equilibrio no walrasiano

7/25/2019 Equilibrio No Walrasiano

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UNA LECTURA NO WALRASIANA DEL EQUILIBRIO GENERAL: CON

DEMANDA EFECTIVA RESTRINGIDA.

Documento preparado por Ricardo Gell Camacho

Introduccin

El objetivo del siguiente artculo es desarrollar un ejemplo de un modelo macroeconmico

que muestre la variedad y riqueza de una aproximacin no walrasiana. No obstante, en

tiempos en los que el nfasis est en los fundamentos microeconmicos de la

macroeconoma, es legitimo plantearse la pregunta si los conceptos no walrasianos pueden

ser desarrollados en un marco de equilibrio general tal como al que estn acostumbrados

los estudiosos de la economa walrasiana. En el artculo se busca presentar una respuesta

positiva a esta pregunta construyendo un conjunto de conceptos sobre equilibrio general

con rigideces de precios y competencia imperfecta. Estos conceptos estn desarrollados en

el cuadro tradicional walrasiano con agentes y mercados mltiples, el cual primero

esbozaremos brevemente.

EL PROCESO DE RESTRICCIN DE RENTA

La proposicin central de la teora keynesiana es el principio de la demanda efectiva. En

ausencia de un vaciado completo de los mercados, la produccin y el empleo son limitados

por la demanda agregada. En estos contextos de exceso de oferta, las demandas de los

agentes son restringidas por su incapacidad para vender tanto como quisieran a los precios

vigentes. Las fallas en los ajustes va precios, para garantizar el vaciamiento de los

mercados, induce a que las cantidades determinen las cantidades. Muchas teoras

contemporneas asumen que en mercados competitivos, hay un vaciamiento continuo por

los precios, el comportamiento individualmente racional conlleva resultados colectivamente

racionales. Sin embargo, el teorema no se verifica si tanto los mercados y las instituciones

responsables de determinar los precios no originan precios competitivos perfectamente

flexibles. La racionalidad del individuo no se corresponde necesariamente con la

constitucin de instituciones que garantizaran resultados tipo mano invisible. (Tobin

1993).


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2

En el caso de que los precios no sean perfectamente flexibles, es decir que no logren

ajustarse antes de que tenga lugar un intercambio, las transacciones se realizaran a precios

en desequilibrio, este es el conocido intercambio falso de Hicks (1939).Hicks afirmo sin

embargo, que estas transacciones falsas seran limitadas en volumen y por tanto su efecto

renta podra ser insignificante por su magnitud. En consecuencia el vector precios en una

economa en que se fechan los acontecimientos regira invariablemente a lo largo de la

semana hicksiana, aproximndose al vector solucin de un sistema walrasiano de curvas de

oferta y demanda.

La contribucin de (Clower 1965), revisa el concepto de Hicks sobre el intercambio falso.

La atencin no esta en los efectos distributivos debidos a las transacciones que tienen lugar

a precios falsos, sino en los efectos sobre la renta agregada causados por las transacciones

que no tienen lugar debido a los precios falsos. Clower revisa el caso de un precio en

desequilibrio el de los servicios factoriales ofertados por las familias. Los ingresos

presentes de las familias estarn determinados no por la cantidad de servicios factoriales

que ofertaran al precio al que tales servicios son actualmente demandados, sino por la

cantidad que realmente consiguen vender. Su demanda efectiva en otros mercados estar

condicionada por la renta efectivamente alcanzada. En consecuencia las cantidades de

transacciones realizadas son un argumento junto a los precios, en las funciones de exceso

de demanda. (Clower 1965).

Los ingresos presentes de las familias estn sujetos a las restricciones de renta de las

familias que se generan por la inhabilidad para realizar su oferta total de factores a los

precios prevalecientes en los mercados, que conducen a una reduccin de la demanda

efectiva en los mercados de productos, con posteriores consecuencias en la renta agregada.

El proceso de desviacin ampliacin de dichas perturbaciones es un rasgo esencial de los

modelos de ajustes cuantitativos keynesianos.

El proceso de restriccin de la renta implica abandonar un supuesto tan fuerte pero tan

esencial de la teora walrasiana que es la infinita velocidad de ajuste de los precios. Las

implicaciones en trminos de mercados descentralizados donde los comerciantes

desconocen cual es el precio que vaca cada mercado es la incertidumbre sobre el precio de

equilibrio que es la principal consecuencia de eliminar el subastador de Walras.


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3

En general, la teora keynesiana rechaza la idea de que el mecanismo de precios ejecutara

eficientemente la funcin de informacin en el corto plazo. Sin embargo, no requiere una

actitud sustancialmente diferente a la tradicional respecto a la efectividad de los incentivos

de los precios para controlar el comportamiento de las unidades individuales de transaccin

(Leijonhufvud, 1968).

