ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UNA PLACA CUADRADA SIMPLEMENTE APOYADA EN SU

CONTORNO

Material preparado por: Diego R. Hunicken y Carlos A. Prato

Mayo 2012

En este práctico se analiza una placa cuadrada simplemente apoyada en todo su contorno

sometida a una carga uniforme normal a su plano medio. El objetivo es ilustrar la distribución

de momentos flectores M11 y M22, momentos torsores M12 y M21 , esfuerzo de corte

transversal N13 y N23, y las reacciones a los largo de su perímetro.

La solución del problema se encara en primer lugar a través de la solución de la ecuación

diferencial de la placa mediante series de Fourier, cuyos principales resultados están

sintetizados en las tablas dadas en Timoshenko y Woinowsky-Krieger, McGraw-Hill Editores

1959. El desarrollo teórico del procedimiento puede ser consultado en ese texto, o en las notas

de clase disponibles en la página web de la cátedra. Los resultados constituyen la solución

exacta de la ecuación diferencial de cuarto orden de la placa plana isótropa y elástica.

Por otro lado, se encaran dos formas aproximadas alternativas de solución. Una es la técnica

de elementos finitos con el programa SAP 2000 utilizando un modelo de elementos finitos.

Para ello se propuso una malla de 6 x 6 elementos rectangulares para cubrir el dominio de la

placa. La otra propuesta, que responde a una forma aproximada de tratar el problema consiste

en un modelo numérico basado en reemplazar la placa por medio de un modelo de barras

prismáticas (elementos de viga) que conforman un emparrillado plano. La discretización de

ambos modelos utiliza elementos de las mismas dimensiones.

La idea es ilustrar las principales características del comportamiento de la placa bajo la carga

uniforme en toda su superficie, desde los desplazamientos transversales, los momentos

flectores y torsor, los esfuerzos de corte transversal N13 y N23, y las reacciones en los puntos de

apoyo.

Geometría de la placa y del modelo numérico

Figura 1: Esquema de la placa

Las dimensiones y datos del problema son:

• Longitud de los lados de la placa: 4 m

• Espesor: 0.15 m

• Módulo elástico: 300000 kg/cm2

• Módulo de Poisson: ν = 0.2

• Carga distribuida: q = 500 kg/m2

Condiciones de borde: los nudos del perímetro de la placa tienen restingido el

desplazamiento según el eje x3, y la rotación alrededor de un eje perpendicular al borde. En las

esquinas no hay desplazamientos ni giros.

Solución con elementos finitos (Programa SAP 2000)

La Figura 2 ilustra la ley de variación del desplazamiento transversal u3 de la placa, que

presenta un máximo al centro.

Figura 2: Desplazamiento normal de la placa al centro: u3max = 0.59 mm para ν = 0.2, y u3max =

0.61 mm para ν = 0

La Figura 3 ilustra las curvas de nivel de la variable M11 que resultan del análisis con elementos

finitos. Un primer comentario es que la forma de las curvas de nivel de M11 presenta ciertos

vértices en los distintos contornos que reflejan la naturaleza aproximada de la solución. Esos

contornos deberían ser curvas suaves que delimitan los sectores de la placa que tienen

distintos valores de la variable. De todos modos, el valor de M11 al centro, M11 max = 0.36 t.m/m

puede considerarse como una aceptable estimación de su valor exacto, tal como surge de la

comparación con la solución exacta que se presenta más adelante

.

Resultados similares se presentan en la Figura 4 para M22 , los que dada la doble simetría de la

configuración de la placa respecto a los dos ejes ortogonales que pasan por su centro son

similares pero rotados 90º en planta.

En las Figuras 3 y 4 se puede apreciar que el momento flector máximo se produce al centro de

la placa, y que disminuye hacia los bordes. La distribución de ambos momentos flectores

presentan simetría respecto a los dos ejes paralelos a los bordes que pasan por el centro.

Como se ilustra en la Figura 5, el momento torsor M12 presenta una distribución de tipo

antisimétrica respecto a esos ejes cartesianos paralelos a los bordes de la placa, y como era de

esperar tiene valor nulo en el punto central, y a todo lo largo de los dos ejes de simetría. El

momento torsor resulta máximo en las esquinas.

En la Figura 6 se ilustra la variación del esfuerzo de corte N13 en toda la placa. Se puede

apreciar que esta variable presenta resultados simétricos con respecto a ambos ejes de

simetría, y que el valor máximo se encuentra al centro de los bordes de la placa paralelos al eje

x2. La distribución del corte transversal N23 es similar pero girada 90º en planta respecto a la de

N13.

