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備忘録倉澤治樹

2006年 5月

目次

1 スキルム力とハートリー・フォック近似 1

1.1 スピンとアイソスピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 時間反転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 スキルム力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 エネルギー期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 ハートリー・フォック方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 スピン・カレント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Recoupling of tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 核子の弾性散乱と偏極 22

2.1 クーロン散乱波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 クーロン波の部分波展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 短距離ポテンシャルとクーロン・ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 偏極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 重心系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Dirac方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 電子散乱と原子核の電荷分布 33

3.1 クーロン散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 一般のポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 原子核の電荷分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Nucleon form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 電子散乱と応答関数 44

4.1 遷移確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 微分断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 縦方向と横方向の分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 核子の電磁的形状因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 非相対論的フェルミガス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 相関関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7 グリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.8 角度積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.9 相関関数の動径積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.10 数値計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.11 クーロン波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 軸対称変形核におけるDirac–Hartree方程式 84

5.1 Dirac–Hartree方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 行列要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3 Klein–Gordon方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4 初期密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5 Magnetic moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 付録 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


1 スキルム力とハートリー・フォック近似

1.1 スピンとアイソスピン

スピンの合成スピン 1/2 の 2粒子系の全スピンを考える。粒子 1のスピンを s1 , 粒子 2のスピン

を s2 とする。個々のスピンの固有状態を |±⟩ で表す:

s2 |±⟩ = 1

2

(1 +

1

2

)|±⟩ , sz |±⟩ = ± 1

2|±⟩

粒子 1のスピン状態が | a ⟩, 粒子 2のスピン状態が | b ⟩ であるとき | a b ⟩ で表すことにする。系の全スピン S = s1 + s2 の固有状態 |SMS⟩

S2 |SMS⟩ = S(S + 1) |SMS⟩ , Sz |SMS⟩ =MS |SMS⟩ (1.1)

を求めよう。MS = 1 になる状態は |++ ⟩ だけであるから

|S=1 MS=1⟩ = |++ ⟩

である。両辺に S− = (s−)1+(s−)2 を作用させる。一般に角運動量演算子 J± を角運動量の固有状

態 | j m ⟩ に作用させると

J±| j m ⟩ =√j(j + 1)−m(m± 1) | j m±1 ⟩

である。したがって

S−|S=1 MS=1⟩ =√2 |S=1 MS=0⟩

一方, 右辺は ((s−)1|+⟩

)|+⟩+ |+⟩

((s−)2|+⟩

)= | −+⟩+ |+−⟩

となるから

|S=1 MS=0⟩ = |+−⟩+ | −+⟩√2

MT = −1 となる状態は | − −⟩ だけであるから

|S=1 MS=−1⟩ = | − −⟩

となる。あるいは, |S=1 MS=0⟩ に再び S− を作用させてもよい。まとめると

|S=1 MS⟩ =

|++⟩ , MS = 1

|+−⟩+ |−+⟩√2

, MS = 0

| − −⟩ , MS = −1

(1.2)

MS = 0 となる状態には |S=0 MS=0⟩ もある。これは |S=1 MS=0⟩ と直交するから

|S=0 MS=0⟩ = |+−⟩ − | −+⟩√2

(1.3)

である。

S = 1 である 3つの状態をスピン 3重項, S = 0 の状態をスピン 1重項という。スピン 3重項は

粒子 1と 2の交換に関して対称 (全く変わらない)であるが, スピン 1重項は反対称 (符号が変わる)

である。ここで σ = 2s とするとき

Pσ =1 + σ1 ·σ2

2


を考える。

S2 = (s1 + s2)2= s21 + s22 + 2s1 ·s2 =

3

2+

1

2σ1 ·σ2

であるから

Pσ = S2 − 1

したがって

Pσ |SMS⟩ =(S(S + 1)− 1

)|SMS⟩ = ± |SMS⟩ ,

S = 1 のとき +

S = 0 のとき −

これから Pσ は粒子 1と 2のスピン状態を交換する。

アイソスピン原子核は陽子と中性子から構成されている。陽子と中性子はスピン 1/2のフェルミ

オンである。陽子の質量と中性子の質量の差は約 1%しかなくほぼ等しい。陽子と中性子は主に電

荷などの電磁気的性質により区別される。もし電磁相互作用がなければ陽子と中性子は区別できな

いであろう。原子核では電磁相互作用よりも核子間に働く強い相互作用 ( strong interaction ), つま

り核力 ( nuclear force )の方が重要である。そこで, 陽子と中性子を核子という粒子の 2つの異なる

状態と見なす。この 2つの状態を識別するために, 各核子に補助的な力学変数を付け加える。この

力学変数は 2つの異なる固有値だけをとればよいから, s = 1/2 のスピン s と同じ代数的性質を満

たす演算子 t を導入する。この t を荷電スピンとかアイソスピン ( isospin )という。もちろん, 2つ

の状態を区別するという理由だけではアイソスピンを導入する必然性はない。実は, アイソスピン

はスピンと同様に素粒子の基本的性質であり, アイソスピン導入により核力の重要な性質を簡単に

表現できる。

さて, t3 の 2つの固有値 mt = ±1/2 により陽子と中性子を区別する。t2, t3 の同時固有状態を

|mt ⟩ で表す:

t2 |mt⟩ =1

2

(1

2+ 1

)|mt ⟩ , t3 |mt ⟩ = mt |mt ⟩

以下では | mt=1/2 ⟩ を陽子状態, | mt=−1/2 ⟩ を中性子状態に割り当て

|p⟩ = |mt=1/2 ⟩ , |n⟩ = |mt=−1/2 ⟩

と略記する。スピンと同様に

Pτ =1 + τ1 ·τ2

2, τ = 2t

は粒子 1と 2のアイソスピン状態を交換する。

τp =1 + τz

2, τn =

1− τz2

とすると

τp |p⟩ = |p⟩ , τp |n⟩ = 0 , τn |p⟩ = 0 , τn |n⟩ = |n⟩

あるいは, まとめて

τq | q′ ⟩ = δqq′ | q ⟩

である。τq は荷電状態 | q ⟩ に状態を射影する。

核子の状態は軌道運動, スピン, アイソスピンの状態という 3つの部分からなる。例えば, 運動量

k, スピン上向きの陽子の状態は |k⟩|+⟩|p⟩ である。核子の状態を指定するのに必要な全ての量子数をまとめて単に |α⟩ と記す。上の例では α = k, +, p である。


核子 1の状態が |α⟩, 核子 2の状態が |β⟩ である 2核子系の状態を |αβ ⟩ で表す。核子 1と 2の軌

道部分の状態を交換する演算子を Pr とすると

PrPσPτ |αβ ⟩ = |β α ⟩

になるから, 反対称化された 2核子系の状態は

|αβ ⟩ − |β α ⟩ = (1− PrPσPτ ) |αβ ⟩

と表せる。

1.2 時間反転

ニュートン方程式dp(t)

dt= F (r(t)) , p(t) = m

dr(t)

dt

を考える。

r(t) = r(−t) (1.4)

とすると ( s = −t )

p(t) = mdr(t)

dt= m

ds

dt

dr(s)

ds= −p(s) = −p(−t) (1.5)

dp(t)

dt= −dp(s)

dt=dp(s)

ds= F (r(s)) = F (r(t))

したがって, 保存力が作用する場合, 時間を反転した運動 r(t) もニュートン方程式の解である。こ

れがニュートン力学での時間反転対称性である。

波動関数の時間変化はシュレディンガー方程式

iℏ∂ψ(r, t)

∂t=

(− ℏ2

2m∇2 + V (r)

)ψ(r, t)

で決まる。ここで

ψ(r, t) ≡ ψ∗(r,−t)

とすると

iℏ∂ψ(r, t)

∂t= iℏ

ds

dt

∂ψ∗(r, s)

∂s= −iℏ∂ψ

∗(r, s)

∂s=

[iℏ∂ψ(r, s)

∂s

]∗であるから

iℏ∂ψ(r, t)

∂t=

[(− ℏ2

2m∇2 + V (r)

)ψ(r, s)

]∗=

(− ℏ2

2m∇2 + V (r)

)ψ(r, t)

となる。したがって V (r) が実数ならば ψ(r, t) = ψ∗(r,−t) もシュレディンガー方程式の解になる。位置と運動量に期待値を考える。

rav(t) =

∫d3r rψ∗(r, t)ψ(r, t) , rav(t) =

∫d3r rψ

∗(r, t)ψ(r, t)

pav(t) = −iℏ∫d3r ψ∗(r, t)∇ψ(r, t) , pav(t) = −iℏ

∫d3r ψ

∗(r, t)∇ψ(r, t)

とすると ψ(r, t) の定義から

rav(t) = rav(−t) (1.6)


である。また, 部分積分を使うと

pav(t) = iℏ∫d3r ψ∗(r,−t)∇ψ(r,−t) = −pav(−t) (1.7)

である。(1.6)と (1.7)はそれぞれニュートン力学における (1.4)と (1.5)に対応する。したがって, 波

動関数 ψ(r, t) の時間反転した状態は ψ∗(r,−t) で記述される。

波動関数を複素共役に変換するユニタリー演算子 K

Kψ(r, t) = ψ∗(r, t)

を考える。c1, c2 を定数として ψ = c1ψ1 + c2ψ2 のとき

K (c1ψ1 + c2ψ2) = c∗1ψ∗1 + c∗2ψ

∗2 = c1Kψ1 + c2Kψ2

であるから, 量子力学で現れる通常の演算子とは異なり, K は線形演算子ではない。ただし K2 = 1

は線形演算子である。

通常の量子力学の表現では, 運動量 p は位置 r の微分

p = − iℏ∇

に置き換わる。これは虚数 i を含むから Kp = − pK である。あるいは KK† = K†K = 1 で K†

を定義すると ( K2 = 1 であるから K† = K )

KpK† = − p

軌道角運動量 ℓ = r×p も

K ℓK† = − ℓ

になる。

スピン 1/2 粒子の時間反転演算子 T を考える。スピン演算子 ℏs = ℏσ/2 はパウリ行列

σx =

(0 1

1 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 0

0 −1

)

で表せる。σy の行列要素だけが純虚数であるから

KσxK† = σx , KσyK

† = −σy , KσzK† = σz

である。s も角運動量であるから

TσT † = −σ

を満たす必要がある。したがって, T は単なる複素共役演算子 K ではない。そこで T = UK とし

て, U が σx, σz だけ符号を変え r, p, σy を不変に保つなら

TrT † = r , T pT † = − p , TσT † = −σ

になるから, U としてスピンだけを y軸のまわりに π回転させる演算子 exp(−iπsy) を採用すればよい。σ2

y = 1 を使うと

exp(−iπsy) = exp(−iπσy/2) = cos(πσy/2)− i sin(πσy/2) = cos(π/2)− iσy sin(π/2) = − iσy


であるから

T = − iσyK

になる。一般に T = eiθσyK ( θは実数 )でもよいが, 位相因子 eiθ には物理的意味がないから, 通

常 T = − iσyK を用いる。なお

T 2 = iσyKiσyK = iσy(iσy)∗K2 = (iσy)

2 = −1

であるから T † = −T である。また, |α⟩ = T |α⟩ とすると

|α⟩ = T 2|α⟩ = − |α⟩

演算子 F の行列要素

⟨ψ1|F |ψ2⟩ , ψ1(r) = Tψ1(r) = −iσyψ∗1(r) , ψ2(r) = Tψ1(r) = −iσyψ∗

2(r)

を考える。ここで ψ は 2成分のスピノールである。

⟨ψ1|F |ψ2⟩∗ =

∫d3r

(ψ†1(r)Fψ2(r)

)∗=

∫d3r

(ψt1σyFσyψ

∗2

)∗=

∫d3r ψ†

1σyF∗σyψ2

ここで t は転置を表す。

TFT † = −iσyKFK†iσy = σyF∗σy

したがって

⟨ψ1|F |ψ2⟩∗ = ⟨ψ1|(TFT †)|ψ2⟩

あるいは

⟨ψ1|F |ψ2⟩ = ⟨ψ1|(TFT †)|ψ2⟩∗ = ⟨ψ2|(TFT †)†|ψ1⟩

である。この関係式はよく使う。例えば, 時間反転不変の状態 ( ψ = ψ )における期待値は

(TFT †)† = −F ならば ⟨ψ|F |ψ⟩ = 0

である。p, ℓ, σ は (TFT †)† = −F を満たす。

A粒子系の場合, 粒子 i の sy を (sy)i とすると

T = exp(−iπ

A∑i=1

(sy)i

)K

ここで K は全ての粒子の波動関数を複素共役にする演算子である。

複素共役演算子 K を厳密に定義すると, ここで使った K は

K |r,ms⟩ = |r,ms⟩

である反線形演算子である。ただし |r,ms⟩ は位置とスピンの固有状態を表す。

1.3 スキルム力

核子 1 と 2 の間で質量 µ の中間子を交換すると, 核子間には ( 核子間の相対位置を r12 = r1 − r2

で表す )

v(r12) = v0e−λr12

r12×(1 +スピン・アイソスピン依存項

), λ =

µc2

ℏc


が生じる。交換される中間子には π中間子 ( µc2 ≈ 140MeV ), σ中間子 ( µc2 ≈ 500MeV ), ω中間

子 ( µc2 ≈ 780MeV )などあり, 中間子の性質により v0 の値やスピン・アイソスピン依存項が決ま

る。共通する点は r依存性が湯川型 e−λr/r になるため r の増大とともに急激に小さくなることで

ある。v が作用する範囲は e−λr = e−1, つまり r = λ−1 程度である。したがって, 交換する中間子

の質量が大きいほど作用範囲は短い。最も軽い π中間子でも

1

λ=

ℏcµc2

≈ 200× 10−15 MeVm

140MeV= 1.43× 10−15 m

と非常に短い。

ハートリー・フォック方程式を実際に数値計算する上で, フォック項の扱いが問題になる。これを

避けるために核力が短距離力である点を生かす。中間子の質量 µ が非常に大きい場合, v は r12 = 0

では 0になるから v(r12) ∼ δ(r12)となるだろう。これをもう少しきちんと扱ってみる。そのために

f(r12) =e−λr12

r12

を運動量空間に変換する (フーリエ変換)。核子 1, 2 が運動量 ℏk1, ℏk2 の状態にあるとき, 波動関

数は ( 反対称化は無視 )1

(2π)3exp(ik1 ·r1 + ik2 ·r2)

である。これを重心 R = (r1 + r2)/2 と相対位置 r12 = r1 − r2 で表すと

exp (i(k1 + k2)·R+ ik12 ·r12) , k12 =k1 − k2

2

になる。重心は全運動量 ℏ(k1 +k2) で運動し, 2 から見た 1 の相対運動は運動量 ℏk12 で運動する。

これから分かるように, 相対位置 r12 に対応する運動量演算子 k12 は

− i

2

(∂

∂r1− ∂

∂r2

)= − i

∂

∂r12

で置き換えればよい。以下では, 位置と運動量については固有値と演算子を区別するため演算子に

は ˆを付ける。

重心運動は相対位置だけによる v(r12) では影響されないから相対運動のみ考える。簡単のため

添え字 12 は省略する。

⟨k|f(r)|k′⟩ =∫

d3r

(2π)3f(r) exp(i(k′ − k)·r)

=

∫d3r

(2π)3f(r) exp(iq ·r) , q = k′ − k

=1

(2π)2

∫ ∞

0

dr r2 f(r)

∫ π

0

dθ sin θ exp(iqr cos θ)

t = cos θ とすると ∫ π

0

dθ sin θ exp(iqr cos θ) =

∫ 1

−1

dt exp(iqrt) =eiqr − e−iqr

iqr

であるから

⟨k|f(r)|k′⟩ = 1

(2π)2iq

∫ ∞

0

dr r f(r)(eirq − e−irq

)=

1

(2π)2iq

∫ ∞

0

dr(e(iq−λ)r − e−(iq+λ)r

)=

2

(2π)21

λ2 + q2


λ≫ q だとすると

⟨k|f(r)|k′⟩ = 2

(2π)2λ21

1 + q2/λ2=

2

(2π)2λ2

(1− q2

λ2+ · · ·

)となるから

⟨r|f(r)|r′⟩ =∫d3k d3k′⟨r|k⟩⟨k|f(r)|k′⟩⟨k′|r′⟩

=2

(2π)5λ2

∫d3k d3k′

(1− q2

λ2+ · · ·

)exp(ir ·k − ir′ ·k′)

=2

(2π)5λ2

∫d3k d3k′

(1 +

1

λ2(∇r′ −∇r)

2+ · · ·

)exp(ir ·k − ir′ ·k′)

=4π

λ2

(1 +

1

λ2(∇r′ −∇r)

2+ · · ·

)∫d3k

(2π)3d3k′

(2π)2exp(ir ·k − ir′ ·k′)

=4π

λ2

(1 +

1

λ2(∇r′ −∇r)

2+ · · ·

)δ(r) δ(r′)

ところで

⟨r|δ(r)|r′⟩ = δ(r)⟨r|r′⟩ = δ(r)δ(r − r′) = δ(r)δ(r′)

⟨r|k2δ(r)|r′⟩ = −∇2r ⟨r|δ(r)|r′⟩ = −∇2

r δ(r)δ(r′)

第 2式で r と r′ を入れ換え複素共役をとると

⟨r′|δ(r)k2|r⟩∗ = ⟨r|k2δ(r)|r′⟩ = −∇2r′δ(r)δ(r

′)

∇rδ(r − r′) = −∇r′δ(r − r′) であるから

⟨r|k·δ(r)k|r′⟩ = −∇rδ(r) ·∇rδ(r − r′) = ∇rδ(r) ·∇r′δ(r − r′) = ∇r ·∇r′δ(r)δ(r′)

したがって

⟨r|f(r)|r′⟩ = 4π

λ2⟨r|(δ(r)− 1

λ2

(k2δ(r) + δ(r)k2 + 2k·δ(r)k

))|r′⟩

つまり

f(r) =4π

λ2

(δ(r)− 1

λ2

(k2δ(r) + δ(r)k2 + 2k·δ(r)k

))となる。

以上の結果を一般化して, 原子核中の核子間に作用する相互作用として

v(1, 2) = t0 (1 + x0Pσ) δ(r1 − r2) +t12

(δ(r1 − r2)k

212 + k2

12δ(r1 − r2))+ t2k12 ·δ(r1 − r2)k12

+ iW0 (σ1 + σ2)·k12×δ(r1 − r2)k12 +t36(1 + Pσ) δ(r1 − r2)ρ((r1 + r2)/2)

