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Esquicio

Resolver para cada uno de los planteos presentados, las proyecciones faltantes considerando los valores de línea como representativos de la profundidad con respecto al observador. Las aristas que se encuentren en posición inclinada con respecto al plano de proyección se presentan en valor intermedio.

FADU UBA SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICACÁTEDRA ARQ. GARCÍA CANO

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02.Anexo: Poliedros y Superficies

INTRODUCCIÓNpor Silvia Nemaric

Un poliedro (del griego polys: múltiples; y hedra: cara) es un volumen cuyas caras son superficies planas. Este anexo, describe sólo un tipo específico de poliedros, los poliedros regulares o sólidos platónicos, también llamados pitagóricos. Los poliedros regulares son aquellos que están formados por caras iguales con forma de polígono regular (de lados iguales) que se construyen a partir de un cubo matriz.Existen sólo cinco que cumplen con las características necesarias para ser regu-lares; y son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el ico-saedro, los cuales tienen respectivamente cuatro, seis, ocho, doce y veinte caras.

La condición para que ningún otro poliedro pueda considerarse regular está dada por la siguiente fórmula, en donde V son los vértices, A las aristas y C, las caras:

V-A+C= 2

Entonces, el número de Vértices, menos las cantidad de Aristas, más el número de Caras es igual a 2 (dos).

En esta tabla podemos ver como los cinco poliedros mencionados cumplen con la fórmula anterior:

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Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

POLIEDRO TETRAEDRO HEXAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO OCTAEDRO REGULAR REGULAR REGULAR REGULAR REGULAR CARAS 4 triángulos 6 cuadrados 12 pentágonos 20 triángulos 8 triángulos equiláteros regulares equiláteros equiláteros VÉRTICES 4 8 20 12 6ARISTAS 6 12 30 30 12ARISTASPOR VÉRTICE 3 3 3 5 4

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Los motivos por los cuales sólo estos cinco poliedros son regulares pueden razonarse también del siguiente modo:

Cada vértice debe ser común a, por lo menos, tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos caras estas estarían pegadas y no sería un sólido.)La suma de los ángulos interiores de las caras que concurren en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos 1 y 2, en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos; como en los casos del tetraedro, el octaedro y el ico-saedro, respectivamente.

Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo pueden con-currir tres de ellos a cada vértice, como es el caso del hexaedro o cubo. En un pentágono regular, los ángulos interiores miden 108°, ubicando tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos que le siguen en cantidad de lados, ya deja de ser posible formar poliedros regulares. Los ángulos interiores de un hexágono miden 120° y poniéndolos juntos se alcanza el límite de 360°. Los ángulos interiores de los que les siguen son aún mayores.

Existe un grupo de poliedros que se los llama semirregulares por conformar su volumetría combinando dos polígonos regulares distintos, estos son el Polie-dro de Kelvin, que se construye por hexágonos regulares y cuadrados, y el Cuboctaedro, desarrollado a partir de cuadrados y triángulos inscriptos en un cubo matriz.

Poliedro de Kelvin Cuboctaedro

La longitud de los lados de cada polígono que integra un poliedro semirregular debe ser la misma.

CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS

Los dibujos y maquetas que podamos construir, sólo son la representación grá-fica o material de las propiedades geométricas (abstractas) de estos cuerpos.

En principio, un repaso sobre la generación de los polígonos que conforman los poliedros regulares:

1.

2.

3.

02.


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Triángulos regulares

Pentágonos regulares

Hexágonos regulares

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03. CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS REGULARES Y SEMIRREGULARES


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POLIEDROS REGULARES

Tetraedro. Inscripto en un cubo. Apoyado en una arista.

Secuencia para la construcción:1. Se dibuja la diagonal de la cara superior del cubo.2. Se dibuja la diagonal opuesta en la cara inferior del cubo.3. Se unen los extremos de las diagonales anteriores con diagonales sobre las caras laterales del cubo.

Tetraedro apoyado en una cara. Construcción geométrica del cambio de plano.

