espacios vectoriales - um...en el plano r2, los ejes x e y son espacios vectoriales por ser rectas....

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Indice Definicion y Ejemplos Parametricas vs. Implıcitas Bases y Coordenadas

Espacios Vectoriales

Leandro Marın

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Octubre 2010

Espacios Vectoriales [email protected]

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Indice

Definicion y Ejemplos

Parametricas vs. Implıcitas

Bases y Coordenadas


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◮ Para definir un espacio vectorial tenemos que empezardeterminando un cuerpo sobre el que este definido al quellamaremos K . Habitualmente K sera el cuerpo R, aunquepuede ser cualquier otro.


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◮ Los elementos del cuerpo se denominan escalares y se suelenrepresentar por letras griegas como α, β, λ, µ, ...


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◮ Los elementos del espacio vectorial se denominan vectores yse representan por letras como u, v ,w , ...


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◮ Los elementos del espacio vectorial se denominan vectores yse representan por letras como u, v ,w , ...

◮ Los vectores se pueden sumar y restar entre si y tambien sepueden multiplicar por escalares cumpliendo las propiedadesalgebraicas hatibuales.


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Sea K un cuerpo. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto novacıo V con dos operaciones + : V × V → V y · : K × V → V

tales que:

0+ ∃0 ∈ V tal que v + 0 = v para todo v ∈ V .

c+ ∀u, v ∈ V , u + v = v + u.

a+ ∀u, v ,w ∈ V , (u + v) + w = u + (v + w).

i+ ∀u ∈ V existe un elmento en V al que llamaremos −u tal queu + (−u) = 0.

1 ∀v ∈ V , 1v = v .

d ∀u, v ∈ V , ∀λ, µ ∈ K , λ(u + v) = λu + λv y(λ+ µ)v = λv + µv .

cmp ∀u ∈ V , ∀λ, µ ∈ K , λ(µv) = (λµ)v .


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Ejemplo 1

Dado un cuerpo K y un numero natural n, el conjunto formado porlas matrices de tamano n × 1 (matrices columna de tamano n) esun espacio vectorial.Este espacio vectorial es el principal ejemplo de espacio vectorial yse denota Kn.


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Ejemplo 2

Dado un cuerpo K y numero naturales n y m, el conjunto formadopor las matrices de tamano n ×m es un espacio vectorial.Veremos mas adelante que en un espacio vectorial lo importanteson las coordenadas de los vectores, en el caso de matrices estas secorresponden con los numeros que los forman. Desde el punto devista de los espacios vectoriales las matrices de tamano n ×m soncomo los vectores de tamano n ×m porque lo que nos importarealmente son los numeros que determinan cada elemento.


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Ejemplo 3

El conjunto de puntos {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} no es un espaco

vectorial.Este conjunto es la circunferencia de radio 1 y no es un espaciovectorial porque no contiene al vector 0 (entre otras muchasrazones).


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Ejemplo 4

El conjunto de puntos {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} no es un espaco

vectorial.Este conjunto es el cırculo de radio 1 y no es un espacio vectorialporque aunque ahora sı contiene al vector 0, sin embargo laoperacion de suma no esta bien definida porque no es interna:Dados dos vectores del cırculo de radio 1, por ejemplo el (1, 0) y el(0, 1), su suma (1, 1) esta fuera del cırculo.


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Ejemplo 5

El intervalo [−1, 1] de la recta real no es un espacio vectorial,porque de nuevo la suma no es interna: El elemento 1 esta, pero sisumamos 1 + 1 = 2 no esta dentro del conjunto.Tampoco cumple que el producto por escalares sea interno, siconsideramos el elemento 1/2 que pertenece al conjunto, si lomultiplicamos por 6 ∈ R, tenemos 6 · (1/2) = 3 6∈ [−1, 1]. Estapropiedad tambien fallaba en casos anteriores.


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Ejemplo 6

El semieje positivo [0,∞) ⊆ R tiene al 0 y la suma es interna, sinembargo no es un espacio vectorial.La razon es porque no tiene los negativos y por tanto dado u en elconjunto, el elemento −u no esta en el conjunto y la existencia deinversos para la suma es obligatoria.En ejemplos anteriores, esta propiedad sı se cumplıa.


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Ejemplo 7

El ejemplo anterior se puede aplicar a cualquier semirrecta:Supongamos que v es un vector distinto de 0 y consideramosS = {λv : λ ≥ 0}. Este conjunto no es un espacio vectorial porqueλv ∈ S pero su negativo, −λv 6∈ V .


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Ejemplo 8

Una recta completa SI es un espacio vectorial:Supongamos que v es un elemento de un espacio vectorial sobre K

y consideremos el conjunto R = {λv : λ ∈ K}, entonces R es unespacio vectorial.


