INSTITUCION EDUCATIVA TECNICA ALFONSO ARANGO TORO

Guía de Trabajo “APRENDER DIGITAL” 2020

GESTION

PEDAGOGICA

ESTADISTICA 7º MODULO nº1

LA FRECUENCIA ESTADISTICA Y SU REPRESENTACION GRAFICA

INSTITUCION EDUCATIVA TECNICA ALFONSO ARANGO TORO

MODULO Nº 1 – MATEMATICAS

ESTANDAR: Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en

diferentes contextos y dominios numéricos.

PREGUNTA: ¿Cómo resolver un problema que involucre el empleo de los números

negativos y positivos dentro de un contexto y este tenga validez?

OBJETIVO GENERAL: Reconocer, ejecutar procesos y resolver situaciones problemas utilizando los números Enteros (Z) (positivos y negativos) APRENDIZAJE: LOS NUMEROS ENTEROS (Z) SABERES/APRENDIZAJES:

Los números enteros (definición, números signados,

números opuestos)

Orden y ubicación en la recta numérica de los Z.

Adición y sustracción con los Z

Ecuaciones aditivas

Multiplicación y división de los Z

Ecuaciones multiplicativas

Operaciones combinadas

Potenciación y radicación de los números Z

ACTIVIDADES A DESARROLLAR

Actividad Nº1: Ecuaciones aditivas.

Actividad Nº2: Multiplicación y División de Números Enteros

Actividad Nº3: ecuaciones Multiplicativas Actividad Nº4. Elevando a una potencia.

Actividad General. preguntas Tipo ICFES (esta actividad se entrega en un

momento señalado, para saber como vamos)

LOS NUMEROS ENTEROS

Los números son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad con

relación a su unidad. También se puede decir que son un conjunto formado por los

números naturales y sus opuestos.

Está compuesto por los números enteros negativos

y enteros positivos; se utilizan para expresar

cantidades de magnitudes que varían en dos

sentidos (+, -).

Cada elemento del conjunto de los enteros

positivos, tiene un opuesto negativo y viceversa,

ejemplo: (-9) es opuesto de (+9); el opuesto de –(-5)

es -5 debido a que menos (-) por menos (-) es más

(+), por la tanto –(-5) = +5 y su opuesto entonces

será -5.

Orden de los Números Enteros

Todo número entero que se encuentre a la derecha de otro número entero,

este será mayor.

Entre los números enteros negativos (Z-), es mayor quien tenga menor valor

absoluto y/o será mayor quien se encuentre más cerca al cero (0).

Entre los números enteros positivos (Z+), es mayor el número con mayor valor

absoluto y/o quien este mas lejos del cero (0).

Valor Absoluto: Cifra que representa la distancia desde el origen o cero de una

recta numérica hasta un número o un punto. Esta distancia no se representa

con ningún signo y se representa con dos líneas paralelas verticales, ejemplo:

l -3 l = 3

l+5 l = 5

l-10l = 10

OPERACIONES BASICAS CON LOS NUMEROS ENTEROS (Z)

ADICION (SUMA) DE NUMEROS ENTEROS.

Al iniciar el desarrollo de esta operación es necesario tener presente lo siguiente:

Signos iguales se SUMAN, signos diferentes se RESTAN y se coloca el signo del número

que tenga el valor numérico mayor

Ejemplo:

(+2) + (+3) = +5

(+10) + (+34) = +44

(+20) + (-15) = +5

(-60) + (- 20) = (-80)

(-35) + (+15) = (-20)

(-100) + (-50) = (-150)

-(-30) + (+50) = (+30) + (+50) = (+ 80)

Recuerden que cuando tenemos dos o más signos seguidos, separados por paréntesis,

es necesario realizar y desarrollar ley de signos

(-) x (-) = +

(+) x (+) = +

(+) x (-) = --

(-) x (+) = --

SUSTRACCION (RESTA) DE NUMEROS ENTEROS (Z)

Al llevar a cabo este proceso se puede tomar la decisión de escoger cualquiera de los

dos sistemas de desarrollar:

a. Forma 1. Convertir una sustracción por una adición. (a) – (+b) = (+a) + (-b)

Ejemplo:

(+10) – (+4) = (+10) + ( -4)

= (+6)

b. Forma 2. Desarrollar directamente por ley de signos (+a) – (+b) = a – b

c.

ejemplo: (+10) – (+4) = +10 -4 = + 6

ejercicios:

(+25) – (-12) = +25 + 12 = (+37) (recuerda menos por menos es mas y luego de ello,

signos iguales se suman.)

