escuela de ingeniería y ciencias desarrollo de modelos de
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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Escuela de Ingeniería y Ciencias
Desarrollo de modelos de inventarios EPQ sin faltantes y EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono dependientes de
la demanda.
Tesis presentada por
Itziar Gamboa Díaz
Sometida a la
Escuela de Ingeniería y Ciencias
Como un requisito parcial para obtener el máster académico de
Máster en Ingeniería Industrial
Con
Especialidad en Organización Industrial
Monterrey Nuevo León, 13 de Mayo de 2016
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ÍNDICE
1. Motivación................................................................................................................. 3
2. Objetivos ................................................................................................................... 4
3. Marco teórico ............................................................................................................ 5
3.1. Definiciones de interés ...................................................................................... 5
3.2. Revisión de la bibliografía ............................................................................... 11
4. Matemática/Software empleado ............................................................................ 14
4.1. Modelo de inventarios EPQ considerando emisiones de carbono ................. 14
4.2. Modelo de inventarios EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono ......................................................................................................................... 15
5. Modelo de inventarios EPQ considerando emisiones de carbono ......................... 18
5.1. Introducción .................................................................................................... 18
5.2. Notación .......................................................................................................... 19
5.3. Desarrollo del modelo ..................................................................................... 19
5.4. Ejemplo numérico del modelo EPQ considerando emisiones de carbono ..... 22
6. Modelo de inventarios EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono ... 24
6.1. Introducción .................................................................................................... 24
6.2. Notación .......................................................................................................... 25
6.3. Desarrollo del modelo ..................................................................................... 25
6.4. Ejemplo numérico considerando emisiones de carbono ................................ 27
7. Conclusiones ............................................................................................................ 30
8. Líneas de futuro....................................................................................................... 31
9. Referencias .............................................................................................................. 32
Apéndice A: Modelo de inventarios EPQ: desarrollo expresión CO2(Q) ........................... 34
Apéndice B: Modelo de inventarios EPQ: desarrollo expresión Pr(Q) ............................. 35
Apéndice C: Código del programa modelo EPQ (función CO2(Q)) ................................... 43
Apéndice D: Código del programa modelo EPQ (función Pr(Q)) ...................................... 44
Apéndice E: Código de programa modelo EOQ con faltantes (función CO2(Q,b)) ........... 45
Apéndice F: Código del programa modelo EOQ con faltantes (función de Pr(Q,b)) ........ 46
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1. Motivación
En la actualidad, la logística, se abre camino como uno de los aspectos más
importantes de las empresas para conseguir el éxito. Se debe llevar a cabo una
adecuada gestión del flujo de información en toda la cadena de suministro,
interconectando departamentos y áreas funcionales, y es aquí, dónde la gestión de
inventarios aparece como un punto crítico para la adecuada gestión de la cadena de
suministro.
Hoy en día, los clientes precisan de los productos al instante, sin esperas,
cumpliendo con sus requerimientos específicos. Para que esto pueda ocurrir, las
empresas deben poder contar con sus productos listos cuando el cliente los demande.
Es por ello, que toda empresa debe disponer de un nivel de inventarios adecuados
para poder hacer frente a la demanda. Pero, ¿se debe contar con grandes cantidades
de inventarios y transportarlos con menor frecuencia, o por el contrario, es preferible
tener menores cantidades de inventarios y transportarlos con mayor frecuencia?
Es aquí, dónde aparece el principal trade off que se estudia en el presente trabajo.
Lo que ocurre es que se tiene una función de emisiones de carbono vinculada al
almacenaje y al transporte de inventarios. Como acabamos de ver, estos aspectos
están confrontados. Si la empresa ordena grandes tamaños de lote, el inventario que
tiene es mayor y por tanto la parte de las emisiones vinculada a almacenaje aumenta.
Al mismo tiempo la parte de emisiones vinculada a transporte disminuye (menor
frecuencia). Por el contrario cuando se tiene tamaños de lote menores, el inventario
también es menor, y por tanto, las emisiones vinculadas a almacenaje disminuyen,
mientras que las emisiones vinculadas a transporte aumentan (por el aumento de
frecuencia).
Por ello, para encontrar el mejor punto de operación entre las dos alternativas
surge la motivación de realizar este estudio, a partir del artículo de Hovelaque y
Bironneau (2015). En este artículo, se lleva a cabo el estudio del trade off para un
modelo clásico de inventarios EOQ con demanda dependiente de las emisiones de
carbono. En el presente trabajo se extiende el estudio a otros dos modelos de
inventarios clásicos, como son el modelo EPQ y el modelo EOQ con faltantes.
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2. Objetivos
Tras realizar una revisión de la bibliografía disponible, se decide centrar todos los
esfuerzos en torno a tratar de desarrollar un modelo de inventarios, que además de
reducir costos, maximizando el beneficio, tenga en cuenta aspectos
medioambientales.
Hoy en día numerosas empresas y compañías están empezando a preocuparse por
el medio ambiente y el daño que están produciendo con algunas de sus políticas.
Además en logística, y en concreto en gestión de inventarios, tal y como se ha visto en
la revisión de la literatura, se está demostrando que el impacto es importante.
Por todo ello, se decide a partir del artículo de Hovalaque y Bironneau (2015),
desarrollar otros dos modelos clásicos de inventarios teniendo en cuenta las emisiones
totales de carbono vinculadas a la entrega y almacenamiento de productos.
El primer objetivo que se plantea es, a partir de las condiciones expuestas en el
artículo anteriormente nombrado, desarrollar el modelo de inventarios EPQ teniendo
en cuenta las emisiones de carbono. Obtener una expresión matemática para
determinar el tamaño óptimo de lote, Q, para las dos funciones objetivo que se
evalúan. Por un lado, maximizar el beneficio de la empresa (en cuanto a costes de
inventarios), y por otro, minimizar las emisiones totales de carbono vinculadas a la
entrega y almacenamiento de productos.
El segundo objetivo es, desarrollar un programa matemático para el modelo de
inventarios EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono, mediante el
software de optimización, LINGO. El programa tiene que ser capaz de resolver el
problema, proporcionando el valor óptimo del tamaño de lote y la cantidad de
faltantes óptima a permitir, para las mismas funciones objetivo que el modelo
anterior. Es decir, maximizar el beneficio y minimizar las emisiones totales de carbono.
Estos son los objetivos del presente trabajo, se desarrollan a continuación.
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3. Marco teórico
A continuación, se plantean algunas definiciones relevantes acerca del tema
tratado en el presente trabajo. También se lleva a cabo una revisión de la bibliografía
para explorar la actualidad en modelos de inventarios y poder concluir una línea de
investigación para realizar el proyecto.
3.1. Definiciones de interés
En este apartado se desarrollan algunas definiciones y conceptos de interés para poder comprender todo lo que se trata en el trabajo.
