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Optimización no lineal

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

DDDDEPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE OOOORGANIZACIÓNRGANIZACIÓNRGANIZACIÓNRGANIZACIÓN IIIINDUSTRIALNDUSTRIALNDUSTRIALNDUSTRIAL

Optimización no lineal

José María Ferrer Caja

Universidad Pontificia Comillas

Planteamiento general

� La teoría se desarrolla para problemas de

minimización, los problemas de maximización se tratan

de forma análoga

min ( )

( ) 0 1,...,

, :

x

i

n

i

f x

g x i m

f g

≤ ∀ =

→� �

Optimización no lineal- 1



de forma análoga

� En un mismo problema puede haber restricciones de

igualdad y de desigualdad

� Las funciones f, gi pueden ser diferenciables o no serlo

� La resolución es más difícil y costosa que en

optimización lineal

� Existen algoritmos específicos para ciertos problemas

Clasificación (1)

� Optimización sin restricciones

� Es importante distinguir si f es o no continua y/o diferenciable

� Optimización con restricciones lineales

min ( )xf x

min ( )f x




� Existe una extensión del algoritmo simplex para resolverlo

� Programación cuadrática

� Aparece en muchas situaciones. Existen algoritmos eficientes

min ( )xf x

Ax b=

1min ( )

2T T n n

xc x x Qx Q

Ax b

×+ ∈

=

�

Clasificación (2)

� Programación convexa

� Todo mínimo local es global

� Si el problema es de maximización, las funciones deben ser cóncavas

, convexasi

f g




� Programación separable

� Cumple la hipótesis de aditividad de la PL

1

1

( ) ( )

( ) ( )

n

j jj

n

i i j jj

f x f x

g x g x

=

=

=

=

∑

∑

Clasificación (3)

� Programación geométrica

� Problemas de diseño en ingeniería

1 2

1

1 2

( ), ( ) ( )

( ) ... , 1,...,j j jn

n

i j jj

a a a

j n

f x g x c P x

P x x x x j n

=

=

= =

∑




� Problemas de diseño en ingeniería

� Programación fraccional

1

2

( )( )

( )

f xf x

f x=

� Aproximación del valor de una función por un polinomio

� Se conoce f(x0). Se desea obtener f(x)

0, nx x ∈ �

Expansión en serie de Taylor

2

0 0 0 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2T Tf x f x p f x f x p p f x p= + + ∇ + ∇�




� Una función polinómica coincide con su polinomio de Taylor

Gradiente de la función

Matriz hessiana de la función

0

0

2

,x x

p x x

f

f

∈

= −

∇

∇

�

Expansión en serie de Taylor. Ejemplo

� Obtener el polinomio de Taylor de grado 2 de

� Calcular aproximadamente

� Usamos el punto (x0,y0) = (0,0) pT = (x,y) - (0,0) = (x,y)

2( , ) x yf x y e −=

(0.1, 0.2)f −

2

2

2

2 2

( , ) (0, 0) 1

2 2( , ) (0, 0)

1

4 2 4 2

x y

x y

x

x y

y

x y x y

xx yx

f x y e f

f ef x y f

f e

f f e e

−

−

−

− −

= ⇒ =

∇ = = ⇒ ∇ = − − − −




2 2

2 2

4 2 4 2( , ) (0, 0)

2 12xx yx

x y x y

xy yy

f f e ef x y f

f f e e− −

− − ∇ = = ⇒ ∇ = − −

( ) ( )

2

2 2

1( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0)

