esta di stica

Universidad Tcnica Federico Santa Mara

1


Departamento de Informtica

ILI-280

Captulo 2Captulo 2Anlisis de datos (Anlisis de datos (BivariadosBivariados))

Estadstica ComputacionalEstadstica ComputacionalI Semestre 2006I Semestre 2006

Parte IIParte II

Profesores:

Carlos Valle ([email protected])

Pgina: www.inf.utfsm.cl/~cvalle

2Profesor C.Valle

Supongamos que se toma una muestra de tamao n de una poblacin y que se desea estudiar, dos caractersticas de un mismo objeto .

Sean estas caractersticas X e Y. Siguiendo los procedimientos habituales, la Muestra se divide en r clases Ai para la variable X

s clases Bj para la variables Y

Existirn elementos que pertenecern simultnea-mente a AiBj. Los datos los podemos ordenar en una tabla o matriz llamada Tabla de Contingencia

Estadstica Estadstica BivariadaBivariada


2

3Profesor C.Valle

Y B1 B2 ..... Bj ..... Bs Total

A1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1A2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2

Ai ni1 ni2 ..... nij ..... nis ni

Ar nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs nrTotal n

1 n2 ..... nj ..... ns n

X

n

= n_

Tabla de ContingenciaTabla de Contingencia

4Profesor C.Valle

Y B1 B2 ..... Bj ..... Bs Total

A1 f11 f12 ..... f1j ..... f1s f1A2 f21 f22 ..... f2j ..... f2s f2

Ai fi1 fi2 ..... fij ..... fis fi

Ar fr1 fr2 ..... frj ..... frs frTotal f

1 f2 ..... fj ..... fs f

X

f

= 1_



3

5Profesor C.Valle

=

=

s

j

iji nn1

Frecuencia Absoluta de la clase Ai; para i= 1, ,2, ... ,r(Independiente de la clases Bj a la que estn asociadas Suma de los valores de la fila i-sima )

=

=

r

i

ijj nn1

Frecuencia Absoluta de la clase Bj; para j= 1, ,2, ... ,s(Independiente de las clases Ai a la que estn asociadas. Suma de los valores de la columna j-sima)

nij = Frecuencia Absoluta de la clase conjunta AiBj.(Valor observado en la celda (i,j) de la Tabla de Contingencia)

fij =nijn

Frecuencia Relativaconjunta de la clase conjunta correspondiente a la interseccin de Ai y Bj.

=

s

j

ijf1

=

r

i 1

= 1


6Profesor C.Valle

Frecuencia (relativa) marginal de la variable X, Conjunto de valores pertenecientes a la clase Ai, considerndola independientemente de la clase Bj

Frecuencia (relativa) marginal de la variable Y, Conjunto de valores pertenecientes a la clase Bj, considerndola independientemente de la clase Ai

Dado el experimento anterior, cuando slo interesa conocer la frecuencia de ocurrencia de cada una de las variables por separado se habla de Frecuencia Marginal de la variable X o Y

Frecuencias MarginalesFrecuencias Marginales


4

7Profesor C.Valle

Notacin: Sean

fij := frecuencia relativa conjunta AiBj = fr(xi,yj)

fiiiii = = frec relativa marginal =

fiiii j = = frec. relativa marginal =

fi/j = = frec. relativa condicional=

j

ijf =j

iji xyx )(),( rr ff

i

ijf =i

jji yyx )(),( rr ff

j

ij

f

f

)(

),()/(

j

ji

jiy

yxyx

r

r

rf

ff =


8Profesor C.Valle

Para frecuencias relativas , i = 1,....,r se tiene:

(Suma de los valores de la columna j-simade la tabla de frecuencias conjuntas)

Adems se verifica que:

=

=

s

j

iji ff1

(Suma de los valores de la fila i-simade la tabla de frecuencias conjuntas)

=

=

r

i

ijj ff1

=

n

niif

=

n

n jjf

j

ij

n

n

==

j

ij

i/jf

ff



5

9Profesor C.Valle

Una tela se clasifica en tres categoras A, B y C segn cantidad y severidad de pequeas imperfecciones. La empresa tiene 5 telares, en un mes dado de produccin se registraron los siguientes datos.