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Octaedro. Inscripto en un cubo. Tomando como vérti-ces los puntos medios de las caras del cubo.

Secuencia para la de construcción:1. Se trazan las diagonales de todos los lados del cubo.2. Los puntos de intersección hallados en el paso anterior sobre las cuatro caras laterales se unen mediante rectas horizontales, formando un cuadrado.3. De cada vértice de este cuadrado trazar rectas hacia el punto central de la cara superior y de la cara inferior.

Octaedro. Inscripto en un tetraedro. Tomando como vértices los puntos medios de las aristas del tetraedro.

Secuencia para la de construcción:1. Ubicar el punto medio de cada arista del tetraedro.2. Unir los puntos medios de las aristas de las caras latera-les mediante rectas horizontales, formando un cuadrado.3. Y desde cada vértice del cuadrado trazar rectas hacia el punto medio de la arista superior, y hacia el punto medio de la arista inferior.

Octaedro. Apoyado en una cara. A partir del tetraedro apoyado en una cara (exágono en planta).

Secuencia para la de construcción:1. Determinar los puntos medios de las aristas del tetrae-dro, mediante la determinación de las medianas.2. Unir dichos puntos formando triángulos sobre cada una de las caras del tetraedro.


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h2

h1

h1

h1

h2

Icosaedro. Apoyado en un vertice.

Secuencia para la de construcción:1. En la proyección horizontal dibujar un pentñagono regular.2. Dibujando las medianas de cada laso, pasando por el vértice opuesto, quedan dibujadas las aristas superiores desde el punto central, formando los 5 triángulos equilate-ros superiores.3. Dibujar un segundo pentágono regular girado de tal for-ma que cada vértice coincida con la prolongación de cada una de las aristas que confluyen en el centro.4. Unir los vértices del pentágono superior con los del pen-tágono inferior, quedando asi conformada la proyección horizontal de los triángulos medios del poliedro.5. Para resolver cualquiera de las proyecciones verticales es necesario hallar geométricamente dos alturas funda-mentales.6. Sabemos por definición que todas las caras del poliedro son triángulos equiláteros por lo tanto todos sus lados son iguales. La medida del lado del triangulo coincide con el lado del pentágono. A. Paralelo a una de las aristas inferiores trazar una línea de tierra para ubicar un plano de proyección vertical. Llevar la proyección del punto central hasta las proyección vertical con altura cero. Proyectar el otro límite de dicha arista. Con un compás haciendo centro en el punto de altura cero trasladar la medida del lado del triángulo sobre la linea de proyección del extremo del lado. De esta forma quedará resuelta la inclinación que adopta dicha arista en el espacio y sabremos la altura del casquete inferior.

B. También se resolverá hallando la inclinación de una de las aristas. Deberá tomarse una arista del cuerpo central del poliedro. El procedimiento es el mismo.7. Con las dos alturas halladas pueden resolverse ahora todas las proyecciones verticales.

Icosaedro. Apoyado en una arista. Inscripto en un cubo.

Secuencia para la de construcción:1. Se resuelve igual que el primer paso del dodecaedro apoyado en una arista.2. Unir los vértices de las aristas dibujadas y se conforman cada uno de las caras del poliedro.

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Dodecaedro. Inscripto en un cubo. Apoyado en una arista.

Secuencia para la de construcción:1. Dibujar sobre cada cara del cubo una recta cuya longitud sea 2/4 del lado del cubo, y se encuentre en la mitad del lado.2. Dibujar cubos de 3/16 de lado en cada uno de los vérti-ces del cubo generador.3. Unir los vértices de cada una de las rectas ubicadas so-bre cada una de las caras del cubo con los vértices interio-res de cada uno de los cubos de 3/16 de lado.

1/4

1/21/2

3/16

Dodecaedro. Apoyado en una cara.

