PRIMER MES

Nombre de la asignatura:

Estadstica Descriptiva

Parcial de estudio:

Primero

IntroduccinConceptos bsicos, medidas de tendencia central y de dispersin, probabilidadesHablar del mundo de la administracin de los negocios, de la gerencia de las empresas de produccin de bienes y servicios o de comercializacin de productos es conversar de actividades que generan una gran cantidad de datos estadsticos, tanto cualitativos como cuantitativos, los cuales deben ser cuidadosamente coleccionados y ordenados para ser tratados estadsticamente, a fin de generar informacin valiosa y oportuna para la toma de decisiones. Cualquier emprendimiento debe sustentarse en un estudio estadstico que permita evaluar el riesgo.

La descripcin de datos comprende el estudio de las medidas de ubicacin o de tendencia central y las medidas de dispersin, lo que conduce a la comprensin de la forma como estn distribuidos los datos provenientes de una investigacin, sean estos, datos sin agrupar (datos a granel) o agrupados en una distribucin de frecuencias.

Las medidas de tendencia central que se estudiarn son: media, mediana y moda; y las medidas de dispersin: rango, desviacin media y desviacin estndar.

Las medidas de ubicacin o de tendencia central sealan el centro de la distribucin de los datos, mientras que las medidas de dispersin indican cuan concentrados o dispersos se encuentran los datos con respecto a un valor central. Por ejemplo, la desviacin estndar nos da la medida de la dispersin respecto de la media aritmtica, comnmente conocida como media.

La descripcin de datos tambin comprende su presentacin grfica y su anlisis. Una de las tcnicas estadsticas para representar un conjunto de datos es el diagrama de tallo y hojas. La descripcin de los datos se complementa con el clculo de los cuartiles, deciles y percentiles; la elaboracin de los diagramas de caja y determinacin del sesgo o asimetra de la distribucin de los datos. El estudio de la probabilidad permite a la estadstica realizar anlisis predictivos de eventos o situaciones que pueden darse en el futuro, y que podran afectar no solo el desenvolvimiento de las empresas, sino su supervivencia misma.

Asesora didctica

En la gua de este parcial debe realizar cuatro actividades de aprendizaje.

Para resolver la actividad de aprendizaje 1.1., inicie su estudio leyendo el captulo I, Introduccin, pp. 1-6 del texto gua Estadstica para Administracin y Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S.

Esto le permitir conocer cules son los objetivos del curso, algo sobre la historia de la estadstica, su divisin y las caractersticas del texto gua, para que sepa cmo usarlo.

Es recomendable que destine un cuaderno de trabajo, en el cual usted ir desarrollando y resolviendo los ejercicios de su gua y tambin los problemas de autoevaluacin.

Del captulo 2, estudie 2.1. Cmo podemos ordenar datos? pp. 8-10. Este tema permite tener una idea clara sobre las precauciones que debe tener presente en la recoleccin de datos para un estudio estadstico.Lea con atencin los ejercicios que se exponen en 2.2. Ejemplos de datos sin procesar, a continuacin, en su cuaderno de trabajo realice las aplicaciones del ejercicio 2.2. p. 12 del texto gua.Estudie el tema 2.3. Ordenamiento de datos en arreglos de datos y distribuciones de frecuencias, pp. 12-16, inmediatamente en su cuaderno de trabajo realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 2.3. p. 16, cuyas soluciones las puede ver en la p. 19.

Luego de comprender toda la temtica expuesta, podr resolver los ejercicios de la actividad de aprendizaje 1.1.

Nota 1.1.

Clasificacin de la estadstica, tipos de variables y niveles de medicin

En este cuadro se presenta un breve resumen sobre la clasificacin de la estadstica, los tipos de variables y sus niveles de medicin.

Tipos de estadstica Estadstica descriptiva

Estadstica inferencial

Tipos de variables Cualitativas

Cuantitativas

Discretas

ContinuasNiveles o escalas de medicin De las variables cualitativas

Nominal

Ordinal

De las variables cuantitativas

De intervalo

De raznPara complementar el estudio de estos temas, lea las siguientes pginas web:

http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/insIntrod2.htm,

Representaciones grficas de datos cualitativos. Los datos cualitativos se organizan en tablas de frecuencias. Este tema no se encuentra en el texto gua, pero es importante que lo sepa, por lo que tendr que buscar informacin en otros textos o en Internet.Grfica o diagrama de barras. Conjunto de barras separadas que se usa para representar datos sobre todo cualitativos, que se han resumido en una tabla de frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. En el eje horizontal se representan las categoras y en el eje vertical las frecuencias.Grfica o diagrama de pastel o de tarta. Grfica circular que se usa para mostrar datos cualitativos de nivel nominal, donde a cada categora le corresponde un sector circular de rea proporcional a su frecuencia o porcentaje. La suma de los sectores debe dar 100%.

Estas grficas se hacen fcilmente usando el Excel.Para ampliar sus conocimientos sobre este tema, lea la siguiente pgina web:

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/graficos/graficos.aspPara resolver la actividad de aprendizaje 1.2.

Estudie el tema 2.4. Construccin de una distribucin de frecuencias, pp. 20-22 del texto gua; lea sugerencias y suposiciones en el encabezado de la p. 25 y luego realice la autoevaluacin ejercicios 2-4, p. 25, cuyas soluciones se encuentran en la p. 29.

