escuela de matemática instituto tecnológico de costa rica

Escuela de Matemaacutetica

Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica

Praacutectica del curso

Aacutelgebra lineal para computacioacutenSeleccioacuten de ejercicios

I Semestre 2018

Revista digital

Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica)

Iacutendice generalmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

1 MATRICES PAacuteGINA 311 Operaciones baacutesicas 312 Propiedades de la suma y el producto 313 Ejercicios 414 Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana 815 Ejercicios 916 Matriz inversa 10

Propiedades de la matriz inversa 1017 Ejercicios 10

2 DETERMINANTES PAacuteGINA 1621 Definicioacuten y propiedades 1622 Ejercicios 17

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PAacuteGINA 2131 Resultados importantes 2132 Ejercicios 21

4 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PAacuteGINA 2641 Grupos y subgrupos 2642 Anillos y campos 2643 Ejercicios 27

5 ESPACIOS VECTORIALES PAacuteGINA 3251 Espacios y subespacios vectoriales 3252 Ejercicios 3353 Bases y dimensioacuten 3454 Ejercicios 3655 Coordenadas de un vector en una base 4056 Ejercicios 40

(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 1

6 TRANSFORMACIONES LINEALES PAacuteGINA 4261 Preliminares 4262 Ejercicios 4363 Matriz asociada a una transformacioacuten 4564 Ejercicios 4665 Vectores y valores propios 4966 Ejercicios 50

7 EXAacuteMENES Y SUS SOLUCIONES PAacuteGINA 5371 I parcial I semestre 2018 5372 II parcial I semestre 2018 5973 III parcial I semestre 2018 6574 Reposicioacuten I semestre 2018 68

BIBLIOGRAFIacuteA PAacuteGINA 72

8 SOLUCIOacuteN DE LOS EJERCICIOS PAacuteGINA 74


Creacuteditos

Esta praacutectica ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacutenrdquo es el resultado de la seleccioacuten deejercicios de las praacutecticas consignadas en la bibliografiacutea que aparece al final de este documento En la ela-boracioacuten de este material participaron los siguientes profesores

Walter Mora F CoordinadorCristian Paacuteez P CoordinadorManuel AlfaroErick Chacoacuten

Bryan RodriacuteguezRandy Wynta

Asistentes

Este material se distribuye bajo licencia Craetive Commons ldquoAtribucioacuten-NoComercial-SinDerivadas 40 Internacionalrdquo (CC BY-NC-ND 40)httpscreativecommonsorglicensesby-nc-nd40deedes

Citar comoW Mora et al ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Seleccioacuten de ejerciciosrdquoRevista digital Matemaacutetica Educacioacuten e InternethttpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibrospracticas

1

Cap

iacutetulo

Matricesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

11 Operaciones baacutesicas

Recordemos que la entrada ijijij de la matriz A es 〈〈〈A〉〉〉ij y que la fila i es A(i) y la columna j es A(j) Usamosla notacioacuten An = Antimesn

1) Si A y B son matrices del mismo orden en-tonces 〈〈〈Aplusmn B〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ij plusmn〈〈〈B〉〉〉ij

2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij

3) 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k

sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj

4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji

5) 〈〈〈I〉〉〉ij =

1 si i = j0 si i 6= j

6) 1n =

111

ntimes1

12 Propiedades de la suma y el producto

1) Para α β isinR y A BC isinMmtimesn se cumple

a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)

c) A + 0mtimesn = 0mtimesn + A = A

d) A + (minusA) = (minusA) + A = 0mtimesn

e) α(βA) = (αβ)A

f ) α(A + B) = αA + αB

g) (α + β)A = αA + βA

h) IT = I

i) (αA)T = αAT

j) (A + B)T = AT + BT

2) Para α isinR A B isinMmtimesnC isinMntimesp D isinMptimess F isinMrtimesm se cumple

a) F(A + B) = FA + FBb) (A + B)C = AC + BCc) Im A = A = AIn

d) A(αC) = (αA)C = α(AC)

e) (AT)T = A

f ) (AC)T = CT AT

g) 0rtimesm A = 0rtimesn

h) A0ntimesp = 0mtimesp

i) (AC)D = A(CD)

13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4

13 EjerciciosOperaciones baacutesicas

Y 131 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A13

Y 132 Si X =

103

calcule XXT y XT X

Y 133 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A

xyz

Y 134 Si A =

1 22 3minus1 0

calcule AAT minus (3I)2

Y 135 Sea A =

[1 minus1minus1 1

]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0

2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0

3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA

Y 136 Sea X =[

x y]

y A =

[1 22 3

] Calcule X A XT

Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[

x y]

A[

xy

]+[

x y][ d

e

]+ f

Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =

i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =

j si i le j0 si i gt j

Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB

Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =

i + j si i gt j

0 si i = jiminus j si i lt j



Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes

Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones

Demostraciones ldquoentrada por entradardquo

Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que

1) (αA)T = αAT

2) In An = An

3) (AnBnCn)T = CTBT AT

4) (AnT Bn)T = Bn

T An

5) (ATn BnCn)T = Cn

T BnT An

6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC

7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A

Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C

Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT

)T= B +

(AT)2

Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que

1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior


2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior

3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B

4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula

5)12(An + AT

n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )

Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada

por entrada que((αA + 0)T B

)T= α

(BT A

)Caacutelculos usando propiedades de matrices

Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones

1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T

5) [(A + AT)(Aminus AT)]T

Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)

Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2

Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como

A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =

k 0 minus10 1 0minus1 0 k

Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)

Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[

1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]


Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que

An+1 = Bn [B + (n + 1)C]

Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas

1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas

2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica

3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica

4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica

5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que

a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros

b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn

c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn

6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA

7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA

Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA

1) Si A =

0 a bminus8 0 cd 3 0

determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz

antisimeacutetrica

2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn

Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica

14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8

14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades

a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz

b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior

Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple

c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno

d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos

Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )

Escalonada Escalonada reducida

0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]

Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila

AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime

AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro

y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime

AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime

La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada

Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea


Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1

if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna

Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)

Fi = Fi - a_ika_kk Fk

Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)

Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1

if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1

Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal

Fi = a_kkFi - a_ik Fk

15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices

1) A =

[1 minus78 3

]2) B =

5 1 08 0 5minus2 minus2 3

16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10

3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0

16 Matriz inversa

Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1

161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces

Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )

a) (Aminus1)minus1 = A

b) (AT)minus1 = (Aminus1)T

c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0

d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1

Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces

(A + B)minus1 = Aminus1 minus(

A + ABminus1A)minus1

Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity

17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa

1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =

1 minus1 00 1 minus10 0 1

3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2

6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =

k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2

1) Verifique que (ABminus I2)

minus1 = AB

2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X

Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(

2XTCminus In

)T= C (Dminus X)

a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X

b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que

D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0

)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0

Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)

Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2

Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y

2 (X A)T = B + AT AXT

a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X



A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]

Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I

Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I

Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque

1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1

2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I

3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1

Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn

a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT

b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D

Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0

Determine una matriz X tal que

A(XT + B) = C

Y 1713 Considere las matrices siguientes

A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0

Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente

X ABT = ABT + XC2

Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por

R =

0 1 minus14 minus3 43 minus3 4

S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4


1) Determine Rminus1

2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(

W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =



Y 1716 Considere las matrices A =

2 minus1 minus11 0 00 minus2 1

y B =

2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2

Determine sin resol-

ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3

Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB

2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X


A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1

Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX

Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A

Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I

1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)

2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten

P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3


Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible

Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =

Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ

1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que

forallk isinN Bk = Qminus1AkQ

2) Considere las matrices siguientes

P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2

]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7

Y 1724 Sean las matrices A =

α 0 0minus3 1 minus1

5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0

con α una constante real

distinta de cero

1) Halle Aminus1

2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B

Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que

Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =

[1 αminus1αminus1

]es nilpotente

Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente

1) Determine si la matriz H =

4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3

es involutiva idempotente o si no es de alguno de

los tipos mencionados

2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva


3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)

2

Cap

iacutetulo

Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

21 Definicioacuten y propiedades

Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3

- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2

]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3

+ + +minus minus minus

Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3

minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1

Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))

que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij

Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es

Det(A) =n

sumj=1

(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj

Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn

1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)

2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =

1k

Det(B) (recordemos que hk 6= 0)

3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)

4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn

5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0

6) Det(A) = Det(AT)

7) Det(AB) = Det(A)Det(B)

8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe

9) Det(Aminus1) =1

Det(A)si la inversa existe


Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA

ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn

Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T

ntimesm entonces

Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)

22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)

1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =

2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1

Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas

que faltan en el caacutelculo de la inversa

Aminus1 =1

2minus 2amiddot

1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4

a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4


Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)

1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =

cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0

0 0 1

Verifique que A es invertible y calcule Aminus1

Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0

Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1

Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1

Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0

Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)

Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18

y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)

Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43

Calcule∣∣2BAdj(AT)

∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule

∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣

Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |

Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |


Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule

Det((6Aminus 3B)minus1 CT)

Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT

∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2


Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=

2 1 04 minus1 52 0 1

y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(

A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1

∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z

tal que Det(A) = 2 y B =

3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z

2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =

n minus1 14 m minus1s 1 r

y B =

2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r

n minus1 1

Si Det (A) = 2α con

α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det

(4Aminus1αBT

)

Y 2222 Verifique que A =

∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2

∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)

Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule

∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c

∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1

Calcule el determinante de las siguientes matrices

1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f

Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por

A =

minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3

y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

Si se sabe que |B| = minus2 halle

∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣

Y 2227 Calcule |A| si se tiene que

A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a

Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP

1) Muestre que Det(A) = Det(B)

