Método de integración por sustitución algebraica

Este método se basa en la regla de derivación de funciones compuestas.

Definición :

dxxf )( x t( )

( )t 0

1

Sea la integral que queremos resolver y sea la sustitución

donde es una función derivable con derivada no nula y sea

biunívoca o sea que también es derivable,

f t t dt H t c ( ) . ( ). ( )

f x dx H x c( ). ( ) 1

si

entonces:

 

Condiciones para aplicar el método:

/ x t ( ) * Exista una función

con

biunívoca y derivable con derivada no nula.

* La nueva integral en t que resulta al aplicar el método f t t dt ( ) . ( ).

debe ser inmediata o de menor complejidad.

Vamos a suponer que tienes la siguiente integral:

Use sustitución:

u = 1 + y^3du = 3y^2dy

dy = du/(3y^2)

Sustitución de estos valores en la integral que tendrá

∫y^2sqrt(1 + y^3)dy

Ahora vamos hacer la siguiente sustitución:

u = 1 + y^3

Ahora vamos a derivar u:

du = 3y^2dy

Ahora despejamos dy:

dy = du/3y^2

Ahora sustituimos 1+ y^3 por u y dy por du/3y^2 en la expresión original para que quede:

∫y^2sqrt(u) du/3y^2

Ahora fíjate que fácil es integrar esa expresión. La integral seria:

1/3u^3/2 * 2/3 + C

= 2/9u^3/2 + C

Volviendo a la variable original tendremos:

2/9 (1 + y^3)^3/2 + C

Ahora fíjate que se pueden cancelar las y^2, por lo que quedaría:

∫sqrt(u)/3du

Sacando el 1/3 afuera:

1/3∫sqrt(u)du

Esto es lo que hemos hecho:

1) Hicimos la sustitución u = 1 + y^3. Ahora fíjate que si hacíamos u = sqrt(1 + y^3) las cosas se no iban a complicar un poco mas. La idea es buscar una sustitución que lleve la integral a una forma mas simple.

2)

3)

Buscamos el diferencial de u. Fíjate que quedo algo como algodu = algody (Se deriva ambos lados de la igualdad). De aquí despejas dy para luego remplazar en el integrando.

Luego de hacer las respectivas sustituciones, se integra.

4) Se vuelve a la variable original.

Por ejemplo

∫2xcos(x^2)dx

Vamos hacer lo siguiente:

u = x^2 (sustituimos)du = 2xdx (derivamos ambos lados)

Despejamos dx:

dx = du/2x

Ahora remplazamos:

∫2xcos(u)/2xdu

Ahora podemos cancelar 2x:

∫cos(u)du

Integramos:

sen(u) + C

Volvemos a la variable original:

sen(x^2) + C