ただし

k12 =k1 − k2

2, Pσ =

1 + σ1 ·σ2

2

を採用する。これをスキルム (Skyrme)力という。この相互作用は t0, t1, t2, t3, x0, W0 の 6つパラ

メータを含む。これらは原子核の結合エネルギーと大きさを再現するように決める。W0 の項は原

子核に特徴的な強いスピン・軌道力を再現するために必要である。また, 密度 ρ に依存する項は原

子核中での多体効果を現象論的に取り入れたものと考えられているが, 実際問題として, この項が

ないと δ(r)型の簡単な相互作用では原子核を安定な束縛系にすることができない。


1.4 エネルギー期待値

核子間の相互作用がスキルム力であるとき,ハートリー・フォック基底状態 | ⟩におけるエネルギー期待値

E = ⟨ |∑i

ℏ2k2i

2m+

1

2

∑ij

v(i, j)| ⟩ = ℏ2

2m

∑i

⟨ i |k2| i ⟩+ 1

2

∑ij

⟨ ij |v(1, 2)| ij ⟩

を求める。ここで | ij ⟩ は核子 1が状態 | i ⟩, 核子 2が状態 | j ⟩ にある状態, v は反対称化された相

互作用

v(1, 2) = v(1, 2) (1− PrPσPτ )

である。スキルム力の場合, E は陽子,中性子それそれの核子密度 ρq(r),運動エネルギー密度 τq(r),

スピンカレント Jq(r) で表せる:

ρq(r) =∑i

⟨ i |δ(r − r) τq| i ⟩ =∑i

∑σ

|ϕi(rσq)|2

τq(r) =∑i

⟨ i | k δ(r − r) · k τq| i ⟩ =∑i

∑σ

|∇ϕi(rσq)|2

Jq(r) =∑i

⟨ i |δ(r − r)k×στq| i ⟩ = − i∑i

∑σσ′

ϕ∗i (rσq)∇ϕi(rσ′q)×⟨σ|σ|σ′⟩

ただし ϕi(rσq) = ⟨rσq| i ⟩ は 1粒子状態 i の波動関数である。

HF基底状態 | ⟩ は時間反転に対して不変であるとする。時間反転演算子を T とすると

T | ⟩ = | ⟩

である。したがって, ある演算子 F の期待値は

⟨ |F | ⟩ = (⟨ |T ) F(T−1| ⟩

)= ⟨ |

(TFT−1

)| ⟩∗ (1.8)

を満たす。なお, 時間反転すればスピンと運動量の向きは逆転するが, 位置は不変である:

T k T−1 = − k , T σ T−1 = −σ , T r T−1 = r

この性質から∑i

⟨ i | δ(r − r)k τq| i ⟩ =∑i

⟨ i |(Tδ(r − r)k τqT

−1)| i ⟩∗

= −∑i

⟨ i | k δ(r − r) τq| i ⟩

= −∑i

⟨ i |(k δ(r − r)

)τq| i ⟩ −

∑i

⟨ i | δ(r − r) k τq| i ⟩

= −1

2

∑i

⟨ i |(k δ(r − r)

)τq| i ⟩

ところで (k δ(r − r)

)= −i∂ δ(r − r)

∂r= +i

∂ δ(r − r)

∂r= i∇δ(r − r)

であるから ∑i

⟨ i | δ(r − r)k τq| i ⟩ = − i

2

∑i

⟨ i |∇δ(r − r) τq| i ⟩


∇ はヒルベルト空間の演算子ではないからブラ ⟨ i | の前にだしてもよい。したがって∑i

⟨ i | δ(r − r)k τq| i ⟩ = −∑i

⟨ i | k δ(r − r) τq| i ⟩ = − i

2∇ρq(r) (1.9)

次に

τq(r) =∑i

⟨ i | k δ(r − r) · k τq| i ⟩ =∑i

⟨ i |(k δ(r − r)

)· k τq + δ(r − r) k2τq| i ⟩

=∑i

⟨ i | i∇δ(r − r) · k τq + δ(r − r) k2τq| i ⟩

であるから∑i

⟨ i |δ(r − r) k2τq| i ⟩ = τq(r)− i∇·∑i

⟨ i | δ(r − r)k τq| i ⟩ = τq(r)−1

2∇2ρq(r) (1.10)

スピン密度は∑i

⟨ i |δ(r − r)τqσ | i ⟩ =∑i

⟨ i |(Tδ(r − r)τqσT

−1)| i ⟩∗ = −

∑i

⟨ i |δ(r − r)τqσ | i ⟩ = 0 (1.11)

である。

アイソスピンの状態について ⟨ qiqj |Pτ | qiqj ⟩ が必要になるが, Pτ の定義から

⟨ qiqj |Pτ | qiqj ⟩ =1

2(⟨ qiqj | qiqj ⟩+ ⟨ qi |τ | qi ⟩·⟨ qj |τ | qj ⟩)

⟨ q |τ | q ⟩ はパウリのスピン行列の対角要素であるから, 0 でないものは τz だけである。したがって

Pτ の内積 τ1 ·τ2 を z成分の積 τ1zτ2z で置き換えてよいから

Pτ =1 + τ1zτ2z

2=

1 + τ1z2

1 + τ2z2

+1− τ1z

2

1− τ2z2

= τ1pτ2p + τ1nτ2n =∑q

τ1qτ2q

になる。

τq(r) を積分すると∫d3r τq(r) =

∑i

⟨ i | k∫d3r δ(r − r) · k τq| i ⟩ =

∑i

⟨ i | k2τq| i ⟩

であり τp + τn = 1 であるから∑i

⟨ i |k2| i ⟩ =∫d3r

(τp(r) + τn(r)

)

t0 項

V0 =t02

∑ij

⟨ ij | (1 + x0Pσ) δ(r1 − r2) (1− PrPσPτ ) | ij ⟩

を求める。2粒子系の状態 | ij ⟩ を重心と相対運動で表したとき, 相対運動の波動関数の相対軌道角

運動量が L である部分

R(r12)YLM (θ12, φ12) , R(r12) ∝ rL12(1 + aL r

212 + · · ·

)


は, 遠心力のため L = 0 のとき R(r12 = 0) = 0 になる。したがって, V0 に寄与するのは L = 0 の

みである。軌道部分の状態について粒子 1と 2を交換すると r1 → r2, r2 → r1 つまり r12 → − r12

であるから

PrR(r12)YLM (θ12, φ12) = (−)LR(r12)YLM (θ12, φ12)

になる。L = 0 だけを扱う場合には Pr = 1 としてよい。これから

V0 =t02

∑ij

⟨ i j |δ(r1 − r2) (1 + x0Pσ) (1− PτPσ) | i j ⟩

=t02

∑ij

⟨ i j |δ(r1 − r2)

(1 +

x02

−(x0 +

1

2

)Pτ +

x0 − Pτ

2σ1 ·σ2

)| i j ⟩

デルタ関数 δ(r1 − r2) は

δ(r1 − r2) =

∫d3r δ(r − r1) δ(r − r2)

と表せるから, 例えば∑ij

⟨ i j |δ(r1 − r2)Pτ | i j ⟩ =∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1) δ(r − r2)∑q

τ1qτ2q | i j ⟩

=∑q

∫d3r

∑ij

⟨ i |δ(r − r)τq| i ⟩⟨ j |δ(r − r)τq| j ⟩

=∑q

∫d3r ρ2q(r)

∑ij

⟨ i j |δ(r1 − r2)σ1 ·σ2| i j ⟩ =∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1) δ(r − r2)σ1 ·σ2| i j ⟩

=

∫d3r

∑ij

⟨ i |δ(r − r)σ| i ⟩·⟨ j |δ(r − r)σ| j ⟩ = 0

である。他の項も同様にすると

V0 =t02

∫d3r

((1 +

x02

)ρ2 −

(x0 +

1

2

)∑q

ρ2q

)

t1 項

V1 =t116

∑ij

⟨ ij |(δ(r1 − r2)

(k1 − k2

)2+(k1 − k2

)2δ(r1 − r2)

)(1− PrPσPτ ) | ij ⟩

この場合も相対軌道角運動量は L = 0 だけ寄与するから Pr = 1 としてよい。HF基底状態 | ⟩ は時間反転不変であるから∑

ij

⟨ ij |(k1 − k2

)2δ(r1 − r2) (1− PσPτ ) | ij ⟩

=∑ij

⟨ ij |(T(k1 − k2

)2δ(r1 − r2)T

−1

)(1− PσPτ ) | ij ⟩∗

=∑ij

⟨ ij |(k1 − k2

)2δ(r1 − r2) (1− PσPτ ) | ij ⟩∗

=∑ij

⟨ ij |δ(r1 − r2)(k1 − k2

)2(1− PσPτ ) | ij ⟩


したがって

V1 =t18

∑ij

⟨ i j |δ(r1 − r2)(k1 − k2

)2(1− Pτ

1 + σ1 ·σ2

2

)| i j ⟩

=t14

∑ij

⟨ i j |δ(r1 − r2)(k21 − k1 ·k2

)(1− Pτ

1 + σ1 ·σ2

2

)| i j ⟩

=t14

∫d3r

∑ij

⟨ i j | δ(r − r1) δ(r − r2)(k21 − k1 ·k2

)(1− Pτ

1 + σ1 ·σ2

2

)| i j ⟩

= V11 + V12 + V13

ただし

V11 =t14

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1) δ(r − r2)(k21 − k1 ·k2

)| i j ⟩

V12 = − t18

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1) δ(r − r2)(k21 − k1 ·k2

)Pτ | i j ⟩

V13 = − t18

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1)δ(r − r2)(k21 − k1 ·k2

)Pτ σ1 ·σ2| i j ⟩

(1.9), (1.10)を使うと

V11 =t14

∫d3r

∑ij

(⟨ i |δ(r − r)k2| i ⟩⟨ j |δ(r − r)| j ⟩ − ⟨ i |δ(r − r) k | i ⟩ · ⟨ j |δ(r − r) k | j ⟩

)=t14

∫d3r

[(τ − 1

2∇2ρ

)ρ+

1

4(∇ρ)·(∇ρ)

]=t14

∫d3r

(τρ− 3

4ρ∇2ρ

)

V12 = − t18

∑q

∫d3r

(τqρq −

3

4ρq∇2ρq

)である。V13 で

V13 = − t18

∑q

∫d3r

∑ij

⟨ i |δ(r − r)k2τqσ| i ⟩·⟨ j |δ(r − r)τqσ| j ⟩

+t18

∑q

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1)δ(r − r2)k1 ·k2 σ1 ·σ2 τ1qτ2q| i j ⟩

の第 1項は (1.11)から 0 である。また, ハートリー・フォック基底状態 | ⟩ が回転不変ならば∑i

⟨ i |δ(r − r)k·στq| i ⟩ = 0 ,∑i

⟨ i |δ(r − r)(k×σ)(2)τq| i ⟩ = 0

である。これと

k1 ·k2 σ1 ·σ2 =1

3k1 ·σ1 k2 ·σ2 +

1

2(k1×σ1)·(k2×σ2) + (k1×σ1)

(2) ·(k2×σ2)(2) (1.12)

を使うと

V13 =t116

∑q

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1)δ(r − r2)(k1×σ1)·(k2×σ2) τ1qτ2q| i j ⟩

=t116

∑q

∫d3r

∑i

⟨ i |δ(r − r)k×στq| i ⟩·∑j

⟨ j |δ(r − r)k×στq| j ⟩

=t116

∑q

∫d3r J2

q


以上から

V1 =t116

∫d3r

(4τρ− 3ρ∇2ρ− 2

∑q

τqρq +3

2

∑q

ρq∇2ρq +∑q

J2q

)

t2 項

V2 =t28

∑ij

⟨ ij |(k1 − k2

)δ(r1 − r2)·

(k1 − k2

)(1− PrPσPτ ) | ij ⟩

この場合, 相対運動の波動関数で表すと k1 − k2 は相対位置 r12 の微分で置き換えられるから, 行

列要素は ∣∣∣∇12R(r12)YLM (θ12, φ12)∣∣∣2 at r12 = 0

に比例する。したがって L = 1成分のみが寄与するから Pr = −1 としてよい。

V2 =t28

∑ij

⟨ i j |(k1 − k2

)δ(r1 − r2)·

(k1 − k2

)(1 + Pτ

1 + σ1 ·σ2

2

)| i j ⟩

=t24

∑ij

⟨ i j |k1δ(r1 − r2)·(k1 − k2)

(1 + Pτ

1 + σ1 ·σ2

2

)| i j ⟩

=t24

∫d3r

∑ij

⟨ i j |k1δ(r − r1)δ(r − r2)·(k1 − k2)

(1 + Pτ

1 + σ1 ·σ2

2

)| i j ⟩

= V21 + V22 + V23

ただし

V21 =t24

∫d3r

∑ij

⟨ i j |k1δ(r − r1)δ(r − r2)·(k1 − k2)| i j ⟩

=t24

∫d3r

∑ij

(⟨ i |k δ(r − r)·k | i ⟩⟨ j |δ(r − r)| j ⟩

− ⟨ i |k δ(r − r)| i ⟩·⟨ j |δ(r − r)k | j ⟩)

=t24

∫d3r

(τρ− 1

4(∇ρ)·(∇ρ)

)=t24

∫d3r

(τρ+

1

4ρ∇2ρ

)

V22 =t28

∫d3r

∑ij

⟨ i j |k1δ(r − r1)δ(r − r2)·(k1 − k2)∑q

τ1qτ2q| i j ⟩

=t28

∫d3r

∑q

(τqρq +

1

4ρq ∇2ρq

)

V23 =t28

∫d3r

∑ij

⟨ i j |k1δ(r − r1)δ(r − r2)·(k1 − k2)Pτσ1 ·σ2| i j ⟩

V23 を求めるために

k1δ(r − r1) δ(r − r2) =(k1δ(r − r1)

)δ(r − r2) + δ(r − r1)k1δ(r − r2)

= i(∇δ(r − r1)

)δ(r − r2) + δ(r − r1) δ(r − r2)k1 (1.13)

と変形する。∇δ(r− r1)の ∇ は δ(r− r1) だけに作用し δ(r− r2) には作用しない。また, δ(r− r2)


は r1 を含まないから k1 とは交換する。(1.13)を使うと

V23 =t28

∑q

∫d3r i

∑ij

⟨ i j |(∇δ(r − r1)

)δ(r − r2) ·(k1 − k2)τ1qτ2qσ1 ·σ2| i j ⟩

+t28

∑q

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1)δ(r − r2) k1 ·(k1 − k2)τ1qτ2qσ1 ·σ2| i j ⟩

(1.11)から粒子 1または 2について σ だけを含む項は 0 になるから, 残るのは 2行目の k1·k2 を含

む項だけである。したがって, V13 と同様に (1.12)を使うと

V13 = − t28

∑q

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r1)δ(r − r2) k1 ·k2τ1qτ2qσ1 ·σ2| i j ⟩ = − t216

∑q

∫d3r J2

q

結局

V2 =t216

∫d3r

(4τρ+ ρ∇2ρ+ 2

∑q

τqρq +1

2

∑q

ρq∇2ρq −∑q

J2q

)

t3 項

V3 =t312

∑ij

⟨ ij |(1 + Pσ)δ(r1 − r2) ρ((r1 + r2)/2)| ij ⟩

これは V0 で x0 = 1 として全体に ρ を掛ければよいから

V3 =t312

∫d3r

((1 +

1

2

)ρ2 −

(1 +

1

2

)∑q

ρ2q

)ρ =

t34

∫d3r ρpρnρ

W0 項

VLS =iW0

8

∑ij

⟨ ij | (σ1 + σ2)·[(k1 − k2)δ(r1 − r2)× (k1 − k2)

](1− PrPσPτ )| ij ⟩

この場合も相対運動軌道角運動量 L = 1 だけが寄与するから Pr = −1 である。また, 2核子系の全

スピン σ1 + σ2 のため S = 0 は寄与しないから Pσ = 1 である。したがって

VLS =iW0

8

∑ij

⟨ ij | (σ1 + σ2)·[(k1 − k2)δ(r1 − r2)× (k1 − k2)

](1 + Pτ )| ij ⟩

=iW0

4

∑ij

⟨ ij | (σ1 + σ2)·[k1δ(r1 − r2)× (k1 − k2)

](1 + Pτ )| ij ⟩

=iW0

4

∑ij

∫d3r ⟨ ij | (σ1 + σ2)·

[k1δ(r − r1)δ(r − r2)× (k1 − k2)

](1 + Pτ )| ij ⟩

ここで

k1δ(r − r1)δ(r − r2)×(k1 − k2)

=(k1δ(r − r1)

)δ(r − r2)×(k1 − k2) + δ(r − r1)δ(r − r2) k1×(k1 − k2)

= iδ(r − r2)(∇δ(r − r1)

)×(k1 − k2)− δ(r − r1)δ(r − r2) k1×k2


であるから

VLS = − W0

4

∑ij

∫d3r ⟨ ij |δ(r − r2) (σ1 + σ2)·

[(∇δ(r − r1)

)×(k1 − k2)

](1 + Pτ )| ij ⟩

− iW0

4

∑ij

∫d3r ⟨ ij |δ(r − r1)δ(r − r2) (σ1 + σ2)·

[k1×k2

](1 + Pτ )| ij ⟩

第 2項で添え字 1, 2 を入れ換えると k2×k1 = − k1×k2 より第 2項は 0 である。(1.11)を考慮す

ると

VLS = − W0

4

∫d3r

∑ij

⟨ i j |δ(r − r2)(∇δ(r − r1)

)·[k1×σ1 − k2×σ2

](1 + Pτ ) | i j ⟩

= − W0

4

∫d3r

∑ij

(⟨ i |∇δ(r − r)·[k×σ]| i ⟩⟨ j |δ(r − r)| j ⟩

− ⟨ i |∇δ(r − r)| i ⟩·⟨ j |δ(r − r)k×σ| j ⟩

+∑q

⟨ i |∇δ(r − r)·[k×σ]τq| i ⟩⟨ j |δ(r − r)τq| j ⟩

−∑q

⟨ i |∇δ(r − r)τq| i ⟩·⟨ j |δ(r − r)k×στq| j ⟩)

= − W0

4

∫d3r

(ρ∇·J − J ·∇ρ+

∑q

ρq∇·Jq −∑q

Jq ·∇ρq

)

= − W0

2

∫d3r

(ρ∇·J +

∑q

ρq∇·Jq

)

Total 以上をまとめると

E =

∫d3r H(r)