La teora del equilibrio general de Walras se origina en el contexto de la mecnica

newtoniana. El modelo walrasiano es adecuado para el estudio de la funcin de los precios

como incentivos, condicin necesaria ms no suficiente para la coordinacin de un sistema

descentralizado. Por ello sus dificultades desde el punto de vista de la teora de la dinmica.

La teora del equilibrio general walrasiano funciona adecuadamente en una economa en

equilibrio en la que los precios aportan lo esencial de la informacin necesaria para la toma

de decisiones individuales con mercados permanentemente vacos. El anlisis keynesiano

de sistemas econmicos que presentan un comportamiento dinmico revela la inmensa

complejidad que se requiere para tratar con procesos en los que los precios vigentes y los

esperados, como las cantidades realizadas y anticipadas condicionan el comportamiento de

los agentes. Las implicaciones de estas teoras no se refieren exclusivamente a que los

agentes no poseen informacin perfecta. Adicionalmente, especifican una estructura de

transacciones compuesta de diversos rasgos como serian los siguientes: las transacciones de

compra y venta se realizan con dinero, el medio de pago no es una mercanca generada por

el sector privado a travs del empleo de trabajo, el coste del dinero es mnimo y se asocia

en lo fundamental a la renuncia del inters, el factor trabajo es trabajo asalariado y no auto

empleado, las decisiones de ahorro y de inversin estn definidas por grupos compuestos

por lo general de individuos distintos, los costes de transaccin, incluidos los de

informacin son relativamente bajos, por lo cual a los individuos les resulta barato adquirir

o vender activos.

Equilibrio Walrasiano

Describiremos los varios conceptos de la economa no walrasiana en el marco de una

economa monetaria, donde un bien, llamado dinero, sirve como el numerario, (el

numerario no es dinero; de hecho como lo sealo Hicks, es una unidad de medida que el


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4

economista utiliza para explicarse a s mismo lo que los comerciantes estn haciendo),

medio de cambio y reserva del valor. Hay (L)mercados activos en el perodo considerado.

En cada uno de estos mercados uno de los lbienes no monetarios, indicado por h = 1,...,l,

es intercambiado por dinero al precio ph. Llamamospal vector l dimensional de estos

precios. Para simplificar esta exposicin, y aunque normalmente las aplicaciones

macroeconmicas incluyen a la produccin explcitamente, aqu consideramos una

economa de intercambio puro. Los agentes en esta economa estn incluidos por i = 1,...,n.

Considerando que en el principio del perodo, el agente i tiene una cantidad de dinero

0im y posesiones de bienes no monetarios representados por un vector W1, con

componentes0ihw para cada bien.

Un agente i en el mercado h puede hacer una compra 0ihd , o una venta 0ihs .

Definimos su compra neta del bien h como zih= dih sih, y el vector l dimensional de

estas compras netas comozi. Las posesiones del agente ide bienes no monetarios y dinero,

xiy mi, son, respectivamente,

(1)

(2)

Ntese que la ecuacin (2), la cual describe la evolucin de las posesiones de dinero, es

simplemente la restriccin presupuestal para una economa monetaria.

Equilibrio

Teniendo descrita la estructura bsica institucional de la economa, ahora describimos su

equilibrio Walrasiano, para contrastarlo con los conceptos del equilibrio no Walrasiano que

se desarrollaran a continuacin. Aun tenemos que escribir las preferencias de los agentes.

El agente itiene una funcin de utilidad Ui(xi, mi)=Ui(wi+zi, mi), la cual asumiremos en

adelante estrictamente cncava en sus argumentos1.

1El dinero entra en la funcin de utilidad porque es valorable tanto como una reserva de valor como un medio

de cambio. Estas funciones aparecern en ms detalle en los modelos macroeconmicos dinmicos

iii

iii

pzmm

zwx

=

+=


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5

Como se indic anteriormente, se asume que cada agente est en disposicin de

intercambiar tanto como pueda en cada mercado. As l transmite las demandas y las

ofertas que maximizan su utilidad sujeto a su restriccin presupuestal. La funcin de

demanda neta Walrasianazi(p)es la solucinzidel siguiente programa:

( )iiii mzwUmax ,. +

s.a iiimmpz =+

Tenemos como resultado un vector de demandas netas Walrasianas zi(p). Podemos notar

que no hay demanda de dinero. Ya que no hay tal cosa como un mercado para el dinero

sino slo mercados de varios bienes contra el dinero. Un vector de precios de equilibrio

Walrasianop*est definido por la condicin que todos los mercados se vacan, a saber:

(3)

El vector de transacciones realizadas por el agente ies igual a zi(p). Las asignaciones del

equilibrio Walrasiano poseen un nmero de propiedades de bienes. Por construccin, son

consistentes tanto en el nivel individual como de mercado. Tambin son ptimos en sentido

de Pareto, as que es imposible encontrar una asignacin que sera as de buena para todos

los agentes, y estrictamente mejor para al menos una (de ellos). Ms adelantecontrastaremos esta propiedad con las propiedades de sub optimalidad del equilibrio no

Walrasiano.