En el texto se dice que en las aplicaciones de la vida real, donde se manejan grandes volmenes de datos, para construir las distribuciones de frecuencias se usan paquetes computacionales. Usted tambin lo puede hacer; sin embargo, conviene que los ejercicios de la gua lo haga a mano, toda vez que de esta forma se estar preparando para las pruebas.

Estudie el tema 2.5. Representacin grfica de distribuciones de frecuencias, pp. 29-34, aqu se explica lo que es y cmo se construye un histograma, un polgono de frecuencias y una ojiva o polgono de frecuencias acumuladas, (ver figuras 2-7, 2-8, 2-9, 2-11 y 2-12), pp. 30, 31 y 33.

En la p. 34, se muestra la figura 2-13, en la que se explica la forma cmo se lee informacin en la ojiva o menos.

En su cuaderno de trabajo, realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 2.5, p. 38, cuyas soluciones se encuentran en la p. 41.

En la p. 42, lea el artculo Estadstica en el trabajo.En la p. 45, lea el tema Repaso del captulo, donde se hallan las definiciones de los trminos introducidos en el captulo 2.

Nota 1.2.Cmo elaborar una distribucin de frecuenciasEl texto gua no profundiza mayormente en este tema, por esta razn aqu se detallan los pasos para construir una distribucin de frecuencias.

Para el efecto, supongamos que se tiene una muestra de 34 calificaciones de la asignatura de Estadstica Descriptiva, en la que la calificacin ms baja fuese 8 y la ms alta 38 sobre 40 puntos.Siga estos pasos:

1. Determinar el nmero K de clases.

Algunos autores recomiendan el uso de frmulas que dependen del tamao de la muestra (nmero n de datos). Una de estas frmulas establece que: , donde k es el nmero de clases. En el ejemplo n = 34 observaciones: , entonces se tiene k = 6 es la cantidad ptima de clases.2. Determinar el ancho del intervalo o amplitud de clase (i).

Para ello se puede usar la frmula:

Donde H es el dato mayor, L el dato ms pequeo. (H L) es el rango.

En este caso: L = 8, H = 38 y k = 6, entonces: .

Si sale un valor exacto un entero con decimales, se debe escoger un nmero mayor.

3. Calcular los lmites de cada clase. En este curso trabajaremos con intervalos semiabiertos, en los que el lmite superior del intervalo no forma parte de l, sino que se incluye en el intervalo de la clase que le sigue.En el ejemplo se han elegido los siguientes lmites para las clases: [7, 12), [12, 17), [17, 22), [22, 27), [27, 32), [32, 40), con lo que la distribucin queda ms o menos centrada. (7 es 1 unidad menor que el dato ms pequeo y 40 es 2 unidades mayor que el dato ms grande).

4. Determinar las frecuencias.

Se contabiliza el nmero de elementos de cada clase. Para evitar errores de conteo, se deben ordenar los datos de menor a mayor en un arreglo, esto puede hacer usando Excel, o si lo hace manualmente, use la tcnica de tallo y hojas.

Para resolver la actividad de aprendizaje 1.3., que se refiere al tema Medidas de tendencia central realice lo siguiente:Estudie el tema 3.1. Estadstica sumaria, pp. 58-60 del texto gua Estadstica para Administracin Y Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S. El tema inicia dando una idea de lo que es tendencia central, dispersin, sesgo y curtosis.Estudie el tema 3.2. Una medida de tendencia central: La media aritmtica, pp. 60-65, aqu aprender a diferenciar entre estadsticos y parmetros, a calcular la media aritmtica de una poblacin y la media aritmtica de una muestra de datos no agrupados.Tambin aprender a calcular la media aritmtica de datos agrupados en una distribucin de frecuencias. Tenga presente que en este caso intervienen las frecuencias y los puntos medios o marcas de clase. Adems conocer cuales son las ventajas y desventajas de la media aritmtica.

Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.2, cuyas soluciones las encuentra en la pg. 69.

Estudie 3.3. Una segunda medida de tendencia central: La media ponderada, pp. 69-71; analice los ejemplos y la explicacin, resuelva los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.3, p. 72, cuyas soluciones se hallan en las pginas 73-74.Estudie el tema 3.5. Una cuarta medida de tendencia central: La mediana, pp. 77-81, aqu aprender a calcular la mediana de datos no agrupados y de datos agrupados.

Para calcular la mediana de datos agrupados use la frmula [3-8] ver p. 80. Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.5, p. 81 cuyas soluciones las encuentra en la p. 83.Estudie el tema 3.6. Una medida final de tendencia central: La moda, pp. 84-86; aqu aprender a calcular la moda de datos no agrupados y agrupados. Lea tambin las ventajas y desventajas de la moda y la comparacin de la media, mediana y moda.

Advertencia, en la figura 3-8 (b), p. 86 hay que corregir, intercambie los nombres de la media y la moda. Luego resuelva ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.6, p. 87, sus soluciones se hallan en la p. 89.

Nota 1.3.Referencia rpida de contenidos y frmulas para el desarrollo de la actividad de aprendizajeMedidas de tendencia central de datos no agrupados

Media

Media poblacional

Media muestral

Media ponderada los w son los pesosMediana

Para encontrar la mediana de datos no agrupados, primero hay que ordenar los datos:

Si el nmero de datos es impar, la mediana es el dato central.

Si el nmero de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos datos centrales.

Moda

Es el valor ms frecuente de los datos. Puede haber ms de una moda.

