Estabilidad y Equilibrio

Un cuerpo en equilibrio estático, si no se le perturba, no sufre aceleración de traslación o de rotación, porque la suma de todas las fuerzas o la suma de todos los momentos que actúan sobre él son cero. Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados:

1. El objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que está en equilibrio estable.

2. El objeto se aparta más de su posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio inestable.

3. El objeto permanece en su nueva posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio neutro o indiferente.

Cuando un cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas, tal que la resultante de todas las fuerzas y el momento resultante sean cero, entonces el cuerpo está en equilibrio. Esto, físicamente, significa que el cuerpo, a menos que esté en movimiento uniforme rectilíneo, no se trasladará ni podrá rotar bajo la acción de ese sistema de fuerzas. Las posibilidades de movimiento que tiene un cuerpo o los grados de libertad, son seis: tres de traslación, en las direcciones x, y, z y tres de rotación, alrededor de los mismos ejes. Como en general, los cuerpos que son objeto de estudio en ingeniería están unidos, soportados, en contacto con otros, las posibilidades de movimiento en translación y rotación son menores, esto es, disminuyen los grados de libertad. Es, entonces, importante conocer qué tipo de restricción ofrecen los apoyos, uniones o contactos que tiene el cuerpo objeto del análisis. Las restricciones a que es sometido un cuerpo, se manifiestan físicamente por fuerzas o pares (momentos) que impiden la translación o la rotación respectivamente y se les conoce como reacciones.

El estudio del equilibrio de un cuerpo rígido consiste básicamente en conocer todas las fuerzas, incluidos los pares que actúan sobre él para mantener ese estado. Por ahora se analizarán las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir las fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen. Estas fuerzas son las fuerzas aplicadas por contacto, el peso y las reacciones de los apoyos. Las fuerzas aplicadas y el peso en general son conocidos, entonces el estudio del equilibrio consiste básicamente en la determinación de las reacciones. También puede ser objeto de estudio las condiciones geométricas que se requieren para mantener en equilibrio el cuerpo. Para determinar las reacciones que se ejercen sobre un cuerpo es importante entender las restricciones que otros cuerpos le imponen al movimiento. La cuestión es fácil, si un cuerpo restringe la traslación en una dirección, por ejemplo en x, éste ejercerá una fuerza en esta dirección; si impide la rotación alrededor de un eje, ejercerá un par en la dirección de ese eje. Las reacciones ejercidas por diferentes

apoyos o uniones se presentan en el cuadro al final de la sección, tanto para situaciones tridimensionales como para casos en dos dimensiones.

Equilibrio de un Cuerpo Rígido

Cuerpo rígido

Se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos

La estática de cuerpos extensos es mucho más complicada que la del punto, dado que bajo la acción de fuerzas el cuerpo no sólo se puede trasladar sino también puede rotar y deformarse. Consideraremos aquí la estática de cuerpos rígidos, es decir indeformables. En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones.

Es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza. Supondremos ahora que se conocen F y M y dejamos para más adelante el problema de cómo calcularlos.

Sobre un cuerpo rígido actúan:

1. Fuerzas externas: representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígidos, son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido, causarán que se mueva o aseguraran su reposo.

2. Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido.

Se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido puede ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambas siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren ninguna oposición.

Para que un cuerpo rígido tenga equilibrio estático se debe cumplir que:

• La sumatoria de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo sean iguales a cero, no existe aceleración lineal.

• La sumatorias de los torques que actúen sobre el cuerpo sean iguales a cero, no existe aceleración angular

Centro de gravedad

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

Centro de masa

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.

En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un sistema. Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

Tipos de apoyo para el análisis del diagrama de cuerpo libre en equilibrio de cuerpos rígidos:

a) Apoyo simple: Restringe un grado de libertad de los tres que posee el cuerpo, puede evitar el cuerpo se mueva hacia arriba, pero permite que se desplace a los lados y que rote. La fuerza de interacción con el cuerpo es perpendicular al apoyo

b) Articulación: Restringe dos grados de libertad, el cuerpo no se puede desplazar hacia arriba (verticalmente), ni hacia los lados (horizontalmente). La reacción a este tipo de apoyos es una fuerza cuyos componentes se observan en la figura.

c) Empotrado : Restringe los tres grados de libertad. Desplazamiento vertical , horizontal y rotación

