ep3.nuwm.edu.uaep3.nuwm.edu.ua/4540/1/Вища... · УДК 510.6 (073) ББК 22.11 (Я76) Б89...

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористування

ВИЩА МАТЕМАТИКА

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

Для студентів І курсу заочної форми навчання напрямів підготовки

“Економіка підприємства”, “Облік і аудит”, “Фінанси і кредит ”

Рівне 2010

1

УДК 510.6 (073)

ББК 22.11 (Я76)

Б89

Затверджено вченою радою Національного університету

водного господарства та природокористування

(Протокол №4 від 30 квітня 2010 р.)

Рецензенти:

Мізюк В.Г., кандидат фізикоматематичних наук, доцент Національного

університету водного господарства та природокористування;

Кузнєцова Т.В., кандидат економічних наук, доцент Національного

університету водного господарства та природокористування.

Брушковський О.Л., Дубчак І.В.

Б89 Вища математика. Навчальний посібник. – Рівне: НУВГП, 2010.–144 с.

Навчальний посібник “Вища математика” містить робочу програму,

методичні рекомендації до вивчення курсу і виконання контрольної роботи

з вищої математики, довідковий матеріал, зразок виконання контрольної

роботи, 30 варіантів індивідуальних завдань, питання для підготовки до

захисту контрольної роботи, тестові завдання для самоконтролю

засвоєння матеріалу та список рекомендованої літератури.

Для студентів І курсу напрямів підготовки 6.030504 “Економіка

підприємства”, 6.030509 “Облік і аудит”, 6.030508 “Фінанси і кредит”

(І семестр).

УДК 510.6 (073)

ББК 22.11 (Я76)

© Брушковський О.Л., Дубчак І.В., 2010

© Національний університет водного

господарства та природокористування, 2010

2

1. Зміст навчальної дисципліни

1.1 Структура програми курсу “Вища математика”

I СЕМЕСТР

Заочна форма навчання

Призначення:

підготовка

бакалаврів

Напрям, спеціаль

ність, освітньо

кваліфікаційний

рівень

Характеристика

навчальної

дисципліни

Кількість

кредитів,відповідних

ECTS – 3

Модулів – 2

Змістових

модулів – 2

Контрольних

робіт – 1

Загальна кількість

годин 108

6.030504 “Економіка

підприємства”,

6.030509 “Облік і

аудит”,

6.030508 “Фінанси і

кредит”

Освітньо

кваліфікаційний

рівень – бакалавр

Обов'язкова,

нормативна

Рік підготовки: 1

Семестр: 1

Лекції: 10 год.

Практичні: 4 год.

Самостійна робота:

94 год.

КР1 “Вища

математика”

Види контролю:

залік

3

1.2 Робоча програма

Лекції

Змістовий модуль 1. Вища математика

Тема 1. Елементи лінійної і векторної алгебри та аналітичної

геометрії

Визначники і системи лінійних рівнянь

Визначники 2го і 3го порядків, їх властивості та обчислення.

Мінори та алгебраїчні доповнення елементів визначника. Теорема

про розклад визначника за елементами його рядка чи стовпчика.

Застосування визначників до розв’язування систем лінійних

алгебраїчних рівнянь з двома і трьома невідомими. Формули

Крамера.

Матриці

Матриці і їх види. Дії над матрицями. Обернена матриця.

Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних

рівнянь.

Елементи векторної алгебри

Основні поняття. Лінійні операції над векторами. Скалярний,

добуток двох векторів. Кут між двома векторами і проекція вектора

на вектор.

Елементи аналітичної геометрії

Найпростіші задачі аналітичної геометрії. Пряма лінія на

площині. Різні види рівнянь прямої лінії на площині. Кут між двома

прямими. Відстань від точки до прямої.

Лінії другого порядку. Коло. Еліпс. Гіпербола. Парабола.

4

Тема 2. Вступ до математичного аналізу

Означення функції однієї змінної. Область визначення, множина

значень. Графік функції, характеристики поведінки функції.

Основні елементарні функції. Числова послідовність і її границя.

Означення границі функції в точці і на нескінченності. Перша і друга

визначні границі. Нескінченно малі і нескінченно великі функції.

Неперервність і точки розриву функції.

Тема 3. Диференціальне числення функції однієї змінної

Означення похідної функції, її геометричний і фізичний зміст.

Основні правила диференціювання. Похідна складної функції.

Таблиця похідних. Геометричний зміст похідної, рівняння дотичної і

нормалі. Фізичний зміст похідної. Диференціал функції. Похідна

неявно заданої функції. Обернена функція і її диференціювання.

Похідні вищих порядків. Похідні першого і вищих порядків

параметрично заданої функції.

Теореми про диференційовані функції. Теореми Ролля, Лагранжа,

Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора.

Умови зростання і спадання функції. Екстремум функції.

Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної на

відрізку функції. Прикладні задачі на екстремум. Дослідження

функції на опуклість і вгнутість. Точки перегину. Асимптоти

графіка функції і їх знаходження. Загальна схема дослідження

функції і побудови її графіка.

Тема 4. Функції декількох змінних

Означення функції декількох змінних. Область визначення.

Частинні і повний прирости функції двох змінних. Частинні

похідні функції декількох змінних. Диференціювання складної

функції декількох змінних.

5

Диференціювання неявно заданих функцій однієї і кількох

змінних. Частинні похідні вищих порядків.

Похідна в даному напрямі. Градієнт функції.

Екстремум функції кількох змінних. Необхідні умови існування

екстремуму функції двох змінних. Достатні умови існування

екстремуму функції двох змінних.

Тема 5. Інтегральне числення функції однієї змінної

Невизначений інтеграл

Первісна функція і невизначений інтеграл. Властивості

невизначеного інтегралу. Таблиця основних невизначених інтегралів.

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак

диференціалу. Метод заміни змінної. Інтегрування частинами.

Раціональні функції та їх інтегрування.

Раціональні дроби, їх види. Виділення правильного раціонального

дробу. Прості раціональні дроби і їх інтегрування. Розклад правиль

ного раціонального дробу на суму простих дробів. Інтегрування

дробовораціональних функцій.

Інтегрування тригонометричних і деяких ірраціональних виразів.

Інтегрування тригонометричних виразів. Універсальна тригоно

метрична підстановка.

Інтегрування ірраціональних виразів. Інтегрування деяких ірра

ціональних виразів за допомогою тригонометричних підстановок.

Визначений інтеграл

Означення визначеного інтегралу. Умови існування і

геометричний зміст визначеного інтегралу. Властивості визначеного

інтегралу. Теорема про похідну інтегралу по верхній змінній межі

6

інтегрування.

Формула НьютонаЛейбніца. Заміна змінної і інтегрування

частинами.

Невласні інтеграли першого і другого роду.

Обчислення площ плоских фігур при допомозі визначеного

інтеграла. Обчислення об’ємів тіл обертання.

Тема 6. Звичайні диференціальні рівняння

Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння першого

порядку. Типи диференціальних рівнянь першого порядку.

Рівняння із змінними, що відокремлюються. Однорідні і лінійні

диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

Тема 7. Ряди

Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Геометрична

прогресія як ряд. Властивості збіжних числових рядів. Необхідна

ознака збіжності ряду. Достатні ознаки збіжності числових рядів з

додатними членами.

Ознака Даламбера, радикальна ознака Коші, інтегральна ознака

Коші. Знакозмінні числові ряди. Абсолютна і умовна збіжність.

Знакопочережні ряди. Теорема Лейбніца.

Функціональний ряд, його область збіжності. Степеневі ряди.

Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Диференціювання і інтегрування степеневих рядів.

Ряди Тейлора і Маклорена. Розклад функцій у степеневі ряди.

Застосування степеневих рядів до наближених обчислень значень

функцій, визначених інтегралів та до розв’язування задачі Коші для

диференціальних рівнянь.

7

1.3 Структура залікового кредиту

Назви тем, змістових модулів

Кількість годин

Лекцій Практич

них

Самос

тійна і

індиві

дуальна

робота

Разом

Змістовий модуль 1. Вища

математика

10 4 94 108

Тема 1.Елементи лінійної і

векторної алгебри та

аналітичної геометрії

2 0 14 16

Тема 2. Вступ до математич

ного аналізу

1 1 10 12

Тема 3. Диференціальне чис

лення функції однієї змінної .

1 1 20 22

Тема 4. Функції декількох

змінних

1 0 14 15

Тема 5. Інтегральне числення

функції однієї змінної

3 1 20 24

Тема 6. Звичайні диферен

ціальні рівняння

1 1 8 10

Тема 7. Ряди 1 0 8 9

Всього годин 10 4 94 108

8

1.4 Методичні поради до вивчення теоретичної частини курсу і

виконанню контрольної роботи. Основні поняття, теореми і

формули

Основною формою роботи над вивченням курсу “Вищої

математики” для студентів заочної форми навчання є самостійна

робота. Не можна вивчити курс вищої математики, користуючись

тільки методичними розробками. Вони не замінять повноцінні

підручники з вищої математики, де всі теоретичні питання викладені

у достатньому обсязі. При самостійній роботі над курсом бажано

складати конспект, в якому записують основні означення, формули

і теореми, а також приклади розв'язання типових задач.

Контрольну роботу студентамзаочникам необхідно виконувати

в окремих зошитах з полями. Малюнки можна робити як олівцем так

і чорнилом. Червоний колір не використовувати. Робота повинна

бути виконана охайно, розбірливим почерком. Якщо контрольна

робота студента не зарахована і має зауваження рецензента, слід

всі виправлення робити в тому самому зошиті і потім повернути

роботу на повторну рецензію. На захисті студент повинен виявити

набуті теоретичні знання з відповідних розділів програми і вміння

розв'язувати будьяку задачу із своєї контрольної роботи.

На консультаціях студент має змогу вияснити всі питання, які

виникають у нього при вивченні курсу вищої математики.

1.4.1 Методичні поради до вивчення теми 1

“ Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії”

Література: [1,2,3,5], М 085112.

П.1 Матриці. Визначники

Матрицею розміру m×n називається прямокутна таблиця, що

містить m⋅n елементів ( в часткових випадках чисел або

функцій), розміщених у m рядках і n стовпчиках.

9

Матриці позначаються великими буквами А, В і т.д. , а їх

елементи відповідними малими буквами з двома індексами:

ai j

, bi j

,0≤i≤m ; 0≤ j≤n . Перший індекс означає номер рядка,

а другий номер стовпчика, на перетині яких знаходиться даний

елемент. Приклад позначення матриці:

A=a

11a

12... a

1n

a21

a22

... a2n

... ... ... ...

am1

am2

... amn

. .

Якщо число рядків матриці дорівнює числу її стовпчиків (m=n),

то матриця називається квадратною матрицею порядку n.

Однією з характеристик числової квадратної матриці A nго

порядку є її визначник, який позначається символами det A,

або подібно до матриці з вказаними елементами, але замість

круглих дужок використовуються вертикальні риски. Так для

матриці А другого порядку:

A=a11

a12

a21

a22

; =∣a11

a12

a21

a22∣.

Визначник другого порядку знаходиться за правилом:

=∣a11a

12

a21

a22∣=a

11a

22−a

21a

12. (1)

Приклад 1.

∣8 −2

4 5 ∣=8⋅5−4⋅−2=408=48.

Існують рекурентні формули, які дозволяють звести обчислення

визначників nго порядку до обчислення визначників (n1)го по

рядку. Визначник може бути додатнім, від'ємним або дорівнювати

10

нулю. З властивостями визначників потрібно ознайомитись по

лекційному курсу або підручнику.

Визначник третього порядку позначається так:

=∣a

11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣.

Мінором Mi j елемента a

i j такого визначника називається

визначник, який одержується з даного шляхом викреслення iго ряд

ка і jго стовпчика, на перетині яких знаходиться елемент ai j .

Алгебраїчним доповненням Ai j елемента a

i j визначника

називається мінор цього елемента з множником −1i j , тобто:

Ai j

=−1i jM

i j. (2)

Теорема Лапласа: Визначник nго порядку дорівнює сумі

добутків елементів будьякого рядка або стовпчика на відповідні

алгебраїчні доповнення.

Так, наприклад, визначник третього порядку може бути

обчислений шляхом розкладу по елементам першого рядка:

=∣a

11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣=a11

A11

a12

A12

a13

A13

. (3)

Звідки:

∣a

11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣=a11∣a22

a23

a32

a33∣−a

12∣a21a

23

a31

a33∣a

13∣a21a

22

a31

a32∣. (4)

11

Приклад 2. ∣1 2 −1

2 −3 2

3 1 1∣=1∣−3 2

1 1∣−2∣2 2

3 1∣−1∣2 −3

3 1 ∣==1 −3−2−2 2−6−129=−58−11=−8.

П.2 Застосування визначників до розв'язування систем

лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглянемо систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з

трьома невідомими:

{a

11xa

12ya

13z=b

1;

a21

xa22

ya23

z=b2;

a31

xa32

ya33

z=b3.

(5)

Числа b1, b

2, b

3 називаються правою частиною системи, або

вільними членами. Якщо b1=b

2=b

3=0, то система називається

однорідною, інакше — неоднорідною.

Розв'язком системи (5) називається впорядкована трійка чисел

х, y

, z

, підстановка яких в кожне рівняння системи

перетворює його в вірну рівність.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один

розв'язок і несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має тільки

один розв'язок і невизначеною, якщо вона має більше одного

розв'язку.

При розв'язанні такої системи основну роль відіграє визначник

системи , складений з коефіцієнтів при невідомих і три

допоміжні визначники 1,

2,

3 , кожний з яких одержується з

визначника системи шляхом заміни відповідного стовпчика

стовпчиком вільних членів:

12

=∣a

11a

12a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

∣. 1=∣

b1

a12

a13

b2

a22

a23

b3

a32

a33

∣;

2=∣

a11

b1

a13

a21

b2

a23

a31

b3

a33

∣; 3=∣

a11

a12

b1

a21

a22

b2

a31

a32

b3

∣.

1. Якщо визначник системи ≠0, то система має єдиний

розв'язок який знаходиться за формулами Крамера:

x=

1

; y=

2

; z=

3

; (6)

2. Якщо визначник системи =0, а хоча б один з допоміжних

визначників відмінний від нуля, то система розв'язків не має.

3. Якщо =0 і всі допоміжні визначники дорівнюють нулю,

то система або має нескінченну множину розв'язків, або зовсім не

має розв'язків.

Однорідні системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідо

мими

Це системи виду:

{a

11xa

12ya

13z=0 ;

a21

xa22

ya23

z=0 ;

a31

xa32

ya33

z=0.

Така система завжди має нульовий розв'язок: x = 0; y = 0; z = 0.

Якщо визначник системи ≠0, то цей розв'язок єдиний.

Якщо =0, то система має нескінченну кількість ненульових

розв'язків. Для їх знаходження у визначнику системи шукають

мінор, відмінний від нуля. Нехай, наприклад,

M3 3

=∣a11

a12

a21

a22∣≠0.

13

Тоді система зводиться до такого виду:

{a11

xa12

ya13

z=0 ;

a21

xa22

ya23

z=0.

Цю систему можна записати у вигляді:

{a11

xa12

y=−a13

z ;

a21

xa22

y=−a23

z.

і розв'язати за формулами Крамера. Її розв'язок може бути

представлений так:

x=∣a12a

13

a22

a23∣t ; y=−∣a12

a13

a21

a23∣t ; z=∣a

11a

12

a21

a22∣t , де t∈ℝ .

Якщо ж всі мінори другого порядку дорівнюють нулю,то слід

відкинути два рівняння системи і система зводиться до одного

рівняння з трьома невідомими і має нескінченну множину розв'язків.

П. 3 Елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія — це розділ математики, що вивчає

геометричні об'єкти засобами алгебри на основі методу координат.

Для виконання завдання 2 з контрольної роботи потрібно знати

наступні формули аналітичної геометрії:

Знаходження координат точки M хM

; уM

, що ділить відрі

зок АВ , де А xA; у

А , Вх

В; у

В , пополам:

xM=

xAx

B

2; y

M=

yAy

B

2. (7)

Відстань між точками А(хА ; уА ) і В(хВ ; уВ ):

∣AB∣= xA−x

B2y

A−y

B

2. (8)

14

Формула знаходження косинуса кута між двома векторами

a=ax; a

y i b=b

x;b

y :

cos =a⋅b

∣a∣∣b∣=

ax⋅b

xa

y⋅b

y

ax2a

y2⋅b

x2b

y2

. (9)

Нормальним вектором прямої називається будьякий не нульовий

вектор n A ,B , перпендикулярний до даної прямої. Рівняння

прямої, що проходить через задану точку M хO

; уO з заданим

нормальним вектором n A ,B :

A x−xOB y−y

O=0. (10)

Загальне рівняння прямої:

Ax ByC =0. (11)

Відстань від точки M хO

; уO до прямої AxByC =0 :

d=∣A x

OB y

OC∣

A2B2. (12)

Напрямним вектором прямої називається будьякий не нульовий

вектор q=l ,m , паралельний даній прямій. Параметричні

рівняння прямої, що проходить через точку M хO

; уO з заданим

напрямним вектором q=l ,m :

{x=xOl t ;

y=yOmt ;

, де t∈ℝ . (13)

Рівняння прямої, що проходить через точки А(хА ; уА ), В(хВ ; уВ ):

x−x

A

xB−x

A

=y−y

A

yB−y

A

. (14)

Рівняння кола радіуса R з центром у точці O xO

; yO :

x−x02 y−y

02=R

2. (15)

15


“ Вступ до математичного аналізу”

Література: [1,2,3,5], М 085112.

