estadística aplicada ii pruebas chi -cuadrado profesor: mg. emma pérez palacios

Estadística Aplicada IIPRUEBAS Chi -CUADRADO

Profesor: Mg. Emma Pérez Palacios

Técnicas de la Estadística Inferencial

Estimación

Puntual

Interválica ( Límites de confianza )

Dócimas o Pruebas de Hipótesis

Sobre los Parámetros

Poblacionales: , 2, P

Sobre la relación y distribución de las variables

Dócimas o Pruebas de Hipótesis

Es el procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad que se emplea para determinar si:

La hipótesis es un enunciado razonable y no debe rechazarse, o si es irrazonable y debe ser rechazada.

PRUEBA JI-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTEPRUEBA JI-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE

La aplicación principal de la prueba de bondad de ajuste se da cuando se desea verificar si una muestra aleatoria proviene de alguna población cuya distribución se ajusta a una distribución teórica conocida (uniforme o normal).Las observaciones se deben clasificar de acuerdo a la siguiente tabla:

4

CategoríaAi

Frecuencia Observada

Oi

Frecuencia Esperada

Ei

ProbabilidadP(Ai)

A1 O1 E1 P(A1)

A2 O2 E2 P(A2)

… … … ….Ar Or Er P(A r)

TOTAL n n 1,00

PRUEBA Chi-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE

La prueba se especifica de la siguiente forma: :1. Formular las Hipótesis.

H0: Los datos de la muestra se ajustan a la distribución propuesta

H1: Los datos de la muestra no se ajustan a la distribución propuesta

2. Fijar el nivel de significación: 0 < < 13. Calcular el estadístico de Prueba:

5

4. Hallar el valor crítico: 2(gl; 1), siendo gl=k–p–1, k el número de categorías y p

es el número de parámetros desconocidos que se han estimado para determinar las probabilidades de las categorías.

5. Tomar la decisión de acuerdo a la siguiente regla de decisión: H0 se rechaza si: 2

c >2(gl; 1), en caso contrario se acepta.

Nota:- Si alguna(s) categoría(s) tiene Ei<5, se deben agrupar la(s) categoría(s) hasta lograr que todas las frecuencias observadas sean mayores o iguales que 5.

2ri i2

c i ii 1 i

O Edonde: E nP(A)

E

PRUEBA Chi-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE : DISTRIBUCION PRUEBA Chi-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE : DISTRIBUCION UNIFORMEUNIFORME

La distribución Uniforme: Es aquella que tiene sus frecuencia de ocurrencia iguales para cada una de los valores de la variable (puede ser cuantitativa o cualitativa). En la distribución uniforme p=0, ya que no requiere que se estimar ningún parámetro.

EJEMPLO.

Un fabricante de sistemas de aire acondicionada ha dividido su mercado en 4 zonas. A un posible distribuidor se le explica que las instalaciones de equipos se distribuyen de manera aproximadamente igual en las 4 zonas. El prospecto de distribuidor toma una muestra aleatoria de 40 instalaciones hechas el año anterior, de los archivos de la fábrica, y encuentra la siguiente tabla:

ZONAS A B C D TOTAL

Nº instalaciones en la muestra Oi 6 12 14 8 40

• Variable: las zonas de ventas.

• Donde: K = N º DE CATEGORIAS = NUMERO DE ZONAS

• n = tamaño de muestra = 40

Para un nivel de significación del 5% probar la afirmación de la empresa fabricante de sistemas de aire acondicionado.

ZONAS A B C D TOTAL

Nº instalaciones en la muestra Oí 6 12 14 8 40

Nº esperado de instalaciones

10 10 10 10 40 e i = n / k

1) Hipótesis H0 : Oi = ei Las instalaciones se distribuyen uniformemente en las cuatro zonasH1 : Oi ei Las instalaciones no se distribuyen uniformemente en las cuatro zonas

(2) Estádistica y Valor calculado

3) Regiones de Aceptación y Rechazo

Nivel de significación = 0.05Distribución Chi-cuadrado. Estadístico de prueba 2 R. A α = 0-05 RR

Para = 0.05, prueba cola derecha y gl = 401= 3 4.00 7.81

4) REGLA DE DECISIÓN:

2 = 4.000 < 7.81 Cae en región de aceptación; se acepta H0

5) CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN: Con un nivel de significación del 5%, se pude afirmar que las instalaciones están distribuidas en formas equitativa en las 4 zonas.