En primer lugar, se debe definir qué es un inventario y la importancia que tienen en
las diferentes empresas. Se puede definir inventario (Solís, 2012) como un conjunto de artículos acumulados o almacenados en espera de una posterior utilización, es decir, de una posterior demanda. La principal función del mismo es adecuar un flujo de producción y un flujo de demanda de diferente frecuencia temporal. Se trata de un aspecto de gran importancia debido a la obligación de coordinar las necesidades de producción con el resto de áreas de la empresa. Sin embargo, existe una gran dificultad a la hora de equilibrar las necesidades, ya que normalmente, estas suelen estar contrapuestas entre departamentos.
Existen diferentes clasificaciones de inventarios. Se comienza la clasificación
diferenciándolos según su naturaleza. En este caso se pueden distinguir entre inventario de materia prima, de productos en curso o semiterminados, de productos terminados y material de envasado y embalaje.
Otra posible clasificación, según su categoría funcional:
Inventario de ciclo: es aquel inventario que proviene del lanzamiento de una orden de pedido de un tamaño superior a las necesidades del momento. Se presenta periódicamente, y por ello su nombre. Da lugar a un comportamiento cíclico.
Inventario de seguridad: inventario que se tiene como protección frente a la incertidumbre de la demanda y del plazo de entrega. Con él se pretenden evitar posibles rupturas de stock, pudiendo satisfacer de este modo la demanda.
Inventario estacional: su función es hacer frente a un aumento de la demanda en un periodo concreto de tiempo.
Inventario de tránsito: se trata de los artículos que se encuentran circulando entre las diferentes fases de producción y distribución.
Existen numerosas ventajas de disponer de buenos niveles de inventarios. Algunas
de ellas son: ayudan a reducir tiempo de entrega, aumentan la flexibilidad, reducen costes de pedido, reducen costes de ruptura de stock, así como costes de adquisición y producción y mejoran la calidad. Sin embargo, no todo son ventajas, también se cuentan con varios inconvenientes como son: incremento del coste de
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almacenamiento, incremento del coste financiero, posible obsolescencia de almacenado, ocultación de problemas y riesgos derivados de situaciones imprevistas.
Por otro lado, es esencial que toda gestión de inventarios responda a dos
preguntas básicas:
¿Cuánto pedir?
¿Cuándo realizar el pedido? Para poder responder a estas preguntas se deben tener en cuenta varios factores:
naturaleza de la demanda (conocida o aleatoria, dependiente o independiente), tiempo de suministro (conocido o aleatorio) y costes de inventarios (incluye coste de pedido, coste de adquisición y coste de almacenamiento de inventarios).
Así en el presente trabajo, se desarrollan dos modelos para responder a las
preguntas anteriores considerando demanda conocida, cantidad fija de pedido y periodo fijo.
El primero de los modelos que se presenta es el EPQ o “Economic Production
Quantity”. Este modelo permite determinar la cantidad de productos a fabricar de tal forma que el coste total del sistema de inventarios sea mínimo.
Algunos de los supuestos que se establecen para definirlo son: razón de producción
constante y conocida, razón de demanda constante y conocida, razón de producción mayor que la razón de demanda, sistema de producción no genera defectuosos, tiempo de preparación de lote constante y conocido, horizonte de planeación infinito, no se admiten faltantes, los costes son constantes, tampoco existen entregas parciales, etc.
Su representación es la siguiente:
Imagen 1: Modelo de inventarios clásico EPQ
El cálculo del sistema total de inventarios, está formado por varios costes:
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Por tanto el coste total es:
Dónde:
A: coste de corrida (€/corrida) D: razón de demanda (uds/ud de tiempo) Q: tamaño de lote (uds) h: coste unitario de inventario (€/ud/ud de tiempo) P: razón de producción (uds/ud de tiempo)
Aplicando los conceptos de optimización de primera y segunda derivada
(minimizando la función coste total), se obtiene el tamaño óptimo de lote para este modelo:
√
El segundo de los modelos que se presenta es el EOQ (“Economic Orden Quantity”)
con faltantes. El objetivo del modelo es determinar la cantidad de productos a ordenar de tal forma que el coste total del sistema de inventarios sea mínimo, permitiendo la existencia de faltantes (diferencia con el EOQ clásico). Este sistema se da cuando la demanda no puede ser satisfecha a tiempo, y por ello se incurre en costes adicionales.
Algunos de los supuestos de este modelo son: demanda constante y conocida, lote
no tiene defectos, tiempo de entrega es constante y conocido, lote se entrega completo, horizonte de planeación infinito, se permiten faltantes, el inventario se reabastece instantáneamente, la cantidad a pedir es constante, etc.
Se puede representar de la siguiente manera:
Imagen 2: Modelo de inventarios clásico EOQ con faltantes
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Al igual que en el modelo anterior, el coste total de sistema de inventarios está formado por varios costes. Estos son:
Por tanto el coste total de este sistema de inventarios es:
Dónde:
A: coste de corrida (€/corrida) D: razón de demanda (uds/ud de tiempo) Q: tamaño de lote (uds) h: coste unitario de inventario (€/ud/ud de tiempo) b: cantidad de faltantes a permitir (uds) costo unitario de faltante (€/ud) costo unitario de faltante(€/ud/ud de tiempo)
Aplicando los conceptos de optimización de primera y segunda derivada
(minimizando la función coste total), se obtiene el tamaño óptimo de lote para este modelo, así como la cantidad óptima de faltantes a permitir:
√
√
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Hasta este punto, únicamente se ha hablado de inventarios, pero en este trabajo, en el desarrollo de los dos modelos de inventarios, se tienen en cuenta otros aspectos, más allá de costes de inventarios. Se tienen en cuenta aspectos medioambientales (que en los modelos clásicos no se tienen), que hoy en día son de gran importancia por los efectos que provocan. En concreto, se tienen en cuenta las emisiones de carbono derivadas del almacenamiento y transporte de los productos. Por tanto, para finalizar este apartado, también se considera necesario tratar el tema de las emisiones de carbono y el impacto de las mismas en el medio ambiente, es decir, los efectos que ocasiona la emisión descontrolada de este compuesto.
Las emisiones de carbono (dióxido de carbono) junto con el vapor de agua, el
metano, el óxido nitroso y los clorofluorocarbones (CFCs) son los denominados gases de efecto invernadero (GEI). Todos ellos contribuyen a que la tierra tenga una temperatura adecuada para el desarrollo de la vida, aumentando la temperatura de la superficie del planeta. Esto es el conocido efecto invernadero.
Sin embargo, en los últimos años, la temperatura de la tierra ha ido aumentando
año tras año de forma muy significativa y alarmante. Esto es debido a un exceso de emisiones de dióxido de carbono, provenientes principalmente de la actividad humana en el consumo de combustible fósiles (carbón y petróleo) que emiten dióxido de carbono. Así, se contribuye al calentamiento global del planeta. Pero, ¿por qué?, y ¿por qué es dañino?