24 21 1

1 2 1 1 2 2 22 12 2

(0.1, 0.2) 1 0.2 0.2 0.02 0.04 0.02 1.48

T Tf x y f f p p f p

x xx y x y x xy y

y y

f

+ ∇ + ∇ =

− = + − + = + − + − + −

− + + + + + =

�

�

Matrices simétricas. Menores

� Se llaman menores de una matriz a los determinantes

de las submatrices cuadradas de la matriz

� Menores principales de una matriz (cuadrada): se

obtienen cruzando k filas cualesquiera con sus

respectivas columnas

� Existen 2n – 1 menores principales en una matriz de orden n

� Menores de esquina de una matriz (cuadrada): se




� Menores de esquina de una matriz (cuadrada): se

obtienen cruzando las k primeras filas con sus

respectivas columnas

� Existen n menores de esquina en una matriz de orden n

� La matriz cuadrada A (de orden n) es simétrica si tA A=

Matrices definidas y semidefinidas positivas

� La matriz simétrica A (de orden n) es semidefinida

positiva si

o bien

todos sus autovalores son no negativos

o bien

todos sus menores principales son no negativos

0T nx Ax x≥ ∀ ∈ �




� La matriz simétrica A (de orden n) es definida positiva si

o bien

todos sus autovalores son positivos

o bien

todos sus menores de esquina son positivos

{ }0 0T nx Ax x> ∀ ∈ −�

Matrices definidas y semidefinidas negativas

� La matriz simétrica A (de orden n) es semidefinida

negativa si

o bien

todos sus autovalores son no positivos

o bien

-A es semidefinida positiva

� La matriz simétrica A (de orden n) es definida negativa si

0T nx Ax x≤ ∀ ∈ �




� La matriz simétrica A (de orden n) es definida negativa si

o bien

todos sus autovalores son negativos

o bien

sus menores de esquina son alternativamente <0, >0, etc.

o bien

-A es definida positiva

{ }0 0T nx Ax x< ∀ ∈ −�

Funciones convexas y cóncavas

� La función f es convexa en un conjunto X si

� La función f es cóncava si -f es convexa

� La función f es convexa (cóncava) en un punto x0 si

existe un entorno X de en el que la función es convexa

(cóncava)

, , [0,1] ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )x y X f x y f x f yλ λ λ λ λ∀ ∈ ∀ ∈ + − ≤ + −




(cóncava)

Convexa Cóncava

Convexa Cóncava

� La función f es convexa en el punto x0 si la matriz

hessiana es semidefinida positiva en x0

� La función f es cóncava en el punto x0 si la matriz

hessiana es semidefinida negativa en x0

� La región f(x)≤0 es convexa si la matriz hessiana es

semidefinida positiva en todos sus puntos

Funciones convexas y cóncavas. Hessiano




� La región f(x)≤0 es cóncava si la matriz hessiana es

semidefinida negativa en todos sus puntos

2 0x y− ≤

2

2

( , )

2 0( , )

0 0

f x y x y

f x y

= −

∇ = Semidefinida positiva

Región convexa

Optimización sin restricciones y diferenciabilidad

� Condición necesaria de optimalidad (para funciones

diferenciables)

� Condición necesaria de optimalidad (para funciones dos

veces diferenciables)

* es mínimo local de ( ) ( *) 0x f x f x⇒ ∇ =

( *) 0f x ∇ =⇒




� Condición suficiente de optimalidad (para funciones dos

veces diferenciables)

2

( *) 0* es mínimo local estricto de ( )

( *) definida positiva

f xx f x

f x

∇ = ⇒∇

2

( *) 0* es mínimo local de ( )

( *) semidefinida positiva

f xx f x

f x

∇ =⇒ ∇

Optimización sin restricciones y convexidad

� Condición necesaria y suficiente de optimalidad (para

funciones convexas y dos veces diferenciables)

� Ejemplo:

* es mínimo global de ( ) ( *) 0x f x f x⇔ ∇ =

2 2min ( , ) 3 2 4f x y x y xy y= + + −

2 2 0x y +




2

2 2 0( , ) ( , ) ( 1,1)

6 2 4 0

2 2( , )

2 6

x yf x y x y

y x

f x y

+ ∇ = = ⇒ = − + − ∇ =

definida positiva ( , )x y∀

f es convexa

En (-1,1) se alcanza el mínimo global de f: f(-1,1) = - 2

Optimización con restricciones. Lagrangiano (1)

� Se tiene el problema

� Su función lagrangiana o lagrangiano es:

min ( )

( ) 0 1,...,

( ) 0 1,...,

x

i

j

n

f x

g x i m

h x j l

x X

≤ =

= =

∈ ⊆ �

m l




� Multiplicadores de Lagrange

� proporciona una cota inferior de para

� Interesa la cota inferior más ajustada

� Relajación lagrangiana

,m lλ µ∈ ∈� �

1 1

( , , ) ( ) ( ) ( )m l

i i j ji j

L x f x g x h xλ µ λ µ= =

= + +∑ ∑

( , , )L x λ µ ( )f x 0,λ µ≥

0,max ( , , )L xλ µ

λ µ≥

{ }0,

min max ( , , )x X

L xλ µ

λ µ∈ ≥

Optimización con restricciones. Lagrangiano (2)