Secuencia para la de construcción:1. Construir un pentágono regular en el plano de proyec-ción horizontal. Se lo inscribe en una circunferencia y se calcula la dimension del lado del mismo. R/2:- Mitad del radio determino A. Uno A con B. Haciendo cen-tro en A (con compás) traslado B hasta B’ (BB’: lado del pentagono: l).2. Construir 5 pentágonos regulares de modo tal que cada uno de ellos tenga en común un lado con el polígono anterior.3. Esto dá como resultado el casquete inferior del dode-caedro abatido en el plano horizontal.4. Trazar por A una paralela a BD. Trazar por F una paralela a GH.5. Por la intersección [(A)=(F)] trazar una circunferencia con centro en O.6. Unir v{ertices construyendo proyección horizontal (ver grafico).7. Cálculo de alturas de puntos 1 y 2.- (B)D es la proyección de la mediana del pentágono: DB- (A)=(F)K es la proyección del lado del pentágono : FKSe realizan proyecciónes de perfil de cada uno de ellos (lado y mediana).8. Las alturas determinadas se trasladan a la proyección vertical, según se indica en el gráfico, uniendo los vértices correspondientes.


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POLIEDROS IRREGULARES

Cuboctaedro. Inscripto en un cubo. Uniendo los pun-tos medios de las aristas del cubo.

Secuencia para la de construcción:1. Se ubican los puntos medios de todas las aristas del cubo.2. Se unen trazando rectas a lo largo de cada cara forman-do cuadrados.3. Los triángulos quedan determinados por los cuadrados.

Cuboctaedro. Inscripto en un octaedro. Uniendo los puntos medios de sus aristas.

Secuencia para la de construcción:1. Se ubican los puntos medios de todas las aristas del octaedro.2. Se unen mediante rectas conformando cuadrados opuestos a cada vértice del octaedro.3. Los triangulos quedan determinados por los cuadrados.

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Poliedro de Kelvin (u Octaedro Truncado)Inscripto en un cubo.

Secuencia para la de construcción:1. Dibujar sobre cada cara del cubo cuadrados girados cu-yas diagonales midan 1/4 del lado del cubo.2. Unir los vértices de los cuadrados mediante rectas con-formando así las caras hexagonales del poliedro.

Poliedro de Kelvin (u Octaedro Truncado)Inscripto en un octaedro.

Secuencia para la de construcción:1. Dividir cada arista del octaedro en 1/3.2. Trazar rectas formando cuadrados enfrentados a cada vértice utilizando los 1/3 ya marcados.3. Unir los vértices de los cuadrados entre sí conformando las caras hexagonales del poliedro.


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INTRODUCCIÓN SUPERFICIES

Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por superficies planas o curvas. Cuando las superficies son planas, conocemos estas regiones del espacio como poliedros, cuando son curvas, las denominamos superficies.Más específicamente, definimos como superficie al lugar geométrico de todas las posiciones que ocupan los puntos pertenecientes a una curva generatriz cuando se mueve de acuerdo a una ley establecida, representada por una directriz. La generatriz y la directriz deben ser curvas geométricas, esto significa que todos los puntos que las integran responden a una ley determinada que nos permite definir su ubicación en el espacio. Son ejemplos de curvas geométricas el círculo, la elipse, la parábola, la hipérbola, la catenaria, la sinusoide, las espirales logarítmicas, etc.Según las características de la curva directriz de una superficie, el movimiento que la generatriz realice al recorrerla dará por resultado superficies que serán de traslación o de rotación. Asimismo, en el caso de las superficies de traslación podremos encontrar una o dos directrices.

SUPERFICIE

Lugar geometrico de todas las posiciones que ocupan los puntos pertenecien-tes a una curva generatriz cuando se mueve de acuerdo a una ley establecida representada por la directriz.Se representa proyectando la directriz y un numero suficiente de generatrices en tantos planos de proyeccion como sean necesarios para su comprension.Al constituirse por curvas definidas responde a leyes determinadas que per-miten construirla por algún medio mecánico (pistolete, compás) u obtener puntos de ella (mediante expresiones matemáticas) tan próximos como se quiera para unirlos.Genéricamnete hablando, la curva más simple es la recta. Otras curvas geomé-tricas son, por ejemplo, el círculo, la elipse, la parábola, la hipérbola, la catena-ria, la sinusoide, las espirales logarítmicas, etc.