La respuesta es sencilla, se sabe que la mitad de la radiación solar que llega a la
atmósfera penetra en la superficie de la Tierra. El resto es reflejada en la misma atmósfera y retornada al espacio. Esta energía solar que alcanza la superficie de la Tierra calienta el suelo y los océanos, que, a su vez, liberan calor en forma de radiación infrarroja. Los GEI que se encuentran en la atmósfera, absorben parte de esta radiación producida por la Tierra y evitan que se retorne al espacio, enviándola en todas direcciones. Esto hace que la Tierra cuente con una temperatura adecuada para vivir, tal y como se ha comentado anteriormente. Pero con el exceso de las emisiones de GEI, lo que ocurre es que la cantidad de energía emitida por la Tierra que se retorna al espacio disminuye notablemente, y esto ocasiona que la temperatura del planeta aumente considerablemente. Cuantas más presencia de estos gases se tenga en la atmosfera, más rápidamente aumenta la temperatura de la superficie. Es lo que hoy en día está ocurriendo, y es lo que se denomina como calentamiento global o cambio climático.
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Imagen 3: Efecto invernadero, calentamiento global
Por ello, es de gran importancia que todas las instituciones tomen conciencia y
comiencen a implantar medidas para tratar de reducir las emisiones de carbono (GEI). Así, se cree de gran importancia, comenzar a tratar de observar como desde la gestión de inventarios también se contribuye a este fenómeno, y cómo se puede tener en cuenta este impacto en los modelos de inventarios clásicos.
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3.2. Revisión de la bibliografía
Se lleva a cabo una revisión de la bibliografía de los últimos avances en el tema
tratado en el trabajo, es decir, de sistemas de inventarios. Así, se descubre una posible
línea de investigación y se centra el estudio en un área de gran interés como es la
gestión de inventarios teniendo en cuenta la perspectiva del impacto medioambiental.
Uno de los primeros artículos que se examina es el de Darwish (2008). En ese
artículo se generaliza el modelo clásico, EPQ (“Economic Production Quantity”),
proponiendo un modelo con costo de preparación variable. Se desarrollan dos
modelos. Uno de ellos más básico, en el que no se considera el pedido pendiente (o de
faltante), y otro, con este tipo de pedidos. Finalmente, el artículo demuestra como la
relación existente entre el costo de preparación y el tiempo de producción, tiene un
gran impacto en el tamaño óptimo de lote.
Otro artículo, de Skouti, et al. (2014), propone un modelo EOQ (“Economic Order
Quantity”) con faltantes y rechazo de lotes defectuosos. Este modelo tiene en cuenta
el estudio de los efectos de la calidad de la cadena de suministro en el desempeño de
costos. El artículo estudia una alternativa dónde los lotes pueden ser defectuosos, y
como consecuencia se pueden rechazar. En primer lugar presenta un modelo exacto
para el cálculo del coste total esperado y se demuestra su convexidad, para
posteriormente desarrollar los cálculos. Finalmente, se concluye que, si se tiene una
cadena de suministro con calidad perfecta, todas las expresiones se reducen a las del
modelo EOQ clásico.
El artículo que presentan Wee, et al. (2014), trata un modelo de inventarios EPQ
con pedidos pendientes (faltantes) parciales, considerando dos costes asociados a
pedidos pendientes. Se analizan diferentes políticas de inventarios óptimos y se decide
en qué periodo se deben programar. Además se define una tasa de faltante crítico que
se deriva para determinar la solución óptima factible.
Pentico, et al. (2015) propone un modelo EOQ con faltantes parciales. El modelo
asume que la demanda decrece cuando los clientes se ven obligados a dejar pendiente
un pedido. Se analiza como la demanda decrece dependiente del tiempo de espera de
los clientes. Este se modela mediante diferentes funciones, desde las más básicas
(funciones constantes y lineales) hasta las más complejas (funciones no lineales:
exponencial y racional). El artículo estudia si algunas aproximaciones de las funciones
complejas pueden proporcionar soluciones de igual calidad que las funciones
complejas. Todo ello se hace siguiendo un parámetro llamado “resistencia de
faltante”. Los resultados muestran que para valores bajos de este factor, los resultados
de las funciones de aproximación son tan buenos como los correctos, y para valores
altos, se pueden lograr muy buenos resultados mediante el uso de técnicas iterativas.
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El siguiente artículo modela un EPQ con cribado de calidad y reelaboración. Sus
autores Moussawi-Haidar, et al. (2016) en el desarrollo el modelo tienen en cuenta el
tiempo de inspección así como la reanudación. Demuestran que tiene un impacto
significativo en los resultados. Para ello, consideran un proceso de fabricación con
suministro aleatorio y un proceso de selección (se realiza durante y al final de la
producción). Se analizan dos alternativas distintas para tratar los artículos defectuosos.
O bien, se hace un descuento por los mismos, o se vuelven a trabajar.
Zhao, et al. (2015) consideran un problema de planeación de un sistema integrado
de producción, inventarios y distribución. Se tiene una cadena de suministro de
múltiple etapas con horizonte infinito de planeación. Para poner solución proponen
una política de coordinación con un ratio de inventarios óptimo entero. Finalmente se
demuestra que las diferencias de costos, empleando este ratio o los valores reales, no
son significativas.
El siguiente artículo de Al-Salamah (2016) propone un EPQ con calidad imperfecta,
inspección imperfecta, muestreo de aceptación (destructivo y no destructivo) en un
mercado de dos niveles. Se desarrollan y encuentran las expresiones de tamaño
óptimo de lote para las dos situaciones, muestreo destructivo y no destructivo.
Finalmente, también presenta un análisis de sensibilidad.
Battini, et al. (2014) desarrollan un modelo EOQ sostenible (desarrollo matemático
y aplicaciones). Introducen objetivos medioambientales en las políticas tradicionales
de gestión de inventario, dónde se optimiza la función de costos para obtener el
tamaño de lote óptimo. Así se consideran también en la función, aspectos de impacto
medioambiental, y se desarrolla el modelo EOQ sostenible, a partir del clásico. Los
aspectos medioambientales tenidos en cuenta son los relacionados con la gestión de
inventarios, además del transporte de los artículos. Finalmente, ilustran el efecto de
este nuevo modelo sostenible y lo discuten.
El artículo de Fichtinguer, et al. (2015) evalúa el impacto medioambiental de la
gestión integrada de inventarios y almacenes. Se lleva a cabo una investigación del
impacto ambiental de la cadena de suministro centrado en los elementos de
transporte. Se construye un modelo de simulación integrado para examinar la relación
entre la gestión de inventarios y almacenes y el impacto medioambiental. Los
resultados señalan los principales efectos de la gestión de inventarios y almacenes en
la contribución de las emisiones de gases de efecto invernadero.
También desde una perspectiva medioambiental es tratado el artículo de Bazan, et
al. (2015). Este artículo lleva a cabo una revisión de los modelos matemáticos en
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logística inversa y posibles modelos futuros. Se hace revisión de los modelos clásicos
EOQ y EPQ centrados en logística inversa, y especialmente se presta atención a los
aspectos ambientales y a cómo se puede tener en cuenta los efectos que provocan.