2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)

3

Cap

iacutetulo

Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

31 Resultados importantes

Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces

1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica

2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten

3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)

Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida

Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces

1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones

2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica

3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)

32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

1)

x + y + 2z = 9

2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0

2)

x + y + z = 0

minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0

3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)

2xminus 3y + w = minus2

2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R

Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0


Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones

axminus by = bx + by = 0

Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones

ax + by = 0bxminus by = 0

Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso

mxminus 3y = 12mx + my = n

iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema

1) tenga solucioacuten uacutenica

2) no tenga solucioacuten

3) posea infinito nuacutemero de soluciones

Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0

Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior

a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten

b) No tenga solucioacuten

c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten

Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2

Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior





Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal

xminus αy = β2x + y = α

Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema

1) Posea solucioacuten uacutenica

2) Sea inconsistente

3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular

Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones

2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0

Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1

ax + 3yminus cz = minus3

tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2

Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1

d1x + d2y + d3z + d4w = d1

Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)

Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1

2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m

1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro

2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique


3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente

Y 3214 Considere el sistema

x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1

1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1

2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan

x = minus3minus 2aa + 1

y = z = minus 2aminus 32(a + 1)

w =

Y 3215

Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1

Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior

1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)

2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)

3) No tenga solucioacuten

Y 3216 Considere el sistema lineal

a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2

con a isin R Utilizando el meacutetodo

eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2


1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR

Determine todos los valores para α de manera que el sistema


2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones



Y 3218 Si se tiene que[

1 0 minus1 α0 1 2 α

]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones

lineales determine todos los valores para α y para β de manera que

21β

sea una solucioacuten del

sistema

Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo

xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones

particulares

4

Cap

iacutetulo

Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

41 Grupos y subgrupos

La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si

1) lowast es cerrada en G

2) lowast es asociativa en G

3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico

4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro

Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo

Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G

Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H

42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si

1) (Goplus) es un grupo conmutativo

2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa

3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a

Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo

Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H

Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa


Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto

43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d

]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1

Consideremos el par (G middot) don-

de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))

Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo

Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo

Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano

Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como

(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)

Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule

(minus41)3 lowast[(

143

)lowast (2minus3)minus2

]2

Y 436 Sea G =

[a aa a

]con a isin R y a 6= 0

Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-

plicacioacuten usual de matrices

a) Verifique que forallA B isin G AB = BA

b) iquest[

1 00 1

]isin G

c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0

d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G


e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E

Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R

Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-

cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)

Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z

iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)

Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR

Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que

es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo

Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R

iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)

iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z

Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn

Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q

Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio

4318)

Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab

Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic

2]+ middot) es un anillo

Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q

a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic

2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga

que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2

q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)

b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es


c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic

2 esp

p2 minus rq2 +minusq

p2 minus rq2

radic2 Observe que

por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q

d) Muestre que (Q[radic

2]+ middot) es una campo

Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que

(xprime lowast y lowast x

)n= xprime lowast yn lowast x

Y 4320 Considere los grupos(

Z2+)

y(

Z3+)

y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define

(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)

Si se sabe que (Glowast) es grupo

1) Determine los seis elementos de G

2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)

3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)

Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR

(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)

Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast

y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre

que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)

Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G

Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre

queH =

x isin G tal que x lowast a = a lowast x

es subgrupo de G

Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR

(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z

y se sabe que(

RlowasttimesRotimes)

es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)

Y 4325 Si se sabe que(

Z6+ middot)

es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta

Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente

mZ =

x isinZ tal que existk isinZ con x = mk

Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)



(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)

Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ

y se sabe que

(RlowasttimesRotimes

)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=

x isinQlowast tal que x =

2m

3k con mk isinZ

Demuestre que (H middot) es subgrupo de

(Qlowast middot)

Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que




Z2+)

y(

Z3+)






3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)

Y 4331 Sea(Glowast

)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =

x isin G tal que x lowast t = t lowast x

demuestre que(Hlowast

)es subgrupo de

(Glowast

)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano

Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ

pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)

Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo

Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales

1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano

2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es

Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G


Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes

1) (Z4+ middot)

2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo

Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =

ab cd

Asumiendo que(Aoplusotimes

)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten

Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta

oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a

otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c

Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle

dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)


Z3+)

y(

Z2+)





2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e

1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(

Z4+)

2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente

forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b

1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no

2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)

Y 4343 Demuestre queH =

x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ

es subgrupo de (Rlowast middot)

5

Cap

iacutetulo

Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

51 Espacios y subespacios vectoriales

Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades

1) v + w isin V forallv w isin V

2) α v isin V forallv isin V forallα isinR

3) v + w = w + v forallv w isin V

4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V

5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V

6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V

7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR

8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR

9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR

10) 1v = v forallv isin V

Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo

Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene

1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w

Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR


52 Ejercicios

Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos

demues-

tre queW es un subespacio de R3

Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V


A isinMn (R) tal que

n

sumi=1〈A〉ii = 0

es subespacio deMn (R)

Y 524 SeaH=

a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0

Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique

Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique

1) W =

[a bc d

]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0

V =M2 (R)

2) W =

a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c

V = P2 (R)

3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0

V = R2

Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0

es subespacio de R4

Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)

1) H = A isinMn (R) tal que AA = A

2) H =

A isinMn (R) tal que AT = A


1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)

2) W =

[a bc d

]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0

V =M2 (R)

3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0

Y 529 SiW =

(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos

demues-

tre queW es subespacio de R3

53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34

Y 5210 Si se tiene queW =


verifique queWes subespacio de P2 (R)

Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos

demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V

Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma

de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto

x + y tal que x isin S1 y isin S2

Demues-

tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V

Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0

iquestEsW subespacio de R3 Justifique

Y 5216 Sea V =

f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]

iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique

Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR

Demuestre queW es un subespacio deM2(R)

53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3

Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =

v1v2 vk

sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-

mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk

sumi=1

aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten

a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)

Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar


Conjunto generador W es generado por B =

v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk

un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita

Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en

y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3

La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm

Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =

[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1

]y dimM2times2 (R) = 4

La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1

En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada

Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A

Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT

Teorema 51

1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k

2) Si V = Gen

v1v2 vk

entonces diacutem V le k

3) Si V = Gen

v1v2 vk

entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk

]es k entonces

diacutem V = k

4) Si diacutem V = k y si B =

v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld


5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V

6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base

54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3

a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)

Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li

a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3

b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)

c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2

d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3

e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)

f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4

g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)

Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4

Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =

x x2 x3 + x + 1

es li

Y 545 Determine si el conjunto S =

[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente

dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)

Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente

Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =

[1 01 1

][

0 00 2

]es li


Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld

Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW

Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0

Deacute un con-

junto generador paraW

Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)

Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base

a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)

c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)

Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por

p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5

Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)

Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)

a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =

(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0

c) W = (a b 0) tal que ab isinR

d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0

e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR

f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =

(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0

h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR


i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR

Y 5415 SeaW = Gen

121) (1minus25) (minus1minus21) (120)

Determine la dimensioacuten deW

Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0

Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =

u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W

Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =

1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1

De-

termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no

Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V

Y 5420 Sea W =

p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)

tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W

Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente

Y 5422 Si se sabe queW =

[a bc d

]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0

es subespacio de

M2 (R) determine una base deW y dim (W)

Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =

10minus2

y A2 =

253

1) Verifique que A =

4106

es combinacioacuten lineal de A1 y A2

2) Si el vector v estaacute definido como v =

minus2α1minus 8αminus5αminus 3

determine todos los valores de la constante

real α para que v isin Gen (A1 A2)

Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3


Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes

1) u y w son linealmente dependientes

2) u isin Gen ((213) (minus101))

Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)

Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente

Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw



De-



Si sabe-

mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio

Y 5431 Si A =

1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6

encuentre una base para el espacio de las soluciones

del sistema homogeacuteneo Ax = 0

Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema

xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial


xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio

vectorial y determine una base para S


[a bc d

]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0

es subespacio de

M2 (R) determine

1) Una base deW y dim (W)

2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW

Y 5435 Si se sabe que V =

A isinM2 (R) tal que

[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)

55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40

1) Halle tres elementos de V

2) Determine una base de V y dim (V)

55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =

v1v2 vn

es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en

la baseB son

[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn

Las coordenadas de P en la base canoacutenica son

[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen

Seleccione y arrastre los vectores o el punto

Wolfram CDF Player

Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B

ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces

[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)

56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B

Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3


a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B

b) Determine [(xyz)]B

c) Determine [(a a a)]B

d) Determine [(ab a)]B

Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B

b) [minus4x4 + x2 minus 414]B

c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B

Y 564 Se sabe queW =

[a bc d

]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0

es

un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =

[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para

los siguientes elementos deW determine

a)[(minus9 212 minus3

)]B

b)[(

2cminus 3a aminus8c 2c

)]B

6

Cap

iacutetulo

Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si

T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR

La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)

Teorema 61

Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces

a) T (αv) = αT (v) α isinR

b) T (0) = 0

c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)

Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base

Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V

Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W

Teorema 62


1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V

2) T es sobreyectiva si ImgT =W

3) 0V isin NuclT

4) T (0) = 0W isin ImgT

5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos


a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W

6) dimNuclT + dim ImgT = dimV

7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva

62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V

Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V

Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)

Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)

Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)

1) Verifique que T es transformacioacuten lineal

2) Determine una base para Nucl (T )

3) Determine una base para ImgT

Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)




Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2

1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal

2) Determine dos elementos de Nucl (T )

