SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PUNTO

PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS

ECUACIONES DE UNA RECTA

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

ECUACIONES DE UN PLANO

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO

Esp

acio

Afí

n

FIN

u1

u2

u3

o

A

X

COORDENADAS DEL SIMÉTRICODE A RESPECTO A X ¿A’?

OA’=OA+AA’

OA’=OA+2AX

A’

OA’=OA+2(OX-OA)

OA’=2OX-OA

MENÚ

u1

u2

u3

o

P

M

COORDENADAS DEL PTO MEDIODE DOS PUNTOS P,Q ¿M?

OM=OP+PM

OM=OP+1/2PQ

Q

OM=OP+1/2(OQ-OP)

OM=1/2(OQ+OP)

MENÚ

u1

u2

u3

o

A

v

X

¿OX?

OX=OA+AXOX=OA+t v

ECUACIONES DE UNA RECTA

OX=OA+tv : Ecuac.Vectorial (x1, x2, x3)= (a1, a2, a3)+t (v1, v2, v3)

x1= a1+t v1

x2= a2+t v2

x3= a3+t v3

:Ecuac. Paramétricast= x1 - a1

v1

t= x2 – a2

v2

t= x3 – a3

v3 x1 - a1 = x2 – a2 = x3 – a3

V1 v2 v3

:Ecuac. Continua

Ax+By+Cz-D=0A’x+B’y+C’z+D=0

ECUACIONES DE UNA RECTA

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.- Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados

2.- Condiciones de incidencia punto recta

3.- Condiciones para que tres puntos estén alineados

MENÚ

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

SE CRUZAN SON PARALELAS

SE CORTAN COINCIDENTES

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

x1= a1+t v1

x2= a2+t v2

x3= a3+t v3

rx1= a’1+s v’1

x2= a’2+s v’2

x3= a’3+s v’3

r’

a1+t v1 = a’1+s v’1

a2+t v2 = a’2+s v’2

a3+t v3= a’3+s v’3

t v1 -s v’1 = a’1-a1

t v2 -s v’2 = a’2-a2

t v3 -s v’3 = a’3-a3

v1 v’1

v2 v’2

v3 v’3

M=

Rango M=

2Rango M’=

3 Se cruzan

2 Se cortan

1 Rango M’=2

1

Paralelas

CoincidentesMENÚ

u1

u2

u3

o

A

X

ECUACIONES DE UN PLANO OX=OA+AX

AX=t u+ s v

OX=OA+ t u+ svv

u

OX=OA+tu+sv: Ecuac.Vectorial

(x1, x2, x3)= (a1, a2, a3)+t (u1, u2, u3)+ s (v1, v2, v3)

x1= a1+t u1 +s v1

x2= a2+t u2 +s v2

x3= a3+t u3 +s v3

:Ecuac. Paramétricasx1 - a1 u1 v1

x2 – a2 u2 v2

x3 – a3 u3 v3

Ax+By+Cz+D=0

=0

:Ecuac. General

u1

u2

u3

o

A

X

ECUACIÓN NORMAL DE UN PLANO n AX= 0

n (OX-OA)=0n

Si sup. Una base ortonormal:

n1(x-a1)+ n2(y-a2)+ n3(z-a3)=0 n1x+ n2y+ n3z+(-n1a1-n2a2 -n3a3)=0

Ax+By+Cz+D=0

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.- Determinar las ecuaciones del plano determinado por tres puntos no alineados

2.- Condiciones de incidencia punto plano

3.- Condiciones para que cuatro puntos sean coplanarios

u1

u2

u3

o

A

X

ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PTOS OX=OA+AX

AX=t AB+ s AC

OX=OA+ t AB+ sAC

B

C

MENÚ

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

α: Ax+By+Cz+D=0

β: A’x+B’y+C’z+D’=0

M=A B C

A’ B’ C’M’=

Rango M=

2Rango M’= 2 Se cortan

1 Rango M’=2

1

Paralelos

Coincidentes

A B C D

A’ B’ C’ D’

MENÚ

POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO

x= a1+t v1

y= a2+t v2

z= a3+t v3

r Ax+By+Cz+D= 0 n=(A,B,C)

Π

Distinto de 0 Se cortan

0Paralelas

Contenidav.n=

A

A pertenece a Π

A no pertenece a Π

A

MENÚ

.n

v

v

v

α: Ax+By+Cz+D=0

β: A’x+B’y+C’z+D’=0

M= M’=

A B C

A’ B’ C’

A’’ B’’ C’’

A B C D

A’ B’ C’ D’

A’’ B’’ C’’ D’’

γ: A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Rango M=

3

2

IRango M’=3

Rango M’=3

Rango M’=2

Rango M’=2

Rango M’=1

Rango M=3 Se cortan en un pto

Rango M=2 Rango M’=

El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto

M= M’=

A B C

A’ B’ C’

A’’ B’’ C’’

A B C D

A’ B’ C’ D’

A’’ B’’ C’’ D’’

3 2

El sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad

Rango M=2 Rango M’=

El sistema no tiene solución, luego los tresplanos no se cortan en un mismo punto

Dos planos paralelos y uno secante

Secantes dos a dos

3

Rango M=2 Rango M’=

M= M’=

A B C

A’ B’ C’

A’’ B’’ C’’

A B C D

A’ B’ C’ D’

A’’ B’’ C’’ D’’

2El sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad

Rango M=1 Rango M’=

El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto

M= M’=

A B C

A’ B’ C’

A’’ B’’ C’’

A B C D

A’ B’ C’ D’

A’’ B’’ C’’ D’’

2 1

El sistema es compatible indeterminado con 2 grado de libertad

Rango M=1 Rango M’=

El sistema no tiene solución, luego los tresplanos no se cortan en un mismo punto

Tres planos paralelos

Dos planos paralelos y un coincidente

2

Rango M=1 Rango M’=

El sistema tiene solución, con dos grados de libertad

Tres planos coincidentes

1

HAZ DE PLANOS POR UNA RECTA

r=

Ax+By+Cz+D=0A’x+B’y+C’z+D’=0

Ax+By+Cz+D=0A’x+B’y+C’z+D=0

A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0

El sistema tiene solución con un grado

de libertad.

A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0Es combinación lineal

de las otras dos

A’’x+B’’y+C’’z+D’’=λ(Ax+By+Cz+D)+ µ(A’x+B’y+C’z+D’)=0 MENÚ