¿Es cierto que el rectangulo dorado se utilizo en eldiseno del Partenon?

Ernesto VallejoCentro de Ciencias Matematicas, UNAM, Campus Morelia

e-mail: vallejo@matmor.unam.mx

La razon aurea, tambien llamada razon media y extrema, razon dorada, numero deoro, seccion aurea o divina proporcion, es un concepto matematico que ha interesadoy entusiasmado a personas de areas tan diversas como la biologıa, por un lado, y laarquitectura y la pintura, por otro. Se define como el numero que se obtiene de dividirla longitud de la diagonal de un pentagono regular entre la longitud de uno de suslados (ver Figura 1). Este numero se denota algunas veces con la letra φ, otras con τ .

Figura 1: Pentagono y razon aurea

Otra definicion de este numero aparece en el Libro VI de los Elementos de Geometrıade Euclides, escrito hace aproximadamente 2300 anos. Una traduccion al espanol deesta definicion (ver [4, p. 188]) es la siguiente:

Decimos que una lınea recta esta dividida en razon media y extrema cuandotoda la lınea es al segmento mas grande lo que el segmento mas grande esal mas pequeno1.

Dicho de otra manera (ver Figura 2)2, la recta de longitud a+ b esta dividida en razonmedia y extrema en dos segmentos de longitudes a y b si

a+ b

a=a

b.

Se puede demostrar [2, Cap. 11], [5, Cap. 8] y [8] que en este caso ab

= φ y que

φ =1 +

√5

2= 1.61803398 . . .

1Todas las traducciones del ingles al espanol son del autor de esta nota.2Las figuras 2 y 4 estan tomadas de wikipedia.

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Figura 2: Razon media y extrema

La razon aurea es un numero muy atractivo que esta relacionado con varios objetosmatematicos, como los numeros de Fibonacci y algunas construcciones geometricas.Una de ellas es el rectangulo dorado: aquel cuyos lados estan en razon φ a 1 (Figura 3),es decir, si a y b son las longitudes de los lados del rectangulo y a es mayor que b,entonces a

b= φ. Otra construccion es el icosaedro, un poliedro regular de veinte caras

Figura 3: Rectangulo dorado

triangulares. Este es uno de los cinco solidos platonicos estudiados con gran interes enla Grecia clasica por su simetrıa y belleza hace unos 2400 anos. Los doce vertices delicosaedro se obtienen acomodando, como se muestra en la Figura 4, tres rectangulosdorados.

Figura 4: Icosaedro formado a partir de tres rectangulos dorados

El gran entusiasmo por la razon aurea entre no matematicos surgio, en parte, deartıculos, libros y pelıculas que le adjudican propiedades esteticas y apariciones en lanaturaleza que no siempre estan bien documentadas. Algunas de ellas se pueden ver,por citar dos ejemplos, en la pelıcula de Disney Donald en el paıs de las matemagicasy en el capıtulo 20 del libro El codigo Da Vinci, de Dan Brown.

El matematico George Markowsky ha intentado aclarar una serie de mitos sobreeste numero. En su artıculo [7] escribio

La razon aurea . . . ha capturado la imaginacion popular y se habla de ella ennumerosos libros y artıculos. Generalmente, sus propiedades matematicas

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Figura 5: Rectangulo dorado ajustado al Partenon

se enuncian correctamente, pero mucho de lo que sobre ella se dice rela-cionado con el arte, la arquitectura, la literatura y la estetica es falso ofrancamente enganoso. Desafortunadamente, estas afirmaciones han alcan-zado el nivel de verdades establecidas y son repetidas constantemente.

Una de estas afirmaciones, repetida con mucha frecuencia y sin cuestionamientoalguno, es la que dice que el rectangulo dorado es, desde el punto de vista estetico, elmas agradable a la vista y que por esa razon fue usado en la antiguedad en el disenodel Partenon de la Acropolis de Atenas y, mas recientemente, en el edificio Sede de laOrganizacion de Naciones Unidas en Nueva York (ver Figura 5)3. Markowsky demostroque los argumentos usados en diversas fuentes no son rigurosos y dio argumentos con-vincentes para pensar lo contrario (ver paginas 8, 9 y 12 de [7]). El matematico KeithDevlin ha participado tambien en este debate (ver [3]). Algunos de los argumentos encontra del uso de la razon aurea en el Partenon los podemos resumir ası: nadie citauna fuente de la antiguedad donde explıcitamente se diga que la razon aurea fue usadaen el Partenon de manera consciente (de hecho el nombre de razon aurea surge apenasen el siglo XIX); algunas fuentes toman una foto o dibujo del Partenon y ajustan unrectangulo dorado (por ejemplo [6, p. 63]) sin importarles que pedazos del edificio que-den fuera del rectangulo; las dimensiones del Partenon varıan de una fuente a otra, enparte porque hay distintas maneras de tomar las medidas: con o sin frontispicio, con osin escalones; dado que cualquier medicion lleva consigo misma un margen de error, almedir el Partenon y tomar la razon entre los lados del rectangulo medido obtendremossolo una aproximacion. Sin embargo, los entusiastas de la razon aurea no indican cuales una aproximacion aceptable de φ.

Por las razones anteriores podemos concluir que no hay ninguna evidencia definitivade que la razon aurea fue usada conscientemente en el diseno del Partenon. Lo quehay, mas bien, es un persistente deseo de encontrar la razon aurea en construccionesafamadas: la gran piramide de Guiza, el Partenon, la catedral de Notre Dame de Parıs,el edificio Sede de la Organizacion de las Naciones Unidas. Curiosamente, estimuladospor los mitos sobre la razon aurea, algunos arquitectos sı han usado la razon aureaen sus disenos. Un ejemplo destacado es el arquitecto fraco-suizo Le Corbusier y su

3La figura esta tomada del material pedagogico de la Gray’s School of Art de la Universidad RobertGordon de Aberdeen, Reino Unido.

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sistema Modulor [1].Para concluir, observemos que φ es un numero irracional (no se puede escribir como

una fraccion ab, donde a y b son numeros enteros), y por lo tanto su expansion decimal

es infinita y no es periodica. Entre la infinidad de aproximaciones de φ, como son1.61803, 1.61813 o simplemente 1.618, solo φ, con su expansion decimal infinita, sedistingue por sus notables propiedades matematicas, tales como su relacion con losnumeros de Fibonacci y su aparicion en diversas construcciones geometricas.

Referencias

[1] Le Corbusier, Le Modulor. Essai sur une mesure harmonique a l’echelle humaine ap-plicable universellement a l’architecture et a la mecanique, Editions de l’Architectured’Aujourd’hui, coll. Ascoral, 1949.

[2] Harold Scott MacDonald Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, Inc.,Nueva York, 2a. ed. 1969.

[3] Keith Devlin, The mith that will not go away,http://www.maa.org/external archive/devlin/devlin 05 07.html.

[4] Euclides, The thirteen books of Euclid’s elements, traducida del texto de Heiberg porSir Thomas L. Heath, Dover Publications, Nueva York, 2a. edicion, 1956.

[5] Martin Gardner, The second Scientific American book of Mathematical Puzzles & Di-versions, The University of Chicago Press, Chicago, 1987.

[6] H. E. Huntley, The divine proportion. A study of mathematical beauty, Dover Publica-tions, Nueva York, 1970.

[7] George Markowsky, Misconceptions About the Golden Ratio. College Math. J. 23 (1992)2–19. http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf

[8] Wolfram Math World, http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html.

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