(-25) – (-12) = (-25) + 12= (-13) (menos por menos mas y signos distintos se restan y

coloca el signo del número más grande)

SITUACIONES PROBLEMA

1. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de

conservación de las verduras, que se encuentra a , a la del pescado congelado,

que está a ? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

Solución: recuerda que la palabra diferencia implica tener en nuestra mente la recta

numérica y ubicación de los números.

si estamos en el 4 positivo y nos vamos hasta 18

negativo, me muevo 22 unidades hacia la izquierda por lo tanto serán 22 unidades

negativas.

2. La mamá de Juan lo envía a comprar 8 huevos con un billete de $2000, ¿le alcanza el

dinero a Juan para comprar los huevos, si vale $350 la unidad? ¿le queda plata a Juan

o queda debiendo en la tienda?

350 x 8 = 2800

Por lo tanto, tengo +2000 y debo pagar -2800, entonces… (+2000) –(2800) = -800.

R/ a Juan no le alcanzo la plata, le quedo debiendo al tendero $800.

3. La vuelta al Tolima inicia su recorrido en el municipio de Planadas al sur del

departamento hasta el Espinal recorriendo 176.8 Km, al otro día avanzan 57.8 Km

hasta la capital Tolimense (Ibagué) y para finalizar llegan hasta municipio del Líbano

124.1 Km, ¿Cuántos Km deben recorrer los ciclistas?

(+176.8) + (+57.8) + (+124.1) = (+358.7) Adición de números

positivos

-

R/ los ciclistas deben recorrer 358. 7 Km

4. Angie tiene 5 dulces de piña, Tatiana le regala 3 dulces de fresa, Angie le regala a

Natalia 4 dulces y por ultimo su hermana menor toma 2 dulces a la escondida.

¿Cuántos dulces tiene en estos momentos Angie?

(+5) + (+3) + (-4) + (-2) = (+8) + (-6) = (+2)

Se suman los números positivos aparte y los negativos también.

ECUACIONES ADITIVAS

Una ECUACION es una igualdad en la que hace falta un dato por descubrir o un dato

incognito y es necesario solucionarla a través de una suma o resta; se debe tener en

cuenta y jugar con las operaciones contrarias.

Ejemplo Nº 1

X + 15 =

Escoge la opción que sea más clara y fácil de desarrollar para ti

Ejemplo 2. m + 8 = (- 20), observamos que la incógnita “m” se encuentra acompañada por el 8 , y

éste 8 está sumando. Se pasa el 8 del lado izquierdo al derecho junto al (-20) y como está sumando pasa a RESTAR o con signo diferente.

Incógnita/dato

desconocido

opción 1:

X + 15 = 9

X + 15 + (-15) = 9 + (-15) “se adiciona a ambos lados de la igualdad el numero

opuesto del acompañante y se desarrolla la

operación”

X + 15 + (-15) = 9 + (-15)

X + 0 = -6 Respuesta/ X= -6

Al comprobar, se reemplaza la X por el numero hallado:

opción 2:

X + 15 = 9

X = 9 -15 “se cambia de lugar el o los números acompañantes y el signo; es decir si

estaba sumando pasa a restar y si estaba restando pasa a sumar – no

olvide que signos distintos se resta y coloca el signo del número más

grande y signo iguales se suma y pone el mismo signo”

