U N I D A D 4

PROBABILIDAD Y TEORA DE CONJUNTOS.

4.1 ASPECTOS GENERALES DE LA PROBABILIDAD (CONCEPTOS, TIPOS DE PROBABILIDAD, ENFOQUES DE PROBABILIDAD).

4.2 LEYES DE LA PROBABILIDAD.

4.3 APLICACIONES DE LA PROBABILIDAD EN LA ADMINISTRACIN.

4.4 RBOLES DE PROBABILIDAD.

4.5 TEOREMAS DE BAYES.

4.6 TEORA DE CONJUNTOS; OPERACIONES APLICADAS EN LA ADMINISTRACIN.

EJERCICIOS

4.1 ASPECTOS GENERALES DE LA PROBABILIDAD (CONCEPTOS, TIPOS DE PROBABILIDAD, ENFOQUES DE PROBABILIDAD).

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios; o sea, regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del experimento.

LA PROBABILIDAD Es el estudio de los fenmenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.

FENMENO Un fenmeno es la ocurrencia de un hecho o suceso. Los que nos interesan son aquellos fenmenos los cuales podemos observar.

EXPERIMENTOEs un fenmeno observable perfectamente definido.

Debido a que el proceso de obtener toda la informacin relevante a una poblacin particular es difcil y en muchos casos imposible de obtener, se utiliza una muestra para estimar la informacin necesaria para la toma de decisiones Muestra (n) inferencia Poblacin = 8 estimado de = 7.5.

Tomemos por ejemplo una compaa como la compaa Ford. Si la empresa desea introducir un nuevo producto al mercado, sera absurdo pretender que toda la poblacin pruebe el producto. En este caso, se da a probar el producto a una muestra de consumidores y con base a los resultados de esa muestra se decide si el producto se elabora o no. Ahora bien, como los resultados obtenidos a partir de una muestra difieren de los resultados que se obtendran si se observara la poblacin total o universo, existe un riesgo al tomar la decisin. Es en este caso que se utiliza la PROBABILIDAD como una medida de riesgo.

EXPERIMENTO ALEATORIO Y DETERMINSTICO.

Experimento aleatorio: Es aquel que al repetirlo varias veces, se obtienen resultados diferentes en forma aleatoria (al azar). Ejemplo: al realizar la medicin del tiempo en que se tardan en contestar un examen de conocimientos, los estudiantes aspirantes para entrar al Colegio de Bachilleres del Plantel Villa de Seris; es decir, es aquel que no se puede prever el resultado.

Experimento determinstico:

Es aquel que nos proporciona siempre el mismo resultado.Ejemplo: Un ingeniero qumico, al determinar el nmero de molculas de hidrgeno y oxgeno que hay en el agua (H2O) siempre encontrar que es el mismo, no cambia.CAMPO DE LA PROBABILIDADLa probabilidad estudia el tipo de fenmenos aleatorios.Experimento aleatorio.- Una accin que se realiza con el propsito de analizarla. Tiene como fin ltimo determinar la probabilidad de uno o de varios resultados. Se considera como aleatorio y estocstico, si sus resultados no son constantes.Puede ser efectuado cualquier nmero de veces esencialmente en las mismas condiciones.Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; 1. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; 1. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de inters de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra E. Ejemplos: Experimento1: Se lanza una moneda.Espacio muestral = total de formas en cmo puede caer la moneda, o sea dos formas de inters, que caiga sol o que caiga guila. (Si cae de canto no es de inters y se repite el lanzamiento). E= { s, a }

Experimento 2: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dadoS = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Punto muestral Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo.Lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E= {1, 2, 3, 4, 5, 6 } y #E=6Los puntos muestrales son {1},{2},{3},{4},{5},{6} Al nmero de puntos muestrales de E se le representa por #E

DEFINICION DE EVENTOEvento. Cualquier caracterstica observada del resultado de un experimento. El evento es aleatorio si como resultado del experimento puede ocurrir o no ocurrir.Los eventos pueden ser:Evento Simple. Es aquel que tienen un solo punto muestral. Evento Compuesto. Son aquellos que tienen dos o ms puntos muestrales.

Los eventos se denotan normalmente con las letras maysculas A, B, C, ... A, B, C son subconjuntos de E, esto es, A, B, C E Los eventos son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y tambin no contener ningn elemento. Los Eventos aleatorios aparecen con gran frecuencia en el clculo de probabilidades: Evento seguro.- Se verifica despus del experimento aleatorio, si los resultados son los mismos del espacio muestral. E = A y #E = #A

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de inters para su fenmeno. Sin embargo es un subconjunto de E y la nica posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vaco. E y No tiene elementos

Ejemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces. Espacio Muestral: E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A), (S,A,A), (A,A,A) }, #E= 8, E es el evento seguro.