З шкільного курсу математики деякі поняття цього розділу вам

відомі. Більш детально з цим розділом ви можете ознайомитись по

вказаним підручникам і посібникам. Особливу увагу слід звернути

на поняття границі і неперервності функцій. Розв'язання задач з

контрольної роботи (завдання 3) розглядається у доступній формі в

зразку виконання контрольної роботи.


“Диференціальне числення функції однієї змінної”

Література: [1,2,3,5], М 085113.

З поняттям похідної, методами її знаходження і застосуванням для

дослідження функцій і побудови графіків ви знайомі з шкільного

курсу математики. З деякими поняттями, такими як опуклість,

угнутість, точки перегину графіка функції, асимптоти графіка

функції потрібно познайомитись по вказаній літературі. У зразку

виконання контрольної роботи наведено всі необхідні формули для

виконання завдань 4 і 5.

Основні правила диференціювання:

1) Якщо С = const, то C '=0.

2) Якщо x незалежна змінна, то x '=1.

Якщо u(x) і v(x) диференційовані функції, то:

3) u x±v x '=u ' x±v ' x ;

4) u⋅v '=u '⋅vu⋅v ' ; C⋅v '=C⋅v ' ;

5) u

v '

=u '⋅v−u⋅v '

v2

, при умові, що v x≠0 ;

16

6) Якщо y=y(u), де u=u(x) , то y 'x=y '

u⋅u '

x. (правило

диференціювання складної функції, при умові, що y(u) і u(x)

диференційовані функції).

Таблиця похідних основних елементарних функцій

Нехай u(x) – диференційована функція. Тоді:

1 u'= u−1⋅u ' ; 9 sin u'=cos u⋅u ' ;

2

1

u '

=−1

u2⋅u ' ;

10 cos u '=−sin u⋅u ' ;

3 u '= 1

2 u⋅u ' ;

11tg u'=

1

cos2u⋅u ' ;

4 au '=au⋅ln a⋅u ' ; 12

ctg u'=−1

sin2

u⋅u ' ;

5 eu'=eu⋅u ' ; 13

arcsin u'=1

1−u2⋅u ' ;

6log

au'= 1

u⋅ln a⋅u ' ;

14arccos u'=

−1

1−u2⋅u ' ;

7 lgu '= 1

u⋅ln10⋅u ' ;

15arctg u '=

1

1u2⋅u ' ;

8 lnu '= 1

u⋅u ' ;

16arcctg u '=

−1

1u2⋅u ' ;

17


“Диференціальне числення функції кількох змінних”

Література: [1,2,3,5]

Якщо кожній впорядкованій парі значень (х,у) з деякої області D

по визначеному правилу f відповідає одне і тільки одне значення

величини z з деякої множини Е, то кажуть, що в області D задана

функція двох змінних х , у . Позначення z= f x , y . Область D

називають областю визначення функції. Аналогічно поняття функції

може бути розширене і на більше число змінних.

При певних умовах від функції кількох змінних також можна

знаходити похідні. Число похідних першого порядку від такої

функції дорівнює кількості змінних. Ці перші похідні називаються

частинними. Коли береться похідна по одній із змінних, інші

вважаються сталими. Частинні похідні першого порядку від

функції двох змінних z= f x , y позначаються символами

∂ z

∂ xі

∂ z

∂ y.

Частинні похідні ∂ z

∂ xі

∂ z

∂ yскладної функції

z= f u x , y ;v x , y знаходяться за формулами:

∂ z

∂ x=

∂ z

∂u⋅

∂u

∂ x

∂ z

∂ v⋅

∂ v

∂ x;

∂ z

∂ y=

∂ z

∂ u⋅

∂u

∂ y

∂ z

∂ v⋅

∂ v

∂ y. (16)

Якщо функція z= f x , y задана неявно рівнянням виду

F(x;y;z) = 0, частинні похідні знаходяться за формулами:

18

∂ z

∂ x=−

∂ F

∂ x

∂ F

∂ z

; ∂ z

∂ y=−

∂ F

∂ y

∂ F

∂ z

. (17)

Для широкого класу функцій від кожної частинної похідної

першого порядку можна знаходити частинні похідні, які

називаються частинними похідними другого порядку і позначаються

символами

∂2

z

∂ x2

;∂2

z

∂ x ∂ y;

∂2z

∂ y ∂ x;

∂2z

∂ y2

.

Частинні похідні ∂2

z

∂ x ∂ y;

∂2z

∂ y ∂ xназиваються мішаними. В

курсах математики наводяться умови, коли ці похідні рівні [3].

Повний диференціал функції двох змінних знаходиться за

формулою:

dz=∂ z

∂ xdx

∂ z

∂ ydy. (18)

Градієнтом скалярного поля U=U x , y , z (функції трьох

змінних) в точці М називається вектор

grad U∣M

=∂U

∂ x∣

Mi

∂U

∂ y∣

Mj

∂ U

∂ z∣

Mk. (19)

Цей вектор вказує напрям найшвидшої зміни функції в даній

точці.

Похідна по напрямку, яка вказує швидкість зміни функції

U=U x , y , z в напрямку вектора s=sxi s

yjs

kk :

19

∂U

∂s∣

M=

∂U

∂ x∣

M⋅cos

∂U

∂ y∣

M⋅cos

∂ U

∂ z∣

M⋅cos . (20)

де напрямні косинуси вектора s знаходяться за формулами:

cos =s

x

∣s∣; cos =

sy

∣s∣; cos =

sz

∣s∣. (21)

Для дослідження функції z= f x , y на екстремум потрібно

знайти частинні похідні першого порядку: ∂ z

∂ x

∂ z

∂ y, прирівня

ти їх до нуля і встановити координати критичних точок. Для цього

потрібно розв'язати систему:

{∂ z

∂ x=0 ;

∂ z

∂ y=0.

(22)

Потім знайти значення других похідних у кожній критичній

точці:

A=∂2

z

∂ x2∣

M0

; B=∂2

z

∂ x∂ y∣

M0

; C=∂2

z

∂ y2∣

M0

. (23)

Знайти значення критерію:

= AC−B2. (24)

Якщо 0 то в критичній точці є екстремум ( при

A0 C0 максимум, при A0 C0 мінімум);

якщо 0 , то в критичній точці екстремуму немає; якщо

=0 , то питання про наявність екстремуму залишається

відкритим і вимагає подальших досліджень.

20


“Інтегральне числення функції однієї змінної”

Література: [1,2,3,5], М 085113

П.1 Поняття первісної функції і невизначеного інтегралу

Означення 1. Функція F(x) називається первісною функцією для

функції f(x) на деякому проміжку (a;b), якщо:

1) функція F(x) неперервна на проміжку (a;b);

2) в усіх внутрішніх точках x проміжку (a;b) функція F(x) має

похідну і F'(x) = f(x).

Дві будьякі первісні для однієї і тієї ж функції можуть відрізня

тися одна від одної лише на сталу.

Означення 2. Сукупність всіх первісних функцій F(x)+С, де C —

деяка стала, для функції f(x) на проміжку (a,b) називається

невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і

позначається символом ∫ f x dx .

Таким чином, згідно з означенням

∫ f x dx=F x C. (25)

Для кожної функції f(x), неперервної на проміжку (a,b), існує на

цьому проміжку первісна функція, отже, і невизначений інтеграл.

П.2 Основні властивості невизначеного інтегралу

Нехай F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку (a,b).

1. Похідна від невизначеного інтеграла ∫ f x dx дорівнює

підінтегральній функції f(x) .

∫ f x dx '= F x C ' =F ' x = f x .

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтеграль

ному виразу.

d ∫ f x dx =∫ f x dx ' dx= f x dx.

21

3. ∫ f1 x ± f

2x dx=∫ f

1 x dx±∫ f

2 x dx.

4. ∫a f x dx=a∫ f x dx , де a=const.

Слід мати на увазі, що рівність в цих формулах носить умовний

характер: тобто її слід розуміти як рівність правої і лівої частин з

точністю до довільної сталої.

П.3 Таблиця основних невизначених інтегралів

Будьяка формула інтегрування зберігає свій вигляд незалежно

від того якою є змінна інтегрування: незалежною змінною чи

диференційованою функцію. Нехай u= u (х) диференційована

функція. Тоді, якщо

∫ f x dx=F x C , то і ∫ f u du=F u C .

Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів.

№п/п Невизначений інтеграл

1 2

1 ∫du = uC ;

2∫u

du =

u1

1C ; ≠−1;

3∫ du

u2

= −1

uC ;

4∫

du

u= 2uC ;

5∫

du

u= ln∣u∣C ;

6∫a

udu =

au

lnaC ,де 0a≠1;

7 ∫eudu =e

uC ;

22

1 2

8 ∫sin u du = −cosuC ;

9 ∫cosu du = sin uC ;

10∫ du

sin u= ln∣tg u

2 ∣C ;

11∫ du

cosu= ln∣tg u

2

4 ∣C ;

12∫ du

cos2u

= tg uC ;

13∫ du

sin2u

= −ctg uC ;

14∫ du

a2u

2=

1

aarctg

u

aC ;

15∫ du

1u2

= arctg uC ;

16∫ du

a2−u

2= arcsin

u

aC ;

17∫ du

1−u2

= arcsin uC ;

18∫ du

a2−u

2=

1

2aln∣au

a−u∣C ;

19∫ du

u2±a

= ln∣uu2±a∣C ;

23

На відміну від операції диференціювання, інтеграли від деяких

елементарних функцій вже не будуть елементарними функціями.

П.4 Основні методи інтегрування

До основних методів інтегрування відносять такі методи: метод

безпосереднього інтегрування, метод заміни змінної або підстановки

і метод інтегрування частинами.

П.4.1 Метод безпосереднього інтегрування

Суть методу безпосереднього інтегрування полягає в тому, що

інтегрування заданої функції проводять, використовуючи

властивості невизначеного інтегралу, тотожні перетворення

підінтегральної функції і таблицю інтегралів.

Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл.

.

∫ 3sin x5−4 x2

1

16 x2

2

9−x2dx=

=3∫sin x dx5∫ dx−4∫ x2dx∫

dx

42x

22∫

dx

32−x

2=

=−3cos x5 x−4

3x

3

1

4arctg

x

42arcsin

x

3C.

Зауваження. Зверніть увагу, що довільні сталі, які за означенням

входять до кожного інтегралу, об'єднуються в одну довільну сталу

С, яка записується після того, коли взято останній інтеграл.

П.4.2 Інтегрування методом заміни змінної або підстановкою

Якщо при знаходженні невизначеного інтегралу ∫ f x dx метод

безпосереднього інтегрування застосувати не вдається, то досить

часто шляхом заміни змінної цей інтеграл можна звести до такого

інтегралу, метод знаходження якого відомий.

Для цього зробимо заміну змінної у підінтегральному виразі,

24

поклавши x=t , де t неперервна функція з

неперервною похідною. Тоді dx= ' t dt .

Доведено, що при такій заміні змінної інтегрування має місце

формула:

∫ f x dx=∫ f t ' t dt . (26)

Зауваження. Вважається, що після проведення інтегрування по

змінній t з допомогою формули x=t змінна t в правій частині

буде виражена через змінну х. Для цього слід доповнити умову

теореми, наприклад, вимогою, щоб на проміжку інтегрування

функція t була строго монотонною, бо в цьому випадку для

неї буде існувати однозначна обернена функція.

Приклад 4. Знайти I=∫ dx

13 x

. Проводимо заміну змінної, щоб

позбутися ірраціональності: x= t3; dx=3 t

2dt .Тоді

I =∫3 t

2

1 tdt=3∫

t2−11

1 tdt=3∫ t−1

1

1t dt=

=3∫ t dt−3∫dt3∫ d 1t

1t=

3

2t

2−3 t3ln∣1t∣C.

Виразимо результат через змінну х: x=t3; t =

3 x .

I=3

2

3 x2−3

3 x3ln∣13 x∣C .

Формула заміни змінної

∫ f x dx= x= t ; dx= ' t dt =∫ f t ' t dt (27)

може бути використана і у зворотному вигляді “справа наліво”.

Для цього проводять заміну змінної не у вигляді x=t , а

25

у вигляді u= x , du= ' x dx. Тоді

∫ f x ' x dt=u=x ; du=' x dx =∫ f u du . (28)

Після цього використовують метод безпосереднього інтегрування і

властивість інваріантності формул інтегрування.

Приклад 5.

∫arctg

5x

1x2

dx=u=arctg x ; du=1

1x2

dx=∫u5du=

1

6u

6C=

=u=arctg x =1

6arctg

6xC.

Застосування формули

∫ f x ' x dt=u= x ; du= ' x dx =∫ f u du (29)

у вигляді

∫ f x ' x dt=∫ f t d t=∫ f udu , де u= t

виділяють іноді як окремий метод інтегрування і називають такий

спосіб “інтегрування методом підведення під знак

диференціала”.

Щоб підвести функцію під знак диференціала, потрібно її

проінтегрувати. При цьому стала C береться рівною нулю або

вибирається відповідно до особливостей підінтегральної функції.

Наведемо таблицю підведень під знак диференціала деяких

елементарних функцій, яку можна отримати, наприклад, з таблиці

диференціалів простих елементарних функцій або шляхом

інтегрування відповідної функції.

26

Таблиця підведень під знак диференціала деяких функцій

1dx=

1

ad axb , де a≠0;

8 exdx=d e

xC;

2x

dx=

1

1d x

1C;9 sin x dx=−d соs xC;

3xdx=

1

2d x

2C;10 cos x dx=d sin xC ;

4 dx

x=2d xC;

11 dx

cos2x

=d tg xC;

5 dx

x=d ln xC , де x0 ;

12 dx

sin2x

=−d ctg xC ;

6 dx

x2=−d 1

xC ;

13 dx

1x2=d arctg xC ;

7a

xdx=

1

lnad a

xC;14 dx

1−x2=d arcsin xC .

Приклад 6. ∫ tg3x

cos2x

dx=∫ tg3x d tg x=

1

4tg

4xC.

П.4. 3 Інтегрування частинами

Якщо функції u x і v x неперервні на деякому проміжку,

диференційовані у його внутрішніх точках і на цьому проміжку

існує інтеграл ∫v du , то на ньому існує також інтеграл

∫u dv , причому

27

∫udv=uv−∫ vdu . (30)

Приклад 7. Знайти ∫ ln x dx. Покладаємо u=ln x ; dv=dx.

Тоді du= ln x ' dx=1

xdx ;v=∫ dx=xC

1. Приймаємо С1=0 .

Отже: ∫ ln x dx=ln x⋅x−∫ x⋅1

xdx=x ln x−∫ dx=x⋅ln x−xC.

Зауваження. При визначенні функції v по її диференціалу

dv можна вибрати будьяку довільну сталу, так як в кінцевий

результат вона не входить.

Велика частина інтегралів, які беруться з допомогою інтегру

вання частинами, може бути розбита на три характерні групи.

До першої групи відносять інтеграли, підінтегральна функція

яких містить як множник логарифмічні або обернені

тригонометричні функції:

ln x , lnx ,arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x , ln x 2,

arcsin x2,arctg x 2 ,..., при умові, що інша частина підінтеграль

ної функції є похідною відомої функції або може бути проін

тегрована. Тоді за u(x) приймають одну з вказаних вище функцій.

При необхідності формулу інтегрування частинами можна

застосовувати декілька разів.

До другої групи відносять інтеграли виду:

∫ Pn x sin xdx , ∫ P

n x cos xdx ,

∫ Pn x e

xdx , ∫ P

n xm

xdx , ..., де , , m сталі

m0, m≠1 , Pnx многочлен степені n .

Інтеграли другої групи беруться шляхом nкратного

інтегрування частинами, причому за u(x) кожний раз слід

приймати многочлен у відповідному степені.

До третьої групи відносяться інтеграли виду:

∫e x

cos x dx , ∫e x

sin x dx , ∫sin ln x dx , ..., де

28

, сталі. Позначимо інтеграл цієї групи через І(х) і

проведемо двократне інтегрування частинами. Одержимо для

шуканого інтегралу рівняння першого порядку.

