Equivalentes dinámicos del sistema argentino

 

-Introducción

  -Síntesis de la teoría de equivalentes dinámicos 

 -Primeros resultados en el sistema argentino

Introducción

-Se desea encontrar un modelo equivalente de las áreas externas (Argentina) al sistema en estudio (Uruguay),de forma que el comportamiento del sistema reducido sea aproximadamente igual al del sistema total cuando hay perturbaciones en el área en estudio.

-El equivalente debe reproducir (aproximadamente) el punto de equilibrio (flujo de cargas) inicial del sistema y su comportamiento dinámico luego de la perturbación. -Ventajas del equivalente :menos tiempo de cálculo en las simulaciones,resultados “concentrados” en el área en estudio.Resulta particularmenteútil cuando las áreas externas no se conocen con precisión ,enaplicaciones “on line” y en aplicaciones con simuladores “real time”. -Desventajas del equivalente :precisión

Coherencia lenta

-El método a utilizar se basa en la teoría de la “coherencia lenta” (show coherency).

 -Frente a perturbaciones en el área en estudio,las máquinas del área externa tienden a “agruparse” en conjuntos que oscilan juntos cuando el sistema oscila libremente (luego de la perturbación)

0 1 2 3 4 50.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

time (s)

Oscilación de máquinas de distintas centrales del Comahue ante una falta en Palmar-A.

-Las frecuencias de oscilación de las máquinas del área externa son siempre “bajas” (modos interárea:menos de 1 Hz),en tanto que las frecuencias de oscilación de las máquinas cercanas a la perturbación son “altas” (modos locales)

-Frente a una perturbación en el área en estudio,por lo tanto,las máquinas del área en estudio oscilan con una combinación de modos:

a)de frecuencias altas,definidas por las propias máquinas del área en estudio

b)de frecuencias bajas,definidas por las máquinas del área externa y por las máquinas del área en estudio.

El método consiste en:

-Identificar las máquinas del área externa que oscilan juntas -Agrupar las máquinas que oscilan juntas en una máquina única 

-El método se basa en el análisis de frecuencias propias y autovectores derechos del sistema linealizado en torno a un punto de equilibrio.Por lo tanto:los resultados deberían ser aplicables cualquiera sea el punto de equilibrio y cualquiera sea la perturbación simulada en el área en estudio,siempre y cuando pueda considerarse razonable la aproximación lineal.

SINTESIS DE LA TEORIA

Referencias: 

“Show coherency aggregation of large power systems” (Chow, Date,Toman and Price,1990) “New algorithms for slow coherency aggregation of large power systems” (Chow,1993)

Modelo del sistema de potencia: M.d2 δ/dt=f (δ,V) (ecuaciones de “swing”) 0=g (δ,V) (flujo de cargas) δ=ángulos de las máquinasV=tensiones (complejas) de las barras de cargaM=matriz de inercias de las máquinas Las máquinas se simulan con modelos de orden 2:es una buena aproximación para trabajar con las frecuencias propias del sistema (puede no serlo para sacar conclusiones sobre los amortiguamientos)

Linealizando en torno a un punto de equilibrio: M.d2Δδ/dt2 =K1 . Δδ + K2 . ΔV

  0= K3. Δδ + K4 .ΔV

 Los elementos de K4 son proporcionales a los de la matriz de

admitancias nodales de la red formada por las barras de carga(En el caso particular en que el modelo de las cargas es I=cte,ambas matrices coinciden)

División en áreas coherentes para las frecuencias bajas

La matriz K4 puede ser reordenada de forma que admita una

descomposición del tipo: K4=Kint + ε.Kext

 en que: Kint:matriz diagonal por bloquesε:un escalar positivo pequeño Cada bloque de Kint identifica un área coherente:es la submatriz de elementos asociados a las conexiones internas dentro del área Kext:submatriz de elementos que conectan nodos de dos áreas distintas

Forma general de la matriz de admitancias de barras y de K4(en azul:elementos “grandes”,en blanco elementos “pequeños”)

El escalar ε representa el hecho de que las conexiones entre áreas son más “débiles” (admitancias más pequeñas) que las conexiones internas

Observar : 1)en el caso extremo ε=0, K4 es diagonal por bloques

(las áreas están totalmente desconectadas)

2)Para el modelo elemental máquina –barra infinita,la frecuencia propia de la máquina es inversamente proporcional a √X (X=reactancia de la línea de conexión) .Es de esperar,por lo tanto,que las frecuencias interáreas sean bajas.