X = -6 Respuesta/ X= -6

m = -20 - 8, como los dos números tienen el mismo signo, recuerde que se debe

sumar y colocar el mismo signo: m = - 28 y este es el valor de la incógnita que nos piden hallar. Al comprobar… cambiamos el número obtenido por la letra -28 + 8 = -20 signos distintos se restan Ejemplo 3. De una cuerda de 200 cm se cortan 6 trozos de 20 cm cada uno, ¿cuánto mide el pedazo de cuerda que quedó? 120 + m = 200 m = 200 – 120 m = 80 R/ el pedazo sobrante fue de 80 metros Ejemplo 4. Si a un número le quito 25 se obtiene 32. ¿Cuál es el número? P – 25 = 32 P = 32 + 25 P = 57 R/ el número faltante es el 57

Se pasa de sumar a restar

ACTIVIDAD Nº1 - ECUACIONES ADITIVAS

1. Resuelve y desarrolla las siguientes ecuaciones:

2. Lee y plantea una ecuación para cada situación. Luego resuélvela y comprueba cada

ecuación, sustituyendo la letra por el valor obtenido. (recuerda cambiar las palabras

cualquier número por una letra)

a. A un número cualquiera le quito 25 se obtiene 35, ¿Cuál es el número?

b. La diferencia (resta) de dos números es -22. Si uno de ellos es -59, ¿cuál es el

otro número?

c. La suma de dos números da como resultado 150, si uno de los números es 67,

¿Cuál es el otro número?

d. Derlly compró un lápiz, luego gasto $500 en un borrador, compro también un

cuaderno por $3700 y le quedaron $800. Si ella llevaba $6000. ¿Cuánto le costó

el lápiz?

e. Si un numero disminuido en 15 es igual a la suma entre 24 y 41, ¿Cuál es el

número que hace falta?

f. Sara compro 4 lapiceros que le costaron $800 cada uno, si le quedaron $500,

¿Cuánto dinero tenia?

Nota: recuerda que todos los puntos a desarrollar deben llevar su proceso.

1) X + 150 = 250

2) 96 – y = 42

3) 580 = Z + 400 4) 156 + d = 500 – 120

5) 45 + 6 + X = 50 6) 85 + X – 34 = 60

7) a + 87 = 40 + 100 8) -54 – m = -78

MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS (Z)

Es necesario tener en cuenta la ley de los signos, mencionados anteriormente. (-) x (-) = +

(+) x (+) = +

(-) x (+) = -

(+) x (-) = -

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos, es decir se lleva a cabo una multiplicación común y corriente. Recuerda, si en una operación matemáticas tienes paréntesis estos deben desarrollarse en primer lugar y con el resultado desarrollar las otras operaciones indicadas… Ejemplo 1. Adriana tiene ahorrados $ 275.200, pero debe 4 34.500 a cada uno de sus 5 hermanos. ¿Cuánto dinero le queda a Adriana? (-34.000) x 5= (-172.500) 275.200 – 172.500 = + 102.700 R/ Adriana cuenta aún con $102.700 Ejemplo 2. (- 12) x (-3) = + 36 (-15) x (+ 4) = - 60 (+20) x (- 5) = - 100 (+8) x (+7) = +56

Propiedades de la Multiplicacion

Signos iguales da como resultado un numero positivo

Signos diferentes da como resultado un número negativo

DIVISION DE NUMEROS ENTEROS Para calcular el Cociente de dos números enteros (recordando que cociente es el resultado de una división), se divide el valor absoluto del dividendo entre el valor absoluto del divisor. También existe ley de Signos muy similar a la anterior: (-) ÷ (-) = +

(+) ÷ (+) = +

(-) ÷ (+) = -

(+) ÷ (-) = -

Ejemplo 1. En cierto experimento un científico debe disminuir la temperatura de una sustancia 13º c cada hora. Si el experimento da inicio con una temperatura de 0º c ¿Cuántas horas habrán transcurrido cuando la temperatura alcance los 78º c bajo cero? (-78) ÷ (- 13) = +6 R/ tendrá que transcurrir 6 horas para que la temperatura baje a