Esquemas de Racionamiento y Seales de Cantidad2

Sabemos por la literatura keynesiana y poskeynesiana, que cuando los mercados no se

vacan, tenemos que distinguir cuidadosamente entre transacciones y demandas efectivas.

Tmese un mercado particular h. Las transacciones llevadas a cabo por los agentes iestn

denotadas como d*ih0 (para una compra) o s*ih0 (para una venta). Las compras y las

ventas agregadas son idnticamente iguales:

subsecuentes. Tambin deberemos notar que alguna forma de dinero real, y no dinero nominal como aqu,

deber entrar en la funcin de utilidad. Esto supondra adicionar algunos nuevos argumentos de precios en la

funcin de utilidad. Ya que estos argumentos no juegan un papel en lo que sigue, son omitidos por el bien de

la simplicidad.2El anlisis de los esquemas de racionamiento y seales ver: (Dreze, 1975), (Benassy, 1993)

=

=

n

i

ipz

1

0*)(


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6

*

1

*

1

**

h

n

i

ih

n

i

ihh SsdD === == h (4)

No obstante, en este mercado las demandas y las ofertas efectivas, denotadasihd

~

yihs

~

, nonecesariamente se balancean en lo agregado, as que a menudo tendremos:

h

n

i

ih

n

i

ihh SsdD~~~~

11

== == (5)

Para mantener las notaciones de manera ms compacta, trabajaremos con las demandas

netas ihz~

y con transacciones netas*

ihz

definidas por:

ihihih sdz~~~ =

,***

ihihih sdz = (6)

Ahora desde cualquier conjunto posible de demandas y ofertas inconsistentes, el proceso de

intercambio genera transacciones consistentes. Algn racionamiento necesariamente

ocurre, el cual puede tomar varias formas, dependiendo de la organizacin particular del

mercado h. Llamamos esquema de racionamientoa la representacin matemtica de cada

organizacin especfica. Ms formalmente:

Definicin 1.El esquema de racionamiento en el mercado h est descrito por un conjunto

de n funciones:

)~,...,~( 1*

nhhihih zzFz = , i= 1,...,n (7)

tal que

0)~,...,~(1

1 ==

n

i

nhhih zzF

Para todo nhhzz ~,...,~1 (8)

Asumiremos generalmente que Fihes continua, no decreciente en ihz~

y no incremental en

los otros argumentos.


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7

Propiedades de los Esquemas de Racionamiento

Ahora revisamos otra vez brevemente, en este marco ms general, tres propiedades

importantes que un esquema de racionamiento puede satisfacer potencialmente:

intercambio voluntario, eficiencia del mercado y no manipulabilidad.

Existe intercambio voluntario en el mercado h si ningn agente puede ser forzado a

adquirir ms de lo que l demanda, o a vender ms de lo que ofrece. Esto es expresado

como

ihih dd~*

, ihih

ss ~* , para todo i (9)

o equivalente en trminos algebraicos como

ihih zz~*

,0~* ihih zz , para todo i (10)

En la realidad la mayora de los mercados cumplen con esta condicin, y asumiremos en

este artculo que el intercambio voluntario siempre se mantiene. Bajo este supuesto los

agentes son clasificados en dos categoras: agentes no racionados, para los cuales ihihzz ~* =

,

y agentes racionados, quienes comercian menos de lo que quieren.

La segunda propiedad posible es aquella de la eficiencia del mercado, o la ausencia de

fricciones. Un esquema de racionamiento es eficiente, o sin fricciones, si no se pueden

identificar simultneamente un demandante racionado y un oferente racionado en el

mercado correspondiente. Junto con la suposicin de intercambio voluntario, esto implica

la regla del lado corto, la cual est expresada en trminos de las demandas netas, como:

ihihih

n

i

jh zzzz ~0~~*

1=

= (11)

Podemos identificar que la eficiencia del mercado no siempre se mantiene, especialmente

para un mercado agregado. No obstante, afortunadamente, esta hiptesis no es necesaria

para la mayora de los conceptos microeconmicos presentados en las siguientes secciones.