П.5 Інтеграли від деяких функцій, що містять квадратний

тричлен

Розглянемо інтеграли виду:

I1x=∫ dx

ax2bxc

; I2x =∫ AxB

ax2bxc

dx ;

I3x =∫ dx

ax2bxc

; I4 x =∫ AxB

ax2bxc

dx ,

де a , b ,c , A , B — сталі.

1. Перший з них зводиться до табличного шляхом виділення в

знаменнику повного квадрату.

I1 x =∫ dx

ax2bxc

=1

a∫ dx

x2

b

ax

c

a =

=1

a⋅∫

dx

xb

2 a 2

c

a−

b2

4 a2

.

В останньому інтегралі зробимо підстановку

xb

2 a=t ; dx=dt , і позначимо

c

a−

b2

4 a2=±k

2. Знак

k2 співпадає із знаком виразу, що стоїть зліва. Одержимо

табличний інтеграл виду I1x =

1

a⋅∫ dt

t2±k

2.

29

2. Розглянемо інтеграл I2x =∫ AxB

ax2bxc

dx . Виділимо у

чисельнику похідну від виразу, що стоїть у знаменнику.

I2 x =∫

A

2 a 2axb B−

Ab

2 a

ax2bxc

dx=A

2 a∫

2axb

ax2bxc

dx

B−Ab

2 a ∫ dx

a x2bxc

=A

2 aln∣ax

2bxc∣B−Ab

2 a I1 x ,

де I1x інтеграл, знаходження якого розглянуто вище.

Зауваження 1. ∫ u ' x dx

u x =∫ d u x

u x =ln∣u x ∣C .

3. Інтеграл виду I3x =∫ dx

ax2bxc

зводиться до табличного

шляхом виділення у підкореневому виразі знаменника повного

квадрату.

I3x=∫ dx

ax2bxc

=∫ dx

a x2

b

ax

c

a =

=∫ dx

axb

2 a 2

c

a−

b2

4 a2

.

В останньому інтегралі зробимо підстановку

xb

2 a=t ; dx=dt , і позначимо

c

a−

b2

4 a2=±k

2. Знак k

2

співпадає із знаком виразу, що стоїть зліва. Одержимо інтеграл виду

I3x =∫ dt

a t2±k

2. В залежності від знаку a він зводиться

30

до табличних інтегралів: I3x =

1

a⋅∫ dt

t2±k

2при a0 , або

I3x =

1

−a⋅∫ dt

k2−t

2 при a0 .

4. Розглянемо інтеграл I4x =∫ AxB

ax2bxc

dx . Виділимо у

чисельнику похідну від підкореневого виразу, що стоїть у

знаменнику.

I4x=∫

A

2 a2 axbB−

Ab

2a

ax2bxc

dx=

=A

2 a∫

2 axb

ax2bxc

dxB−Ab

2a ∫ dx

ax2bxc

=

=A

2 a⋅2 ax

2bxc B−Ab

2 a I3x ,

де I3x інтеграл, знаходження якого розглянуто вище.

Зауваження 2. ∫ u ' x dx

u x =∫ d u x

u x=2 u x C .

П.6 Інтегрування раціональних дробів

Нехай Pnx і Q

mx многочлени степені n і m з дійс

ними коефіцієнтами. Раціональним дробом R x називається

відношення двох многочленів:

R x=P

nx

Qm x

=a

0x

na1x

n−1...an

b0x

mb

1x

m−1...=b

m

. (31)

31

Раціональний дріб R x називається правильним, якщо степінь

многочлена n , що стоїть у чисельнику, менше степені многочлена m,

що стоїть у знаменнику (n<m ) , інакше — неправильним.

Якщо раціональний дріб R x неправильний, то виконавши

ділення чисельника на знаменник за правилом ділення многочленів,

його можна представити у вигляді суми многочлена Mn−m

x і

правильного раціонального дробу P

r x

Qm x

:

R x =P

n x

Qmx

=Mn−m

x P

rx

Qm x

. (32)

Так як інтегрування многочленів не викликає труднощів, то

проблема інтегрування раціональних дробів зводиться до проблеми

інтегрування правильних раціональних дробів.

Найпростіші раціональні дроби і їх інтегрування

Правильні раціональні дроби виду:

І.A

x−a; II.

B

x−b k; III.

MxN

x2 pxq

; IV.MxN

x2pxqr

де A ,B , M , N , p , q — сталі, k ,r ∈ℕ , k≠1, r≠1 , корені

виразу x2 pxq комплексні, тобто

p2

4−q0 , називаються

найпростішими дробами I, II, III i IV типів.

Розглянемо їх інтегрування.

32

І. ∫ A

x−adx= A∫ d x−a

x−a= A⋅ln∣x−a∣C .

ІІ.

∫ B

x−b kdx=B∫ x−b −k

d x−b =B⋅ x−b −k1

−k1C=

=B

1−k x−b k−1C .

ІІІ. ∫ MxN

x2 pxq

dx . Це частковий випадок інтегралу

I2x =∫ AxB

ax2bxc

dx , знаходження якого було розглянуто в

П.5.4.

Більш складних обчислень потребує інтегрування дробів ІV типу, з

їх інтегруванням можна ознайомитись по підручникам з

математичного аналізу , наприклад [3].

Розклад правильних раціональних дробів на найпростіші

Нехай дано правильний раціональний дріб P

n x

Qm x

. Будемо

вважати, що коефіцієнти многочленів — дійсні числа і що

чисельник і знаменник не мають спільних коренів. З курсу алгебри

відомо, що кожний многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути

представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних

співмножників.

Якщо

Qmx = x−a⋅...⋅x−bk⋅...⋅x

2 pxq ⋅...⋅ x2 p

1xq

1r

, то

33

правильний раціональний дріб P

n x

Qm x

може бути представлений

так:

Pn x

Qm x

=A

x−a...

B1

x−b

B2

x−b2....

Bk

x−b k

MxN

x2 pxq

...

M

1xN

1

x2p

1xq

1

M

2xN

2

x2p

1xq

12

...M

rxN

r

x2p

1xq

1r

.

Відмітимо, що у такому розкладі:

1) простому множнику x−a відповідає один найпростіший дріб

І типу A

x−a;

2) множнику x−b k кратності k відповідає k дробів I і II типів:

B1

x−b

B2

x−b2....

Bk

x−b k

.

3) однократному квадратичному множнику x2 pxq

відповідає один найпростіший дріб ІІІ типу: MxN

x2 pxq

.

Коефіцієнти розкладу A , A1,

... , B , B1,

... , M , N визначають так.

Написана рівність є тотожність. Тому, якщо привести дроби до

спільного знаменника Qmx то одержимо тотожно рівні

раціональні дроби з однаковими знаменниками, отже многочлени,

що стоять у чисельниках цих дробів теж повинні бути тотожно

рівними.

Після порівняння коефіцієнтів при однакових степенях х ,

одержують систему рівнянь для визначення вказаних коефіцієнтів.

Цей метод називається методом порівняння коефіцієнтів (методом

невизначених коефіцієнтів). Можна також при порівнянні

34

многочленів надавати змінній х окремі числові значення (метод

вибіркових значень), а також застосовувати обидва вказані методи.

П.7 Інтегрування деяких тригонометричних виразів

Інтеграли виду ∫ Rsin x ,cos x dx , де R — раціональна функ

ція своїх аргументів, раціоналізуються з допомогою універсальної

підстановки: t=tg x

2 .

Тоді sin x=2 t

1 t2

; cos x=1−t

2

1t2

; dx=2 dt

1t2.

Приклад 8. Знайти інтеграл I=∫ dx

8−4sin x7cos x.

Робимо універсальну підстановку:

tg x

2 =t ; sin x=2 t

1t2; cos x=

1−t2

1t2

; dx=2dt

1t2.

I=∫

2dt

1t2

8−4⋅2 t

1t27⋅

1− t2

1 t2

=∫ 2 dt

88 t2−8t7−7 t

2=

=∫ 2 dt

t2−8 t15

=∫ dt

t−42−1=

2

2ln∣1−t4

1t−4∣C= ln∣5−t

t−3∣C=

= t=tg x /2 =ln∣5−tg x /2

tg x /2−3∣C .

Зауваження. Крім універсальної підстановки важливо знати і

деякі інші підстановки, що в окремих випадках дозволяють суттєво

спростити обчислення.

1. Якщо інтеграл має вид ∫ Rsin x cos x dx , то рекомендується

35

підстановка sin x= t ; cos x dx=dt . Така ж сама підстановка

рекомендується і для інтегралів більш загального виду

∫ Rsin x , cos x dx у яких функція Rsin x , cos x непарна

відносно cos x .

2. Якщо інтеграл має вид ∫ Rcos x sin x dx , то рекомендується

підстановка cos x=t ; sin x dx=−dt . Така ж сама підстановка

рекомендується і для інтегралів більш загального виду

∫ Rsin x , cos x dx у яких функція Rsin x , cos x непарна

відносно sin x .

3. Якщо розглядаються інтеграли виду ∫ R tg x dx , де

підінтегральна функція залежить тільки від tg x , то рекомен

дується підстановка: tg x=t ; dx=dt

1t2

.

4. Якщо розглядаються інтеграли виду ∫ Rsin x ;cos x dx ,

але sin x і cos x входять у підінтегральну функцію лише в парних

степенях, то рекомендується підстановка:

tg x=t ; cos2x=

1

1 t2

; sin2x=

t2

1t2

; dx=dt

1t2.

5. Інтеграли виду: ∫sinm

x cosnx dx , де m ,n∈ℤ .

Розглянемо три випадки:

Випадок 1. I=∫sinm

x cosnx dx , де m ,n такі, що хоча б

одне з них непарне. Нехай, наприклад, непарним є n . Тоді його

можна представити у вигляді n=2 p1 , де p∈ℤ .

I=∫sinm

x cos2x p⋅cos x dx=∫ sin

mx 1−sin

2x p⋅cos x dx.

Робимо підстановку sin x= t ; cos x dx=dt. Одержимо

I=∫ tm1−t

2pdt , тобто інтеграл від раціональної функції.

Випадок 2. I=∫sinm

x cosnx dx , де m ,n невід'ємні парні

числа. Тоді m ,n можна представити у вигляді m=2 p ,

36

n=2q , де p , q∈ℤ . Застосуємо відомі тригонометричні

формули пониження степеня:

sin2x=

1−cos2 x

2; cos

2x=

1cos2 x

2.

Тоді:

I=∫ sin2x p cos

2xq⋅dx=∫ 1−cos2 x

2 p

1cos2 x

2 q

dx.

Після піднесення до степеня одержимо підінтегральну функцію

у вигляді суми доданків, що містять cos 2 x у парних і непарних

степенях. Члени з непарними степенями інтегруються так, як це

вказано у випадку 1, а до членів з парними степенями знову

застосовуємо формули пониження степеня.

Випадок 3. Якщо обидва показники парні і хоча б один з них

від'ємний то роблять підстановку tg x=t або ctg x=t .

6. Інтеграли виду: ∫cos mx cos nx dx , ∫cos mx sin nx dx ,

∫sin mx sin nx dx.

В цих випадках використовуються формули:

cos mx⋅cosnx=1

2cos mn xcos m−n x ;

sin mx⋅cos nx=1

2sin mn xsin m−n x ;

sin mx⋅sin nx=−1

2cos mn x−cosm−n x .

П.8 Інтегрування деяких ірраціональних виразів

1) Розглянемо інтеграли виду ∫ R x , xm/n

, ... , xr /s dx , де

m ,n , ... , r , s∈ℤ. Нехай k спільний знаменник дробів

37

m

n, ... ,

r

s. Зробимо підстановку: x= t

k; dx=k⋅t

k−1dt. Тоді

кожний дробовий степінь m

n, ... ,

r

s. буде виражено через цілий

степінь нової змінної t , отже підінтегральна функція

перетвориться у раціональну функцію від t.

2) Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою три

гонометричних підстановок.

I. ∫ R x , m2x

2n

2 dx ; x=n

m⋅tg t ; dx=

n

m⋅

1

cos2t

dt.

II. ∫ R x , m2x

2−n2 dx ; x=

n

m⋅

1

cos t; dx=

n

m⋅

sin t

cos2t

dt.

III. ∫ R x , n2−m

2x

2 dx ; x=n

m⋅sin t ; dx=

n

m⋅cos t dt.

П.9 Визначений інтеграл

При вивченні розділу “Визначений інтеграл особливу увагу слід

звернути на формулу НьютонаЛейбніца, яка є основною формулою

інтегрального числення.

Якщо F x будьяка первісна для неперервної на відрізку

[a ; b] функції f x , то вірною є формула:

∫a

b

f x dx=⟨ F x ∣⟩a

b

=F b−F a . (33)

Ця формула називається формулою НьютонаЛейбніца.

38

Приклад 9:

∫0

1

x4

1

x21 dx= x

5

5arctg x ∣

0

1

=1

5arctg1−arctg 0=

1

5

4.

Формула НьютонаЛейбніца застосовується лише тоді, коли

функція f x є неперервною на відрізку [a ; b] і рівність

F ' x = f x виконується на всьому відрізку [a ; b] , тобто

первісна F x повинна бути неперервною на відрізку [a ; b] .

Приділіть також велику увагу заміні змінній і інтегруванню

частинами визначеного інтеграла. На практиці заміну змінної

виконують, як правило, з допомогою монотонних, неперервно

диференційованих функцій. При обчисленні визначеного інтеграла з

допомогою заміни змінної на відміну від невизначеного інтеграла

немає необхідності повертатися до початкової змінної.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями

x=0 ; x=a : y=0 ; y= f x , де ab ; f x≥0

знаходиться за формулою:

S=∫a

b

f x dx. (34)

Об'єм тіла , утвореного обертанням такої криволінійної тра

пеції навколо осі Ох:

V =∫a

b

f2x dx. (35)

Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями

x=0 ; x=a : y= f1x ; y= f

2x , де ab ; f

2x ≥ f

1 x

знаходиться за формулою:

S=∫a

b

f2x − f

1x dx. (36)

39


“Звичайні диференціальні рівняння”Література: [1,2,3,5]

П.1 Загальні поняття

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить

невідому функцію, її похідні різних порядків ( або диференціали) і

незалежні змінні. Якщо невідома функція залежить від однієї

змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Порядком диференціального рівняння називається порядок

найвищої похідної, що входить в дане рівняння. Так

диференціальним рівнянням Іго порядку є рівняння виду:

F x , y , y ' =0. (37)

або, якщо його можна розв'язати відносно похідної:

y '= f x , y (38)

Розв'язком такого диференціального рівняння на інтервалі a ,b

називається функція y=x , підстановка якої в

диференціальне рівняння перетворює його у тотожність на

вказаному інтервалі. Якщо функція, яка є розв'язком

диференціального рівняння, задана неявно рівнянням у вигляді

Ф(х,у) = 0, то його називають інтегралом рівняння.

Інтеграли ( або розв'язки) диференціального рівняння можуть

містити сталі величини, які можна вибирати довільно (довільні

сталі). В загальному випадку диференціального рівняння nго

порядку число довільних сталих дорівнює порядку рівняння.

На невідому функцію можуть бути накладені додаткові умови, які

полягають у тому, що невідома функція і її похідні повинні

приймати задані значення при визначених значеннях незалежної

змінної. Найчастіше ці умови задаються в одній точці х=х0і

називаються початковими умовами. Початкова умова для

диференціального рівняння Іго порядку має вид:

40

y x0=y

0 . (39)

Загальним розв'язком диференціального рівняння Іго порядку (38)

в деякій області D називається функція y=x ,C , що має

властивості:

вона є розв'язком диференціального рівняння (38) при будьякому

значенні довільної сталої C ;

для будьякої початкової умови (39) значення довільної сталої

можна знайти однозначно.

Будьякий розв'язок диференціального рівняння, який одержується

із загального розв'язку при конкретному значенні довільної сталої,

називається частковим розв'язком цього рівняння.

Задача знаходження часткового розв'язку диференціального

рівняння (38) при початковій умові (39) називається задачею Коші.

Диференціальне рівняння може мати і особливі розв'язки, які не

можуть бути одержані із загального розв'язку ні при яких значеннях

довільної сталої.

П.2 Рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння виду

y '= f x g y (40)

або f1 x g

1 ydy= f

2x g

2y dx (41)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Рівняння

виду (40) можна шляхом перетворень записати так:

dy

dx= f x g y ; dy= f x g y dx

тобто звести до рівняння виду (41). Розглянемо розв'язок рівняння

(41). Розділимо обидві частини рівняння на вираз f1x ⋅g

2 y ,

41

вважаючи, що f1x ⋅g

2 y≠0. Одержимо рівняння

g1 y

g2 y

dy=f

2 x

f1 x

dx

у якому змінні відокремились. Після інтегрування знаходимо

загальний інтеграл

∫g

1 y

g2 y

dy=∫f

2 x

f1 x

dx .