Asociada a esta descomposición de la matriz K4 ,se realiza

una transformación lineal del sistema: -En representación de cada área “a” se forma la nueva variable:

ya=Σi mi Δδi / Σi mi

en que la sumatoria se hace sobre todas las máquinas del área,y siendo mi la inercia de cada máquina del área.(Esta nueva

variable es el “centro de inercia” del área)  -Dentro de cada área “a” se refieren los ángulos de oscilación de las máquinas a una máquina arbitraria de referencia del área:

zj a = Δδj – Δδref

Luego del cambio de variables el sistema queda: Ma .d

2y/dt2 =K11 .y + K12 .z +K13 . ΔV

Md .d2z/dt2 =K21 .y + K22 .z +K23 . ΔV

0 =K31 .y + K32 .z +K4. ΔV

 siendo y,z los vectores que agrupan las nuevas variables,y  Ma la matriz de inercias de cada área.

Observación:La matriz del sistema transformado conserva los valores propios de la matriz del sistema original

Si del sistema anterior se elimina ΔV,y se explicita la descomposición de K4:

 Ma .d

2y/dt2 = ε.K’11 .y + ε .K’12 .z

Md .d2z/dt2 = ε .K’21 .y + (ε .K’22.+K’’22) z

Finalmente se hace el cambio de variable t’=t.

Ma .d2y/dt’2 = K’11 .y + K’12 .z

ε Md .d2z/dt’2 = ε .K’21 .y + (ε .K’22.+K’’22) z

El sistema dinámico queda expresado en una de las formas “standard” para la que es aplicable la teoría de perturbaciones singulares.

De acuerdo a esta teoría,la solución del sistema es tal que las variables “y” (variables “lentas”) oscilan en forma lenta ,y las variables “z” oscilan inicialmente en forma muy rápida.

Esta teoría nos permite asimismo (en primera aproximación) “desacoplar” las variables “y” de las “z”,asumiendo que el transitorio de z es tan rápido que z puede considerarse constante.Para ello:se hace ε=0 en la segunda ecuación (la ecuación diferencialpasa a ser algebraica),de dónde z=0.

El sistema que representa las variables “lentas” queda,finalmente: Ma .d

2y/dt’2 =K11 .y +K13 . ΔV

0 =K31 .y + K4 . ΔV

Este sistema tiene una estructura similar al inicial,pero ahora su orden se ha reducido al número de áreas. 

Cada área ha sido representada por una componente de “y”(recordemos que cada componente de “y” se obtiene como el centro de inercia de las máquinas del área),y la red de barras de carga (modelada por K4) es la misma que la original.

La teoría de perturbaciones singulares nos dice,por lo tanto,que la matriz de este sistema dinámico equivalente (obtenidaeliminando ΔV a partir de las ecuaciones algebraicas) reproduceaproximadamente todos los modos “lentos” del sistema original.

Síntesis:principales ideas atrás de la teoría

-Es posible clasificar los modos del sistema en “lentos” y “rápidos”. -El aspecto estructural del sistema que condiciona esta clasificación es la forma particular de la matriz de admitancias nodales ,con elementos “grandes” y “chicos” -Esta estructura de la matriz del sistema permite un agrupamiento de las máquinas por áreas. -Los modos lentos se conservan cuando se agrupan las máquinas de cada área en forma adecuada (centro de inercia) ,y conservando la red original entre las barras de carga. 

-Esta conservación de los modos lentos en el equivalente es una aproximación, con precisión condicionada por:

a)el modelo lineal de un sistema no lineal

b)las aproximaciones implícitas en la teoría de perturbaciones singulares

Algoritmos para identificar las máquinas coherentes

Tipos de algoritmos:

-En base a simulaciones temporales,para un conjunto “amplio” de perturbaciones

-En base a la matriz de admitancias nodales (se identifican las áreas con conexiones débiles)

-En base a los “mode shapes” del sistema

Algoritmo en base a los mode shapes del sistema: Se comienza definiendo “a priori” (en primera aproximación) el número “r” de áreas del sistema (incluyendo el área en estudio) V:matriz de autovectores derechos por columnas,correspondiente a los “r” autovalores más chicos y a los estados electromecánicos (ángulo o velocidad) del sistema.