Medidas de tendencia central de datos agrupadosMedia aritmtica

Frmula en la que:

X = punto medio o marca de clase

f = frecuenciaMediana

Donde:

= lmite inferior de la clase de la mediana

= frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase de la mediana = frecuencia de la clase que contiene a la mediana

Moda

Se la puede aproximar por el punto medio de la clase modal.

Un valor ms preciso se obtiene aplicando la siguiente frmula:

Donde:

= lmite inferior de la clase modal

= (frecuencia de la clase modal) (frecuencia de la clase que le antecede)

= (frecuencia de la clase modal) - (frecuencia de la clase que le sigue)

= es el ancho del intervalo de clase.

Para resolver la actividad de aprendizaje 1.4. que se refiere a las medidas de dispersin, estudie el tema 3.7. Dispersin. Por qu es importante, pp. 89-90; aqu comprender la importancia de determinar la dispersin o variabilidad de los datos, su uso en el anlisis financiero y en control de calidad.

Estudie el tema 3.8. Rangos. Medidas de dispersin tiles, pp. 91-93, aqu aprender a calcular las tres medidas, llamadas medidas de distancia, estas son: rango, rango interfractil y rango intercuartil. Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.8, p. 94, sus soluciones se hallan en la p. 95.

Estudie el tema 3.9. Dispersin. Medidas de dispersin promedio, pp. 96-103, aqu aprender a calcular la varianza y la desviacin estndar de una poblacin y de una muestra, para datos no agrupados y para datos agrupados. Se dar cuenta que en uno y otro caso, las frmulas que se usan son diferentes.

Revise con atencin los dos ejemplos desarrollados en las pp. 101 y 102 y resuelva los dos ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.9, pp. 103-104.

Estudie el tema 3.10. Dispersin relativa: El coeficiente de variacin, pp. 107-108, aqu aprender a comparar la dispersin de las distribuciones de datos usando el coeficiente de variacin.

Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.10. p. 108, sus soluciones se encuentran en la p. 112.

Estudie el tema 3.11. Anlisis exploratorio de datos (AED), pp. 112-113, aqu se explica una tcnica til en el anlisis exploratorio de datos, que consiste en la elaboracin del diagrama de tallo y hoja, lea cules son sus ventajas y revise con atencin el ejemplo que se expone en la p. 113.

Como preparacin para la primera evaluacin, lea el repaso del captulo, pp. 118-119.Nota 1.4.

Aqu se dan las frmulas para calcular las medidas de dispersin.Medidas de dispersin o variabilidad para datos no agrupados

Rango = valor ms grande valor ms pequeo (Rango = H L )

Varianza

Varianza poblacional:

Varianza muestral: o

La segunda frmula de la varianza muestral es una frmula directa, esta exige un menor nmero de operaciones de clculo, por lo que recomiendo su uso.Desviacin estndar, es la raz cuadrada de la varianza.

Desviacin estndar poblacional

Desviacin estndar muestral

En general, se trabaja con la desviacin estndar de la muestra, a no ser que se indique lo contrario.

Medidas de dispersin o variabilidad para datos agrupados Amplitud de variacin o rango

AV = lmite superior de la clase ms alta lmite inferior de la clase ms baja.

Desviacin estndar

Donde:

= punto medio o marca de clase

= frecuencia

= media aritmticaObservacin

Las frmulas de las medidas de dispersin de datos agrupados son diferentes de las que se emplean con datos sin agrupar.Dispersin relativa

Coeficiente de variacin

De la poblacin:

De la muestra:

Coeficiente de asimetra o sesgo, denominado coeficiente de Pearson.

Cuartiles, deciles y centilesPara calcular la posicin de un cuartil, decil o percentil se usa la frmula:

Una vez calculada la posicin del percentil, proceda a calcular el percentil conforme se explica en los ejemplos 1 y 2. (No confunda la posicin del centil o percentil con su valor).Ejemplo 1Para la posicin del primer cuartil Q1 use C = 25, para el tercer cuartil Q3 use: C= 75 (Q1 = C25; Q3 = C75), en algunos textos en vez de C se usa P, as P25Para calcular la posicin de un decil, por ejemplo D3 use C = 30; para el decil 7 D7 use C = 70.

Si Lc es entero el centil es el dato de la posicin Lc

Si Lc no es entero, por ejemplo si L25 = 7.62, el centil o percentil 25 se encontrar a 0.62 de la distancia entre el sptimo y el octavo dato. Su valor se calcula del siguiente modo: C25 = Q1 = Dato7 + 0.62 (Dato8 Dato7).En el clculo de los cuartiles, recuerde por ejemplo que el primer cuartil Q1 es aquel valor que es mayor o igual que el 25% de los datos y menor o igual que el 75% de ellos.

Ejemplo 2Calcular el primer y tercer cuartiles de los siguientes datos:

8.4 8.8 9.2 10 11.3 12.5 12.9 13.6 14 15

Solucin:

En este caso: n = 10, para Q1 C = 25 y para Q3 C = 75

Es la posicin de Q1, mientras que su valor es:

Q1 = Dato 2 + 0.75 (Dato 3 Dato 2)

De igual manera:

Es la posicin de Q3, mientras que su valor es:

Q3 = Dato 8 + 0.25 (Dato 9 Dato 8)

La mediana es se calcula del mismo que los otros cuartiles.

Diagrama de cajaEl diagrama de caja permite visualizar la simetra o la asimetra de una distribucin de datos.