3) Determine una base para Img (T )

4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))

Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([

a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d





Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal

Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =

0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn

es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores

T (v1)T (v2) T (vn)

tambieacuten es linealmente independiente

Y 6211 Considere el conjunto B =

2x xminus 32minus x2 + x

a) Verifique que B es una base de P2 (R)

b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T

(2minus x2 + x

)= (0minus22) determine T

(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)

Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW


x23xminus 2x23 + x


b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2

T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T

(a + bx + cx2) siendo a +

bx + cx2 isin P2 (R)

Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)


2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T

3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T

Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2

una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique

Y 6216 Sea A =

[1 13 2

]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX

a) Muestre que T es transformacioacuten lineal

b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)

c) Determine una base para el la imgen de T

63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45

63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si

v = a1e1 + a2e2 + + anen

se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)

Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior

T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an

Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W

AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1

Tambieacuten se escribe AT =[T]C2

C1y en este caso big[T (v)

]C2

= AT[v]C1

En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)

Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W

[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1

es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1

entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial

La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2

B1 En este caso [x]B2

= [I]B2B1[x]B1

Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces

[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1


En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten

Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2

B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1

y en particularAminus1

T =[T minus1

]C

64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3

B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)

a) Calcule la matriz estaacutendar de T

b) Calcule [T ]B2B1

y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2

Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2


b) Calcule [T ]B2B1


Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3

B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)

Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)

a) Calcule [T]BB

b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B

d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C

e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)


B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)

Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)

a) Calcule [T]BB y [T]CB


b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B

c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C

Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3


b) Calcule [T ]B2B1


Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-

cioacuten lineal Considerando las bases B1 =

1 x22x

y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)

a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5

)b) Determine a matriz estaacutendar de T

c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular

[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-

formacioacuten lineal

1) Determine la matriz estaacutendar de T

2) Calcule T([

1 22 3

])usando la matriz estaacutendar de T

Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x

1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal

2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente

3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C

Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine

1) Una matriz asociada de T

2) La foacutermula expliacutecita para T minus1

Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3

una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =

x1 x2 y B2 =

x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso

1) Determine la matriz[T]B2

B1


2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[

T(

2minus 3x + 4x2)]

B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2





Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector

de R3 tal que [w]B1=

minus123

1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2

B1

2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2

B1

3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2

B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x

un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si

T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine

1) T (ex sen x) y T (ex cos x)

2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR

Y 6414 Si se sabe que M =

minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1

es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-

va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3

Y 6415 Si se sabe que B =

1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T

(xminus x2) = (minus12) y T

(1 + 3x2) = (1minus2) determine

[T ]C2C1

65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49

Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =

0

Demuestre que siv1v2 vn

es un conjunto linealmente independiente en V entonces

T (v1)T (v2) T (vn)

es un conjunto linealmente independiente enW

Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se

sabe que [T]DB =

[1 02 minus1

] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2

1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D

2) Encuentre [T]B

3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad

65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv

Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)

Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi

asociado a λi

Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li

a) An tiene a lo sumo n valores propios

b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A

c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios

Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que

Cminus1AC = D

a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li

b) Si An es diagonalizable entonces D =

λ1 0 middot middot middot 0

0 λ2

0 λn

y las columnas de C son los respectivos

vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases


con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D

Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n

c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos

66 EjerciciosVectores y valores propios

Y 661 Considere la matriz A definida como A =

[2 minus4minus4 2

]Determine

1) Todos los valores propios λ de A

2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ

Y 662 Considere la matriz A dada por A =

0 0 minus21 2 11 0 3

a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A

b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2

Y 663 Considere la matriz C definida por C =

[4 0minus4 2

]1) Determine los valores propios de A

2) Determine una base para cada espacios propio Eλ


1 minus14

c 0

iquestQueacute valor o valores debe tomar c

para que A tenga dos valores propios reales diferentes

Y 665 Considere la matriz A dada por

A =

1 1 minus11 2 1minus1 1 3

Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio


5 4 24 5 22 2 2


1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A

2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1

Y 667 Sea A =

2 0 06 minus4 63 minus3 5

1) Determine todos los valores propios de A

2) Halle una base para E2

Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)

a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos

b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya

Diagonalizacioacuten

Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D

a) A =

[1 24 3

]

b) A =

4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2

c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2

La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten

Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada

a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB


b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]

BB

c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]

BB

Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que

a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5

b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5

c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0

Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que

El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1

]T

El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1

]T

El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1

]T

7

Cap

iacutetulo

Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS

ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS

AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018

I Examen Parcial

Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable

1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT

a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X

Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1

b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que

A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]

71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54

Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0

]=rArr X = BT Aminus1

(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]

2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT

)T= B +

(AT)2

Solucioacuten

foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que

〈(

A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji

= 〈BT〉ji +n

sumk=1〈A〉jk〈A〉ki

= 〈BT〉ji +n

sumk=1〈A〉ki〈A〉jk

= 〈B〉ij +n

sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj

= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈

(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij

3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1

∣∣∣Solucioacuten

Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8

Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12


∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12

4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1

2ax + ay = b

Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior

a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten

Solucioacuten

La matriz asociada es A =

[a minus3

2a a

] entonces |A| = a(a + 6)

a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica

[a minus3 1

2a a b

]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr

[a minus3 10 a + 6 bminus 2

]=rArr

axminus 3y = 1

(a + 6)y = bminus 2=rArr

x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6

b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b

Si a = 0 =rArrminus3y = 1

0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R

Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten

Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b

minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1

0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R



5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0

a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada

Solucioacuten

El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica

1 minus1 0 1minus1 2 1 0

0 3 minus2 12 0 minus1 4

minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2

1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2

=rArr |A| = 1 middot

∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2

∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =

minus6

b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y

Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=

2 middot minus1 middot

∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4

∣∣∣∣∣∣minus6

=minus2 middot 3minus6

= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ

Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y

producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano

a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo


Solucioacuten

Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una

operacioacuten interna en G ya que forall[

a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G

Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)

bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[

a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]

Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo

b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde

H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten

Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo

bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a

]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H

bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes


0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H

bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)

I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a

]isin H minus 0 =rArr

[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0

bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo

72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59

72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS



II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2

Solucioacuten

Primero W 6=empty pues

0 00 00 0

isinW

Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman

u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f

isin W para demostrar que W es un subes-

pacio vectorial de M3times2

αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=

αa + d αb + eαa + αb + d + e 0

0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f

isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W

b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W


Solucioacuten

Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices

W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1

c) [3 puntos] Determine una base para W

Solucioacuten

Como el conjunto B =

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1

genera W entonces solo falta

probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW

Resolvemos el sistema a1

1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0

Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W

2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute


a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a

]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se

debe cumplir α

[a bab a

]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces

α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[

αa αbαa middot αb αa

]

b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema

x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1

W 6le R3

Solucioacuten

Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W

c) [2 puntos] W =

a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0

W 6le P2(R)

Solucioacuten

Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α

(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt

0 y si c gt 0 tenemos

α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0

3) Considere el conjunto A =

2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R

a) [2 puntos] Verifique que w =

minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten

Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3

7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3

=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12

b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β

Solucioacuten

Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que

a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ

7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β

=rArr

a1 = 3λ

7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β

=rArr

7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4

7λ + 2β =73

4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W

Solucioacuten

Necesitamos una base para W

Primera manera Si se toman

u = (3minus161)v = (minus210minus60)

w = (minus15minus30)x = (1901)

se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos

W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR

=

a1u + a2v +a3

2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR

=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3

2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR

there4 W = Genuv


Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr

3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0

6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0

there4 uv es una base de W y dimW = 2

Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio

de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =

3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9

6 minus6 minus3 01 0 0 1

y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W



rarrrarrrarr rarrrarrrarr

v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0

Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =

12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =

a + bx + cx2 isin P2 (R)

a + 2bminus c = 0

a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)

Solucioacuten

Una opcioacuten es reescribir W =

a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)

1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty

Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R

u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2

= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W


b) (4 puntos) Determine una base B para W

Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b

(x + 2x2) tal que ab isinR

there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que

1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente

a1(1 + x2)+ a2

(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2

=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2

=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como

1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW

c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B

Solucioacuten

Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0

Por otro lado como B =

1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que

α(1 + x2)+ β

(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2

α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr

α = 2β = minus5

α + 2β = minus8=rArr

α = 2β = minus5

Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)

73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65

73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS



III Examen Parcial


1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([

a bc d

])= 2ax2 + (cminus b) x

a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal

b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva

c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T

Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T

([a + αaprime b + αbprime

c + αcprime d + αdprime

])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x

= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x

= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x

= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d

])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c

NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1

]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva

c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2

Esto tambieacuten se puede establecer observando que

x2 x

es base de la imagen

2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute

a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)

b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =

[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)

b) En general αT (a + bx + cx2) =

[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc

]= T (αa + αbx + αcx2)

3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2

a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1

b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)

c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C

d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1

Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]


b) Se verifica directamente que

(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)

+w middot (00minus11)

c) [T (xyzw)]C =[T]C

B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1

]xminus zminus wyminus zminus w

w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10

]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)

[T (0100)

]B2

=

[2minus2

]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)

[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1

]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)

there4 [T ]B2B1=

[1 2 0 00 minus2 0 minus1

]