Principio de Inercia

Todos sabemos que cuando un ómnibus frena, los pasajeros son impulsados hacia delante, como si sus cuerpos trataran de seguir; a veces, en algunos choques, hasta hay personas que son despedidas fuera de los vehículos. Este es uno de los ejemplos que demuestra que "los cuerpos que los cuerpos que están en movimiento tienden a seguir en movimiento". Esta propiedad de la materia se llama inercia. Pero hay otros aspectos de la inercia. Cuando un ómnibus arranca, por ejemplo, los pasajeros son impelidos hacia atrás, como si trataran de quedar en el reposo en el que se hallaban. Podríamos decir entonces que "los cuerpos que están en reposo tienden a seguir en reposo". Pero hay más todavía. Si el conductor de un automóvil acelera o aminora la marcha, esas modificaciones repercuten inmediatamente en el cuerpo de los pasajeros, quienes se inclinan hacia atrás o hacia adelante respectivamente, de esto se deduce que "los cuerpos en movimiento tienden a mantener su velocidad"; pero como la velocidad es un vector, esto significa que "se mantiene no sólo la medida, sino también la dirección y el sentido de la velocidad". Esto se puede ver cuando un vehículo entra en una curva, entonces los pasajeros son empujados hacia fuera, pues sus cuerpos tienden a seguir en la dirección que traían; incluso el auto mismo se inclina, y si se toma la curva a excesiva velocidad, se produce el vuelco, lo que muestra la tendencia del auto a seguir en línea recta.

Principio de Transmisibilidad

El principio de transmisibilidad se aplica a las fuerzas precisamente en el punto de aplicación de las mismas. De manera que si aplicamos una fuerza constante a un cuerpo, al cual a su vez ocasiona que ésta se desplace continuamente, entonces simultáneamente se desplazan tanto la fuerza como el cuerpo. Al deslizarse la fuerza, permanecen constantes su magnitud, dirección, sentido y línea de acción, y, por lo tanto, el efecto externo que produce dicha fuerza al cuerpo al que se le esta aplicando permanece constante, es decir, no sufre alteración.

Ejercicio1

→∑Fx = 0

600cos45N-Bx =0

Bx=424N

↓+∑MB=0

100N (2m)+ (600sen45N) (5m)-(600cos45N) (0.2m)-Ay (7m)=0

Ay=319N

+↑ ∑Fy=0

319N-600sen45-100N-20

By=405N

↓+∑MA=0

-(600sen45N)(2m)-(600cos45N)(0.2m)-(100n)(5m)-(200N)(7m)+by(7m)=0

By=405N

Ejercicio 2

↓+∑MA=0

• -90N.m-60N(1m)+NB(0.75)=0

• NB=200N

• +→ ∑Fx=0

• Ax-200sen30N=0

• Ax=100N

• +↑ ∑Fy=0

• Ay-200cos30N-60N=0

• Ay=233N

TORQUE DE UNA FUERZA

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término. Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puede producir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una regla fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, como se muestra en la figura, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce sobre la regla fija en O. La fuerza F1 aplicada en el punto a produce en torno a O una rotación en sentido antihorario, la fuerza F2 aplicada en el punto b produce una rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a, la fuerza F3 aplicada en b, pero en la dirección de la línea de acción que pasa por O, no produce rotación (se puede decir que F3 ‘empuja’ a la regla sobre O, pero no la mueve), F4 que actúa inclinada en el punto b produce una rotación horaria, pero con menor rapidez de rotación que la que produce F2; F5 y F6 aplicadas perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el plano de la figura respectivamente, no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que es lo que definimos como el torque de la fuerza.

Se define el torque τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F, por la siguiente expresión:

El torque es una magnitud vectorial, si α es el ángulo entre r y F, su valor numérico, por definición del producto vectorial, es:

Su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagrama vectorial se muestra en la figura, su sentido está dado por la regla del producto vectorial, la regla del sentido de avance del tornillo o la regla de la mano derecha. En la regla de la mano derecha los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F a través del ángulo α, la dirección del pulgar derecho estirado da la dirección del torque y en general de cualquier producto vectorial.

Por convención se considera el torque positivo (negativo) si la rotación que produciría la fuerza es en sentido antihorario (horario); esto se ilustra en la figura. La unidad de medida del torque en el SI es el Nm (igual que para trabajo, pero no se llama joule).

El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación respecto a un origen O. Si la fuerza F pasa por O, r = 0 y el torque es cero. Si α = 0 o 180º, es decir, F está sobre la línea de acción de r, Fsenα = 0 y el torque es cero. F senα es la componente de F perpendicular a r, sólo esta componente realiza torque,

y se le puede llamar F⊥. De la figura, también se ve que r⊥ = r senα es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, a r⊥ se le llama brazo de palanca de F. Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como:

τ = r (Fsenα) = F(rsenα) = rF⊥ = r⊥F