Además aparecen indicaciones para poder aplicar a los modelos de logística inversa
para tratar de conseguir una cadena de suministro más “verde” (sin tanto impacto
ambiental).
EL último artículo de Hovelaque y Bironneau (2015) desarrolla un modelo EOQ
contemplando las emisiones de carbono. Las emisiones de carbono son dependientes
de la demanda. El modelo proporciona dos tamaños de lote óptimo, uno que maximiza
la función beneficio del minorista, y el otro, que minimiza la función de emisiones de
carbono vinculada a la entrega y almacenamiento de productos.
Tras las lecturas de los artículos que tienen en cuenta aspectos medioambientales,
se comienza a centrar el trabajo hacia tratar de desarrollar modelos de inventarios
que evalúen y tengan en cuenta el impacto ambiental. Finalmente revisando en
profundidad el último artículo, es cuando se decide desarrollar otros dos modelos de
inventarios que tengan en cuenta las emisiones de carbono, en dónde dichas
emisiones son dependientes de la demanda. Se vio la oportunidad de poder desarrollar
tanto el modelo EPQ como el EOQ con faltantes, y obtener los tamaños de lote óptimo
que, por un lado, uno que maximice la función beneficio, y por otro, el segundo
tamaño de lote que minimice la función de emisiones de carbono.
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4. Matemática/Software empleado
En este apartado se explican los conceptos matemáticos empleados para la
obtención de las expresiones de los tamaños óptimos de lote en los diferentes
modelos de inventarios.
Destacar que en cada uno de los modelos de inventarios, se desarrollan dos
expresiones del tamaño óptimo de lote, correspondientes a la optimización de las dos
funciones objetivo que se proponen. Por un lado, se quiere minimizar la función de
emisiones totales de carbono vinculadas a la entrega y almacenamiento de productos.
Por otro, se busca maximizar la función de beneficio.
A continuación se desarrollan los conceptos matemáticos empleados para cada
modelo de inventarios.
4.1. Modelo de inventarios EPQ considerando emisiones de carbono
Tal y como ya se ha explicado, se deben optimizar dos funciones objetivo
diferentes en cada uno de los modelos de inventarios. La primera función objetivo a
minimizar es la función de emisiones totales de carbono vinculadas a la entrega y
almacenamiento de productos:
Se trata de una función no lineal de una sola variable, por ello se emplea el
desarrollo de la serie de Taylor para obtener las condiciones necesarias y suficientes de
óptimo local. Dicho desarrollo se ha obtenido de Azcárate y Mallor (2015):
es el resto, con
Así, es un óptimo local de la función objetivo a minimizar, sí y sólo sí
| | . Las condiciones necesarias y suficientes por lo
tanto son:
Condición necesaria de primer orden:
Condición necesaria de segundo orden:
Condiciones suficientes: y
Se debe observar que bajo hipótesis de convexidad (es decir, si la función objetivo
es convexa), las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para
garantizar el mínimo global. Este es el caso, la función de emisiones totales de carbono
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vinculadas a la entrega y almacenamiento de productos es convexa, y por tanto, todo
óptimo local que se encuentre, será óptimo global.
La segunda función objetivo a optimizar es la del beneficio. En este caso, se trata
de maximizar la función:
Del mismo modo que se ha hecho anteriormente, por tratarse de una función no
lineal de una sola variable, se desarrolla la serie de Taylor para obtener las condiciones
de óptimo local:
es el resto, con
En este caso, es un óptimo local de la función objetivo a maximizar, sí y sólo sí
| | . Y las condiciones necesarias y suficientes
por lo tanto son:
Condición necesaria de primer orden:
Condición necesaria de segundo orden:
Condiciones suficientes: y
De nuevo señalar, que bajo hipótesis de convexidad de la función objetivo, las
condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para garantizar que el
máximo local, sea también máximo global.
Se puede apreciar que para ambos casos, la condición necesaria y suficiente de
primer orden es la misma, igualar la primera derivada de la función objetivo
correspondiente a cero. Además, a partir de esta expresión igualada a cero, es de
dónde se obtiene la expresión del tamaño óptimo de lote para cada caso.
4.2. Modelo de inventarios EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono
Del mismo modo que ocurría en el modelo anterior, se deben optimizar dos
funciones objetivo. Las funciones a optimizar son las mismas para ambos modelos
(minimizar emisiones totales de carbono y maximizar el beneficio), la diferencia reside
en la expresión de las mismas para cada modelo. En este caso, las funciones objetivo
también son no lineales pero, esta vez, cuentan con dos variables, Q (tamaño óptimo
de lote) y b (número óptimo de faltantes). Esta es la causa del que desarrollo
matemático sea más complicado y bastante tedioso. Por ello se ha decidido resolver
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este problema únicamente mediante software de optimización, ya que así se facilita el
cálculo del tamaño óptimo de lote y el cálculo del número de faltantes óptimo a
permitir.
Aun así, se desarrolla a continuación el cálculo matemático necesario para obtener
las expresiones de tamaño óptimo de lote y del número óptimo de faltantes, para
entender cómo se alcanzan dichos valores.
De nuevo para obtener las condiciones necesarias y suficientes de óptimo local se
procede al desarrollo en serie de Taylor, procedimiento común para las dos funciones
objetivo:
Dónde:
(
)
(
)
Cuando la función objetivo sea minimizar las emisiones totales de carbono
vinculadas a la entrega y almacenamiento del producto:
El punto será óptimo sí y sólo sí
Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes que se derivan son:
Condición necesaria de primer orden:
Condición necesaria de segundo orden:
Condiciones suficientes: y
Por el contrario, cuando la función objetivo sea maximizar el beneficio:
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El punto será óptimo sí y sólo sí
Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes que se derivan son:
Condición necesaria de primer orden:
Condición necesaria de segundo orden:
Condiciones suficientes: y
Destacar que para ambos casos, bajo hipótesis de convexidad, las condiciones de
primer y segundo orden son necesarias y suficientes para garantizar que el mínimo
(función CO2(Q)) y máximo (función Pr(Q)) locales, son también mínimo y máximo
globales.
De nuevo, al igual que ocurría con el modelo de inventarios EPQ, igualando el
gradiente de ambas funciones objetivo a cero y despejando Q y b, se obtienen las
expresiones para estas variables que optimizan su valor, en sus respectivos casos.
Sin embargo, tal y como ya se ha comentado, esta no ha sido la metodología
escogida para la resolución de este modelo. Se ha elegido un software de
optimización, LINGO. Este programa permite la optimización de funciones lineales y no
lineales, de una o varias variables. Permite un modelado sencillo de las expresiones,
presenta opciones interesantes y adecuadas, también cuenta con solucionadores de
gran alcance y extensos documentos de ayuda. Su uso es muy sencillo y claro, y es por
ello que ha sido escogido como el software de optimización para la resolución del
modelo.