4) Considere la matriz A =

0 1 00 0 127 minus27 9

a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A

b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A

c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3

Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0

0 minusλ 127 minus27 9minus λ

∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27

74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68

b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A

c) Aminus 3I =

minus3 1 00 minus3 1

27 minus27 6

9F1+F3minusminusminusrarr

minus3 1 00 minus3 10 minus18 6

minus6F2+F3minusminusminusminusrarr

minus3 1 00 minus3 10 0 0

minus3x +y = 0

minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =

y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)

y por tanto una base

para E3

es(

13

13)

por ser este conjunto li

74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS



Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve


1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A

Solucioacuten

Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij


〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n

sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj

=n

sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj

=n

sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj

=n

sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus

n

sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij

2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles

a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1

Solucioacuten

X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC

=rArr X ABminus XC = I

=rArr X(ABminus C) = I

=rArr X = (ABminus C)minus1

b) [3 puntos] Sabiendo que A =

[2 minus1 00 minus1 0

] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =

[3 minus2minus3 minus7

] determine

la matriz X

Solucioacuten

Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X

ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[

3 minus2minus3 minus7

]=

[1 15 6

]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [

1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1

]minusF2+F1minusminusminusminusrarr

[1 0 6 minus10 1 minus5 1

]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q

Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten

usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo

Solucioacuten

La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0

Si A =

[a bb a

]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b

4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales

xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0

Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema

Solucioacuten

La matriz asociada al sistema es A =

1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a

y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto

la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0

1 2 a 0

F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2

1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0

4F2minus3F3minusminusminusminusrarr

1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0

minus3y + 9z = 0=rArr

x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d

]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0

a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2

Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=

[a + αp a + αpa + αp d + αq

]isin W

b) [3 puntos] Determine una base para W

Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R

Entonces W estaacute generado por el conuunto[

1 11 0

][

0 00 1

]y como este conjunto

es li entonces es una base de W

6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)

a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)

Solucioacuten

El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2

minus3 a 10 0 a

y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6

b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)

Solucioacuten

Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)

7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que

T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)

a) [4 puntos] Determine[T]B2

B1


Solucioacuten

T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)

T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)

T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr

[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1

b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)

]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z

c) [3 puntos] Determine[T (123)

]B2

usando la matriz[T]B2

B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888

8) [4 puntos] Considere la matriz A =

minus5 6 0minus3 4 00 0 1

Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A

determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio

Solucioacuten

Una base para E1 es (001) (110)

Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010

[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009

[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995

[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012

[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992

[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana

[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR

[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965

[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012

[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros

[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC

[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC

[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC

[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013

8

Cap

iacutetulo

Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas

131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY

minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8

135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =

[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =

1 minus1 1minus1 1 minus1

1 minus1 1

B =

0 minus1 minus23 0 minus14 5 0

y AB =

1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1

1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k


y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones

1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54

Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75

13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo

1312 iumlY

1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij

2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =

1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n

sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij

3)4) Usamos la definicioacuten del producto

〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n

sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki

=n

sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj

= 〈〈〈BT A〉〉〉ij

5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen

sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n

sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki

=n

sumk=1

[n

sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk

]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos

=n

sumh=1

[n

sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh

]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n

sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj

= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij

6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces

〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q

sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =

q

sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =


7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces

〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r

sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =

1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY

1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j

Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n

sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj

〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1

〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n

there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i

sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j

2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo

El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal

4)5)

1316 iumlY

13 Demostraciones usando propiedades de matrices

1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY

1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB

2) Use la definicioacuten


4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA

a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0

b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT

c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(

Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY

14 Forma escalonada reducida

151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =

0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0


2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =

1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1

4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

5) E no es invertible

6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY

a) X = 13 Cminus1(CD + I)

b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY

175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior

176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda

177 iumlY

178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1

179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T

1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I

1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1

1712 iumlY X =

[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0

]


1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces

X ABT minus XC2 = ABT

=rArr X(ABT minus C2) = ABT

=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1

Luego solo queda calcular con las matrices dadas

ABT =

minus2 3 30 minus1 minus31 0 3

(ABT minus C2)minus1 =

minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY

1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es

1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY


Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes

221 iumlY

1) Det(A) = minus3

2) Det(B) = 3kminus 12

3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0

4) Det(D) = k(k2 minus 4

)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180

222 iumlY Aminus1 =1

2minus 2a

1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2

a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4

223 iumlY

224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =

cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0

0 0 1

225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten

226 iumlY

227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2

228 iumlY

229 iumlY

2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128

2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)

∣∣ = minus1500

2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces

Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1

108


2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23

|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12

2220 iumlY Det(B) = 12

2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135

2) Det(2Aminus1) =85

3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY

1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)

2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )


Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales

321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35

3) No tiene solucioacuten4)

322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[

xy

]como combinacioacuten lineal de matrices

323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY

a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb

b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones

Det(A) =

∣∣∣∣[ a bb minusb

]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb

Anaacutelisis de casos

a) Si b = 0 entonces

ax = 00 = 0

=rArr

x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0

there4

Si b = 0 and a = 0 =rArr X =

[xy

] xy isin R

Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =

[0y

] y isin R

b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0

bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0

xy arbitrarios si b = 0

there4

Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =

[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY

327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =

(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)

y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x

)y z =

12(b + ab + 2xminus axminus a2x)

Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones

y x isin R y =12(a2 minus aminus 2

)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x

328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4

αminus 3

y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x

Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten

329 iumlY

3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511

hay solucioacuten

uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511

la solucioacuten es y =3x32

z = minus11x32

(infinitas soluciones)

3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =

0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)

3213 iumlY

3214 iumlY

1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1

2)



w =

y =1

a + 1 w = minus 4aminus 3

2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY


Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos

431 iumlY

a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G

b) La asociativodad la hereda deM2(R)

c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1

d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1

Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G

432 iumlY

a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0

b) Asociatividad

a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc

c) Neutro

a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =

12

12lowast a = a

d) Inversos

a lowast aprime = 2aaprime =

12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12

there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a

e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab

433 iumlY

a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0

b) Asociatividad

(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)

c) Neutro

(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)

d) Inversos

(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =

(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba

)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =

(1a

minusba

)

e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)


434 iumlY

a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =

a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que

a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1

b) Asociatividad

(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)

Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales

c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R

d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a

a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1

e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0

a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a

isin Rminus minus1 pues minus a1 + a

6= minus1

Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso

435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)

Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos

a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =

(minus3

12

)

b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3

12

)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =

(minus6minus a

14b

)pues b isin Rlowast

c) (minus41)3 lowast[(

143


]2= (minus64) lowast

[(1

43

)lowast(minus13

172

)]2= (minus64) lowast

(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY

4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo

Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=

[aaprime + 2bbprime baprime + abprime

2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime

]isin G

El inverso multiplicativo Si A =

[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =

[ aa2minus2b2 minus b

a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]

Observe que para todoabisin Q

ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY


Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales

521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d

]isinM2 (R) tal que d ge 0

v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]

Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2

y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V

2) W =

a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)

siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes

v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2

= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W

3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces

digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute

v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY

1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA

2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R

3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2


529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY

54 Independencia lineal

541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0

=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li

b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0


c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)

542 iumlY

543 iumlY

544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +

a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego

bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0

bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo

a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-

cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0

545 iumlY

546 iumlY


547 iumlY Solucioacuten a1

[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY

549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que

(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)

Esto nos dice queW = Gen

(1minus10) (011)

5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen

(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY

5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)

es un conjunto de 4

elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det

1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1

6= 0 entonces

B =(121) (1minus25) (minus1minus21)

siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3

Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)

A =


1 2 0

rarr middotmiddot middot rarr

1 2 10 4 minus40 0 20 0 0

Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3

5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen

210) (minus101)

Ademaacutes este

conjunto es li por lo que es una base deW


5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema

2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0

Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =

minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)

y como este es un con-

junto li entonces una base deW es (1minus21)

(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)

5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY

5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =

[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]

Ahora resolviendo el sistema a1

[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0

]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0

Por tanto el conjunto generador es una base deW

5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY

5432 iumlY No (000) 6isin S


5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)

5434 iumlY

5435 iumlY

56 Coordenadas de un vector en una base

561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)

c) [(a a a)]B =(minus 2a a a

)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)

b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)

c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)

564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)

Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales

621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces

T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)

= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= T2(u)

622 iumlY


623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)

624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)

625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY

6214 iumlY Solucioacuten

1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR

T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)

= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))

= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)

= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)

= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)

= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)

2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )

Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)

T(a + bx + cx2) = 0

=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)

=rArr

2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0

=rArr c = 2b


De esta manera Nucl (T ) =

bx + 2bx2b isinR

Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =

x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1

Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)

Dado que una base del nuacutecleo de T es B =

x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio

El conjunto B1 =

x + 2x21 x

es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T

6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T

(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0

=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0

Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0

Asiacute debe cumplirse que

3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0

Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0

sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2

De esta manera Nucl (T ) = 3c

2 minusc2 x + cx2c isinR

y se concluye que T no es inyectiva

6216 iumlY

64 Matriz de una transformacioacuten

641 iumlY


a) Matriz estaacutendar de T

T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1

T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)

T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)


=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3

(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)

[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)

d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =

2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0

e) Utilizamos el teorema 61 c)


T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1

b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz

there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)

c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =

2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=

2xminus z3y + 2zminusz

645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1

entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas

1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY

65 Vectores y valores propios

661 iumlY

662 iumlY

a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que

∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr

∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2

1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0

=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0

=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2

)= 0

=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0

De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1

b) Sea u =

abc

un vector propio asociado al valor propio λ = 2

Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu


Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc

Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =

minusc

bc

tal que b c isinR

Por lo tanto el conjunto B =

minus1

01

010

es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-

dientes que generan a dicho espacio)