ただし

H(r) =t02

((1 +

x02

)ρ2 −

(x0 +

1

2

)∑q

ρ2q

)

+t116

(4τρ− 3ρ∇2ρ− 2

∑q

τqρq +3

2

∑q

ρq∇2ρq +∑q

J2q

)

+t216

(4τρ+ ρ∇2ρ+ 2

∑q

τqρq +1

2

∑q

ρq∇2ρq −∑q

J2q

)+t34ρpρnρ

− W0

2

(ρ∇·J +

∑q

ρq∇·Jq

)

=t02

((1 +

x02

)ρ2 −

(x0 +

1

2

)∑q

ρ2q

)+t14τρ+

t2 − t18

∑q

τqρq

+t2 − 3t1

16ρ∇2ρ+

3t1 + t232

∑q

ρq∇2ρq +t1 − t216

∑q

J2q +

t34ρpρnρ

− W0

2

(ρ∇·J +

∑q

ρq∇·Jq

)


1.5 ハートリー・フォック方程式

波動関数 ϕi の変分 δϕi に関して E が停留値になることを要請する。ϕi と ϕ∗i を独立に扱い, ϕ∗i

の変分のみを考えればよい。このとき

δρ = δϕ∗i ϕi , δτ = ∇δϕ∗i ·∇ϕi , δJ = −iδϕ∗iσ×∇ϕi

であるから, 例えば∫d3r δ(ρτ) =

∫d3r (δϕ∗i ϕi τ + ρ∇δϕ∗i ·∇ϕi) =

∫d3r δϕ∗i (τ −∇· ρ∇)ϕi∫

d3r δ(ρ∇2ρ) =

∫d3r

(δϕ∗i ϕi ∇2ρ+ ρ∇2δϕ∗i ϕi

)= 2

∫d3r δϕ∗i ϕi ∇2ρ

である。他の項も同様にすると

δE =

∫d3r δϕ∗i

(−∇· ℏ2

2m∗q(r)

∇+ Uq(r)− iWq(r)·(∇×σ)

)ϕi

ただし

ℏ2

2m∗q(r)

=ℏ2

2m+t1 + t2

4ρ+

t2 − t18

ρq

Uq(r) = t0

((1 +

x02

)ρ−

(x0 +

1

2

)ρq

)+t34

(ρ2 − ρ2q

)+t1 + t2

4τ +

t2 − t18

τq

+t2 − 3t1

8∇2ρ+

3t1 + t216

∇2ρq −W0

2(∇·J +∇·Jq) + δqpVC

Wq(r) =t1 − t2

8Jq +

W0

2(∇ρ+∇ρq)

ϕi は規格化されているからラグランジュの未定乗数法により

δE − ei

∫d3r δϕ∗i ϕi = 0

したがって ϕi が満たすべき方程式は(−∇· ℏ2

2m∗q(r)

∇+ Uq(r)− iWq(r)·(∇×σ)

)ϕi = ei ϕi

になる。

1.6 スピン・カレント

⟨ j1 m1 j2 m2 | j3 m3 ⟩ = (−)j1−j2+m3√2j3 + 1

(j1 j2 j3

m1 m2 −m3

)(1.14)

Edmonds 95ページ

∑µ1µ2µ3

(−)ℓ1+ℓ2+ℓ3+µ1+µ2+µ3

(j1 ℓ2 ℓ3

m1 µ2 −µ3

)(ℓ1 j2 ℓ3

−µ1 m2 µ3

)(ℓ1 ℓ2 j3

µ1 −µ2 m3

)

=

(j1 j2 j3

m1 m2 m3

)j1 j2 j3

ℓ1 ℓ2 ℓ3

(1.15)


勾配公式 ( Edmonds 84ページ )

∇f(r)Yℓm = −√

ℓ+ 1

2ℓ+ 1

(df

dr− ℓ

f

r

)∑m′µ

⟨ ℓ+1m′ 1 µ | ℓ m ⟩Yℓ+1m′eµ

+

√ℓ

2ℓ+ 1

(df

dr+ (ℓ+ 1)

f

r

)∑m′µ

⟨ ℓ−1m′ 1 µ | ℓ m ⟩Yℓ−1m′eµ

と eµ ·e−ν = (−)µδµν から

r∇µYℓm = r eµ ·∇f(r)Yℓm

= ℓ

√ℓ+ 1

2ℓ+ 1⟨ ℓ+1m′ 1 −µ | ℓ m ⟩(−)µYℓ+1m′

+(ℓ+ 1)

√ℓ

2ℓ+ 1⟨ ℓ−1m′ 1 −µ | ℓ m ⟩(−)µYℓ−1m′

= − ℓ

√ℓ+ 1

2ℓ+ 3⟨ ℓ m 1 µ | ℓ+1m′ ⟩Yℓ+1m′ − (ℓ+ 1)

√ℓ

2ℓ− 1⟨ ℓ m 1 µ | ℓ−1m′ ⟩Yℓ−1m′

=∑LM

f(ℓ, L)⟨ ℓ m 1 µ |LM ⟩YLM (1.16)

ただし

f(ℓ, L) =

− ℓ

√ℓ+ 1

2ℓ+ 3, L = ℓ+ 1

− (ℓ+ 1)

√ℓ

2ℓ− 1, L = ℓ− 1

0 , その他

Yℓm の結合 ( Edmonds 70ページ )

∑m1m2

⟨ ℓ1m1 ℓ2m2 |LM ⟩Yℓ1m1Yℓ2m2 =

√(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1)

4π(2L+ 1)⟨ ℓ1 0 ℓ2 0 |L 0 ⟩YLM (1.17)

Yℓjm(Ω) =∑

mℓms

⟨ ℓ mℓ12 ms | j m ⟩Yℓmℓ

(Ω) |ms⟩

とする。

∇µR(r)Yℓjm =rµr

dR

drYℓjm +R(r)∇µYℓjm =

√4π

3

dR

drY1µYℓjm +R(r)∇µYℓjm

であるから

Jλµ =∑α

Rα(r)Y†ℓjm (∇σ)(11)λµRα(r)Yℓjm

=

√4π

3

∑α

RαdRα

drY†ℓjm (Y1σ)(11)λµ Yℓjm +

∑α

R2αY

†ℓjm (∇σ)(11)λµ Yℓjm

となる。そこで

Rλµ =

j∑m=−j

Y†ℓjm (Y1σ)(11)λµ Yℓjm , Sλµ =

j∑m=−j

Y†ℓjm (∇σ)(11)λµ Yℓjm

を考える。


Rλµ は

Rλµ =∑m

⟨ℓjm|δ(Ω − Ω) (Y1σ)(11)λµ |ℓjm⟩

と書ける。時間反転 T に対して

T |ℓjm⟩ = (−)j+m|ℓj −m⟩

であるから

Rλµ =∑m

⟨ℓj −m|δ(Ω − Ω) (Y1σ)(11)λµ |ℓj −m⟩

=∑m

⟨ℓjm|(Tδ(Ω − Ω) (Y1σ)(11)λµ T

−1)|ℓjm⟩∗

(TYℓmT−1)† = Yℓm, (TσµT

−1)† = −σµ であるから

Rλµ = −∑m

⟨ℓjm|δ(Ω − Ω) (Y1σ)(11)λµ |ℓjm⟩ = −Rλµ = 0

になる。

Rλµ = 0 は時間反転を直接使わなくても導ける。Rλµ を展開すると ( 以下では λ, µ, ℓ, j 以外の

indexについては和をとる )

Rλµ =∑

⟨ ℓ mℓ12 ms | j m ⟩⟨ ℓ m′

ℓ12 m

′s | j m ⟩⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩Y ∗

ℓmℓY1µ1 Yℓm′

ℓ⟨ms|σµ2 |m′

s⟩

σµ の行列要素は

⟨ms|σµ2 |m′s⟩ =

√3 ⟨ 1

2 m′s 1 µ2 | 1

2 ms ⟩

であるから

Rλµ =√3∑

⟨ ℓ mℓ12 ms | j m ⟩⟨ ℓ m′

ℓ12 m

′s | j m ⟩⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩⟨ 1

2 m′s 1 µ2 | 1

2 ms ⟩

(−)mℓYℓ−mℓY1µ1 Yℓm′

ℓ

m を −m に置き換え

⟨ j1m1 j2m2 | j3m3 ⟩ = (−)j1+j2−j3⟨ j1 −m1 j2 −m2 | j3 −m3 ⟩

を使うと

Rλµ =√3∑

⟨ ℓ −mℓ12 −ms | j m ⟩⟨ ℓ −m′

ℓ12 −m′

s | j m ⟩⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩⟨ 12 m

′s 1 µ2 | 1

2 ms ⟩

(−)mℓYℓ−mℓY1µ1 Yℓm′

ℓ

−mℓ, −m′ℓ, −ms, −m′

s を改めてmℓ, m′ℓ, ms, m

′s とすると

Rλµ =√3∑

⟨ ℓ mℓ12 ms | j m ⟩⟨ ℓ m′

ℓ12 m

′s | j m ⟩⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩⟨ 1

2 −m′s 1 µ2 | 1

2 −ms ⟩

(−)−mℓYℓmℓY1µ1 Yℓ−m′

ℓ

CG係数の性質

⟨ j1m1 j2m2 | j3m3 ⟩ = (−)j2+m2

√2j3 + 1

2j1 + 1⟨ j3 −m3 j2m2 | j1 −m1 ⟩


を ⟨ 12 −m′

s 1 µ2 | 12 −ms ⟩ に適用すると

Rλµ =√3∑

(−)−mℓ+m′ℓ+µ2+1⟨ ℓ mℓ

12 ms | j m ⟩⟨ ℓ m′

ℓ12 m

′s | j m ⟩⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩

⟨ 12 ms 1 µ2 | 1

2 m′s ⟩Yℓmℓ

Y1µ1 (−)m′ℓYℓ−m′

ℓ

µ2 = m′s −ms であるから

−mℓ +m′ℓ + µ2 + 1 = m′

ℓ +m′s − (mℓ +ms) + 1 = m−m+ 1 = 1

したがって

Rλµ = −√3∑

⟨ ℓ mℓ12 ms | j m ⟩⟨ ℓ m′

ℓ12 m

′s | j m ⟩⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩⟨ 1

2 ms 1 µ2 | 12 m

′s ⟩

Y ∗ℓm′

ℓY1µ1 Yℓmℓ

= −Rλµ = 0

次に Sλµ を求める。この場合, 時間反転を使うと

Sλµ = −∑

⟨ℓjm| (∇σ)(11)λµ δ(Ω − Ω)|ℓjm⟩

となるが, ∇ と δ(Ω − Ω) は交換しないから Sλµ = −Sλµ とはならない。Rλµ と同様にすると

Sλµ =√3∑

⟨ 1 µ1 1 µ2 |λ µ ⟩⟨ ℓ mℓ12 ms | j m ⟩⟨ ℓ m′

ℓ12 m

′s | j m ⟩⟨ 1

2 m′s 1 µ2 | 1

2 ms ⟩

Y ∗ℓmℓ

∇µ1Yℓm′ℓ

=√6 (2j + 1)

√2λ+ 1

∑(−)µ+ms−1/2

(1 1 λ

µ1 µ2 −µ

)Y ∗ℓmℓ

∇µ1Yℓm′ℓ(

ℓ 12 j

mℓ ms −m

)(ℓ 1

2 j

m′ℓ m

′s −m

)(12 1 1

2

m′s µ2 −ms

)

=√6 (2j + 1)

√2λ+ 1

∑(−)j+1/2+µ+m′

ℓ

(1 1 λ

µ1 µ2 −µ

)Y ∗ℓmℓ

∇µ1Yℓm′ℓ

(−1)1/2+1/2+j+m′s+ms+m

(ℓ 1

2 j

mℓ ms −m

)(12 ℓ j

−m′s −m′

ℓ m

)(12

12 1

m′s −ms µ2

)

ms, m′s, m について和をとると (1.15)より

Sλµ =√6 (2j + 1)

√2λ+ 1

∑(−)j+1/2+µ+m′

ℓ

(1 1 λ

µ1 µ2 −µ

)Y ∗ℓmℓ

∇µ1Yℓm′

ℓ(ℓ ℓ 1

mℓ −m′ℓ µ2

)ℓ ℓ 112

12 j


(1.16)を使うと

Sλµ =1

r

√6 (2j + 1)

√2λ+ 1

∑√2L+ 1(−)j+ℓ−1/2+µ+m′

ℓ+Mf(ℓ, L)

ℓ ℓ 112

12 j

Y ∗ℓmℓ

YLM(1 1 λ

µ1 µ2 −µ

)(ℓ ℓ 1

mℓ −m′ℓ µ2

)(ℓ 1 L

m′ℓ µ1 −M

)

=1

r

√6 (2j + 1)

√2λ+ 1

∑√2L+ 1(−)j+1/2+λ+Mf(ℓ, L)

ℓ ℓ 112

12 j

Y ∗ℓmℓ

YLM

(−)ℓ+1+1+m′ℓ−µ1+µ2

(λ 1 1

µ −µ1 −µ2

)(ℓ ℓ 1

−m′ℓ mℓ µ2

)(ℓ 1 L

m′ℓ µ1 −M

)

m′ℓ, µ1, µ2 について和をとると

Sλµ =

√6

r(2j + 1)

√2λ+ 1

∑√2L+ 1(−)j+1/2+λ+Mf(ℓ, L)

ℓ ℓ 112

12 j

Y ∗ℓmℓ

YLM(λ ℓ L

µ mℓ −M

)λ ℓ L

ℓ 1 1

=

√6

r(2j + 1)

∑√2L+ 1(−)j+1/2f(ℓ, L)

ℓ ℓ 112

12 j

λ ℓ L

ℓ 1 1

⟨ ℓ −mℓ LM |λ µ ⟩Yℓ−mℓ

YLM

=

√6

r(2j + 1)

√2ℓ+ 1

4π(−)j+1/2+λ

ℓ ℓ 112

12 j

Yλµ

∑L=ℓ±1

(2L+ 1)f(ℓ, L)

λ 1 1

ℓ ℓ L

(ℓ L λ

0 0 0

)

ℓ+ L+ λ が oddのとき (ℓ L λ

0 0 0

)= 0

であり L = ℓ± 1 であるから λ = 0, 2 のとき

Sλµ = 0

になる。

Edmonds 130ページの表からc c 1

b b a

= (−)a+b+c−1 b(b+ 1) + c(c+ 1)− a(a+ 1)√

4b(b+ 1)(2b+ 1)c(c+ 1)(2c+ 1)

であるから ℓ ℓ 112

12 j

= (−)j−1/2+ℓ ℓ(ℓ+ 1)− j(j + 1) + 3/4√

6ℓ(ℓ+ 1)(2ℓ+ 1)1 ℓ L

ℓ 1 1

= (−)ℓ+L ℓ(ℓ+ 1)− L(L+ 1) + 2√

24ℓ(ℓ+ 1)(2ℓ+ 1)

また (ℓ ℓ− 1 1

0 0 0

)= (−)ℓ

√ℓ

(2ℓ− 1)(2ℓ+ 1),

(ℓ ℓ+ 1 1

0 0 0

)= (−)ℓ−1

√ℓ+ 1

(2ℓ+ 1)(2ℓ+ 3)


である。したがって λ = 1 のとき

(2L+ 1)f(ℓ, L)

λ 1 1

ℓ ℓ L

(ℓ L λ

0 0 0

)=

(−)ℓ√6

√ℓ(ℓ+ 1)

2ℓ+ 1

ℓ L = ℓ+ 1

ℓ+ 1 L = ℓ− 1

これから ∑L=ℓ±1

(2L+ 1)f(ℓ, L)

λ 1 1

ℓ ℓ L

(ℓ L λ

0 0 0

)=

(−)ℓ√6

√ℓ(ℓ+ 1)

したがって

S1µ =1√24π

2j + 1

r

(ℓ(ℓ+ 1)− j(j + 1) + 3/4

)Y1µ

r Y1µ =√3/4π rµ であるから

S1µ =1√2

rµ4πr2

(2j + 1)(ℓ(ℓ+ 1)− j(j + 1) + 3/4

)

1.7 Recoupling of tensors

ランク λ のテンソルのスカラー積を

Tλ · Sλ =∑µ

(−)µTλµSλ−µ = (−)λ√2λ+ 1 (TλSλ)00

で定義する ( λ は整数 )。S と U が交換する場合

(Rk1Sk2)λ · (Uk3Vk4)λ

=∑

(−)µ⟨ k1m1 k2m2 |λ µ ⟩Rk1m1Sk2m2

⟨ k3 m3 k4m4 |λ −µ ⟩Uk3m3Vk4m4

=∑

(−)µ⟨ k1m1 k2m2 |λ µ ⟩ ⟨ k3m3 k4 m4 |λ −µ ⟩⟨ k1m1 k3 m3 | j m ⟩ ⟨ k2m2 k4m4 | j′m′ ⟩

(Rk1Uk3)jm (Sk2Vk4)j′m′

= (2λ+ 1)√

2j + 1∑

(−)2k1+k3−k4+2λ+2(m1−k1)⟨ k2m2 k4m4 | j′m′ ⟩ (Rk1Uk3)jm (Sk2Vk4)j′m′

(−)k3+k4+λ−m3+m1+µ

(k2 k1 λ

m2 m1 −µ

)(k3 k4 λ

m3 m4 µ

)(k3 k1 j

−m3 −m1 m

)= (2λ+ 1)

√2j + 1

∑(−)2k1+k3−k4+2λ⟨ k2 m2 k4m4 | j′m′ ⟩ (Rk1Uk3)jm (Sk2Vk4)j′m′k2 k4 j

k3 k1 λ

(k2 k4 j

m2 m4 m

)

= (2λ+ 1)∑

(−)2k1+k2+k3−2k4+2λ−m

k2 k4 j

k3 k1 λ

(Rk1Uk3)jm (Sk2Vk4)j′m′

⟨ k2m2 k4m4 | j′m′ ⟩⟨ k2m2 k4m4 | j −m ⟩

= (2λ+ 1)∑

(−)2k1+k2+k3−2k4+2λ−m

k1 k2 λ

k4 k3 j

(Rk1Uk3)jm (Sk2Vk4)j −m

= (2λ+ 1)(−)k1+k4+2λ∑j

W (k1 k2 k3 k4 ;λ j) (Rk1Uk3)j ·(Sk2Vk4)j

k1 = k2 = k3 = k4 = 1, λ = 0 の場合

(A1B1)0 = − 1√3A·B , (A1B1)1µ =

i√2(A×B)µ , W (a a b b ; 0 c) =

(−)a+b−c√(2a+ 1)(2b+ 1)