При цьому необхідно перевірити, чи не втрачені розв'язки

f1x =0 і g

2y =0 . Якщо вони є розв'язками рівняння, то

встановлюють, чи містяться вони в загальному, чи є особливими.

П.3 Однорідні рівняння

Диференціальне рівняння

y ' = f x , y (42)

називається однорідним, якщо його права частина f x , y є

однорідною функцією нульового виміру, тобто, якщо для будь

якого t t≠0 виконується умова f tx , ty = f x , y . Іншими

словами, вказане рівняння буде однорідним, якщо його праву

частину можна представити у вигляді функції, яка залежить тільки

від відношення змінних y та x. Тобто згідно з означенням однорідне

рівняння завжди можна записати так:

y'= f 1, y / x .

Для цього достатньо покласти t=1/x.

Якщо функцію f х , y неможливо представити у вигляді

добутку f1x ⋅f

2y , то змінні не відокремлюються. Але

підстановка u=y /x , де u – нова функція від x, дозволяє звести

однорідне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними.

42

П.4 Лінійні рівняння

Диференціальне рівняння, яке можна записати у вигляді

y' p x y=q x (43)

називається лінійним. Якщо q x =0 то рівняння називається

лінійним однорідним, інакше лінійним неоднорідним. Лінійне

однорідне рівняння це рівняння з відокремлюваними змінними.

Неоднорідне лінійне рівняння може бути зведене до розв'язування

двох рівнянь з відокремлюваними змінними. Для цього зробимо

підстановку:

y=u x ⋅v x ; y '=u ' vuv' . (44)

Одержимо рівняння:

u ' vuv' p x uv=q x . (45)

Звідки, після винесення функції u за дужки:

u ' vuv ' p x v =q x . (46)

Так як одну невідому функцію у х ми замінили добутком двох

невідомих функцій u⋅v , то одну з цих функцій можна вибрати

довільно. Виберемо функцію v так, щоб спростити розв'язок

одержаного рівняння. Для цього прирівняємо вираз у дужках до

нуля. Одержимо систему рівнянь для послідовного знаходження

функцій v і u :

{v 'p x v=0 ;

u ' v=q x . (47)

Для першого достатньо знайти частковий розв'язок, при умові, що

v≠0 , для другого – загальний розв'язок. Отже з першого

рівняння системи знаходимо функцію v x , підставляємо в

друге і знаходимо функцію u x ,C . Тоді добуток знайдених

функцій y x =u x ,C ⋅v x дасть загальний розв'язок заданого

рівняння.

43

1.4.7 Методичні поради до вивчення теми 7 “Ряди”Література: [1,2,3,5]

У розділі “Ряди” поняття суми скінченного числа доданків

узагальнюється на деякі випадки нескінченної множини доданків і

вивчаються властивості таких нескінченних сум.

П.1 Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду. Основні

теореми про збіжні числові ряди

Нехай u1,u

2, ... , u

n, ... , де u

n= f n , n∈ℕ , – числова

послідовність.

Вираз u1u

2...u

n...=∑

n=1

∞

un

(48)

називається числовим рядом; числа u1,u

2, ... , u

n, ... – членами

ряду; un

– загальним членом ряду. Суму перших n членів

числового ряду позначають символом Snі називають n ю час

тинною сумою ряду:

Sn=u

1u

2...u

n=∑

i=1

n

ui

(49)

Ряд називається збіжним, якщо його n на частинна сума при

необмеженому зростанні n прямує до скінченної границі S ,

тобто :

limn∞

Sn=S . (50)

Число S називають сумою ряду. Якщо ж n на частинна сума

при n ∞ не прямує до скінченної границі, то ряд нази

вається розбіжним.

44

П. 2 Необхідна ознака збіжності числових рядів

Якщо числовий ряд u1u

2...u

n...=∑

n=1

∞

un

збіжний, то його

загальний член un

прямує до нуля при необмеженому зростанні

n, тобто limn∞

un=0 .

Вказана ознака є тільки необхідною, але вона недостатня для того,

щоб зробити висновок про збіжність числового ряду. Якщо ознака

виконується, то кажуть, що ряд може збігатися. Якщо ознака не

виконана, то ряд розбіжний.

П.3 Ряди з додатними членами. Достатні ознаки збіжності

Перейдемо до розгляду достатніх ознак збіжності числових рядів,

Це питання найпростіше розв'язується для рядів, члени яких

невід'ємні. Для стислості такі ряди прийнято називати додатними.

Частинна сума Sn

такого ряду буде монотонно зростати при

зростанні n. Всі достатні ознаки збіжності додатних рядів

спираються на теорему:

Для того, щоб ряд з додатними членами був збіжним, необхідно і

достатньо, щоб сума Sn

його перших членів була обмежена

зверху, тобто, для будьякого n ця сума була менша за деяку сталу.

Це випливає з властивостей монотонно зростаючої величини,

обмеженої зверху. Однак безпосереднє застосування цієї теореми на

практиці викликає великі труднощі. Тому з неї виводять різні

наслідки, які хоч і менш загальні, але більш зручні для

використання. Розглянемо два з них : ознаку Даламбера та

інтегральну ознаку Коші.

45

а) Ознака Даламбера (в граничній формі)

Нехай існує limn∞

un1

un

=l . Тоді: при l1 ряд з додатними

членами збіжний; при l1 ряд розбіжний; при l=1

ознака не працює.

Приклад. Дослідити на збіжність ряди за ознакою Даламбера:

Приклад 10. ∑n=1

∞3

n

n. u

n=

3n

n; u

n1=

3n1

n1=

3n⋅3

n1;

limn∞

un1

un

=limn∞

3n⋅3

n1⋅

n

3n=3⋅lim

n∞

n

n1=3⋅lim

n∞

1

11/n=31 .

Ряд розбіжний.

Приклад 11. ∑n=1

∞2

n

n!. u

n=

2n

n!;

Зауваження. n! , де n∈ℕ читається “nфакторіал”, це

добуток перших n натуральних чисел, тобто:

n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n . Прийнято 0!=1. Отже

1!=1 ; 2!=1⋅2=2 ; 3!=1⋅2⋅3=6 ; 4!=1⋅2⋅3⋅4=24 і т.д.

n1!=1⋅2⋅3⋅...⋅n⋅n1=n!⋅n1 .

un1

=2

n1

n1!=

2n⋅2

n!⋅n1;

limn∞

un1

un

=limn∞

2n⋅2

n!⋅n1⋅

n!

2n=2⋅lim

n∞

1

n1=01 . Ряд

збіжний.

46

б) Інтегральна ознака Коші

Якщо функція f x визначена при всіх x≥1 , така, що

f u=un

n=1, ... ,∞ , невід'ємна і спадна, то ряд

∑n=1

∞

un=∑

n=1

∞

f u

збіжний тоді і лише тоді, коли збіжним є невласний інтеграл

∫1

∞

f x dx .

Приклад 12. З допомогою інтегральної ознаки Коші дослідити

збіжність інтегралу ∑n=1

∞1

n1⋅ln n1.

Розв'язання. un=

1

n1⋅ln n1;

f x =1

x1⋅ln x1;

∫1

∞

f x dx=∫1

∞dx

x1⋅lnx1=lim

b∞

∫1

bd ln x1

ln x1=

=limb∞

ln∣ln x1∣∣1

b=limb∞

ln∣ln b1∣−ln ln 2=∞ .

Висновок. Невласний інтеграл розбіжний, отже і заданий ряд

розбіжний.

47

2. Зразок виконання контрольної роботи з методичними

вказівками

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства та

природокористування

Кафедра вищої математики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з вищої математики

варіант №31

виконала:

студентка гр. ЕП 3 і

Воронцова Т.В.

перевірив:

Рівне — 2010

48

Завдання 1. Розв’язати систему трьох рівнянь з трьома невідоми

ми за формулами Крамера:

{7 x−4 y2 z=−7 ;

3 x−4 y5 z=3 ;

2 x3y−2 z=−3.

Розв'язання. Знаходимо визначник системи:

=∣7 −4 2

3 −4 5

2 3 −2∣=7∣−4 5

3 −2∣−−4∣3 5

2 −2∣2∣3 −4

2 3 ∣==7 8−154 −6−10298=−49−6434=−79.

Знаходимо допоміжні визначники:

1=∣−7 −4 2

3 −4 5

−3 3 −2∣=−7∣−4 5

3 −2∣4∣ 3 5

−3 −2∣2∣ 3 −4

−3 3 ∣==−78−154 −61529−12=4936−6=79.

2=∣7 −7 2

3 3 5

2 −3 −2∣=7∣ 3 5

−3 −2∣−−7∣3 5

2 −2∣2∣3 3

2 −3∣==7 −6157 −6−102−9−6=63−112−30=−79.

49

3=∣7 −4 −7

3 −4 3

2 3 −3∣=7∣−4 3

3 −3∣−−4∣3 3

2 −3∣−7∣3 −4

2 3 ∣==712−94−9−6−798=21−60−119=−158.

Визначник системи відмінний від нуля. Система має єдиний

розв’язок. Невідомі знаходимо за формулами Крамера:

x=

1

=

79

−79=−1 ; y=

2

=

−79

−79=1 ; z=

3

=

−158

−79=2.

Щоб впевнитись, що розв’язок знайдено вірно, робимо перевірку:

7−1−4 12 2=−7 ;

3−1−4 152=3 ;

2 −131−2 2=−3.

Всі рівняння системи задовольняються. Відповідь: (1; 1; 2).

Завдання 2. Дано координати вершин трикутника A,B,C:

А (0 ; 3), В (2 ; 13), С (10 ; 9).

Знайти:

а) рівняння сторони АВ;

б) рівняння висоти СD, опущеної з вершини С на сторону АВ і її

довжину;

в) кут в радіанах з точністю до двох знаків;

г) рівняння медіани АМ;

д) рівняння кола, для якого медіана АМ є діаметром.

50

а) Рівняння сторони АВ:

x−xA

xB−x

A

=y−y

A

yB−y

A

;x−0

2−0=y−3

13−3;

x

2=y−3

10;

5x

10=y−3

10; 5 x−y3=0.

б) Рівняння висоти СD:

За напрямний вектор висоти приймаємо вектор n=5 ;−1.

q=l ; m=n=5 ;−1; l=5 ; m=−1.

Параметричні рівняння висоти:

{x=xCl t ;

y=yCmt.

{x=105 t ;

y=9−t ; де t ∈ℝ .

Довжина висоти:

d=∣A x

CB y

CC∣

A2B2=

∣5⋅10−1⋅93∣

52−12

=44

26=8,63.

в) Кут

в радіанах:

BA=xA−x

B; y

A−y

B=−2 ;−10 .

BC=xC−x

B; y

C−y

B=8 ;−4 .

cos =BA⋅BC

∣BA∣∣BC∣=

−2⋅8−10⋅−4

−2 2−102 82−42

=

=24

104 80=0, 2631.

=1,30.

г) Рівняння медіани АЕ:

xE=

xBx

C

2=

210

2=6 ; y

E=

yBy

C

2=

139

2=11 ;

x−xA

xE− x

A

=y−y

A

yE−y

A

;x−0

6−0=

y−3

11−3; 4 x−3 y9=0.

51

д) Рівняння кола, для якого медіана АЕ є діаметром.

Координати центра кола:

xO=xAx

E

2=

06

2=3 ; y

O=yAy

E

2=

311

2=7.

Радіус кола знаходимо як відстань від точки А, що лежить на

колі, до центра кола:

R= xA−x

O2 y

A−y

O2= 0−3

23−7

2=

=916 25=5.

Рівняння кола:

x−x02 y−y

02=R2

; x−32y−72=25.

Завдання 3. Знайти границі функцій, не користуючись правилом

Лопіталя:

a) limx ∞

3 x22 x5

7 x3x21

.

Розглядається відношення двох многочленів. Має місце невизна

ченість типу ∞/∞ при x ∞.

limx ∞

3 x22 x5

7 x3x21

=limx∞

x2⋅3

2

x

5

x2

x3⋅7

1

x

1

x3

=limx∞

32

x

5

x2

x⋅71

x

1

x3

=0.

б) limx 3

x2−x−6

x2x−12

.

Розглядається відношення двох многочленів. Має місце

невизначеність типу 0/0 при x a . Щоб розкрити таку

невизначеність потрібно в чисельнику і знаменнику виділити

множник x−a і на нього скоротити.

52

limx 3

x2−x−6

x2x−12

=limx 3

x−3⋅x2

x−3⋅x4=limx3

x2

x4=

5

7.

Зауваження. В деяких варіантах розглядаються границі різниці або

відношення функцій, що містять ірраціональності (невизначеності

типу ∞−∞ ; ∞/∞ ; 0/0 ). Щоб знайти такі границі таких

функцій потрібно або звести їх до раціонального виду шляхом

заміни змінної, або перевести ірраціональність з чисельника в

знаменник чи навпаки.

Приклад. limx 5

20 x−30−x

x2−6 x5

.

Має місце невизначеність 0/0. Щоб її розкрити, переводимо

ірраціональність з чисельника в знаменник.

limx5

20x−30−x

x2−6 x5

=

=limx5

20x−30−x ⋅20x30− x

x2−6 x5⋅20 x30−x =

=limx5

20 x−30x

x2−6 x5⋅20x30−x =

= limx5

2⋅ x−5

x−5⋅x−1⋅20x30−x =

=limx5

2

x−1⋅20x30−x =

2

4⋅55=

1

20.

53

в) limx 0

1−cos x

x2

. Має місце невизначеність 0/0 при x 0.

Для розв'язання прикладу використаємо формулу

1−cos x=2 sin2x /2 і наслідок з першої визначної границі

limx 0

sin mx

x=m.

Отже:

limx 0

1−cos x

x2

=limx0

2sin2x /2

x2

=2 limx 0

sin x /2

x 2

=2⋅ 1

2 2

=1

2.

г) limx ∞ 2 x3

2 x5 3x2

;

При розв'язуванні цього приклада буде використано наслідок з

другої визначної границі:

limx ∞ 1

m

x nx

=emn=emn .

limx∞

2 x3

2 x5 3 x2

= limx∞ 1

3 /2

x

15 /2

x

3x2

=

=limx∞ 1

3 /2

x

15 /2

x

3x

⋅limx∞ 1

3/2

x

15/2

x2

= e3/ 2

e5/ 2

3

⋅1=e−13=e−3.

54

Завдання 4. 1) Знайти похідні dy

dx функцій:

a) y=e tg x2 1 ln sin x ;

dy

dx=e tgx21 ⋅

1

cos2 x21

⋅2 x1

sin x⋅cos x.

б) y=3sin 2 x−cos2

2 x 3. Похідна складної функції.

dy

dx=3⋅3sin 2 x−cos

22 x 2⋅3sin2 x⋅ln 3⋅cos2 x⋅2−4cos 2 x⋅sin 2 x .

в) y=x

2ln x

x41

. Використаємо формулу похідної частки:

dy

dx=

x2ln x '⋅x41−x2 ln x⋅x41 '

x412=

2 x1/ x ⋅x41−x2ln x ⋅4 x3

x412.

б) y=1x8arcsinx; При розв'язанні цього приклада можна

використати логарифмічну похідну або поступити таким чином.

Логарифмуємо обидві частини цього виразу:

ln y=ln 1x8arcsin x=arcsin x⋅ln 1x8.

Вважаючи у функцією від x, знаходимо похідні від обох частин цієї

рівності.

1

y⋅y '=arcsin x '⋅ln 1x8arcsin x⋅ ln 1x8 ' .

55

Звідки y '=y⋅ 1

1−x2⋅ln 1x8

arcsin x⋅8 x7

1 x8 ;

y '=1x8arcsin x⋅ 1

1−x2⋅ln 1x8

arcsin x⋅8x7

1x8 ;

2) Знайти похідні dy

dxі

d2y

dx2

функцій, Заданих явно (а) і

параметрично (б):

a) y=5 x22 e3x;

dy

dx=10 x e

3x5 x223e3 x=10 x15 x26⋅e3 x

;

d2y

d x2=1030 x ⋅e3 x10 x15 x

26 ⋅3e3x

.

б) x=5cos3t ; y=5sin

3t. Функція задана параметрично.

dy

dx=y 't

x 't

=15sin

2t⋅cos t

−15 cos2t⋅sin t

=−tg t.

d2y

dx2=

dydx 't

x 't

=

−1

cos2t

−15cos2t⋅sin t

=1

15cos4t⋅sin t

.

56

Завдання 5. Методами диференціального числення дослідити

функцію і побудувати її графік:

y=4 x−12

x−22.

Зауваження. Завдання №5 виконується за загальною схемою

дослідження функції.

1. Знайти область визначення функції; вказати властивості

функції: парність, непарність, періодичність .

2. Знайти вертикальні і похилі асимптоти .

3. Знайти першу похідну, критичні точки першої похідної,

інтервали зростання спадання та точки екстремуму .

