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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA • PRUEBA 1FECHA: 27 DE NOVIEMBRE 2019
Nombres: CI: Firma:
Profesor CD: Grupo CD:
Instrucciones:1. No se permite el uso de DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS.
2. La duración de la PRUEBA es de 120 minutos.
3. Se permite el uso de calculadora científica y del formulario plastificado.
4. Cualquier INTENTO DE COPIA se sancionará con una nota de CERO puntos.
5. JUSTIFICAR CADA RESPUESTA.
EJERCICIOS:
1. Sean los conjuntos A, B y C tales que A es mutuamente excluyente de C y B es independiente de C; además se sabe que:
P(A ∩ Cc) = 0,4
P(A ∩ B) = 0,16
P(B ∩ C) = 0,24
P(C) = 0,6
Determinar:
a) P(B|A)
b) P(B)
c) P[B ∩ (A ∪ Cc)]
d) P[C ∪ (A ∩ Bc)]
Solución:
a) P(B|A) =P(B ∩ A)
P(A)=
P(B ∩ A)
P(A ∩ C) + P(A ∩ Cc)=
0,160 + 0,4
= 0,4
b) P(B ∩ C) = P(B)P(C) entonces P(B)P(C) = 0,24, de donde P(B) =0,240,6
= 0,4
c)
P[B ∩ (A ∪ Cc)] = P[(B ∩ A) ∪ (B ∩ Cc)]
= P(B ∩ A) + P(B ∩ Cc)− P[(B ∩ A) ∩ (B ∩ Cc)]
= 0,16 + [P(B)− P(B ∩ C)]− P[A ∩ B ∩ Cc]
= 0,16 + [0,4 − 0,24]− P(A ∩ B) = 0,16 + [0,4 − 0,24]− 0,16 = 0,16
d)
P[C ∪ (A ∩ Bc)] = P(C) + P(A ∩ Bc)− P[C ∩ (A ∩ Bc)]
= P(C) + P(A ∩ Bc)− P[C ∩ (A ∩ Bc)]
= P(C) + P(A ∩ Bc)− P[C ∩ A ∩ Bc]
= P(C) + [P(A)− P(A ∩ B)]− P(∅ ∩ Bc)
= P(C) + [P(A)− P(A ∩ B)]− P(∅)
= 0,6 + [0,4 − 0,16]− 0 = 0,84
2. Dos profesores A y B están interesados en estudiar los hábitos de sueño de los estudiantes en sus clases. Ambos profesoresregistran el tiempo en minutos que demoran en quedarse dormidos sus alumnos desde que empieza la clase. El gráficomuestra los tiempos que demoran en quedarse dormidos los alumnos del profesor A.
Los datos del Profesor B son los siguientes:
10,5 11,3 11,9 12 12,3 12,3 12,5 12,7 13,4 13,7 13,8 14,2 14,8 15,1 15,3 16,7 16,8 18,8 20,8
a) ¿Cuál es el valor aproximado de las medidas de dispersión del tiempo del Profesor A?. Explique
b) ¿Qué porcentaje de alumnos se queda dormido antes de los 14 minutos con el Profesor A?. Justifique.
Figura 1: Diagrama de caja Profesor A
c) Construya un diagrama de caja correspondiente a los tiempos en que se quedan dormidos los alumnos en la clase delProfesor B.Analice los dos gráficos e interprete.
Solución
a) ¿Cuál es el valor aproximado de las medidas de dispersión del tiempo del Profesor A?. Explique
Tmin = 12
Tmax = 21
Rango = 9
Q1 = 14
Q2 = 15
Q3 = 17
RIQ = 3
b) ¿Qué porcentaje de alumnos se queda dormido antes de los 14 minutos con el Profesor A?. Justifique.
25 %, ya que entre el tiempo mínimo y el cuartil Q1, se acumula el 25 % de los datos.
c) Construya un diagrama de caja correspondiente a los tiempos en que se quedan dormidos los alumnos en la clase delProfesor B.Analice los dos gráficos e interprete.