であるから

A·BC ·D =W (1 1 1 1 ; 0 0)A·CB ·D − 3

2W (1 1 1 1 ; 0 1) (A×C)·(B×D)

+ 3W (1 1 1 1 ; 0 2) (A1C1)2 · (B1D1)2

=1

3A·CB ·D +

1

2(A×C)·(B×D) + (A1C1)2 · (B1D1)2


2 核子の弾性散乱と偏極

Ivan Ulehla et al., Optical model of the atomic nucleus (1964, Academic)

2.1 クーロン散乱波

シュレディンガー方程式 (− 1

2m∇2 +

Z1Z2e2

r

)ψ(r) = Eψ(r)

つまり (∇2 + k2 − 2kη

r

)ψ(r) = 0 , E =

k2

2m, η = m

Z1Z2e2

k

を考える。

ψ(r) = eikz f(u) , u = r − z

とすると

∂ψ

∂x= eikz

x

rf ′ ,

∂2ψ

∂x2= eikz

[(1

r− x2

r3

)f ′ +

x2

r2f ′′]

∂ψ

∂z= eikz

[ikf − u

rf ′],

∂2ψ

∂z2= eikz

[−k2f − 2iku

rf ′ +

x2 + y2

r2f ′ +

u2

r2f ′′]

であるから

∇2ψ(r) = eikz(2u

rf ′′ +

2(1− iku)

rf ′ − k2f

)したがって (

ud2

du2+ (1− iku)

d

du− kη

)f(u) = 0

ここで ρ = iku = ik(r − z) とすると(ρd2

dρ2+ (1− ρ)

d

dρ+ iη

)f = 0

となる。超幾何微分方程式 (zd2

dz2+ (b− z)

d

dz− a

)w(z) = 0

の原点で正則な解は

M(a, b, z) =∞∑

n=0

(a)n zn

(b)n n!, (a)n = a(a+ 1) · · · (a+ n− 1) , (a)0 = 1

であるから

ψc(r) = AeikzM(−iη, 1, ik(r − z)) (2.1)

が求める解である。

|z| → ∞ での漸近形

M(a, b, z) =Γ (b)

Γ (b− a)eiεπaz−a g(a, a− b+ 1,−z) + Γ (b)

Γ (a)ez za−b g(1− a, b− a, z) (2.2)


ただし

ε = 1 ( −π/2 < Arg z < 3π/2 ) , −1 ( −3π/2 < Arg z ≤ −π/2 )

g(a, b, z) =

∞∑n=0

(a)n (b)nn! zn

= 1 +ab

z+a(a+ 1)b(b+ 1)

2z2+ · · ·

を使うと

M(−iη, 1, ik(r − z)) =eπη/2

Γ (1 + iη)eiη log ku

(1 +

η2

iku

)+

eπη/2

Γ (−iη)eiku−iη log ku

iku

(1 +

(1 + iη)2

iku

)である。

A = Γ (1 + iη) e−πη/2

とし, iΓ (−iη) = −Γ (1− iη)/η, u = r − z = 2r sin2(θ/2) を使うと, r → ∞ のとき

ψc(r) −→(1 +

η2

2ikr sin2(θ/2)

)eikz+iη log k(r−z) + fc(θ)

eikr−iη log 2kr

r(2.3)

ただし

fc(θ) = −η Γ (1 + iη)

Γ (1− iη)

e−iη log sin2(θ/2)

2k sin2(θ/2)

= − η

2k sin2(θ/2)exp(−iη log sin2(θ/2) + 2iσ0

), σ0 = ArgΓ (1 + iη) (2.4)

である。

2.2 クーロン波の部分波展開

ψ(r) =uℓ(r)

rYℓm(θ, φ)

とすると (d2

dr2+ k2 − 2kη

r− ℓ(ℓ+ 1)

r2

)uℓ(r) = 0 (2.5)

である。

uℓ(r) = eikr(kr)ℓ+1vℓ(ρ) , ρ = −2ikr

とおくと (ρd2

dρ2+ (2ℓ+ 2− ρ)

d

dρ− (ℓ+ 1 + iη)

)vℓ = 0

原点で正則な解原点で正則な解は

vℓ(r) = cℓM(ℓ+ 1 + iη, 2(ℓ+ 1),−2ikr)

である。r → ∞ では

M(ℓ+ 1 + iη, 2(ℓ+ 1),−2ikr)

−→ (2ℓ+ 1)! eπη/2

2ℓ |Γ (ℓ+ 1 + iη)|e−ikr

(kr)ℓ+1sin(kr − η log(2kr)− πℓ/2 + σℓ

)


ただし

σℓ = ArgΓ (ℓ+ 1 + iη) (2.6)

となるから

cℓ =2ℓ e−πη/2 |Γ (ℓ+ 1 + iη)|

(2ℓ+ 1)!

とすれば

uℓ(r) = Fℓ(η, kr) = eikr(kr)ℓ+1cℓM(ℓ+ 1 + iη, 2(ℓ+ 1),−2ikr) (2.7)

は r → ∞ のとき

Fℓ(η, kr) −→ sin(kr − η log(2kr)− πℓ/2 + σℓ

)となる。|z| → 0 のとき M(a, b, z) = 1 + bz/a+ · · · であるから

Fℓ(η, kr) −→ cℓ krℓ+1 , ( r → 0 )

原点で発散する解

U(a, b, z) が解ならば ezU(b− a, b,−z) も解である。(2.5)の解として

Gℓ(η, kr) = 2ℓ eπη/2 (kr)ℓ+1eikr[ei(σℓ−πℓ−π/2)U(ℓ+ 1 + iη, 2ℓ+ 2,−2ikr)

+ e−i(σℓ−πℓ−π/2)e−2ikrU(ℓ+ 1− iη, 2ℓ+ 2, 2ikr)]

= 2ℓ+1 eπη/2 (kr)ℓ+1 Re[ei(kr+σℓ−πℓ−π/2)U(ℓ+ 1 + iη, 2ℓ+ 2,−2ikr)

]がある。|z| → ∞ のとき

U(a, b, z) −→ z−ag(a, a− b+ 1,−z)

であるから

Gℓ(η, kr) −→ cos(kr − η log(2kr)− πℓ/2 + σℓ

)一方, |z| → 0 では

U(a, b, z) → Γ (b− 1)

Γ (a)z1−b

より

Gℓ(η, kr) →2ℓ+ 1

cℓ(kr)−ℓ

となる。

Fℓ と Gℓ の線形結合から

u(±)ℓ (r) = e∓iσℓ

(Gℓ(η, kr)± i Fℓ(η, kr)

)を作ると, r → ∞ のとき

u(±)ℓ (r) −→ exp

(±i (kr − η log(2kr)− πℓ/2)

)となる。

(2.1)で与えられるクーロン波 ψc は

ψc(r) =1

kr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1) iℓ eiσℓFℓ(η, kr)Pℓ(cosθ)

=1

2ikr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1) iℓ(e2iσℓu

(+)ℓ (r)− u

(−)ℓ (r)

)Pℓ(cos θ)


と展開できる。これから

ψc(r) =1

2ikr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1) iℓ[u(+)ℓ − u

(−)ℓ +

(e2iσℓ − 1

)u(+)ℓ

]Pℓ(cos θ)

→ 1

2ikr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1) iℓ(u(+)ℓ − u

(−)ℓ

)Pℓ(cos θ)

+eikr−iη log(2kr)

2ikr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1)(e2iσℓ − 1

)Pℓ(cos θ)

(2.3), (2.4)と比較すると

1

2ikr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1) iℓ(u(+)ℓ − u

(−)ℓ

)Pℓ(cos θ) →

(1 +

η2

2ikr sin2(θ/2)

)eikz+iη log k(r−z) (2.8)

fc(θ) =1

2ik

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1)(e2iσℓ − 1

)Pℓ(cos θ) (2.9)

である。

• (2.6)で定義した σℓ は次の性質を持つ。Γ (ℓ+ 1 + iη) = (ℓ+ iη)Γ (ℓ+ iη) より

σℓ = σℓ−1 + tan−1 η

ℓ

また

1

Γ (z)= z eγz

∞∏n=1

[(1 + z/n) e−z/n

], γ =オイラー定数 = 0.57721 56649 01532

であるから

σ0 = ArgΓ (1 + iη) = Arg iηΓ (iη) = − γη +∞∑

n=1

( ηn− tan−1 η

n

)• Fℓ と Gℓ の線形結合 Hℓ = aFℓ + bGℓ は漸化式

(2ℓ+ 1)

(η +

ℓ(ℓ+ 1)

ρ

)Hℓ = ℓ

√η2 + (ℓ+ 1)2Hℓ+1 + (ℓ+ 1)

√η2 + ℓ2Hℓ−1

を満たす。また, (2.2)から

Fℓ(η, ρ) = Im[ei(ρ−η log(2ρ)+σℓ−πℓ/2) g(ℓ+ 1 + iη, −ℓ+ iη, 2iρ )

]Gℓ(η, ρ) = Re

[ei(ρ−η log(2ρ)+σℓ−πℓ/2) g(ℓ+ 1 + iη, −ℓ+ iη, 2iρ )

]a = ℓ+ 1 + iη, b = − ℓ+ iη とすると

g(a, b, 2iρ) = 1 +ab

2iρ+

1

2!

a(a+ 1)b(b+ 1)

(2iρ)2+ · · · =

∞∑k=0

(fk + igk)

fk + igk は漸化式

fk+1 + igk+1 =(a+ k)(b+ k)

(k + 1)2iρ(fk + igk)

=k(k + 1)− ℓ(ℓ+ 1)− η2 + i(2k + 1)η

2i(k + 1)ρ(fk + igk)

= (ak + ibk) (fk + igk)


ただし

ak =(2k + 1)η

2(k + 1)ρ, bk =

ℓ(ℓ+ 1)− k(k + 1) + η2

2(k + 1)ρ

を満たす。つまり

fk+1 = akfk − bkgk , gk+1 = akgk + bkfk , f0 = 1 , g0 = 0

この漸化式から fk, gk を求め, これらの和をとれば

Gℓ = f cos θ − g sin θ , Fℓ = g cos θ + f sin θ , f =∑k

fk , g =∑k

gk

により Gℓ, Fℓ が求まる。ただし

θ = ρ− η log(2ρ) + σℓ − πℓ/2

2.3 短距離ポテンシャルとクーロン・ポテンシャル

スピン 1/2 の粒子の弾性散乱を考える。粒子の運動は(− 1

2m∇2 + V0(r) + Vs(r) ℓ·σ +

Z1Z2e2

r

)ψ(r) = Eψ(r) , E =

k2

2m(2.10)

で記述されるとする。(2.10)の解 ψ を

ψ(r) =∑ℓjm

Aℓjmuℓj(r)

rYℓjm(θ, φ)

とすると (d2

dr2+ k2 − ℓ(ℓ+ 1)

r2− Uℓj(r)−

2kη

r

)uℓj(r) = 0

ただし

η =mZ1Z2e

2

k, Uℓj = 2m

(V0(r) +∆ℓjVs(r)

), ∆ℓj =

ℓ , j = ℓ+ 1/2

−(ℓ+ 1) , j = ℓ− 1/2

r → ∞ では, uℓj はクーロンポテンシャルと同じ内向き波と定数倍異なる外向きの波からなるはず

であるから

uℓj −→ u(−)ℓ (r)− e2iσℓe2iδℓju

(+)ℓ (r) = eiσℓ

[Fℓ +

1

2i

(e2iδℓj − 1

)(Gℓ + iFℓ)

](2.11)


ψ −→ 1

r

∑ℓjm

Aℓjm

(u(−)ℓ − e2iσℓe2iδℓju

(+)ℓ

)Yℓjm

=1

r

∑ℓjm

Aℓjm

(u(−)ℓ − u

(+)ℓ

)Yℓjm +

1

r

∑ℓjm

Aℓjm

(1− e2iσℓe2iδℓj

)u(+)ℓ Yℓjm

=1

r

∑ℓjm

Aℓjm

(u(−)ℓ − u

(+)ℓ

)Yℓjm

+eikr−iη log(2kr)

r

∑ℓjm

i− ℓAℓjm

(1− e2iσℓe2iδℓj

)Yℓjm (2.12)


一方, 散乱状態の波動関数は r → ∞ では純粋なクーロン・ポテンシャル中での入射波と散乱波になるはずであるから

ψ −→[(

1 +η2

2ikr sin2(θ/2)

)eikz+iη log k(r−z) + f(θ)

eikr−iη log 2kr

r

]|χ⟩

と表せる。|χ⟩ は入射粒子のスピン状態, f(θ) は 2× 2 の行列である。(2.8)より, この漸近形は

ψ =1

2ikr

∞∑ℓ=0

(2ℓ+ 1) iℓ(u(+)ℓ − u

(−)ℓ

)Pℓ(cos θ) |χ⟩+

eikr−iη log 2kr

rf(θ) |χ⟩

と書ける。Pℓ(cos θ) |χ⟩ と f(θ) |χ⟩ は Yℓjm を用いて

Pℓ(cos θ) |χ⟩ =∑jm

aℓjm Yℓjm , f(θ) |χ⟩ = 1

2ik

∑ℓjm

fℓjm Yℓjm

と展開できるから

ψ =1

2ikr

∑ℓjm

(2ℓ+ 1) iℓ(u(+)ℓ − u

(−)ℓ

)aℓjm Yℓjm +

eikr−iη log 2kr

2ikr

∑ℓjm

fℓjm Yℓjm (2.13)

(2.12), (2.13) を比較すると

Aℓjm =2ℓ+ 1

2kiℓ+1aℓjm

fℓjm = 2ki−(ℓ+1)Aℓjm

(e2iσℓe2iδℓj − 1

)= (2ℓ+ 1)

(e2iσℓe2iδℓj − 1

)aℓjm

を得る。これを f(θ) の展開式に代入すると

f(θ) |χ⟩ = 1

2ik

∑ℓjm

(2ℓ+ 1)[(e2iσℓ − 1

)+ e2iσℓ

(e2iδℓj − 1

)]aℓjm Yℓjm

第 1項目の jm についての和は Pℓ(cos θ) |χ⟩ になるから

f(θ) |χ⟩ = 1

2ik

∑ℓ

(2ℓ+ 1)(e2iσℓ − 1

)Pℓ(cos θ) |χ⟩+

1

k

∑ℓjm

(2ℓ+ 1)e2iσℓ Tℓj aℓjm Yℓjm

= fc(θ) |χ⟩+1

k

∑ℓjm

(2ℓ+ 1)e2iσℓ Tℓj aℓjm Yℓjm

となる。ただし fc はクーロン散乱の散乱振幅, Tℓj は

Tℓj =1

2i

(e2iδℓj − 1

)= eiδℓj sin δℓj

である。射影演算子

Q+ =ℓ+ 1 + ℓ·σ

2ℓ+ 1, Q− =

ℓ− ℓ·σ2ℓ+ 1

, Q+ +Q− = 1

を考えると

Q+Yℓjm =

Yℓjm , j = ℓ+ 1/2

0 , j = ℓ− 1/2Q−Yℓjm =

0 , j = ℓ+ 1/2

Yℓjm , j = ℓ− 1/2

であるから

Q± Pℓ(cos θ) |χ⟩ =∑m

aℓ j=ℓ±1/2m Yℓ j=ℓ±1/2m


したがって, Tℓ± = Tℓ j=ℓ±1/2 とおくと

f(θ) = fc(θ) +1

k

∑ℓ

(2ℓ+ 1)e2iσℓ

(Tℓ+Q+ + Tℓ−Q−

)Pℓ(cos θ)

= fc(θ) +1

k

∑ℓ

e2iσℓ

[(ℓ+ 1)Tℓ+ + ℓ Tℓ− + (Tℓ+ − Tℓ−) ℓ·σ

]Pℓ(cos θ)

ところで

ℓ = −inθ1

sin θ

∂

∂φ+ in

∂

∂θ

ただし

n = (− sinφ, cosφ, 0 ) =ki×kf

|ki×kf |

nθ = (− cos θ cosφ, − cos θ sinφ, sin θ )

であるから

ℓ·σPℓ(cos θ) = − in·σ dPℓ(cos θ)

dθ= − in·σP 1

ℓ (cos θ) , P 1ℓ (x) = −

√1− x2

dPℓ

dx

となる。これから

f(θ) = A(θ) +B(θ)n·σ (2.14)

ここで

A(θ) = fc(θ) +1

k

∑ℓ

e2iσℓ

((ℓ+ 1)Tℓ+ + ℓ Tℓ−

)Pℓ(cos θ) (2.15)

B(θ) = − i

k

∑ℓ

e2iσℓ

(Tℓ+ − Tℓ−

)P 1ℓ (cos θ) (2.16)

数値的に解く場合, 十分遠方の 2点 r = r1, r = r2 における数値解を

uℓj(1) = uℓj(r1) , uℓj(2) = uℓj(r2)

とすると (2.11)から

uℓj(1)

uℓj(2)=Fℓ(1) + Tℓj

(Gℓ(1) + iFℓ(1)

)Fℓ(2) + Tℓj

(Gℓ(2) + iFℓ(2)

)であるから

Tℓj = − uℓj(1)Fℓ(2)− uℓj(2)Fℓ(1)

uℓj(1)Gℓ(2)− uℓj(2)Gℓ(1) + i(uℓj(1)Fℓ(2)− uℓj(2)Fℓ(1)

)

2.4 偏極

系がある特定の量子状態にあるのではなく, 状態 |α⟩ になる確率が wα の場合を考える。この場

合, 多数回の測定における F の期待値は

⟨F ⟩ =∑α

wα⟨α|F |α⟩


である。完全系 | b⟩ を考えると

⟨F ⟩ =∑α

wα

∑b b′

⟨α|b⟩⟨b|F |b′⟩⟨b′|α⟩ =∑b b′

(∑α

wα⟨b′|α⟩⟨α|b⟩

)⟨b|F |b′⟩

と表せる。そこで密度演算子 ρ を

ρ =∑α

wα |α⟩⟨α|

で定義すると

⟨F ⟩ =∑b b′

⟨b′|ρ|b⟩ ⟨b|F |b′⟩ = Tr(ρF )

