FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS

MÉTODOS NUMÉRICOS INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES

ERRORES DE TRUNCAMIENTO Por Pervys Rengifo Rengifo

El término error de truncamiento generalmente se refiere al error involucrado al representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto. Esto se presenta particularmente cuando se utilizan series de potencia para aproximar funciones. Con el fin de ilustrar el concepto de error de truncamiento, se hará una descripción de la aproximación de funciones por medio de series de potencia, en particular, por medio de las series de Taylor y Maclaurin. SERIES DE TAYLOR Y SERIES DE MACLAURIN Sea f una función tal que ella y sus n primeras derivadas sean continuas en el intervalo cerrado [a,b], y además fn+1(x) existe para todo x en el intervalo abierto (a,b). Sea xo∈[a,b]. Entonces, para todo x∈[a,b] existe un número ξ en el intervalo abierto (a,b) tal que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )!1!

...!2

11

2'''

+−

+−

++−

+−+=+

+

n

xxf

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

non

no

ono

oooo ξ

donde ( ) nnn ×−××××= 1321! , y se lee “n factorial” Esto se puede escribir como:

( ) ( ) ( )xRxPxf nn += donde

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ko

n

ko

kn

oo

nooooon k

xxxf

n

xxxf

xxxfxxxfxfxP

!!...

!2 0

2''' −

=−

++−

+−+= ∑=

y ( ) ( )( )( )!1

11

+−

=++

n

xxfxR

no

n

n

ξ

a ( )xPn se le llama polinomio de Taylor de grado n de f alrededor de xo, y a ( )xRn se le denomina residuo o ERROR DE TRUNCAMIENTO. La serie infinita que se obtiene al tomar el límite de ( )xPn , cuando ∞→n se conoce como SERIE DE TAYLOR de f alrededor de xo. En el caso de que xo=0, el polinomio de Taylor se denomina POLINOMIO DE MACLAURIN. El polinomio de Maclaurin de grado n para una función f sería:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn

k

kn

nn k

xf

n

xf

xfxffxP

!0

!0...

!2000

0

2'''

∑=

=++++=

y el error de truncamiento correspondiente:

( ) ( )( )( )!1

11

+=

++

n

xfxR

nn

n

ξ

EJEMPLO No. 1 Calcular el polinomio de Taylor de la función ( ) xexf = alrededor de xo=3, para n=0, n=1, n=2, n=3, n=4.

Para n=0, ( ) ( ) ( ) ( ) 30

00 3

!

33 ef

k

xfxP

k

k

k ==−=∑=

( ) =xP03e =20.0855369 es una constante(El polinomio de grado cero es una línea horizontal)

Para n=1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )333!

33 '

1

01 −+=−=∑

=

xffk

xfxP

k

k

k

( ) ( ) ( ) 3'' 3 efeedx

dxf

dx

dxf xx =→===

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3333!

33 33'

1

01 −+=−+=−=∑

=

xeexffk

xfxP

k

k

k , que es la ecuación de

una línea recta Para n=2,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

33333

!

33

2'''

2

02

−+−+=−=∑=

xfxff

k

xfxP

k

k

k

( ) ( ) ( ) 3''2

2

2

2'' 3 efee

dx

dxf

dx

dxf xx =→===

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

33

!

33

2333

2

02

−+−+=−=∑=

xexee

k

xfxP

k

k

k , que es la ecuación de una

parábola. Para n=3,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )!3

33

2

33333

!

33

3'''

2'''

3

03

−+−+−+=−=∑=

xf

xfxff

k

xfxP

k

k

k

( ) ( ) ( ) 3'''3

3

3

3''' 3 efee

dx

dxf

dx

dxf xx =→===

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!3

3

2

33

!

33

33

2333

3

03

−+−+−+=−=∑=

xe

xexee

k

xfxP

k

k

k , que corresponde a

un polinomio cúbico Generalizando, entonces

( ) ( ) xkn

kn exfpara

k

xexP =−=∑

=

)(!

3

0

3

Observe que ( ) ( )∑

=∞→

−==

n

k

k

n

x

k

xeexf

0

3

!

3lim , al tomar n como un número finito, se

obtiene una aproximación de f(x), ya que la suma infinita (o serie infinita), se reemplaza por una suma finita, incurriendo en un error, representado por Rn(x) que se llama ERROR TRUNCAMIENTO.

