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ESFUERZO GEOSTÁTICO Y ESFUERZO EFECTIVO
Las fuerzas que actúan sobre los puntos de contacto entre partículas dan origen alesfuerzo efectivo. La presión del agua en los intersticios de las partículas genera la presiónneutra o poros.
A
z
A
sat
w'
(a) (b) Figura 1. Esfuerzos geostáticos debidos al peso propio.
El esfuerzo geostático () Figura 1.a es el producto del peso específico del suelo (γ) yla profundidad (z) considerando el punto A, determinada con la expresión: z
El esfuerzo efectivo (σ’) de un suelo saturado es la diferencia del esfuerzo del suelo
satur ado (σsat) y la presión neutra (u), determinada con la expresión, Figura 1.b: z u w sat '
ESFUERZOS DEBIDOS A CARGAS EXTERNAS
La distribución de esfuerzos en una masa de suelo debido a las cargas externas de lasdiferentes obras de ingeniería depende de la intensidad de la carga aplicada, de la
homogeneidad y de las propiedades esfuerzo-deformación de la masa de suelo.
El suelo es un material heterogéneo que no responde a una ley de variación lineal. Así,el análisis del comportamiento del suelo es totalmente complejo. Pero, aceptando que en elrango de las pequeñas deformaciones, el análisis del comportamiento de la masa de suelo seencuentra en un estado de equilibrio elástico y las distribuciones de esfuerzos y lasdeformaciones se determinan bajo la hipótesis de que el suelo se comporta como un materialhomogéneo, isotrópico, y linealmente elástico. Las propiedades se definen con el módulo deelasticidad (E) y el coeficiente de Poisson (ν). Boussinesq (1885) desarrollo expresiones
matemáticas para calcular el incremento de esfuerzo en una masa semi-infinita de suelodebido a la aplicación de una carga puntual en la superficie. Las expresiones de Boussinesqfueron integradas para obtener soluciones para áreas cargadas y se han considerado estratos desuelo de espesor finito, sistemas de varios estratos y aplicaciones de cargas por debajo de lasuperficie de la masa de suelo. Las cargas transferidas se distribuyen en la masa de suelo
produciendo las isobaras o bulbo de presiones que indican las regiones con igual esfuerzo. LaFigura 3 muestra el bulbo de presiones para una carga puntual. Harr (1966), Paulos y Davis(1974) entre otros presentan diversas soluciones de cargas aplicadas sobre suelosconsiderados medios elásticos. A título de ejemplo se presentan las cargas más comúnmenteaplicadas en la práctica.
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(a)
P
bulbo de esfuerzos
Figura 1. Bulbo de esfuerzos (isóbaras).
1. Carga Puntual.
Las expresiones que sirven para el determinar la distribución de los esfuerzos en elinterior del suelo (Figura 2.a) son:
25223
z
zr
z
2π
3QΔσ
22222522
3
r
zr zzr
2 ν1
zr
z3r
2π
3QΔσ
22222322 zr zzr
1
zr
z21
2π
QΔσ
25222
rz
zr
zr
2π
3QΔ
z, es la profundidad desde la superficie del suelo hasta el punto N,r, distancia radial desde N hasta la línea de acción de Q,
ν, coeficiente de Poisson.
Figura 2. Distribución de cargas: (a) puntual y (b) linealmente distribuida.
Q
z
r N(a)
zr
(b)
Q/ml
z
N
z
x
x
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2. Carga lineal distribuidaLas fórmulas para la determinación de los incrementos de los esfuerzos (Figura 2.b)
son:
2223
zzx
z
π
2Q
Δσ
2222
x
zx
zx
π
2QΔσ
2222
xz
zx
zx
π
2QΔ
3. Carga uniformemente distribuida en franja infinitaLos incrementos de esfuerzos en el punto N (Figura 3.a) se obtienen con las
expresiones siguientes:
2βαcossenααπ
qΔσz
2βαcossenααπ
qΔσx
2βαsensenαπ
qΔ xz
Figura 3. Carga uniformemente distribuida (a) y triangular (b).
4. Carga triangular distribuida en franja infinitaLos incrementos de esfuerzos en el punto N (Figura 3.b) se obtienen con las
expresiones siguientes:
2sen2
1-
B
x
π
qΔσz
2sen
2
1ln
B
z-
B
x
π
qΔσ
2
2
2
1x
R
R
(a)
z
N
zx
B
q
(b)
z
N
zx
B
q
R 1R 2
x
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αB
2z-2βcos1
2π
qΔτxz
5. Carga uniforme distribuida en un área rectangular
La solución se expresa de la forma:k qΔσv
k, es el factor de influencia de esfuerzo que depende de las longitudes a y b y, de la profundidad z (Figura 4.a) del punto A. Los valores de k son determinados en función de los parámetros m y n; para un cuarto de zapata m = a/b y n = z/b (Figura 4.b) y el incremento delesfuerzo a una profundidad z viene expresado:
222
1
222
22
22z
n1nm
msen
nmn1
2nm1
nm1
nm
2π
qΔσ
222
1
222
22
22 n1nm
msen
nmn1
2nm1
nm1
nm
2π
1k
(a)
a a
b
b
q
y
x
z A
z
a
b
z
(b) Figura 4. Carga uniforme sobre una zapata rectangular.
Otra formulación (Figura 5, Das, 2001) para el cálculo del incremento de carga a una profundidad z:
(a)
B B
L
L
q
y
x
z A
v
B
L
z
(b)
Figura 5. Carga uniforme sobre una zapata rectangular (Das, 2001).
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2222
22
1
22
22
2222
22
1
12tan
1
2
1
12
4
1
n m n m
n m mn
n m
n m
n m n m
n m mn k
Para valores pequeños de m y n, el argumento de tan-1 es negativo luego k se expresa:
2222
22
1
22
22
2222
22
1
12tan
1
2
1
12
4
1
n m n m
n m mn
n m
n m
n m n m
n m mn k
z
Ln y
z
B m
6. Carga uniformemente distribuida sobre un área circular
La solución se presenta para el eje vertical del área cargada (Figura 8):
z
N
R
q
R
r
z
Figura 8. Carga uniformemente distribuida sobre un área circular
23
21
11
z Rq
z Δσ
2322
3
2122
1221
2 z R
z
z R
z q r
7. Carga vertical triangular simétrica
Gray, 1936
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z
Nx
B
2
q
R 1R 2
x
1
v
z
x
B
R 0
2121zB
x
π
qΔσ
2
0
212121x ln
B
z2
B
x
π
qΔσ
R
R R
21xzπB
qzΔτ
8. Carga vertical triangular axisimétrica
Gray, 1936
z
Nx
A
q
R 1 R 2
x
v
z
x
B
R 0
B
x-BA
A
x
π
qΔσz
2
1
0
1x ln
B2zln
A2z
Bx-BA-
Ax
πqΔσ
R R
R R
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B
-Aπ
qzΔτxz
9. Carga vertical en terraplén
Gray, 1936
z
Nx
A
q
R 1 R 2
x
v
z
x
B
R 0
B x R z 22
zB
xπqΔσ
0
1
2
2
x ln2
R
z
π
qΔσ
R
R
A
z B x
A
x
2
2
2
xz -Aπ
qΔτ
R
z z