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5. Modelo de inventarios EPQ considerando emisiones de carbono
5.1. Introducción
En este trabajo, un minorista compra un producto a un almacén (distribuidor) a un precio r y lo vende a un precio w. Lo hace mediante un único canal definido por una demanda determinística, D, uniformemente distribuida en el tiempo. La política clásica de inventarios determina la función de costes totales del modelo EPQ (“Economic Production Quantity”) como:
Se sabe por diversas publicaciones anteriores, que tanto las operaciones de
transporte, como las de almacenaje contribuyen notablemente al incremento de las emisiones de carbono. La función de las emisiones de carbono vinculadas, por tanto, al transporte y almacenamiento de productos, modelan un trade off entre la cantidad de producto almacenada y la frecuencia de pedido. Esto es, o bien aumentarán las emisiones vinculadas a transporte, disminuyendo las de almacenaje, o por el contrario, aumentarán las emisiones vinculadas a almacenaje, disminuyendo las de transporte.
La función de emisiones de carbono, tras revisar literatura Greenhouse Gas
Protocol (2012), Hua et al. (2011), Hovelaque y Bironneau (2015), queda definida como:
Tal y como se puede observar en la expresión, se tienen en cuenta las emisiones
por pedido (es decir, que se generarán por el transporte de mercancía) y las emisiones por almacenaje (es decir, las generadas por el inventario de los productos) definidas anteriormente. También se destaca que las emisiones debidas a almacenaje aumentan en la medida que lo hace el tamaño de lote, Q, mientras que por el contrario, las emisiones de transporte disminuyen.
Por otro lado, señalar que el tamaño óptimo de lote, estará comprendido entre el
valor calculado con la política del clásico modelo EPQ, y el valor que proporcione las mínimas emisiones de carbono.
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5.2. Notación
En este apartado se presenta la notación empleada para el desarrollo del modelo
de inventarios EPQ:
Q: Tamaño óptimo de lote (uds) D(Q): Demanda determinística dependiente de las emisiones de carbono (uds/ud de tiempo) Emisiones de carbono Pr(Q): Beneficio (€) P: Razón de producción de producto (uds/ud de tiempo) Demanda máxima de mercado(uds/ud de tiempo) Sensibilidad al precio : Sensibilidad a las emisiones de carbono (sensibilidad ambiental) w: Precio de venta del producto (€/ud) e: Unidades de carbono emitidas vinculadas al número de pedidos g: Variable de emisiones unitarias en almacén (en relación con la cantidad de inventario) k: Coste de ordenar (€/orden o €/pedido) h: Coste unitario de mantenimiento de inventario (€/ud/ud de tiempo) t: Tasas de carbono por unidad (€/ton) s: Precio unidad de carbono (€/ton) r: Precio de compra del producto (€/ud) Z: Emisiones totales de carbono X: Cantidad de transferencia de emisiones de carbono (puede ser una cantidad positiva o negativa)
5.3. Desarrollo del modelo
Se procede al desarrollo matemático del modelo EPQ empleando los conceptos
explicados en el apartado 4 del presente trabajo. En primer lugar se define la
demanda, D(Q):
A continuación se define la función de las emisiones de carbono como:
Sustituyendo la expresión de las emisiones de carbono en la expresión anterior, y
despejando la demanda, se obtiene la expresión de demanda en función únicamente
de Q, tamaño óptimo de lote:
(
)
20
Sustituyendo, de nuevo, la expresión obtenida de demanda en la expresión
anterior de emisiones de carbono, se obtiene la nueva expresión de emisiones de
carbono en función únicamente de Q, tamaño óptimo de lote:
Esta función se optimiza para obtener el tamaño óptimo de lote que minimiza las
emisiones de carbono, estando sujeta a algunas restricciones:
Realizando la primera derivada de la expresión anterior, igualándola a cero y
despejando el tamaño de lote, se obtiene la expresión del tamaño óptimo de lote que
minimiza las emisiones de carbono. Este procedimiento se ha llevado a cabo en el
apéndice A del presente trabajo. El tamaño óptimo de lote es:
√
Dónde la variable A, se define como:
Por otro lado, la función beneficio se define como:
[
]
Dónde:
Se repite el proceso anterior, esta vez, la función objetivo será maximizar el
beneficio, de tal forma que el tamaño óptimo del lote que se obtenga proporcionará el
mayor valor de beneficio:
21
Para ello, se sustituyen las expresiones de demanda y emisiones de carbono
obtenidas anteriormente, para que la expresión que se quiere optimizar únicamente
esté en función de la variable de estudio, Q. De nuevo, se realiza la primera derivada y
se iguala a cero. El procedimiento se encuentra en el apéndice B del trabajo.
La expresión del tamaño de lote que maximiza la función del beneficio es:
√
Dónde:
Finalmente, debido a que la demanda del consumidor se modifica con la evolución
de ciertos parámetros, es interesante observar el impacto de las estrategias de
inventarios en las emisiones de carbono que se emiten. Para ello se define el factor
crítico, k, como:
22
5.4. Ejemplo numérico del modelo EPQ considerando emisiones de carbono
En este apartado se lleva a cabo un ejemplo numérico con el modelo de inventarios desarrollado, EPQ considerando emisiones de carbono.
Los datos tomados han sido los que se propusieron en el artículo de Hovelaque y
Bironneau (2015). Además se precisa de un dato más, la razón de producción. Se sabe que deberá ser mayor que la razón de demanda para que el modelo sea factible, por ello el valor de la razón de producción será de 12 uds/ud de tiempo. A continuación, se detallan los valores de las variables que se han empleado para llevar a cabo este ejemplo numérico del modelo: P=12, =10, w=10, e=1, g=1, k=1, h=0.5, s=0, r=0, Z=10.
Los resultados obtenidos se detallan en la siguiente tabla:
t Qp D CO2 Pr k
0 0,1 0,1 9,31 8,78 2,19 86,24 0,25
1 5,5 6,56 2,44 63,79 0,37
0,2 0,1 7,64 7,76 2,36 75,94 0,30
1 4,66 5,56 2,44 53,75 0,44
0,3 0,1 6,41 6,75 2,45 65,79 0,36
1 3,97 4,62 2,38 44,39 0,52
1 0,1 0,1 8,85 8,78 2,18 84,06 0,25
1 5,49 6,56 2,44 61,35 0,37
0,2 0,1 7,26 7,76 2,35 73,59 0,30
1 4,65 5,56 2,44 51,3 0,44
0,3 0,1 6,09 6,76 2,44 63,35 0,36
1 3,96 4,62 2,38 42 0,52
5 0,1 0,1 8,39 8,78 2,17 75,36 0,25
1 5,46 6,56 2,44 51,59 0,37
0,2 0,1 6,88 7,77 2,34 64,21 0,30
1 4,62 5,56 2,44 41,53 0,44
0,3 0,1 4,9 6,81 2,45 53,39 0,36
1 3,94 4,62 2,38 32,47 0,52
En la tabla se muestran varias soluciones óptimas considerando diferentes valores
de sensibilidad al precio y a las emisiones de carbono. Además para llevar el estudio a cabo con en más profundidad, también se proponen diferentes valores de tasa de carbono.
