UNIVERSIDAD AUTONOMA AGRARIA ANTONIO NARRODIVISION DE INGENIERIADEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y CLCULOESPACIO MUESTRAL Ing Alberto Rdz Hdz En estadstica interesa bsicamente la presentacin e interpretacin de resultados aleatorios (al azar), que ocurren en un estudio planeado o un una investigacin cientfica. Frecuentemente se manejan ya sea datos experimentales, que representan conteos o mediciones, o tal vez datos categricos (N, D, etc.) que pueden clasificarse de acuerdo con algn criterio.Cualquier registro de informacin, sea ste numrico o categrico, se denominara observacin. En estadstica se utiliza la palabra experimento para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda al aire, en este caso existen slo dos resultados posibles: cara o cruz.Definicin. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadstico se le llama espacio muestral (universo) y se denota por el smbolo (S).A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente un punto muestral. Si el espacio muestral tiene un nmero finito de elementos, es posible enlistar a todos los miembros separados por una coma y encerrados entre llaves, es decir,

Problemas:1. Cul es el espacio muestral de posibles resultados cuando se lanza una moneda al aire?2. Considere el experimento de lanzar un dado.a) Si estamos interesados en el nmero que tiene en la cara superior, cul es el espacio muestral?b) Si estamos interesados nicamente en si el nmero es par o impar, cul es el espacio muestral?

En algunos experimentos ser de utilidad anotar sistemticamente los elementos del espacio muestral por medio de un diagrama de rbol.Problemas:3. Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire una vez, y si en este primer lanzamiento se presenta una cara, ha de lanzarse por segunda ocasin. Si en el primer lanzamiento se presenta una cruz, entonces, se lanza un dado una vez. Cul es el espacio muestral?4. Supngase que se seleccionan en forma aleatoria tres artculos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se les clasifica como defectuoso (D), o no defectuoso (N). Determine el espacio muestral.5. Los artculos provenientes de una lnea de produccin se clasifican defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artculos y se anota su condicin. Este proceso se contina hasta que se produzcan dos artculos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artculos, cualesquiera que ocurran primero. Describir un espacio muestral para este experimento.6. Una caja contiene tres tarjetas de colores, una roja, una blanca y una azul. Se seleccionan dos tarjetas con reemplazo, es decir, se selecciona una tarjeta, se observa el color y se regresa a la caja. Cul es su espacio muestral?7. Considere ahora el ejemplo anterior pero con la extraccin de dos cartas sin reemplazo; esto significa que una tarjeta no podr ser elegida dos veces. Cul es su espacio muestral?Un enunciado o regla describe mejor los espacios mustrales con un nmero grande o infinito de puntos mustrales. Problema:8. Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de ciudades en el mundo con una poblacin mayor a 1 milln de habitantes, cul es el espacio muestral?

CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES.En muchos casos, ser posible resolver un problema de probabilidad contando el nmero de puntos que se encuentran en el espacio muestral, sin listar en realidad cada elemento. El principio fundamental del conteo, al que con frecuencia se denomina regla de la multiplicacin, que se plantea de la siguiente manera:Teorema: Si una operacin puede ejecutarse en n1 maneras y si para cada una de stas se puede efectuar una segunda operacin en n2 maneras, entonces las dos operaciones pueden llevarse a cabo juntas en n1n2 maneras.Problemas:9. Cuantos puntos mustrales hay en el espacio muestral cuando se lanza una vez un par de dados?10. Un constructor de una nueva subdivisin ofrece a los posibles compradores de casa varios estilos exteriores en tudor, rstico, colonial y tradicional, y planes de una sola planta, de dos pisos y a desnivel. De cuntas maneras diferentes puede un comprador adquirir una de estas casas?

Teorema (Regla generalizada de la multiplicacin): Si es posible efectuar una operacin en n1 maneras y si para cada una de stas es posible efectuar una segunda operacin en n2 maneras, y para cada una de las dos primeras se puede efectuar una tercera operacin en n3 formas, y as sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones pueden llevarse a cabo en n1n2...nk maneras.Problemas:11. Cuntos mens consistentes en una sopa, un emparedado, postre y una bebida es posible formar si se puede elegir de entre 4 sopas, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?12. Supngase que un cliente desea instalar un telfono y que puede elegir entre 10 colores, los cuales se supone que estn disponibles en cualquiera de 3 longitudes opcionales de cable con 2 tipos de marcador, llamados rotativos y de teclas. De cuntas formas diferentes un cliente puede solicitar uno de estos telfonos?PERMUTACIONES.Con frecuencia interesa un espacio muestral que contiene como elementos todos los posibles rdenes o arreglos de un grupo de objetos.Definicin. Una permutacin es un arreglo de todos, o parte de, un conjunto de objetos.Problema:13. Si tenemos las letras a, b, y c, las cuales deben acomodarse en fila. De cuntas formas pueden acomodarse?

Teorema. El nmero de permutaciones de n distintos objetos es n! (n factorial).Donde:

Por ejemplo el factorial de 6 es:

El factorial de cero es uno, esto es, 0! = 1.Problema:14. Considere las letras a, b, c, d. las cuales deben acomodarse en fila. De cuntas formas pueden acomodarse?