78º bajo cero Ejemplo 2. Una piscina tiene 2056 litros de agua. Si se vacía a razón de 257 litros por hora, ¿Cuántas horas demorara en vaciarse complemente? ( (2056) ÷ (257) = +8 R/ la piscina tardara 8 horas en desocuparse Ejemplo 3. a. 144 ÷ (-12) = -12 b. (-26) ÷ (-2) = +13 c. (-20) + (+4) = -5 d. 100 ÷ 5= 4 (si un número no lleva con él un signo, significa que es positivo)

Signos iguales da como resultado un numero positivo

Signos diferentes da como resultado un número negativo

ACTIVIDAD Nº2 - MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS ENTEROS

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a. (-9) (+4) =

b. (12) (-5) =

c. (-15) (--7) =

d. (45) (12) =

e. (-191) (-3) =

f. –(20) (9) =

2. Teniendo en cuenta los signos, analiza, escribe la operación correspondiente y

resuelve los siguientes problemas:

a. Mariana gasta en chocolatinas $ 1200 al día, ¿en 5 días cuánto ha gastado?

b. María de los Ángeles, ahorra de su descanso $500 cada día, al cabo de 20

descansos, ¿Cuánto tiene ahorrado?

c. Andrea siembra una planta, la cual crece un promedio de 1,5 cm por día, en

5 días ¿Cuántos cm ha crecido la plantita de Mariana?

d. En un cuarto frio de un laboratorio la temperatura a las 8:00 am es de -2ºc

(dos grados bajo cero) y disminuye 3ºc cada hora, ¿a las 12:00 m que

temperatura tiene el cuarto frio?

e. En la clínica salud Vital cada hora se atienden 6 pacientes por hora cada

médico, si hay 5 médicos, ¿al cabo de 4 horas, cuantos pacientes habrá

atendido la clínica?

3. Resuelve las siguientes divisiones:

a. (-100) ÷ (-10) =

b. (+250) ÷ (-5) =

c. (+354) ÷ (+6) =

d. (-2050) ÷ (+5) =

e. ( -1026) ÷ (-9) =

4. Analiza y resuelve las siguientes situaciones problema

a. Una helada o frente frio afecto la sabana de Bogotá, en 7 horas la temperatura

del aire descendió 21 º c. ¿cuál fue el cambio de temperatura por hora? ¿si la

temperatura inicial tomada fue de 9ºc, cual fue la temperatura final?

b. Una paca de agua trae 12 unidades/botellas de agua; si Karen realiza un pedido

de 288 botellas ¿Cuántas cajas recibirá?

c. José Iván tiene 630 fichas de pokemon y las clasifica en arrumes de 9 fichas,

¿cuantos grupos tendrá que realizar?

d. José Vicente emprende una caminata hacia el alto de la cruz y anda a un ritmo

de 1200 metros por hora, si la distancia de la casa de José Vicente a su destino

es de 4200 metros, ¿Cuántas horas tardara en subir?

ECUACIONES MULTIPLICATIVAS

Una ecuación multiplicativa se refiere a que existe un número desconocido en medio de una multiplicación o división

Ejemplo 1. 65 = 13X 13X significa 13 por X, Se lee: ¿Qué número multiplicado por 13 da

como resultado 65? En este caso x tiene el valor de 5. 65/13 = X 13 está multiplicando, pasa al otro lado a dividir. 5 = X es decir que 13 multiplicado por 5 da como resultado 65 Ejemplo 2.

Un número que dividido con X dé como resultado 15. El número 5 se encuentra dividiendo, pasa al otro lado de la igualdad a multiplicar… X = 15 * 5 X = 75 Nota: para efectos de la operación de la multiplicación, esta se puede indicar de varias

maneras.