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8

Ahora consideramos una tercera propiedad importante de los esquemas de racionamiento,

el de la no manipulabilidad. Un esquema de racionamiento no es manipulable si un agente,

una vez racionado, no puede incrementar el nivel de sus transacciones al incrementar su

demanda o su oferta. Para caracterizar la propiedad de no manipulabilidad ms

formalmente, es conveniente separar ihz~

de las otras demandas netas en el mismo mercado,

y as escribir un esquema de racionamiento en la forma

)~,~(* ihihihih zzFz = , i= 1,..., n (12)

Con

{ }ijzz jhih =~~

(13)

donde ihz

~ es el conjunto de todas las demandas netas en el mercado h, excepto para la

demanda del i simoagente. Ahora definimos:

Definicin 2. El esquema de racionamiento en el mercado h no es manipulable si puede

ser escrito bajo la siguiente forma por todos los agentes i:

[ ][ ]

=

)~(,~

)~(,~)~,~(

ih

s

ihih

ih

d

ihih

ihihihzGzmax

zGzminzzF

0~:

0~:

ih

ih

zSi

zSi

(14)

donde

{ } 0~)~,~(,~)~( == ihihihihihih

d

ih zzzFzmaxzG (15)

{ } 0~)~,~(,~)~( == ihihihihihih

s

ih zzzFzminzG

(16)

En palabras,)~( ih

d

ih zG y)~( ih

s

ih zG son simplemente las demandas y ofertas ms grandes del

agente ique pueden ser satisfechas dadas las demandas y ofertas de otros agentes.


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9

Seales de Cantidad

Acabamos de ver cmo las transacciones ocurren en un mercado que no se vaca. En dicho

mercado, cada agente recibe, en adicin a la tradicional seal de precios, algunas seales de

cantidad. En lo que sigue nos concentraremos en los mercados que satisfacen las

propiedades de intercambio voluntario y no manipulabilidad3. Estos pueden estar

representados como:

=

),~,~(

),~

,~(*

ihih

ihihih

szmin

dzminz

0~

0~

ih

ih

z

z

(17)

o de manera ms compacta por

{ })~,~(,~* ihihihih szmaxdminz = (18)

con

),~(~

ih

d

ihih zGd = )~(~ ih

s

ihih zGs = (19)

Las cantidades ihd~

y ihs~

, las que llamaremos restricciones percibidas, son las seales de

cantidad que el agente i recibe en el mercado h en adicin al precio ph. Veremos en las

siguientes secciones cmo la introduccin de estas seales de cantidad juega un papel

fundamental en las teoras de la demanda y del precio, y que sus consideraciones nos

permiten ampliar considerablemente el conjunto de posibles equilibrios.

Equilibrio con Precios Fijos4

3Excluimos la manipulabilidad porque, los esquemas manipulables llevan a un fenmeno perverso de sobre

oferta que previene el establecimiento de un equilibrio (vase Bnassy, 1993).4El concepto es desarrollado con los aportes de (Dreze, 1975, y Silvestre, 1978).


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10

Estamos preparados para observar un primer concepto del equilibrio no Walrasiano, aquel

con equilibrio con precios fijos. Este concepto es de inters por muchas razones. Primero,

nos da una estructura muy general del equilibrio no Walrasiano desde que, bajo ciertas

condiciones blandas, el equilibrio con precios fijos existe para cada sistema positivo de

precios y para cada conjunto de esquemas de racionamiento. Segundo, como veremos en la

seccin (Fijacin de Precios y Equilibrio General), el equilibrio con precios fijos es un

bloque esencial para construir otros conceptos de equilibrio no Walrasiano con precios

flexibles. Tercero, el estudio de sus propiedades de optimalidad (o incluso su sub

optimalidad) ser aplicable tambin a otros conceptos.

As asumimos que el sistema de precios p est dado. Como indicamos anteriormente,

consideramos esquemas de racionamiento no manipulables en todos los mercados. De

acuerdo a esto, las transacciones y las seales de cantidades son generadas en todos los

mercados de acuerdo a las frmulas vistas anteriormente (ecuaciones 12 y 19).

Podemos hacer la notacin incluso ms compacta representando las funciones de

racionamiento y las restricciones percibidas que conciernen a un agente i (ecuaciones 12 y

19) como funciones vectores:

(20)

(21)

donde iz~

es el vector de demandas expresado por el agente i, y iz

~el conjunto de todos

estos vectores por todos los agentes, excepto el agente i.

Inmediatamente observamos que todo lo que permanece para ser hecho, con el motivo de

obtener un concepto de equilibrio con precios fijos, es determinar cmo las mismas

demandas efectivas son formadas, un tema hacia el cual proseguimos ahora.