Figura 3: Momentos flectores M11 (M11 max = 0.36 t.m/m)

Figura 4: Momentos flectores M22 (M22 max = 0.36 t.m/m)

Figura 5: Momentos torsores M12 (M12 max = 0.27 t.m/m)

Figura 6: Esfuerzo de Corte N13 (N13 max = 0.44 t/m)

La Figura 7 presenta la variación de las fuerzas de reacción en los nudos del borde de la placa.

Se trata de las fuerzas concentradas necesarias en esos puntos para equilibrar los esfuerzos del

interior de la placa. Se puede apreciar que la reacción es máxima en los nudos ubicados al

centro de los bordes, como también lo es el esfuerzo de corte N13 (N13 max = 0.44 t/m) no es

igual a la reacción por unidad de longitud de borde en el mismo punto, o corte efectivo ( N13 efec

= 0.59 / 0.667 = 0.85 t). Este resultado pone en evidencia lo ya demostrado en forma general

en relación a que la reacción externa por unidad de longitud a lo largo de los lados paralelos al

eje x2, está dado por lo que se ha denominado corte efectivo, N13 efec:

N13 efec = N13 + ∂ M12 /∂ x2 (1)

La diferencia entre la reacción por unidad de longitud de borde, que por definición es igual al

corte efectivo: R = N13 efec, y el corte N13 , proviene del segundo término de la ecuación (1).

El N13 efec max dado por la solución de elementos finitos puede ser estimado como la suma de

N13max = 0.44 más la derivada de M12 despecto a x2 en el mismo punto. Si bien esta derivada no

está dada como un resultado del modelo de elementos finitos, puede ser estimada a partir del

valor máximo del momento torsor (en la esquina) M12 max = 0.27 t.m/m, y la distancia entre la

esquina y el punto central del lado, es decir 2 m. Si la variación de M12 a lo largo del borde

fuese lineal, la derivada sería igual al cociente 0.27 / 2 = 0.135. Sin embargo, una expresión

más razonable para esa variación es una semionda senoidal, con lo que la derivada en el punto

central sería igual a 0.135 x π / 2 = 0.21 t /m, es decir que el valor máximo de N13 efec resulta

con esta aproximación ad-hoc N13 efec max = 0.44 + 0.21 = 0.65 t/m.

Por otro lado, el esfuerzo de corte efectivo N13 efec representa en la teoría el valor de la

reacción por unidad de longitud del borde, mientras que los valores de la reacción R

consignados en la Figura 7 corresponden a las fuerzas concentradas en los nudos del borde. A

partir de esta definición, el valor máximo del corte efectivo N13 efec max se puede obtener sin

aproximación ad-hoc dividiendo la máxima reacción concentrada en el punto central de lado

(0.57 t) por la separación entre los nudos (0.667), que da para la reacción máxima por unidad

de longitud el valor de 0.85 t/m. La diferencia entre el valor estimado más arriba a partir de la

derivada de M12 respecto a x2 (0.65 t/m) y esta otra forma de determinarlo por via de la

reacción (0.85 t/m) se debe a que la solución de elementos finitos es una solución aproximada.

En esta figura también se puede apreciar que la reacción cambia burscamente de signo en las

esquinas de la placa, y que esa reacción implica que para mantener las esquinas con

desplazamiento u3 nulo, es necesario retenerlas con una fuerza de anclaje hacia abajo.

Como se ha demostrado al presentar en la parte teórica del curso, el sentido físico del corte

efectivo, o corte de Kirchhoff, cuando en el borde de una placa se presenta un cambio brusco

de dirección de su perímetro tal como ocurre en las esquinas de una placa cuadra o

rectangular, la fuerza de anclaje necesaria es igual a dos veces el momento torsor en dicho

punto, es decir que Rmax = 2 M12 max . En la Figura 7 el valor de la fuerza de anclaje en las

esquinas es Rmax = 0.41 t, mientras que el valor del momento torsor máximo en ese punto es

M12 max = 0,27 t.m/m, es decir que la reacción vertical concentrada en las esquinas debería ser

R max = 2 x 0.27 = 0.54 t, mientras que el valor consignado como R max = 0.41 t. Esta diferencia, o

inconsistencia entre el valor teórico de la reacción concentrada de esquina (0.54 t) y el valor

dado como reacción externa en la esquina (0.41 t) se debe a que el método de elementos

finitos provee una solución aproximada del problema.

Figura 7: Reacción de apoyo en los nudos del borde (Resquina = -0.41 t)

Solución aproximada a través de un emparrillado “equivalente”

La Figura 8 presenta un esquema del emparrillado plano “equivalente” con que se ha

aproximado la placa. Los nudos se encuentran en la intersección de elementos de viga

dispuestos en ambas direcciones cartesianas.