000.4

10108

101014

101012

10106 22222

2 ei

eiOi

En el Minitab

Chi-Square Goodness-of-Fit Test for Observed Counts in Variable: C1

Test ContributionCategory Observed Proportion Expected to Chi-Sq

1 6 0.25 10 1.62 12 0.25 10 0.4

14 0.25 10 1

3.64 8 0.25 10 0.4

N DF Chi-Sq P-Value 40 3 4 0.261

Salida del Minitab

Decisión: Como P-Vaule > α 0.261 > 0.05 => Ho se acepta

Conclusión: Las ventas en las 4 zonas es uniforme.

PRUEBA Chi-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE PARA LA DISTRIBUC. NORMAL

En la producción de piezas para un componente de la memoria de una computadora es sumamente importante la longitud (centimetros) de dichas piezas. El gerente de producción considera en la línea de producción se generan piezas que se ajustan a una distribución normalnormal y para tal efecto presenta el siguiente reporte de las longitudes en centímetros de 120 piezas. A la luz de los datos, ¿qué puede usted concluir?

11

Longitud de las piezas en

centímetros

Número de piezas

1.900 1.925 6

1.925 1.950 8

1.950 1.975 12

1.975 2.000 22

2.000 2.025 30

2.025 2.050 20

2.050 2.075 14

2.075 2.100 8

Total 120

EJEMPLO DE LA PRUEBA Chi-CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE

12

Longitud de las piezas en centímetros

Número de piezas: Oi Punto Medio:

Yi Yi Oi Yi2 Oi1.900 1.925 6 1.9125 11.475 21.9461.925 1.950 8 1.9375 15.500 30.0311.950 1.975 12 1.9625 23.550 46.2171.975 2.000 22 1.9875 43.725 86.9032.000 2.025 30 2.0125 60.375 121.5052.025 2.050 20 2.0375 40.750 83.0282.050 2.075 14 2.0625 28.875 59.555

2.075 2.100 8 2.0875 16.700 34.861 Total 120 240.950 484.046

Media 241.0 = 2.0079120

Desviaciòn = 0.0448Estandar

En el Minitab

Chi-Square Goodness-of-Fit Test for Observed Counts in Variable: Oi

Test ContributionCategory Observed Proportion Expected to Chi-Sq1 6 0.032125 3.8550 3.8550 1.19359 2 8 0.065983 7.9179 0.00085 3 12 0.133253 15.9903 0.99577 4 22 0.198654 23.8384 0.14178

5 30 0.218643 26.2372 0.53965 6 20 0.177666 21.3199 0.08171 7 14 0.106581 12.7897 0.11453

8 8 0.067097 8.0516 0.00033

N DF Chi-Sq P-Value120 7 3.06822 0.879

1 cell(s) (12.50%) with expected value(s) less than 5.

En el Minitab: Fusionando clases

Chi-Square Goodness-of-Fit Test for Observed Counts in Variable: o2

Test ContributionCategory Observed Proportion Expected to Chi-Sq

1 14 0.098107 11.7729 0.4213062 12 0.133253 15.9903 0.9957673 22 0.198654 23.8384 0.1417814 30 0.218643 26.2372 0.5396525 20 0.177666 21.3199 0.0817136 14 0.106581 12.7897 0.1145357 8 0.067097 8.0516 0.000331

N DF Chi-Sq P-Value1206 2.29508 0.891

Salida del Minitab

Ejemplo de la Prueba Chi-cuadrado de Bondad de Ajuste

Marca de Clase

Número de piezas

L.I. L.S. Ai Oi Ai Oi A2i Oi P(Ai) P(L.S.) P(L.I.) Ei

1,925 1,9125 6 11,475 21,9459 0,024281 0,024281 0,000000 2,9141,925 1,950 1,9375 8 15,500 30,0313 0,063777 0,088059 0,024281 7,6531,950 1,975 1,9625 12 23,550 46,2169 0,143659 0,231718 0,088059 17,2391,975 2,000 1,9875 22 43,725 86,9034 0,223062 0,454780 0,231718 26,7672,000 2,025 2,0125 30 60,375 121,5047 0,238796 0,693576 0,45478 28,6562,025 2,050 2,0375 20 40,750 83,0281 0,176261 0,869836 0,693576 21,1512,050 2,075 2,0625 14 28,875 59,5547 0,089691 0,959527 0,869836 10,7632,075 2,0375 8 16,300 33,2113 0,040473 1,000000 0,959527 4,857