Evento simple: B: Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , #B = 1 Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos soles; E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, #E = 4

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD INTUITIVO: Es aquel basado en la experiencia previa sin la justificacin de algn clculo. Por ejemplo, en pocas de lluvias se puede afirmar a priori que existe una probabilidad de 0.1 de que no llueva en uno de los das de tal temporada.DE FRECUENCIA RELATIVA:

Es en el que la probabilidad se obtiene como una proporcin del nmero de veces en que sucede un evento en una serie prolongada de experimentos repetidos.

4.2 LEYES DE LA PROBABILIDAD.

Leyes De La Probabilidad

Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).

Axiomas y teoremas de la probabilidad

Para el clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuacin se enumeran.

AXIOMAS1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.0 p(A) 1

2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.p ) = 1

3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B) Generalizando:Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces; p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vaco, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero. p()=0 DEMOSTRACIN:Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A)=p(A) +p()=p(A). LQQDTEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 p(A)

DEMOSTRACIN:Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .

TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).

DEMOSTRACIN:Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B).

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) p(AB)

DEMOSTRACIN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) p(AB).

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) p(AB).

DEMOSTRACIN: Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) p(AB).

4.3 APLICACIONES DE LA PROBABILIDAD

Dos aplicaciones principales de la teora de la probabilidad en el da a da son en el anlisis deriesgoy en el comercio de losmercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican mtodos probabilsticos enregulacin ambiental donde se les llama "anlisis de vas de dispersin", y a menudomiden el bienestarusando mtodos que son estocsticos por naturaleza, y escogen qu proyectos emprender basndose en anlisis estadsticos de su probable efecto en la poblacin como un conjunto. Un buen ejemplo:Es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petrleo en Oriente Medio - que producen un efecto domin en la economa en conjunto. Un clculo por un mercado de materias primas en que la guerra es ms probable en contra de menos probable y enva los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinin. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teora de lasfinanzas conductualessurgi para describir el efecto de estepensamiento de grupoen el precio, en la poltica, en la paz y en los conflictos.Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de mtodos rigurosos para calcular y combinar los clculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayora de los ciudadanos entender cmo se calculan los pronsticos y las probabilidades, y cmo contribuyen a la reputacin y a las decisiones, especialmente en unademocracia.

Otra aplicacin significativa de la teora de la probabilidad en el da a da es en lafiabilidad. Muchos bienes de consumo, como losautomvilesy la electrnica de consumo, utilizan lateora de la fiabilidaden el diseo del producto para reducir la probabilidad de avera. La probabilidad de avera tambin est estrechamente relacionada con lagarantadel producto.

4.4 RBOLES DE PROBABILIDAD.

Diagrama de rbol.

DIAGRAMA DE ARBOL.

Un diagrama de rbol es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo.Ejemplos:

1. Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de rbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este mdico?

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el nmero de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc.

Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados ser el que gane el torneo. Mediante un diagrama de rbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,Solucin:A = gana el equipo AB = gana el equipo B

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de rbol, las que es posible enumerar;AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc.

4.5 TEOREMAS DE BAYES.TEOREMA DE BAYESSea un espacio muestral que est formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego, = A1A2A3.....An

Luego si ocurre un evento B definido en , observamos que; B = B = (A1A2A3.....An)B =(A1B)(A2B)(A3B).....(AnB)

Donde cada uno de los eventos AiB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(B) = p(A1B) + p(A2B) + p(A3B) +......+ p(AnB)

y como la p(AiB) = p(Ai)p(BAi) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicacin para probabilidad condicional, luego; p(B) = p(A1)p(BA1) + p(A2)p(BA2) + p(A3)p(BA3) + p(An)p(BAn)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurri, entonces; La expresin anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresin:

4.6 TEORA DE CONJUNTOS; OPERACIONES APLICADAS EN LA ADMINISTRACIN.

La teora de conjunto, permite en los clculos de probabilidad, realizar operaciones entre los eventos como unir, intersectar o complemento.En los casos de los eventos, UNIR implica que los elementos de un evento A y del otro B formaran un conjunto, este representa que el evento A ocurra o que el evento B ocurra.Conjunto potencia Si un espacio muestral contiene n puntos mustrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos (se le conoce como conjunto potencia). Por tanto para el ejemplo siguiente existen: 28 = 256, eventos posibles.Para el caso del experimento: se tira una moneda, el espacio muestral es de 2 puntos mustrales E = {A, S}, Por lo que se tienen 22 = 4 subconjuntos y el conjunto potencia est dado por: {A,S}, {A}, {S}, Operaciones Bsicas con Eventos AleatoriosYa que los eventos son subconjuntos del espacio muestral E, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unin, la interseccin y la diferencia de eventos.OPERACINEXPRESIONDESCRIPCION

UNIO N A B Unin de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden

INTERSECCION A B Interseccin de los eventos originales, es el evento que sucede si y slo si A y B suceden simultneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

Grficamente estas operaciones se pueden representar a travs de los diagramas de Venn.Sea E el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B E grficamente se puede expresar como: EAB

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en comn. A BEABFig. 2 Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en comn.

