estadistica descriptiva

Escuela de Psicología

UNIMIT_PSI_003-1 / Escuela de Psicología / Pontificia Universidad Católica de Chile

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Lección 6: Estadística DescriptivaAutor: Judith ScharagerAsistente: Pablo Reyes

1 Parte del material de esta lección es extraído de apuntes del profesor Iván Armijo, docente de una de las secciones del curso Metodología de las Ciencias Sociales, coautor del texto en formato digital :Scharager, J y Armijo, I. Metodología de la Investigación para las Ciencias Sociales [CD-ROM]: Versión 1.01 Santiago: Escuela de Psicología, SECICO Pontificia Universidad Católica de Chile. Programa computacional. 2001


Estadística: Definición

• La estadística descriptiva sirve al propósito de generar una serie de medidas numéricas tendientes a sintetizar el comportamiento de las variables (o conjunto de datos) que estamos estudiando.

• Así la estadística descriptiva es un conjunto de métodos y técnicas por medio de las cuales podemos recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos numéricos relativos a un conjunto de individuos u observaciones.

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Estadística Inferencial

• La estadística descriptiva no se utiliza como fundamento de una teoría general aplicable a individuos similares que no han sido medidos. Sólo se aplica a la muestra.

• La estadística inferencial que toma la información de la estadística descriptiva para realizar procesos que permiten. Dentro de ciertos rangos de confianza, determinar el comportamiento probable de la población que es representada por la Muestra

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PoblaciónMuestra

ESTADISTICA INFERENCIAL

PROBABILIDAD

El Rol de las Probabilidades en la inferencia estadística

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Niveles de Medición

• La medición implica una relación entre dos conjuntos de elementos: los números y las propiedades que queremos medir.

• Entre los números existen ciertas relaciones que son válidas siempre dentro del mundo aritmético. Del mismo modo, entre las modalidades de las propiedades existen ciertas relaciones (desde simples a complejas) que son verificables en el mundo real.

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Niveles de medición

• REGLA: Aceptar sólo como relaciones válidas entre los números aquellas que sean verificables empíricamente entre las correspondientes modalidades.

• Las mediciones tendrán distintos grados de perfección según cumplan con las propiedades de los números.

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Nivel Nominal

• Los números sólo se utilizan con el fin de clasificar los objetos o propiedades o distintas modalidades que asume una variable.

• En este tipo de medición sólo se acepta como relación válida la igualdad o desigualdad entre las números que reflejan en la propiedad medida.

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Nivel Ordinal

• Además de realizar la distinción entre las modalidades es posible establecer una relación de orden o jerarquía.

• No refiere nada respecto a la magnitud de diferencia (cuánto es más una modalidad respecto de otra).

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Nivel intervalar• Conserva las propiedades de los niveles anteriores, y agrega la

posibilidad de establecer la magnitud en que una modalidad es mayor o menor respecto de otra. (Da información respecto a la distancia entre las modalidades) La diferencia entre las distintas magnitudes es constante.

• El valor cero en este nivel de medición es arbitrario. Esto significa que cero no indica ausencia del atributo, lo que implica que los valores de la variable no son proporcionales entre sí.

• Es un real nivel cuantitativo al cual podemos aplicar las relaciones numéricas de la suma, resta, división y multiplicación.

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Nivel de Razón

• Es el nivel más avanzado y posee todas las propiedades de los niveles anteriores y además tiene un punto de origen cero verdadero que indica ausencia de la propiedad.

• Se denomina así porque es posible relacionar las distancias en términos de la proporción en que cada una de ellas está contenida en las demás. Esto gracias a que el origen no es arbitrario, sino absoluto. Mundo de la física.

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Análisis BásicoTabulación y graficación

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Tabulación y Graficación

• Todo análisis estadístico son estrategias para traducir la cantidad de información obtenida en la recolección de datos, a índices que sean interpretables y que representen alguna dimensión del comportamiento de las variables

• La estrategia más sencilla es mostrar la información en un formato visual (gráficos) o en un esquema sintetizado (tablas)

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Tabulación

• Las tablas deben incluir todos los puntajes registrados

• Deben respetar las características de la variable

• Llevan un título representativo del contenido (sobre la tabla, numerado)

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Graficación

• Son complementos a la tabulación

• Representan la distribución de la variable

• Deben ser fáciles de interpretar

• Deben llevar un título representativo (bajo el gráfico y numerado)

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Tablas de frecuencia

La forma más sencilla de presentar la información obtenida en un estudio es contabilizar el número de veces que aparece cada respuesta. Este indicador se conoce como la frecuencia de aparición da cada respuesta. En símbolos f.