663 iumlY

1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4

2) Bases para E2 y E4

E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00

]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)

E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00

]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)

664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY


a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT

y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces

AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0

b) (lowast)

66 Diagonalizacioacuten

669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]

b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden

1 1 minus31 0 minus30 1 1

minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2


=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =

minus1 minus1 11 0 10 1 1

y D =

0 0 00 0 00 0 3

d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2

66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten

6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY


a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz

B =

5 1 30 5 20 0 5

Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de

P son un conjunto li Por ejemplo si P =


=rArr A = Pminus1BP =

232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene

como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)

b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo

B =

5 0 00 minus5 00 0 minus5

Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior

c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A

6612 iumlY Iniciando con D =

1 0 00 minus2 00 0 2

y P =

1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1

entonces

A = Pminus1DP =16

1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1

Matrices

Operaciones baacutesicas

Propiedades de la suma y el producto

Ejercicios

Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana

Ejercicios

Matriz inversa

Propiedades de la matriz inversa

Ejercicios

Determinantes

Definicioacuten y propiedades

Ejercicios

Sistemas de ecuaciones lineales

Resultados importantes

Ejercicios

Estructuras Algebraicas

Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios

Espacios Vectoriales

Espacios y subespacios vectoriales

Ejercicios

Bases y dimensioacuten

Ejercicios

Coordenadas de un vector en una base

Ejercicios

Transformaciones Lineales

Preliminares

Ejercicios

Matriz asociada a una transformacioacuten

Ejercicios

Vectores y valores propios

Ejercicios

Exaacutemenes y sus soluciones

I parcial I semestre 2018

II parcial I semestre 2018

III parcial I semestre 2018

Reposicioacuten I semestre 2018

Bibliografiacutea

Solucioacuten de los ejercicios

Iacutendice generalmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-

1 MATRICES PAacuteGINA 311 Operaciones baacutesicas 312 Propiedades de la suma y el producto 313 Ejercicios 414 Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana 815 Ejercicios 916 Matriz inversa 10

Propiedades de la matriz inversa 1017 Ejercicios 10

2 DETERMINANTES PAacuteGINA 1621 Definicioacuten y propiedades 1622 Ejercicios 17

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PAacuteGINA 2131 Resultados importantes 2132 Ejercicios 21

4 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PAacuteGINA 2641 Grupos y subgrupos 2642 Anillos y campos 2643 Ejercicios 27

5 ESPACIOS VECTORIALES PAacuteGINA 3251 Espacios y subespacios vectoriales 3252 Ejercicios 3353 Bases y dimensioacuten 3454 Ejercicios 3655 Coordenadas de un vector en una base 4056 Ejercicios 40







Creacuteditos




Asistentes



1

Cap

iacutetulo





2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij



4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji

5) 〈〈〈I〉〉〉ij =

1 si i = j0 si i 6= j

6) 1n =

111

ntimes1



a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)




f ) α(A + B) = αA + αB

g) (α + β)A = αA + βA

h) IT = I

i) (αA)T = αAT

j) (A + B)T = AT + BT




e) (AT)T = A

f ) (AC)T = CT AT



i) (AC)D = A(CD)



Y 131 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A13

Y 132 Si X =

103

calcule XXT y XT X

Y 133 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A

xyz

Y 134 Si A =

1 22 3minus1 0


Y 135 Sea A =

[1 minus1minus1 1




Y 136 Sea X =[

x y]

y A =

[1 22 3

] Calcule X A XT


ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[

x y]

A[

xy

]+[

x y][ d

e

]+ f






i + j si i gt j








1) (αA)T = αAT

2) In An = An


4) (AnT Bn)T = Bn

T An

5) (ATn BnCn)T = Cn

T BnT An





)T= B +

(AT)2







5)12(An + AT




)T= α

(BT A



1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T





A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =




1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]



An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea








Creacuteditos




Asistentes



1

Cap

iacutetulo





2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij



4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji

5) 〈〈〈I〉〉〉ij =

1 si i = j0 si i 6= j

6) 1n =

111

ntimes1



a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)




f ) α(A + B) = αA + αB

g) (α + β)A = αA + βA

h) IT = I

i) (αA)T = αAT

j) (A + B)T = AT + BT




e) (AT)T = A

f ) (AC)T = CT AT



i) (AC)D = A(CD)



Y 131 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A13

Y 132 Si X =

103

calcule XXT y XT X

Y 133 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A

xyz

Y 134 Si A =

1 22 3minus1 0


Y 135 Sea A =

[1 minus1minus1 1




Y 136 Sea X =[

x y]

y A =

[1 22 3

] Calcule X A XT


ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[

x y]

A[

xy

]+[

x y][ d

e

]+ f






i + j si i gt j








1) (αA)T = αAT

2) In An = An


4) (AnT Bn)T = Bn

T An

5) (ATn BnCn)T = Cn

T BnT An





)T= B +

(AT)2







5)12(An + AT




)T= α

(BT A



1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T





A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =




1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]



An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea


1

Cap

iacutetulo





2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij



4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji

5) 〈〈〈I〉〉〉ij =

1 si i = j0 si i 6= j

6) 1n =

111

ntimes1



a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A + (B + C)




f ) α(A + B) = αA + αB

g) (α + β)A = αA + βA

h) IT = I

i) (αA)T = αAT

j) (A + B)T = AT + BT




e) (AT)T = A

f ) (AC)T = CT AT



i) (AC)D = A(CD)



Y 131 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A13

Y 132 Si X =

103

calcule XXT y XT X

Y 133 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A

xyz

Y 134 Si A =

1 22 3minus1 0


Y 135 Sea A =

[1 minus1minus1 1




Y 136 Sea X =[

x y]

y A =

[1 22 3

] Calcule X A XT


ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[

x y]

A[

xy

]+[

x y][ d

e

]+ f






i + j si i gt j








1) (αA)T = αAT

2) In An = An


4) (AnT Bn)T = Bn

T An

5) (ATn BnCn)T = Cn

T BnT An





)T= B +

(AT)2







5)12(An + AT




)T= α

(BT A



1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T





A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =




1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]



An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea




Y 131 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A13

Y 132 Si X =

103

calcule XXT y XT X

Y 133 Si A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

calcule A

xyz

Y 134 Si A =

1 22 3minus1 0


Y 135 Sea A =

[1 minus1minus1 1




Y 136 Sea X =[

x y]

y A =

[1 22 3

] Calcule X A XT


ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[

x y]

A[

xy

]+[

x y][ d

e

]+ f






i + j si i gt j








1) (αA)T = αAT

2) In An = An


4) (AnT Bn)T = Bn

T An

5) (ATn BnCn)T = Cn

T BnT An





)T= B +

(AT)2







5)12(An + AT




)T= α

(BT A



1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T





A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =




1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]



An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea







1) (αA)T = αAT

2) In An = An


4) (AnT Bn)T = Bn

T An

5) (ATn BnCn)T = Cn

T BnT An





)T= B +

(AT)2







5)12(An + AT




)T= α

(BT A



1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T





A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =




1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]



An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea






5)12(An + AT




)T= α

(BT A



1) (ABT)T

2) (A + BT A)T + AT

3) [AT(B + CT)]T

4) [(AB)T + C)]T





A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =




1 10 1

]n

=

[1 n0 1

]



An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea




An+1 = Bn [B + (n + 1)C]













1) Si A =



antisimeacutetrica












0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea











0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0

[1 0 5 minus60 1 3 4

]



















1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea













1) A =

[1 minus78 3

]2) B =



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea



3) C =

2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0

4) D =


16 Matriz inversa













1) A =

1 0 11 0 02 1 1

2) B =


3) C =

1 x y0 1 z0 0 1


4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea



4) D =


5) E =

1 2 11 0 02 4 2


k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k

Y 172 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



2XTCminus In

)T= C (Dminus X)



D =

(minus3 minus1

4 1

)C =

(2 11 0









A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]










Y 1712 Sea A =

1 x y0 1 z0 0 1

B =

3 40 19 0

y C =

1 11 00 0


A(XT + B) = C


A =

1 2minus1 01 minus1

B =

0 minus11 13 0

y C =

0 1 01 0 10 1 0


X ABT = ABT + XC2


R =


S =

minus1 52 minus23 5

U =

minus1 5minus3 2

7 4




W T + S)= U


A =

3 0 k0 3 minus10 1 2

C =





y B =




Y 1717 Sean A =

[2 1 00 minus1 1

]y B =

1 0minus2 1minus1 2


minus1 = AB



A =

minus1 20 12 0

B =

2 0 0minus1 3 3

1 0 0

C =

1 0 0minus1 2 1

0 1 1






P =

1radic2

1radic6

1radic3

minus1radic2

1radic6

1radic3

0minus2radic

61radic3








P =

[1 41 5

] Pminus1 =

[5 minus4minus1 1

]y C =

[1 00 2




5 minus1 2

y B =

1 0 00 minus1 00 0 0


distinta de cero

1) Halle Aminus1




[1 αminus1αminus1

]es nilpotente









2

Cap

iacutetulo




- Si A2times2 =

[a1 b1

a2 b2


a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1

a2 b2

a3 b3


Si A3times3 =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3






Det(A) =n

sumj=1





1k





6) Det(A) = Det(AT)