Dimensión de V =n x r n= número de máquinas 

modo1 modo2 ........... modo r

       

       

    V(i,j)  

       

       

maquina 1

maquina 2

maquina n

V(i,j)=mode shape,maquina i,modo j

Si 2 máquinas son coherentes para esas “r” frecuencias bajas,sus “participaciones” en los r modos correspondientes deben ser similares → sus filas correspondientes en la matriz V deben ser similares.

Ejemplo

Para las 11 frecuencias más bajas,las máquinas de 3 centrales del Comahue muestran los siguientes “mode shapes”:

Alto Valle Agua del Cajón Alicurá

0 -0,0001+0,0001j

-0,0002

0 -0,015 +0,0005j -0,0054 +0,0004j

0 0,0001 +0,0004j -0,0001 +0,0002j

0 0 -0,0001

0 -0,0309 +0,0012j -0,0119 +0,001j

0 -0,0893 -0,044 j -0,0756 –0,036j

0 -0,0137 +0,0002j 0,006 +0,00032j

0 -0,0018 +0,0004j -0,0006 +0,0003j

0 -0,0053 +0,0006j -0,0005 +0,0005j

0 -0,0962 +0,0038j -0,033 + 0,0033j

1 1,2515 +0,0372j 1,121 +0,03j

Nota:Para resaltar la similitud de los mode shapes se hizo un cambio de coordenadas de forma de tomar como referencia el de Alto Valle.

De esta forma,las máquinas coherentes forman “cúmulos” (clusters) en el espacio r-dimensional de los vectores-fila de V. El algoritmo para identificar esos clusters consiste en: 1)Buscar “r” vectores linealmente independientes entre los n vectores fila de la matriz V,estos r vectores identifican a las “r” máquinas de referencia (una por área).

Para ello:se diagonaliza V mediante el método de Gauss.

(En rigor:para separar bien los clusters,a uno le interesa identificar los vectores “más” linealmente independientes,para lo cuál se usa el método de Gauss con “pívot completo”)

2)Agrupar cada fila restante con la fila asociada a la máquina de referencia que “más se parece”.

Esto se hace así:-Se hace un cambio de base en el espacio r-dimensional,de forma que las filas de referencia formen la nueva base (las coordenadas de estas filas son de la forma (0,0,..1,0,0..))

-Dada una de las filas restantes,sea “j” su coordenada con parte real positiva más grande .Esa fila se agrupa con la fila de referencia que tiene un “1” en la posición “j”

(Observar que este algoritmo agrupa cada máquina con la máquina de referencia con la cuál los correspondientes “mode shapes” (vistos como vectores bidimensionales), tienen un ángulo mínimo)

Comentarios sobre la selección del número de áreas “r”

-Es un proceso iterativo

-Se suele tantear con valores tales que se obtengan las frecuencias típicas interáreas (no más de 1 Hz)

-No debe ser tan chico que perjudique la precisión del equivalente ni tan grande que “no se gane mucho” con equivalentar

Agrupamiento de las máquinas De acuerdo a la teoría vista:

-Las máquinas se agrupan a nivel de sus nodos internos (atrás de la reactancia transitoria)

-La máquina equivalente tiene una inercia que es igual a la suma de las inercias de las máquinas equivalentadas

-La máquina equivalente tiene una reactancia transitoria nula

Al nodo equivalente “p” se le asigna una tensión nominal arbitraria (p.ej:el promedio de las tensiones internas de las máquinas a equivalentar),y se introducen en la red transformadores “phase shifters” de forma de conservar en los nodos terminales “a” y “b” (nodos de conexión al resto de la red) las tensiones del flujo de cargas original.

Comentario:

Los equivalentes “clásicos” son un poco distintos:las máquinas se agrupan a nivel de los nodos terminales y se le asigna a la máquina una reactancia transitoria=paralelo de las reactancias de las máquinas equivalentadas.

Este equivalente (equivalente de Podmore) da peores resultados

PRIMEROS RESULTADOS EN LA RED ARGENTINA 

Red utilizada:Máximo de invierno,año 2003La red incluye la red uruguaya y algunas barras de Paraguay . Red uruguaya:Salto Grande,Terra,Palmar,Baygorria,Unidad 6

Máquina slack:Embalse Número de nodos:1773Número de máquinas:192

1)Punto de equilibrio

El flujo de cargas se corrió en PSS/E y se llevó (resuelto) a PSAT,en dónde se volvió a correr para disponer del punto de equilibrio en PSAT.

