1. PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA VARIANZA.

La varianza como medida de dispersin es importante dado que nos ofrece una mejor visin de dispersin de datos. Por ejemplo: si se determina que la poblacin califica en promedio con 6 el desempeo del gobierno; al decir que la varianza es de cero (y por lo tanto la desviacin estndar es de cero) podemos confiar en que aproximadamente la misma calificacin le asignara toda la poblacin, en otras palabras, en trminos generales la poblacin en su conjunto ve al gobierno con la misma calificacin ya que no hay variacin o dispersin en dicha calificacin.

Por el contrario, con la misma calificacin promedio de 6 pero con una varianza muy alta podemos interpretar que hay gente contenta con el gobierno que le ha asignado calificaciones muy arriba del 6; pero hay un conjunto poblacional muy molesto con el gobierno que asigna calificaciones muy por debajo del 6. Este tipo de informacin solo es posible mediante el anlisis de la varianza. Otro campo del conocimiento donde la varianza se ocupa en gran medida es en control de calidad; cuando un producto se elabora el rea de control de calidad busca que los productos est dentro de ciertos lmites de tolerancia, pero tambin que la variabilidad de un producto sea lo menor posible. De ah viene la filosofa seis sigma (significa seis veces la varianza).

En situaciones como la del control estadstico de calidad, de antemano se conocen los parmetros de referencia del proceso bajo control. La actividad central para decidir si en un momento dado, el proceso est bajo control o no, es la confrontacin permanente de los datos obtenidos con las hiptesis sobre la centralidad del proceso (media ) y sobre la magnitud de su variabilidad (varianza). Por esta razn desarrollaremos una seccin que se ocupe de resolver la contrastacin de una hiptesis que confronta un valor particular de la varianza contra los datos obtenidos del proceso, con el propsito de calcular un valor P, o equivalentemente, determinar una franja de confianza, con base en la cual puedan tomarse decisiones al respecto.

Nuevamente consideramos que la poblacin sigue una distribucin de probabilidad normal, para lo cual usamos el siguiente estadstico de prueba:

Este estadstico de prueba se le conoce como ji cuadrada.

Ejemplo: Una empresa del giro alimenticio desea determinar si el lote de una materia prima tiene o no una varianza poblacional mayor a 15 en su grado de endulzamiento. Se realiza un muestreo de 20 elementos y se obtiene una varianza muestral de 20.98; realizar la prueba de hiptesis con alfa = 0.05.

Paso 1. Determinar la hiptesis Nula Ho y Alternativa Ha. Ho: La varianza poblacional es igual a 15. (Algunos autores colocaran La varianza poblacional es igual o menor a 15).

Ha:________________________________

Es decir: Ho: 2 15 Ha: 2 > 15 (prueba de una cola)

Paso 2. Determinar el nivel de significancia. Definido por el analista, en este caso se desea usar = 0.05

Esta es la forma grfica de ji cuadrada

El rea sombreada representa alfa o la fraccin de error.

Ntese que es prueba de una cola por lo que alfa no se divide en dos.

Paso 3. Calcular los intervalos o valores crticos que implican ese nivel de significancia.

Usamos = 0.05 y (grados de libertad)=20-1=19.

Leemos en la tabla:

= 30.143

Grficamente queda de la siguiente forma:

Paso 4. Calcular el estadstico de la prueba.

gl = n -1

Donde:gl = Grados de libertad.n = nmero de elementos en la muestra.s2 =varianza muestral.2 =varianza considerada por la hiptesis nula.2 = ji- cuadrada (tambin conocido como chi-cuadrada).

Para este problema la sustitucin queda: gl= n-1 = 20-1= 19

Paso 5. Determinar si el estadstico cae dentro de la regin que hace la Hiptesis nula verdadera.

En este caso cae dentro de la regin que hace vlida la hiptesis nula.

Paso 6. Aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Se acepta que la varianza poblacional es igual a 15 como hiptesis nula.

2. PRUEBA DE HIPTESIS PARA DESVIACIN ESTNDAR.

Hasta ahora, se ha realizado inferencias con respecto a la media poblacional , una proporcin poblacional P y la desviacin estndar poblacional . Uno de los mtodos utilizados para hacer inferencias acerca de los parmetros de la poblacin es la estimacin por intervalos. En este caso en particular queremos realizar pruebas de hiptesis con respecto a la desviacin estndar poblacional .

Veamos algunas aplicaciones:

Ejemplo 1: El jefe de produccin de la empresa General Electric desea determinar si la dispersin entre la duracin de cada bombilla fabricada por la maquina 1 excede de 12,5 horas. Semanalmente se fabrican 3000 bombillas en la mquina 1. Despus de aplicar una tcnica de muestreo apropiada se determino una muestra de tamao 51 para la maquina 1 donde se encontr una desviacin estndar de 14,97 horas.

A un nivel de significancia del 2,5%, usted esta de acuerdo con la afirmacin del jefe de produccin de la empresa?

SOLUCION: Tenemos que es = 0.025, los grados de libertad son: v= 50-1= 50.

Hiptesis:

Recordemos que tiene una distribucin chi-cuadrado con n-1 grados de libertad.

Por lo tanto, si Ho es verdadera, entonces:

Observe que la prueba es de cola derecha. Buscamos el valor de en latabla, entonces tenemos: =71,4202

El estadstico de prueba para la desviacin estndar poblacional es:

Ahora, encontraremos la regin crtica en trminos de la desviacin estndar muestra S despejando de la formula (1), se tiene que:

Verificacin: Al realizar el procesamiento de la informacin se encontr una desviacin estndar muestral de 14,97 horas. Obsrvese que el resultado muestral se encuentra en la regin de rechazo. PRUEBA DE HIPTESIS PARA VARIANZA Y DESVIACIN ESTNDAR.