9) Det(Aminus1) =1




ij Se tiene

Aminus1 =1

Det(A)Adj(A) =

1Det(A)

〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1

〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2

〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn


ntimesm entonces



1) A =

1 2 32 3 4minus1 0 4

2) B =

1 2 k2 3 4minus1 0 4

3) C =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

4) D =

k 2 02 k 40 0 k

5) E =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1

6) A =


Y 222 Si A =

1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1



Aminus1 =1

2minus 2amiddot





1) A =

k 2 02 k 40 0 k

2) B =

2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0

Y 224 Sea A =


0 0 1






















2 1 04 minus1 52 0 1



∣∣∣Y 2220 Sea A =

1 1 1a b cx y z



2x 2y 2z

Calcule

Det(B)

Y 2221 Sean A =


y B =


n minus1 1



(4Aminus1αBT

)


∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2


Y 2223 Si

∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a

∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule


∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =

a b c4 0 21 1 1


1) B =

2a 2b 2c4 4 42 0 1

2) C =

a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Y 2225 Si A =

a b cd e fg h i


1) Det(3A)

2) Det(2Aminus1)


3) Det(B) si B =

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f


A =


y B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3




A =

1 a b + c1 b a + c1 c b + a




3

Cap

iacutetulo













1)

x + y + 2z = 9


2)

x + y + z = 0


3)

2xminus 3y = minus2

2x + y = 13x + 2y = 1

4)


2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1

Y 322

x + y = 22x + 2y =

es[

xy

]= t

[minus11

]+

[20

]con t isin R




































d1x + d2y + d3z + d4w = d1



2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m






x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0

2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1





w =

Y 3215







a 1 11 a 11 1 a

xyz

=

1aa2




1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α

x

yz

=

460

con α isinR







1 0 minus1 α0 1 2 α



21β


sistema



particulares

4

Cap

iacutetulo




















43 Ejercicios

Y 431 Sea G =

[a bc d










(minus41)3 lowast[(

143


]2

Y 436 Sea G =

[a aa a





b) iquest[

1 00 1

]isin G





Y 437 Sea G =

[a aa a

]con a isin R



Y 438 Sea G =

[a a + b

a + b b

]tal que ab isin Z


Y 439 Sea G =

[a aminus b

aminus b b

]tal que ab isin Z


Y 4310 Sea G =

[a ab b

]tal que ab isin Z


Y 4311 Sea D =

[a 00 b

]tal que ab isinR



Y 4312 Sea S=

[a b0 d

]tal que abd isin R


iquestEs un campo

Y 4313 Sea S =

[a 00 0

]tal que a isin R


iquestEs un campo

Y 4314 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Z


Y 4315 Sea G =

[a b

2b a

]con ab isin Q


4318)


Y 4317 Sea Z[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Z

iquestEs (Z[radic


Y 4318 Sea Q[radic

2] =

a + bradic

2 tal que ab isin Q








2 esp


p2 minus rq2

radic2 Observe que








Z2+)

y(

Z3+)














queH =


es subgrupo de G



y se sabe que(




Z6+ middot)



mZ =







y se sabe que


)es grupo demuestre


Y 4328 SeaH=


2m

3k con mk isinZ


(Qlowast middot)





Z2+)

y(

Z3+)







Y 4331 Sea(Glowast




)es subgrupo de

(Glowast


Y 4333 SiW =

x isinR tal que x =

5k

7m con km isinZ









1) (Z4+ middot)



ab cd









Z3+)

y(

Z2+)







Z4+)








5

Cap

iacutetulo
















1) 0 middot v = 0V

2) α 0V = 0V

3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V

4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w



52 Ejercicios


demues-





n

sumi=1〈A〉ii = 0


Y 524 SeaH=




1) W =

[a bc d


V =M2 (R)

2) W =


V = P2 (R)


V = R2


es subespacio de R4



2) H =




2) W =

[a bc d


V =M2 (R)


Y 529 SiW =


demues-







demues-




n

sumi=1〈A〉ii = 0






Demues-




Y 5216 Sea V =



Y 5217 SeaW =

[0 minusaa b

]tal que ab isinR




v1v2 vk



sumi=1






v1v2 vk

si W =

w tal que w =k

sumi=1

aivi ai isin R

EscribimosW = Gen

v1v2 vk

Base Sea B =

v1v2 vk


Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)

=

e1e2 en




[1 00 0

][

0 10 0

][

0 01 0

][

0 00 1






Teorema 51


2) Si V = Gen

v1v2 vk


3) Si V = Gen

v1v2 vk


]es k entonces

diacutem V = k







a) B = (123) (111)

b) B = (123) (111) (201)

c) B = (123) (111) (147)




c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2



f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4




x x2 x3 + x + 1

es li


[1 2 minus34 0 1

][

1 3 minus46 5 4

][

3 8 minus1116 10 9

]es linealmente




[1 01 1

][

0 00 2

]es li





Deacute un con-




a) u = (111) v = (220) y w = (300)

b) u = (110) v = (011) y w = (101)






a) V =

[0 aminusa b

]tal que ab isinR

b) W =





f) W =

[minusb aa b

]tal que ab isinR

g) W =


h) W =

[a bc a

]tal que ab c isinR



Y 5415 SeaW = Gen




Deacute una base

paraW


Deacute una base

de Wperp =




De-



Y 5420 Sea W =





[a bc d


es subespacio de



10minus2

y A2 =

253


4106
















De-



Si sabe-


Y 5431 Si A =










[a bc d


es subespacio de

M2 (R) determine





[1 minus12 0

]A = A

[1 minus12 0

]es subespacio de

M2 (R)





v1v2 vn


la baseB son





Wolfram CDF Player



[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)









a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B




[a bc d


es


[minus3 10 0

][

1 0minus4 1

] Para



)]B

b)[(


)]B

6

Cap

iacutetulo





Teorema 61



b) T (0) = 0





Teorema 62




3) 0V isin NuclT

























a bc d

])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d







0V

y el conjunto de

vectores

v1v2 vn


T (v1)T (v2) T (vn)






(2minus x2 + x





x23xminus 2x23 + x












Y 6216 Sea A =

[1 13 2







v = a1e1 + a2e2 + + anen



T (v) =

a1T (e1) T (e2) T (en)

a1

a1

a2

an


AT =

a1[T (e1)

]C2

[T (e2)

]C2

[T (en)

]C2

a1



]C2

= AT[v]C1



[T]B2

B1=

a1[T (v1)

]B2

[T (v2)

]B2

[T (vn)

]B2

a1

En este caso [

T (x)]

B2= [T ]B2

B1[x]B1





= [I]B2B1[x]B1


[T S ]B3B1= [T ]B3

B2[S ]B2

B1




B1

)minus1=[T minus1

]B2

B1


T =[T minus1

]C


B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)


b) Calcule [T ]B2B1




b) Calcule [T ]B2B1



B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)


a) Calcule [T]BB





B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)








b) Calcule [T ]B2B1




1 x22x





[T(2xminus x2 + 5

)]B2


a bc d




2) Calcule T([

1 22 3











x1 x2 y B2 =



B1



T(

2minus 3x + 4x2)]








minus123


B1


B1


B1

Y 6413 Sea B =

ex sen x ex cos x













[T ]C2C1



0



T (v1)T (v2) T (vn)



sabe que [T]DB =

[1 02 minus1



2) Encuentre [T]B





asociado a λi






Cminus1AC = D




0 λ2

0 λn





Ademaacutesn

sumi=1

dim Eλi = n




[2 minus4minus4 2

]Determine




0 0 minus21 2 11 0 3




[4 0minus4 2




1 minus14

c 0




A =




5 4 24 5 22 2 2




Y 667 Sea A =









a) A =

[1 24 3

]

b) A =


c) A =

1 1 11 1 11 1 1

d) A =

1 1 01 1 00 1 2






BB


BB







]T


]T


]T

7

Cap

iacutetulo





I Examen Parcial




Solucioacuten


2X A = BT + X AT A

X(

2Aminus AT A)

= BT

X(

2I minus AT)

A = BT

X = BT Aminus1(

2I minus AT)minus1


A =

[2 31 2

]B =

[1 00 1

]


Solucioacuten

Aminus1 =

[2 minus3minus1 2

]y(

2I minus AT)minus1

=

[0 minus13minus1 0


(2I minus AT

)minus1=

[3 minus23minus2 13

]


)T= B +

(AT)2

Solucioacuten


〈(


= 〈BT〉ji +n


= 〈BT〉ji +n


= 〈B〉ij +n



(AT)2〉ij

= 〈B +(

AT)2〉ij






∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|

∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2

∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1

∣∣∣= |D| |C|2 |D|

∣∣∣(4C)minus1∣∣∣

= |D| |C|2 |D| 1|4C|

= |D|2 |C|2 1|4C| =

12


2ax + ay = b



Solucioacuten


[a minus3

2a a



[a minus3 1

2a a b



]=rArr

axminus 3y = 1


x = a+3b

a(a+6)

y = bminus2a+6



0 = b=rArr

Si b = 0 =rArr S =

(xminus 1

3

) x isin R




0 = bminus 2

there4

Si b = 2 =rArr S =

(xminus 1

3 minus 2x)

x isin R






Solucioacuten







∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2


minus6


Solucioacuten

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0


∣∣∣∣∣∣∣∣=


∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0

2 minus1 4



= 1

6) Sea G =

[a b

2b a

]tal que ab isinQ





Solucioacuten



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1

2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1

]=

[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b

2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1

]isin G



a b2b a

][

a1 b1

2b1 a1

]isin G

[a b

2b a

]middot[

a1 b1

2b1 a1

]=

[aa1 + b2b1 ab1 + ba1

2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1

]=

[a1a + b12b a1b + b1a

2b1a + a12b 2b1b + a1a

]=

[a1 b1

2b1 a1

]middot[

a b2b a

]