Cuando presentamos una variable indicando la frecuencia de aparición de cada uno de sus valores, tenemos una tabla de frecuencia.

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Tablas de frecuencia• Si los datos corresponden a una variable cuantitativa

(o al menos ordinal), es posible calcular, además, la frecuencia acumulada de cada valor (en símbolos F), la que puede ser de dos formas:– Frecuencia acumulada ascendente (Fasc): indica

cual es la frecuencia de veces que aparecen respuestas iguales o menores a la que se está analizando

– Frecuencia acumulada descendente (Fdes): indica la frecuencia de veces que aparecen respuestas iguales o mayores de las que se están analizando

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Tablas de frecuencia

• Las frecuencias son, sin embargo, datos absolutos. No es posible comparar los resultados de dos tablas con un N total de respuestas diferente.

• Para hacer esas comparaciones, se utilizan medidas estandarizadas, esto es, transformaciones de los puntajes originales a escalas que sean las mismas en todas las tablas (y que permiten la comparación)

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Medidas estandarizadas

100*% pNf

p

p= proporción

f= n° casos

favorables

N= n° total de

observaciones

% = porcentaje

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Tablas de frecuencia• En muchas ocasiones, la cantidad de valores que

puede tomar la variable son demasiados, de manera que se agrupan en intervalos.

• Cada intervalo agrupa a una serie de puntajes• Los intervalos son excluyentes entre sí.• En número de valores que compone cada intervalo, denominada

amplitud (i), del intervalo es la misma para todos los intervalos de una tabla.

• En todo intervalo se distinguen límites superiores e inferiores, los cuales pueden ser aparentes (lo que sale en la tabla) o reales (lo que se usa para clasificar).

• El número de intervalos debe ser manejable para quien revise la tabla.

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Pasos para construir una tabla de intervalos

• Determinar el número de intervalos a usar (tt)

• Determinar el recorrido de los valores a Tabular (R)

R= Ptje. Máx. - Ptje. Mín. + 1

• Calcular la amplitud del intervalo (i)

• Construir los intervalos.

• Tabular

tRi

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Representación del tiempo en un continuo

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Tiempo en segundos


Tabla I. Tolerancia a la frustración en estudiantes universitarios de sexo masculino

Puntaje f p % Fasc %asc

10 – 15 154 0.2962 29.62% 154 29.62%

16 – 21 222 0.4269 42.69% 376 72.31%

22 – 27 124 0.2385 23.85% 500 96.16%

28 – 33 20 0.0384 3.84% 520 100%

TOTAL 520 1 100%

22UNIMIT_PSI_003-1 / Escuela de Psicología / Pontificia Universidad Católica de Chile


Tablas de Resultados

• Las tablas de frecuencia reflejan el comportamiento de una sola variable. Usualmente no se usan en la presentación de resultados ya que revisar variable por variable sería demasiado extenso

• En esos casos, se hacen tablas de resumen, en las que se indican los datos más importantes de un conjunto de variables

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Resumen de resultados

Síntoma Porcentaje de Incidencia

Depresión 44.0%

Ansiedad 33.1%

Insomnio 22.3%

Onicofagia 5%

Colon Irritable 12.6%



Cruce de variables

• Otro tipo de tablas útiles son aquellas que combinan los resultados de dos variables– Ambas variables deben expresar sus resultados en

categorías.– Se dividen en filas y columnas (una variable en las filas y otra

en las columnas).– Una celda representa la combinación de valores de las dos

variables.– Cada celda se refiere a tres totales: filas, columnas y total.– Permite hipotetizar posibles asociaciones entre las variables.

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Tabla III. Disposición a ayudar según sexo

Sexof (count)

% fila (row)% col% tot

Mujer Hombre TOTAL

¿Ayuda?