Para construir un diagrama de caja se requieren 5 valores: La media, la mediana, el dato menor o mnimo, el dato mayor o mximo y el primero y tercer cuartiles.Rango intercuartlicoEs la diferencia entre el tercer y el primer cuartil:

Ejemplo 3Suponga que en el servicio de entrega a domicilio de cierta pizza, el tiempo mnimo de entrega es de 15 minutos, que el tiempo mximo es de 40 minutos, que la mediana es 25 minutos y que los cuartiles son: minutos.

a) Calcular el rango intercuartlico.

b) Trazar el diagrama de caja y sobre la base de este indique si la distribucin de los datos es o no simtrica.

Solucin:

a) Rango intercuartlico = 32.5 20 = 12.5

b) El diagrama de caja es el que se muestra a continuacin:

Las lneas que van desde el mnimo a Q1 y desde Q3 al mximo se denominan bigotes.

El diagrama muestra que:

1. El bigote izquierdo es ms corto que el derecho.

2. Que Q1 est ms cerca de la mediana que Q3Comentario

Se observa que: la cola el bigote de la derecha es ms largo que el de la izquierda, y tambin la distancia entre la mediana y es mayor que la distancia entre y la mediana, lo que indica que la distribucin de los datos es asimtrica, con sesgo positivo.Para resolver la actividad de aprendizaje 1.5, estudie el captulo 4 del texto gua Estadstica para Administracin y Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S.: Probabilidad I: Ideas introductorias.Lea el tema 4.1 Historia y relevancia de la teora de la probabilidad, p. 128, esto le permitir conocer la historia del estudio de las probabilidades y sus aplicaciones.

Estudie el tema 4.2 Terminologa bsica en probabilidad, pp. 129-130, aqu encontrar lo que es un evento, un experimento, un espacio muestral, cuando se habla de eventos mutuamente independientes, qu es una lista colectivamente exhaustiva.

Del ejercicio 4.2, p. 130, y en su cuaderno de trabajo realice los dos ejercicios de autoevaluacin, cuya solucin la encuentra en la p. 131 y responda a las preguntas sobre conceptos bsicos 4-5 y 4-6.

Estudie el tema 4.3 Tres tipos de probabilidad, pp. 131-134, clsica o a priori, basada en frecuencias y subjetiva; lea tambin las sugerencias y suposiciones de la p. 134.

Del ejercicio 4.3, p. 134, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-3 y 4-4, cuyas soluciones se hallan en las pp. 136-137.

Estudie el tema 4.4 Reglas de probabilidad, pp. 137-141, aqu encontrar definiciones y reglas para calcular la probabilidad marginal, la regla de la adicin para eventos mutuamente excluyentes, la regla de la adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes y el uso de diagramas de Venn, que permiten relacionar las probabilidades con la teora de conjuntos.

Del ejercicio 4.4, p. 141, en su cuaderno de trabajo realice los ejercicios de autoevaluacin 4-5 y 4-6 cuyas soluciones las encontrar en la p. 143.

Estudie el tema 4.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadstica, pp. 143-148. Aqu aprender que existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadstica: marginal, conjunta y condicional, frmulas que se usan para su clculo y ejemplos.

Del ejercicio 4.5, pp. 148-149, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-7 y 4-8, cuyas soluciones se hallan en la p. 150.

Para la aplicacin de la parte conceptual, realice los ejercicios de conceptos bsicos 4-24, 4-25, 4-26 y 4-27.Estudie el tema 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadstica, pp. 151-155. Aqu aprender que las probabilidades bajo condiciones de dependencia estadstica son: condicional, conjunta y marginal; y las frmulas que se usan para su clculo.De los ejercicios 4.6, p. 156, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-9, 4-10; sus soluciones se hallan en las pp. 157-158. Realice tambin los ejercicios de conceptos bsicos 4-33, 4-34 y 4-35.Estudie el tema 4.7 Revisin de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes, pp. 158-162.Aqu aprender qu es una probabilidad revisada o a posteriori y la forma cmo se calcula.

De los ejercicios 4.7, p. 163, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-11 y 4-12 y tambin el 4-43 de conceptos bsicos.

En las pp. 168-169, lea el repaso del captulo 4 y las ecuaciones (frmulas) introducidas en este captulo.Para resolver la actividad de aprendizaje 1.5, lea con atencin la ayuda que se detalla a continuacin.

Nota 1.5Aqu se dan definiciones, frmulas y ejemplos que le servirn como una referencia rpida para el estudio y desarrollo de su tarea.Enfoques de probabilidad

Probabilidad objetiva

Probabilidad Clsica:

Probabilidad emprica:

Donde: significa evento o suceso, y

se lee probabilidad de que ocurra el evento E.

Probabilidad subjetiva: Se asigna sobre la base de la experiencia y buen criterio.Ejemplo de probabilidad clsicaSi se lanza al aire una moneda equilibrada, cul ser la probabilidad de que se obtenga una cruz o cara?a) Cruz es: P(cruz) = 1/2 porque 1 de las 2 alternativas.

b) Cara es: P(cara) = 1/2 porque 1 de las 2 alternativas.

Ejemplo de probabilidad empricaSuponga que en un experimento se realizan 1000 ensayos y se produjo un evento E en 200 ocasiones, cul es la probabilidad de que en un ensayo cualquiera se produzca el evento E?

R: P(E) =200/1000 = 1/5 = 0.20

Espacio muestralEs el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, es decir, es el conjunto universo de ese experimento; a este conjunto se suele representarse mediante la letra S o con el smbolo .