120 240,550 482,396 1,000000 120,000

Media = 2,0046Desv. Estándar = 0,0403


2i i

i

O E

E

Nota:- Si alguna categoría tiene Ei<5, se deben agrupar la(s) categoría(s) hasta lograr que todas las frecuencias observadas sean mayores o iguales que 5.


18

Número de piezas

L.I. L.S. Oi Ei

1,900 1,950 14 10,5671,950 1,975 12 17,2391,975 2,000 22 26,7672,000 2,025 30 28,6562,025 2,050 20 21,1512,050 2,100 22 15,620

120 120,000


2i i

i

O E

E

Número de piezas

L.I. L.S. Oi Ei

1,900 1,950 14 10,567 1,1151,950 1,975 12 17,239 1,5921,975 2,000 22 26,767 0,8492,000 2,025 30 28,656 0,0632,025 2,050 20 21,151 0,0632,050 2,100 22 15,620 2,606

120 120,000


2i i

i

O E

E

Número de piezas

L.I. L.S. Oi Ei

1.900 1.950 14 10.567 1.115

1.950 1.975 12 17.239 1.592

1.975 2.000 22 26.767 0.849

2.000 2.025 30 28.656 0.063

2.025 2.050 20 21.151 0.063

2.050 2.100 22 15.620 2.606

120 120.000 6.289

Longitud de las piezas en

centímetros 2

i i

i

O E

E

2ri i2

ci 1 i

O E

E6,289


1. Hipótesis.

H0: La línea de producción genera piezas que se ajustan a una distribución normal

H1: La línea de producción genera piezas que no se ajustan a una distribución normal

2. Nivel de significación: = 0,05

3. Estadístico de Prueba: 2c = 6,289

4. Valor Crítico: 2(3; 0,95) = 7.81473

5. Decisión: H0 se acepta por que 2c < 2

(3; 0,95)

6. Conclusión: La línea de producción genera piezas que se ajustan a una distribución normal

19

Desde el punto de vista de la estadística una Tabla de Contingencia, en un cuadro de doble entrada donde cada observación de la muestra se encuentra clasificada en dos niveles de categorías.

Los datos de las pruebas Chi-cuadrado se encuentran contenidos en estas tablas de doble entrada o clasificación.

TABLAS DE CONTINGENCIA

Tipo de Variable

Cuantitativa (en intervalos)

Cualitativa

(Nominal u ordinal )

Para las tablas se puede aplicar

variables del tipo:

TABLAS DE CONTINGENCIA

PRUEBA Chi-CUADRADO DE INDEPENDENCIA DE VARIABLES

Se aplica para comprobar si dos variables son independientes en las observaciones de una misma población.

Los datos de la muestra se clasifican a la vez en las “r” categorías de la variable X, y en las “K” categorías de la variable Y. De este modo los datos de la muestra se resumen de acuerdo la tabla de contingencia siguiente:

23

Y1 Y2 ... Yc

X1 O11 O12 ... O1c T X1

X2 O21 O22 ... O2c T X2*

... ... ... ... ... ...Xr Or1 Or2 ... Orc T Xr

Total Columna T Y1 T Y2 ... T Yc n

PoblaciónVaraible Y Total

Fila

Niveles de la variable YNiveles

de X

Tabla de Contingencia de las Variables X e Y Tabla de Contingencia de las Variables X e Y

Y1 Y2 Y3 . . . Yj . . . Yk Total X

X1 O11 O12 O13 O1J O1k T X1

X2 O21 O22 O23 O2J O2k T X2

X3 O31 O32 O33 O3J O3k T X3

. . . . . .Xi Oi1 ... Oij ... Oik T Xi

. . . . . .Xm Om1 Om2 Om3 OmJ Omk T Xm

Total Y T Y1 T Y2 T Y3 . . . T Yj . . . T Yk n

PRUEBA Chi-CUADRADO DE INDEPENDENCIA DE VARIABLES


H0: Las variables son independientes.

