escuela normal cuarto quédate en casa curso: profesora

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CUE: 1800672-00

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ESCUELA NORMAL

Cuarto quédate en casa

CURSO: 4TO 6TA

PROFESORA: Cardozo, Patricia

PERÍODO 13 y 14

CONTENIDOS: La modelización de situaciones extramatemáticas e intra-matemáticas

mediante funciones cuadráticas. Representación gráfica. Desplazamientos. Elementos de la

parábola: Vértice, ceros o raíces, eje de simetría, ordenada al origen. Intervalos de

crecimiento y decrecimiento. Fórmula de la Resolvente. Ecuaciones cuadráticas.

PROPÓSITOS: Que el alumno logre:

Analizar situaciones extramatemáticas e intramatemáticas que se modelizan

mediante funciones cuadráticas.

Usar las nociones de dependencia y variabilidad.

Identificar las variables que intervienen en las situaciones.

Identificar dominio y codominio de la función cuadrática analizada.

Analizar tablas de funciones cuadráticas.

Identificar gráficas que corresponden a funciones cuadráticas.

Interpretar en la gráfica de un función cuadrática los elementos de la parábola

(vértice, valor máximo, ceros o raíces, eje de simetría, intervalos de crecimiento y

decrecimiento).

Interpretar fórmulas de funciones cuadráticas que modelizan una misma situación.

Hallar los ceros o raíces de expresiones cuadráticas.

Identificar las raíces o ceros de una expresión cuadrática.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Capacidad para decidir y justificar si la resolución de la situación trabajada es la

conveniente, utilizando vocabulario matemático adecuado en la defensa de sus

argumentos.


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Responsabilidad y compromiso para resolver las actividades en el domicilio.

Trabajo colaborativo virtual.

Empatía con sus pares.

ACTIVIDAD 1

Un grupo de biólogos estudia las características de un lago artificial en el cual se

introdujeron un conjunto de peces para analizar la evolución de esta población. En un

principio, la colonia crece reproduciéndose normalmente, pero al cabo de unos meses

algunos peces mueren, a causa del hacinamiento. Uno de los científicos plantea:

-He llamado x a los días que han transcurridos y n a la cantidad de peces. Mis registros

indican que el conjunto de peces evoluciona según la ley: n(x) = 240+10x-0,1x2. Debemos

hacer algo rápidamente ya que, con esta proyección, pronto se extinguirán.

Sobre la base de la función dada por este científico:

a) ¿Cuáles son las variables que se relacionan?

b) ¿Cuántos peces se introdujeron en el lago?

c) ¿Durante cuánto tiempo la cantidad de peces fue aumentando? ¿Durante cuánto

tiempo la cantidad de peces fue disminuyendo?

d) ¿Cuál es la cantidad máxima que llego a haber? ¿En qué momento?

e) ¿Cuándo se extinguiría la población?

f) ¿Cuál es el dominio y el codominio de la función?

g) ¿De qué tipo de función se trata? ¿Por qué?

h) ¿Cuál es la representación gráfica? ¿Cuál será concavidad de dicha gráfica? ¿Por

qué?

i) Graficar la evolución de la cantidad de peces en función del tiempo. Identifica los

elementos del gráfico además del dominio y codominio en la situación planteada.

CONCLUSIONES

Hay situaciones que se modelizan con funciones cuadráticas en las cuales hallar

el valor máximo o mínimo de la función (vértice) o los valores que hacen cero

la función (raíces), resulta fácil pero no todas son así. Por ello es conveniente

conocer que hay expresiones que permiten obtener dichos valores.

ACTIVIDAD 2

Leer e interpretar el siguiente texto. Tomar apuntes de las nuevas informaciones.


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Intersección de la parábola con el eje de abscisas

La intersección de una función cualquiera con el eje x es en los pares ordenados de la

forma (x;0), es decir que se debe resolver la igualdad: ax2+bx+c=0. Esta igualdad es una

ecuación cuadrática, y para encontrar las soluciones se debe despejar la variable x, se

utiliza el método de completar cuadrados:

1. Agrupando los términos donde aparece la variable x en un miembro.

ax2+bx=-c

2. Dividiendo ambos miembros de la igualdad por el valor a:

3. Completando el trinomio cuadrado perfecto, sumando el término

en ambos miembros, para mantener la igualdad:

4. Escribiendo el binomio cuadrado:

5. Sacando la raíz cuadrada en ambos miembros, se obtiene:

6. Resolviendo*:

*La primera expresión que aparece se conoce con el nombre de la fórmula de la

resolvente.

Luego:

El gráfico de la función cuadrática f(x)=ax2+bx+c es una parábola que interseca al eje de

las abscisas en los pares ordenados (x1,0) y (x2,0), donde:

y


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Tres casos posibles en la intersección de la

parábola con el eje de abscisas

Para calcular los puntos donde la parábola corta

al eje x se tiene una fórmula que incluye una raíz

cuadrada: √b2 − 4ac

El radicando se denomina discriminante y

permite distinguir o discriminar los siguientes

casos:

a) Si b2-4ac>0, entonces serán distintos los dos

resultados:

y

La parábola corta al eje x en dos puntos:

b) Si b2-4ac=0, entonces serán iguales los resultados de realizar:

y

Puesto que √0 = 0, luego la parábola corta al eje x en un único punto x1=x2

c) Si b2-4ac<0, entonces no se podrá encontrar solución a la raíz cuadrada y por lo tanto

no se pueden resolver las igualdades en el conjunto ℝ:

y

Luego la parábola no corta al eje x


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Vértice de la parábola, eje de simetría e intersección con el eje de ordenadas

El gráfico de una función cuadrática f(x) = ax2+ bx + c es una parábola:

Tiene su vértice n el par ordenado o bien (p;q)

= [-b/2a; f(-b/2a)].