� Si todas las restricciones son de igualdad:

� El mínimo del lagrangiano coincide con el mínimo de la función

� En el mínimo, el gradiente de la función objetivo es combinación lineal de los gradientes de las restricciones

� Los coeficientes de la c.l. son los multiplicadores

� Para el problema lineal min T

xc x

Ax b=




� Lagrangiano:

� Aplicando la condición necesaria

� Los multiplicadores son las variables duales cambiadas de signo

Ax b=

( , ) ( )T TL x c x Ax bµ µ= + −* *( , ) 0L x µ∇ =

( , )

( , )

T

xL x c A

L x Ax bµ

µ µ

µ

∇ = +

∇ = −0

0

T Tc A c A

Ax b Ax b

µ µ+ = ⇒ = −

− = ⇒ =

Condiciones de optimalidad de KKT (1)

� Condiciones necesarias de Karush-Kuhn-Tucker para

problemas con restricciones de desigualdad

� Sea el problema P

� es abierto y no vacío

min ( )

( ) 0 1,...,x

i

f x

g x i m

x X

≤ =

∈nX ⊆ �





� Sea un punto factible (verifica las restricciones)

� Sea

� Sean diferenciables en

� Sean continuas en

� Sean linealmente independientes

*x

{ }*/ ( ) 0i

I i g x= =

nX ⊆ �

{ },ig i I∉

{ }, ,i

f g i I∈ *x*x

{ }*( )i i Ig x

∈∇




� es mínimo local de P existen escalares tales que

� Si además son diferenciables en

*x

* *( ) ( ) 0

0

i ii I

i

f x g x

i I

λ

λ∈

∇ + ∇ =

≥ ∀ ∈

∑

{ },ii Iλ ∈

{ },g i I∉

⇒

*x




* *

1*

( ) ( ) 0

( ) 0 1, ...,

0 1, ...,

m

i ii

i i

i

f x g x

g x i m

i m

λ

λ

λ

=

∇ + ∇ =

= =

≥ =

∑


� Las condiciones necesarias para máximo local son idénticas salvo el signo de los multiplicadores:

{ },ig i I∉

*x

0 iλ ≤

Condiciones de KKT. Ejemplo (1)

� Condiciones de KKT

2

,2

min ( , ) 9 ( 5)

0

0

1 0

x yf x y y x

x y

x y

x

= − −

− + ≤

− − ≤

− ≤ 1 2 3

1 2

2

1

2( 5) 2 0

9 0

( ) 0

( ) 0

x x

x y

x y

λ λ λ

λ λ

λ

λ

− − − − + = + − = − + = − − =




� Condiciones de KKT

� Además se deben cumplir las restricciones originales de factibilidad

2

3

1 2 3

( ) 0

( 1) 0

, , 0

x y

x

λ

λ

λ λ λ

− − = − = ≥

2 0

0

1 0

x y

x y

x

− + ≤− − ≤ − ≤


� Se resuelve distinguiendo para cada multiplicador que sea nulo o no

� Imposible. Luego se tiene

�

• . Queda el sistema

�

3

3

2 10 9 0

( 1) 0

x

x

λ

λ

− + − + = − =

2 10 9 0λ λ= ⇒ = − <

20 y xλ ≠ ⇒ = −

20λ ≠

1 20 9λ λ= ⇒ =

( )30 (1 2 , 1 2), 0, 9, 0

AAλ λ= ⇒ = − =




�

�

•

�

� Imposible

� Se han obtenido 3 puntos KKT candidatos a mínimos:

( )30 (1 2 , 1 2), 0, 9, 0

AAλ λ= ⇒ = − =

( )30 (1, 1), 0, 9, 1

BBλ λ≠ ⇒ = − =2 2

10 ( 1) 0y x x x x xλ ≠ ⇒ = ⇒ = − ⇒ + =

( )0 0 (0, 0), 1, 10, 0C

x y C λ= ⇒ = ⇒ = =

3 1 21 1 0 3, 6x y λ λ λ= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = − =

(1 2 , 1 2), (1, 1), (0, 0)A B C= − = − =

� Análisis gráfico:


10 2( , )

9

9( ) (1 / 2, 1 / 2)

9

xf x y

f A f

− ∇ =

∇ = ∇ − =




� B y C son mínimos locales estrictos

� A no es nada

� No existe mínimo global, la función no es acotada

C

B

A

8( ) (1, 1)

9

10( ) (0, 0)

9

f B f

f C f

∇ = ∇ − =

∇ = ∇ =


� Condiciones suficientes de Karush-Kuhn-Tucker para


� Sea un punto factible (verifica las restricciones) de P

� Sea

� Sean convexas y diferenciables en

Si existen tales que

*x

{ }*/ ( ) 0i

I i g x= =

{ }, ,i

f g i I∈*x

{ },i i Iλ ∈* *( ) ( ) 0

i ii I

f x g xλ∈

∇ + ∇ =

∑




Si existen tales que

entonces es mínimo local de P

Si además son convexas y diferenciables en todo el

conjunto factible, entonces es el mínimo global de P

� Para el caso de maximización, la función objetivo debe ser cóncava y los escalares

{ },i i Iλ ∈

0 i I

ii Iλ∈

≥ ∀ ∈

*x

{ }, ,i

f g i I∈*x

0 i

i Iλ ≤ ∀ ∈



� Como alternativa a la convexidad se puede usar el lagrangiano restringido


*( ) ( ) ( )i ii IL x f x g xλ

∈= +∑




� Si la matriz hessiana en el candidato

es semidefinida positiva , entonces es un mínimo local de P

� Si la matriz hessiana anterior es definida positiva, entonces es un mínimo local estricto de P

2 * 2 * * 2 *( ) ( ) ( )i ii IL x f x g xλ

∈∇ = ∇ + ∇∑

*x

*x

*x



problemas con restricciones de desigualdad e igualdad

� Sea el problema P’ min ( )

( ) 0 1,...,

( ) 0 1,...,

x

i

j

f x

g x i m

h x j l

x X

≤ =

= =

∈





� Sea un punto factible (verifica las restricciones)

� Sea

� Sean diferenciables en

� Sean continuas en

� Sean continuamente diferenciables en

� Sean l.i.

x X∈

*x

{ }*/ ( ) 0i

I i g x= =

nX ⊆ �

{ },ig i I∉

{ }, ,i

f g i I∈ *x

{ }* *( ), ; ( ), 1, ...,i jg x i I h x j l∇ ∈ ∇ =

*x

{ }, 1, ...,jh j l= *x



� es mínimo local de P’ existen escalares

tales que


*x

* * *

1

( ) ( ) ( ) 0l

i i j j

i I j

f x g x h xλ µ∈ =

∇ + ∇ + ∇ =∑ ∑

{ }, ; , 1, ,i ji I j lλ µ∈ = …

⇒





* * *

1 1

*

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0 1, ...,

0 1, ...,

m l

i i j j

i j

i i

i

f x g x h x

g x i m

i m

λ µ

λ

λ

= =

∇ + ∇ + ∇ =

= =

≥ =

∑ ∑

1

0

i I j

i i Iλ

∈ =

≥ ∀ ∈

{ },ig i I∉ *x




� Sea un punto factible (verifica las restricciones) de P’

� Sea

� Sean convexas y diferenciables en

Si existen escalares tales que

*x

{ }*/ ( ) 0i

I i g x= =

{ }, ,i

f g i I∈*x

{ }, ; , 1, ,i ji I j lλ µ∈ = …l




Si existen escalares tales que

de modo que sea convexa en si

ó sea cóncava en si

entonces es mínimo local de P’

{ }, ; , 1, ,i ji I j lλ µ∈ = …

* * *

1

( ) ( ) ( ) 0

0

l

i i j j

i I j

i

f x g x h x

i I

λ µ

λ

∈ =

∇ + ∇ + ∇ =

≥ ∀ ∈

∑ ∑

jh 0jµ >*x

jh*x 0jµ <

*x




Si además, las condiciones sobre las funciones

se cumplen en todo el conjunto factible, entonces es el

mínimo global de P’

{ }, , ,i j

f g i I h∈*x




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