Demanda y Oferta Efectiva

)~,~(* iiii zzFz =

)~(~),~(~

i

s

iii

d

ii zGszGd ==


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11

Consideremos un agente ienfrentado a un vector de precios p y a vectores de restricciones

percibidas, id~

y is~

. Veremos cmo el agente puede escoger un vector de demandas

efectivas iz~

que lo lleva a la mejor transaccin posible. Partimos de la definicin de

demanda efectiva en un mercado h, como el intercambio que maximiza la utilidad despus

de tomar en cuenta las restricciones de los otrosmercados.

Haremos esto ms preciso a travs de la siguiente definicin:

Definicin 3.La demanda efectiva del agente i en el mercado h, la cual denotamos como

)~,~

,(~

iiih sdp , es la solucin en zihdel siguiente programa Ah:

),( iiii mzwmaxU + s.a

iii mmpz =+ (Ah)

,~~

ikikik dzs hk

Gracias a la estricta concavidad de Ui, obtenemos la funcin. Repitiendo este programa

para todos los mercados h = 1,...,l, obtenemos una funcin vector de demandas efectivas,

)~

,

~

,(

~iiih sdp .

Claramente, hasta aqu es slo una definicin. Para calificar como un vector de demanda

legtimo,)~,

~,(

~iiih sdp debe ser mostrado como que conduce al mejor vector de

transacciones. Para encontrar esta mejor transaccin, notamos que las transacciones del

agente i en el mercado h estn limitadas al intervalo dado por las restricciones percibidas

,~~

ikikik dzs . As que su mejor transaccin es la solucin en zidel siguiente programa

A0:

),( iiii mzwmaxU + s.a

iii mmpz =+ (A0)

,~~

ikikik dzs h = 1,...,l,


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12

Ya que la funcin Uies estrictamente cncava, la solucin es nica y la denotamos como

)~,~

,(* iii sdp . Ahora nos resta probar que i~

conduce a la mejor transaccin*

i , esto es, en

trminos matemticos, que la siguiente proposicin se mantiene:

Proposicin 1. El vector de demandas efectivas )~,

~,(

~iiih sdp conduce a la mejor

transaccin, a saber

{ } )~,~,(~),~,~,(~,~ * iiihihiiiih sdpssdpmaxdmin = (22)

Aunque trivial, la prueba es un poco rustica, (Es explicada en el apndice). Adems de

conducir a la mejor transaccin, nuestra funcin de demanda efectiva tiene una segunda

propiedad: cuando quiera que una restriccin presupuestal est atada a un mercado h, la

demanda (u oferta) correspondiente es mayor que la restriccin o la transaccin, lo que

seala al mercado que el agente comercia menos de lo que l querra. Resulta que esta

propiedad es importante para evadir el equilibrio trivial (Bnassy 1993).

Vemos inmediatamente de la definicin 3 que dependiendo de la cantidad en que las

restricciones se encadenan, la demanda efectiva puede tomar varias formas funcionales.Esto explica intuitivamente por qu los modelos no Walrasianos generalmente tienen

mltiples regmenes, como lo demuestran los modelos de tres bienes y tres regmenes que

en este artculo no se incluyen.

Equilibrio con Precios Fijos5

Con la definicin precedente de demanda efectiva, podemos dar una definicin de un

equilibrio con precios fijos (Bnassy, 1993), el cual llamaremos un equilibrio K.

5El tema de unicidad de un equilibrio se basa en los desarrollos de (Schultz, 1983 & Benassy, 1993).


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13

Definicin 4. Un equilibrio K asociado a un sistema de precios p y a esquemas de

racionalizacin representados por las funciones Fi, i = 1,..., n, es un conjunto de demandas

efectivas iz~

, transacciones*

iz , y restricciones percibidas id~

y is~

tal que

(a)isdpz iiii = ___)

~,~

,(~~

(b)izzFz iiii = _____)

~,~(*

(c)izGszGd i

s

iii

d

ii == ____)~(~),~(

~

Vemos que en un equilibrio K con precios fijos la cantidad de las restriccionesid

~

yis

~

de

donde los agentes construyen sus demandas efectivas (condicin a) son las que sern

generadas por el proceso de intercambio (condicin c). En equilibrio los agentes as tienen

una percepcin correcta de esas restricciones de cantidad.

El equilibrio definido por las condiciones anteriores existe para todos los precios positivos

y para todos los esquemas de racionamiento que satisfacen el intercambio voluntario y la no

manipulabilidad (Bnassy, 1993). Los datos exgenos son consistentes con el sistema de

precios y los esquemas de racionamiento en todos los mercados Fi, i= 1,..., n. Uno puede

preguntarse si para tales datos exgenos dados el equilibrio parece ser nico. Una respuesta

positiva es provista por Schulz (1983) quien mostr que el equilibrio es nico si los efectos

de goteo de un mercado a otro son menores al 100% en trminos de valor. Por ejemplo, en

el modelo tradicional Keynesiano ms simple, esto estara en trminos de asumir una

propensin a consumir ms pequea que 1, lo que es una condicin algo intuitiva.