# piezas de tela en la clasificacinTelar A B C Marginal

1 185 16 12 2132 190 24 21 2353 170 35 16 2214 158 22 7 1875 185 22 15 222

Marginal 888 119 71 1078

Ejemplo


10Profesor C.Valle

ijn

jn=

=

j

i/jf

ijff

Cuando se pregunta por la frecuencia relativa de una de las variables, digamos X, restringida a los elementos observados de la clase Bj segn Y; esto es, estudiar el comportamiento de una variable dado un valor fijo de la otra. Se obtiene la frecuencia relativa condicional

Frecuencia (relativa) de la variable X en la clase conjunta AiBj, dado que slo nos interesa respecto a lo observado en la clase Bjde la variable Y; para i = 1, 2, .., r

f1/j, f2/j, f3/j, ... , fr/jConstituye la distribucin de frecuencia relativa condicional de la variable X dada la clase Bj de la variable Y.Ntese que se trabaja condicionado sobre un tamao de muestra reducido al nmero de observaciones de la clase Bj dada

Frecuencia CondicionalFrecuencia Condicional


6

11Profesor C.Valle

Se dice que X es independiente de Y si las frecuencias condicionales de X/Y son todas iguales; es decir, no dependen de la clase condicionante, esto esfi/1 = fi/2 = fi/3 = = fi/s = fi

Ai = 1, 2, 3, ... , r

i1n

1n =i2

n

2n =i3

n

3n = =is

n

Sni1

n

1ni2

ni3

nis

n

2n 3n sn

+ +

+ +

+ +....

+ +....i

n

n= ....

....

= fi

= ii/j ff j= ffj/i

= ji/jij fff =ij if jff

Luego similarmente

=

ji/j f

ijffComo

Independencia EstadsticaIndependencia Estadstica

12Profesor C.Valle

Notacin:

Anlogamente, se tiene:

fj/i = = frecuencia condicional =

i

ij

f

f

)(

),()/(

i

ji

ijx

yxxy

r

r

rf

ff =

Independencia Estadstica

X e Y son variables estadsticamente independientes ssi:

)()/( jij yxy rr ff = )()/( iyi xyx rr ff =

= ii/j ff j= ffj/i



7

13Profesor C.Valle

Independencia Estadstica

como

= ij/iij fff = ijij fff

Asociacin de Variables

Datos no agrupados Cov (x,y) =

Datos agrupados : Cov(x,y) =

Coeficiente de Correlacin = r =

))((1

yyxxn

ii ))(( yyxx ii if

Cov (x,y)Sx Sy


14Profesor C.Valle

Fallas Anuales

Temperatura 120 140 160 Marginal Averas

2 20 15 10 453 12 7 5 244 4 10 2 165 - 5 10 15

Marginal 36 37 27 100

Obtener :Distribuciones marginalesDistribuciones condicionales (4 averas), Mediay Varianza condicional

EjercicioEjercicio


8

15Profesor C.Valle

Fallas Anuales

Temperatura 120 140 160 Marginal Averas

2 0,20 0,15 0,10 0,453 0,12 0,07 0,05 0,244 0,04 0,10 0,02 0,165 0 0,05 0,10 0,15

Marginal 0,36 0,37 0,27 1,00

fj/4 ={ 2/8; 5/8; 1/8} Xj/4 =137,5

Vj/4= 2/8(120-137,5)2 +5/8(140-137,5)2

+1//8(160-137,5)2 =

EjercicioEjercicio

16Profesor C.Valle

Modelo EstadsticoModelo Estadstico (Lineal)(Lineal)

x , y son variables independiente y dependiente

respectivamente. Adems una variable estadstica que representa el error.

Los parmetros 0 y 1 pueden ser estimados a partir de los datos {(xi , yi)}i=1,...,n mediante mtodo de

mnimos cuadrados.

Entonces

++= xy 10

iiiii xyyye 10 ==Sea ;


9

17Profesor C.Valle

= =

=

n

i

n

i

iii xyminemin1 1

2

10

2)(

1010

=

=

n

i

iE eSC1

2

x

xy

SC

SC=1 xy 10 =

=

=

n

i

ix xxSC1

2)( ))(( yyxxSC i

n

i

ixy ==1

=

=

n

i

ieVNE1

2

18Profesor C.Valle

Curvas de Regresin

t 0 1 2 3 4 5 6

V(t) 30 60 46 32 10 4 17

20 40 26 14 8

20 12

V(t) 25 40 46 29 12 6 17

Sea xt = sen t yt = V(t)

Luego y(t) = a + b xt + t

=t

ttbaba

bxayminbaQmin 2,,

)(),(


10

19Profesor C.Valle

325, == xbya 202 ==xS

yxb

),cov(

12762

=yS = 45222 ,)( tt yy

% de Ajuste del Modelo =

%%,

9810098012

2

==

y

t

S

e

20Profesor C.Valle

Sea yi = h ( xi ) con i = 1,...,n

1. Lineales yi = axi + b

y = ax + bSy = a Sx

2. No lineales yi = h( xi )

y = h(x) + h(x) SX2

Sy2 Sx

2 [[[[ h (x)]]]]2En particular h(x) = ln x y = ln x - ( Sx

2 / x2 )