Tal y como se puede observar, al aumentar la sensibilidad de CO2 a través del
incremento de decrece tanto el tamaño óptimo de lote, como la demanda, como las emisiones de CO2 (excepto para el caso de más alta sensibilidad al precio) y el beneficio. Esto pone de manifiesto que el cambio general de compra, afecta más notablemente a los productos baratos y de mercado sostenible (Vanclay et al., 2011). Además, también se desprende que cualquier política de inventarios que tenga en cuenta aspectos ambientales (en este caso emisiones de dióxido de carbono) y de precio al mismo tiempo, es una estrategia más sostenible.
23
Por otro lado, cuando aumenta la sensibilidad de precio a través del factor , disminuyen el tamaño de lote, la demanda y el beneficio, mientras que la emisiones de carbono aumentan, y por ello, también lo hace el factor crítico, k. Se puede concluir
que cuando los consumidores son más dependientes de los precios (aumento de ), el minorista trata de reducir los precios para tener una mayor demanda. Así, cuando la sensibilidad ambiental es baja, la influencia de los costos de inventario es más fuerte que la influencia de los costes de las emisiones de carbono.
Finalmente, cuando aumenta la tasa de carbono, t, el tamaño de lote disminuye
notablemente. También lo hacen las emisiones de carbono. El objetivo del impuesto es reducir las emisiones totales de carbono, tal y como ocurre en este caso. Sin embargo también conlleva una disminución del beneficio óptimo que alcanzaría el minorista. Por tanto, el ejemplo pone de manifiesto un punto importante que genera polémica entre los miembros de la cadena de suministro (desde accionistas hasta consumidores), la introducción de un impuesto sobre la tasa de carbono.
24
6. Modelo de inventarios EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono
6.1. Introducción
Los parámetros para este nuevo modelo, son los mismos que para el modelo anterior. La diferencia reside en el modelo de inventarios tenido en cuenta. En este caso se propone la política clásica del modelo EOQ (“Economic Order Quantity”) con faltantes, dónde la función de coste total del sistema de inventarios queda definida como:
De nuevo, la función que modela las emisiones de carbono, tiene en cuenta el
trade off ya comentado, entre emisiones de carbono generadas por almacenaje de productos o por pedido (por transporte). En este caso esta función se define de la siguiente manera:
Destacar que, tal y como se observa el término de transporte (de emisión de
orden) es el mismo en los dos modelos, en cambio, el término que modela las emisiones por almacenaje varía entre ambos. Es debido a que el inventario promedio en cada uno de los modelos cuenta con una expresión diferente.
De igual modo que en el modelo anterior, el tamaño óptimo de lote se encontrara
entre el valor proporcionado por la política clásica EOQ con faltantes y el valor que proporciona la mínimas emisiones de carbono.
25
6.2. Notación
A continuación queda definida la notación empleada para el desarrollo de este segundo modelo de inventarios, EOQ con faltantes considerando emisiones de carbono:
Q: Tamaño óptimo de lote (uds) D(Q): Demanda determinística dependiente de las emisiones de carbono (uds/año) Emisiones de carbono Pr(Q): Beneficio (€) b: Cantidad de faltantes a permitir (uds) Demanda máxima de mercado Sensibilidad al precio : Sensibilidad de las emisiones de carbono (sensibilidad ambiental) w: Precio de venta del producto (€/ud) Coste unitario de faltante por cada unidad que falta (€/ud) Coste unitario de faltante en el tiempo (€/ud/año) e: Unidades de carbono emitidas vinculadas al número de pedidos g: Variable de emisiones unitarias en almacén (en relación con la cantidad de inventario) k: Coste de ordenar (€/orden o €/pedido) h: Coste unitario de mantenimiento de inventario (€/ud/año) t: Tasas de carbono por unidad (€/ton) s: Precio unidad de carbono (€/ton) r: Precio de compra del producto (€/ud) Z: Emisiones totales de carbono X: Cantidad de transferencia de emisiones de carbono (puede ser una cantidad positiva o negativa)
6.3. Desarrollo del modelo
En este apartado se muestra el desarrollo del modelo de inventarios EOQ con
faltantes considerando emisiones de carbono. De igual modo que se hizo en el
apartado 5 del este mismo trabajo, se comienza definiendo la demanda, D (Q,b):
A continuación se define la función de emisiones de carbono vinculada a la entrega
y almacenamiento de productos, al igual que se ha hecho en el apartado 6.1. del
trabajo:
Una vez definida, sustituyendo en ella la expresión de la demanda anterior, y
despejado la variable de emisiones de carbono, se obtiene la expresión para las
26
emisiones de carbono, únicamente en función de las dos variables que se quieren
optimizar, Q (tamaño óptimo de lote) y b (cantidad de faltante óptima permitida):
Esta será la primera función a optimizar, exigiendo minimizar la cantidad de
emisiones emitidas al entorno vinculadas a la entrega y almacenamiento de los
productos. Hay que tener en cuenta ciertas restricciones:
Sustituyendo, de nuevo, la última expresión de emisiones de carbono en la
expresión de demanda, se obtiene la expresión de demanda únicamente en función de
las variables de estudio (Q,b):
(
)
Una vez se cuenta con las expresiones de demanda y emisiones de carbono en
función únicamente de las variables de estudio, sustituyéndolas en la función de
beneficio, se obtiene la segunda función a optimizar.
En este caso se buscan los valores de Q y b que hacen que la función de beneficio
se maximice:
27
La expresión de beneficio para este modelo queda definida:
*
+
Dónde:
Debido a que la demanda del consumidor se modifica con la evolución de ciertos
parámetros, es interesante observar el impacto de las estrategias de inventarios en las
emisiones de carbono que se emiten. Para ello se define el factor crítico, k:
Finalmente, para acabar con este apartado, recordar que este modelo no ha sido
resuelto mediante el desarrollo matemático y la obtención de las expresiones óptimas
para las dos funciones objetivo anteriormente mencionadas. Se ha resuelto con el
software de optimización, LINGO. El código del programa empleado para la resolución
se encuentra en los apéndices E y F (uno para cada función objetivo) del presente
trabajo.
6.4. Ejemplo numérico considerando emisiones de carbono
En este apartado, del mismo modo que se ha llevado a cabo para el modelo de inventarios EPQ, se realiza un ejemplo numérico empleando el modelo de estudio en este caso, el modelo de inventarios EOQ con faltantes que considera emisiones de carbono.
Los datos que se toman para realizar el ejemplo son los proporcionados por el
artículo de Hovelaque y Bironneau (2015). Destacar que se han incluido datos adicionales como los costes de faltante, por tanto todos los valores empleados son: =10, w=10, =0.1, =2, e=1, g=1, k=1, h=0.5, s=0, r=0, Z=10.