H1: Las variables no son independientes

2. Fijar el nivel de significación: 0 ≤ ≤ 13. Calcular el estadístico de Prueba:

25

4. Calcular el valor crítico: 2(gl; 1), siendo gl=(r–1)(K–1), r: el número de filas y k:

el número de columnas.



Nota:-Si alguna categoría tiene Eij<5, se deben agrupar la(s) categoría(s) hasta lograr que todas las frecuencias observadas sean mayores o iguales que 5.

2r c

ij ij * j i*2c ij

i 1 j 1 ij

O E O Odonde: E

E n

Prueba de Independencia

ObjetivoObjetivo Probar la independencia o dependencia de dos variables X e Y cada una con diferentes categorías

EjemploSe desea probar si existe alguna dependencia entre la preferencia de tipo gaseosas y sexo

Ho : Tipos de gaseosa y sexo son independientes

H1 : Tipos de gaseosa y sexo son dependientes (están relacionados)

Estadística de la Prueba

2 = (oij – eij) 2 ~ 2(k -1) x ( r - 1)

eij

oij = Frecuencia observada del nivel-i de X, del nivel j de Y

eij = Frecuencia esperada del nivel-i de X, del nivel j de Y n = Tamaño de la muestra

ei j = Total fila-i x Total Columna-j

n k = Nº de columnas r = Nº de filas

Reemplazar los valores, y hallar el valor calculado

2 = valor crítico o de tabla

~ 2 (K -1) x ( r - 1)

Región de rechazo

Región de Aceptación

1-

Regiones de Aceptación y Rechazo de Ho

Se elige un valor para el nivel de significancia “” ó error tipo-1 (entre 1 % y 10%)

Función de Probabilidad Chi-Cuadrada con (k-1)x(r-1) grados de libertad

Nota : “”= Error tipo 1: Probabilidad de rechazar H0

siendo verdadera.

Decisión Decisión

Si el valor calculado es menor al valor critico, se acepta Ho

Si el valor calculado excede al valor critico, , Ho se rechaza, y se acepta H1

2 = valor crítico o de tabla

~ 2 (k -1) x (r - 1)

1-

2 valor calculado

Caso Práctico

Se ha entrevistado a una muestra de egresados de la Facultad de CC.AA., entre las variables consideradas, se encuentran el nivel de ingresos (intervalos) y sexo

X = nivel de ingresos Tres intervalos o niveles * Bajo : < S/. 1,500* Medio: [1,500 - 3,000]* Alto: > S/. 3,000

Y = Sexo

Hombre Mujer Total Nivel Bajo 4 16 20de Medio 19 16 35Ingresos Alto 11 4 15

Total 34 36 70

SEXO

Tabla de Contingencia: Datos

Y =

X=

o ij e ij O ij - e ij ( o ij - e ij ) 2 ( o ij - e ij )

2/ e ij4 9.714 -5.714 32.653 3.36119 17.000 2.000 4.000 0.23511 7.286 3.714 13.796 1.89416 10.286 5.714 32.653 3.17516 18.000 -2.000 4.000 0.2224 7.714 -3.714 13.796 1.78870 70 10.675

2 Valor calculado

Hombre Mujer Total Nivel Bajo 4 16 20de Medio 19 16 35Ingresos Alto 11 4 15

Total 34 36 70

SEXO

Tabla de Contingencia: Datos

Estadistica de Prueba

2 = (oij – eij) 2 ~ 2(2 -1) x (3 - 1) = 2

eij (Chi-cuadrado con 2 grados

de libertad) )

Valor Calculado Valor Critico

2 = 10.675 2 = 5.99

Y =

X=

En e Minitab

Chi-Square Test: C1, C2

Expected counts are printed below observed countsChi-Square contributions are printed below expected counts

C1 C2 Total 1 4 16 20 9.71 10.29 3.361 3.175

2 19 16 35 17.00 18.00 0.235 0.222

3 11 4 15 7.29 7.71 1.894 1.788

Total 34 36 70

Chi-Sq = 10.675, DF = 2, P-Value = 0.005

Decisión Decisión

(valor calculado) 2 = 10.675 < (valor critico) 2 = 5.99 entonces: se rechaza Ho,al 5% de significancia

Por tanto: El nivel de ingresos y sexo están relacionados

2 = valor crítico= 5.99

~ 2 (2 -1) x (3 - 1) = 2

(Chi-cuadrado con 2 grados de libertad) )

2 valor calculado = 10.675

0.05

Salida del Software SPSSSalida del Software SPSS

Chi-Square Tests Value df Sig. Pearson Chi-Square 10.675 2 0.005Likelihood Ratio 11.307 2 0.004N of Valid Cases 70 0 cells (.0%) have expected count less than 5.