H =

[a 00 a

]tal que a isinQ

Solucioacuten



]+

[b 00 b

]=

[a + b 0

0 a + b

]isin H y

[a 00 a

][b 00 b

]=

[ab 00 ab

]isin H



0 =

[0 00 0

]isin H Y si

[a 00 a

]isin H =rArr

[a 00 a

]prime=

[minusa 00 minusa

]isin H


I =[

1 00 1

]isin H minus 0 Si

[a 00 a


[a 00 a

]prime=

[ 1a 00 1

a

]isin H minus 0






II Examen Parcial


1) Sea W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R


Solucioacuten


0 00 00 0

isinW


u =

a ba + b 0

0 c

isin W y v =

d ed + e 0

0 f



αu + v = α

a ba + b 0

0 c

+

d ed + e 0

0 f

=


0 αc + f

=

αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0

0 αc + f




Solucioacuten


W =

a b

a + b 00 c

tal que ab c isin R

=

a 0

a 00 0

+

0 bb 00 0

+

0 00 00 c

tal que ab c isin R

=

a

1 01 00 0

+ b

0 11 00 0

+ c

0 00 00 1

tal que ab c isin R

Entonces W = Gen

1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1


Solucioacuten


1 0

1 00 0

0 11 00 0

0 00 00 1




1 01 00 0

+ a2

0 11 00 0

+ a3

0 00 00 1

=

0 00 00 0

a1 a2

a1 + a2 00 a3

=

0 00 00 0

=rArr

a1 = 0a2 = 0a3 = 0




a) [2 puntos] W =

[a bab a

]tal que ab isin R

W 6le M2times2

Solucioacuten

Si[

a bab a


debe cumplir α

[a bab a


α

[a bab a

]6isin W pues

[αa αbαab αa

]6=[


]



W 6le R3

Solucioacuten


c) [2 puntos] W =


W 6le P2(R)

Solucioacuten






2

70

0minus3minus6

y el vector u =

6λ

712β

con λ β isin R


minus3minus12minus3

isin Gen(A)

Solucioacuten



a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

minus3minus12minus3

=rArr

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

minus3minus12minus3

=rArr

2α = minus3


=rArr

a1 = minus3

2

a2 =12


Solucioacuten


a1

270

+ a2

0minus3minus6

=

6λ

712β

es decir

2a1

7a1 minus 3a2

minus6a2

=

6λ

712β

Entonces

2a1 = 6λ


=rArr

a1 = 3λ


=rArr


7λ + 2β =73


Solucioacuten







=

a1u + a2v +a3


=

(a1 + a4)u + (a2 +

a3


there4 W = Genuv




6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0

=rArr

α2 = 0α1 = 0










v1 v2 v3 v4

1 0 0 10 1 1

2 10 0 0 00 0 0 0


12 v2 y que v4 = v1 + v2

5) ConsidereW =


a + 2bminus c = 0


Solucioacuten









Solucioacuten

W =

a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)

=

a(1 + x2)+ b


there4 W = Gen

1 + x2 x + 2x2

Falta demostrar que


a1(1 + x2)+ a2



=rArr

a1 = 0a2 = 0

a1 + 2a2 = 0=rArr

a1 = 0a2 = 0

Por lo tanto como



Solucioacuten




α(1 + x2)+ β



α = 2β = minus5


α = 2β = minus5






III Examen Parcial



a bc d





Solucioacuten

a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)

T([

a bc d

]+ α

[aprime bprime

cprime dprime

])= T






= T([

a bc d

])+ αT

([aprime bprime

cprime dprime

])

b) T([

a bc d


NclT =

[0 cc d

]isin M2(R)

=

c middot[

0 11 0

]+ d middot

[0 00 1

]con cd isin R

= Gen[

0 11 0

][

0 00 1

]


El conjunto[

0 11 0

][

0 00 1

]es li pues a1

[0 11 0

]+ a2

[0 00 1

]=

[0 00 0

]=rArr a1 = a2 = 0

(uacutenica)

there4[

0 11 0

][

0 00 1




x2 x





[a bc2 c

]

Solucioacuten

a) T (000) = (010) 6= (000)


[αa αbαc2 αc

]6=[

αa αbα2c2 αc







Solucioacuten

a)

[T ]CB1=

[ [T (1000)

]C

[T (0100)

]C

[T (1110)

]C

[T (00minus11)

]C

]=

[1 0 0 minus10 2 0 1

]






B1[(xyzw)]B1 =

[1 0 0 minus10 2 0 1


w + zw

=

[xminus zminus 2w

2yminus 2zminus w

]

d) [T ]B2B1=[ [T (1000)

]B2

[T (0100)

]B2

[T (1110)

]B2

[T (00minus11)

]B2

][T (1000)

]B2

=

[10


[T (0100)

]B2

=

[2minus2


[T (1110)

]B2

=

[00


[T (00minus11)

]B2

=

[0minus1


there4 [T ]B2B1=


]


0 1 00 0 127 minus27 9




Solucioacuten

a) p(λ) =

∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0


∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27



c) Aminus 3I =


27 minus27 6





minus3x +y = 0


y3

E3 =

y(

13

13)

tal que y isin R

=rArr E3 = Gen

(13

13)


para E3

es(

13

13)








Solucioacuten





=n


=n


=n


n




Solucioacuten







] B =

1 0minus2 1minus1 2

y C =


] determine

la matriz X

Solucioacuten


ABminus C =

[4 minus12 minus1

]minus[


]=

[1 15 6


1 1 1 05 6 0 1


[1 1 1 00 1 minus5 1



]there4 X =

[6 minus1minus5 1

]


3) [2 puntos] G =

[a bb a

]con ab isin Q



Solucioacuten


Si A =

[a bb a





Solucioacuten





1 2 a 0




1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0

Tenemos

xminus 2y + 3z = 0


x = y

z =y3

5) SeaW =

[a bc d



Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

6= empty


[a aa d

]+ α

[p pp q

]=


]isin W


Solucioacuten

W =

[a aa d

]tal que ad isin R

=

a[

1 11 0

]+ d

[0 00 1

]tal que ad isin R


1 11 0

][

0 00 1





Solucioacuten


minus3 a 10 0 a



Solucioacuten





B1


Solucioacuten




[T]B2

B1=

0 5 10 5 10 5 1


]B1=

xminus ya2

xminus z

Solucioacuten

[(xyz)

]B1=

xminus yy

xminus z


]B2


B1

Solucioacuten

[T (123)

]B2=[T]B2

B1

[(123)

]B1=

0 5 10 5 10 5 1

minus12minus2

=

888





Solucioacuten

















8

Cap

iacutetulo



131 iumlY A13 =

693

132 iumlY XXT =

1 0 30 0 03 0 9

XT X = 10

133 iumlY

x + 2y + 3z2x + 3y + 4z

4zminus x

134 iumlY



[a aa a

] C =

[1 23 4

]y D =

[x yy x

]con x 6= y

136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2

137 iumlY A =

[a b

2b2 a

]

138 iumlY A =

1 0 02 2 03 3 3

B =

1 2 30 2 30 0 3

y AB =

1 2 32 8 123 12 27

139 iumlY A =


1 minus1 1

B =


y AB =








1312 iumlY



1 si i = j0 si i 6= j

〈〈〈IA〉〉〉ij =n



〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji

=n


=n


= 〈〈〈BT A〉〉〉ij


sumk=1

[n

sumh=1

aij

]=

n

sumh=1

[n

sumk=1

aij

]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji

=n


=n

sumk=1

[n



=n

sumh=1

[n


]〈〈〈AT〉〉〉jh

=n






q






1313 iumlY

1314 iumlY

1315 iumlY







sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +

n

sumk=i+1

〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j



4)5)

1316 iumlY


1317 iumlY

1)2) AT(2I + B)3)4)5)

1318 iumlY

1319 iumlY

1320 iumlY

1321 iumlY


1322 iumlY

1323 iumlY








Aminus AT)T

5)

6)

1324 iumlY

1325 iumlY


151 iumlY

1) A =

[1 00 1

]

2) B =

1 0 00 1 00 0 1

3) C =

1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0

4) D =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0

16 Matriz inversa

171 iumlY

1) Aminus1 =



2) Bminus1 =

1 1 10 1 10 0 1

3) Cminus1 =


4) Dminus1 =

1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0


6) Aminus1 =

1k

0 0 0

1k3 minus 1

k21k

0

minus 1k4

1k3 minus 1

k21k

172 iumlY

173 iumlY


b)[minus1 0

53 minus 1

3

]

174 iumlY



177 iumlY





1712 iumlY X =


]







ABT =



minus 13 minus 1

3 minus 16

0 minus 13 minus 1

20 0 1

2

X =

23 minus 1

313

0 13 minus1

minus 13 minus 1

343

1714 iumlY

1715 iumlY

1716 iumlY

1717 iumlY

1718 iumlY

1719 iumlY

1720 iumlY


1722 iumlY

1723 iumlY

1724 iumlY

1725 iumlY

1726 iumlY



221 iumlY

1) Det(A) = minus3






2minus 2a



223 iumlY



0 0 1


226 iumlY


228 iumlY

229 iumlY



∣∣ = minus1500



108



|B| =23

10

2214 iumlY

2215 iumlY

2216 iumlY

2217 iumlY

2218 iumlY

2219 iumlY12


2221 iumlY

2222 iumlY

2223 iumlY

2224 iumlY

1) |B| = minus12

2) |C| = 3

2225 iumlY

1) Det(3A) = 135


3) Det(B) =

2226 iumlY

2227 iumlY

2228 iumlY





321 iumlY

1)