Asumiremos que las condiciones para la unicidad estn satisfechas, y las denotaremos por

)(~

),(),(~ *

pDpZpZ iii y)(

~pSi los valores de

,~

,,~*

iii dzz y is~

en un equilibrio de precios fijos.

Ahora tomamos un simple ejemplo de un equilibrio en precios fijos, la tradicional Caja de

Edgeworth (Figura 1 tomada de Benassy, 1993). representa un mercado sencillo donde los

agentes A y B intercambian un bien (horizontalmente medido) contra el dinero (medido

verticalmente). El Punto O corresponde a las dotaciones iniciales, DC es la lnea


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14

presupuestal de los dos agentes al precio p, y los puntos A y B son los puntos de tangencia

de las curvas de indiferencia con la lnea presupuestal.

Midiendo el nivel de los intercambios sobre la lnea OC, vemos que el agente A demanda

una cantidad OA, y el agente B ofrece una cantidad OB. Ellos intercambian en el mnimo

de estas dos cantidades, llamadas OA, y el agente B es racionado. Las restricciones

percibidas son, respectivamente, OA para el agente B y OB para el agente A. El agente B

est constreido en su oferta, mientras que A no est constreido.

FIGURA 1.Equilibrio en precios fijos.

Podemos decir unas pocas palabras sobre las propiedades de las asignaciones en un

equilibrio K a precios fijos. Primero, en un mercado particular h, las transacciones de los

varios agentes son, por construccin, mutualmente consistentes, ya que ellas resultan de

esquemas de racionamiento

=

=

n

i

ihz1

* 0

h (23)

Las demandas y las ofertas no necesitan estar balanceadas, no obstante, y en un mercado

particular uno puede tener tres categoras diferentes de agentes:

FIGURAFIGURAFIGURAFIGURA 1111


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15

1.

Agentes no racionados tal que ihihzz ~* =

2. Demandantes racionados tal que ihihihdzz~~ * =>

3.

Oferentes racionados tal que ihihihszz ~~ * = j

jhjh sz~* >

para algn i implica jhjhdz~* 0 si iest constreido en su demanda por el bien h

)~0( * ihih zz

*ih


23/31

23

(34)i

ihh

ii

ihi pmU

zU

+=

Podemos as notar que el precio sombra del bien h es mayor, igual o menos que ph

dependiendo de si el agente i est constreido en su demanda, no est constreido o est

constreido en su oferta en el mercado h.

Usaremos los resultados concluyentes para estudiar las propiedades de optimalidad del

equilibrio con precios fijos. Antes de empezar, debemos adicionar una observacin ms a

nuestra suposicin. Est claro que sera muy fcil mostrar que los equilibrios con precios

fijos son ineficientes en algunos mercados que por s mismos funcionan de manera

ineficiente. As asumimos en lo que sigue que todos los mercados carecen de friccin. Esto

implica inmediatamente que los nmeros *ihsern cero para al menos todos los agentes en

el lado corto de cada mercado h.

Optimalidad de Pareto

Ahora podemos plantearnos la pregunta si las asignaciones con precios fijos tienen la

propiedad del ptimo de Pareto. Desde un punto de vista heurstico, primero notamos que la

restriccin del intercambio ante precios fijos no necesariamente excluye la optimalidad dePareto.

Esto conduce a la intuicin que la eficiencia requerira intercambio forzado y, de manera

inversa, que el intercambio voluntario generalmente implicara ineficiencia. Esto est

estudiado en Silvestre (1985), quien mostr rigurosamente que la optimalidad de Pareto y el

intercambio voluntario es satisfecho slo en la asignacin Walrasiana.

Podemos adems ver de una manera directa por qu los equilibrios con precios fijos

generalmente no son ptimos de Pareto. Por eso recordaremos primero la caracterizacin

diferencial de un ptimo de Pareto. Tal ptimo puede ser obtenido maximizando una suma

ponderada de las utilidades de los agentes, sujeto a las restricciones usuales de suma:

s.a),(1

=

+

n

i

iiiii mzwUvmax


24/31

24

=

=

n

i

ihz1

,0

h=1,...,l

==

=

n

i

i

n

i

i mm11

~

Las condiciones Kuhn Tucker para tal programa pueden ser re - escritas de la manera

tradicional:

(35),...,1, nimU

zUh

ii

ihi ==

esto es, el precio sombra de cada bien hdeber ser el mismo para todos los agentes.