また

Tr(ρ) =∑b

⟨b|ρ|b⟩ =∑b

∑α

wα⟨b|α⟩⟨α|b⟩ =∑α

wα⟨α|α⟩ =∑α

wα = 1

スピン状態ついてアンサンブル平均を行う。スピン 1/2の場合 ρ は 2× 2行列になるから

ρ = a+ b·σ

と表せる。σiσj = δij + iεijk σk, Tr(σ) = 0 であるから

Tr(ρ) = 2a = 1 , Tr(ρσi) = 2bi

したがって

ρ =1 + P ·σ

2, P = Tr(ρσ)

となる。P はスピン σ のザンサンブル平均を表す偏極ベクトルである。

入射粒子が常にある 1つのスピン状態 |χ⟩ にある純粋アンサンブルの場合, 微分断面積は

dσ

dΩ= ⟨χ|f†f |χ⟩

であるから, 混合アンサンブルについては

dσ

dΩ=∑i

wi⟨χi|f†f |χi⟩ = Tr(ρinf†f)

となる。ただし

ρin =∑i

wi |χi⟩⟨χi| =1 + Pin ·σ

2

は入射状態の密度行列であり, Pin は入射粒子の偏極ベクトルを表す。

A·σB ·σ = A·B + iσ ·(A×B)

を使うと

dσ

dΩ=

1

2Tr((1 + Pin ·σ) (A∗ +B∗n·σ) (A+Bn·σ)

)= |A|2 + |B|2 + 2Re(AB∗)Pin ·n (2.17)

散乱後のスピン状態は純粋状態 |χ⟩ に対して f(θ)|χ⟩ になるから, 混合状態の場合には, 散乱後の

密度行列 ρf は

ρf =∑i

wi f(θ)|χi⟩⟨χi|f(θ)† = fρinf†


規格化された密度行列は

ρf =fρinf

†

Tr(ρinf†f)

となる。散乱後の偏極ベクトル Pf は

Pf = Tr(ρfσ) =Tr(fρinf

†σ)

Tr(ρinf†f)

である。k方向のスピンを σk = k·σ とすれば, σ2n = 1 であるから

Tr(fρinf†σk) =

1

2Tr ((A+Bσn)(1 + Pin ·σ)(A∗ +B∗σn)σk)

=1

2Tr(2Re(A∗B)σn σk + |A|2Pin ·σ σk +A∗B σnPin ·σ σk

+AB∗ Pin ·σ σn σk + |B|2 σn Pin ·σ σn σk)

ここで

Tr(a·σ b·σ c·σ) = Tr((

a·b+ iσ ·(a×b))c·σ

)= 2i(a×b)·c

Tr(a·σ b·σ c·σ d·σ) = Tr((

a·b+ iσ ·(a×b))(

c·d+ iσ ·(c×d)))

= 2a·b c·d− 2(a×b)·(c×d)

= 2a·b c·d− 2a·c b·d+ 2a·db·c

を使うと

Tr(fρinf†σ ·k) = 2Re(A∗B)n·k + (|A|2 − |B|2)Pin ·k + 2Im(AB∗)(n×Pin)·k

+2|B|2n·Pin n·k

つまり

Tr(fρinf† σ) = 2

(Re(A∗B) + |B|2(n·Pin)

)n+ (|A|2 − |B|2)Pin + 2Im(AB∗)n×Pin (2.18)

入射粒子の偏極ベクトル Pin が入射方向を向いている場合

Pin ·n = 0

であるから

dσ

dΩ= |A|2 + |B|2 (2.19)

Pf =2Re(A∗B)n+ (|A|2 − |B|2)Pin + 2Im(AB∗)n×Pin

|A|2 + |B|2(2.20)

ここで2AB∗

|A|2 + |B|2= P (θ) + iQ(θ)

とおくと

Pf = P (θ)n+Q(θ)n×Pin +|A|2 − |B|2

|A|2 + |B|2Pin

P を polarization, Q を spin rotation という。


2.5 重心系

入射粒子の質量を m, ターゲット原子核の質量を M とする。入射粒子の運動量を p0 とし

Ein =√m2 + p2

0

とおく。実験室系での入射粒子, ターゲット原子核の 4元運動量 pµ, Pµ は

pµ = (Ein , p0 ) , Pµ = (M , 0 )

重心系での入射粒子, ターゲット原子核の運動量 pµcm, Pµcm は

pµcm =(√

m2 + p2 , p), Pµ

cm =(√

M2 + p2 , −p)

p2 = p2cm = m2, P 2 = P 2cm = M2 でありローレンツ変換に対して不変である。同様に (p + P )2 =

(pcm + Pcm)2 より p·P = pcm ·Pcm となるから

EinM =√(m2 + p2)(M2 + p2) + p2

したがって

p2 =M2(E2

in −m2)

m2 +M2 + 2MEin=

p20

1 +m2/M2 + 2Ein/M

|p0| ≪ m の場合には, 分母の Ein を m で近似すると

|p| ≈ 1

1 +m/M|p0|

となり, 非相対論の結果を再現する。

2.6 Dirac方程式

Dirac方程式 (− iα·∇+ β (m+ Us(r)) + U0(r)

)ψ(r) = Eψ(r)

を考える。4成分スピノール ψ を上 2成分と下 2成分に分け，下成分を消去すると，上成分 F に

対する方程式として (−σ ·∇D−1σ ·∇+m+ Us + U0 − E

)F (r) = 0

ただし

D(r) = m+ E + Us(r)− U0(r)

を得る。ここで，σ は 2×2のパウリ行列である。

F (r) =

√D

m+ EF (r) =

√1 +

Us(r)− U0(r)

m+ EF (r)

と変換すると (− 1

2m∇2 + V0(r) + Vso(r)σ ·ℓ

)F =

E2 −m2

2mF (2.21)

ただし

V0(r) = Us +E

mU0 +

U2s − U2

0

2m+ VD , Vso(r) = − 1

2mr

1

D

dD

dr


VD(r) =1

2m

[3

4

1

D2

(dD

dr

)2

− 1

rD

dD

dr− 1

2D

d2D

dr2

]はダーウィン項と呼ばれる。

クーロン力を取り入れる場合は, U0(r) を U0(r) + Vcoul(r) で置き換える。r → ∞ では

Vcoul(r) →Z1Z2e

2

r

であるから

η = EZ1Z2e

2

k, k2 = E2 −m2

とおくと

V0 → E

m

Z1Z2e2

r=

1

2m

2kη

r,

となるから, (2.21)は r → ∞ のとき(∇2 + k2 − 2kη

r

)F = 0

シュレディンガー方程式の η の定義式に含まれる m を E で置き換えればよい。


3 電子散乱と原子核の電荷分布

• D. R. Yennie et al., Phys. Rev. 95 (1954) 500

• T. A. Griffy et al., Phys. Rev. 128 (1962) 833

• H. Feshbach, Theoretical Nuclear Physics – Nuclear Reactions – , 684

• ランダウ, リフシッツ, 相対論的量子力学 I, 152

• モット, マッセイ, 衝突の理論上 II, 297

4成分スピノールを

ψ(r) =

g(r)

rχκ

if(r)

rχ−κ

, κ = ± (j + 1/2) =

ℓ , j = ℓ− 1/2

−(ℓ+ 1) , j = ℓ+ 1/2

とすると

dg

dr= − κ

rg +

(E +m− V (r)

)f ,

df

dr=κ

rf −

(E −m− V (r)

)g (3.1)

である。

3.1 クーロン散乱

r → ∞ のときdg

dr= (E +m) f ,

df

dr= − (E −m) g

であるからd2g

dr2= − k2 g ,

d2f

dr2= − k2 f , k =

√E2 −m2

したがって, g, f ともに e±ikr になる。一方,

V (r) = − Zα

r

の場合, r → 0 ではdg

dr= − κ

rg +

Zα

rf ,

df

dr=κ

rf − Zα

rg

となるから, g = Cg ra , f = Cf r

a とすると

(a+ κ)Cg = ZαCf , (a− κ)Cf = −ZαCg

これから

a = ± γ , γ =√κ2 − Z2α2

以上から

g = Cg e−ρ/2ργ (G1 +G2) , f = Cf e

−ρ/2ργ (G1 −G2) , ρ = −2ikr (3.2)

とおくと, (3.1)は

ρ

(dG1

dρ+dG2

dρ

)+ (γ + κ) (G1 +G2)

− 1

2

(1− E +m

ik

Cf

Cg

)ρG1 −

1

2

(1 +

E +m

ik

Cf

Cg

)ρG2 − Zα

Cf

Cg(G1 −G2) = 0


したがって

Cf =ik

E +mCg = i

√E −m

E +mCg (3.3)

すると

ρ

(dG1

dρ+dG2

dρ

)+ (γ + κ) (G1 +G2)− ρG2 − i

Zαk

E +m(G1 −G2) = 0

同様にして

ρ

(dG1

dρ− dG2

dρ

)+ (γ − κ) (G1 −G2) + ρG2 − i

Zαk

E −m(G1 +G2) = 0

これらの和, 差をとれば

ρdG1

dρ+ (γ − iν)G1 + (κ− iµ)G2 = 0 (3.4)

ρdG2

dρ+ (γ + iν − ρ)G2 + (κ+ iµ)G1 = 0 (3.5)

ただし

ν =ZαE

k, µ =

Zαm

k

最初の式を ρ で微分し, dG2/dρ に第 2式を代入すると

ρd2G1

dρ2+ (1 + 2γ − ρ)

dG1

dρ− (γ − iν)G1 = 0 (3.6)

同様にして

ρd2G2

dρ2+ (1 + 2γ − ρ)

dG2

dρ− (1 + γ − iν)G2 = 0 (3.7)

これらは合流型超幾何微分方程式(zd2

dz2+ (b− z)

d

dz− a

)w(z) = 0

である。原点で正則な解は

w =M(a, b, z)

正則でない解は

w = z1−bM(1 + a− b, 2− b, z)

原点で正則な解

G1(ρ) = C1M(γ − iν, 1 + 2γ, ρ ) , G2(ρ) = C2M(1 + γ − iν, 1 + 2γ, ρ )

これらを (3.4)に代入し

zd

dzM(a, b, z) = a

(M(a+ 1, b, z)−M(a, b, z)

)を使うと

C2 = − γ − iν

κ− iµC1

| − γ + iν | = |κ− iµ | であるからe−2iη =

γ − iν

κ− iµ


とおき, M(a, b, z) = ezM(b− a, b,−z) を使うと

G2(ρ) = C1 e−2iη+ρM(γ + iν, 1 + 2γ, −ρ )

となる。(3.2)に G1, G2 を代入すると

g

f

= C e−ρ/2ργ

(M(γ − iν, 1 + 2γ, ρ )∓ e−2iη+ρM(γ + iν, 1 + 2γ, −ρ )

)

= 2Ce−iηργ

i Im

Re

eiη−ρ/2M(γ − iν, 1 + 2γ, ρ )

(3.3)を考慮すると, 原点で正則な解は ( ρ = −2ix )

gr = Cr (2x)γ Im ei(x+η)M(γ − iν, 1 + 2γ, −2ix ) (3.8)

fr =k

E +mCr (2x)

γ Re ei(x+η)M(γ − iν, 1 + 2γ, −2ix ) (3.9)

原点で正則でない解

G1(ρ) = C1 ρ−2γ M(−γ − iν, 1− 2γ, ρ ) , G2(ρ) = C2 ρ

−2γ M(1− γ − iν, 1− 2γ, ρ )

これらを (3.4)に代入すると

C2 = − e−2iη′C1 , e−2iη′

=− γ − iν

κ− iµ

これから

G2 = −C1 e−2iη′+ρρ−2γ M(−γ + iν, 1− 2γ, −ρ )

(3.2)に G1, G2 を代入すると

g

f

= C e−ρ/2ρ−γ

(M(−γ − iν, 1− 2γ, ρ )∓ e−2iη′+ρM(−γ + iν, 1− 2γ, −ρ )

)

= 2Ce−iη′ρ−γ

i Im

Re

eiη

′−ρ/2M(−γ − iν, 1− 2γ, ρ )

原点で正則でない解は

gi =Ci

(2x)γIm ei(x+η′)M(−γ − iν, 1− 2γ, −2ix ) (3.10)

fi =k

E +m

Ci

(2x)γRe ei(x+η′)M(−γ − iν, 1− 2γ, −2ix ) (3.11)

となる。これらは gr , fr において γ を −γ で置き換えれば得られる。

漸近形

−3π/2 < arg z ≤ −π/2 で |z| −→ ∞ のとき

M(a, b, z) =Γ (b)

Γ (b− a)e−iπaz−ag(a, a− b+ 1,−z) + Γ (b)

Γ (a)ezza−bg(1− a, b− a, z)


ただし

g(a, b, z) =

∞∑n=0

(a)n(b)nn! zn

, (a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) · · · (a+ n− 1)

である。ところで

(−2ix)−γ+iν

= exp((−γ + iν)(log 2kr − iπ/2)

)=eπν/2

(2x)γexp(iν log 2x+ iπγ/2

)より

gr = CrΓ (2γ + 1) e−πν/2

|Γ (1 + γ + iν)|Im[ei(x+ν log 2x+θγ) g(γ − iν,−γ − iν, 2ix)

+i

2x(κ− iµ) e− i(x+ν log 2x+θγ) g(1 + γ + iν, 1− γ + iν,−2ix)

]ここで

θγ = η − π

2γ − argΓ (1 + γ + iν) , e−2iη =

γ − iν

κ− iµ

したがって

Cr =|Γ (1 + γ + iν)|Γ (1 + 2γ)

eπν/2

とすれば

gr = Im[ei(x+ν log 2x+θγ) g(γ − iν,−γ − iν, 2ix)

+i

2x(κ− iµ) e− i(x+ν log 2x+θγ) g(1 + γ + iν, 1− γ + iν,−2ix)

]−→ sin

(x+ ν log 2x+ δκ − πℓ/2

), ( x→ ∞ )

ただし

δκ = θγ + πℓ/2 = η +π

2

(ℓ− γ

)− argΓ (1 + γ + iν)

正則でない解は, 正則解で γ を −γ で置き換えればよいから

gi = Im[ei(x+ν log 2x+θ−γ) g(γ − iν,−γ − iν, 2ix)

+i

2x(κ− iµ) e− i(x+ν log 2x+θ−γ) g(1 + γ + iν, 1− γ + iν,−2ix)

]−→ sin

(x+ ν log 2x+ δ′κ − πℓ/2

)ここで

δ′κ = θ−γ + πℓ/2 = η′ +π

2

(ℓ+ γ

)− argΓ (1− γ + iν) , e−2iη′

=− γ − iν

κ− iµ

• D. R. Yennie et al., Phys. Rev. 95 (1954) 500 との関係

κ = j + 1/2, g = F , f = G とすると (3.1)は

dF

dr+j + 1/2

rF − (E +m− V (r))G = 0 ,

dG

dr− j + 1/2

rG+ (E −m− V (r))F = 0

となり, D. R. Yennie et al. の (21)式に一致する。ℓ = j + 1/2 であるから

e2iδκ =κ− iµ

γ − iν

Γ (1 + γ − iν)

Γ (1 + γ + iν)eiπ(j+1/2−γ) =

κ− iµ

γ + iν

Γ (γ − iν)

Γ (γ + iν)eiπ(j+1/2−γ)


µ = 0 ( m = 0 ) のとき, これは D. R. Yennie et al. の ηc の定義式 (36)であるから δκ = ηc

となる。したがって, x→ ∞ のとき

GR = fr −→ cos(x+ ν log 2x+ ηc − πℓ/2

)= sin

(x+ ν log 2x+ ηc − π

2(j − 1/2)

)で (34)式になる。x −→ 0 の場合

eixM(γ − iν, 1 + 2γ,−2ix) = (1 + ix+ · · · )(1− 2i

γ − iν

1 + 2γx+ · · ·

)= 1− 2νx

1 + 2γ+

ix

1 + 2γ

より

ei(x+η)M(γ − iν, 1 + 2γ,−2ix) = cos η

[1− 2ν + tan η

1 + 2γx+ i

(tan η +

1− 2ν tan η

1 + 2γx

)]ところで

cos η =

√1 + cos 2η

2=

√κ+ γ

2κ, sin η =

κ

|κ|

√1− cos 2η

2=

κ

|κ|

√κ− γ

2κ

であるから

tan η =κ

|κ|

√κ− γ

κ+ γ=

ν

κ+ γ

となる。これから

ei(x+η)M(γ − iν, 1 + 2γ,−2ix) =

√κ+ γ

2κ

[1− ν

1 + 2γ

(1 +

γ + 1 + κ

γ + κ

)x

+i

(ν

κ+ γ+

1

1 + 2γ

(γ + 1− κ− ν2

γ + κ

)x

)]D. R. Yennie et al. で sj → γ , j + 1/2 → κ , γ → ν と置き換えると

ei(x+η)M(γ − iν, 1 + 2γ,−2ix) =

√κ+ γ

2κ

(1 + a1x+ i(b0 + b1x)

)ただし, ai, bi は (A17)で定義されたもの。したがって

Cr(2x)γei(x+η)M(γ − iν, 1 + 2γ,−2ix)

=|Γ (1 + γ + iν)|Γ (1 + 2γ)

√κ+ γ

2κeπν/2 (2x)γ

(1 + a1x+ i(b0 + b1x)

)=

|Γ (γ + iν)|Γ (1 + 2γ)

√κ(κ+ γ)

2eπν/2 (2x)γ

(1 + a1x+ i(b0 + b1x)

)• 位相差は

δ′κ − δκ = πγ + η′ − η + argΓ (1 + γ + iν)− argΓ (1− γ + iν)

つまり

ei(δ′κ−δκ) = ei(πγ+η′−η) u

|u|, u =

Γ (1 + γ + iν)

Γ (1− γ + iν)

Γ (z)Γ (1− z) = π/ sinπz を使うと

u =1

πΓ (1 + γ + iν)Γ (γ − iν) sinπ(1− γ + iν) =

|Γ (γ − iν)|2

π(γ + iν) sinπ(γ − iν)


であるから

C sin δκ +D sin δ′κ = A sinϕκ , C cos δκ +D cos δ′κ = A cosϕκ

とおくと

G(r) → A sin (u(x) + ϕκ)

となるから, ϕκ が V (r) による phase shift を表す。ϕκ は

tanϕκ =C/D sin δκ + sin δ′κC/D cos δκ + cos δ′κ

,

あるいは

tan(ϕκ − δκ) =cos δκ tanϕ− sin δκcos δκ + sin δκ tanϕ

=sin(δ′κ − δκ)

C/D + cos(δ′κ − δκ)

と表せるから, C/D が求まれば ϕκ が決まる。2点 r = r1, r = r2 における数値解を G(1), G(2) と

すると

G(1) = C gr(1) +Dgi(1) , G(2) = C gr(2) +Dgi(2)