Ejemplos1. El espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: S=donde s=sello y c = cara

2. El espacio muestral en el lanzamiento de un dado es: S =

3. El espacio muestral en el lanzamiento de dos monedas es S =

4. Si en una urna hay 5 bolas rojas, 3 blancas y 4 azules y se saca al azar dos bolas, el espacio muestral es el siguiente:S =

Relacin entre la probabilidad y la teora de conjuntos

El estudio de las reglas de probabilidad est estrechamente relacionado con la teora de conjuntos, para ello se asimila un evento con un conjunto.

En conjuntos

En probabilidadesU = Conjunto universo

S = Espacio muestralA = Subconjunto de U

E = Evento

= Conjunto vaco

= Evento nulo

= Complemento de A

= Evento contrario de E

Axiomas de Kolmogorov

1. P(E) 0 La probabilidad de un evento es un nmero comprendido entre 0 y 1.2. P(S) = 1 La probabilidad del espacio muestral es 1.3. P(E1 o E2 o o En) = P(E1) + P(E2)+ +P(En) donde E1, E2,, son eventos mutuamente excluyentes.

Propiedades de las probabilidades1.

2. 0 P(E) 1

3.

4. Si

5. )

Diagramas de Venn

Conjunto Universo

Conjunto A

Complemento de A es la parte

del universo que no es A

Conjuntos A y B disjuntos

Conjuntos A y B secantes o

Solapados

Reglas de probabilidad

Regla especial de adicin

Se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos.Para un par de eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B)

Para tres eventos A, B, C: P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C)

En el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules, calcular la probabilidad de que al sacar una bola de la urna esta sea: a) Roja o blanca: P(roja o blanca) = P(roja) +P(blanca) = 3/10 + 2/10 =

b) Blanca o azul: P(blanca o azul) =P(blanca) + P(azul) = 2/10 + 5/10 = 7/10

Regla general de la adicin

Se aplica para calcular la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento que no sean mutuamente excluyentes. (La frmula es vlida tambin para eventos mutuamente excluyentes dado que P(A y B) = 0)

Para los eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B)

Ejemplo: Un estudiante est tomando lgebra y Castellano, si la probabilidad de que apruebe lgebra es 0.75, la de que apruebe Castellano es 0.9 y la probabilidad de que apruebe lgebra y Castellano es 0.70. Se pregunta cul es la probabilidad de que apruebe lgebra o Castellano.

P(A o C) = P(A) + P(C) P(A y C)

= 0.75 + 0.90 - 0.70 = 0.95

Para resolver estos problemas debe realizar un diagrama de Venn como el de la figura.

Regla especial de la multiplicacin

Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de ocurrencia de eventos independientes.

Para dos eventos A y B: P(A y B) = P(A) P(B)

Para tres eventos A, B y C: P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C)

Ejemplo: Se lanza un dado por dos ocasiones, cul es la probabilidad de que en los dos lanzamientos caiga en 3?

P(3, 3) = P(3) P(3) = (1/6) (1/6) = 1/36

Obsrvese que el resultado del segundo lanzamiento es independiente del primero.

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que ocurra un evento B, dado que ya ocurri un evento A o tambin la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ya ocurri el evento B. Esto se escribe:

Si se cumple que los eventos o sucesos A y B son estadsticamente independientes. Regla general de la multiplicacin

Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes, es decir, cuando la ocurrencia de uno de ellos est condicionada a la ocurrencia del otro.

P(A y B) = P(A) P(B/A) o tambin P(A y B) = P(B) P(A/B)

Estas frmulas y las de la probabilidad condicional estn relacionadas, ya que las unas se obtienen de las otras mediante despejes.Tomemos el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules y supongamos que se desea calcular la probabilidad de que al sacar una bola y luego otra, la primera sea roja y la segunda blanca:P(R y B) =

Obsrvese que la probabilidad de que la primera vez salga roja es 3 /10, pero al haber sacado una roja ahora nos quedan en total 9 bolas, de las cuales 2 son blancas.

Calculemos ahora la probabilidad de sacar una bola roja y una azul:

Como no se indica el orden tendremos que: P(R y A) = P(R, A) + P(A, R) =

Tabla de contingencia o matriz de probabilidad

Los problemas de probabilidades se resuelven fcilmente usando una tabla de contingencia o matriz de probabilidad, en ella se pueden leer las probabilidades a priori y las probabilidades conjuntas o de interseccin. Adems permite calcular fcilmente las probabilidades de la unin de eventos y las condicionales, tal como se ilustra a continuacin.

Ejemplo: El personal que labora en una empresa est formado por hombres y mujeres que trabajan en las siguientes secciones: Gerencia, Profesional y Tcnica, cuyos datos se resumen en la siguiente tabla:

Seccin

Gnero

HombreMujer

Gerencia

Profesional

Tcnica 8

24

50 3

16

35

Complete esta tabla de contingencia y luego suponiendo que se elige al azar un empleado calcule las siguientes probabilidades:a) La probabilidad de que sea mujer.

b) La probabilidad de que sea hombre y trabaje en la seccin tcnica.c) La probabilidad de de que trabaje en Gerencia o en la seccin profesional.

d) La probabilidad de que trabaje en gerencia, dado que sea mujer.

e) La probabilidad de que sea hombre dado que trabaje en la Seccin tcnica.