Teorema. El nmero de permutaciones de n objetos distintos, tomado r a la vez es:

Problemas:15. El nmero de permutaciones de las letras a, b, c, tomando dos en dos, cul es?16. Sean las letras a, b, c, d, cul es el nmero de permutaciones?17. Se sacan dos boletos de lotera, de un conjunto de 20 posibles, para otorgar el primero y segundo lugar (premio). De cuntas formas puede lograrse lo anterior?18. De cuantas formas puede una sucursal local de la sociedad de Qumica Americana programar a tres conferencistas en 3 diferentes congresos, si los primeros estn disponibles en cualquiera de 5 fechas posibles?19. De cuantas maneras pueden ser colocadas en una fila 5 bolas de diferentes colores?

Teorema. El nmero de permutaciones diferentes de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, ..., nk son de un k-simo tipo, es:

Problemas:20. En cuntas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en una cadena de luces navideas con 9 entradas?21. En cuntas formas diferentes pueden siete cientficos acomodarse en una habitacin triple y dos habitaciones dobles en un hotel?22. Cul es el nmero de permutaciones de letras en la palabra ESTADISTICA?

Teorema. El nmero de permutaciones de n objetos distintos agregados en crculo es:

Problema:23. Si hay 4 personas jugando en una mesa circular, el nmero de permutaciones es:(n - 1)! = (4 - 1)! = 3! = 6.

se fija uno, y los dems se mueven,COMBINACION.Teorema. El nmero de combinaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez es:

Problemas:24. Si se tienen 4 letras: a, b, c, d, y se desea tomar 2 a la vez, cul es el nmero de combinaciones?25. Cuntos comits de 3 miembros se pueden elegir con 8 personas?26. Un grupo de 8 personas consta de 5 hombres y 3 mujeres. Cuntos comits de 3 personas que consten de 2 hombres exactamente se pueden formar?27. De un total de 5 matemticos, y 7 fsicos se forma un comit de 2 matemticos y 3 fsicos. De cuntas formas puede formarse si, puede pertenecer a l cualquier matemtico y fsico?28. Encuentre el nmero de comits que pueden formarse con 4 qumicos y 3 fsicos y que comprenden 2 qumicos y 1 fsico.

PROBLEMAS GENERALES.29. De cuntas formas distintas se puede responder a una prueba de falso-verdadero que consta de nueve preguntas?30. Si una prueba de opcin mltiple consiste en cinco preguntas cada una con cuatro respuestas posibles de las que solo una es correcta. (a) De cuntas formas diferentes puede elegir un estudiante una respuesta a cada pregunta y tener mal todas las respuestas?(b) De cuntas maneras puede escoger un estudiante una respuesta a cada pregunta y tener correctas todas las respuestas?31. Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuantas formas distintas es posible ordenarlas sia) los libros de cada asignatura deben estar juntos?b) solamente los libros de matemticas deben estar juntos?32. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre si, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?33. Hallar el nmero de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una fila si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de la otra.34. a) Hallar el nmero de permutaciones que se pueden formar con la palabra CAMARA.b) Cuntas de ellas principian y terminan con A?c) Cuntas empiezan con A y terminan con M?35. De cuantas maneras pueden ser colocadas en una fila 5 bolas de diferentes colores?36. De cuantas formas pueden 10 personas estar sentadas en un banco, con capacidad para 4 personas?37. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. De cuantas formas pueden sentarse?38. Cuantos nmeros de cuatro cifras pueden formarse con los 10 dgitos, del 0 al 9, si (a) los nmeros pueden repetirse, (b) si los nmeros no pueden repetirse, (c) si el nmero ha de ser cero y los nmeros no pueden repetirse?39. (a) Cuntas permutaciones distintas se pueden hacer con las letra de la palabra columnas?(b) Cuntas de estas permutaciones comienzan con la letra m?40. Un testigo de un accidente de trnsito en el que huye el culpable dice a la polica que el nmero de placas contena las letras RLH seguidas de tres dgitos, cuyo primer nmero de un 5. Si el testigo no puede recordar los ltimos dos dgitos, pero tiene la certeza de que los tres eran diferentes, encuentre el nmero mximo de placas de automvil que la polica atiene que verificar.41. a) De cuntas maneras se pueden formar seis personas para abordar un autobs?42. Un contratista desea construir nueve casas, cada una con diferente diseo. De cuntas formas puede colocar estas casas en una calle si hay seis lotes en un lado de la calle y tres en el lado opuesto?43. De cuntas maneras se pueden ordenarse 7 libros en un estante si:a) es posible cualquier ordenacin?b) 3 libros determinados deben estar juntos?c) 2 libros determinados deben ocupar los extremos?44. Supngase que van a enviarse cinco jueces federales a cierto Estado. El jefe del senado estatal enva al presidente una lista que contiene los nombres de diez hombres y cuatro mujeres. Si el presidente decide que de los cinco jueces tres deben ser hombres y dos mujeres, de cuntas maneras puede lograrse lo anterior, empleando a los candidatos de la lista? 45. En cuntas formas pueden dividirse un conjunto de cuatro objetos en tres subconjuntos que contengan, respectivamente, 2, 1 y 1 de los objetos?46. En cuntas formas pueden ordenarse dos robles, tres pinos y dos acres en una lnea si no se hacen distincin entre rboles de la misma clase?Ing Alberto Rdz Hdz UAAAN