Ahora podemos ver por qu los equilibrios con precios fijos no son ptimos de Pareto: en

un mercado h hay siempre algunos agentes que no estn constreidos (p.e., los que se

encuentran en el lados corto). Para esos agentes, en vista de la caracterizacin anterior

(ecuacin 34), el precio sombra para el bien hes igual aph. Si la asignacin es un ptimo

de Pareto, el precio sombra debe ser el mismo para todos los agentes (ecuacin 35), y as

igual aphpara todos los agentes. Esto implica que

)36(,0 hiih =

As que ninguno de los agentes est constreido en todos los mercados, lo que significa que

estamos en un equilibrio Walrasiano.

Optimalidad Constreida de Pareto7

Investigaremos ahora una nocin demandante de la optimalidad, debida a Uzawa (1962),

que tiene en cuenta el hecho que los intercambios toman lugar en un sistema de precios

dados. As que diremos que una asignacin es un ptimo constreido de Pareto si no hay

una asignacin que (1) satisface las condiciones de factibilidad fsica, (2) satisface las

7Las propiedades de la optimalidad constreida son investigadas por (Uzawa, 1962, Clower, 1965 &

Leijonhufvud, 1968)


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25

restricciones presupuestales por el vector de precios dado p, y (3) que Pareto - domina la

asignacin considerada. Veremos, no obstante, que esta propiedad no se extiende

generalmente a un caso de mltiples mercados.

De hecho, retornando al marco general, vemos que una asignacin ptima constreida de

Pareto puede ser obtenida como una solucin del siguiente programa, donde las vi son

medidas arbitrarias positivas:

immpz

hz

mzwUvmax

iii

n

i

ih

n

i

iiiii

=+

=

+

=

=

~

0

s.a)(

1

1

Ntese que no necesitamos escribir la restriccin de factibilidad para el dinero, ya que sigue

desde las otras igualdades. Las condiciones Kuhn Tucker para este programa pueden ser

escritas como

(37)hihii

ihi pmU

zU+=

donde las :i son positivos. Los nmero *h pueden tener cualquier signo. Si ahora

comparamos los precios sombra en un ptimo constreido de Pareto (ecuacin 37) con

aquellos en un equilibrio con precios fijos (ecuacin 34), vemos que un ptimo constreido

de Pareto se obtendr slo bajo circunstancias muy especiales. Como la frmula (37)

muestra, un agente idebera estar constreido en todos los mercados donde *hes diferente

de cero (si :i0) o no constreido en ninguno (si :i=0). Un caso particular en el que esto

ocurre es la situacin del desempleo clsico en el modelo de tres bienes, pero este tipo de

situacin ocurrir poco si varios mercados no se vacan.

Hay de hecho otros casos en los que la optimalidad constreida no se puede mantener

estructuralmente. Considrese, por ejemplo, una situacin generalizada de exceso de oferta

donde tpicamente cada agente est constreido en los bienes que el vende (*ih


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26

la ecuacin (37), y el equilibrio correspondiente ser sub ptimo, incluso teniendo en

cuenta la restriccin de que el intercambio debe ser hecho a los precios dados. Una

situacin simtrica ocurre con los excesos generalizados de demanda (este seria un caso de

sub-optimalidad).

Ms generalmente, podemos esperar que la sub optimalidad donde hay muchos mercados

con excesos de demanda del mismo signo (una situacin que adems conduce a efectos

multiplicadores; vase Bnassy 1993, para un estudio de la relacin entre los dos). Como

un primer ejemplo, considrese el caso, tpico en la teora Keynesiana, de dos mercados, h

y k, ambos en exceso de oferta. Considrense dos agentes i y j, siendo i un oferente

racionado en ky un demandante no racionado en h, siendojun oferente racionado en hy

un demandante no racionado en k. Entonces las condiciones vistas anteriormente

inmediatamente conducen a

(39)11

(38)11

jh

i

hj

i

jk

i

k

ik

i

ki

i

ih

i

h

z

U

pm

U

z

U

p

z

U

pm

U

z

U

p

=

=

>

>

Uno as ve que iyjestaran interesados en intercambiar bienes hy kdirectamente contra

cada otro ante los preciosphypk,lo que sugiere un simple intercambio mejora de Pareto.

Desde luego, en general, en la ausencia de una doble coincidencia de necesidades, tales

intercambios mejoras de Pareto seran mucho ms complejos, y as pues ms difcil para

alcanzar por agentes descentralizados.

Cadenas Multiplicadoras

Generalizando la situacin precedente a un nivel ms desagregado, podemos definir

cadenas multiplicadoras a lo largo de las cuales un fenmeno similar puede ocurrir.