SolucinA la tabla de los datos le aadimos una fila y una columna para los totales parciales de las filas y de las columnas. En la celda del extremo inferior derecho se coloca el total horizontal y vertical.Seccin

GneroTotal

HombreMujer

Gerencia

Profesional

Tcnica 8

24

50 3

16

35 11

40

85

Total 82 54 136

a) P(Mujer) = 54/136

b) P(Hombre y Tcnica) = 50/136

c) P (Gerencia o Profesional) = P(Gerencia) + P(Profesional) = 11/136 + 40/136 = 51/136

d) P(Gerencia/ Mujer) = 3/54 En la columna de MUJER vemos que 3 de las 54 trabajan en gerencia. Tambin se puede aplicar la frmula de la probabilidad condicional.

e) P(Hombre/ Tcnica) = 50/85 En la fila TCNICA se ve que 50 de los 85 tcnicos son hombres.

Aplicando la frmula:

Explicacin del teorema de Bayes

En la siguiente grfica sea S el espacio muestral y sean los eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, de modo que:

Y sea el evento B tal que:

Entonces la probabilidad de que ocurra B viene dada por:

; luego:

Esta es la probabilidad total de que ocurra B.

De la probabilidad condicional sabemos que:

De aqu se tiene que:

Es decir:

Si ahora suponemos que P(A1) es una probabilidad a priori, P(B/A1) es la probabilidad condicional de que ocurra B dado que ocurri A1; y pensemos que se quiere calcular la probabilidad a posteriori de que ocurra A1 dado que ocurri B, simplemente despejemos P(A1/B); segn la frmula anterior.

Donde P(B) es la probabilidad total de B, sustituyendo P(B) en el denominador se obtiene la frmula del Teorema de Bayes.

Reglas de conteo1. Frmula de la multiplicacin

Si hay m formas de realizar una cosa y n formas de hacer otra, habrn mxn formas de realizar ambas en conjunto. Esta regla se extiende a 3, 4 o ms acciones.

Ejemplo: Un joven tiene 3 pares de zapatos, 4 pantalones y 5 camisas. De cuntas maneras puede vestirse?N = 3x4x5 = 60 (puede vestirse de 60 formas)

Ejemplo: De cuntas maneras puede usted colocar 4 libros en un estante?El libro que va a colocar en primer lugar puede elegir de 4 maneras, le quedan 3 libros, entonces el que va a colocar en la segunda posicin puede elegirse de 3 maneras; le quedan 2 para la tercera posicin; y una vez colocado el tercero le queda 1 para la cuarta posicin; es decir: N. de formas = 4x3x2x1 = 24 = 4!

2. Permutaciones: Nos da el nmero de arreglos de r objetos tomados de un grupo de n objetos. Un arreglo se diferenciar de otro por el orden de sus elementos, por ejemplo ab y ba son diferentes.

Ejemplo: Cuntos nmeros de 2 cifras se pueden escribir usando los dgitos 1, 2 y 3 bajo la condicin de que no haya dgitos repetidos?

Los nmeros de dos cifras construidos con los dgitos 1, 2 y 3 son efectivamente 6, tal como usted puede ver:

12 13 21 23 31 32

3. Combinaciones:

Las combinaciones son arreglos de r objetos tomados de un grupo de n objetos, donde no importa el orden de ellos.

Ejemplo: Con los dgitos 1, 2 y 3, cuntas sumas diferentes se pueden tener, tomando dos a dos, bajo la condicin de que no haya dgitos repetidos.Observe que en este caso no importa el orden porque por ejemplo las sumas 1+2 y 2+1 son las mismas, entonces el nmero de sumas distintas son:

Ejemplo: Cuntas combinaciones de dos letras se pueden formar con las letras A, B, C y D?

Estas combinaciones son: AB AC AD BC BD y CD.

Obsrvese que como combinacin AB y BA es la misma, pero no como permutacin.

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

PlanteamientosProblema 1 Supongamos que una universidad pequea est interesada en aumentar la participacin de actividades del campus. A una muestra aleatoria de estudiantes se le pidi marcar, en una lista para el curso previo, eventos a los que asistieron. Los resultados para el nmero de eventos a los que asistieron fueron como sigue: 2, 2, 4, 8, 5, 2, 3, 1, 6, 5, 4, 12, 1, 4, 2, 7, 6, 3, 2, 4, 7, 4, 2, 3.a) Construya un histograma de frecuencias de estos datos. (0,5 puntos)b) Construya un polgono de frecuencias de estos datos. (0,5 puntos)Problema 2 Los datos siguientes son para la variable Y= distancia desde el lugar de trabajo (en kilmetros) para los empleados de un vendedor de electrodomsticos. Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

Y10

18.5

12.0

13.8

9.0

12.75

11.0

21.45

25.8

29.9

16.4

a) Organice los datos en una distribucin de frecuencias con el nmero ptimo de clases, elija 8 km, como lmite inferior de la primera clase. (0,5 puntos)b) Elabore un diagrama de ojiva. (0.5 puntos)c) Si se considera que 18 km es una distancia excesiva de recorrido para un vendedor, qu porcentaje de muestras se clasificar como tales? (0,5 puntos)d) Elabore un diagrama de caja, determine su rango intercuartil y su coeficiente de variacin. (0,5 puntos)

ObjetivosConstruir representaciones grficas de datos cualitativos.Ordenar datos cuantitativos en listas o arreglos ordenados en forma ascendente o descendente, medidas de dispersin.

Orientaciones didcticasPara resolver el problema 1, ingrese a Internet y busque el tema: Grficas estadsticas. All encontrar muchas pginas, adems puede ver imgenes y videos sobre el tema. Usted tiene que escoger las pginas y videos, de acuerdo con nuestra exigencia.Para resolver el problema 2, debe haber ledo los temas 2.2 y 2.3 del texto gua.