4. Знайти другу похідну, критичні точки другої похідної,

інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка

функції.

5. Побудувати графік.

Область визначення функції: D y =−∞ ;2∪2 ;∞ .

Функція неперервна в області визначення, неперіодична.

Функція ні парна ні непарна. Нульове значення функція приймає

при х=3. Якщо х=0, то у=3.

Вертикальні асимптоти.

Знаходимо односторонні границі:

limx 2−0

4 x−12

x−22=−∞ ; lim

x 20

4 x−12

x−22=−∞ ;

57

отже пряма x=2 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти.

x∞ : Рівняння похилої асимптоти шукаємо у вигляді:

y=kxb .

k=limx∞

f x

x=limx∞

4 x−12

x⋅x−22=limx∞

4−12/ x

x−22=0.

b=limx∞

f x −k x =limx ∞

4 x−12

x−22=limx∞

4/ x−12 / x2

1−2 / x2=0 .

Отже похила асимптота при x∞ : y=0⋅x0, або y=0.

Це горизонтальна асимптота.

Така сама асимптота і при x−∞ , бо границі будуть ті самі.

Знаходимо похідну функції y=4 x−12

x−22.

y ' =4 x−22−4 x−122 x−2

x−24=

16−4 x

x−23.

Критичні точки першої похідної: 16−4 x

x−23= 0 ; x = 4. Точка

x=2 , в якій перша похідна не існує, не є критичною, бо ця точка

не входить в область визначення функції. Отже критичною точкою є

одна: x=4 .

58

Будуємо таблицю:

x −∞ ; 2 (2;4) 4 4 ;∞

y' (x) − 0 −

y (x) ↘ ↗ 1 ↘

max

Функція спадна при x x∈−∞ ;2∪4 ;∞ і зростає при

x∈2 ;4

При х=4 має місце максимум .

Знаходимо другу похідну: y ' '=4⋅2 x−10

x−24.

Критична точка другої похідної х=5. Будуємо таблицю:

x −∞ ;2 2 ; 5 5 5 ;∞

y'' (x) − − 0 +

y (x) ∩ ∩ 8/9 ∪

т.п.

На проміжках −∞ ;2 ∪2 ;5 графік функції опуклий, а на

проміжку 5 ;∞ угнутий. Точок перегину M (5;8/9).

59

Будуємо графік:

Завдання 6. Знайти градієнт та похідну по напрямку вектора

s скалярного поля U=U x , y , z в точці М, якщо:

U=z34arctg 5 x−2y ; s=i3j−2k ; M 1 ;2 ;−1.

Розв'язання. Знаходимо значення частинних похідних в точці М,

модуль вектора s і його напрямні косинуси:

∂U

∂ x∣M= 20

15 x−2 y2 ∣M=10 ;

∂U

∂ y∣M

= −8

15 x−2 y2 ∣M=−4 ;∂U

∂ z∣M

= 3 z2 ∣M

=3 ;

sx=1 ; s

y=3 ;s

z=−2 ;∣s∣= sx2sy2s z2=1

232−22=14 .

cos =sx

∣s∣=

1

14; cos =

sy

∣s∣=

3

14; cos =

sz

∣s∣=

−2

14.

60

y

0

−3

4 5 x

Градієнтом скалярного поля U=U x , y , z в точці М

називається вектор

grad U∣M=

∂U

∂ x∣

Mi

∂U

∂ y∣

Mj

∂ U

∂ z∣

Mk.

отже

grad U∣M

=10i −4j3 k.

Похідна по напрямку

∂U

∂s∣

M=

∂U

∂ x∣

M⋅cos

∂U

∂ y∣

M⋅cos

∂U

∂ z∣

M⋅cos .

Таким чином:∂U

∂s∣

M=10⋅

1

14−4⋅

3

143⋅

−2

14=

−8

14.

Завдання 7. Дослідити функцію z= f x , y на екстремум.

z=x2xyy

2−4 x−5 y.

Розв'язання. Знаходимо частинні похідні першого порядку:

∂ z

∂ x=2 xy−4 ;

∂ z

∂ y=2 yx−5.

Дана функція і її похідні визначені всюди. Знаходимо критичні

точки:

61

{∂ z

∂ x=0 ;

∂ z

∂ y=0 ;

⇒ {2 x y−4=0 ;

2 yx−5=0 ;⇒ x=1; y=2;

Точка M01 ;2 є критичною.

Знаходимо значення других похідних у критичній точці:

A=∂2z

∂ x2∣M

0

=2 ; B=∂2z

∂ x∂ y∣M

0

=1 ; C=∂2z

∂ y2∣M

0

=2.

Знаходимо значення критерію:

=AC−B2=2⋅2−12=3. A=2.

Якщо 0 то в критичній точці є екстремум ( при

A0 C0 максимум, при A0 C0

мінімум); якщо 0 , то в критичній точці екстремуму

немає; якщо =0 , то питання про наявність екстремуму

залишається відкритим і вимагає подальших досліджень.

В точці M01 ;2 =30 екстремум існує. Так як

A=20 , то це мінімум.

zmin

=z 1 ;2=121⋅22

2−4⋅1−5⋅2=124−4−10=−7.

62

Завдання 8. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫ 3 e3 x−5cos2x dx=3∫e3x

dx−5

2∫ 1cos 2 x dx=

=e3x−5

2 x 1

2sin 2 x C.

б) ∫ ln 3 x2 dx. Приймаємо: u=ln 3 x2 ;dv=dx.

Тодіdu=u ' dx=3dx

3 x2; v=∫ dx=x. Стала прийнята рівною

нулю. Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

∫ ln 3 x2 dx=ln 3 x2⋅x−∫ 3xdx

3 x2=

=x⋅ln 3 x2−∫3 x2−2

3 x2dx=

x⋅ln 3 x2 −∫ dx2∫dx

3 x2=

=x⋅ln 3 x2−x2

3ln 3x2C.

в) ∫ 3x2−2 x4

x−1 x24dx ;

Підінтегральна функція є правильний раціональний дріб, який

розкладаємо на найпростіші.

63

3 x2−2 x4

x−1x24 =A

x−1BxC

x24

=Ax24 BxC x−1

x−1x24.

Прирівнюємо чисельники одержаних дробів:

Ax24BxCx−1=3 x2−2 x4.

Знайдемо коефіцієнти розкладу методом вибіркових точок при

х=1 і х=0 , і методом невизначених коефіцієнтів,

прирівнюючи коефіцієнти при x2 .

x=1 ; 5 A=5 ; A=1.

x=0 ; 4 A−C=4 ; C=4 A−4 ; C=0.

x2: AB=3 ; B=3−A; B=2.

∫3x

2−2 x4

x−1 x24dx=∫ 1

x−1

2 x

x24 dx=ln∣x−1∣

ln x24C.

г) I=∫ dx

x2x23. Робимо підстановку:

x2=t ; x2=t2 ; dx=2 tdt.

I=∫ 2 tdt

tt 3=2∫ dt

1t 2=2arctg tC . t= x2 ; Тоді:

I=2 arctg x2C.

64

Завдання 9. Обчислити визначений інтеграл: ∫−1

0

2 x3e−2 xdx ;

Для обчислення цього інтеграла потрібно використати формулу

інтегрування частинами.

∫a

b

udv= ⟨u⋅v∣⟩ab

−∫a

b

vdu ,

де функції u=u x i v=v x повинні мати неперервні

похідні на відрізку [a ; b] .

Приймаємо : u=2 x3 ; dv=e−2 xdx ;

Тоді: du=u ' dx=2dx ; v=∫ e−2xdx=−

1

2e

−2x.

Нагадаємо, що при знаходженні функції v(x) по її диференціалу dv

сталу С можна вибирати довільно, так як в кінцевий результат при

застосуванні формули інтегрування частинами вона не входить. В

даному випадку прийнято С = 0.

∫−1

0

2 x3e−2x

dx=2 x3⋅− 1

2 e−2x∣−1

0

1

2⋅2∫

−1

0

e−2x

dx=

=−1

2⋅2 x3⋅e

−2 x∣−1

0

−1

2e

−2x∣−1

0

=−3

2

1

2e

2−1

2

1

2e

2=e2−2.

Завдання 10. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y=4− x2; yx2=0.

65

Знаходимо координати точок перетину даних ліній.

{y=4−x2;

y=−x−2.⇒ {−x−2=4−x 2

;

y=−x−2.⇒ {x

2−x−6=0 ;

y=−x−2.

Звідки: x1=−2 ; y

1=0 ; x

2=3 ; y

2=−5.

Отже точками перетину ліній є такі точки: A(2;0); B (3;5).

Знаходимо площу фігури:

S=∫−2

3

4−x2 x2 dx=∫−2

3

6− x2x dx=6x−1

3x

31

2x

2∣−2

3

=

=18−99

2−−12

8

32= 27

2

22

3=

125

6=20

5

6кв. од.

66

y

A

−2 0

3

x

−5B

Завдання 11 . а) Розв'язати рівняння: y '=x

2y2

2 xy.

Розв'язування. Це є однорідне диференціальне рівняння першого

порядку. Робимо підстановку: y=u⋅x , y '=u ' xu. Тоді

u ' xu=1u2

2u; u ' x=

1u2

2u−u ; u ' x=

1−u2

2u;

du

dx=

1−u2

2ux;

2 udu

1−u2=dx

x, при умові, що u

2≠1.

Проводимо інтегрування: ∫ 2udu

1−u2=∫ dx

x;

ln∣u2−1∣=−ln∣x∣ln∣C∣; u2−1=C

x; u

2=C

x1 ;

y2

x2=C

x1 ; y

2=Cx x2; y=±x Cx .

При u2=1 одержимо два розв'язки: u=1 і u=−1 .

Однак вони враховані у загальному інтегралі при С=0 .

б) Знайти загальний розв'язок рівняння y ' ycos x=e−sin x.

Розв'язування. Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

першого порядку. Робимо підстановку

y=u x ⋅v x ; y '=u ' vuv ' .

Одержимо рівняння u ' vuv 'uv cos x=e−sin x. Звідки

u ' vu v 'vcos x=e−sin x.

Розв'язуємо систему рівнянь {v 'v cos x=0 ;

u ' v=e−sin x.

З першого випливає, що v '=−vcos x ;dv

dx=−v cos x ;

67

dv

v=−cos x dx ;

∫ dvv

=∫−cos x dx ; ln∣v∣=−sin xln∣C1∣;

ln∣v∣= ln e−sin xln∣C1∣; v=C1

e−sin x

; C1=1 ; v=e−sin x

.

Тоді з другого рівняння:

u ' v=e−sin x; u ' e

−sin x=e−sin x; u '=1 ;u=∫ 1dx ; u= xC.

Загальний розв'язок рівняння: y=u v; y=xC e−sin x.

Завдання 12. Дослідити на збіжність числові ряди:

а) ∑n=1

∞n

5

9n; б) ∑

n=1

∞n

3

n41

.

а) Застосовуємо ознаку Даламбера:

un=n

5

9n; u

n1=

n15

9n1

=n15

9n⋅9

.

limn∞

un1

un

=limn∞ n15

9n⋅9

⋅9n

n5 =1

9limn∞

11

n 5

=1

91.

Ряд збіжний.

б) Застосовуємо інтегральну ознаку Коші:

un=n

3

n41

; f x =x

3

x41

.

∫1

∞

f x dx=∫1

∞x

3

x41

dx=limb∞

1

4∫1

bd x41

x41

=1

4limb∞

ln∣x41∣∣1

b

=

=1

4limb∞

ln∣b41∣−ln 2=∞ .

Отже даний невласний інтеграл першого роду розбіжний, ряд

розбіжний.

68

3. Завдання для контрольної роботи з вищої математики

Варіант №1

Завдання 1. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних

рівнянь з трьома невідомими за формулами Крамера:

{2 x− y3 z=−7 ;

x2 y−z=4 ;

3 x−3 y−2 z=1.

Зробити перевірку знайденого розв'язку.


A(2;3), B(0;7), C(8;3).

Знайти: а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СD, опущеної

з вершини С на сторону АВ і її довжину; в) кут в радіанах з

точністю до двох знаків; г) рівняння медіани АМ; д) рівняння

кола, для якого медіана АМ є діаметром.


Лопіталя:

a) limx ∞

2 x2−3 x1

3 x2x4

; б) limx 0

1x−1− x

3 x;

в) limx 0

tg 2 x

4 x; г) lim

x ∞ 2 x−3

2 x5 x−1

.


dx функцій:

a) y=2arcsin 5x tg3 x 9

; б) y=1sin2x x .


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=x2⋅ln x ; б) x=t−sin t ; y=1−cos t .

69



y=x1

x.


s скалярного поля z=z x , y в точці A, якщо:

z=2 x2y

2−5 xy2; s=2ij ; A1 ;1.

Завдання 7. Дослідити функцію z= f x , y на екстремум:

z=xy−x 2−2 y2x10 y−8.


а) ∫ x2

sin2x3

dx ; б) ∫arcsin x dx ;

в) ∫ x23 x−8

x2x21dx ; г) ∫ dx

x13x12

.

Завдання 9. Обчислити визначений інтеграл:

∫0

sin2x dx .


y= x 22 x ; y = 4−x .

Завдання 11. Знайти загальні розв'язки однорідного (а) і

лінійного (б) диференціальних рівнянь:

а) y '=y

xtg

y

x; б) y '−

y

x=x .


а) ∑n=1

∞7n

n5; б) ∑

n=1

∞1

n1ln n1.

70

Варіант №2

Завдання 1. Розв’язати систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь

з трьома невідомими за формулами Крамера:

{2 x2 y−3 z=0 ;

x−2 yz=6 ;

2 x y2 z=2.



A(4;1), B(6;11), C(14;7).

Знайти: а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СD,

опущеної з вершини С на сторону АВ і її довжину; в) кут в

радіанах з точністю до двох знаків; г) рівняння медіани АМ; д)

рівняння кола, для якого медіана АМ є діаметром.


Лопіталя:

a) limx ∞

3 x3−2 x1

5 x2x−3

; б) limx 7

2 x−3

x−7;

в) limx 0

1−cos2 x

5x2

; г) limx ∞ x3

x−2 x1

.


dx функцій:

a) y=3arctg 2 xln 14 x25; б) y=x42sin 3x

.


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=e−x⋅sin x ; б) x=2 t−t 3; y=2 t2.



71

y=2 x

1x2.



z=ln x23 y2; s=i2j ; A−1 ;1 .


z=x2−xy2 y23 x2 y2.


а) ∫ sin 3xctg2x

tg5x

cos2x dx ; б) ∫ x⋅arctg x dx ;

в) ∫ x2x−2

x−3x21dx ; г) ∫ x3

3x4

6 x5

dx .


∫0

2

4− x2dx .


y= 2 x−x2; y =− x .

3.



а) y '=2 y3 x

x; б) y '− y tg x=

1

cos3x

.


а) ∑n=1

∞5n

n1!; б) ∑

n=1

∞1

3n2.

72

Варіант №3



{3 x2 y2 z=1 ;

2 x−3y−z=3 ;

xy3 z=−2.



A(1;2), B(3;12), C(11;8).






Лопіталя:

a) limx ∞

3 x26 x−7

9 x2−x−1

; б) limx−5

2 x215 x25

5−4 x−x2;

в) limx 1

sin 1−x

1−x2; г) lim

x ∞ 4 x1

4 x 2x−3

;


dx функцій:

a) y=2arccos xln4x

3

; б) y=3cos 2 x tg 4x.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ln ctg 2 x ; б) x=t38 t ; y=t 52 t .



73

y=x

x12.



z=ln 2 x25 y2 ; s=3i−j ; A1 ;1.


z=3 x23 xy y2−6 x−2 y1.


а) ∫esin2x⋅sin 2 x dx ; б) ∫ x

cos2xdx ;

в) ∫ 5x3

x−1 x24

dx ; г) ∫ dx

x21.


∫0

x⋅cos3 x dx .


x y= 6 ; x = 4 y−y2.



а) xy '= yx siny

x; б) y '−

y

x=x cos x .


а) ∑n=1

∞3nn!

nn; б) ∑

n=1

∞1

n21

.

74

Варіант №4



{x2 yz=1 ;

2 x−3y−2 z=−3;

2 x yz=2.



A(3;2), B(1;8), C(7;4).






Лопіталя:

a) limx ∞

3 x2−5 x4

x3− x1

; б) limx 3

2 x2−9 x9

x2−5 x6

;

в) limx 0

sin 4 x

tg 8 x; г) lim

x 0

12 x 3

x.


dx функцій:

a) y=6arcsin 3 xarcctg25 x4

; б) y=x41

1

x.


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=x⋅arctg x ; б) x=e2 t; y=cos t .



75

y=x

2−4

x−3.



z=2 x2−6 y ; s=i−j ; A−2 ;1.


z=3 xy−x2−4 y24 x−6 y−1.