En este caso ( ) ( )( )( )

( )( )

[ ]xconn

xe

n

xfxR

nnn

n ,3!1

3

!1

3 111

∈+

−=

+

−=

+++

ξξ ξ

No se sabe cual es el valor de ξ sólo se sabe que está entre x y 3.

Note que ( )xPe nx ≈

Grado Polinomio Comentarios Para n=0

3eex ≈ La cual es una aproximación muy burda para ex, ya que supone que ex es una función constante

Para n=1

( )333 −+≈ xeeex Aproxima a ex como una línea recta.

Para n=2 ( ) ( )

2

33

2333 −+−+≈ xe

xeeex Aproxima a ex como una parábola

Para n=3 ( ) ( ) ( )

!3

3

2

33

332333 −+−+−+≈ xexe

xeeex Aproxima a ex como un polinomio cúbico

Para n=k ( ) ( ) ( ) ( )

!

3...

!3

3

2

33

3332333

k

xexexexeee

kx −++−+−+−+≈

Aproxima a ex como un polinomio de grado k

A medida que n crece la gráfica del polinomio Pn(x) se acerca a la gráfica de la función ex. Por ejemplo si se desea estimar el valor de e3.5, con estas aproximaciones, se tiene lo siguiente, x = 3.5, el valor verdadero de e3.5= 33.115452 con 8 cifras significativas. Para n=0, ex=e3, por lo tantoe3.5= e3= 20.0855369 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-20.0855369|=13.03(error de truncamiento) Para n=1, ex=e3 +e3(x-3) →e3.5= e3 +e3(3.5-3)= 30.128305 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-30.128305|=2.987(error de truncamiento)

Para n=2, ( ) ( )23

33 32

3 −+−+≈ xe

xeeex → ( ) ( )23

335.3 35.32

35.3 −+−+≈ eeee =

32.638998 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-32.638998|=0.4764(error de truncamiento) Como se puede apreciar el error de truncamiento disminuye a medida que n aumenta y el valor estimado para e3.5 se acerca al verdadero.

EJEMPLO No 2 Hallar el polinomio de Maclaurin para f(x)=ex, para n=0, n=1, n=2, n=3, y el polinomio general. El polinomio de Maclaurin de grado n, para cualquier función se define como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn

k

kn

nn k

xf

n

xf

xfxffxP

!0

!0...

!2000

0

2'''

∑=

=++++=

Para n=0→Po(x)=f(0)= e0=1 Para n=1→P1(x)=f(0)+f ’(0)x= e0+e0x= 1+x

Para n=2→ ( ) ( ) ( ) ( )2

122

0''0'0

220002

2

xx

xexeex

fxffxP ++=++=++=

Para n=k→( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!...

!321

!...

!32!

0...

!3

0'''

2

0''0'0

320

30

200032

k

xxxx

k

xe

xe

xexeex

k

fx

fx

fxffxP

kkk

k

k +++++=+++++=+++++=

En notación de sumatoria quedaría

( ) ( )∑

=

=≈n

k

k

nx

k

xxPe

0 !

Para ilustrar la estimación del error para métodos iterativos se plantea el siguiente ejercicio: Agregando un término a la vez, estímese e0.5. Después de que se agregue cada término, calcúlense los errores relativos y porcentuales verdadero (εv) y aproximado (εa), así:

%100×=verdaderoValor

verdaderoErrorvε

%100×−=actualónAproximaci

anteriorónAproximaciactualónAproximaciaε

Agréguense términos hasta que se obtenga una estimación con, por lo menos, tres cifras significativas. Aquí se puede emplear el criterio visto en clase, que establece que, si se verifica que

%105.0 2 ksa

−×=≤ εε , se tiene una respuesta con por lo menos k cifras significativas.