(Se desarrolló un programa de conversión de datos de flujo de carga y datos dinámicos de PSS/E a PSAT) 

Comentarios

Se tuvieron en cuenta las limitaciones de PSAT respecto a PSS/E,en particular:

-en PSAT no se puede ajustar taps de transformadores ni conectar shunts en forma automática (se corrió PSS/E bloqueando estos automatismos)

-en PSAT las máquinas no pueden controlar tensión en barras remotas (el programa de conversión PSS/E a PSAT impone como tensión de consigna en las barras terminales de máquina las que resultan del flujo convergido)

-en PSAT no se pueden ingresar reactores de línea (los reactores de línea se ingresaron como reactores de barra)

2)Identificación de máquinas coherentes. Se programó en MatLab el algoritmo de identificación descrito.

Se obtuvieron 11 “clusters” con los siguientes criterios:

-la red uruguaya completa debe ser parte de un “cluster”

-la frecuencia propia más alta para agrupar máquinas coherentes se fijó en 1 Hz

El cluster que incluye a las 17 máquinas uruguayas también incluye a 32 máquinas argentinas (6 de ellas de Salto Grande Argentina)

Cluster N° maq. Area geografica

1 1 CENTRO

2 2 GBA

3 2 NEA

4 1 NOA

5 3 GBA

6 10 COMAHUE

7 20 NEA,PARAGUAY

8 21 CUYO

9 48 CENTRO,NOA

10 49 GBA,Bs.As,URUGUAY

11 35 COMAHUE

Máquinas argentinas que oscilan junto con las uruguayas

3)Agrupamiento de máquinas

-Se implementó en MatLab el agrupamiento de máquinas descrito (método inercial) y el agrupamiento de máquinas por el método de Podmore. -Se agruparon las máquinas de cada cluster,excluyendo de los equivalentes a la máquina “slack” y al cluster completo que incluye a la red uruguaya.

El número de máquinas total del equivalente es:49 del área en estudio+10 clusters+barra slack=60 (en vez de los 192 originales) -Se verificó que el punto de equilibrio (flujo de cargas) se mantiene (aproximadamente) cuando se sustituye la red inicial por la red equivalente (para ello fue necesario imponer que las barras terminales de máquina equivalentadas sigan siendo barras PV)

4)Verificación de frecuencias

Se calcularon las 11 frecuencias propias más pequeñas de la red equivalentada,a efectos de compararlas con las correspondientes de la red completa

Original (Hz)

Inercial Podmore

0 0 0

0,4823 0,5117 0,5252

0,5972 0,6148 0,6404

0,6702 0,6776 0,7458

0,7157 0,7233 0,7746

0,7499 0,7465 0,8415

0,8357 0,7635 0,9069

0,8844 0,8615 0,9154

0,9151 0,8714 0,9967

0,9253 0,9259 1,0058

0,9830 0,9889 1,0407

Errores cuadráticos medios:Inercial: 3,8 % Podmore:8,4 % Comentario:La comparación se hizo con todas las máquinasmodeladas con el modelo clásico de segundo orden.

5)Comportamiento frente a una perturbación

Se simuló un cortocircuito trifásico en Palmar y la apertura de la línea Palmar-Montevideo A 500 kV.

Las máquinas de la red original se simularon con sus modelos completos.Las máquinas de la red equivalente se simularon consus modelos completos en el área en estudio, y las máquinas equivalentes con modelos de orden 2.

0 1 2 3 4 5-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

time (s)

Angulo de una máquina de Palmar: -Lleno:red original -Punteado:red equivalente

Angulo de de la Sexta Unidad: -Lleno:red original -Punteado:red equivalente

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

time (s)

Comentario:

Las gráficas durante el período de iniciación de la falta (primeros ms a partir de los 200 ms) son poco precisas,dado que (para ahorrar tiempo de cálculo) se usó un intervalo de integración fijo de 10 ms.

6)Posibles temas adicionales a desarrollar

-Definición de los límites de las áreas coherentes ,incluyendo los nodos de carga -Inclusión de los nodos de carga en los equivalentes,sin alterar sustancialmente los flujos y el comportamientodinámico. -Pasaje de la red equivalente a formato PSS/E (ya se ha hecho para los datos de flujo)

-Equivalentes dinámicos con modelos completos de máquina -Probar otros métodos de identificación y agrupamiento

-Aplicación de los métodos de coherencia lenta a la separación en islas durante perturbaciones