Especficamente, definimos una cadena multiplicadora de demanda como un conjunto de k

comerciantes (i1,...,ik) y kbienes (h1,...,hk) cuyos mercados estn en exceso de oferta, y tales

que


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27

1

3

2

2

2

1

1

pordemandasuenoconstreidno

deofertasuenoconstreidest

................................................................





h

hi

h

hi

h

hi

k

k

La razn por la cual llamamos a esto una cadena multiplicadora es fcil de entender si

consideramos el efecto de un choque de demanda exgeno, a decir, una cada de la

demanda del bien hi. El agente i1, estando ms constreido en su oferta del bien h1, reducir

su demanda del bien h2. Esto constreir al agente i2 en la oferta del bien h2, as que lreducir su demanda del bien h3, y as se contina. Vemos que cada disturbio inicial en el

lado de la demanda de uno de los k mercados es transmitido con el mismo signo a todos los

mercados de la cadena8y retorna ultimadamente al mercado inicial, lanzando una nueva ola

de desajustes, y as alcanzando un efecto multiplicador. Generalmente, varias cadenas

diferentes de este tipo existirn si hay excesos de oferta en cualquier mercado. Los efectos

multiplicadores de la demanda pueden ser observados especialmente en el caso de exceso

general de oferta. Desde luego, el caso simtrico (aunque menos observado en la realidad)

los efectos multiplicadores de la oferta pueden elevarse en caso de un exceso general de

demanda.

Es adems fcil construir para esta cadena multiplicadora de demanda un conjunto de

intercambios mejoras Paretianas ante un conjunto dado de precios. La existencia de

posibilidades de intercambio no realizado al nivel de la economa por consiguiente sugiere

que en tales casos la intervencin del gobierno puede mejorar la situacin del sector

privado.

8Asumimos implcitamente que una reduccin constreida en las ventas de un bien conduce a una reduccin

en la demanda efectiva de otros bienes, lo que tomamos como un caso normal.


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28

Conclusiones

En este artculo construimos un modelo que indaga la posibilidad del establecimiento de un

equilibrio general con mltiples mercados. Al hacerlo, generalizamos el usual equilibrio

walrasiano a un conjunto de situaciones mucho ms diversas, incorporando mercados que

no se vacan y competencia imperfecta.

Para facilidad y simetra de la exposicin describimos explcitamente conceptos de

equilibrio general para dos casos extremos: uno con todos los precios rgidos, otro con

todos los precios flexibles en un rgimen de competencia imperfecta. Claramente, varios

conceptos intermedios con cualquier combinacin de precios fijos o flexibles pueden ser

construidos. Adems los as llamados precios rgidos no deben ser pensados como rgidos

por siempre, pueden estar simplemente pre fijados para un slo perodo. Las posibilidades

pueden ser exploradas con los macro modelos dinmicos que actualmente tienen amplios

desarrollos.

Apndice: Prueba de la Proposicin 1.

Recordaremos una pareja de definiciones. El vector de transacciones ptimas )~

,

~

,(

*

iiih sdp

es la solucin enzial programaA0:

hdzs

mmpz

mzwmaxU

ihihih

iii

iiii

=+

+

,~~

)(A~

s.t),(

0

la demanda efectiva en el mercado h, )

~

,

~

,(

~iiih

sdp , es la solucin enzihal programaAh:

khdzs

mmpz

mzwmaxU

ikikik

iii

iiii

=+

+

,~~

)(A~

s.a),(

h


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29

Ahora podemos establecer y probar la proposicin 1:

Proposicin 1. El vector de demandas efectivas )~,

~,(

~iiih sdp conduce a la mejor

transaccin, a saber

[ ]{ } (40))~,~,(~),~,~,(~,~ * iiiiiiii sdpssdpmaxdmin = La prueba define

[ ]{ } (41)~),~,~,(~,~* iiiiii ssdpmaxdminz =

La proposicin es probada al mostrar la igualdad de*

iz y)~,

~,(* iiih sdp componente por

componente. En efecto debemos mostrar que**

ihihz = para todo h. Tres casos pueden

emerger.

Primero, ihihihds~~~

. Esta desigualdad implica, por la definicin de*

iz , que ihihz

~* =

.

En este caso las restricciones en el mercado h no estn inmersas, y las soluciones a los

programas A0y Ahson as las mismas, lo que implica ihih

~*=

Las dos inecuaciones previas llegan a

(42)** ihihz =

Segundo, ihihd~~ >

. Esta inecuacin implica, en vista de la definicin de*

iz , que ihihdz ~* =

.

La restriccin ihd~

est inmersa, y gracias a la estricta concavidad de la funcin de utilidad,

tenemos ihihd~*

=. Combinando las dos igualdades anteriores, obtenemos

(43)** ihihz =

Tercero, ihihs~~


30/31

30

(44)** ihihz =

La igualdad** ihihz = se sostiene en los tres posibles casos, lo que prueba la proposicin.

BIBLIOGRAFIA

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equilibrio no walrasiano

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