Sy2 ( Sx

2 / x2 ) = CV 2

2

1

2

1

TransformacionesTransformaciones


11


Departamento de Informtica

ILI-280

Anlisis de una Anlisis de una BivariadaBivariadacomo muestra estratificadacomo muestra estratificada

22Profesor C.Valle

E2

n2 V2

2X

E1n1 V11X

Emnm

VmmX

=

=

m

h

h nn1

n

np hh =

Supongamos que la variable admite una clasificacin en k- clases, representadas por X1, X2,.....Xk.

m- estratos

Anlisis de una muestra estratificadaAnlisis de una muestra estratificada


12

23Profesor C.Valle

nih = Cantidad de individuos de la submuestra del estrato h que pertenece a Ci.

h

ih

n

n=ihf

=

=

k

i 1

1ihf =

=

k

i

hih nn1

=

=

k

i

ih XX1

ihf =

=

k

i

hih XXV1

2)(ihf

=

=

m

h

hp1

ihi ff


24Profesor C.Valle

2

11

)(==

+=m

h

hh

m

h

hhT XXpVpV

Entonces:

=

=

m

h

nh XpX1

erraT VVV intint +=



13

25Profesor C.Valle

EjemploEjemplo

Se tiene 3 criaderos de aves. En el criadero (1) se ponen 50 pollos recin nacidos; en el (2) 200 pollos y en el (3) 100 pollos. Al cabo de un cierto tiempo se pesan los 350 pollos, encontrndose que algunos estn muertos y los vivos pesan entre 1,00 [kg]. y 2,50 [kg]. Para los efectos del registro los pollos muertos se supondrn de peso cero, y el cero actuar como centro del supuesto intervalo. Los otros intervalos sern [[[[1,00 ; 1,50]]]] [[[[1,50 ; 2,00]]]] [[[[2,00 ; 2,50]]]].

Centros

0

1,25

1,75

2,25

Frecuencias Absolutas

(1) (2) (3)

5 10 10

10 20 30

30 150 50

5 20 10

Calcular

Note que existen 3 estratos y 4 clases

raer

Thh

VV

VXVX

intint ,

,,,

26Profesor C.Valle

FrecuenciaRelativa

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1,25 1,75 2,25

1,00 1,50 2,00 2,50

Peso

Criadero 1Criadero 2Criadero 3

Histograma Apilado por Peso

Anlisis Muestra EstratificadaAnlisis Muestra Estratificada


14

27Profesor C.Valle

Criadero 1Criadero 2Criadero 3

1,00 1,50 2,00 2,50

FrecuenciaRelativa

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1,25 1,75 2,25

Peso

Histograma por Estrato y por Peso

Anlisis Muestra EstratificadaAnlisis Muestra Estratificada

28Profesor C.Valle

Estrato (2) P2=4/7

fi2 fi2X1 Xi-X2 ( )2 fi2( )2

0 0,05 0 -1,662 2,76 0,1381,25 0,10 0,125 -0,412 0,17 0,0171,75 0,75 1,312 0,088 0, 01 0,0062,25 0,10 0,225 0,588 0,35 0,035

X2=1,662

V2=0,195

Estrato (3) P3=2/7

fi3 fi3X1 Xi-X3 ( )2 fi3( )2

0 0,10 0 -1,475 2,17 0,2181,25 0,30 0,375 -0,225 0,05 0,0151,75 0,50 0,875 0,275 0, 08 0,0392,25 0,10 0,225 0,775 0,60 0,060

X3=1,475

V3=0,331

Estrato (1) P1=1/7

Xi fi1 fi1X1 Xi-X1 ( )2 fi1( )2

0 0,1 0 -1,525 2,325 0,23251,25 0,2 0,250 -0,275 0,0756 0,01511,75 0,6 1,050 0,225 0,0501 0,03042,25 0,1 0,225 0,725 0,525 0,0526

X1=1,525

V1=0,331


15

29Profesor C.Valle

Estratos Ph Media Varianza PhXh PhVh Xh-X (X-Xh)2 Ph( )

2

Xh Vh

(1) 1/7 1,525 0,331 0,218 0,047 -0,064 0,004 0,00058

(2) 4/7 1,662 0,195 0,950 0,111 0,073 0,005 0,00305

(3) 2/7 1,475 0,331 0,421 0,095 -0,114 0,013 0,00371

1,589 0,253 0,0073

30Profesor C.Valle

Se ha obtenido, entonces:

Media Total X = 1,589

Varianza promedio dentro de los estratos Vintra= 0,253

Varianza entre estratos Vinter= 0,0073

Varianza Total VT= 0,2606

ResultadosResultados

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