EQUIL IBRIO EN ECONOMIAS

ESTOCASTICAS CONMERCADOS

INCOMPLETOS

Jose FajardoIBMEC Business School

J. FAJARDO

INTRODUCION

Walras (1874)Pareto (1896)Arrow (1951)Debreu (1952)

McKenzie (1954)

Modelo de Equilıbiro

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AXIOMAS DEL MODELO

• Todo agente esracionalmente limitado

• Todo agente actua eninteres propio

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MODELO DE ARROW-DEBREU

• Economia con Incertidumbre Exogena

• Tiempo discreto

• Mercados Completos

• Mercado sin Friciones

• Dotaciones Inciales Exogenas

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COSTOS NOINCLUIDOS

• Costos ex-ante:Costo de Tiempo e esfuerzo para buscar loscontratos y detallarlos

• Costos ex-post:Costo Legal por incumplimiento de contratos.

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MODELO

Cada agenteh resuelve el siguiente problema:

maxBh(π,wh)

Uh(x)

Donde

Bh(π, wh) =

x ∈ IRS+1+

∣∣∣ π(x− wh) ≤ 0

Precios de estado

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EQUILIBR IO

Definicion 1. Un equilibrıo para la economiaE = (Uh, ωh)h∈Hcon um solo bien, es um par que consiste en uma alocacion y unvector de precios:((xh)h∈H, π) tal que:

1. Los agentes maximizan sus utilidades:

xh ∈ arg maxBh(π,wh)

Uh(x), h ∈ H

2. Mercado equilibrados:∑

H

(xh − wh) = 0

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PRINCIPAL RESULTADO

Teorema 1. La economiaE tiene equilibrıo.

Teorema 2. El equilibrıo es Pareto Eficiente.

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EXTENSIONES DELMODELO ARROW-DEBREU

Debilitamiento de los Axiomas:

• Asimetrias de Informacion

• Altruismo

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EXTENSIONES DELMODELO ARROW-DEBREU

Debilitamiento de las Hipotesis:

• Incertidumbre Endogena

• Mercado Financiero con Friciones

• Mercados Incompletos

• Tiempo Continuo

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ECONOMIAS EM TEMPO CONTINUO

Mercados Completos

• Huang (1987)

• Dumas (1989)

• Karatzas, Lehoczky and Shreve (1990)

En este caso a utilidad de un agente representativo es construidacomo uma combinacion lineal de las utilidades individuales de losagentes.Usando pesos constantes.

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AGENTE REPRESENTATIVO

Para cada vectorλ ∈ IRH+ de pesos de los agentes, defina:

Uλ(x) = sup(c1,...,cH)

H∑

h=1

λhUh(ch)

Tal quec1 + · · ·+ cH ≤ x.

Lema 1. Suponga queUh es concava para todoh. Una alocacionfactıble es Pareto optima si y solamente si existe um vectorλ ∈IRH

+\0 tal que(c1, . . . , cH) resuelve el problema de alocaciondel agente representativo conx = c1 + · · ·+ cH.

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ECONOMIAS EM TEMPO CONTINUO

Mercados Incompletos

• Karatzas, Lehoczky, Shreve and Xu (1991)

• Cuoco and He (1994)

• Fajardo (2002, 2003)

En este caso a utilidad de un agente representativo es construidacomo uma combinacion lineal de las utilidades individuales de losagentes.Usando pesos estocasticos.

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MODELO

• Horizonte de Tiempo finitoT

• Un solo bien de consumo

• Mercado Financiero conn + 1 activos, uno sin riesgo (Bono) yn con riesgo.

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MODELO

Las equaciones que determinan la evolucion de los precios delos ativos son:

dB(t) = r(t)B(t)dt, B(0) = 1, (1)

dPi(t) = Pi(t)[bi(t)dt +d∑

j=1

σijdW j(t)], Pi(0) ∈ (0,∞),∀i

(2)DondeW (t) = (W 1

t , ..., W dt )′, 0 ≤ t ≤ T, es un Movimiento

Brownianod−dimensional, cadaW i es un Movimento Browni-ano.

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MODELO

Wtt≥0 es un movimento Browniano standard si:

1. Wt es continuo ent,

2. Para todot y s > t, Ws −Wt ∼ N(0, s− t)

3. Para cualquiert0, t1, . . . , tn tales quet0 < t1 < · · · < tn < ∞,las variables aleatoriasWt0,Wt1 −Wt0, . . . , Wtn −Wtn−1 sonindependientes.

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Simulemos equacion (2) parad = 1, P (0) = 20, b = 14%,σ = 20% y ∆t = 0.01, entonces

∆P = 0, 0014P + 0, 02Pε

Dondeε ∼ N(0, 1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 315

20

25

30

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−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Figura 1: Retornos IGBVL

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−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Standard Normal Quantiles

Qua

ntile

s of

Inpu

t Sam

ple

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

Figura 2: Quantile-Quantile IGBVL

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Decisiones Individuales

Todos los agentes de esta economia tienen la misma infor-macion representada porF y tienen las mismas crencias repre-sentedas porP. estos agentes son pequenos inversionistas y cadauno de ellos decidira a cada momentot ∈ [0, T ] :

1. Cuanto dinero(α, θ) el quiere invertir. Dondeα(t) e θ(t) =(θ1(t), ..., θn(t))′ denotan el numero de unidades de bonos yactivos, respectivamente.