これらの比をとればC

D=G(2) gi(1)−G(1) gi(2)

G(1) gr(2)−G(2) gr(1)

により C/D を決定できる。r1, r2 が V (r) = −Ze2/r となる領域にあれば, C/D は r1, r2 に依存

しない。

散乱振幅

非相対論の場合

f(θ) = A(θ) +B(θ)n·σ

ただし

A(θ) =1

2ik

∑ℓ=0

[(ℓ+ 1)

(e2iϕℓ j=ℓ+1/2 − 1

)+ ℓ

(e2iϕℓ j=ℓ−1/2 − 1

) ]Pℓ(cos θ)

B(θ) =1

2k

∑ℓ=0

(e2iϕℓ j=ℓ+1/2 − e2iϕℓ j=ℓ−1/2

)P 1ℓ (cos θ)

ここで

P 1ℓ (x) =

√1− x2

dP

dx

である。したがって, 相対論の場合, ϕκ=−ℓ−1 = ϕ−ℓ−1 と書くことにすると

A(θ) =1

2ik

∑ℓ=0

[(ℓ+ 1)

(e2iϕ−ℓ−1 − 1

)+ ℓ

(e2iϕℓ − 1

) ]Pℓ(cos θ)

=1

2ik

∑ℓ=0

[(ℓ+ 1) e2iϕ−ℓ−1 + ℓ e2iϕℓ

]Pℓ(cos θ)

B(θ) =1

2k

∑ℓ=0

(e2iϕ−ℓ−1 − e2iϕℓ

)P 1ℓ (cos θ)

ここで Schiff (21.23) ∑ℓ=0

(2ℓ+ 1)Pℓ(cos θ) = δ(1− cos θ)

を使った。


以下では E ≫ m であるとして m = 0 とする。この場合 (3.1)は

dgκdr

= − κ

rgκ + (E − V (r)) fκ ,

dfκdr

=κ

rfκ − (E − V (r)) gκ

となり

κ→ −κ , gκ → g−κ , fκ → − f−κ

の置き換えに対して不変であるからfκgκ

= − g−κ

f−κ

r → ∞ での漸近形は

gκ → sin(kr + 2 log 2kr + ϕκ − πℓκ/2

), fκ → cos

(kr + 2 log 2kr + ϕκ − πℓκ/2

)であるから

tan(kr + 2 log 2kr + ϕκ − πℓκ/2

)= − cot

(kr + 2 log 2kr + ϕ−κ − πℓ−κ/2

)つまり

ϕκ − πℓκ/2 = ϕ−κ − πℓ−κ/2− π/2 + nπ , ϕκ = ϕ−κ +π

2(ℓκ − ℓ−κ − 1) + nπ

κ > 0 のとき ℓκ = κ, ℓ−κ = −κ− 1 であるから

e2iϕκ = e2iϕ−κ

となる。したがって

A(θ) =1

2ik

∑ℓ=0

[(ℓ+ 1) e2iϕℓ+1 + ℓ e2iϕℓ

]Pℓ(cos θ) (3.12)

=1

2ik

∑ℓ=1

ℓ e2iϕℓ

(Pℓ(cos θ) + Pℓ−1(cos θ)

)B(θ) =

1

2k

∑ℓ=0

(e2iϕℓ+1 − e2iϕℓ

)P 1ℓ (cos θ) =

1

2k

∑ℓ=1

e2iϕℓ

(P 1ℓ−1(cos θ)− P 1

ℓ (cos θ))

漸化式

P 1ℓ−1(cos θ)− P 1

ℓ (cos θ) = − ℓ(Pℓ(cos θ) + Pℓ−1(cos θ)

)tan

θ

2

より

B(θ) = − i tanθ

2A(θ)

となる。これから微分断面積は

σ(θ) = |A(θ)|2 + |B(θ)|2 =|A(θ)|2

cos2(θ/2)

で与えられる。

ϕκ = δκ +∆ϕκ とすると

A(θ) = Ac(θ) +1

2ik

∑ℓ=0

ℓ e2iδℓ(e2i∆ϕℓ − 1

)(Pℓ + Pℓ−1)

Ac(θ) =1

2ik

∞∑ℓ=0

ℓ e2iδℓ (Pℓ + Pℓ−1)


ℓ がある程度大きくなると ∆ϕℓ → 0 になるから, 第 2項は有限項の和である。一方, 純粋クーロン

散乱の寄与は無限大の ℓ まで和をとる必要がある。非相対論の場合には, この無限級数和は

Ac(θ) =ν

2k sin2(θ/2)exp

(iν log sin2(θ/2) + 2iArgΓ (1− iν)

)と解析的に求められるが, 相対論では求まらない。ν = ZαE/k = Zα→ 0 の極限では, 相対論的 Ac

は

Ac(θ) =ν cos2(θ/2)

2k sin2(θ/2)exp

(iν log sin2(θ/2) + 2iArgΓ (1− iν)

)となり, 断面積は Mott cross section

σ(θ) =ν2 cos2(θ/2)

4k2 sin4(θ/2)

になる。

3.3 原子核の電荷分布

Form factor を

F1(q2) +

µ

2MF2(q

2) q ·γ = GE(q2) +

µ

2MF2(q

2)

(q2

2M+ q ·γ

), q2 = q2

と分割し ( τ = p , n )

ρτ (r) =

∫d3q

(2π)3exp(−iq ·r) ⟨0|

∑k

exp(iq ·rk)|0⟩

= ⟨0|∑k

δ(r − rk)|0⟩ =∑α

2jα + 1

4πr2(G2

α + F 2α

)Wτ (r) =

µ

2M

∫d3q

(2π)3exp(−iq ·r) ⟨0|

∑k

exp(iq ·rk)(q2

2M+ q ·γk

)|0⟩

=µ

2M

(− 1

2M∇2ρB(r) + i∇· ⟨0|

∑k

δ(r − rk)γk|0⟩

)

を考える。ただし, 波動関数は

ψαm =

iGα(r)

rYℓjm

Fα(r)

r

σ ·rr

Yℓjm

, α = m以外の量子数

∇2G2

r2=

1

r

d2

dr2G2

r=

2

r2d

dr

(GdG

dr− G2

r

)より

∇2ρB(r) =∑α

2jα + 1

2πr2d

dr

(Gα

dGα

dr− G2

α

r+ Fα

dFα

dr− F 2

α

r

)Dirac方程式

dG

dr= − κ

rG+

(ε− U0(r) +M∗(r)

)F ,

dF

dr=κ

rF +

(−ε+ U0(r) +M∗(r)

)G


を使うと

∇2ρB(r) =∑α

2jα + 1

2πr2d

dr

(− κα + 1

rG2

α +κα − 1

rF 2α + 2M∗GαFα

)一方

i∇· ⟨0|∑k

δ(r − rk)γk|0⟩ = ∇·∑α,m

GαFα

r2Y†jm

σσ ·r + σ ·r σr

Yjm

= ∇· rr

∑α

2jα + 1

2πr2GαFα =

∑α

2jα + 1

2πr2d

drGαFα

以上から

Wτ (r) =µ

M

∑α

2jα + 1

4πr2d

dr

(M −M∗

MGαFα +

κα + 1

2MrG2

α − κα − 1

2MrF 2α

)M∗ =M とし F 2 を無視すると

Wτ (r) ≈µ

2M2r2d

drr∑α

2jα + 1

4πr2(κα + 1) G2

α

≈ − 1

r2d

drr ⟨0| µ

2M2

∑k

δ(r − rk)σk ·ℓk|0⟩

となり, Negele の結果になる。

ρτ (r), Wτ (r) を使うと

⟨0|ρ(q)|0⟩ = ⟨0|∑k

exp(iq ·rk)(F1(q

2) +µ

2MF2(q

2) q ·γk

)|0⟩

=

∫d3x exp(iq ·x)

(GE(q) ρτ (x) + F2(q)Wτ (x)

)=

∫d3x d3y exp(iq ·(x+ y))

(GE(y) ρτ (x) + F2(y)Wτ (x)

)ここで

F (r) =

∫d3q

(2π)3exp(−iq ·r)F (q)

したがって

ρc(r) =

∫d3q

(2π)3exp(− iq ·r) ⟨0|ρ(q)|0⟩

=

∫d3x d3y δ(r − x− y)


)=

2π

r

∫ ∞

0

dxx

∫ r+x

|r−x|dy y


)

=1

r

∫ ∞

0

dxx

[(g(|r − x|)− g(r + x)

)ρτ (x) +

(f2(|r − x|)− f2(r + x)

)Wτ (x)

]= ρcτ (r) +Wcτ (r)

ただし, g, f2 は 1次元のフーリエ変換

g(x) =1

2π

∫ ∞

−∞dq eiqxGE(q) , f2(x) =

1

2π

∫ ∞

−∞dq eiqxF2(q)


3.4 Nucleon form factor

D. H. Lu et al., Phys. Rev. C57 (1998) 2628, nucl–th/9706019 で引用の実験データから

GEp = Gp =1(

1 + r2pq2/12

)2 , GMp = (1 + µp)Gp , GMn = µnGp

としてよい。ただし

µp = 1.793 , µn = − 1.913 , rp = ⟨r2⟩1/2 = 0.81 fm

一方

Gn = GEn =1(

1 + r2+q2/12

)2 − 1(1 + r2−q

2/12)2 , r2± = r2n ∓ 0.06 fm2

とすると, 実験データから 0.8 fm < rn < 1.0 fm ( 最後の図 )

F1 =GE + q2/4M2GM

1 + q2/4M2, µ F2 =

GM −GE

1 + q2/4M2

から

F2p =Gp

1 + q2/4M2, F2n =

Gp −Gn/µn

1 + q2/4M2

x ≥ 0 のとき

1

2π

∫ ∞

−∞dq

eiqx

(1 + q2/λ2)2 =

1

4λ(1 + λx)e−λx

1

2π

∫ ∞

−∞dq

eiqx

(1 + q2/4M2) (1 + q2/λ2)2 =

λM2

4M2 − λ2

[(1 + λx− 2λ2

4M2 − λ2

)e−λx

+λ

M

λ2

4M2 − λ2e−2Mx

]


4 電子散乱と応答関数

T. DeForest and J. D. Walecka, Adv. Phys. 15 (1966) 1

B. Frois and C. N. Papanicolas, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 37 (1987) 133

S. Boffi, C. Giusti and F. D. Pacati, Phys. Rep. 226 (1993) 1

4.1 遷移確率

電磁相互作用は弱いので 1光子交換による電子散乱を考える。入射電子のエネルギー, 運動量を

ϵ1, p1, 散乱電子のエネルギー, 運動量を ϵ2, p2 とすると

エネルギー q0 = ϵ1 − ϵ2 , 運動量 q = p1 − p2

の仮想光子 γ が原子核と相互作用する。光子の場 Aµ(x) を量子化してもよいが, ここでは Aµ(x)

を原子核が作る電磁ポテンシャルとし, このポテンシャルで電子が散乱すると考える。実光子 ( real

photon )の場合 q0 = q であるが, 電子散乱では ( ϵ =√m2

e + p2 , me =電子の質量 )

q2µ = (ϵ1 − ϵ2)2 − (p1 − p2)

2= 2

(m2

e + p1 ·p2 − ϵ1ϵ2)≤ 2

(m2

e + p1p2 − ϵ1ϵ2)

ところで (m2

e + p1p2)2 − ϵ21ϵ

22 = −m2

e (p1 − p2)2 ≤ 0

であるから q2µ ≤ 0 になる。電子散乱では q0 ≤ q であれば q0 と q を独立に変えることができる。

これは原子核を調べる上で大きな利点である。例えば, (4.16)で示すように, 弾性散乱 ( q0 = 0 )に

おいて q を変化させることで原子核の電荷分布 (のフーリエ変換)が実験的に求まる。

電子の場を ψ(x), 電荷を − e とすると, 原子核と電子の相互作用は

V (x0) = − e

∫d3x jµ(x)Aµ(x) , jµ(x) = ψ(x)γµψ(x) , xµ = (x0,x)

である。時刻 x0 = −∞ での電子の初期状態を |p1σ1⟩ , x0 = +∞ での終状態を |p2σ2⟩ とする。σ = ±1 は電子のスピン状態を表す。一方, 原子核の初期状態, 終状態をそれぞれ | 0 ⟩ , |n ⟩ とする。V を時間に依存する 1次の摂動で扱うと, |p1σ1, 0 ⟩ → |p2σ2, n ⟩ の遷移確率は |w|2

w =

∫ ∞

−∞dx0 ⟨p2σ2, n|V (x0)|p1σ1, 0⟩ = − e

∫d4x ⟨p2σ2|jµ(x)|p1σ1⟩⟨n|Aµ(x)|0⟩ (4.1)

である。電子の場 ψ(x) は

ψ(x) =∑σ

∫d3p

(2π)3/2

√me

ϵ

(a(p, σ)u(p, σ) e−ip·x + b†(p, σ)v(p, σ) eip·x

), p·x = pµxµ (4.2)

と展開できる。ここで a† は電子の生成演算子, b† は陽電子 (反電子)の生成演算子である。u と v

は 4成分スピノールであり, 規格化は

u(p, σ)u(p, σ′) = δσσ′ , v(p, σ)v(p, σ′) = − δσσ′

である。ψ の展開式を用いると ( b b† は無視, あるいは, 正規積 : jµ(x) : を考える )

⟨p2σ2|jµ(x)|p1σ1⟩ =∑σσ′

∫d3p d3p′

(2π)3me√ϵϵ′

u(p, σ)γµu(p′, σ′) ei(p−p′)·x

×⟨vac|a(p2, σ2)a†(p, σ)a(p′, σ′)a†(p1, σ1)|vac⟩


ただし | vac ⟩ は真空を表す。

⟨vac|a(p2, σ2)a†(p, σ)a(p′, σ′)a†(p1, σ1)|vac⟩ = δ(p2 − p)δσ2σ δ(p1 − p′)δσ1σ′

であるから

⟨p2σ2|jµ(x)|p1σ1⟩ =Γµ(1, 2)

(2π)3ei(p2−p1)·x , Γµ(1, 2) =

me√ϵ1ϵ2

u(p2, σ2)γµu(p1, σ1) (4.3)

になる。(4.3)を (4.1)に代入すると

w = − e

(2π)3Γµ(1, 2)

∫d4x e−iq·x ⟨n|Aµ(x)|0⟩ , qµ = pµ1 − pµ2

原子核の電磁カレントを eJµ(x) とするとMaxwell方程式は 2Aµ(x) = eJµ(x) である。この両辺

に exp(−iq ·x) をかけ積分すると∫d4x e−iq·x2Aµ(x) = − q2µ

∫d4x e−iq·xAµ(x) = e

∫d4x e−iq·xJµ(x)

であるから

w =4πα

(2π)3Γµ(1, 2)

q2µ

∫d4x e−iq·x⟨n|Jµ(x)|0⟩ , α =

e2

4π=微細構造定数

になる。H を原子核のハミルトニアンとする :

H| 0 ⟩ = E0| 0 ⟩ , H|n ⟩ = En|n ⟩

Jµ(x) = Jµ(0,x) とすると, ハイゼンベルクの運動方程式から

Jµ(x) = Jµ(x0,x) = exp(iHx0)Jµ(x) exp(−iHx0)


⟨n|Jµ(x)|0⟩ = eiωnx0⟨n|Jµ(x)|0⟩ , ωn = En − E0

になるから

w =α

2π2

Γµ(1, 2)

q2µ

∫d4x eiωnx0−iq·x⟨n|Jµ(x)|0⟩

=α

2π2

Γµ(1, 2)

q2µ

∫ ∞

−∞dx0 e

i(ωn−q0)x0⟨n|Jµ(q)|0⟩

=α

π

Γµ(1, 2)

q2µδ(ωn − q0) ⟨n|Jµ(q)|0⟩ , ただし Jµ(q) =

∫d3x exp(iq ·x)Jµ(x)

δ(ωn − q0) = δ(En + ϵ2 − E0 − ϵ1) はエネルギー保存則である。遷移確率は

|w|2 =α2

π2q4µ

∣∣∣Γµ(1, 2)⟨n|Jµ(q)|0⟩∣∣∣2δ2(ωn − q0)

デルタ関数の 2乗は T → ∞ として

δ2(ωn − q0) = δ(ωn − q0) δ(0) = δ(ωn − q0)

∫ T/2

−T/2

dx02π

= δ(ωn − q0)T

2π

と見なせるから, 単位時間あたりの遷移確率は

|w|2

T=

α2

2π3q4µ

∣∣∣Γµ(1, 2)⟨n|Jµ(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0)

になる。


4.2 微分断面積

入射電子が単位体積あたりN1個, 標的に対して速さ v1 で入射するとき, 散乱電子が p2近傍の微

小領域 d3p2 に単位時間に散乱される個数をN2 個とする。このとき

N2 = N1v1 dσ

で定義される dσ が微分断面積である。電子の波動関数の規格化を周期的境界条件を用いて体積 V

の箱で規格化する。体積 V に 1つの電子が存在するから, N1 = 1/V である。また, (4.2)で

1

(2π)3/2→ 1√

V

の置き換えをするから

|w|2

T=

(2π)6

V 2× α2

2π3q4µ

∣∣∣Γµ(1, 2)⟨n|Jµ(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0)

p2 近傍の微小領域 d3p2 の状態数はV

(2π)3d3p2 であるから N2 =

|w|2

T

V

(2π)3d3p2 になる。したが

って

dσ(p1σ1, 0 → p2σ2, n) =N2

N1v1=

4α2

v1q4µ

∣∣∣Γµ(1, 2)⟨n|Jµ(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0) d

3p2

あるいは

d3p2 = dp2 p22 dΩ = p2ϵ2 dϵ2 dΩ , ϵ2 =

√m2

e + p22

及び v1 = p1/ϵ1 より二重微分断面積は

d2σ(p1σ1, 0 → p2σ2, n)

dϵ2dΩ=

4α2ϵ1ϵ2q4µ

p2p1

∣∣∣Γµ(1, 2)⟨n|Jµ(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0)

である。

入射電子のスピン σ1 はランダム (偏極していない)で散乱電子のスピン σ2 を測定しない場合, σ1

について平均し σ2 については和をとるから

d2σ(p1, 0 → p2, n)

dϵ2dΩ=

1

2

∑σ1σ2

d2σ(p1σ1, 0 → p2σ2, n)

dϵ2dΩ=

2α2

q4µ

p2p1I δ(ωn − q0) (4.4)