Criterios de evaluacinUsa escalas y leyendas en los ejes y traza correctamente el diagrama de barras.Usa leyendas en el diagrama de pastel.Lee e interpreta los resultados.

Actividad de aprendizaje 1.2.

PlanteamientosProblema 1 Cierto estudiante de una determinada institucin ha obtenido 67, 91 y 76 puntos en los exmenes parciales y un 94 en el examen final en la asignatura de Estadstica. Su profesor le ha ofrecido que este examen contar con el triple de los dems exmenes. Cul ser su nota promedio final?, ser que este alumno aprueba?; la nota mnima admitida es de 85. (0,5 puntos).Problema 2

La famosa empresa Krutler fabrica piezas para motores industriales. Una de las piezas que se fabrica debera tener un peso de 52.5 gramos. Los pesos de una muestra aleatoria de 50 de ellos son los siguientes: 50.2 51.056.850.949.549.353.053.049.957.1 48.1 55.345.748.852.054.951.157.049.849.9 41.9 51.954.553.255.052.453.260.752.349.0 47.4 52.053.046.046.054.051.448.549.950.0 65.1 48.448.953.147.052.249.649.354.149.9a) Organice los datos en una distribucin de frecuencias con el nmero ptimo de clases. (0,5 puntos) b) A la tabla anterior aada 3 columnas y en ellas calcule la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada y la frecuencia acumulada relativa en %. (0,5 puntos) c) Trace el histograma y sobre l trace tambin el polgono de frecuencias. (0,5 puntos) d) Trace la ojiva O menos y O ms en ellas lea qu porcentaje de piezas pesa 49.5 gramos o menos y tambin qu porcentaje de piezas pesa ms de 51.5 gramos. (0,5 puntos)

ObjetivosConstruir distribuciones de frecuencias centradas.

Representar las distribuciones de datos mediante grficas.

Orientaciones didcticasEl problema 1 es una aplicacin de la media ponderada.Para resolver el problema 2 debe haber estudiado los temas 2.4 y 2.5 del texto gua.Puede ampliar sus conocimientos buscando informacin en Internet, para el efecto puede digitar: estadstica descriptiva o tambin agrupacin de datos en intervalos. Importante: En este curso trabajaremos con intervalos semiabiertos, vea el ejemplo de la Ayuda 1.2.

Criterios de evaluacinConstruye distribuciones de frecuencias en forma correcta.Calcula frecuencias relativas.

Traza histogramas, polgonos de frecuencia y ojivas usando escalas adecuadas.

Lee resultados en la Ojiva O menos u O ms.

Actividad de aprendizaje 1.3.

PlanteamientosProblema 1Los siguientes datos se refieren al nmero diario de peridicos vendidos por EL COMERCIO (en centenares) durante el ltimo mes.91 79 86 98 128 159 154 147 192 89 97 92 87 152 127

184 145 162 95 89 86 98 145 129 149 158 241 134 99 112Calcule la media, la mediana y la moda de datos sin agrupar. (1 punto)

Problema 2Con los datos del problema 1, realice lo siguiente:a) Organice los datos en una distribucin de frecuencias, use 65 como lmite inferior de la primera clase y 35 como ancho del intervalo. (0.5 puntos).

b) Calcule la media, mediana y moda de los datos agrupados. (0,5 puntos).

c) Compare la media y la mediana de los datos agrupados con las de los datos sin agrupar. (0,5 puntos).

ObjetivosCalcular medidas de tendencia central de datos sin agrupar y de datos agrupados. Establecer la diferencia entre las frmulas y procedimientos de clculo que se emplean en uno y otro caso.

Orientaciones didcticasEl problema 1 se refiere a las medidas de tendencia central de datos no agrupados. El problema 2 es una aplicacin de las medidas de tendencia central de datos agrupados.Las frmulas a aplicarse en cada ejercicio se encuentran en la ayuda 1.3.

Criterios de evaluacinConoce el propsito, significado y propiedades de las medidas de tendencia central.Calcula las medidas de tendencia central de datos no agrupados y agrupados.Diferencia las frmulas que se usan con datos sin agrupar y con datos agrupados.

Actividad de aprendizaje 1.4.

PlanteamientosProblema 1 Segn datos tomados del SRI (Servicio de Rentas Internas), los siguientes datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas (en miles de dlares), de 25 negocios establecidos en una ciudad del Ecuador, correspondientes al periodo que finaliz.7.9

11.7

10.8

11.4

9.2

12.911.19.112.810.09.811.110.311.19.912.45.47.211.313.114.59.19.611.110.2Con estos datos sin agrupar realice lo siguiente:

a) Calcule el rango. (0,5 puntos)b) Calcule la media y la mediana. (0,5 puntos)

c) Calcule el primer y tercer cuartiles. (0,5 puntos)

d) Trace un diagrama de caja. (0,5 puntos)

e) Comente sobre la forma de la distribucin de los datos. (0,5 puntos)

f) Calcule la desviacin estndar. (0,5 puntos)g) Calcule el coeficiente de variacin. (0,5 puntos)Problema 2A partir de la distribucin de frecuencias y del clculo de la media de los datos del problema 2 de la actividad de aprendizaje 2:a) Calcule la desviacin estndar. (0,5 puntos)

b) Calcule el coeficiente de variacin. (0,5 puntos)