2. Cual sera su concumo acumuladoC(t).

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Decisiones Individuales

El conjunto de estrategias admisibles sera denotado porΘ.Consideramos que existe un numero finito de agentesH ≥ 2. Lapreferencia de cada inversionista es caracterizada por una funcionde utilidad aditiva en el tiempo y independiente de los estados

Uh(c) = E

T∫

0

uh(c(t), t)dt

, h ∈ 1, .., H.

HipotesisLas funcionesui(·, t) son estrictamente crescientes, es-trictamente concavas y tres vezes continuamente diferenciables en(0,∞) para todat. Mas aun, satisfazen la condicion de Inada

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Decisiones IndividualesCada inversionistah esta dotado de un proceso de dotacion

eh > 0, eh 6= 0. Denotemosel proceso de dotacion agregado,por “e”, i.e.

e =H∑

h=1

eh,

HipotesisEl proceso “e” es un proceso de Ito,

de(t) = µ(t)dt + ρ(t)dWt,

Mas aun, existen constantes0 < e′ ≤ e′′ tal que

e′ ≤ e(t) ≤ e′′ ∀t ∈ [0, T ].

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Decisiones Individuales

Denotaremos porE = (Ω,F,P, σ, uh, ehHh=1) las primiti-

vas de la economia, yP = (r, b) seran parametros definiendo elproceso de precios de los ativos. Nos referiremos aE como laeconomiay aP comoel sistema de precios.

Dado el sistema de preciosP cada inversionistah escoge suproceso de consumoch y una estrategia admisible(αh, θh) ∈ Θ,tal queαh(0) = 0, θh(0) = 0,

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Decisiones Individuales

Xh(t) =

t∫

0

αh(s)dB(s)+

t∫

0

θ′h(s)dP (s)−t∫

0

(ch(s)−eh(s))ds,

(7)

Xh(t) ≥ −KB(t), (8)

Xh(T ) ≥ 0, (9)

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Decisiones Individuales

Definicion 2. Dado el sistema de preciosP, un proceso de con-sumoch ∈ C es factible con la dotacioneh si existe uma estrategiaadmissible(αh, θh) ∈ Θ tal que (7)-(9) son satisfechas. Entonces,decimos que(αh, θh) financiach.

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Precios

Para qualquier sistema de preciosP definamosel proceso pre-mio por riesgo estandarizado.

η0 = −σ′(t) (σ(t)σ′(t))−1 (b(t)− r(t)1) , (10)

y el proceso exponencial

Z0(t) = exp

t∫

0

η′0(s)dW (s)− 12

t∫

0

|η0(s)|2 ds

, (11)

Medida martingala equivalente

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Definicion 3. Un sistema de preciosP = (r, b) es admisible si:

a) El proceso taza de interes satisface

t∫

0

|r(s)|ds < ∞, (12)

para todot ∈ [0, T ] y existe una constanteK1 > 0 tal que

T∫

0

r(t)−dt < K1, (13)

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b) proceso premio por riesgo estandarizadoη0 de (10) satisface acondicion de Novikov:

E

exp

1

2

T∫

0

|η0(t)|2dt

< ∞, (14)

c) Existe unaunica solucion fuerte para la equacion integralestocastica (2).

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Equil ıbrioDefinicion 4. Un equilıbrio de expectativas racionales para laeconomiaE es un sistema de precios admissibleP y un conjuntoch, (αh, θh) de consumo y estrategias admisibles tal que;

(i) ch maximizaUh enB(eh,P) ∩ Ch

(ii) (αh, θh) financiach

(iii) Mercados equilibrados,i.e.

H∑

h=1

αh = 0,

H∑

h=1

θh = 0, y

H∑

h=1

ch = e.

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Polıticas Optimas

Suponga que los mercados seam completos(n = d). En estecaso el problema de maximizar utilidad esperada suujeto a las re-striciones (7)-(9) es equivalente al problema de maximizar utili-dad sujeto a la restricion Arrow-Debreu :

E

T∫

0

γ(t)Z0(t) (c(t)− ek(t)) dt

≤ 0, (15)

LuegoH0(·) = γ(·)Z0(·) es launica densidad de precios de es-tado para la economia.

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Polıticas Optimas

Sabemos que si la solucion optimach0 del problema del agenteh existe, entonces este satisface la condicion de primera orden:

uhc(ch0(t), t) = ψhH0(t), (16)

para algun multiplicador de Lagrangeψh tal que (15) es satisfe-cho como igualdad.

Para el caso de mercados incompletos necesitamos estender lanocion de medida martingala equivalente.