ただし

I = ϵ1ϵ2∑σ1σ2

∣∣∣Γµ(1, 2)⟨n|Jµ(q)|0⟩∣∣∣2 = m2

e

∑σ1σ2

∣∣∣u2γµu1Kµ

∣∣∣2ここで, 簡単のため

u1 = u(p1, σ1) , u2 = u(p2, σ2) , Kµ = ⟨n|Jµ(q)|0⟩

とした。

(u2γµu1)

∗ = u†1(γµ)†γ0u2 = u1γ

µu2 , Λ(p) =∑σ

u(p, σ)u(p, σ) =/p+me

2me

を使うと

I = m2e

∑σ1σ2

u2γµu1 u1γ

νu2KµK∗ν = m2

e Tr(γµΛ(p1)γ

νΛ(p2))KµK

∗ν

=1

4Tr(γµ(/p1 +me)γ

ν(/p2 +me))KµK

∗ν

=(gµν

(m2

e − p1 ·p2)+ pµ1p

ν2 + pν1p

µ2

)KµK

∗ν (4.5)


更に Qµ = (pµ1 + pµ2 )/2 とすると

q2µ = (p2 − p1)2µ = p22µ + p21µ − 2p1 ·p2 = 2m2

e − 2p1 ·p2 , pµ1pν2 + pν1p

µ2 = 2QµQν − 1

2qµqν

であるから

I =q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗ − 1

2q ·K q ·K∗

になる。カレント保存則 ∂µJµ(x) = 0 は

∂µJµ(x) =∂

∂x0exp(iHx0)J0(x) exp(−iHx0) + exp(iHx0)∇·J(x) exp(−iHx0)

= exp(iHx0)(i (HJ0(x)− J0(x)H) +∇·J(x)

)exp(−iHx0)

より

HJ0(x)− J0(x)H − i∇·J(x) = 0

である。これから

(En − E0) ⟨n|J0(x)|0⟩ − i∇·⟨n|J(x)|0⟩ = 0

exp(iq ·x) をかけて積分し En − E0 = ωn = q0 を使うと

qµ⟨n|Jµ(q)|0⟩ = 0 , つまり q ·K = 0

である。したがって I =q2µ2 K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗ になるから, これを (4.4)に代入すれば

d2σ(p1, 0 → p2, n)

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)δ(ωn − q0) (4.6)

である。

4.3 縦方向と横方向の分離

q は運動量移行 ( 電子から原子核に移行する運動量 )である。J(q) を q の方向 ( 縦方向 )と q

に垂直な方向 ( 横方向 )に分ける。eq = q/q とすると

J(q) = eqJL(q) + JT(q) , JL = eq ·J , JT = eq×(J×eq)

これに対応して

K = eqKL +KT

である。カレント保存 q ·K = q0K0 − q ·K = q0K0 − qKL = 0 より KL = q0K0/q になるから

K ·K∗ = |K0|2 − |KL|2 − |KT|2 = −q2µq2

|K0|2 − |KT|2

Q·K = Q0K0 −Q·eqKL −Q·KT =Q0q

2 − q0 Q·qq2

K0 −Q·KT = −Q0q

2µ

q2K0 −Q·KT

Q·K の最後では

Q·q = (p1 + p2)·(p1 − p2)

2=p21µ − p22µ

2=m2

e −m2e

2= 0 , つまり Q·q = Q0q0


を使った。したがって

q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗ =

4Q20 − q2

2

(q2µq2

)2

|K0|2 −q2µ2|KT|2 + 2Q·KT Q·K∗

T

+Q0q

2µ

q2

(K0Q·K∗

T +K∗0Q·KT

)(4.7)

q に直交する方向は 2つある。q の方向が z軸の場合

e±1 = ∓ ex ± iey√2

, e∗λ ·eλ′ = δλλ′

とすると

KT = exKx + eyKy =∑

λ=±1

e∗λKλ , K±1 = e±1 ·KT

である。散乱前には静止していた原子核は, 散乱後は運動量保存のため静止しない。しかし, 原子核

は電子に比べれば非常に重いので散乱後も静止しているとし, recoil の効果を無視してもよい近似

である。この場合, 散乱前後で, 原子核の状態を角運動量の固有状態で指定できる。| 0 ⟩ = | I0M0 ⟩ ,|n ⟩ = | InMn ⟩ とする。I は角運動量の大きさ, M は角運動量の z 成分の固有値である。Jλ ( λ =

0, ±1 )は q 方向の角運動量成分の固有値を λ だけ変えるから, λ = ±1 のとき K0K∗λ = 0 になる

遷移は存在しない。したがって (4.7)の右辺の最後の 2項は 0になる。また∑M0Mn

KλK∗λ′ = δλλ′K , K =

∑M0Mn

|Kλ|2 = λ に依存しない (4.8)

が成り立つ。これから∑M0Mn

Q·KT Q·K∗T =

(|Q+|2 + |Q−|2

)K =

Q2 −Q2z

2

∑M0Mn

|KT|2

したがって

∑M0Mn

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)= VL

∑M0Mn

|K0|2 + VT∑

M0Mn

|KT|2 (4.9)

ただし

VL =4Q2

0 − q2

2

(q2µq2

)2

, VT = Q2 − (Q·q)2

q2−q2µ2

= Q2 − (Q0q0)2

q2−q2µ2

(4.10)

始状態と終状態の M が不定の場合, 電子のスピンと同様に, M0 については平均し Mn については

和をとる。(4.6)と (4.9)から

d2σ(p1, I0 → p2, In)

dϵ2 dΩ=

1

2I0 + 1

2α2

q4µ

p2p1

∑M0Mn

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)δ(ωn − q0)

=1

2I0 + 1

2α2

q4µ

p2p1

∑M0Mn

(VL

∣∣∣⟨n|J0(q)|0⟩∣∣∣2 + VT

∣∣∣⟨n|JT(q)|0⟩∣∣∣2)δ(ωn − q0)

になる。

反応の終状態で,特定の粒子だけの状態を指定し,そのほかは何でもよいとする。このような反応

を inclusive reaction という。一方, 終状態の全ての粒子の状態を指定する反応を exclusive reaction


という。電子散乱で, 終状態では散乱電子の運動量のみを指定する inclusive reaction を考える。原

子核の始状態が I0 = 0 の基底状態の場合, 微分断面積は上式から

d2σ

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1

(VLRL(q0, q) + VTRT(q0, q)

)ただし

RL(q0, q) =∑n

∣∣∣⟨n|J0(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0) , RT(q0, q) =∑n

∣∣∣⟨n|JT(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0) (4.11)

になる。RL を縦方向応答関数 ( longitudinal response function ), RT を横方向応答関数 ( transverse

response function )という。和は全ての H の固有状態 |n ⟩ について行う。原子核構造を調べる場合, 電子のエネルギー ϵ は数百MeV程度である。これは me = 0.511MeV

に比べれば非常に大きい。このとき ϵ =√m2

e + p2 ≈ p であるから, 以下では me = 0 とする。電

子の散乱角を θ とする。p1 · p2 = p1p2 cos θ である。

q2µ = (p1 − p2)2 − (p1 − p2)

2 = −2p1p2 (1− cos θ) = −4p1p2 sin2(θ/2) ≤ 0 (4.12)

4Q20 − q2 = (p1 + p2)

2 − (p1 − p2)2 = 2p1p2 (1 + cos θ) = 4p1p2 cos

2(θ/2) (4.13)

4Q2µ + q2µ = (p1 + p2)

2µ + (p1 − p2)

2µ = 4m2

e = 0 より Q2 = Q20 + q2µ/4 になるから

VT = Q20 +

q2µ4

− (Q0q0)2

q2−q2µ2

= −q2µ4q2

(4Q2

0 − q2)−q2µ2

=4Q2

0 − q2

2

(− q2µ2q2

+ tan2θ

2

)したがって

d2σ

dϵ2 dΩ= σM

(q2µq2

)2

RL(q0, q) +

(− q2µ2q2

+ tan2θ

2

)RT(q0, q)

ただし

σM =2α2

q4µ

p2p1

4Q20 − q2

2=

(α cos(θ/2)

2ϵ1 sin2(θ/2)

)2

である。

微分断面積から2つの応答関数を実験的に取り出すには,次のようにする。入射電子のエネルギー

|p1| を変化させて微分断面積を求めるとき

q0 = p1 − p2 , q2 = p21 + p22 − 2p1p2 cos θ

が一定になる p2 , θ の散乱電子を測定する。このとき, 様々な θ に対して

1

σM

d2σ

dϵ2 dΩ=

(q2µq2

)2

RL(q0, q) +− q2µ2q2

RT(q0, q)

+RT(q0, q) tan2 θ

2(4.14)

を tan2(θ/2) の関数としてプロットすると直線になる ( Rosenbluth plot )。この直線の傾きから

RT(q0, q) が実験的に求まる。また, 縦軸との交点から RL(q0, q) も決定できる。

原子核の終状態を基底状態に限定した弾性散乱の場合

RL(q0, q) =∣∣∣⟨0|J0(q)|0⟩∣∣∣2δ(q0) , RT(q0, q) =

∣∣∣⟨0|JT(q)|0⟩∣∣∣2δ(q0) (4.15)

JT はパリティを変えるから RT = 0 である。これから

1

σM

d2σ

dϵ2 dΩ=∣∣∣⟨0|J0(q)|0⟩∣∣∣2δ(q0) (4.16)

になり,原子核の電荷分布 ⟨0|J0(x)|0⟩のフーリエ変換が得られる。点電荷の場合 ⟨0|J0(x)|0⟩ = δ(x)

であるから ⟨0|J0(q)|0⟩ = 1 になる。σM は点電荷による微分断面積 ( モット断面積 )である。


4.4 核子の電磁的形状因子

電子–核子散乱を考える。電子の場合, 電磁カレントの行列要素は (4.3)より

⟨p2σ2|jµ(x)|p1σ1⟩el =1

(2π)3me√ϵ1ϵ2

u(p2, σ2)γµu(p1, σ1) e

i(p2−p1)·x

である。核子は点状の電子とは異なり電磁的な広がりを持つから, 行列要素は上式のようにはなら

ない。核子の電磁カレントの行列要素 ⟨k2σ2|Jµ(x)|k1σ1⟩ は kµ1 , kµ2 の関数で 4元ベクトルであるか

ら, 最も一般的には

⟨k2σ2|Jµ(x)|k1σ1⟩ =1

(2π)3M√E1E2

u(k2, σ2)Γµ(k1, k2)u(k1, σ1) e

iq·x

ただし

Γµ(k1, k2) = kµ1 f1(q2µ) + kµ2 f2(q

2µ) + γµf3(q

2µ) , qµ = (k2 − k1)

µ

とおける。ここで u は核子のスピノール, k0 = E =√M2 + k2 である。k1, k2 に依存するスカラー

量は q2µ 以外にも k2µ, k1 ·k2 があるが, k2µ =M2 =定数, k1 ·k2 =M2 − q2µ/2 であるから fk は q2µ の

関数である。カレント保存則より

∂µ⟨k2σ2|Jµ(x)|k1σ1⟩ =1

(2π)3M√E1E2

u(k2, σ2) q ·Γ u(k1, σ1) eiq·x

=1

(2π)3M√E1E2

u(k2, σ2)(q ·k1f1 + q ·k2f2

)u(k1, σ1) e

iq·x = 0

でなければならないから

q ·k1f1 + q ·k2f2 =(k1 ·k2 −M2

)(f1 − f2) = 0

したがって f1 = f2 である。Gordon分解

2M u(k2, σ2)γµu(k1, σ1) = u(k2, σ2)

((k1 + k2)

µ + iσµν(k2 − k1)ν

)u(k1, σ1)

を使うと

u(k2, σ2)Γµ(k1, k2)u(k1, σ1) = u(k2, σ2)

((k1 + k2)

µf1 + γµf3

)u(k1, σ1)

= u(k2, σ2)((2Mf1 + f3) γ

µ − if1σµνqν

)u(k1, σ1)

と表せる。F1 = 2Mf1 + f3, F2 = − 2Mf1 と置き直すと

⟨k2σ2|Jµ(x)|k1σ1⟩ =1

(2π)3M√E1E2

u(k2, σ2)Γµu(k1, σ1) e

iq·x (4.17)

ただし

Γµ = F1(q2µ)γ

µ +F2(q

2µ)

2Miσµνqν , qµ = (k2 − k1)

µ (4.18)

になる。自由粒子の場合, これは

Γ ′µ = (F1 + F2) γµ − F2

2M(k1 + k2)

µ (4.19)

と同等であるが, 自由粒子でない場合は Γµ と Γ ′µ は同じ結果にはならない。

まず

eF1(0) =核子の電荷 ,e

2M

(F1(0) + F2(0)

)=核子の磁気能率


を示す。(4.19)より

⟨k2σ2|Jµ(x)|k1σ1⟩ =eiq·x

(2π)3M√E1E2

u(k2, σ2)

((F1 + F2) γ

µ − F2

2M(k1 + k2)

µ

)u(k1, σ1)

Briet座標系 ( k2 = −k1 = q/2 )では

E1 = E2 = Eq =√M2 + q2/4 , q0 = E2 − E1 = 0

である。自由スピノールの具体形

u(k, σ) =

√Ek +M

2M

1σ ·k

Ek +M

χσ

を使うと

u(k2, σ2)u(k1, σ1) =Eq

Mχ†2χ1 , u(k2, σ2)γ

µu(k1, σ1) =

χ†2χ1 , µ = 0

χ†2

i (σ×q)i

2Mχ1 , µ = i

になるから

⟨k2σ2|J0(x)|k1σ1⟩ =e−iq·x

(2π)3M

EqGE(q

2µ)χ

†2χ1

⟨k2σ2|J(x)|k1σ1⟩ =e−iq·x

(2π)3M

EqGM (q2µ)χ

†2

iσ×q

2Mχ1

ただし

GE(q2µ) = F1(q

2µ) +

q2µ4M2

F2(q2µ) , GM (q2µ) = F1(q

2µ) + F2(q

2µ) (4.20)

ここでは q0 = 0 であるから q2µ = − q2 である。核子の電荷を Q, 磁気能率を µ とすると

Q =

∫d3x ⟨k2σ1|J0(x)|k1σ1⟩ = eGE(0) δ(q = 0) = eGE(0)

V

(2π)3

µ =e

2

∫d3xx×⟨k2σ1|J(x)|k1σ1⟩ =

e

4EqGM (q2µ)χ

†2

∫d3x

(2π)3x×(σ×(−∇)) e−ix·qχ1

部分積分すると

µ =e

2EqGM (q2µ)χ

†2σχ1 δ(q = 0) =

e

2MGM (0)χ†

2σχ1V

(2π)3

したがって

eGE(0) = eF1(0) =核子の電荷 , つまり F1(0) =

1 , 陽子

0 , 中性子

µB =e

2MGM (0) =核子の磁気能率

実験的には

µB =e

2M×

2.793 , 陽子

− 1.913 , 中性子, したがって F2(0) = κ , κ =

1.793 , 陽子

− 1.913 , 中性子

である。κ を異常磁気能率という。電子の場合は µB = − e/(2me) , κ = 0 である。


微分断面積を求める。(4.17)から

⟨k2σ2|Jµ(q)|k1σ1⟩ =∫d3x exp (iq ·x) ⟨k2σ2|Jµ(x0 = 0,x)|k1σ1⟩

=M√E1E2

u(k2, σ2)Γµu(k1, σ1) δ(q − k2 + k1)

q = p1 − p2 = k2 − k1 は運動量保存則である。電子–核子散乱の微分断面積は電子–原子核散乱の

微分断面積 (4.6) において

Kµ = ⟨n|Jµ(q)|0⟩ −→ ⟨k2σ2|Jµ(q)|k1σ1⟩

の置き換えをすればよいから

d2σ

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)δ(E2 − E1 − q0) δ

2(q − k2 + k1) (4.21)

ただし

Kµ =M√E1E2

u(k2, σ2)Γµu(k1, σ1) =

M√E1E2

u(k2, σ2)

(F1γ

µ + iF2

2Mσµνqν

)u(k1, σ1)

核子の波動関数を体積 V で規格化し

δ2(q − k2 + k1) =V

(2π)3δ(q − k2 + k1)

を使うと

d2σ

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)δ(E2 − E1 − q0) δ(q − k2 + k1)

(2π)3

V

更に, k2 近傍の状態数は V d3k2/(2π)3 であるから k2 で積分すると

d2σ

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)δ(E2 − E1 − q0) , k2 = k1 + q

になる。初期状態の核子スピンについて平均をとり, 終状態のスピンについて足し合わせれば

d2σ

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1S δ(E2 − E1 − q0) , S =

1

2

∑σ1σ2

(q2µ2K ·K∗ + 2Q·KQ·K∗

)

(4.19)より ( F = F1 + F2 )∑σ1σ2

K ·K∗ =M2

E1E2Tr

[(F γµ − F2

2M(k1 + k2)

µ

)/k1 +M

2M

(F γµ − F2

2M(k1 + k2)µ

)/k2 +M

2M

]

=1

E1E2

((4M2 − 2k1 ·k2

)F 2

+ (k1 + k2)2µ

(M2 + k1 ·k2

)( F2

2M

)2

− (k1 + k2)2µ FF2

)∑σ1σ2

Q·KQ·K∗ =1

E1E2

((2Q·k1Q·k2 +Q2

µ

(M2 − k1 ·k2

))F 2

+(M2 + k1 ·k2

)((k1 + k2)·Q)

2

(F2

2M

)2

− ((k1 + k2)·Q)2FF2

)


qµ = kµ2 − kµ1 であるから

2k1 ·k2 = 2M2 − q2µ , (k1 + k2)2µ = 4M2 − q2µ

以下では, 実験室系, つまり, 初期状態で静止した核子の散乱を考える。この場合, E1 = M , k1 = 0

であるから

Q·k1 = Q0M , Q·k2 = Q0E2 −Q·k2 = Q0 (M + q0)−Q·q = Q0M + q ·Q = Q0M

これから

∑σ1σ2

K ·K∗ =1

E1E2

((2M2 + q2µ

)F 2 +

4M2 − q2µ2

[(1−

q2µ4M2

)F 22 − 2FF2

])∑σ1σ2

Q·KQ·K∗ =1

E1E2

((2M2Q2

0 +1

2q2µQ

2µ

)F 2 + 2M2Q2

0

[(1−

q2µ4M2

)F 22 − 2FF2

])

したがって

S =1

2ME2

(AF 2 +B

[(1−

q2µ4M2

)F 22 − 2FF2

])

ただし

A =q2µ2

(2M2 + q2µ

)+ 4M2Q2

0 + q2µQ2µ , B =M2

(4Q2

0 − q2)+M2q20 −

q4µ4

である。4Q2µ + q2µ = 4m2

e = 0 より

A =M2q2µ + 4M2Q20 +

q4µ4

=M2(4Q2

0 − q2)+M2q20 +

q4µ4

k1 = 0 の場合

2k1 ·k2 = 2ME2 = 2M2 − q2µ , ∴ q0 = E2 −M = −q2µ2M

になるから

A =M2(4Q2

0 − q2)+q4µ2, B =M2

(4Q2

0 − q2)

したがって

S =M

2E2

(q4µ

2M2F 2 +

(4Q2

0 − q2)(

F 2 +

(1−

q2µ4M2

)F 22 − 2FF2

))

=M

2E2

(q4µ

2M2

(F1 + F2

)2+(4Q2

0 − q2)(

F 21 −

q2µ4M2

F 22

))

(4.12), (4.13)を代入すると

S =2Mp1p2E2

cos2θ

2

(F 21 −

q2µ4M2

F 22 −

q2µ2M2

(F1 + F2

)2tan2

θ

2

)

(4.20)で定義した GE , GM を用いると

F1 =GE −GM q2µ/4M

2

1− q2µ/4M2

, F2 =GM −GE

1− q2µ/4M2


であるから

S =2Mp1p2E2

cos2θ

2

(G2

E −G2M q2µ/4M

2

1− q2µ/4M2

−q2µ

2M2G2

M tan2θ

2

)

q0 = − q2µ/2M を使うと

1

1− q2µ/4M2=

q2µq2µ − (q2µ/2M)2

=− q2µq2

であるから

d2σ

dϵ2 dΩ=

2α2

q4µ

p2p1S δ(E2 −M − q0) = σM

M

E2

(q2µq2

)2

RL +− q2µ2q2

RT +RT tan2θ

2

(4.22)

ただし

RL(qµ) =q2

− q2µG2

E δ(E2 −M − q0) , RT(qµ) =− q2µ2M2

G2M δ(E2 −M − q0)

である。M/E2 を除けば (4.22)は (4.14)と同じである。(4.14)では原子核は非常に重いとして recoil

を無視している。M ≫ q であるとして M/E2 =M/√M2 + q2 ≈ 1 とすれば (4.14)になる。

Rosenbluth plot を行えば実験的に G2E , G

2M を求めることができる。実験によれば ( 例えば, K.