Tmin = 10, 5
Tmax = 20, 8
Rango = 10, 3
RIQ = 3
Ordenando los datos, obtenemos los cuartiles
Tiempo en quedarse dormidos Cuartiles
10,511,311,912,012,3 Q1
12,312,512,713,413,7 Q2
13,814,214,815,115,3 Q3
16,716,818,820,8
3. Un profesor califica sus pruebas en una escala de 4 puntos (1, 2, 3, 4). Supongamos que en un curso de 30 alumnos losresultados ordenados fueron:
1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Sea X = resultado de la prueba para un alumno del curso elegido al azar. Determine
a) La ley de probabilidad para la v.a.d. X y su gráfica.
b) La distribución acumulada y su gráfica.
c) La esperanza y varianza de X.
d) Si Y = 0,5X + 5, calcule E(Y)
Solución
a) La ley de probabilidad para la v.a.d. X y su gráfica. Sea X = resultado de la prueba para un alumno del curso elegido alazar, su ley de probabilidad es
x 1 2 3 4p(x) 3/30 6/30 12/30 9/30
b) La distribución acumulada y su gráfica.
x 1 2 3 4F(x) 3/30 9/30 21/30 30/30
c) La esperanza y varianza de X.
E(X) = (1)(3/30) + (2)(6/30) + (3)(12/30) + (4)(9/30) = 85/30
V(X) = (1)2(3/30) + (2)2(6/30) + (3)2(12/30) + (4)2(9/30)− (85/30)2 = 229/180
d) Si Y = 0,5X + 5, calcule E(Y)
Y = 0,5X + 5
Entonces la esperanza de Y
E(Y) = 0,5E(X) + 5 = 0,5(85/30) + 5 = 385/60
4. Dada la función de distribución:
F(x) =
0 si x < −2x2 + kx + 4
24si −2 ≤ x < 1
cx2 + 12x + 440
si 1 ≤ x ≤ 6
1 si x > 6
a) Hallar los valores de c y k para que exista f (x) y determine esta.
b) Hallar P(0 ≤ X ≤ 4)
c) Hallar P(X ≤ 5|X ≥ 0)
d) Hallar la mediana
Solución:
a) De la continuidad de la función de distribución se obtiene que c = −1 y k = 4, además:
f (x) =
0 si x < −2,2x + 4
24si − 2 ≤ x < 1,
−2x + 1240
si 1 ≤ x < 6,
0 si x ≥ 6,
b) P(0 ≤ X ≤ 4) = F(4)− F(0) =3640
− 424
= 0,733
c) P(X ≤ 5|X ≥ 0) =P(X ≤ 5 ∩ X ≥ 0)
P(X ≥ 0)=
P(0 ≤ X ≤ 5)P(X ≥ 0)
=P(X ≤ 5)− P(X ≤ 0)
1 − P(X ≤ 0)=
F(5)− F(0)1 − F(0)
= 0,97
d) Med = x tal que F(x) = 0,5, por lo tanto−x2 + 12x + 4
40= 0,5
así, x =12 −
√80
2≈ 1,528.
5. Se sabe que una prueba para la detección de una cierta enfermedad da positiva en el 96 % de los casos en que se está enfermo,y negativa en el 94 % de los sanos. Cierta persona se somete a la prueba y se sabe que, a su edad, una de cada 45 personasestá enferma sin saberlo.
a) Cuál es la probabilidad de que la prueba de el resultado correcto?
Sean los eventos:E = { persona enferma }O = { prueba da positivo }C = { prueba da resultado correcto }por tanto,
Pr(C) = Pr(O|E) · Pr(E) + Pr(Oc|Ec) · Pr(Ec)
=
(
96100
)(
145
)
+
(
94100
)(
4445
)
= 0,9404
b) Si el resultado es positivo, cuál es la probabilidad de que esté enferma realmente?
Pr(E|O) =Pr(O|E) · Pr(E)
Pr(O)
=
(
96100
)(
145
)
(
96100
)(
145
)
+
(
6100
)(
4445
)
= 0,2666
c) Si el resultado fuera negativo, cuál es la probabilidad de que a pesar de todo esté enferma?
Pr(E|Oc) =Pr(Oc|E) · Pr(E)
Pr(Oc)
=
(
4100
)(
145
)
(
4100
)(
145
)
+
(
94100
)(
4445
)
= 0,000966
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA • EXAMEN 1FECHA: 04 DE DICIEMBRE 2019
Nombres: CI: Firma:
Profesor CD: Grupo CD:
Instrucciones:1. No se permite el uso de DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS.
