moda: és l’interval (170,175].

La mediana

n és parell, la posició és 152

30

2

n

8 → 165

16 →170

15 →?

La mitjana aritmètica:

166,16930

50751_

n

nx

x

k

i

ii

166,169_

x

Desviació típica: Primer necessito calcular la variància:

45,37166,16930

75,859637 2

2_

1

2

2 xn

nxK

I

ii

La desviació típica:

12,645,37

170 −165 = 5

16 − 8 = 8

15 – 8 = 7

5

7 1

78

5 p

375.48

75p

375.169375.4165

p

Mediana: 169,375 cm

La mitjana aritmètica: 169,166 cm

Desviació típica: 6,12 cm

Moda: (170,175].

estadÍstica objectius - losclicos.files.wordpress.com · els graus de cada sector es calculen amb...

Documents