2) x =1015

y = minus535

z = minus35



xy


323 iumlY

324 iumlY

325 iumlY



Det(A) =


]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr

b = 0a = minusb



ax = 00 = 0

=rArr


there4


[xy

] xy isin R


[0y

] y isin R


bxminus by = 0=rArr

x = y si b 6= 0


there4


[xx

] x isin R


[xy

] xy isin R


326 iumlY


(a2 + 1

)b

a (a2 minus 1)


)y z =




)y z = minus1

2(a2 + aminus 2

)x


αminus 3



329 iumlY


hay solucioacuten



z = minus11x32


3211 iumlY

3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =


3213 iumlY

3214 iumlY


2)



w =

y =1


2(a + 1)

3215 iumlY

3216 iumlY

3217 iumlY

3218 iumlY

3219 iumlY



431 iumlY






432 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


12

12lowast a = a

d) Inversos


12

=rArr aprime =14a

pues a 6= 0

14alowast a = 2

14a

a =12



433 iumlY


b) Asociatividad


c) Neutro


d) Inversos


(1a

minusba

)pues ab 6= 0

(1a

minusba


(1a

minusba

)



434 iumlY




b) Asociatividad









6= minus1





(minus3

12

)


12


(minus6minus a

14b



143



[(1

43

)lowast(minus13

172


(minus9

127

)2=

(minus18

16729

)

436 iumlY

a)

b)


c)

d) E =

[ 12

12

12

12

]isin G

e) A =

[ 14a

14a

14a

14a

]isin G

43 Anillos y campos

437 iumlY

438 iumlY

439 iumlY

4310 iumlY

4311 iumlY

4312 iumlY

4313 iumlY

4314 iumlY


Cerradura[

a b2b a

][aprime bprime

2bprime aprime

]=



]isin G


[a b

2b a

]=rArr Aminus1 =


a2minus2b2

minus 2ba2minus2b2

aa2minus2b2

]


ab6=radic

2

4316 iumlY

4317 iumlY

4318 iumlY

4319 iumlY

4320 iumlY

4321 iumlY


4322 iumlY

4323 iumlY

4324 iumlY

4325 iumlY

4326 iumlY

4327 iumlY

4328 iumlY

4329 iumlY

4330 iumlY

4331 iumlY

4332 iumlY

4333 iumlY

4334 iumlY

4335 iumlY

4336 iumlY

4337 iumlY

4338 iumlY

4339 iumlY

4340 iumlY

4341 iumlY

4342 iumlY

4343 iumlY



521 iumlY

522 iumlY

523 iumlY

524 iumlY

525 iumlY

1) W =

[0 bb d


v + αu =

[0 b1

b1 d1

]+ α

[0 b2

b2 d2

]=

[0 b1 + αb2

b1 + αb2 d1 + αd2

]



2) W =







v + αu = (a + αb)(12) isin W

526 iumlY

527 iumlY

528 iumlY





529 iumlY

5210 iumlY

5211 iumlY

5212 iumlY

5213 iumlY

5214 iumlY

5215 iumlY

5216 iumlY

5217 iumlY


541 iumlY

a)

x + 2y + 3z = 0

x + y + z = 02x + z = 0


b)

x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0



542 iumlY

543 iumlY





a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0

que tiene solu-


545 iumlY

546 iumlY



[1 01 1

]+ a2

[0 00 1

]= 02times2 =rArr

a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0

de donde obtenemos

a1 = a2 = 0

548 iumlY




(1minus10) (011)


(210) (minus101)

5411 iumlY

5412 iumlY

5413 iumlY

5414 iumlY


es un conjunto de 4



6= 0 entonces




A =


1 2 0


1 2 10 4 minus40 0 20 0 0



210) (minus101)

Ademaacutes este




2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0






5418 iumlY

5419 iumlY

5420 iumlY

5421 iumlY


[a aminus2d d

]= a

[1 10 0

]+ d

[0 0minus2 1

] Por tanto

W = Gen[

1 10 0

][

0 0minus2 1

]


[1 10 0

]+ a2

[0 0minus2 1

]=

[0 00 0



5423 iumlY

5424 iumlY

5425 iumlY

5426 iumlY

5427 iumlY

5428 iumlY

5429 iumlY

5430 iumlY

5431 iumlY




5434 iumlY

5435 iumlY


561 iumlY

562 iumlY

a) [(minus451)]B =(

5minus 154 3

2

)b)


)d) [(ab a)]B =

(12 (bminus 5a) 1

4 (5aminus b) a)

563 iumlY

a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)



564 iumlY


)]B= (2minus3)

b)[(


)]B= (a2c)



T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)

= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)


= T2(u)

622 iumlY




625 iumlY

626 iumlY

627 iumlY

628 iumlY

629 iumlY

6210 iumlY

6211 iumlY

6212 iumlY

6213 iumlY



T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)

= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)

= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)





= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)



T(a + bx + cx2) = 0


=rArr


=rArr c = 2b



bx + 2bx2b isinR






El conjunto B1 =

x + 2x21 x



(a + bx + cx2) = 0

T(a + bx + cx2) = 0




3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0


sim1 0 minus3

2 00 1 1

2 00 0 0 0

=rArr

a = 3c

2

b = minusc2




6216 iumlY


641 iumlY



T (100) = (101)

T (010) = (011)

T (001) = (001)

=rArr AT =

1 0 00 1 01 1 1

b) [T ]B2B1




=rArr [T ]B2B1=

1 0 1minus1 1 01 1 3


[T (113)]B2 =

1 0 1minus1 1 01 1 3

minus2minus23

=

105

642 iumlY

643 iumlY

a) [T]BB =

2 0 00 1 00 0 0

b) [T ]CB =

2 1 06 1 00 0 0

c) [(xyz)]B =

(yminus x

2

3xminus y2

z)


2 1 06 1 00 0 0

yminusx2

3xminusy2

z

=

y+x

25y+3x

2

0



T(xyz) = T[

yminus x2

(130) +3xminus y

2(110) + z (001)

]=

yminus x2

T(130) +3xminus y

2T(110) + z T(001)

=yminus x

2(260) +

3xminus y2

(110) + z (000)

=

(y + x

2

5y + 3x2

0)

644 iumlY

a) [T]BB =

2 0 10 3 20 0 minus1

y [T]CB =

2 0 10 3 10 0 1




2 0 10 3 10 0 1

xy + zminusz

=


645 iumlY

646 iumlY

647 iumlY Como T([

1 00 0

])= 2x2 minus x T

([0 10 0

])= x T

([0 01 0

])= 1 T

([0 00 1

])= 1


1) AT =

[[T([

1 00 0

])]C2

[T([

0 10 0

])]C2

[T([

0 01 0

])]C2

[T([

0 00 1

])]C2

]

AT =

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

2)[T([

1 22 3

])]C2

=

0 0 1 1minus1 1 0 0

2 0 0 0

1223

=

512

es decir T([

1 22 3

])= 5 + x + 2x2

648 iumlY

649 iumlY


6410 iumlY

6411 iumlY

6412 iumlY

6413 iumlY

6414 iumlY

6415 iumlY

6416 iumlY

6417 iumlY


661 iumlY

662 iumlY


∣∣∣∣∣∣0 0 minus2

1 2 11 0 3

minus λ

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

=rArr


∣∣∣∣∣∣ = 0


1 3minus λ

∣∣∣∣ = 0



)= 0



b) Sea u =

abc




Au = λu

=rArr

0 0 minus21 2 11 0 3

abc

= 2

abc

=rArr

minus2ca + 2b + c

a + 3c

=

[b2c

]

=rArr

minus2c = 2a

a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c

=rArr

minus2aminus 2c = 0

a + c = 0a + c = 0

=rArr a = minusc


minusc

bc

tal que b c isinR


minus1

01

010



663 iumlY



E2 Resolvemos[

2 0minus4 0

][xy

]=

[00


E4 Resolvemos[

0 0minus4 minus2

][xy

]=

[00


664 iumlY

665 iumlY

666 iumlY

667 iumlY

668 iumlY





b) (lowast)


669 iumlY

a) Siacute C =[u v

]=

[1 1minus1 2

]y D =

[minus1 00 5

]





=

1 0 00 1 00 0 2

c) C =


y D =

0 0 00 0 00 0 3



6610 iumlY

a) [T1]BB =

[minus1 00 5

]

b) [T2]BB =

1 0 00 1 00 0 2

c) [T3]BB =

0 0 00 0 00 0 3

6611 iumlY



B =

5 1 30 5 20 0 5





232 minus 7

2112

6 53

143

minus 72

116

116

tiene



B =





1 0 00 minus2 00 0 2

y P =


entonces

A = Pminus1DP =16


Matrices



Ejercicios


Ejercicios

Matriz inversa


Ejercicios

Determinantes


Ejercicios



Ejercicios


Grupos y subgrupos

Anillos y campos

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Preliminares

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios






Bibliografiacutea


escuela de matemática instituto tecnológico de costa rica

Documents