а) ∫2 x2−2−x 2

4− x4dx ; б) ∫ 5 x3⋅sin 2 x dx ;

в) ∫ 3 dx

x x−1x2 ; г) ∫ x4

xdx .


∫0

1

x⋅arctg x dx .


y=1

2x

2; y = 4−x .



а) y '=xy− y2

x2; б) y '− 2 xy=2 xe

x2

.


а) ∑n=1

∞n3

7n; б) ∑

n=1

∞2 n3

n23n

.

76

Варіант №5



{2 x−3y6 z=17 ;

3 x4 y−z=−3 ;

x−5 y2 z=10.



A(4;1), B(2;9), C(6;5).






Лопіталя:

a) limx ∞

2 x2x−4

3− x−4 x2; б) lim

x 4

5x−x2−4

x2−2 x−8

;

в) limx 0

sin 2 x

6 x; г) lim

x ∞ 5 x−1

5 x4 2 x1

.


dx функцій:

a) y=3cos 2x−cos2x 5; б) y=2 x3tg x

.


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=x⋅1x2; б) x=a cos t ; y=b sin t .



77

y=e

1

84− x2

.



z=arctg x y2 ; s=4i−3j ; A2 ;3.


z=6 x−8y− x2−y2−20.


а) ∫ dx

cos4x⋅sin

2x; б) ∫x25x2⋅e xdx ;

в) ∫ dx

x−3 x22

; г) ∫ dx

1 x.


∫1

2

ln x dx .


y= 4−x2; y = 3 x4 .



а) y '=1y

xy

2

x2; б) y '−

3 y

x=x .


а) ∑n=1

∞n!

nn; б) ∑

n=1

∞1

4 n−3.

78

Варіант №6



{xy−3 z=6 ;

2 x− yz=5 ;

3 xy2 z=7.



A(2;5), B(4;5), C(12;1).






Лопіталя:

a) limx ∞

3x−5 x4

x4−12 x1

; б) limx 0

1−1−x2

x2

;

в) limx 0

cos x−cos3x

x2

; г) limx ∞ 3 x−1

3 x4 3x2

.


dx функцій:

a) y=5tg2xsin

4x 6 ; б)

y=x26

1

sin x.


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=ectg 3x; б) x=4 cos t ; y=5sin

2t .



79

y=x

2

x−1.

Завдання 6. Знайти градієнт та похідну по напрямку вектора s

скалярного поля z=z x , y в точці A, якщо:

z=arcsin x2

y ; s=5i−12j ; A 1 ; 2.


z=3 x23 y

25 xy4 x7 y5.


а) ∫ sin x

1sin xdx ; б) ∫ ln

3x dx ;

в) ∫ 3 x1

x x−12dx ; г) ∫ dx

x52.


∫0

6

x⋅sin 3 x dx .


y= x 2; y = x2 .



а) y '=y

x⋅1ln

y

x ; б) y '−y

x=x3

.


а) ∑n=1

∞2n

n!; б) ∑

n=1

∞ ln n

n.

80

Варіант №7



{x4 y−2 z=8 ;

−x5 y3 z=−1 ;

4 x−6 y−z=−4.



A(0;1), B(2;9), C(10;5).






Лопіталя:

a) limx ∞

3 x2−5 x4

2 x2−x1

; б) limx 1

3 x2−2 x−1

x2−4 x3

;

в) limx 0

sin 5 x

sin 9 x; г) lim

x ∞

x1ln x−3−ln x .


dx функцій:

a) y=7tg 3x−cos3

4 x 8 ; б) y=6arctg x x .


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=x

x2−1

; б) x=ln t ; y=t1

t.



81

y=x

2−1

x22

.



z=x3y

23 x4y

2; s=4i3j ; A−1 ;−1 .


z=−x2−3 y2−2 x12 y−4.


а) ∫ cos2 x

cos2x⋅sin

2xdx ; б) ∫ x22 x3⋅cos x dx ;

в) ∫ 2 x1

x−2 x21

dx ; г) ∫ dx

x1x13.


∫1

eln x

x2dx .


y= x 2−3 x ; y = 4−3x .



а) xy '= x2 y ; б) y '−2 y

x=3 x

4.


а) ∑n=1

∞n

2

5n; б) ∑

n=1

∞2 n8

n28 n.

82

Варіант №8



{2 x−2 yz=−6 ;

4 x3 y−z=3 ;

x−4 y2 z=−9.



A(3;0), B(5;10), C(13;6).






Лопіталя:

a) limx ∞

5−3 x2

x2 x3

; б) limx 1

x4−1

x3−1

;

в) limx 0

sin 4 x⋅ctg8 x ; г) limx ∞ x2

x3 4− x

.


dx функцій:

a) y=2arcsin xarccosx 5

; б) y= x22 x7tg x

.


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=x⋅e−x2

; б) x=cost

2; y=t−sin t.

83



y=x

3−8

2 x2

.



z=arctg yx ; s=i−2 j ; A2 ;2 .


z=x2xyy2 x−y4.


а) ∫ 4 xarcsin9x

1−x 2dx ; б) ∫ ln x21dx ;

в) ∫ 3 x2

x2 x 21dx ; г) ∫ cos

42 x dx .


∫1

642

6 x x2

3 xdx .


y= x 2−x ; y = 3x−3.



а) x y '= y− x ey / x ; б) y '− yctg x=1

sin x.


а) ∑n=1

∞2n

n8. б) ∑

n=1

∞1

n1ln 2n1.

84

Варіант №9



{x3 yz=−2 ;

x4 y2 z=−3 ;

−x5 y3 z=−10.


Завдання 2. Дано координати вершин трикутника A,B,C: A(2;5),

B(4;15), C(12;11).






Лопіталя:

a) limx ∞

x2−1

x31

; б) limx 3

x3−27

3 x2−7 x−6

;

в) limx 0

sin 2 x

x⋅cos9 x; г) lim

x ∞ x2

x−4 4 x3

.


dx функцій:

a) y=5arctg 2 xx2⋅sin8x

3

; б) y=1x2arcsin x.


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=x⋅ln2x ; б) x=a cos

3t ; y=a sin

3t.



85

y=e−x2

.



z=arctg xy ; s=i4j ; A1 ;1.


z=x2−xyy2 x−2 y3.


а) ∫ 3x−2 sin2x

3 x dx ; б) ∫arccos x dx ;

в) ∫ dx

x31; г) ∫ dx

13 x1

.


∫0

1/ 3

6 x1e3xdx .


y= x 2−3 x ; y = x5 .



а) y '=y− x

x; б) y '

y

x=e

− x

x.


а) ∑n=1

∞ n2

2n; б) ∑

n=1

∞1

n29

.

86

Варіант №10



{x−3 yz=2 ;

2 x y3 z=3 ;

2 x− y−2 z=8.



A(1;5), B(1;15), C(9;11).






Лопіталя:

a) limx ∞

4 x

x−2; б) lim

x 1

2 x2 x−3

3 x2x−4

;

в) limx 0

tg210 x

5 x2; г) lim

x ∞ 5 x−2

5 x3 5x2

.


dx функцій:

a) y=6cos2xarcsin

42 x

8

; б) y=x41arctg x .


dxі

d2y

dx2функцій :

а) y=xln x

x; б) x=tg t ; y=cos

2t .


87


y=x

2−1

x23

.



z=3 x2 x2y

3; s=4i−3j ; A−1 ; 2.


z=3 x23 y

25 xyx−y5.


а) ∫x9

arsin x

1−x2dx ; б) ∫ x⋅ln x dx ;

в) ∫ 7 x2−x4

x−1 x21dx ; г) ∫ x12

x1− x1dx .


∫0

1

arctg x dx .


y= x 2−2 x ; y = 3 x−4 .



а) y '=y

x1

y2

x2; б) y ' 2 xy=sin x⋅e− x

2

.


а) ∑n=1

∞n2

3n; б) ∑

n=1

∞1

n22n2

.

88

Варіант № 11



{4 x3 y−8 z=1 ;

x−6 y6 z=0 ;

2 x9 y−4 z=3.



A(5;4), B(7;14), C(15;10).






Лопіталя:

a) limx 3

x2−x−6

2 x2 x−21

; б) limx 2

x−2

x2−6−x;

в) limx 0

x2

sin211 x

; г) limx ∞ x3

x−2 x

.


dx функцій:

a) y=5cos 3xsin6

4 x 8; б) y=9 x211ctg 3x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x3⋅sin 4 x5; б) x=t−ln t ; y=3 t2−2 t

3.



89

y=6

x23

.


s скалярного поля U=U x , y , z в точці M, якщо:

U=x2 y

2z

2

3

2; s=i−jk ; M 1 ;1 ;1.


z=x2xyy2−2 x−y .


а) ∫ 5 x324x− ln

2x

x dx ; б) ∫ 3 x−1

x25x7dx ;

в) ∫ x22 x4

x−1 x−2 x−3dx ; г) ∫ dx

sin x3 cos x3.


∫0

3dx

1 x1.


y= 4−x2; 2 xy−4=0 .



а) y '=y

x2 tg

y

x; б) y '−

y

x=x⋅cos

5x .


а) ∑n=1

∞8n

n9; б) ∑

n=1

∞1

n1⋅ln7n1

.

90




{5 x8 y−z=7 ;

x2 y3z=1;

2 x−3y2 z=9.



A(0;1), B(2;11), C(10;7).






Лопіталя:

a) limx 2

x2−x−2

x2x−6

; б) limx 1

x− xx

2− x;

в) limx 0

1−cos4 x

1−cos 2 x; г) lim

x ∞1

2

x 3x1

.


dx функцій:

a) y=3x−14

x47 x22

8tg 2 x; б) y=12 x2arcsin 5x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x

1−x2; б) x=3 cos t ; y=4sin

2t.

91



y=4 x

x24

.



U=x⋅ ln y−arctg z ; s=8i4j8k ; M −2 ;1 ;−1 .


z=x23 xyy2−x−4 y1.


а) ∫ 3 x45

x3

arctg7x

1x 2 dx ; б) ∫ 3 x2

9 x26 x2

dx ;

в) ∫ 2 x1

x−1 x25

dx ; г) ∫ cos5x

sin6xdx .


∫0

2

3 x21⋅sin x dx .


y= 6−x 2; y = 6−3 x .



а) y '=y

x4

y

x⋅lny

x; б) y '− 2 xy=3 x

2⋅ex2

.


а) ∑n=1

∞3n

n1!; б) ∑

n=1

∞1

7 n12.

92




{2 x− y3z=7 ;

x2 y−z=−4 ;

3 x−3 y−2 z=−9.



A(1;2), B(3;8), C(11;4).






Лопіталя:

a) limx−1

3 x2x−2

3 x24 x1

; б) limx 8

8x−4

x−8;

в) limx 0

sin 6 x

2 tg 3 x; г) lim

x ∞ 15

2 x 4x−1

.


dx функцій:

a) y=9arctg x−x2⋅sin x

4

cos3x; б) y= x213

arccos 4x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ln x

x; б) x=2 cos

3t ; y=4sin

3t.

93



y=e

1

2⋅1− x

2

.



U=x3 y2z2; s=j−k ; M 1 ;−3 ; 4.


z=x2xyy23 x6 y .


а) ∫ 2 x73

5 x 2

2 x⋅e x2 dx ; б) ∫ 2 x5

3−2 x−x2dx ;

в) ∫ 3 x2

x−1 x−2 2dx ; г) ∫ cos x dx

sin3x

.


∫0

2

ln x24dx .

Завдання 10. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:

y = x2−5 x ; y = 4−5 x .



а) y '=2 y7 x

x; б) y '−y tg x=cos x .


а) ∑n=1

∞nn

n!; б) ∑

n=2

∞1

n⋅ln n.

94




{x4 y−4 z=−6 ;

x−2 yz=6 ;

3 x−y3 z=8.



A(3;4), B(1;6), C(7;2).






Лопіталя:

a) limx 3

2 x2−7 x3

x2−2 x−3

; б) limx 2

x 25−3

x−2;

в) limx 0

sin214 x

x2

; г) limx ∞ x1

x−1 2 x

.


dx функцій:

a) y= x3−14

x314

ln arcsin x ; б) y=1cos27 x tg2 x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x25⋅e2 x; б) x=cos tt sin t ; y=sin t−t cos t.

95



y=x

2−4 x8

x−2.



U=x y9−z2; s=2i2j−k ; M 1 ;1 ; 0.


z=4−5x2−y2−4 xy−4 x−2 y.


а) ∫ 4 x 5−3⋅3 x2

arctg3x

1x2 dx ; б) ∫ 3 x−1

2 x2−2 x1

dx ;

в) ∫ 3 x−2

x1 x24

dx ; г) ∫sin42 x dx .


∫0

4

x2⋅cos2 x dx .

Завдання 10. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі Ох фігури, обмеженої лініями:

y= 2 x−x2; y = x .



а) y '=yx yx

; б) y '− y⋅ctg x=sin3x .


а) ∑n=1

∞n

3

2n !. б) ∑

n=1

∞4 n14

2 n214n

.

96




{x2 y−z=−4 ;

x−3 y3 z=0 ;

2 x y4 z=−2.



A(0;4), B(2;15), C(10;9).






Лопіталя:

a) limx−3

3 x28 x−3

2 x27 x3

; б) limx 1

5−x2−2

1− x;

в) limx 0

sin 15 x

sin 3 x; г) lim

x ∞ 2 x1

2 x−1 4x

.


dx функцій:

a) y=4arcctg xcos6x3

15

; б) y=x4sin2xx .


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x⋅e−x; б) x=arcsin t ; y=3 t−t 3.



97

y=36 x

x−22.



U=z22 arctg x−y ; s=i2j−2k ; M 1 ;2 ;−1.


z=3 xy−x2−4 y2−5 x18 y2.


а) ∫ 3 x22

x4−

tg2x3

cos2x dx ; б) ∫ 5 x2

x23 x−1dx ;

в) ∫ x2x

x−1 x29dx ; г) ∫cos3 x⋅cos7 x dx.


∫1

1

2

arcsin 2 x dx .


у=6

x; y = 7−x .



а) y '=xy−4 y

2

x2

; б) y 'y

x=

tg2x

x.


а) ∑n=1

∞n

3

10n; б) ∑

n=1

∞1

n22n

.

98




{3 x2 yz=5 ;

2 x3yz=1;

2 x y3 z=11.



A(1;3), B(1;7), C(9;3).






Лопіталя:

a) limx−3

6−7 x−3 x2

2 x27 x3

; б) limx 2

x−2

2 x−2;

в) limx 0

x2

tg24 x; г) lim

x ∞ x3

x−3 2 x

.


dx функцій:

a) y=2 x

35

x4−2 xearcsin7 x

; б) y=16cos2x arctg x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=1x2⋅arctg x ; б) x=2 t3t ; y=ln t .

99



y=32

x212

.



U=xln y2z2; s=−2 ij−k ; M 2 ;1 ;1 .


z=3 x23 y

25 xy−17x−16 y5.


а) ∫ 5 x6−4

3 xcos

3x⋅sin x dx ; б) ∫ x3

2 x26 x17

dx ;

в) ∫ 2 x3

x−1 x−2 2dx ; г) ∫ tg

4x dx .


∫0

3dx

x13x12

.


у= x ; y = 2 x ; x = 4 .



а) y '= 2y

x2

y2

x2; б) y '−

3 y

x=2 x

4.


а) ∑n=1

∞ n−13

6n; б) ∑

n=1

∞1

n216.

100




{xy−z=1 ;

8x3 y−6 z=2 ;

4 xy−3z=3.



A(5;1), B(7;11), C(15;7)






Лопіталя:

a) limx−2

3 x27 x2

2 x2 x−6

; б) limx 8

x−83x−2

;

в) limx 0

tg 4 x

sin 8 x; г) lim

x ∞ 1−3

4 x 2x−1

.


dx функцій:

a) y=4 x

x35 x2−2

ln arcsin x ; б) y=x617tg 2x.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ex⋅cos x ; б) x=a t−sin t ; y=a1−cos t .


101


y=12 x

x23

.



U=y⋅ln 1x 2−arctg z ; s=2i−3j−2k ; M 0 ;1 ;1.


z=xy−x 2−2 y23 x2 y5.


а) ∫ 2 x 455 x3−

arcsin3x

1− x2 dx ; б) ∫ 2 x1

54 x− x2dx ;

в) ∫ 2 x−4

x1 x29

dx ; г) ∫ cos3x dx .


∫0

2

arctg x2 dx .


xy= 4 ; xy−5 = 0 .



а) y '=2 y9 x

x; б) y '−

2 y

x=4 x

5 x2.


а) ∑n=1

∞ n17

2n; б) ∑

n=1

∞n

2

n34.

102




{3 x4 y2 z=11 ;

2 x− y−3z=0 ;

x5 yz=11.