Las propiedades mecánicas de las barras que conforman el emparrillado han sido definidas con

el criterio que la energía de deformación de las mismas aproximen lo mejor posible la energía

de deformación de un elemento de placa de iguales dimensiones bajo esfuerzos constantes en

el interior del elemento. Cada elemento de barra tiene una longitud igual al lado ∆ = 0.67 m

del elemento de placa que representa. El momento de inercia en flexión de las barras

interiores del emparrillado (en ambas direcciones cartesianas) está dado por:

I = ∆ h3 / 12 (1 - ν2

), y la mitad de este valor para las barras a lo largo

del perímetro de la placa. La constante de torsión “J” de la sección transversal de una barra

interior puede demostrarse que está dada por J = ∆ h3 / 6. Nótese que para una sección

rectangular delgada de espesor h, J está dada por J= ∆ h3 / 3, pero en el presente caso como el

objetivo es representar la rigidez en torsión de una placa a través de dos vigas perpendiculares

iguales, la constante de rigidez que se debe tomar para aproximar la energía de deformación

de un elemento cuadrado de placa de lados ∆ es J = ∆ h3 / 6. Naturalmente, la constante de

torsión de las barras perimetrales es J = ∆ h3 / 12 debido a que el ancho de dichas barras es la

mitad del de las barras interiores.

Figura 8 Esquema del emparrillado

La Figura 9 representa la variación del desplazamiento transversal a la placa u3 para el caso de

ν = 0.2 en la que se indica que el valor máximo de u3 es igual a 0.68 mm. Se puede apreciar que

este valor es aproximadamente un 17 % mayor al valor obtenido con elementos finitos (0.59

mm). Esta mayor flexibilidad respecto a la placa analizada con elementos finitos se puede

explicar por el hecho que la representación de la placa mediante barras se basa en garantizar

la continuidad de los giros de las barras exclusivamente en los nudos, mientras que los

elementos finitos denominados “compatibles” garantizan continuidad de giros no sólo en los

nudos sino también a lo largo de los bordes interiores de los elementos, por lo que la

aproximación con barras tiene una inherente mayor flexibilidad que se manifiesta con

desplazamientos mayores que los dados por elementos finitos.

Figura 9 Desplazamiento transversal de la placa al centro para ν = 0.2

umax = 0.68 mm

La Figura 10 representa la variación de los momentos flectores en las barras del modelo. Se

puede apreciar que el momento máximo corresponde al nudo central de la placa (0.25 t.m). El

momento máximo por unidad de ancho de placa resulta entonces igual a dicho valor dividido

por el ancho de cada barra ∆ = 0.67m, es decir 0.25 / 0.67 = 0.37 t.m/m, que es muy cercano al

dado por elementos finitos (0.36 t.mm).

La Figura 11 representa la variación del momento torsor, que presenta un valor máximo tal

que dividido por el ancho ∆ = 0.67 m resulta igual a 0.23 t.m/m. El máximo valor del momento

torsor dado por el modelo de elementos finitos fue de 0.27 t.m/m, es decir que los resultados

presentan una mayor diferencia que los momentos flectores. Como se puede apreciar que la

rigidez torsional del modelo de barras es inferior a la que tiene implícita el modelo de

elementos finitos y en consecuencia da valores inferiores de los momentos flectores. Esta

característica está en consonancia con la menor rigidez general del modelo de barras que

tambien se manifiesta en mayores desplazamientos transversales u3. , y esta característica está

vinculada con la observación anterior que el modelo de barras garantiza la continuidad de

giros sólo en los nudos y no en todo el contorno de los elementos finitos.

Figura 10 Momentos flectores (M max = 0.37 t.m/m)

La Figura 12 representa la variación del esfuerzo de corte en las barras del emparrillado, y la

Figura 13 las reacciones exteriores en los nudos del perímetro. Se puede apreciar que la

reacción de anclaje necesaria en los nudos de esquina dada por este modelo coincide con la

obtenida con el modelo de elementos finitos. Pero debe tenerse en cuenta que ambos

modelos son aproximados y esta coincidencia de valores es resultado un tanto fortuito ya que

las restantes variables del problema presentan diferencias algo más significativas.

De todos modos, se puede concluir del presente análisis con dos técnicas aproximadas de

representación de la placa que ambos procedimientos dan valores de similar distribución

espacial, con valores máximos que son aceptablemente concordantes para los efectos del

diseño de la placa.

Figura 11 Momentos torsores en las barras (M12 max = 0.23 t.m/m)

Figura 12 Esfuerzos de corte de las barras (N13 max = 0.61 t/m)

Figura 13 Reacciones de apoyo en los nudos de la placa (Resquina = -0.40 t)

Comparación de los resultados con la solución analítica “exacta”

La Tabla 1 contiene un resumen de los principales resultados obtenidos con los modelos

aproximados y su comparación con la solución exacta dada por Timoshenko y Woinowsky-

Krieger para la placa. Los resultados de la Tabla corresponden a un módulo de Poisson ν = 0,

por lo que la comparación no es estrictamente válida, pero sirve para orientar al lector en la

validez de los resultados obtenidos con ambos modelos aproximados a los efectos de diseño

de placas de hormigón armado en las que el módulo de Poisson es aproximadamente ν = 0.2

en lugar de 0.