28
La tabla con los resultados obtenidos se muestra a continuación:
t Qp D CO2 Pr b k
0 0,1 0,1 6,35 8,74 2,58 84,17 2,43 0,30
1 8,91 8,02 0,98 72,08 8,02 0,12
0,2 0,1 5,99 7,76 2,43 74,52 2,31 0,31
1 9,2 7,08 0,92 63,2 7,51 0,13
0,3 0,1 5,6 6,77 2,26 64,9 2,17 0,33
1 8,54 6,14 0,86 54,39 6,97 0,14
1 0,1 0,1 6,85 8,79 2,07 81,87 3,58 0,24
1 10,22 8,07 0,93 71,12 8,5 0,12
0,2 0,1 6,46 7,81 1,94 72,36 3,38 0,25
1 9,58 7,12 0,88 62,3 7,96 0,12
0,3 0,1 6,03 6,82 1,81 62,89 3,17 0,27
1 8,9 6,18 0,82 53,55 7,39 0,13
5 0,1 0,1 8,97 8,87 1,27 75,54 6,73 0,14
1 11,71 8,2 0,8 67,68 10,21 0,10
0,2 0,1 8,45 7,88 1,19 66,41 6,35 0,15
1 10,99 7,25 0,75 59,06 9,58 0,10
0,3 0,1 7,9 6,89 1,12 57,33 5,94 0,16
1 10,21 6,3 0,7 50,52 8,9 0,11
Se realiza la misma evaluación que para el modelo de inventarios EPQ. Así, en la
tabla anterior se muestran varias soluciones óptimas considerando diferentes valores de sensibilidad al precio y a las emisiones de carbono. Además para llevar el estudio a cabo con en más profundidad, también se proponen diferentes valores de tasa de carbono.
Como se puede apreciar, cuando se aumenta la sensibilidad de emisiones de
carbono, a través de , lo que ocurre es que la demanda, las emisiones, el beneficio y el factor crítico decrecen. Al mismo tiempo, el tamaño de lote y la cantidad de faltantes permitidos aumentan. Refleja como con tamaño de lotes mayores y número de faltantes a permitir mayores, las emisiones de carbono son menores (se ha aumentado la sensibilidad ambiental), pero el beneficio también es menor.
También se puede observar que cuando se incrementa la sensibilidad de precio,
todas las variables disminuyen. Ya no se refleja tanto la necesidad de disminuir el precio del producto para aumentar la demanda, pues se permiten faltantes, que contribuyen a que el minorista cuente con más tiempo para poder hacer frente al aumento de demanda. Además cuando la sensibilidad medioambiental es baja, la influencia del coste de inventario es más fuerte que la influencia del coste de emisiones de carbono.
Finalmente, aumentando la tasa de emisiones de carbono, aumenta el tamaño de
lote y la cantidad de faltantes, también lo hace la demanda. Sin embargo, las emisiones de carbono y el factor crítico disminuyen. Este aspecto es de esperar, pues
29
de nuevo refleja, el objetivo de imponer tasa de emisiones de carbono. Este objetivo es hacer que las emisiones de carbono disminuyan. Así, se pone de manifiesto la discusión existente que enfrenta a los integrantes de la cadena de suministro acerca de introducir estas tasas para controlar las emisiones, del mismo modo que ocurre en el modelo de inventarios EPQ considerando emisiones de carbono.
30
7. Conclusiones
Actualmente, las empresas buscan soluciones para intentar reducir las emisiones de carbono debido al impacto que tienen en el medio ambiente (aumento desmesurado del efecto invernadero y por lo tanto calentamiento global). Se ha demostrado como modificando los tamaños de lotes se puede encontrar un camino para disminuir las emisiones de carbono.
En este trabajo, en primer lugar, se ha desarrollado el modelo de inventarios EPQ,
teniendo en cuenta los costes de inventarios, así como las emisiones totales de carbono que se tienen dependientes de la demanda. El estudio se lleva a cabo para dos funciones; por un lado se busca maximizar el beneficio del minorista. Por otro, se trata de minimizar las emisiones de carbono relacionadas con el almacenaje y transporte de productos. De este modelo de inventarios, se obtiene matemáticamente dos expresiones, una para cada función objetivo, que proporcionan el valor óptimo del tamaño de lote.
En segundo lugar, se ha desarrollado el modelo de inventarios EOQ con faltante,
teniendo en cuenta los costes de inventarios y las emisiones totales de carbono dependientes de la demanda. El estudio de este modelo, también se ha llevado a cabo para dos funciones. De nuevo maximizar el beneficio del minorista y minimizar las emisiones de carbono vinculadas al almacenaje y transporte de productos. En este caso, se ha empleado para la resolución el software de optimización LINGO, y se han obtenido los valores óptimos de tamaño de lote y cantidad de faltantes permitidos para las dos funciones.
Finalmente, de los ejemplos numéricos se han extraído también grandes
conclusiones, coincidentes para los dos modelos. Por un lado, cuando se incrementa la
sensibilidad de emisiones de carbono, mediante , se tienen menores emisiones. Demuestra que este comportamiento de compra afecta más a los productos de bajo precio y de mercado sostenible. Por otro lado, cuando la sensibilidad de precio
aumenta, los consumidores son más dependientes de los precios (aumento de ), el minorista trata de reducir los precios para tener una mayor demanda. Así, cuando la sensibilidad ambiental es baja, la influencia de los costes de inventario es más fuerte que la influencia de los costes de las emisiones de carbono. Por último, cuando la tasa de emisiones de carbono aumenta, las emisiones totales de carbono disminuyen. Es de esperar ya que es el objetivo que se persigue al introducir un tipo de tasa como esta. Esto crea un conflicto entre los integrantes de la cadena de suministro, ya que introducir está tasa les afecta a todos ellos, y en muchas ocasiones de manera negativa.
A modo de conclusión final, se están produciendo grandes daños ocasionados por
actividades humanas descontroladas, únicamente guidadas por el deseo de obtener un mayor beneficio. Por ello, se ha visto la importancia de tener en cuenta aspectos ambientales de repercusión mundial en las políticas de inventarios que no se tenían en cuanta en las políticas clásicas. De ahí surge la necesidad de desarrollar nuevas políticas y estrategias que los incluyan, y poder así proteger y cuidar el medio ambiente, sin perder tampoco de vista el beneficio de las empresas.
31
8. Líneas de futuro
El desarrollo de modelos de inventarios que tienen en cuenta las emisiones de
carbono, se ha realizado únicamente para dos tipos de modelos de inventarios
clásicos, como son el modelo de inventarios EPQ y el modelo de inventarios EOQ con
faltantes. En ambos se han obtenido, o bien la expresión matemática de los valores de
tamaño de lote que optimizan las funciones objetivo, o bien, la programación
matemática en un software para el mismo fin. Así se ha desarrollado el estudio del
trade off entre el beneficio que tendría la empresa y el coste de las emisiones de
carbono vinculadas a la entrega y almacenamiento de productos. Se ha puesto de
manifiesto, por tanto, el impacto que esto puede tener en las empresas.