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Ejemplo 9

En el plano R2, los ejes X e Y son espacios vectoriales por ser

rectas.La union de ambos conjuntos sin embargo no es un espaciovectorial:El vector (0, 1) esta en el eje X y el (1, 0) en el eje Y, sin embargosu suma (1, 1) no esta ni en el eje X ni en el eje Y .Este ejemplo prueba que la union de espacios vectoriales no es engeneral un espacio vectorial.


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Ejemplo 10

Si tenemos dos rectas, R = {λu : λ ∈ R} y S = {µv : µ ∈ R}, launion en general no es un espacio vectorial como hemos vistoantes.Si queremos garantizar que sea espacio vectorial tenemos quehacer todas las sumas posibles de elementos de R y elementos deS , es decir

P = {λu + µv : λ, µ ∈ R}

sı es un espacio vectorial.


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Suma de Espacios Vectoriales

Dados dos espacios vectoriales V y W , su union no es un espaciovectorial en general, pero su suma sı lo es.La suma de los espacios vectoriales V y W , que se denota comoV +W , se define como todas el conjunto de todas las posiblessumas de vectores de V con vectores de W .El el caso de las rectas R y S anteriores,R + S = {λu + µv : λ, µ ∈ R}.Podemos sumar cualquier numero de espacios vectoriales, siempreque esten todos dentro de un mismo espacio que los contenga atodos (sean subespacios de un mismo espacio).


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Ejemplo 11

Las rectas en el plano tambien se puden dar de la forma

{(x , y) ∈ R2 : 3x + 10y = 0}

En general, dada cualquier ecuacion lineala1x1 + a2x2 + · · ·+ akxk = 0, los puntos que son solucion de dichaecuacion forman un espacio vectorial contenido en R

k

(subespacio).


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Interseccion de Espacios Vectoriales

Dados dos espacios vectoriales V y W , su interseccin V ∩W es unespacio vectorial.Se puede intersecar cualquier cantidad de subespacios vectoriales ysigue siendo un subespacio vectorial.


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Ejemplo 12

El conjunto de puntos (x , y , z) de R3 tales que

2x + 3y − z = 0

x − y + 2z = 0

es un espacio vectorial.La razon es porque en realidad no es mas que la interseccion de losespacios dados por la primera y por la segunda ecuacion.


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Ejemplo 13

El conjunto de soluciones de cualquier sistema de ecuacioneshomogeneo es un espacio vectorial.Si el sistema no es homogeneo, no puede serlo porque no contieneal vector 0.

DefinitionCuando un espacio vectorial nos lo den a partir de las ecuacionesque tienen que cumplir sus puntos, diremos que nos lo estan dandoen forma implıcita.


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Combinaciones Lineales

DefinitionSean v1, v2, · · · , vk elementos de un espacio vectorial V yλ1, λ2, · · · , λk elementos de K . Llamaremos combinacion lineal delos vectores v1, v2, · · · , vk con coeficientes λ1, λ2, · · · , λk al vector

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk


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Espacios Generados por Vectores

DefinitionAl conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de losvectores v1, v2, · · · , vk con coeficientes cualesquiera lo llamaremosespacio vectorial generado por dichos vectores. Lo representaremospor 〈v1, v2, · · · , vk〉.Cuando un espacio vectorial nos lo den de esta forma, diremos queesta en forma parametrica porque nos dicen que el espaciovectorial considerado es el de los vectores de la formaλ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk donde λ1, λ2, · · · , λk son parametroscualesquiera.


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Parametricas vs. Implıcitas

Hemos visto que un espacio vectorial nos lo pueden dar en formaparametrica y en forma implıcita.Depende del tipo de operaciones que queramos hacer con elsubespacio, a veces es conveniente tenerlo en una forma y a vecesde otra, por lo que tenemos que aprender a pasar de formaimplıcita a parametrica y viceversa.El proceso es muy sencillo y lo veremos con un ejemplo.


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Paso de Implıcitas a Parametricas

Supongamos que tenemos el espacio vectorial en forma impıcita

2x + y − z = 0 x − 2y + z = 0 3x − y = 0

y nos piden que lo pongamos en forma parametrica.En realidad este proceso lo hemos hecho muchas veces, puesto queno es mas que resolver el sistema de ecuaciones.


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Si reducimos la matriz ampliada del sistema

2 1 −1 01 −2 1 03 −1 0 0

(en realidad la ultima columna no la necesitamos si el sistema eshomogeneo porque siempre sera 0). La reducida es:

1 0 −1/5 00 1 −3/5 00 0 0 0


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A partir de la reducida

1 0 −1/5 00 1 −3/5 00 0 0 0

Deducimos que (x , y , z) = (λ/5, 3λ/5, λ) = λ(1/5, 3/5, 1) donde λes un numero real cualquiera. Esta solucion es la formaparametrica del espacio anterior.