2. La duración del EXAMEN es de 120 minutos.
3. Se permite el uso de calculadora científica y del formulario plastificado.
4. Cualquier INTENTO DE COPIA se sancionará con una nota de CERO puntos.
5. JUSTIFICAR CADA RESPUESTA.
EJERCICIOS:
1. En una estación de investigación de los recursos hídricos de una región se ha obtenido la siguiente muestra respecto alnúmero de litros de aceite que se utilizaron y los días en los que se utilizó esa cantidad de litros
Litros de aceite Número de días
25 1427 1328 929 1131 732 1233 1534 1035 837 11
Si el litro de aceite cuesta $ 5.50, calcule:
a) El costo total del aceite gastado en los 38 días de menor uso.
b) El número de días en los que se utilizó menos de 30 litros
c) El número de litros que en promedio se utilizó por día y el costo promedio diario
d) El mínimo número de litros del 15 % de los días de mayor uso
e) El percentil 70 de los litros de aceite utilizados
Se tiene que:
Litros de aceite f(x) F(x) Fr(x)
25 14 14 0.1327 13 27 0.2528 9 36 0.3329 11 47 0.4331 7 54 0.4932 12 66 0.633 15 81 0.7434 10 91 0.8335 8 99 0.937 11 110 1
Por lo tanto,
a)C = [(25 × 14) + (27 × 13) + (28 × 9) + (29 × 11)]× 5,50 = $5560,5
b) F(x) tal que x < 30, por lo tanto F(29) = 47 días
c)
X =1n
10
∑i=1
Xi · f (Xi) =1
110[(25 × 14) + (27 × 13) + (28 × 9) + · · ·+ (37 × 11)] = 30,86 lt
Por lo tanto, el costo promedio viene dado por:
CP = 30,86 × $5,50 = $169,75
d) Si F(x) = 110 × 0,85 = 93,5 ≈ 94, entonces x = 35 lt
e) Si F(x) = 110 × 0,7 = 77, entonces x = 33 lt
2. Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra.Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
I: representa la bola se extrae de la primera urna
I I: representa la bola se extrae de la segunda urna B: elegimos una urna al azar y extraemos una bola y es blanca
P(B) =3
20+
316
=2780
b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?
P(I|B) = P(I ∩ B)
P(B)=
3202780
=49
c) Sabiendo que la bola extraída fue de la primera caja, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?
P(B|I) = P(B ∩ I)
P(I)=
32012
=3
10
3. Entre los candidatos a miembros del consejo estudiantil, que consta de 5 miembros, hay 3 estudiantes de primer año, 5estudiantes de segundo año y 7 estudiantes de tercer año. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
a) se elijan únicamente los estudiantes de tercer año.
C57 · C0
8
C515
=1
143≈ 0,006993
b) todos los estudiantes del primer año fueron elegidos.
C33 · C2
12
C515
=2
91≈ 0,021978
c) no se eligió ningún estudiante de segundo año.
C510 · C0
5
C515
=12
143≈ 0,083916
d) la composición de los elegidos es la siguiente: 1 estudiante de primero, 2 estudiantes de segundo y 2 estudiantes detercero.
C13 · C2
5 · C27
C515
=30
143≈ 0,209790
4. Suponga que X es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está representada en la Figura 1:
Figura 1: Función de densidad de probabilidad
a) Si P(
13 ≤ X ≤ a
)
= 12 , determine el valor de a.
f (x) =
12
si 0 ≤ x < 1,
− x
4+
34
si 1 ≤ x < 3,
0 en otro caso,
P
(
13≤ X ≤ a
)
=∫ 1
13
12
dx +∫ a
1
(
− x
4+
34
)
dx
Evaluando estas integrales e igualando a 12 , el valor de a es
9 − 2√
63
≈ 1, 367
b) Calcular P(
12 ≤ X ≤ 2
)
.
P
(
12≤ X ≤ 2
)
=∫ 1
12
12
dx +∫ 2
1
(
− x
4+
34
)
dx
Por tanto, integrando y evaluando las integrales
P
(
12≤ X ≤ 2
)
=58≈ 0, 625
c) Hallar F(x).
5. Una empresa elabora ladrillos prensados para acabados de la construcción de los cuales, se sabe, que el 10 % de la producciónpresenta algún defecto en su fabricación.