Sí26655.569.836.4

21344.560.929.1

47965.5

No11545.630.215.7

13754.439.118.7

25234.5

TOTAL 38152.1

35047.9

731100



Gráficos

27



PSICOLOGIA30%

MEDICINA28%

ARQUITECTURA10%

DERECHO4%

INGENIERIA10%

ECONOMIA18%

Gráfico de torta

• Ideal para variables nominales– Se hace un círculo que

representa al 100% de los casos– Se divide el círculo en sectores:

cada sector representa un valor de la variable

– El tamaño de cada sector depende del porcentaje de ocurrencia de cada valor

• Sólo grafica un grupo por vez• No permite usar muchas

categoría (por congestión visual)

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Un histograma

Valores de la variable

29



Un gráfico de barra

Fre

cuen

cia

Tipos de personalidad

30



Gráfico de Barras

• Se manejan dos ejes.– El eje horizontal indica los

valores de la variable– El eje vertical representa

al índice estadístico• Permite la comparación de

varios grupos• Las barras pueden juntarse o

separarse para denotar la continuidad de los valores de la variable 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Sí No

Alto

Medio

Bajo



Gráficos de barras

• Barras continuas (usualmente en tablas de intervalos)– Representan variables

continuas– Se usa el punto medio

como referencia– Permiten visualizar la

distribución de la variable 0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 a 9 10 a 19 20 a 29 30 a 39

%



Un polígono de frecuenciaF

recu

enci

a

Valores de la variable

33



Puntajes de CI distribuidos en Curva Normal

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a

Puntajes de CI

34



Ejemplos de diferentes formas de distribución

Distribuciones simétricas

Distribuciones asimétricas

Sesgo positivo Sesgo negativo

35



Errores Gráficos

8,2

8,6

9

9,4

9,8

10,2

10,6

11

11,4

11,8

12,2

12,6

13

A B C D



Errores Gráficos

• Ausencia de título• No indicar variables• Usar escalas inapropiadas• No indicar el punto 0• Visualización confusa

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Medidas de posiciónUbicación respecto al grupo

38



Medidas de Posición

• Las medidas de posición nos permiten dividir a una distribución en distintas partes. Según el número de partes, éstas divisiones tendrán distintos nombres:

– Percentiles : Cuando dividimos una distribución en 100 partes.

– Deciles : Cuando dividimos una distribución en 10 partes.

– Cuartiles : Cuando dividimos una distribución en 4 partes.

– Mediana : Cuando dividimos una distribución en 2 partes.

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Medidas de posición• Requisitos

– Variables cuantitativas– Los resultados están ordenados de menor a mayor– Las medidas de posición son variables discretas

• Equivalencias– Como todas las medidas se refieren al mismo grupo de datos,

se pueden hacer equivalentes entre sí

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Medidas de Posición

• El percentil 30 (P30), por ejemplo es el valor de la variable bajo el cual se encuentra el 30% de los casos y sobre el cual se encuentra el 70 % de los casos

• El decil 4 (D4) es el valor de la variable que deja bajo él, el 40 % de los casos y sobre él el 60 %. Esto permite ver las equivalencias entre percentiles y deciles : (D4) = (P40)

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Cálculo del Percentil• El cálculo del percentil cuando los datos están “sueltos” es

directo. Ubicar el puntaje que está en la posición que corresponde al porcentaje del percentil

Ej: 23 34 34 36 37 37 37 42 46 50

P60=37

• Si los datos están en una tabla de intervalos, la fórmula es la siguiente

if

FNx

LPx **

100

N = Número total de sujetos

L = limite inferior real del intervalo crítico

F = Frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior

f = frecuencia relativa en el intervalo crítico

i = Amplitud del intervalo

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Rango Percentil

• Cuando queremos saber en qué percentil está una persona con un determinado puntaje

• Nx= Número de personas con ese puntaje o menos

fiLx

Fnx *

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Medidas de Tendencia CentralEl valor más representativo

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Medidas de Tendencia Central

• Una MTC es un indicador numérico que representa el comportamiento que se considera más representativo de un grupo de valores. Para ello, podemos ocupar distintos criterios:

– El puntaje que más se repite– El que divide al grupo por la mitad– El que equipara los puntajes positivos con los

negativos

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LA MODA

• Representa al puntaje de mayor frecuencia (f) en una distribución de puntajes.

• Una distribución de puntajes puede ser bimodal, esto es, tener dos modas. Si hay más de dos valores con la mayor frecuencia se dice que no tiene moda.