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SUPERFICIES DE TRASLACIÓN

Generada por el desplazamiento de una generatriz sobre una o dos directrices.


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SUPERFICIES DE ROTACIÓN

Superficie generada por la rotación de una generatriz alrededor de un eje.

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Hiperboloide de una hoja

Secuencia para la de construcción:1. Dibujar una circunferencia en el plano horizontal de proyección. Por ser un hiperboloide recto la circunferencia superior e inferior quedan superpuestas.2. Trasladar mediante líneas de proyección dichas circunfe-rencias a la proyección vertical, que se verán como rectas horizontales.3. Determino en la proyección vertical una recta que una un punto de cada circunferencia con un desplazamiento horizontal, y lo traslado a la proyección horizontal. A partir de estas intersecciones establezco un módulo de despla-zamiento que divide la circunferencia en partes iguales.4. Desplazo la recta a lo largo de la circunferencia en función de la modulación establecida ( que deberá ser suficiente-mente pequeña para poder visualizar la superficie). Esto se realiza tanto en proyección horizontal como en vertical.La recta cumple la función de generatriz.


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Paraboloide Hiperbólico

Secuencia para la de construcción:1. Dibujar en el plano de proyección horizontal la proyec-ción de un rectángulo (ó cuadrado).2. Trasladar con lineas de proyección los vértices de dicho rectángulo a la proyección vertical.La altura de dichos puntos se definirá considerando que dos de las aristas opuestas del rectángulo, consideradas las directrices, tendrán un vértice de altura cero y otro de mayor altura. Esto significa que los vértices opuestos del rectán-gulo, por donde pasan las diagonales tiene la misma altura entre sí. Se genera de esta forma la pendiente de las aristas.3. En la proyección horizontal dividir en segmentos iguales las directrices. Estos segmentos deben ser lo suficiente-mente pequeños como para determinar la superficie. Tras-ladar dicha segmentación a la proyección vertical.4. Elegir una de las aristas libres como generatriz y se dez-plaza en función de la segmentación a lo largo de las direc-trices, tanto en proyección horizontal como en la vertical. Así queda determinada la superficie.

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Conoide OblicuoSecuencia para la de construcción:

1. Se considera generatriz: recta inclinada. Y dos directri-ces: una recta y una curva.2. Se dibuja una circunferencia sobre la proyección hori-zontal. Una de las directrices.3. Se subdivide el diámetro en partes iguales, trasladando esta subdivisión a la circunferencia, dividiéndola asi en segmentos.4. Cada punto así determinado indicará las distintas posi-ciones que adopta la recta generatriz al desplazarse por la curva directriz. Esta recta Generatriz, a su vez, se va apo-yando en la directriz superior, tambien recta, que coincide con el diámetro de la circunferencia. 5. La proyección de las generatrices se obtendrá uniendo los puntos de la circunferencia con los correspondientes a la generatriz recta.La proyección horizontal de las generatrices que pasan por los puntos donde la recta generatriz y la circunferencia se intersectan son puntos.6.Teniendo resuelta la proyección horizontal, se ubican las proyecciones en el plano vertical de los puntos de la cir-cunferencia.7. Se establece una posición para la recta inclinada direc-triz que si el conoide es recto, la proyección vertical de la generatriz se verá horizontalo, mientras que si el conoide es oblicuo la proyección vertical de la generatriz se verá como una recta cuyos puntos tienen todos distinta altura.8. Se realizan las proyecciones en el plano vertical de los puntos en que se dividió la directriz recta y se pueden ob-tener las proyecciones verticales de las generatrices unien-do estos puntos con los de la circunferencia.