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Polıticas Optimas

Para cadaν ∈ K(σ) =ξ ∈ L2 : σξ = 0 (P × l)− a.e

, de-

finamosην(t) = η0 + ν(t), entonces el proceso exponencial

Zν(t) = exp

t∫

0

η′ν(s)dW (s)− 12

t∫

0

|ην(s)|2ds

, (17)

esta bien definido y es um martingala local continuo y estricta-mente positivo. Denotemos porN o conjunto deν ∈ K(σ) parael cual el procesoZν es un martingala uniformemente integrable.

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Polıticas Optimas

Proposicion 1. Una medida de probabilidadQ es una medidamartingala localmente equivalente si y solamente sidQt

dPt= Zν(t)

para algunν ∈ N y ∀t ∈ [0, T ], dondePt(Qt) denota a restriciondeP(Q) aFt.

Con esto podemos caracterizar las densidades de precios deestado.

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Lema 2. Sech es factible para la dotacioneh, entonces

E

T∫

0

Hν(t)(ch(t)− eh(t))dt

≤ 0,∀ν ∈ N , (18)

dondeHν(·) = γ(·)Zν(·). Reciprocamente, seach ∈ Ch esuponga que existeνh ∈ N talque

E

T∫

0

Hν(t)(ch(t)− eh(t))dt

≤ E

T∫

0

Hνh(t)(ch(t)− eh(t))dt

= 0,

(19)∀ν ∈ N . Entoncesch es factible para la dotacioneh.

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Polıticas Optimas

El anterior Lema nos indica que el problema de optimizacionpuede ser reformulado como el problema de maximizacion de lautilidad esperada sujeta a las restriciones presupuestarias asoci-adas a las densidadesHν with ν ∈ N .

Usando el Lema de Ito tenemos que el conjuntoHν : ν ∈ Nes convexo, de aqui el gradiente de la utilidad del agenteh en lasolucion optima sera proporcional a la densidad de precios de es-tadosHνh

conνh ∈ N .

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Esto implica que la solucion del problema de consumo individ-ual del agenteh coincide con la solucion del problema de maxi-mizar utilidad esperada del proceso de consumoch ∈ Ch satisfa-ciendo la restricion

E

T∫

0

Hνh(t)(ch(t)− eh(t))dt

≤ 0.

A solucion sera dada por

cνk(t) = fk

(ψkHνk

(t), t), (21)

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Agente RepresentativoVamos construir la funcion de utilidad U tal que (P, e)

es un equilibrio sin negocios para la economia de un agente((Ω,F ,F,P), σ, U, e).

Defina la funcionu(c, λ, t) : (0,∞)× (0,∞)H× [0, T ] → IR por

u(c, λ, t) = max∑Hh=1 ch=c

[H∑

h=1

λhuh(ch, t)

](30)

La solucion del problema de alocacion (30) es

ch = fh

(uc(c, λ, t)

λh, t

), ∀h ∈ 1, ..., H. (31)

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Agente Representativo

Mostremos que cualquier equilıbrio da economia puede ser su-portado por un agente representativo con la siguiente funcion deutilidad dependiente del estado.

U (c, λ) = E

[∫ T

0

u (c(t), λ(t), t) dt

],

conu dada por (30) yλ un proceso adaptado.

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Agente Representativo

Proposicion 2. suponga que(P, c1, .., cH) es un equilıbrio parala economiaE . Entonces existe un proceso continuo e adaptadoλ tal que el proceso de dotacion agregada “e” maximizaU(c, λ)sobreB

(∑Hh=1 eh,P

)e las polıticas de equilıbrio (c1, .., cH) re-

suelven el problema de alocacion del agente representativo en (30)conc = e(t) eλ = λ(t) para todot ∈ [0, T ]. Con

λh(t) =ψ1Hν1(t)ψhHνh

(t), ∀ h ∈ 1, .., H, (34)

dondeHνhes la densidad de precios de estado para el agenteh.

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Agente RepresentativoTeorema 3. Suponga que(P, c1, .., cH) es un equilıbrio para laeconomiaE . Defina la utilidad del agente representativo y el pro-cesoλ como en la Proposicion 2. Entonces el sistema de preciosde equilıbrio P = (r, b) y la polıtica de consumo son dadas enterminos deλ por

r(t) = −Guc(e(t), λ(t), t) + uct(e(t), λ(t), t)uc(e(t), λ(t), t),

b(t) = r(t)1− ucc(e(t), λ(t), t)uc(e(t), λ(t), t)

σ(t)ρ(t),

ch(t) = fh

(uc(e(t), λ(t), t)

λh(t), t

),

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Y las densidades de precios de estados de losH agentes estanrelacionadas en equilıbiro por

H∑

h=2

(ν1(t)− νh(t))λh(t)ucλh(t) = uc(t)ν1(t)− ucc(t)L(t)ρ(t),

dondeL(t) = I − σ′′(t)(σ(t)σ′′(t))−1σ(t) y I denota la matrizidentidadn× n.

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Conclusiones

• Agente Representativo com Pesos Estocasticos

• Equilıbrio

• Costos de Transacion

• Restricones de Credito

• Inadimplencia

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http://professores.ibmecrj.br/pepe

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