• En datos no tabulados, es el valor que se repite más.

• En tablas de intervalos, conviene usar una fórmula de nivelación de la moda.

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Promedio o Media• Representa al puntaje que equilibra los valores

positivos con los negativos de una distribución.

• Como incluye a toda la distribución, puede ser transformada algebraicamente

• Soporta variantes: promedio ponderado, agrupaciones de promedios

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Medidas de tendencia Central y distribuciones simétricas

PromedioMediana

Moda

moda moda Promedio

mediana

Promedio

mediana

Promedio

mediana

Promedio

medianaPromedio

Mediana

No hay moda

Promedio

Mediana

Moda

moda moda

48



Medidas de tendencia Central y distribuciones asimétricas

Fre

cuen

cia

Fre

cuen

cia

moda modapromedio promedio

mediana mediana

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EL PROMEDIO


50

Las tres propiedades más importantes del promedio: - Balancea las diferencias de puntajes- Refleja las transformaciones hechas a los puntajes- Puede no ser representativo cuando los valores son extremos.


El promedio: un punto de equilibrio

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Haz clic en este sitio para aprender más : http://www.uc.cl/sw_educ/micssweb/html/pres3.htm


LA MEDIANA DIVIDE EL AREA EN DOS

Cop

yrig

ht ©

200

2 W

adsw

orth

Gro

up. W

adsw

orth

is a

n im

prin

t of t

he

Wad

swor

th G

roup

, a d

ivis

ion

of T

hom

son

Lear

ning

52


Mediana


Moda (Mo): Fórmula

• Se aplica sólo en caso de tablas de intervalos:

iDD

DLMo

21

1

L = LIR intervalo Modal

D1 = fmodal-fintervalo anterior

D2 = fmodal-fintervalo siguiente

I = amplitud del intervalo

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Mediana (Md)

• El valor que divide a la distribución por la mitad (equivale a P50)

if

FNLMd

5.0*

L = LIR intervalo crítico

N = número total de sujetos

F = Frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al crítico

f = frecuencia del intervalo crítico

i = amplitud del intervalo crítico

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Promedio: Fórmula

n

xx

n

ii

1

n = número total de puntajes

= suma desde 1 a n

xi= cada puntaje

El promedio equilibra las diferencias, no las elimina

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Promedio : calculo en tablas

n

fxx

n

ii

1

n = número total de puntajes

f = frecuencia de cada puntaje

= suma desde 1 a n

xi= cada puntaje

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Promedio de promedios

J

jj

J

jjj

j

n

xn

x

1

1.

J = número de grupos

nj= número de sujetos de cada grupo

xj= promedio de cada grupo

Como se hace:

-Multiplicar cada promedio por el número de sujetos del grupo.

-Sumar todos los resultados.

-Lo que resulte dividirlo por la suma total de los tamaños de los grupos

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Equivalencias entre las distintas medidas de posición

• Las medidas de posición establecen una relación entre un puntaje y la ubicación que este tiene dentro de la distribución de puntajes de la variable.

• En otras palabras, si una persona, por ejemplo Manuel, tiene 30 puntos en una prueba, y usted quiere saber como le fue a Manuel en relación a su curso, una de las alternativas es determinar qué lugar ocupa el puntaje 30 dentro de todos los puntajes obtenidos en esa prueba.

• El percentil responde esa pregunta. Si por ejemplo Manuel está en el percentil 78, quiere decir que con su puntaje está sobre el

78 % de los puntajes de la prueba, o sea, a Manuel le fue bien.


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Medidas de Variabilidad¿Cuán parecidos son los puntajes entre sí?

59



Medidas de Variabilidad

• Un dato muy importante para analizar las distribuciones de puntajes es saber cuán diferentes o parecidos son los puntajes entre sí

• Esa información nos permite evaluar cuan representativas son las medidas de tendencia central que calculamos para esa misma distribución

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Medidas de Variabilidad

• ¿Cuáles son?– Rango o Amplitud total

• R= Máximo – Mínimo• Muy fácil de calcular, evalúa la desviación total

– Rango semi- intercuartil• Calcula el punto medio de separación entre cuartil 3 y

cuartil 1• No es muy usado, difícil de interpretar

– Varianza – Desviación estándar• La más completa

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Desviación Estándar

• Considera a todos los valores de la distribución.