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Conoide Recto

Secuencia para la de construcción:

1. Se considera generatriz: recta. Y dos directrices: una recta y una curva.2. Se dibuja una circunferencia sobre la proyección hori-zontal. Una de las directrices.3. Se subdivide el diámetro en partes iguales, trasladando esta subdivisión a la circunferencia, dividiéndola asi en segmentos.4. Cada punto así determinado indicará las distintas posi-ciones que adopta la recta generatriz al desplazarse por la curva directriz. Esta recta Generatriz, a su vez, se va apo-yando en la directriz superior, tambien recta, que coincide con el diámetro de la circunferencia. 5. La proyección de las generatrices se obtendrá uniendo los puntos de la circunferencia con los correspondientes a la generatriz recta.La proyección horizontal de las generatrices que pasan por los puntos donde la recta generatriz y la circunferencia se intersectan son puntos.6.Teniendo resuelta la proyección horizontal, se ubican las proyecciones en el plano vertical de los puntos de la cir-cunferencia.7. Se establece una altura para la recta directriz que si el conoide es recto, la proyección vertical de la generatriz se verá horizontalo, mientras que si el conoide es oblicuo la proyección vertical de la generatriz se verá como una recta cuyos puntos tienen todos distinta altura.8. Se realizan las proyecciones en el plano vertical de los puntos en que se dividió la directriz recta y se pueden ob-tener las proyecciones verticales de las generatrices unien-do estos puntos con los de la circunferencia.

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EL EXTRAÑO CASO DEL DODECAEDROpor José A. Privitera

La “esfera de doce caras”, el “caos”, el “prana”, “éter”, “el cosmos”, así llama-ban los pitagóricos a este poliedro por su extraña relación, imposible de resolver aritméticamente, entre el dodecaedro y su cubo matriz. Lo concebido hasta entonces se derrumbaba bajo el descubrimiento de los números irracionales y su infinita sucesión de decimales. Esta informacion se mantenía en secreto por considerar peligrosa su divulgación incluso entre los hombres de ciencia.

El método de construcción presentado en el apunte tiene una pequeña sal-vedad. Se asume esta diferencia para poder construir con mayor facilidad las axonometrías, en el apunte se plantea que la arista del pentágono regular que compone el poliedro es de 1/2 de la longitud del lado del cuadrado matriz, y que el lado del cubito auxiliar es de 3/16 de este mismo largo. Estas son las propor-ciones que en realidad resultan en numeros irracionales. Si el cubo matriz mide una unidad de lado, la arista del pentágono mide 0,382u (Ap. 0,50u )y el lado del cubo auxiliar mide 0,191u (Ap. 0,1875u) expresado en fracciones es:

Arista del pentágono (Ap.1/2) 1 / 2.61780104712041884816753926701571 Lado del cubito auxiliar (Ap.3/16) 3 / 15.7068062827225130890052356020942

POLIEDROS, SUPERFICIES Y ARQUITECTURApor Silvia Nemaric

Los poliedros regulares y las superficies conforman un grupo específico de formas que pueden desarrollarse geométricamente. Los elementos abstractos que los componen (puntos, rectas y planos) y el tipo de relación que existe entre ellos, son un producto de la invención humana.

En distintos momentos de la historia de la arquitectura, se utilizaron los polie-dros y superficies como motivos de composición al proyectar espacios, asig-nándoseles diversos significados.

Las leyes de generación de estas figuras geométricas permiten ubicar exacta-mente la posición de un elemento determinado. Esto, combinado con el conoci-miento de las características físicas y mecánicas de dicho elemento, hace posible preveer el comportamiento de un material (ahora físico, no abstracto) en un punto

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Perspectiva de dodecaedro por Leonardo da Vinci


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determinado en relación a sus características propias y a las condiciones estruc-turales a las que esté sometido. Esto posibilita verificar a través leyes geométricas y físicas si la forma que estamos proyectando va a sostenerse. En lo constructivo específico, es decir, en el momento de hacer una obra, conocer la generación de estas formas, nos permite llevar a la práctica materialmente lo que se proyectó.

Estos son algunos ejemplos de obras del siglo XX y XXI en los que se utilizaron estas poliedros y superficies geométricas o sectores de ellos.

Remodelación Reichstag. Berlín, AlemaniaNorman Foster

Reciclaje de la cúpula. Superficies de rotación: sector de elipsoide.

Fotos interiores.Superficies de traslación: rampas helicoidales.

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