Con el signo multiplicación: (a) x (b) Con un punto: a . b Con paréntesis seguido sin ningún signo en medio: (a)(b) Letra y numero seguido sin signos en medio: ab o 13x (ejemplo)

OPERACIONES COMBINADAS CON LOS NUMEROS ENTEROS (Z)

Si te llegara este mensaje a tu red o a tu WhatsApp, ¿Cuál será tu respuesta? Quizás….

a. 34 b. 37 c. 21 d. 49

Si te digo que… cuando hay operaciones combinadas es decir con varias operaciones matemáticas en un solo ejercicio, se debe tener en cuenta algunos aspectos:

a. Si hay paréntesis, independientemente de las operaciones que estén presentes primero se debe desarrollar la operación que se encuentre dentro del mismo, posteriormente continuar con las operaciones presentes

b. Si no hay paréntesis o después de desarrollado se opera primero las divisiones y/o multiplicaciones

c. Por último, se operan las sumas y restas Si volvemos al ejercicio anterior, debemos iniciar con la multiplicación y continuamos con las sumas: 2 + 5 x 3+ 4 = 2 + 15 + 4 = X, la respuesta correcta era…. 21 Ejemplo 1. (-30) ÷ 5 x 3 = primero se realiza la división - 6 x 3 = -18 luego se realiza la multiplicación Ejemplo 2. (-15) x 2 – (-16) ÷ (-8) = primero se desarrolla la división. (-15) x 2 – (+3) = segundo se realiza la multiplicación (-30) – (+3) = - 33 recuerda que se cambia la resta por la suma y el signo del

segundo cambia o se puede realizar ley de signos, signos iguales se suman.

ACTIVIDAD Nº3. ECUACIONES MULTIPLICATIVAS

1. Desarrolla las siguientes operaciones matemáticas:

a. 6X = 120

b. 5600= 80X

c. 420 = 7X

d. 12Y = 420

e. 100/Y = 25

f. 45/9= X

2. Analiza, escribe una ecuación para cada caso y resuelve la ecuación

POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS

¿Sabes que es Potenciación? La Potenciación es una operación Matemática compuesta por tres números: la Base, el exponente y el resultado llamado potencia, involucra la multiplicación para su desarrollo. Pues se resuelve multiplicando el numero base, cuantas veces lo indique el exponente.

Por ejemplo:

a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

b) 02 = 0 · 0 = 0

c) 40 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0 veces)

d) 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

e) 19 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

potenciación cuando la base es negativa

cuando la base es negativa se debe tener en cuenta el exponente para así saber con cual signo se va a dar la respuesta: si el exponente es una cifra PAR el resultado dará POSITIVO si el exponente es una cifra IMPAR, el resultado dará NEGATIVO ejemplos:

a. (-3)2 = 9

b. (-3)3 =- 27

c. (-2)8 = 256

d. (-2)9 = -512

Es necesario tener en cuenta si el signo de la base se encuentra dentro de un paréntesis o no, puesto que el signo del resultado puede variar. Observa:

-28 =- 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = - 256

(-2)8 = (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) ·(- 2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 256

Como podes observar que -2

8 no es igual a (-2)

8 Propiedades de la potenciación

Ejemplo:

= 128 recuerde que la palabra producto significa multiplicación

Ejemplo:

Recuerda en

la división los exponentes se restan

ejemplo

= 2 x 2 x 2 x 2= 16 los exponentes se multiplican

= 4 x 4 x 4 x 4 = 256

Si esta por fuera de un paréntesis simplemente en la respuesta se coloca el mismo signo de la base, mientras que si está dentro del paréntesis a este se le aplica la ley anteriormente mencionado de acuerdo al exponente par o impar

Cuando se presentan casos diferentes a los mencionados anteriormente, se realiza la potencia

de cada número común y corriente y efectúa operaciones correspondientes.

Problemas 1:

Un edificio tiene 4 plantas (pisos) y en cada planta hay 4 apartamentos y en cada apartamento

hay 4 alcobas. ¿Cuántos apartamentos y cuántas alcobas tienen el edificio?

Solución

Si cada planta o piso tiene 4 apartamentos, entonces las 4 plantas

tendrán 4 x 4 que es igual que decir (4)2

Entonces, 4 x 4 = (4)2 = 16.

El edificio tiene 16 apartamentos.