a) Para un proceso de control de calidad, toman al azar 10 ladrillos, calcule la probabilidad de que al menos 9 ladrillos notengan defecto alguno.Solución: Se aplica la ley Binomial de probabilidades con n = 10, p = 0,9.P(X ≥ 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = 0, 38742049 + 0, 34867844 = 0, 73609893
b) La empresa envía lotes empacados de 30 ladrillos a sus clientes. Sabiendo que, si al inspeccionar el cliente al azar 8ladrillos de un lote enviado, encuentra 2 o más ladrillos con algún defecto les devuelven el lote, cuál es la probabilidadde que no se rechace el envío.Solución: Sea X : “Número de ladrillos defectuosos en los 8”, se tiene en un lote de 30 ladrillos, 3 defectuosos, y 27 nodefectuosos. Por lo tanto, X sigue una distribución hipergeométrica, así:
P(rechazar) = P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0, 1655P(no rechazar) = 1 − P(rechazar) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0, 3793 + 0, 4552 = 0, 8345
c) El cliente necesita 12 ladrillos sin defectos. Calcule la probabilidad de que tenga que inspeccionar máximo 14 ladrillospara obtener lo que necesita.Solución: Sea X : “Número de ladrillos revisados hasta encontrar 12 sin defectos”, entonces X sigue una distribuciónBinomial negativa con k = 12 éxitos y p = 0,9, por lo tanto:
P(X ≤ 14) = P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) = 0, 28243 + 0, 33892 + 0, 22030 = 0, 84164
d) Para elaborar ladrillos refractarios, estos pasan por un horno de banda a altas temperaturas a un promedio de 6 ladrilloscada 2 minutos. Cuál es la probabilidad de ingresen cero ladrillos en 1 minuto.
Solución: Sea X : “Número de ladrillos que ingresan al horno en 1 minuto”, entonces X sigue una distribución de
Poisson, además sabemos que pasan 6 ladrillos en promedio en 2 minutos, por lo tanto λ = 3ladrillosminuto
, de donde:
P(X = 0) = 0, 049787068
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA • EXAMEN 2FECHA: 14 DE FEBRERO 2020
Nombre: CI: Firma:
Profesor CD: Grupo CD:
Instrucciones:1. Se permite el uso de calculadora científica, ningún otro DISPOSITIVO ELECTRÓNICO.
2. La duración del EXAMEN es de 120 minutos.
3. Se permite el uso del formulario plastificado, tabla de distribución χ2, tabla de distribución Normal y tabla de distribución t-Student.
4. Cualquier INTENTO DE COPIA se sancionará con una nota de CERO puntos.
5. JUSTIFICAR CADA RESPUESTA.
EJERCICIOS:
1. El tiempo de vida útil de cierto tipo de baterías se distribuye exponencialmente con media de 80 horas. Determinar:
a) Probabilidad de que la vida útil de una batería difiera de la media en al menos 10 horas. (0.9 pto)
SoluciónSea X :“Tiempo de vida útil de una batería", entonces tenemos que X sigue una distribución exponencial con µ = 80,
como µ =1λ
se tiene que λ =1
80, además tenemos que σ2 =
1λ2 = 802, por lo tanto:
P(|X − µ| ≥ 10) = 1 − P(|X − µ| ≤ 10)
= 1 − P(−10 ≤ X − µ ≤ 10)
= 1 − P(70 ≤ X ≤ 90)
= 1 − (F(90)− F(70)) = 1 −[(
1 − e−90/80)
−(
1 − e−70/80)]
= 1 + e−90/80 − e−70/80.
b) En una instalación científica se necesitan 38 baterías para cierto proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que su tiempopromedio de funcionamiento sea mayor a 86 horas? (0.7 pto)
SoluciónSe tiene que n = 38 y por el teorema del límite central tenemos que:
X N
(
µ,σ2
n
)
= N
(
80,802
38
)
Por lo tanto,
P(X > 86) = 1 − P(X ≤ 86) = 1 − P
(
Z ≤ 86 − 80√802/38
)
= 1 − P(Z ≤ 0,46) = 1 − 0,6772 = 0,3238.
c) ¿Cuántas baterías se necesitarían en el proceso para que su tiempo promedio de funcionamiento sea mayor a 86 horascon una probabilidad de al menos el 15 %? (0.9 pto)
SoluciónPor el teorema del límite central tenemos que:
X N
(
µ,σ2
n
)
= N
(
80,802
n
)
entonces,
P(X > 86) = 0,15 ⇒ P(X ≤ 86) = 0,85 ⇒ P
(
Z ≤ 86 − 80√802/n
)
= 0,85
como,
P(Z ≤ 1,04) ≈ 0,85 ⇒ 86 − 80√802/n
= 1,04 ⇒ n =
(
(1,04)(80)6
)2
= 192,28 ⇒ n = 193.