En este caso, se requieren 3 cifras significativas, entonces k=3 y, reemplazando %05.0%105.0 32 =×= −

sε

Se agregarán términos hasta que |εa|<0.05% El valor verdadero de e0.5, con 10 cifras significativas es e0.5=1.648721271 Primera estimación(para n=0):

%3.39%10011.64872127

1-11.64872127%100

1

1)(5.0

=×=×−=→

≈

=≈

verdaderovalor

aproximadovalorverdaderoValor

e

xPe

v

ox

ε

Para n=1

5.15.01

1)(5.0

1

=+≈

+=≈

e

xxPex

Aproximación anterior: e0.5=1 Aproximación actual: e0.5=1.5

%3.02.9%10011.64872127

1.5-11.64872127%100 =×=×−=→

verdaderovalor

aproximadovalorverdaderoValorvε

%05.0%3.33%1005.1

15.1%100 =>=×−=×−= sactualónAproximaci

anteriorónAproximaciactualónAproximacia εε

, entonces se prosigue Para n=2:

21)(

2

2

xxxPex ++=≈ (Recuerde que ∑

=≈

n

ok

kx

k

xe

!)

625.12

5.05.01

25.0 =++≈e

Aproximación actual=1.625 Aproximación anterior=1.5

%44.1%10011.64872127

1.625-11.64872127%100 =×=×

−=→

verdaderovalor

aproximadovalorverdaderoValorvε

%05.0%69.7%100625.1

5.1625.1%100 =>=×−=×

−= sactualónAproximaci

anteriorónAproximaciactualónAproximacia εε

, se continúa. Para n=3:

!321)(

32

3

xxxxPex +++=≈ =

621

32 xxx +++

6458333333.16

5.0

2

5.05.01

325.0 =+++≈e

%175.0%10011.64872127

31.64583333-11.64872127%100 =×=×−=→

verdaderovalor

aproximadovalorverdaderoValorvε

%05.0%27.1%100645833333.1

625.1645833333.1%100 =>=×−=×

−= sactualónAproximaci

anteriorónAproximaciactualónAproximacia εε

Para n=4:

!4!321)(

432

4

xxxxxPex ++++=≈ =

24621

432 xxxx ++++

648437500.124

5.0

6

5.0

2

5.05.01

4325.0 =++++≈e

%0172.0%10011.64872127

01.64843750-11.64872127%100 =×=×−=→

verdaderovalor

aproximadovalorverdaderoValorvε

%05.0%158.0%100648437500.1

645833333.1648437500.1%100 =>=×−=×

−= sactualónAproximaci

anteriorónAproximaciactualónAproximacia εε

Para n=5:

!5!4!321)(

5432

5

xxxxxxPex +++++=≈ =

12024621

5432 xxxxx +++++

648697917.1120

5.0

24

5.0

6

5.0

2

5.05.01

54325.0 =+++++≈e

%00142.0%10011.64872127

648697917.1-11.64872127%100 =×=×−=→

verdaderovalor

aproximadovalorverdaderoValorvε

%05.0%0158.0%100648697917.1

648437500.1648697917.1%100 =<=×−=×

−= sactualónAproximaci

anteriorónAproximaciactualónAproximacia εε

Se alcanza la tolerancia indicada y se detiene el proceso, ya que 0.0158%<0.05% El criterio fijado garantiza, por lo menos, tres cifras significativas. Ahora determínese el número de cifras significativas obtenidas. Se dice que un número, Va aproxima a otro Vv con t dígitos significativos si t es el mayor entero no negativo, para el cual se verifica que:

t

Vv

VaVv −×<−105

Para este caso Vv=1.648721271 y Va= 1.648697917

t−×<−105

648721271.1

648697917.1648721271.1 Ahora se busca al mayor entero no negativo, t,

para el cual se verifica la desigualdad. 0.0000142<5x10-t

0.0000142<5x10-1

0.0000142<5x10-2

0.0000142<5x10-3

0.0000142<5x10-4

0.0000142<5x10-5

0.0000142>5x10-6 para t=6 la desigualdad ya no se cumple, por lo tanto t=5 es el mayor entero no negativo para el cual se verifica la desigualdad anterior, lo que quiere decir, que el número 1.648697917 aproxima a 1.648721217 con 5 cifras significativas.

La línea superior corresponde al función f(x)= ex. Las líneas siguientes corresponden a las aproximaciones de grado 8, 7,6,5,4,3,2,1,0, respectivamente. Se puede apreciar que a medida que se incrementa el grado del polinomio su gráfica se va ajustando mejor a la gráfica de ex

Aproximación de la función e^x mediante una expansión en series de potencias de Maclaurin

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5x

ySerie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Serie6

Serie7

Serie8

Serie9

Serie10