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Paso de Parametricas a Implıcitas

Supongamos ahora el proceso inverso. Nos dan unos vectores(1, 1, 2), (2,−1, 5), (1,−2, 3) y nos dicen que calculemos lasecuaciones implıcitas del espacio generado por ellos:Dicho de otra forma, tenemos que calcular todos los valores x , y , ztales que existe valores a, b, c ∈ R con

a + 2b + c = x a − b − 2c = y 2a + 5b + 3c = z

Si tratamos de resolver el sistema considerando x , y , z comoterminos independientes tenemos la matriz

1 2 1 x

1 −1 −2 y

2 5 3 z


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Si triangularizamos la matriz obtenemos

1 2 1 x

0 −3 −3 y − x

0 0 0 −3z − y + 7x

Para que el sistema sea compatible y por lo tanto tenga solucion,la relacion que se tiene que cumplir entre x , y y z es precisamente

−3z − y + 7x = 0

que es la ecuacion implıcita del espacio considerado.


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◮ Al hacer las reducciones de las matrices correspondientes nospodemos encontrar en mutitud de casos diferentes, que iremosviendo en practicas.


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◮ El numero de vectores que generan un espacio o lasecuaciones que lo definen de forma implıcita dependen delejemplo concreto. En estos casos ha sido uno en cada una delas soluciones, pero podrıan ser varios.


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◮ El numero de vectores que generan un espacio o lasecuaciones que lo definen de forma implıcita dependen delejemplo concreto. En estos casos ha sido uno en cada una delas soluciones, pero podrıan ser varios.

◮ La representacion en forma parametrica o implıcita no esunica, por lo tanto la solucion de un problema de cambio deuna representacion a otro tampoco lo es.


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Recordemos lo que era una combinacion lineal:

DefinitionSean v1, v2, · · · , vk elementos de un espacio vectorial V yλ1, λ2, · · · , λk elementos de K . Llamaremos combinacion lineal delos vectores v1, v2, · · · , vk con coeficientes λ1, λ2, · · · , λk al vector

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk

Tambien vimos que el espacio generado por todas lascombinaciones lineales de los vectores v1, · · · , vk era un espaciovectorial que llamabamos espacio generado por esos vectores y lodenotabamos 〈v1, · · · , vk〉.


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Conjuntos Generadores

DefinitionUn conjunto de vectores v1, v2, · · · , vk ∈ V diremos que es unconjunto generador de V si el subespacio generado por ellos estodo el espacio , es decir

〈v1, v2, · · · , vk〉 = V .


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◮ El que un conjunto sea generador, depende del espacio en elque lo consideremos.


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◮ Los vectores v1, v2, · · · , vk ∈ V son siempre un conjuntogenerador de 〈v1, v2, · · · , vk〉, pero no son generadores de V sino se cumple la igualdad 〈v1, v2, · · · , vk〉 = V .


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◮ Los vectores v1, v2, · · · , vk ∈ V son siempre un conjuntogenerador de 〈v1, v2, · · · , vk〉, pero no son generadores de V sino se cumple la igualdad 〈v1, v2, · · · , vk〉 = V .

◮ Si un conjunto es generador y lo ampliamos con cualquier otrovector, el nuevo conjunto sigue siendo generador.


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Vectores Linealmente Independientes

El vector 0 siempre se puede poner como combinacion lineal deuna familia de vectores, no hay mas que poner todos loscoeficientes a 0 y el resultado es 0.Si esa es la unica forma de ponerlo, diremos que los vectores sonlinealmente independientes.

DefinitionSean v1, v2, · · · , vk vectores de un espacio vectorial V sobre K .Diremos que estos vectores son linealmente independientes si launica combinacion lineal de estos vectores que cumple:

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

es la que cumple λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.


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◮ La condicion de independencia lineal no depende del espacioen el que se consideren los vectores, si unos vectorespertenecen a dos subespacios diferentes y son linealmenteindependientes considerados en el primero, tambien lo son enel segundo y viceversa.


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◮ La condicion de independencia lineal no depende del espacioen el que se consideren los vectores, si unos vectorespertenecen a dos subespacios diferentes y son linealmenteindependientes considerados en el primero, tambien lo son enel segundo y viceversa.

◮ Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmenteindependiente es linealmente indendiente.


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Bases

DefinitionUn conjunto de vectores de V diremos que es una base de V si eslinealmente independiente y generador de V .

DefinitionDada una base B = {v1, v2, · · · , vk} de V y un vector v ∈ V ,llamaremos coordenadas de v en la base B a los valoresλ1, λ2, · · · , λk ∈ K tales que v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk .Estos valores existen por ser un conjunto generador y son unicospor la independencia lineal.


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◮ Todos los espacios vectoriales tienen bases, en algunos casospueden ser infinitas, pero nosotros trataremos solo casos enlos cuales las bases son finitas.


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◮ Un espacio vectorial puede tener muchas bases diferentes,pero todas ellas tienen el mismo numero de elementos.


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◮ Dicho numero se llama la dimension del espacio.


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◮ Dicho numero se llama la dimension del espacio.

◮ Utilizando coordenadas, un espacio vectorial de dimension n

se puede estudiar como si fuera exactamente Kn puesto que labase nos permite traducir todos los resultados.


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