A(2;2), B(4;12), C(12;8).






Лопіталя:

a) limx 2

3 x2−5 x−2

6−7 x2 x2; б) lim

x 3

2 x−1−5

x−3;

в) limx 0

tg29 x

x⋅sin x; г) lim

x ∞ 1−6

7 x 7 x−2

.


dx функцій:

a) y= x2−3

x23

5tg 4x; б) y=18arctg

2xcos 3x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=e2 x⋅sin 3 x ; б) x=a⋅tg t ; y=b

cos t.

103



y=x

4

x3−1

.



U=ln 3− x2 xy2z ; s=−2 i2j−2k ; M 1 ;3 ; 2.


z=x22 xy−y26 x−10 y1.


а) ∫ 6 x2−5

x4 x2⋅e2 x

3dx ; б) ∫ 2 x−3

9 x2−6 x5

dx ;

в) ∫ 2 x1

x−1 x2 x−3dx ; г) ∫sin

24 x7 dx ;


∫0

4x dx

cos2x

.

Завдання 10. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням

навколо осі Ox фігури, обмеженої лініями:

y= x ; y = x2.



а) xy '= y8 x⋅sin yx ; б) y '−y

x=x⋅sin x⋅cos

2x .


а) ∑n=1

∞2n⋅n!

nn; б) ∑

n=1

∞2 n18

n218n

.

104




{2 x3y−z=2 ;

x2 y3 z=0 ;

x−y−2 z=6.



A(1;2), B(1;8), C(9;4).






Лопіталя:

a) limx−4

x23x−4

x29 x20

; б) limx 0

x

13 x − 1;

в) limx 0

1−cos 4 x

2 x⋅tg 2 x; г) lim

x ∞ 15

12 x 3x−2

.


dx функцій:

a) y=cos

3x−10

x48ln arctg x ; б) y=x619sin4 x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x⋅e

1

x;

б) x=t2ln t ; y=2 t33 t .

105



y=x

2

x2−1

.



U=x 2y

2z−ln z−1 ; s=5i−6j2 5k ; M 1 ;1 ;2 .


z=3 x23 xy y2−12 x−7 y1.


а) ∫ 3 x7−5 xx⋅3x

2

dx ; б) ∫ 5 x−1

2 x22 x5

dx ;

в) ∫ dx

x2−4 x ⋅x5

; г) ∫sin43 x dx ;


∫1

2

x⋅ln x dx .


у=1

4x

2; y =

3

2x .



а) y '=y

x2⋅1

y2

x2; б) y ' 2 xy=3 x

2⋅e− x2

.


а) ∑n=1

∞19

n⋅n!

nn; б) ∑

n=1

∞1

n25.

106




{3 xy2 z=−4 ;

x−2 y−z=−1 ;

2 x3y2 z=0.



A(2;1), B(0;9), C(8;5).






Лопіталя:

a) limx 2

3 x2−2 x−8

23x−2 x2; б) lim

x 4

2− xx

2−x−12;

в) limx 0

5 x⋅ctg 3 x ; г) limx ∞ 4 x−1

4 x3 3x

.


dx функцій:

a) y=3arcsin2 xtg5x ln

2x 7

. б) y=20cos23 x x .


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x32 x7⋅ex ; б) x=8 cos3t ; y=4 sin

3t .



107

y=x⋅e2− x.



U=ln x2y2 xyz ; s=i−j5k ; M 1 ;−1 ;2 .


z=x2y2−xy xy2.


а) ∫ 3 x74

4 x3

−ctg

4x7

sin2x dx ; б) ∫ 7 x4

x2− x2dx .

в) ∫ 2 x5

x2 x−1

dx ; г) ∫ sin3x

1cos2xdx ;


∫0

/2

x2⋅sin x dx .


у=3

x; y = 4−x .



а) y '=2 x

2y2

xy; б) y '−

2 xy

1 x2=x2

.


а) ∑n=1

∞2 n−1

2 n; б) ∑

n=1

∞1

n⋅1ln2n

.

108




{x−2 yz=7 ;

2 x y−3 z=4 ;

3 x2 y−2 z=8.



A(4;5), B(6;5), C(14;1).






Лопіталя:

a) limx 2

x25 x−14

x23 x−10

; б) limx−1

x−3 x

x1;

в) limx 0

x2

1−cos2 x; г) lim

x ∞ 5 x

5 x1 2 x

.


dx функцій:

a) y=7arcsin xcos34 x

21

; б) y=sin 2 x3tg 4 x.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x⋅ex2

; б) x=8 cos t ; y=2 sin2t .



109

y=x

2−1

x21

.



U=xy4−z2; s=2i2j−k ; M 1 ;1 ;0 .


z=5 x24 xy y24 x2 y−4.


а) ∫ 5x5 x arcsin8x

1−x2 dx ; б) ∫ 5 x3

2 x28 x19

dx .

в) ∫ 3dx

x x1x3; г) ∫ 4sin x

1cos xdx .


∫0

1

arcsin x dx .


у=4

x; y = 0 ; x = 1 ; x = 4 .



а) y '=y

x2 sin

y

x; б) y '

y

x=

cos3x

x.


а) ∑n=1

∞ n5

3n; б) ∑

n=1

∞1

n216

.

110




{3 x2 yz=5 ;

2 x3yz=6 ;

2 x y3 z=−2.



A(1;1), B(3;9), C(11;5).






Лопіталя:

a) limx 3

2 x2x−21

3 x22 x−33

; б) limx 0

x

1−1−x;

в) limx 0

tg 3 x

sin 4 x; г) lim

x ∞

x⋅ln x3

x .


dx функцій:

a) y=8arctg xcos x

x41

7

; б) y=cos x5x34

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x23⋅2x; б) x=acos 4 t ; y=b sin 4 t .


111


y=x

3−4

4 x2

.



U=x 5 y2z2; s=j−k ; M 1 ;3 ;4 .


z=x2xyy22 xy2.


а) ∫ 3 x53 xarctg

6x

1x2 dx ; б) ∫ 5 x1

x22 x2dx ;

в) ∫ 9 x2−21 x15

x1x−22dx ; г) ∫ cos

4x dx .


∫1

16 x−1

x 4 xdx .


y= x 2; y = x6 .



а) y '= 9y

xy

2

x2; б) y '−

y

x=x⋅sin x .


а) ∑n=1

∞8n

n216

; б) ∑n=1

∞1

5n4.

112




{3 x2 y2 z=1 ;

5 x−yz=4 ;

xy3 z=−2.



A(4;0), B(6;10), C(14;6).






Лопіталя:

a) limx ∞

5 x23 x−5

10 x2− x−1

; б) limx−5

3 x220 x25

5−4 x−x2;

в) limx 2

sin 2−x

4−x2; г) lim

x ∞ 5 x1

5 x 5x−2

;


dx функцій:

a) y=2arcsin 5x9x2 5

; б) y=23sin 2 xtg 2 x.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ln tg2 x ; б) x=t36 t ; y=t 42 t .


113


y=x

31

x.



z=ln 2 x27 y2 ; s=3i−4j ; A1 ;1 .


z=3 x23 xy y2−3 x−2 y4.


а) ∫ecos2x⋅sin 2 x dx ; б) ∫ x23 x9⋅cos x dx ;

в) ∫ 2 x5

x−1 x24dx ; г) ∫ dx

x91.


∫1

16 x−1

x 4 xdx .


y= x 2−x ; y = 4 x−6 .



а) xy '= y4 x siny

x; б) y '−

y

x=x 2

cos x .


а) ∑n=1

∞23

nn!

nn; б) ∑

n=1

∞2 n

n21

.

114




{3 x−y−z=−2 ;

2 x−3y−2 z=−3;

2 x yz=2.



A(1;4), B(3;14), C(11;10).






Лопіталя:

a) limx ∞

8x2−5 x9

x3−x6

; б) limx 3

2 x2−8 x6

x27 x−30

;

в) limx 0

sin 5x

tg 10 x; г) lim

x 0

14 x 5

x.


dx функцій:

a) y=9arcsin 3 xarctg4x

1

sin2x

8

; б) y=x61

1

x.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x⋅arcctg x ; б) x=e2 t; y=sin t .


115


y=x⋅ex−1.



z=2 x2−8 y; s=2i−j ; A−3 ;1 .


z=3 xy−x2−4 y2−4 x13y1.


а) ∫4x2−4−x2

16− x4dx ; б) ∫ 6 x1⋅e

2 xdx ;

в) ∫ dx

x−3 x21

; г) ∫ x9

xdx .


∫0

1dx

33x−1

.


y=1

2x

2; y =

3

2x−1 .



а) y '=xy−6 y

2

x2

; б) y '− 2 xy=5 x4ex

2

.


а) ∑n=1

∞n24

9n; б) ∑

n=1

∞2 n12

n212n

.

116




{x−3 y2 z=3 ;

2 x y3 z=0 ;

3 x2 y−z=5.



A(0;6), B(2;16), C(10;12).






Лопіталя:

a) limx ∞

x2−3 x2

4 x2−5

; б) limx−1

x2−4 x−5

1−3 x−4 x2;

в) limx 0

sin24 x

x2; г) lim

x ∞ x−1

x4 3−2 x

.


dx функцій:

a) y=3arctg xln4x6; б) y=arcsin xx

53.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ln ctg 4 x ; б) x=t2t1 ; y=t 3t .Завдання 5. Методами диференціального числення дослідити

117


y=x

3

2−x.



z=x2x yy2; s=3i−4j ; A2 ;1.


z=x2−3 x y4 y22 x−3 y4.


а) ∫ 4 xarcsin9x

1−x 2dx ; б) ∫ 2 x5

x26 x15dx ;

в) ∫ x5

x x12dx ; г) ∫ dx

1 x3.


∫0

2

x23 x1⋅cos x dx .


y= 8−x2; y = 8−x .



а) y '=4y

xy

2

x2; б) y '−

3 y

x=2 x

3cos x .


а) ∑n=1

∞3n

2 n1; б) ∑

n=1

∞n

3n225

.

118




{x2 y−5 z=−2 ;

4 x−yz=4 ;

−2 x3 y−z=0.



A(6;4), B(8;14), C(16;10).






Лопіталя:

a) limx ∞

5 x2−2 x1

x3−8

; б) limx 8

x−8

3 x−5−2 x3;

в) limx 0

sin x−sin3x

x; г) lim

x ∞ 3 x1

3 x4 x−3

.


dx функцій:

a) y=5ln3xarctg x

2

; б) y=x42 x226cos 3 x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=arctg x2; б) x=tln cos t ; y=t−lnsin t .



119

y=x21

x2.


s скалярного поля u=u x , y , z в точці A, якщо:

u=x2y

2z ; s=2i−j2 k ; A−1 ;3 ;1 .


z=xy−x 2−y2−x−y5.


а) ∫ xx2arctg

4x

1x2dx ; б) ∫ 2 x6

x210 x−11

dx ;

в) ∫ 3 x−7dx

x x−4x2; г) ∫ dx

32 x122 x1

.


∫0

8

x⋅sin 4 x dx .


y= x 2−2 ; y = x .

Завдання 11. Знайти загальні розв'язки однорідного (а) і ліній

ого (б) диференціальних рівнянь:

а) y '=y

x⋅16⋅ln

y

x ; б) y '3 y=e4x.


а) ∑n=1

∞en

n2!; б) ∑

n=1

∞1

2n−12.

120




{2 x y−5 z=−1 ;

x−y3 z=4 ;

5 xy−2 z=2.



A(2;1), B(4;9), C(12;5).






Лопіталя:

a) limx ∞

x2− x−6

2 x2x−21

; б) limx 4

x2−2 x−8

3 x2−13x4

;

в) limx 0

x4

sin43 x; г) lim

x ∞ 1−3

8x 4x3

.


dx функцій:

a) y=2cos 9 x− tg3

4 x7; б) y=x212arcsin x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=cos2x ; б) x=t

1

2sin 2 t ; y=cos

3t .

121



y=x

2

x3.



z=ln x33 x y2 ; s=3ij ; A1 ;2 .


z=x2x yy29 x12 y3.


а) ∫ cos5x⋅sin 2 x dx ; б) ∫ x3⋅ln x dx ;

в) ∫ x5

x2 x21

dx ; г) ∫ dx

x3−1.


∫0

1x

1x 4dx .


y= x 2−2 x ; y = 4−2 x .



а) xy '= 10 x2 y; б) y '−2 y

x=3 x

2sin x .


а) ∑n=1

∞2 n27

4n; б) ∑

n=1

∞1

3n−2.

122




{x−2 y−z=−5 ;

2 x y−3z=4 ;

−2 xy2 z=1.



A(1;1), B(3;11), C(11;7).






Лопіталя:

a) limx ∞

2 x2−2 x1

3 x24 x2

; б) limx 1

1−x 2

4 x2−5 x1

;

в) limx 0

x⋅tg 4 x

sin22 x; г) lim

x ∞

x ln x5− ln x .


dx функцій:

a) y=6arccos x tg xx2⋅arctg x 4

; б) y=8sin 3 x 2 / x

.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=x

2

x−4; б) x=ctg t ; y=

1

cos2t

.

123



y=x

316

x.



z=5 x2y3 x y

2; s=6i−8j ; A 1 ;1.


z=5 x24 xy y2−14 x−6 y3.


а) ∫ x4x

cos x

2 sin x1 dx ; б) ∫ ln x

x3dx ;

в) ∫ x21

x3−2 x

2xdx ; г) ∫sin

3x⋅cos

3x dx .


∫−1

2 x2

1 x2dx .


y= x 2−3 x ; y = x−3.



а) y '=xy

x−y; б) y '− yctg x=3 x26 x5sin x .


а) ∑n=1

∞4n

n283. б) ∑

n=1

∞n

2

2 n3−1

.

124




{x−2 y−z=4 ;

2 x y−3z=−3 ;

−2 xy2 z=−2.



A(0;5), B(2;9), C(10;5).






Лопіталя:

a) limx ∞

x2−5x

3−3 x

x32 x−4

; б) limx−2

4 x27x−2

x3−2 x

2−8 x;

в) limx 0

sin29 x

x⋅sin 4 x; г) lim

x ∞ 6 x1

6 x−3 3 x2

.


dx функцій:

a) y=4 tg xarcsin 8 x 3 ; б) y=14sin x cos 2 x.


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ecos 3x; б) x=2 cos

32 t ; y=sin

32 t.


125


y=2 x−1

x−12.



z=ln 2 x3 y ; s=2i−3j ; A2 ;2 .


z=2 x22 xy−y2−8 x2 y−3.


а) ∫ 4 x2 sin2x

1

cos2x⋅9

tg x dx ; б) ∫ x−3dx

x26 x10

;

в) ∫ dx

x3−x2

; г) ∫ dx

1 x ⋅4x.


∫0

/6

x⋅cos3 x dx .


y= x 21 ; y = 3 x−1.



а) y '=y−4 x

x; б) x y ' y=ln x1 .


а) ∑n=1

∞n

2⋅2n

n−1!; б) ∑

n=1

∞1

n236

.

126




{2 x y2 z=9 ;

x−2 y−z=−5 ;

2 x y−3z=4.



A(1;3), B(3;13), C(11;9).






Лопіталя:

a) limx ∞

4 x2−2 x1

3− x−2 x2; б) lim

x−3

6−x−x 2

3 x28 x−3

;

в) limx 0

tg23 x

sin24 x; г) lim

x ∞ 5 x−2

5 x3 10 x2

.


dx функцій:

a) y= 7tg 4 x−arccos3x

5

; б) y= x3 x sin x

;


dxі

d2y

dx2функцій:

а) y=ln cos4 x ; б) x=2 t−sin 2 t ; y=sin3t .


127


y=2−4 x

2

1−4 x2

.



z=3 x2 x2y

3; s=4i−3j ; A−1 ; 2.


z=3 x23 y

25 xy−11x−11y2.


а) ∫ x−22

3 xdx ; б) ∫

3arcsin x

1−x2dx ;

в) ∫ 4 x1

x−1 x24

dx ; г) ∫ dx

x⋅ x−4.


∫0

2

5 x23 x1⋅sin x dx .


y= x 2−2 x ; y = 2 x−3.



а) y '=x

25 y2

x y; б) y ' 2 xy=7 x62 x4e− x

2

.


а) ∑n=1

∞n!

n21

; б) ∑n=1

∞1

n24 n2

.

128

4. Самостійна робота студента

Самостійна робота студента включає в себе опрацювання

теоретичного матеріалу курсу “Вища математика” по підруч

никам, конспектам і навчальним посібникам, підготовку до

практичних занять, опрацювання окремих розділів робочої

програми з навчальної дисципліни, які не виносяться на лекції,

виконання контрольної роботи, підготовку до захисту

контрольної роботи з розв'язуванням тестових завдань.

Нормативи обліку самостійної роботи студента у системі

МСОНРECTS

№

п/п

Види навчальної діяльності Навантаження, год.