Además de estos dos modelos desarrollados, en la literatura también se puede
encontrar la resolución del mismo problema mediante el modelo de inventarios EOQ
que considera también las emisiones de carbono vinculadas al almacenaje y transporte
de productos.
En esta línea, por tanto, existe la posibilidad de resolver este mismo problema
enfocándose desde la gestión de otros modelos de inventarios como podrían ser:
modelo de inventarios EPQ con faltantes, modelos de inventarios con algunas políticas
de descuentos (totales o incrementales), así como modelos de inventarios que cuenten
con políticas de reproceso o gestión de residuos.
Por otro lado, también se podría proponer, los mismos modelos de inventarios
desarrollados, pero considerando varios productos en lugar de sólo uno.
Otra línea de futuro posible, podría ser, considerar una visión de la cadena de
suministro más amplia. Es decir, no únicamente la cadena más básica propuesta en
este trabajo (almacén-minorista-cliente), sino extender el modelo a una cadena de
suministro formada por más de tres integrantes. Por ejemplo una cadena de
suministro formada por proveedores, distribuidor, mayorista, minorista y cliente.
En conclusión, este trabajo no es más que una de las posibles líneas de estudio del
trade off existente entre beneficio y emisiones de carbono, pero tal y como se acaba
de comentar existen numerosas líneas de estudio de gran interés que también se
podrían llevar a cabo.
32
9. Referencias
Al-Salamah, M., 2015. Economic production quantity in batch manufacturing with imperfect quality, imperfect inspection, and destructive and non-destructive acceptace sampling in a two-tier market. Computers & Industrial Engineering 93 (2016). 275-285.
Battini, D., Persona, A., Sgarbossa, F., 2013. A sutainable EOQ model: Theorical
formulation and applications. Int. J. Prod. Econ. 149 (2014). 145-153. Bazan, E., Jaber, M.Y., Zanoni, S., 2015. A review of mathematical inventory models
for reverse logistics and the future of its modeling: An environmental perspective. Applied Mathematical Modelling 000 (2015). 1-28.
Bouvhery, Y., Ghaffari, A., Jemai, Z., Dallery, Y., 2012. Including sustainability
criteria into inventory models. Eur. J. Oper. Res, 222, 229-240. Darwish, M.A., 2007. EPQ models with varying setup cost. Int. J. Prod. Econ. 113
(2008). 297-306. Fitchtinger, J., Ries, J.M., Grosse, E.H., Baker, P., 2015. Assesing the environmental
impact of integrated inventory and warehouse management. Int. J. Prod. Econ. 170 (2015). 717-729.
Greenhouse Gas Protocol, 2012. http://ghgprotocol.org. Hovelaque, V., Bironneau, L., 2014. The carbón-constrined EOQ model with carbon
emission dependent demand. Int. J. Prod. Econ. 164 (2015). 285-291.
Hua, G., Cheng, T.C.E., Wang, S., 2011. Managing carbon footprints in inventory management. Int. J. Prod. Econ. 132 (2011). 178-185.
Moussawi-Haidar, L., Salameh, M., Nasr, W., 2015. Production lot sizing with
quality screening and rework. Applied Mathematical Modelling 40 (2016). 3242-3256. OMM, 2015. Declaración sobre el estado del clima mundial en 2015. Pentico, D.W., Toews, C., Drake, M.J., 2015. Approximating the EOQ with partial
backordering at an exponential or rational rate by a constant or linearly changing rate. Int. J. Prod. Econ. 162 (2015). 151-159.
Rodríguez, M. 2004. Cambio climático: lo que está en juego. Skouri, K., Konstantaras, I., Lagodimos, A.G., Papachristos, S., 2013. An EOQ model
with backorders and rejection of defective supply batches. Int. J. Prod. Econ. 155 (2014). 148-154.
Solís, R., 2012. Administración de empresas y Organización de la Producción.
OECIM (2012).
33
Wee, H.M., Huang, Y.D., Wang, W.T., Cheng, Y.L., 2014. An EPQ model with partial backorders considering two backordering costs. Applied Mathematics and Computation 232 (2014). 898-907.
Zhao, S.T., Wu, K., Yuan, X.M., 2015. Optimal integer-ratio inventary coordination
policy for an integrated multi-stage supply chain. Applied Mathematics Modelling 000 (2015). 1-19.
34
Apéndice A: Modelo de inventarios EPQ: desarrollo expresión CO2(Q)
(
)
√
√
Denotando :
√
35
Apéndice B: Modelo de inventarios EPQ: desarrollo expresión Pr(Q)
[
(
)
]
Sustituyendo las expresiones correspondientes de D(Q) y CO2(Q):
* (
)+ (
)
* (
)+
[
(
)
]
(
)
A continuación se deriva cada sumando (enumerados según el orden que muestran en la expresión anterior) respecto de la variable Q, tamaño de lote: Sumando 1: dónde se denomina: y
[ * (
)+]
[ * (
)+]
36
*
+
*
+
*
+
*
+
Sumando 2: se denota: y
* (
)+
[ * (
)+]
*
+
*
+
37
*
+
*
+
Sumando 3: dónde: y
[
* (
)+]
[
* (
)+]
*
+
*
+
*
+
*
+
38
Sumando 4: dónde: y
[
[
[ (
)]
]
]
[
[
( (
))
]
]
[
[ ( (
))
]
]
[ *
+]
[ *
+]
[ *
+]
39
[ *
+]
Sumando 5: dónde y
* (
)+
[ *(
)+]
*
+
*
+
*
+
*
+
Finalmente, se agrupan los 5 sumandos, se hace denominador común y se despeja Q, tamaño óptimo de lote, para conocer su expresión:
40
*
+ *
+
[
*
+]
[
[ *
+]]
[ *
+]
Tomando como denominador común: , y denominando se obtiene:
41
Se denota . Así haciendo factor común y desarrollando todas las operaciones se obtiene:
Reordenando:
Deshaciendo algunos cambios de agrupaciones de constantes, se obtiene que algunos de los términos se anulan, y únicamente queda:
42
Por tanto, sacando Q2 factor común:
Así, se sabe que dos de las cuatro raíces toman valor nulo, y por tanto no son solución del problema de optimización. Para proceder a la resolución de la ecuación, se denota:
Se resuelve la ecuación de segundo grado, y por tanto la expresión para el tamaño óptimo de lote que maximiza el beneficio es:
√
43
Apéndice C: Código del programa modelo EPQ (función CO2(Q))
44
Apéndice D: Código del programa modelo EPQ (función Pr(Q))
45
Apéndice E: Código de programa modelo EOQ con faltantes (función CO2(Q,b))
46
Apéndice F: Código del programa modelo EOQ con faltantes (función de Pr(Q,b))