2. Un portal de comercio electrónico sabe que el 60 % de todos sus visitantes a la web están interesados en adquirir sus produc-tos, pero son reacios al comercio electrónico y no realizan finalmente la compra vía internet. Sin embargo, en la dirección delportal se piensa que en el último año el porcentaje de gente que está dispuesta a comprar por internet ha aumentado y estose debe reflejar en los resultados empresariales. En esta línea, se tomó una muestra de 500 visitantes para conocer su opinióny se observó que el 55 % no estaba dispuesta a realizar compras vía on-line.
a) Contrastar con el 2 % de significancia si el último año se ha reducido el porcentaje de personas que no está dispuesta acomprar vía internet. (1.25 pto)
Solución
1) H0: p = 0,60
2) H1: p <0,60
3) Estadístico de prueba:
Zobs =p̂ − po
√
po(1 − po)/n
Zobs = −2, 2821
4) Región de rechazo:Se rechaza H0 si:
Zobs < −Zα
Zα = −2, 06
5) Decisión:Como el valor de Zobs < −Zα, se rechaza H0, existe evidencia empírica que la proporción de visitantes al portal queestán dispuestos a comprar on-line ha disminuido, es decir, el porcentaje de visitantes que son reacios a comprarpor internet ha aumentado.
b) Calcule el p-valor de la prueba. (1.25 pto)
Solución
El valor deZobs = −2, 2821,
entoncesφ(−2, 28) = 0, 9887
por tanto el p − valor = 1 − 0, 9887 = 0, 0113
3. Un banco desea conocer el tiempo que se demoran los cajeros en despachar a los clientes. Para ello se recogió informaciónsobre el tiempo que se demoraba cada cliente desde que llegaba frente a la caja hasta que completaba su transacción. Lossiguientes datos resumen las mediciones:
Duración (min) 0 a 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 o másNúmero de clientes 35 58 29 11 4 7
Pruebe si la distribución del tiempo de demora de los clientes sigue una ley exponencial. (2.5 pto)
Solución
a) H0: La distribución del tiempo de demora de los clientes sigue una ley exponencial.
b) H1: La distribución del tiempo de demora de los clientes no sigue una ley exponencial.
c) Estadístico de prueba:
χ2obs = ∑
(Oj − ej)2
ej
χ2obs = 31, 147
d) Región de rechazo:
Nivel de significancia: 0,05Grados de libertad: k − 1 − m = 5 − 1 − 1 = 3Se rechaza H0 si:
χ2obs > χ2
0,05(3)
χ20,05(3) = 7, 8114
e) Decisión:Como el estadístico observado es mayor que el estadístico de tabla, a un nivel de significacia del 0,05 y 3 grados delibertad, se rechaza H0, es decir, los datos no siguen una distribución exponencial.
4. Una empresa que se dedica a la venta de artículos de hogar está interesada en introducir una nueva línea de artículos, paraello se examinan las ganancias (en dólares) obtenidas durante 12 días:
23 38 15 7 12 10 10 11 18 13 9 10
Si se conoce que las ganancias de los artículos siguen una distribución normal cuya desviación estándar es 4,67 dólares.
a) Calcule un intervalo de confianza para la ganancia media, a un nivel de confianza del 96 %. (0.9 pto)
Solución:
Puesto que se conoce la desviación estándar de la población, el intervalo de confianza solicitado se obtiene mediantelas expresiones:
• Límite Inferior: x̄ − zα/2σ√n
• Límite Superior: x̄ + zα/2σ√n
donde:P(z < zα/2) = 0,98 es decir, zα/2 = 2,05
por tanto:11,91 ≤ µ ≤ 17,43
b) Calcule un intervalo de confianza para la varianza de la ganancia, a un nivel de confianza del 98 %. (0.9 pto)
Solución:
A partir de la muestra se tiene que: s2 = 73,1515, por tanto:
• Límite inferior:(n − 1)s2
χ21− α
2(n − 1)
= 32,55
• Límite superior:(n − 1)s2
χ2α2(n − 1)
= 263,22
de donde:32, 55 ≤ σ2 ≤ 263, 22
c) La empresa introducirá la nueva línea de productos si la desviación estándar es menor a 7 dólares. En base a los resul-tados, se introducirán al mercado los nuevos productos ?. Explique por qué. (0.7 pto)
Solución:
La probabilidad solicitada es:
P(s < 7) = P(s2< 49)
= 1 − P(s2 ≥ 49)
= 1 − P
(
(n − 1)s2
σ2 ≥ 11(49)4,672
)
= 1 − P(χ2(11) > 24,71)
= 1 − 0,01
= 0,99
En base a los resultados le conviene introducir la nueva línea de productos, ya que la probabilidad de que la desviaciónestándar sea menor a 7 dólares es del 99 %.