Problema 3

Los siguientes datos representan el nmero de cheques en dlares rechazados de una muestra tomada en 23 bancos, firmados por clientes que depositan directamente y que mantienen un saldo promedio de $1000.260

200

210

250

200

250

300

150

290

180

180

220

280

200

220

250

200

300

300

200

250

150

250

a) Elabore un diagrama de tallo y hoja para estos datos. (0,5 puntos)b) Alrededor de qu valor, si lo hay, se encuentran concentrados los valores de los cheques rechazados? Explique su respuesta. (0,5 puntos)Problema 4

Un conjunto de 65 observaciones tiene una media de 37.4 y una varianza de 4.96:a) Si la distribucin fuese simtrica, cuntas observaciones se encontrarn en el intervalo 32.44 a 42.36? (0,5 puntos)

b) Si la distribucin de los datos no es simtrica, entre qu valores caer al menos el 95% de las observaciones? (0,5 puntos)

Objetivo Calcular las medidas de dispersin: rango, varianza, desviacin estndar y desviacin relativa para describir cmo se dispersan los datos, analizando sus limitaciones y bondades de cada uno de ellos.

Orientaciones didcticasPara resolver el problema 1, debe haber estudiado los temas 3.7 y 3.8, adems lea la ayuda 1.4.

Para resolver el problema 2, debi haber estudiado el tema 3.9 del texto gua y sus ejemplos.Para resolver el problema 3, debe primero estudiar el tema 3.11 del texto gua, pp. 112-114.Para resolver el problema 4, debe estudiar los usos de la desviacin estndar, pp. 97-99.

Criterios de evaluacinCalcula el rango, percentiles (cuartiles) aplicando las frmulas en forma correcta.

Calcula las medidas de dispersin de datos no agrupados y agrupados.

Usa correctamente las frmulas pertinentes a cada situacin.

Traza diagramas de caja e interpreta en forma correcta la simetra o asimetra o sesgo de las distribuciones de los datos.

Usa el teorema de Chebychev para medir la concentracin de los datos alrededor de la media.Conoce lo que es la desviacin relativa y para qu sirve.

Actividad de aprendizaje 1.5.

PlanteamientosProblema 1 (0,5 puntos)Describa el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzar una moneda.b) Lanzar un dado.c) Lanzar un dado y una moneda simultneamente.d) Lanzar tres monedas simultneamente.e) El gnero de los tres hijos de una familia.Problema 2 (1 punto)La probabilidad de un suceso A es 1/3, la de B es 2/4 y la de la interseccin 3/8. Calcule:a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.b) La probabilidad de que no suceda A.c) La probabilidad de que no ocurra ni A ni B.d) La probabilidad de que no ocurra A o bien no ocurra B.

Problema 3 (0.5 puntos)Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 7 azules. Halle la probabilidad de que la bola extrada sea:a) Roja.b) Blanca.c) Azul.d) No roja.

e) Roja o blanca.Problema 4 (0,5 puntos)Halle la probabilidad de que salga al menos un 5 en dos tiradas de un dado.

Problema 5 (1 punto)Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras, otra contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si se saca una bola de cada bolsa, halle la probabilidad de que:

a) Ambas sean blancas.b) Ambas sean negras.c) Una sea blanca y la otra negra.

Problema 6 (1 punto)A y B juegan 14 partidas de ajedrez, A gana 8, B gana 4 y en 2 hacen tablas. Acuerdan jugar un torneo de 3 partidas. Halle la probabilidad de que:a) A gane las 3.b) Hagan tablas en 2.c) A y B ganen alternadamente.d) B gane al menos 1 partida.Problema 7 (1 punto)En una urna hay tres bolas blancas, dos rojas y una negra. Construya el espacio muestral del experimento (extraer una bola), y calcule la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.

ObjetivoComprender qu son las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes, dependientes e independientes mediante el estudio de los principios tericos y sus reglas para el clculo de las probabilidades de dichos eventos.

Orientaciones didcticas Los problemas contienen el clculo de probabilidades simples y probabilidad acumulada, ver conteo y clculo de probabilidades.

Tambin se incluyen probabilidades conjuntas y condicionales con eventos dependientes e independientes, se calculan fcilmente a partir de la tabla de contingencias. Ver aplicacin del teorema de Bayes, ver AYUDA.

Criterios de evaluacinConoce las frmulas de conteo y las aplica en forma correcta.

Conoce los fundamentos de las probabilidades.

Calcula probabilidades de eventos mutuamente excluyentes, de eventos dependientes e independientes aplicando las frmulas pertinentes.

Organiza e interpreta datos de una matriz de contingencia.

Construye diagramas de rbol.

Aplica la regla de Bayes para calcular probabilidades revisadas o a posteriori.

Formato de entrega

Archivo de Microsoft Office.

Enviar aEnve las actividades de aprendizaje a travs de la plataforma, mediante la seccin Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:

Formato: G1.Apellido.Apellido.Nombre.Estad.descriptiva

Preguntas o dudasEnve sus preguntas o dudas a travs de la plataforma: Utilice la seccin Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Puntaje por actividadActividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1.3.0

Actividad de aprendizaje 1.2.2.5

Actividad de aprendizaje 1.3.2.5

Actividad de aprendizaje 1.4.6.5

Actividad de aprendizaje 1.5.5.5

Suman20

El tutor de la asignaturaEn caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, frmulas, esquemas o grficos, estos sern incluidos como parte del examen o en un anexo.

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