Tabla 1 Comparación de resultados para una placa cuadrada de lados 4 m x 4m bajo carga

uniforme q = 500 kg/m2, espesor h = 0.15 m, E = 300000 kg/cm

2, y ν = 0.2

Variable Elementos finitos Emparrillado Solución en series

Timochenko(1)

M11 max (t.m/m) 0.36 0.37 0.38

M21 max (t.m/m) 0.27 0.23 --

N13 max (t/m) 0.44 0.61 0.68

N13 efec max (t/m) 0.85 0.87 0.82

Reacción en esquinas

(t)

0.41 0.40 0.52

Desplazamiento al

centro u3 (mm)

0.59 0.68 0.59

(1) El resultado corresponde a un módulo de Poisson ν = 0.3

Comentarios finales:

• Se puede apreciar que ambas soluciones aproximadas dan valores razonablemente

próximos a la solución exacta en todas las variables referidas a la distribución de

esfuerzos. Sin embargo, el desplazamiento vertical dado por el emparrillado

equivalente tal como fue presentado, da un desplazamiento 17% superior al real.

Esta situación ya se comentado que se origina en las hipótesis que el emparrillado

equivalente sólo exige continuidad de giro en los nudos y no a lo largo de los

bordes de los elementos como lo hace una formulación compatible de elementos

finitos.

• Una manera de mejorar la aproximación de los resultados del método del

emparrillado consiste en ajustar la rigidez en torsión de las vigas que integran el

emparrillado. La constante de torsión J de las barras utilizada para obtener los

resultados aquí presentados fue: J = ∆ h3 / 6. Si en lugar de ese valor se toma un

valor algo superior, por ejemplo J = ∆ h3 / 4, la distribución de esfuerzos

prácticamente no se modifica, pero el desplazamiento máximo que resulta de 0.60

mm presenta un error respecto al valor teórico exacto de sólo el 1.7%.

Solución con series de Fourier

La solución analítica citada en la comparación de esfuerzos y desplazamientos antes

presentada está basada en la solución con series trigonométricas o de Fourier desarrollado en

las notas de la teoría de placas del curso.

Una primera aproximación a la solución consiste en tomar el primer término de la serie doble

en el cual los coeficientes “m” y “n” de la serie de Fourier son iguales a la unidad. Para una

carga distribuida uniforme “q” aplicada en toda la placa el coeficiente “p11” de la serie de

Fourier resulta:

p11 = q 16 /π2 = 0.5 x 16 / π

2 = 0.81 t/m

2 y la constante a11:

a11 = p11 a4 /( D 4 π

4) = [0.81 x 4

4/ (D 4 π

4] = 0.532 / D

y el momento flector máximo al centro de la placa resulta:

Mmax = D π2 a11 (1+ν) / a

2 = q a

2 4(1+ν) / π

4 = q a

2 [4 x 1.2/ π

4] = 0.0493 q a

2

= 0.0493 x 0.5 x 16 = 0.394 t.m/m

Este valor del momento máximo se obtiene con sólo considerar el primer término de la serie

doble de Fourier, y es bastante próximo (un error relativo del 2.6%) al obtenido con la solución

en series completa, y también con los otros procedimientos de análisis aproximado

desarrollados (0.36 t.m/m, y 0.37 t.m/m). Se puede apreciar que el parámetro p11 representa

la amplitud de una carga de variación senoidal en ambas direcciones, y su valor para el primer

término de la serie doble de Fourier es aproximadamente 1.6 q. Esto significa que si uno tiene

una carga uniforme en toda la placa, la amplitud de la carga asociada a ese armónico es

aproximadamente 1.6 veces la carga uniforme. Como el momento flector resultante es

0.394/0.38 = 1.04 veces el valor exacto, se puede concluir que con una carga senoidal de

amplitud 16 / ( π2 x 1.04) = 1.56 q se obtiene el máximo momento de la placa considerando

sólo el primer armónico. Naturalmente esa aproximación se refiere a esa variable, y en ese

punto (punto central), pero es un indicador representativo de la validez de los resultados a los

efectos del diseño de la placa.

El máximo momento torsor está dado por la expresión:

Mtorsor max = q a2 x 4 /π

4 = 0.041 q a

2 = 0.328 t.m/m

La reacción de anclaje en la esquina de la placa resulta R = 2 Mtorsor max = 0.656 t

Se puede apreciar que la reacción en la esquina presenta un error del 26% respecto a la

solución indicada en la Tabla (0.52 t) que incluye un elevado número de términos de la serie de

Fourier y que puede ser considerada como exacta.