Norbaiti egindako begirune edo menpekotasunezko adierazpen edo keinua (ahozpetuz, belaunikatuz, makurtuz, etab.)

1. Buruketa

AGURRAKBilera batean zeuden lagun guztiek bostekoa eman zioten elkarri. Haietariko bat konturatu zen guztira 300 esku-emate izan zirela.a) Zenbat lagun zeuden bileran?b) Eta, 990 esku-emate izan baziren?c) Bileran 162 pertsona baleude, zenbat esku-emate izango lirateke?

Lehen metodoa

Esku-emateak izateko gutxienez bi pertsona izan behar dira.

Ikertuko dut zer gertatzen den 2, 3, 4, 5… pertsona daudenean.

Aurreko emaitzekin taula bat osatuko dut

Taulako emaitzak ikertuz, segida bat sortzen dela konturatzen naiz. Segida horren gaien arteko lehen eta bigarren diferentziak kalkulatuko ditut:

Lehen diferentzien segidan beti unitate bat gehituz lortzen da segidako hurrengo gaia. Bigarren diferentzietan segida konstantea agertzen zaizu. Hau dela eta, emandako segidarentzat erregela orokor bat bilatzen saiatuko naiz.

n-garren gaia, n batugai dituen progresio aritmetikoaren batura da.

1.

Lehen diferentziekin osatutako segida era honetakoa da:

0, 1, 2, 3, 6, 10, …, n Bere gaiak honela sortzen dira

n = esku-emateak = 2,3,4,5,6,7… izanik

2.

Segidako elementuak 0, 1, 2, 3, 6, 10, …, n dira.Jakina da bigarren diferentziak berdinak direnean, n. gaia 2. mailako polinomio bat izango dela. Hau da, forma duen polinomia da. Gainera (1,0), (2,1), (3,3), (4,6), (5,10)…

puntuak polinomio horretakoak dira, beraz,

Sistemaren soluzioak bilatuz,

CnBnAf(n) 2

3C3B9A3f(3)f(n)(3,3)

1C2B4A1f(2)f(n)(2,1)

0CBA0f(1)f(n)(1,0)

3.

Segidako elementuak 0, 1, 2, 3, 6, 10, …, n dira.Ikus dezagun segidako elementuekin zer gertatzen den.

Indukzio-metodoa erabiliz, n pertsonarentzat (n-1)+(n-2)+…+4+3+2+1 esku-emate izan dira. Esku-emate hauen guztien batura kalkulatzeko progresio aritmetikoen elementuen baturak emango digu, ondokoa lortuz ((n-1) batugai daude):

4.

Segidako elementuak 0, 1, 2, 3, 6, 10, …, n dira.Ikus dezagun segidako elementuak beste era batera ipiniz zera lortzen dela:

Bigarren metodoaSinplifikatze estrategia erabiliz, jo dezagun bileran lau pertsona daudela. Haien arteko esku-emateak diagrama batean adieraztean hauxe lortzen da:

Aurreko taula ikertuz honetaz ohartzen naiz:

Diagonal nagusian ez dagoela esku-ematerik. Eta, diagonal nagusiaren goitik eta behetik dauden esku-emateak berdinak direla. Beraz, lau pertsonarentzat ematen den esku-emate kopurua ondokoa da:

62

442

Berdina eginez bileran 5, 6, 7… pertsona daudenean, ondorio bera lortuko genuke.

2

nna

2

n

n pertsona kopurua

esku-emate kopuruana

102

552 15

2

662

21

2

772

Beraz, n pertsonarentzat esku-emate kopurua ondokoa da:

Buruketaren Soluzioa

a) 300 esku-emate izan badira

n=25 pertsona zegoen bileran, edo n= -24 pertsona (erantzun hau ez da posible)

b) 990 esku-emate izan badira

n=45 pertsona zegoen bileran, edo n= -44 pertsona (erantzun hau ez da posible)

c) Eta, bilerara 162 pertsona joan badira?

041.132

1621622

13.041 esku-emate egon dira.

Ez da zoriontsua nahi duena egiten duena baizik eta gustuko duena egiten duena.