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unin de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: 1. cuando los eventos son mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en comn) 1. cuando entre los eventos hay elementos comunes.Definicin.-Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, cuando no pueden ocurrir simultneamente, es decir, A B = , lo que ocurre en la fig. 1. Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de inters: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sean A, B, C los eventos:A: Que caiga un nmero impar A= {1, 3, 5}, B: Que caiga un nmero mayor de 2 y menor que 5 B= {3, 4}C: Que caiga un nmero par C= {2, 4, 6} Ejercicios de Probabilidades1) Al lanzar un dado tres veces, segn las probabilidades,es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?

"Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna vez se obtiene el 2". Llamando A= {alguna vez se obtieneel 2}, su complemento esAc= {ninguna vez se obtiene el 2} P(Ac)=P(no sale 2 en 1er lanzam.) P (no sale 2 en 2lanzam.) P (no sale 2 en 3er lanzam.)=5/65/65/6=125/2160,58.

Luego, como P(A)+P(Ac)=1P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene apostar a favor.

2) En una tmbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, cul es la probabilidad de sacar una blanca y despus una negra?

a) Si hay reposicin, esto es, despus de sacar la primera bolita, sta se devuelve a la tmbola.

b) Si no hay reposicin, esto es, despus de sacar la primera bolita, sta no se devuelve a la tmbola.

a) En este caso los eventos son independientes ya que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no afecta al otro.Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B: "sacar una bolita negra", entonces, usandoP(AB)=P(A)P(B), P(AB)=2/53/5=6/25

b) Si no hay reposicin, los eventos son dependientes ya que la bolita no es repuesta a la tmbola, por lo que ocupamosP(AB)=P(A)P(B/A)=2/53/4=3/10

3) Repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es cul es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).

a) Si hay reposicin, esto es, despus de sacar la primera bolita, sta se devuelve a la tmbola

b) Si no hay reposicin, esto es, despus de sacarla primera bolita, sta no se devuelve a la tmbola.

a) Usando la definicin, el nmero total de casos posibles es 55=25 y el nmero de casos favorables es 23+32=12(una blanca y una negra una negra y una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,usando las propiedades, P(A)=P(sacar blanca)P(sacar despus negra)+ P(sacar negra)P(sacar despus blanca)=2/53/5+3/52/5=12/35=48%b) Nmero de casos posibles: 54=20 y el nmero de casos favorables =23+32=12, luego, P(B)=12/20=3/5=60%.O bien, usando las propiedadesP(B)=P(sacar blanca)P(sacar negra/sabiendo que ha salido blanca) +P(sacar negra)P(sacar blanca/sabiendo que ha salido negra)=2/53/4+3/52/4=3/5=60%

Ejercicio:1. Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de rbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este mdico?

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el nmero de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, MABN,MABA, MABB, MO, FA,FBN,FBA,FBB,FABB,FOB,FOA,FOB.

U N I D A D 5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APLICADAS EN LA ADMINISTRACIN

5.1 DISTRIBUCIN PARA VARIABLES DISCRETA

5.2 DISTRIBUCIN PARA VARIABLES CONTINUA

5.1 DISTRIBUCIN PARA VARIABLES DISCRETAVariable aleatoriaUna funcin que asocia un nmero real, perfectamente definido, a cada punto muestral.A veces las variables aleatorias (v.a.) estn ya implcitas en los puntos muestrales.Los conjuntos pueden ser:Discretos: nmero finito o infinito numerable de elementos.Continuos: nmero infinito no numerable de elementos.Las v.a. definidas sobre espacios mustrales discretos se llaman v.a. discretas y las definidas sobre espacios mustrales continuos se llaman continuas.Una v.a. puede ser continua, aunque nosotros slo podamos acceder a un subconjunto finito de valores. Por ejemplo la presin arterial es una v.a. continua pero slo podemos acceder a un conjunto finito de valores por la limitacin de los aparatos de medida.En general, las medidas dan lugar a v.a. continuas y los conteos a v.a. discretas.

DEFINICIN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un nmero, con el fin de poder realizar un estudio matemtico.Ejemplos

Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E= {ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un nmero real, el correspondiente al nmero de caras (discreta).

Esta correspondencia que acabamos de construir es una funcin del espacio muestral E en el conjunto de los nmeros reales R. A esta funcin la llamaremos variable aleatoria y la denotaremos por X.Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta).

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantacin y pesarlas. La ley que asocia a cada sanda su peso es una variable aleatoria (continua).

VARIABLE ALEATORIA (V.A.)

Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numrico a cada resultado del experimento.

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicacin del espacio muestral E en el conjunto de los nmeros reales (es decir, asocia a cada elemento de E un nmero real).

Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: Cul es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notacin:(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", yp(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.

(X