Como 0.005 0 se rechaza Ho.

Por lo tanto, el nivel de ingresos y el sexo son dependientes, es decir, están relacionados

Nota : El máximo nivel de significancia para rechazar Ho es 0.10 ó 0.12 (10% ó 12% de error)

Nivel de signifiancia

del valor calculado

Grados de libertad

Valor calculado

ConclusionesConclusiones

• Mediante el análisis de las Tablas de Contingencia de los datos de la muestrales, se aplica la Prueba de Independencia de Variables con la estadística Chi-cuadrado.

• Del análisis de los resultados de una encuesta de una doble clasificación de la variables: sexo y nivel de

ingresos, de una muestra de 70 egresados, se concluye que los niveles de ingreso está relacionados del sexo de los egresados.

EJEMPLO -2: PRUEBA Chi-CUADRADO DE INDEPENDENCIA DE VARIABLES

EJEMPLO -2: PRUEBA Chi-CUADRADO DE INDEPENDENCIA DE VARIABLES

1. Hipótesis.

H0: El Nivel Socioeconómico al cual pertenecen las mujeres en edad fértil no influye en el número de hijos que tienen

H1: El Nivel Socioeconómico al cual pertenecen las mujeres en edad fértil influye en el número de hijos que tienen



4. Valor Crítico: 2(4; 0,95) = 9,48773

5. Decisión: H0 se rechaza por que 2c > 2

(4; 0,95)

6. Conclusión: El Nivel Socioeconómico al cual pertenecen las mujeres en edad fértil influye en el número de hijos que tienen

39

PRUEBA Chi-CUADRADO DE HOMOGENEIDAD DE PROPORCIONES


H0: Las proporciones para un j-ésimo grupo son iguales.H1: Las proporciones para un j-ésimo grupo son diferentes.

2. Fijar el nivel de significación: 0 ≤ ≤ 13. Calcular el estadístico de Prueba:

40

4. Calcular el valor crítico: 2(gl; 1), siendo gl=(r–1)(c–1), r el número

de filas y c el número de columnas.



Nota:-Si alguna categoría tiene Eij<5, se deben agrupar la(s) categoría(s) hasta lograr que todas las frecuencias observadas sean mayores o iguales que 5.

2r c

ij ij * j i*2c ij

i 1 j 1 ij

O E O Odonde: E

E n

EJEMPLO DE LA PRUEBA Chi-CUADRADO DE HOMOGENEIDAD DE PROPORCIONES

Para un estudio de mercado sobre hábitos de consumo de cigarrillos se dividió una ciudad en 8 zonas y se desea saber si la proporción de fumadores varía de una zona a otra. Para ello se toma una sub muestra de cada una de estas zonas y los resultados se resumen en la siguiente tabla:

41

¿Se puede inferir, con = 0.05 que la proporción de fumadores varía de una zona a otra?

Condición Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 Zona 6 Zona 7 Zona 8

Fumadores 56 87 142 71 88 72 100 142

No Fumadores 17 20 58 20 31 23 25 48

Prueba de Homogeneidad de Proporciones

H0: La proporción de fumadores no varía de una zona a otra

H1: La proporción de fumadores varía de una zona a otra

EJEMPLO DE LA PRUEBA Chi-CUADRADO DE HOMOGENEIDAD DE PROPORCIONES

1. Hipótesis.

H0: La proporción de fumadores no varía de una zona a otra

H1: La proporción de fumadores varía de una zona a otra



4. Valor Crítico: 2(7; 0,95) = 14,0671

5. Decisión: H0 se acepta por que 2c < 2

(7; 0,95)

6. Conclusión: La proporción de fumadores no varía de una zona a otra

43

estadística aplicada ii pruebas chi -cuadrado profesor: mg. emma pérez palacios

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