La recta vertical que interseca al eje de abscisas en x = p es el eje de simetría de

dicha parábola, es decir que el eje de simetría se obtiene haciendo –b/2a;

El par ordenado (0;c) es el punto de intersección de la parábola con el eje de las

ordenadas.

INSTITUCIONALIZACIÓN

La fórmula de la resolvente permite hallar los

ceros de una función cuadrática o las raíces de una ecuación

cuadrática. En dicha fórmula el ± lleva a las expresiones:

, donde x1 y x2 son los ceros o

raíces.

Se llama discriminante a la expresión b2-4ac. Esta expresión nos permite

discriminar las raíces:

- Si b2-4ac > 0, las raíces son distintas y pertenecen al conjunto de los números

reales.

- Si b2-4ac = 0, las raíces son iguales y se denomina raíz doble.

- Si b2-4ac < 0, las pertenecen al conjunto de los números complejos.


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La parábola tiene su vértice n el par ordenado

o bien (p;q) = [-b/2a; f(-b/2a)].

La recta vertical que interseca al eje de abscisas en x = p es el eje de simetría de

dicha parábola, es decir que el eje de simetría se obtiene haciendo –b/2a;

El par ordenado (0;c) es el punto de intersección de la parábola con el eje de las

ordenadas.

ACTIVIDAD 3

Dentro del proceso iniciado de sembrado de truchas, en 1990 se introdujeron 100

individuos de esta especie en un lago ubicado en la zona cordillerana de argentina, en el

cual no había registros de su existencia. Al principio la población comenzó a crecer

rápidamente, pero luego distintos factores, entre ellos la falta de alimentos, determinó un

decrecimiento. El número de estos salmónidos para cada año t si consideramos t = 0 al año

1990, se puede modelizar por:

a) Graficar la función desde t = -10 hasta t = 30. ¿Qué años calendarios representan

estos valores de t?

b) ¿Qué tipo de función es S(t)? ¿Por qué?

c) Indicar, a partir del gráfico el dominio de la función S para este problema.

d) ¿En qué año la población de truchas fue máxima? En dicho año, ¿cuántos

ejemplares había?

e) ¿En qué año comenzó a decrecer la población de truchas?

f) ¿En qué año se puede estimar que se extinguirá la población de truchas en el lago?

g)


La fórmula que permite construir un modelo con la situación anterior es un caso particular

de:

, siendo a el coeficiente del término de segundo

grado de una función cuadrática; x1 y x2 los ceros de la misma.


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La ecuación de la parábola expresada de forma factoreada es:

Esta fórmula permite calcular fácilmente los puntos de

intersección de la parábola con el eje de abscisas (eje x), Así como las coordenadas del

vértice de la misma.

ACTIVIDAD 3

Dada la siguiente ecuación de una parábola, determinar los puntos de intersección con el

eje de abscisas y su vértice.

ACTIVIDAD 4

En cierto cultivo de bacterias, que se encuentran en un medio ambiente que limita su

crecimiento, la tasa de crecimiento bacteriano N(x) es una función del número x de

bacterias que se puede representar por la función cuadrática:

a) ¿Cuáles son los parámetros a, b y c de la función cuadrática del modelo?

b) ¿Cuál es el número de bacterias que permitirá que la tasa de crecimiento de dicha

población sea máxima en dicho ambiente?

c) ¿Llegará la tasa de crecimiento de la población de bacterias a cero? Justificar.

ACTIVIDAD 5

Un delfín toma impulso por encima de la superficie de un estanque siguiendo una función

d(x) = - x2 + 6x +12, donde d(x) es la distancia al fondo del estanque (medida en metros) y

x el tiempo empleado (medido en segundos).

a) Realizar el gráfico de la función cuadrática que representa la distancia desde el

fondo del estanque en relación al tiempo empleado en alcanzarla.

b) Calcular cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la

profundidad del estanque es de 20 metros.

c) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

d) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué tiempo lo hace?


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ACTIVIDAD 6

El modelo matemático que permite hallar los pares de números que cumplen la condición

“El segundo de ellos aumentado en cuatro unidades equivale al cuadrado de la diferencia

entre el primero y 2”, es:

o bien

a) ¿Cuántos pares de números cumplen esta condición?

b) ¿Puede darse el caso de que y valga cero?

c) ¿Cuál es el vértice de la parábola y cuál es el eje de simetría? ¿Se pueden visualizar

estos valores en la fórmula?


En algunas ocasiones, las funciones cuadráticas pueden expresarse mediate la

ecuación

La ecuación utilizada para construir el modelo de la situacioón anterior es un caso

particular de , que es la ecuación de la parábola

correspondiente de la función cuadrática

Esta función tiene la particularidad de permitir visualizar fácilmente las

coordenadas del vértice de la parábola que están indicadas en la fórmula de la

siguiente manera:

Al determinar xv también queda determinado el eje de simetría, cuya ecuación

es

x = xv.

Se pueden determinar los ceros de la función cuadrática o las raíces de la

ecuación cuadrática, igualando a cero la expresión:

A partir de esa ecuación es fácil hallar el valor de

x.


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ACTIVIDAD 7

Determinar “sin graficar”: el vértice – analizando si es un máximo o un mínimo- y el eje de

simetría de las parábolas que representan las siguientes funciones cuadráticas:

ACTIVIDAD 8

Leer y tomar apuntes del siguiente texto extraído del capítulo 3 de Camuyrano, M.B., Net,

G., Aragón, M. (2005). Matemática I. Modelos para interpretar la realidad. Editorial

Estrada. Buenos Aires, Argentina.


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ACTIVIDAD 9

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