Como cada apartamento tiene 4 alcobas, entonces, en el edificio hay

en total 16 x 4 que es igual que decir (4 x 4) x 4 = 43

= 16 x 4 = 64. O 4 x 4 x 4 = 64

R/ el edificio tiene un total de 64 alcobas.

Problema 2.

Fernando tuvo 2 hijos y cada uno de sus hijos tuvo 2 hijos y cada uno de estos hijos tuvo 2

hijos. ¿Cuántos nietos tuvo Fernando?

Solución:

2 x 2 x 2 = 23 = 8 R/ Fernando tuvo 8 nietos

Problema 3.

Al comedor del colegio, llegaron 9 cajas de pan, en cada caja vienen 9 bolsas y en cada bolsa se

ven 9 panes individuales, ¿Cuántos panes llegaron al colegio?

Solución:

9 cajas x 9 bolsas x 9 panes individuales = 9 x 9 x 9 = 93 = 729

R/ por lo tanto al colegio llegaron 729 panes.

OPERACIONES CON POTENCIAS

SUMA/ RESTA DE POTENCIAS:

23 + 22 = 2 X 2 X 2 + 2 X 2

= 8 + 4

= 12

Primero se desarrolla cada una de las potencias y luego se realiza la suma común y corriente

MULTIPLICACION Y DIVISION

Ejemplo:

= 128

= 729

Se coloca la misma base, luego los exponentes se suman y al final se multiplica la base de

acuerdo al número indicado en el exponente

Ejemplo:

44 • 5

4 =

División de potencias de igual base

El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la resta de los exponentes.

Ejemplos:

Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.

División de potencias de igual exponente

Para dividir potencias que tienen el mismo exponente, se conserva el exponente y se dividen las bases.

Ejemplo:

Cuando El Exponente Es Negativo

Una potencia con exponente negativo y base distinta de cero, es igual a una fracción con numerador 1 y con denominador igual a la potencia con exponente positivo:

Recuerden que los números llevan un numero imaginario debajo que el uno “1” cuando un

exponente es negativo pues se pone volteado es decir patas arriba el 1 para arriba y luego la

base para abajo. Y se eleva a la potencia indicada de manera positiva.

Ejemplo

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

La radicación es operación contraria de una potenciación, la raíz de un cierto orden de

un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa.

analiza la siguiente comparación:

¿Qué números encontraste en común?

Todos verdad….. la primera operación pertenece a una potenciación y la segunda operación a

una radicación.

Si miras bien, la base en la potenciación es el resultado de la radicación, el resultado de la

multiplicación en la potenciación de 7 x 7 da 49 y es misma cantidad subradical, es decir el

numero al cual hay que hallarles la raíz y el exponente en la potenciación es la misma raíz que

hay que hallar en la radicación. Recuerda que existe la riza cuadrada (2), la raíz cubica (3), la

raíz (4), etc.

Ejemplo:

Problema 1.

Un problema cuadrado tiene un área de 900 m2 para cercar con alambre, ¿Cuántos metros

lineales de alambre se debe comprar?

√900 m2 = 30m; porque 30 x 30 = 900 y m x m = m2

= 30 m x 30 m = 900m2

ACTIVIDAD Nº4. RAIZ Y POTENCIACION

900 m2

Desarrolla en tu cuaderno,

Completa las siguientes tablas:

Resuelve Los Siguientes Problemas:

POTENCIA INDICADA

BASE EXPONENTE POTENCIA RAIZ

(-2)5

-2

5

-32

√-32

(12)3

(-4)6

(3) -2

(-7) 4

5

A. Una bacteria se reproduce cada hora y produce dos bacterias más, al cabo de 8

horas, ¿Cuántas bacterias existirán?

B. En un caserío del municipio del Líbano hay 4 familias viviendo, esas familias se

dedican a herrar caballos, cada familia tiene 4 caballos y obviamente cada

caballo tiene 4 patas, ¿cuántas unidades de herraduras se deben comprar para

herrar a todos los caballos?

C. Halla el área de un terreno cuadrado cuyos lados miden 5,2 mt. Recuerda que

la fórmula del área de un cuadrado es lado x lado o lado al cuadrado.