• Se utiliza el promedio como punto de referencia para determinar cómo se desvían los valores de este punto.

• Mientras más heterogénea sea una distribución, mayores serán las desviaciones respecto del promedio

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• Lo más sencillo sería sumar las desviaciones de cada punto respecto del promedio.

Puntaje(x)

X-promedio

1 -5

5 -1

6 0

7 1

8 2

9 3

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• Sin embargo:– La suma de las desviaciones se anulen. Solo se

puede hacer en valores absoluto.

– Mientras más valores tenga una distribución mayor será la suma de las desviaciones en valor absoluto (problema para comparar distribuciones con distinto tamaño).

• Para solucionar esto se calcula un promedio de las desviaciones. Se calcula tomando en cuanta las desviaciones al cuadrado.

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Varianza y Desviación Estándar

• Sin embargo la medida que resulta está expresada en puntajes elevados al cuadrado. Esto se conoce como VARIANZA (s2)

n

xxs

n

ii

x

1

2

2

)(•Este indicador nos muestra las variaciones al cuadrado respecto al promedio.

•No se puede interpretar

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Desviación estándar

• Para poder interpretar los datos debemos regresarlos a la escala original. Esto se conoce como la desviación estándar (s)

n

xxs

n

ii

x

1

2)(

66



Variaciones de la fórmula

• Para cálculos en tablas

21

2

1

2 )(

n

fxfxns

n

i

n

iii

x

21

2

xn

fxs

n

ii

x

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Forma de la Distribución• Utilizando los cuartiles podemos analizar la forma de la

distribución

SIMETRIA (Q3 - Q2) = ( Q2 - Q1) ASIMETRIA POSITIVA

(Q3 - Q2 ) > ( Q2 - Q1) ASIMETRIA NEGATIVA

(Q3 - Q2 ) < ( Q2 - Q1)

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Puntaje Estándar Cualquier escala de puntajes puede transformarse en

una nueva serie de puntajes llamados puntajes estándar (Z).Para determinar esta nueva escala de puntajes es necesario definir:

1. La distancia entre un puntaje y el promedio

2. La desviación estándar que nos indicará cuan heterogéneo u homogéneo es la distribución.

3. Se dividen ambos valores y se genera esta transformación a un puntaje Z o estándar.

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Puntaje Estándar

• Fórmula

Zx xs

70



s

xxZ

71


Puntaje Z Un puntaje Z lo que hace es decirnos a cuántas unidades de desviación estándar del promedio está un puntaje determinado, o sea, no contamos en cantidad de puntos, sino en cantidades de desviaciones estándar. Para utilizar el puntaje Z requerimos que la distribución sea normal y Conocer el promedio y la desviación estándar de los puntajes


Distribución de puntajes

• Una distribución de puntajes es el conjunto de valores obtenidos al realizar un experimento estadístico dado. En otras palabras, es el conjunto de resultados de un experimento estadístico.

• Un experimento estadístico es cualquier operación que entrega como producto los valores de una variable (no confundir con un diseño experimental).

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DISTRIBUCION NORMAL

– Esta distribución de probabilidades es una de las más útiles y usadas de las distribuciones probabilísticas.

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Con mucha frecuencia se encuentran variables

aleatorias continuas en la "realidad" (peso, estatura,

tiempo, etc que se distribuyen en forma normal.

Así es de extrema utilidad el uso de la distribución

normal teórica para determinar la probabilidad

asignada a eventos observados en una variable

continua. La utilidad esta en que sirve de apoyo a la

toma de decisiones de las hipótesis en término de

"aceptarlas" o "rechazarlas".

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Existen infinitas distribuciones

normales, pero la mas utilizada es

la distribución normal unitaria o

estandarizada.

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Propiedades de la distribución normal unitaria

1. Corresponde la v.a. Z.

2. El promedio de esta distribución es igual a "Cero"

3. La desviación estándar de esta distribución es igual a "uno"

4. Por tratarse de una distribución de probabilidades, el área total bajo la curva es igual a 1 o 100 %.

5. Los valores de las probabilidades asignados a los distintos valores de la v.a. Z (continua) son valores de intervalos.

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Extraido de http://www.uc.cl/sw_educ/micssweb/html/pres5.htmSitio web de apoyo a la docencia, elaborado por J. Scharager e I. Armijo. 2002


z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

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