1 Опрацювання лекційного ма

теріалу

0,5 год. /1 год. лекції

2 Підготовка до практичних

занять

0,5 год. /1 год. пр. занять

3 Виконання ТР 0,5 год. на1 ст.на семестр

в якому виконується ТР

4 Опрацювання окремих розді

лів робочої програми з навчаль

ної дисципліни, які не вино

сяться на лекції

До 3 год./1 год. можливої

типової лекції

5 Підготовка до написання кон

трольних модульних робіт, до

складання заліку, іспиту

6 год. / 1 кредит ECTS

129

5. Форма підсумкового контролю

Формою підсумкового контролю згідно з робочою програмою є

залік для студентів заочної форми навчання.

Студент отримає позитивну оцінку на заліку, якщо за всіма

формами навчальної діяльності він одержить на протязі семестру не

менше 60 балів. Виконання контрольної роботи 60 балів, захист

контрольної роботи 40 балів.

6. Питання для підготовки до захисту контрольної роботи

Тема 1. Елементи лінійної і векторної алгебри та

аналітичної геометрії

1. Обчислення визначників 2го і 3го порядків. Мінори.

Алгебраїчні доповнення.

2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Формули Крамера.

3. Матриці. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

матричним способом.

4. Вектори. Лінійні операції над векторами.

5. Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.

6. Рівняння прямої на площині.

7. Криві другого порядку на площині (коло, еліпс, гіпербола, пара

бола).

Тема 2. Вступ до математичного аналізу

8. Границя функції. Властивості границь.

9. Нескінченно малі і нескінченно великі функції.

130

10. Перша і друга визначні границі.

11. Точки розриву і їх класифікація.

12. Неперервність функції в точці і на інтервалі.

Тема 3. Диференціальне числення функції однієї змінної

13. Похідна функції. Похідні суми, добутку, частки. Похідна

складної функції.

14. Таблиця похідних.

15. Рівняння дотичної прямої та нормалі до плоскої кривої.

16. Умови зростання і спадання функції на проміжку. Дослідження

функції на екстремум.

17. Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на

відрізку.

Тема 4. Функції декількох змінних

18. Диференціальне числення функції двох змінних. Частинні

похідні.

19. Диференціювання складної і неявно заданої функцій.

20. Частинні похідні вищих порядків.

21. Градієнт і похідна по напрямку.

22. Дослідження на екстремум функції двох змінних.

Тема 5. Інтегральне числення функції однієї змінної


23. Основні властивості невизначеного інтеграла.

24. Таблиця інтегралів.

25. Інтегрування шляхом підведення під знак диференціалу.

26. Інтегрування частинами невизначених інтегралів.

131

27. Заміна змінної у невизначеному інтегралі.

28. Інтегрування раціональних дробів.

29. Інтегрування тригонометричних виразів.

30. Інтегрування ірраціональних виразів.


31. Основні властивості визначених інтегралів.

32. Формула НьютонаЛейбніца.

33. Інтегрування частинами визначених інтегралів.

34. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

35. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ

плоских фігур та об'ємів тіл обертання.

Тема 6. Звичайні диференціальні рівняння

36. Поняття про диференціальні рівняння першого порядку та їх

розв’язки.

37. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними

змінними.

38. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

39. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

40. Рівняння Бернуллі.

Тема 7. Ряди

41. Поняття числового ряду. Необхідна ознака збіжності числових

рядів.

42. Достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів

(ознака Даламбера)

43. Достатні ознаки збіжності знакододатних чистових рядів

(інтегральна ознака Коші).

132

44. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність знакозмінного

ряду.

45. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца.

46. Степеневі ряди. Теорема Абеля.

47. Ряди Тейлора і Маклорена..

48. Обчислення визначених інтегралів з допомогою степеневих

рядів.

49. Наближене розв'язування диференціальних рівнянь з допомогою

степеневих рядів.

7. Проведення захисту контрольної роботи

За виконання контрольної роботи з вищої математики

нараховується до 60 балів. Виконана контрольна робота повинна

бути захищена. Всього при захисті контрольної роботи за

відповіді та пояснення по матеріалу індивідуального завдання і за

відповіді на білет можна одержати 40 балів максимально. Білет

складається з чотирьох питань: двох теоретичних і двох прикладів

або задач. Кожне питання оцінюється в 5 балів. Наведемо

приклад білету.

Білет № 31 (зразок)

1. Рівняння прямої на площині.

2. Формула НьютонаЛейбніца.

3. Знайти градієнт та похідну по напрямку вектора s скалярного

поля z=z x , y в точці A, якщо:

z=5 x3 x2y

4; s=4i3j ; A1 ;2.

4. Дослідити на збіжність числовий ряд:

∑n=1

∞n5

7n;

133

8. Тестові завдання для підготовки до захисту контрольної

роботи

Визначники. Системи лінійних рівнянь

1. Знайти визначник: ∣8 −2

6 −4∣.

Відп. а) 20; б) 20 ; в) 16.

2. Знайти визначник: ∣ 1 −2 2

9 2 14

−2 0 4∣ .

Відп. а) 132; б) 112 ; в) 144.

3. Розв'язати систему: {9 x−y3 z=27 ;

7 x3 y−6 z=−1 ;

7 x9 y−9 z=5.

Відп. а) x=1; y=5; z=1. б) x=2; y=3; z=4. в) x=4; y=0; z=4.

Векторна алгебра

1. Дано a=6i−2j3k ; b=2i4j2 k. Знайти скалярний

добуток a⋅b.

Відп. а) 10 ; б) 14; в) 12.

2. Обчислити проекцію вектора a=5i2j10 k на вісь

вектора b=i−2j2 k.

Відп. а) 3; б) 7; в) 4.

3. Дано вершини трикутника А (1;2; 4), В (4;2;0), С (3;2;1).

Визначити величину його внутрішнього кута при вершині В.

Відп. а) 300 ; б) 450 ; в) 600 .

134

Аналітична геометрія

1. Дано три послідовні вершини паралелограма: А(11;4),

В(1;1), С(5;7). Визначити координати четвертої вершини D.

а) D(15; 18) ; б) D(17; 12) ; в) D(14; 16) .

2. Дано координати вершин трикутника: А (1; 1), В (0; 6),

C(10; 2). Знайти довжину його медіани, проведеної з вершини

А.

а) 5; б) 10; в) 15.

3. Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

А(1,3), В(4,5).

Відп. а) 4 x + 5y – 14 = 0; б) 2x – 3y + 7= 0.

4. Скласти рівняння прямої, що проходять через точку

М −2 ;−7 паралельно прямій 5 x4 y2=0 .

Відп. а) 5x + 4y + 38 = 0; б) x + y – 9 = 0.

5. Скласти рівняння прямої, що проходять через точку

М −2 ;−7 перпендикулярно прямій 5 x4 y2=0 .

Відп. а) 3x – 4y + 5 = 0; б) 4x – 5y – 27 = 0.

6. Скласти рівняння кола, центр якого співпадає з точкою

С 1 ;1 , а пряма 5 x12 y35=0 є дотичною до кола.

Відп. а) x−12y−12=16 ; б) x12y12=4.

7. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр еліпса 4x2

– 32х + y2 – 4y + 32 = 0 перпендикулярно до прямої

2x + 4y – 9 = 0.

Відп. а) 2 x−y8=0 ; б) 2 x−y−6=0.

135

8. Скласти рівняння прямої, що проходить через вершину

параболи x2 – 4х – y + 5 = 0 паралельно до прямої

4x + 5y + 7 = 0.

а) 4 x5 y−13=0 ; б) 4 x5 y−9=0.

9. Скласти рівняння прямої, що проходить через центр гіпер

боли x2 + 8 х – 2 y2 + 4y + 6 = 0 паралельно до прямої

2x + 3y +2 = 0.

а) 2 x3 y5=0 ; б) 2 x−y−6=0.

Вступ в математичний аналіз

1. Знайти область визначення функції y= x−1 x−3

x−6.

Відп. а) [1 ;3]∪6 ;∞ ; б) 1 ;3∪6 ;∞ .

2. Знайти границю: limx 2

2 x2−3 x−2

x2− x−2

без використання і з

використанням правила Лопіталя.

Відп. а) 3/5; б) 5/3 ; в) 1.

3. Знайти границю limx∞

x23 х9− x

24 x1 .

Відп. а) 1/2; б) 1/2 ; в) 0.

4. Знайти границю функції limx 0

9x−9−x

x.

Відп. а) 1/2; б) 1/3 ; в) 0.

5. Знайти границю функції limx 0

sin 3 x

sin 7x.

Відп. а) 7/3; б) 3/7 ; в) 1.

136

6. Знайти границю функції limx∞

5 x−1

5 x4 5 x7

.

Відп. а) e−5 ; б) e

5 ; в) e−3 .

Диференціальне числення функції однієї змінної

1. Знайти похідну функції y=x5⋅sin 4 x

x41

arcsin x.

2. Знайти похідну функції y=7arctg xsin5

4 x9.

3. Знайти y'' , якщо y=x 4sin2xx⋅ex .

4. Знайти похідні dy

dxі

d2y

dx2

функції , заданої

параметрично x= t25 ; y=ln 13t .

5. Знайти диференціал функції: y=8arctg xcos5x

8

;

6. Знайти рівняння дотичної і нормалі до графіка функції

y=x 32 x2−4 x−3 у точці з абсцисою x

0=−2.

Відп. а) y 5 = 0; x + 2= 0. б) x + y 4 = 0; x y – 2 = 0.

7. Дослідити на екстремум функцію: y=x4−4 x

36 x2−4 x.


Безпосереднє інтегрування.

1. ∫ x3 x dx. Відп.

x4

4

2 x x

3C.

137

2. ∫5x

1

9x 2 dx. Відп. 5x

ln5

1

3arctg x /3C.

Інтегрування підведенням під знак диференціала або

підстановкою.

3. ∫cos 9 x dx. Відп. 1

9sin 9 xC.

4. ∫ ln4x

xdx. Відп.

1

5ln

5xC.

5. ∫cos7x sin x dx. Відп. −

1

8cos

8xC.

6. ∫ arcsin3x

1−x 2dx. Відп.

1

4arcsin

4xC.

7. ∫ dx

1x2arctg

2x

. Відп. −1

arctg xC.

Інтегрування частинами.

8. ∫arctg x dx. Відп. x arctg x−1

2ln 1x 2C.

9. ∫ x cos x dx. Відп. x sin xcos xC.

10. ∫ x exdx . Відп. x ex–e

xC.

Інтегрування раціональних дробів.

11. ∫ x3x1

x x 21dx. Відп. x ln∣ x

x21∣C.12. ∫ dx

x−1 x2 x3.

Відп. 1

12ln∣x−1∣1

4ln∣x3∣– 1

3∣x2∣C.

138

Інтегрування тригонометричних функцій.

13. ∫sin2x dx. Відп.

x

2−

1

4sin 2 xC.

14. ∫sin3x dx. Відп.

1

3cos

3x−cos xC.

15. ∫ tg3x dx. Відп.

tg2x

2ln∣cos x∣C.

16. ∫cos 2 x⋅cos 7 x dx. Відп. sin 9 x

18

sin 5 x

10C.


1. ∫0

1dx

1x2. Відп.

4.

2. ∫1

e

5⋅ln x dx. Відп. 5.

3. ∫0

/2

xsin x dx . Відп. 1.

4. ∫0

4dx

1 x. Відп. 4−2 ln3.

5. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: y=2 x – x2;

y=−x. Відп. 4,5 кв. од.

6. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: y=x 22 x ;

y=4−x. Відп. 205

6 кв. од.

Диференціальні рівняння

Розв'язати диференціальні рівняння:

1. y '= y1ctg x ; y /2 =7. Відп. y=8sin x−1.

139

2. 1ex y '=e x y ; y 0= 12. Відп. y=6 1ex .

3. y '=y

x tg

y

x. Відп. y=x arcsin Cx .

4. y ' –y

x=2 x

2. Відп. y=x3Cx.

Диференціальне числення функцій кількох змінних

1. Знайти частинні похідні ∂ z

∂ xі

∂ z

∂ yфункції і її повний

диференціал dz:

z=x48 x

3y

6y4xsin yarctgx

y.

2. Знайти градієнт та похідну по напрямку вектора s

скалярного поля U=U x , y , z в точці М:

U=8 xln y2z25; s=2ij2k ; M(1;1;2).

Відп. gradU M =8i0,2j0,4k ; ∂U

∂sM =

17

3.

3. Дослідити задану функцію на екстремум:

z=x2y2−xy xy9 . Відп. zmin

=z −1 ;−1=8 .

Ряди

1. При дослідженні збіжності числового ряду використана

необхідна ознака збіжності, яка була виконана. Який висновок

вірний?

Відп. a) Ряд збіжний; б) ряд може збігатися; в) ряд розбіжний.

140

2. При дослідженні збіжності числового ряду використана

необхідна ознака збіжності, яка не була виконана. Який висновок

вірний?


3. При дослідженні збіжності додатного числового ряду

використана гранична ознака Даламбера. Знайдена границя менша

за одиницю. Який висновок вірний?


4. При дослідженні збіжності додатного числового ряду

використана інтегральна ознака Коші. Знайдений невласний

інтеграл збіжний. Який висновок вірний?



∑n=1

∞5n

n4;

Відп. a) Ряд збіжний; б) ряд розбіжний.


∑n=1

∞2 n

n21

.

Відп. a) Ряд збіжний; б) ряд розбіжний.

141

9. Методичне забезпечення

1) Конспект лекцій і завдання для контрольної роботи з вищої

математики для студентів заочників І курсу економічних

спеціальностей. Визначники. Елементи лінійної та векторної

алгебри. Аналітична геометрія. Вступ у математичний аналіз.

Упорядники: Бойчук В.С., Давидюк Г.П., Зарівняк І.С.,

Кузьменко А.П. – Рівне – УДАВГ. – 1998. –30 с., 085112.

2) Конспект лекцій і завдання для контрольної роботи з вищої

математики для студентів заочників І курсу економічних

спеціальностей. Диференціальне і інтегральне числення функції

однієї змінної. Упорядники: Бойчук В.С., Давидюк Г.П.,

Зарівняк І.С., Кузьменко А.П. – Рівне – УДАВГ. – 1998. –31 с.,

085113.

10. Рекомендована література

10.1 Основна література

1. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. –К.: Вища школа,

1978. Ч.1,2.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. –М.: Высшая

школа, 1981. Т.1,2.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. –

М.: Наука, 1985. Т.1.2.

4. Задачи и упражнения по математическому анализу /Под

редакцией Демидовича Б.П.– М.: Наука, 1978.

5. Антонюк Р.А. Вища математика. Навчальний посібник. – Рівне:

НУВГП, 2005.

142

10.2 Додаткова література

1. Кудрявцев Б.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей

математики. –М.: Наука, 1978.

2. Бермант А.Р., Араманович И.Г. Краткий курс математического

анализа для втузов. –М.: наука, 1966.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика

в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980. Ч.1,2

4. Бугір М.К. Математика для економістів. Навчальний посібник.

Тернопіль: Підручники і посібники, 1998.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры. – М.,Наука, 1976.

11. Інформаційні ресурси

1. Освітньопрофесійна характеристика підготовки бакалаврів

напряму 0501 «Економіка і підприємництво» (Міністерство освіти

і науки України, Київ, 2002 р.)

2. Бібліотеки:

* НУВГП33000 м.Рівне, вул. Приходька, 75.

* Обласна наукова – 33000, м.Рівне, майдан Короленка, 6. тел.

221063.

* Міська бібліотека 33000, м.Рівне, вул Гагаріна,67, тел. 241247

143

ЗМІСТ

1 Зміст навчальної дисципліни................................................ 3

1.1 Структура програми курсу “Вища математика”, І се

местр.................................................................. .....................

3

1.2 Робоча програма. ................................................................ 4

1.3 Структура залікового кредиту............................................. 8

1.4 Методичні поради до вивчення теоретичної частини

курсу і виконанню контрольної роботи. Основні поняття,

теореми і формули .................................................................

9

2 Зразок виконання контрольної роботи з методичними

вказівками ............................................................................... 48

3 Завдання для контрольної роботи з вищої матема

тики........................................................................................ 69

4 Самостійна робота студента................................................ 129

5 Форма підсумкового контролю .......................................... 130

6 Питання для підготовки до захисту контрольної

роботи ...................................................................................... 130

7 Проведення захисту контрольної роботи.......................... 133

8 Тестові завдання для підготовки до захисту контрольної

роботи...................................................................................... 134

9 Методичне забезпечення...................................................... 142

10 Рекомендована література ................................................. 142

11 Інформаційні ресурси.......................................................... 143

144

ep3.nuwm.edu.uaep3.nuwm.edu.ua/4540/1/Вища... · УДК 510.6 (073) ББК 22.11 (Я76) Б89...

Documents