W. Chen et al., Phys. Rev 141 (1966) 1267, 1286, 1298 )

陽子 : GE ≈ GM

1 + κp≈ G , 中性子 : GE ≈

q2µ4M2

GM ,GM

κn≈ G

ここで, κp = 1.793, κn = − 1.913 は陽子, 中性子の異常磁気能率である。また

G(q2µ) =1(

1− q2µ/Λ2)2 , Λ ≈ 840MeV (4.23)

したがって

陽子 F1(q2µ) =

1− (1 + κp)q2µ/4M

2

1− q2µ/4M2

G(q2µ) , F2(q2µ) =

κpG(q2µ)

1− q2µ/4M2

(4.24)

中性子 F1(q2µ) = 0 , F2(q

2µ) = κnG(q

2µ) (4.25)

になる。

recoil を無視すれば RL ≈ G2E(−q2) δ(q0) である。これと (4.15)を比較すれば, 陽子の電荷分布

eρ(x) は

GE(−q2) =1

(1 + q2/Λ2)2 =

∫d3x eiq·xρ(x)

指数関数を展開すれば∫d3x eiq·xρ(x) =

∫d3x

(1 + iq ·x− (q ·x)2

2+ · · ·

)ρ(x) = 1− q2

6

∫d3xx2ρ(x) + · · ·

これから

⟨x2 ⟩ =∫d3xx2ρ(x) = − 6

d

dq2

∫d3x eiq·xρ(x)

∣∣∣∣q=0

= − d

dq26

(1 + q2/Λ2)2

∣∣∣∣∣q=0

=12

Λ2


Λ ≈ 840MeV を代入し ℏ, c を元に戻すと√⟨x2 ⟩ =

√12 ℏc/Λ ≈ 0.81 fm になる。陽子は 1 fm 程度

の広がりをもつ。中性子の場合

GE(−q2) = − κnq2

4M2

1

(1 + q2/Λ2)2 = −q

2

6

∫d3xx2ρ(x) + · · · ,

∫d3x ρ(x) = 0

より

⟨x2 ⟩ = 3κn2M2

= − (0.36 fm)2

であり負になる。中性子の場合, ρ(x) は正の部分と負の部分があるから ⟨x2 ⟩ は負になりえる。中性子の GE は ⟨x2 ⟩, つまり dGE/dq

2∣∣q=0は実験的に定まっているが, これ以上の q2依存性は実験

的には誤差が大きく明確には決まっていない。

(4.12)より

q2µ = −4p1p2 sin2(θ/2) = −4p1(p1 − q0) sin

2(θ/2) = −4p1

(p1 +

q2µ2M

)sin2(θ/2)

であるから

q2µ = − 4p21 sin2(θ/2)

1 + (2p1/M) sin2(θ/2)

と表せる。

E2 − E1 − q0 =√M2 + (p1 − p2)2 −M − p1 + p2

=√M2 + p21 + p22 − 2p1p2 cos θ −M − p1 + p2 = f(p2)

とすると f(p2) = 0 の点では

df(p2)

dp2=

p2 − p1 cos θ√M2 + p21 + p22 − 2p1p2 cos θ

+ 1 =M + p1(1− cos θ)

M + p1 − p2=M + 2p1 sin

2(θ/2)

E2

である。(4.22)を ϵ2 = p2 で積分する場合, δ(E2 − E1 − q0) = δ(f(p2)) より (df/dp2)−1 がかかる

から

dσ

dΩ=

σM

1 + (2p1/M) sin2(θ/2)

(F 21 −

q2µ4M2

F 22 −

q2µ2M2

(F1 + F2

)2tan2

θ

2

)

になる。これは Bjorken & Drell の (10.90) である。

4.5 非相対論的フェルミガス

応答関数を最も簡単な原子核のモデルである非相対論的フェルミガスで求めてみる。相対論的フ

ェルミガスでも解析的に求められるが, 多少複雑になるのでここでは非相対論的に扱う。

運動量 p の陽子が運動量 q の仮想光子を吸収した場合, 散乱後の陽子の運動量は p+q になるか

ら, 励起エネルギーは

q0 =(p+ q)2

2M∗ − p2

2M∗ =q2

2M∗ +p·qM∗ , M∗ =核子の有効質量

である。kp を陽子のフェルミ波数とすると p < kp であるから

q2

2M∗ − kpq

M∗ < q0 <q2

2M∗ +kpq

M∗


になる。これから応答関数は q0 = q2/(2M∗) を中心にして幅が 2kpq/M∗ 程度のピークになること

が予想される。

(4.11)の縦方向応答関数を求める。J0 は電荷密度であるから, 非相対論の場合

J0(x) =Z∑

k=1

δ(x− xk)

和は陽子について行う。第 2量子化で J0 を陽子の生成・消滅演算子 a†pσ, apσ

a†pσ ap′σ′ + ap′σ′ a†pσ = δσσ′δ(p− p′) , その他は反交換

で表す。ただし, 波動関数は (2π)−3/2 exp(ip·x)χσ である。

J0(x) =

∫d3p d3p′

∑σσ′

⟨p′σ′|δ(x− x)|pσ⟩ a†p′σ′apσ

=1

(2π)3

∫d3p d3p′ exp (i(p− p′)·x)

∑σ

a†p′σapσ

これから

J0(q) =

∫d3x exp(iq ·x) 1

(2π)3

∫d3p d3p′ exp (i(p− p′)·x)

∑σ

a†p′σapσ

=

∫d3p d3p′δ(q + p− p′)

∑σ

a†p′σapσ =

∫d3p

∑σ

a†p+q σapσ

になるから

RL(q0, q) =∑n

⟨0|J†0(q)|n⟩⟨n|J0(q)|0⟩ δ(ωn − q0)

=∑n

∫d3p d3p′

∑σσ′

⟨0|a†p′σ′ap′+q σ′ |n⟩⟨n|a†p+q σapσ|0⟩ δ(ωn − q0)

⟨n|a†p+q σapσ|0⟩ = 0 である |n ⟩ は |n ⟩ = a†p+q σapσ| 0 ⟩ 以外にはない。このとき

ωn =(p+ q)2

2M∗ − p2

2M∗

であるから

RL(q0, q) =

∫d3p d3p′

∑σσ′

⟨0|a†p′σ′ap′+q σ′

∑n

|n ⟩⟨n | a†p+q σapσ|0⟩ δ(q0 −

(p+ q)2

2M∗ +p2

2M∗

)

=

∫d3p d3p′

∑σσ′

⟨0|a†p′σ′ap′+q σ′a†p+q σapσ|0⟩ δ(q0 −

(p+ q)2

2M∗ +p2

2M∗

)

フェルミガス模型では | 0 ⟩ は p ≤ kp である状態は占有されているから, a†p+q σapσ| 0 ⟩ = 0 である

ためには p ≤ kp , |p+ q| > kp である。このとき ⟨ 0 | a†p+q σ = 0 になるから

⟨0|a†p′σ′ap′+q σ′a†p+q σapσ|0⟩ = δ(p− p′) δσσ′⟨0|a†p′σ′apσ|0⟩+ ⟨0|a†p+q σa†p′σ′ap′+q σ′apσ|0⟩

= δ(p− p′) δσσ′⟨0|a†p′σ′apσ|0⟩

= δ(p− p′) δ(p− p′) δσσ′


デルタ関数の 2乗は

δ(p− p′) δ(p− p′) = δ(p− p′)

∫d3x

(2π)3exp(ix·(p− p′))

∣∣∣p=p′

= δ(p− p′)V

(2π)3

と見なす。ただし, V =系の体積 = ∞ である。陽子数を Z とすると

陽子密度 =Z

V=

k3p3π2

であるから

δ(p− p′) δ(p− p′) = δ(p− p′)3Z

8πk3p

これから

RL(q0, q) =3Z

4πk3p

∫d3p θ(kp − |p|) θ(|p+ q| − kp) δ

(q0 −

(p+ q)2

2M∗ +p2

2M∗

)

=3Z

4πk3p

∫ kp

0

d3p θ(|p+ q| − kp) δ

(q0 −

(p+ q)2

2M∗ +p2

2M∗

)になる。

簡単のため q > 2kp の場合を考える。p ≤ kp である任意の p に対して

(p+ q)2 ≥ (p− q)

2 ≥ k2p

であるから θ(|p+ q| − kp) = 1 になる ( q < 2kp の場合 θ(|p+ q| − kp) = 1 のため p の方向に制限

がつく )。したがって

RL(q0, q) =3Z

4πk3p

∫ kp

0

d3p δ

(q0 −

(p+ q)2

2M∗ +p2

2M∗

)(4.26)

=3Z

2k3p

∫ kp

0

dp p2∫ 1

−1

dt δ

(q0 −

q2

2M∗ − p q

M∗ t

)ここで

x =M∗

p q

(q0 −

q2

2M∗

)とおくと

RL(q0, q) =3Z

2k3p

∫ kp

0

dp p2∫ 1

−1

dt δ( p qM∗ (x− t)

)=

3ZM∗

2k3pq

∫ kp

0

dp p

∫ 1

−1

dt δ(x− t)

=3ZM∗

2k3pq

∫ kp

0

dp p θ(1− |x|)

になる。|x| < 1 の条件は x の定義から

p > pmin =M∗

q

∣∣∣∣ q0 − q2

2M∗

∣∣∣∣である。したがって, pmin < kp の場合 p の積分領域は pmin ≤ p ≤ kp になるから

RL(q0, q) =3ZM∗

2k3pq

∫ kp

pmin

dp p =3ZM∗

4k3pq

(k2p − p2min

)=

3ZM∗

4kpq

[1− M∗2

k2pq2

(q0 −

q2

2M∗

)2]


一方, pmin > kp の場合 RL(q0, q) = 0 である。まとめると q > 2kp のとき

RL(q0, q) =

3ZM∗

4kpq

[1−

(M∗

kpq

)2(q0 −

q2

2M∗

)2],

∣∣∣∣ q0 − q2

2M∗

∣∣∣∣ < kpq

M∗

0, その他

(4.27)

になる。励起エネルギー q0 = q2/2M∗ を中心に幅が約 kpq/M∗ で高さが M∗ に比例するピークに

なる ( RT も同様 )。

1983年にサックレーのデータが出るまでは, 準弾性散乱は微分断面積だけが測定され, 有効質量

M∗ を適当に選ぶと非相対論的フェルミガスで説明できた ( R. R. Whitney et al., Phys. Rev. C9

(1974) 2230 )。ところが, 83年以降になると, 実験精度の向上の結果, 微分断面積から 2つの応答関

数 RL, RT を分離できるようになり事情が変わった ( P. Barreau et al., Nucl. Phys. A402 (1983)

515 )。陽子の電磁的広がりを考慮すると

J0(q) = GE(q2µ)

∫d3x exp(iq ·x)J0(x)

とすべきであるから

RL(q0, q) = G2E(q

2µ)(RL(q0, q)

)point

ただし(RL(q0, q)

)point

は (4.27)である。したがって

C(q) =

∫dq0

RL(q0, q)

G2E(q

2µ)

=3Z

4πk3p

∫ kp

0

d3p = Z, q ≥ 2kp (4.28)

である。これをクーロン和という。C(q)/Z の実験データをまとめると, 2kp ≈ 0.5 GeV でも実験値

は 1 よりかなり小さい ( J. Morgenstern and Z. E. Meziani, Phys. Lett. B515 (2001) 269 )。まる

で，原子核の電荷 Ze がどこかに消えてしまったかのようである。

4.6 相関関数

1体演算子 F (q) の応答関数

R(q0, q) =∑n

∣∣∣⟨n|F (q)|0⟩∣∣∣2δ(ωn − q0)

を平均場近似で求める。核子の 1粒子ハミルトニアンを h0 とし, h0 の固有状態を φα(x) とする :

h0 φα(x) = Eαφα(x)

核子は相対論的に扱う。φα(x) は Dirac方程式の解である 4成分スピノールである。基底状態 | 0 ⟩で占有されている状態 (空孔状態)を |h ⟩ , 非占有の状態 (粒子状態)を | p ⟩ で表す。|h ⟩ には反核子の状態も含む。F (q) は 1体演算子であるから

R(q0, q) =∑ph

∣∣∣⟨ph|F (q)|0⟩∣∣∣2δ(ωph − q0) , | ph ⟩ = a†pah| 0 ⟩ , ωph = Ep − Eh > 0

になる。|h ⟩ は束縛状態であるが, | p ⟩ は束縛状態だけでなく連続状態もある。準弾性散乱のような高励起状態を扱う場合, 連続状態を正確に取り込む必要がある。ところで, 数値計算上, 連続的に

変化する ⟨ph|F (q)|0⟩ を求め p について積分することは困難である。ここでは, 以下のようにして

| p ⟩ を直接扱うことはしないで, この困難さを回避する。


ε→ +0 のとき1

x∓ iε= P

1

x± iπδ(x)

より

R(q0, q) =1

πImΠ(q0, q) , Π(q0, q) =

∑ph

(|⟨ph|F (q)|0⟩|2

ωph − q0 − iε+

∣∣⟨ph|F †(q)|0⟩∣∣2

ωph + q0 + iε

)第 2項の寄与は

−∑ph

∣∣∣⟨ph|F †(q)|0⟩∣∣∣2δ(ωph + q0)

であるから q0 > 0 では寄与しないが, p の和を回避するため加えておく。1体演算子

F =∑αβ

⟨α|f |β⟩ a†αaβ

の場合 ⟨ph|F |0⟩ = ⟨p|f |h⟩ であるから

Π(q0, q) =∑ph

(|⟨p|f(q)|h⟩|2

ωph − q0 − iε+

∣∣⟨p|f†(q)|h⟩∣∣2ωph + q0 + iε

)粒子状態の和 =任意の和−空孔の和より

Π(q0, q) =∑αh

(|⟨α|f(q)|h⟩|2

ωαh − q0 − iε+

∣∣⟨α|f†(q)|h⟩∣∣2ωαh + q0 + iε

)

−∑hh′

(|⟨h′|f(q)|h⟩|2

ωh′h − q0 − iε+

∣∣⟨h′|f†(q)|h⟩∣∣2ωh′h + q0 + iε

)α は全ての状態について和をとる。2行目の第 1項で h と h′ を入れ替えると ωhh′ = −ωh′h であ

るから

2行目の第 1項 = −∑hh′

|⟨h|f(q)|h′⟩|2

−ωh′h − q0 − iε= +

∑hh′

∣∣⟨h′|f†(q)|h⟩∣∣2ωh′h + q0 + iε

したがって, 2行目の第 2項目と打ち消しあい

Π(q0, q) =∑αh

(|⟨α|f(q)|h⟩|2


∣∣⟨α|f†(q)|h⟩∣∣2ωαh + q0 + iε

)になる。α は任意であるから ωαh < 0 も存在し, q0 > 0 でも第 2項の虚部は 0 ではない。これは第

1項でパウリ原理を破る遷移の寄与を打ち消すために必要である。

応答関数を求める場合, f は電荷密度あるいは電流密度であるから

⟨α|f(q)|β⟩ =∫d3x exp(iq ·x)φ†

α(x)Γφβ(x) , Γ = 4× 4行列 (4.29)

と表せる。したがって

Π(q0, q) =∑αh

∫d3x d3y exp(−iq ·(x− y))

×

(φ†h(x)Γ

†φα(x)φ†α(y)Γφh(y)


[φ†h(x)Γφα(x)φ

†α(y)Γ

†φh(y)

ωαh + q0 − iε

]∗ )

=∑h


×(φ†h(x)Γ

†G(x,y : Eh + q0)Γφh(y) +[φ†h(x)ΓG(x,y : Eh − q0)Γ

†φh(y)]∗ )

(4.30)


ただし

G(x,y : E) =∑α

φα(x)φ†α(y)

ωα − E − iε(4.31)

である。

(h0(x)− E

)G(x,y : E) =

∑α

(h0(x)− E

)φα(x)

ωα − E − iεφ†α(y)

=∑α

ωα − E

ωα − E − iεφα(x)φ

†α(y)

=∑α

φα(x)φ†α(y) = δ(x− y) (4.32)

であるから G は 1粒子ハミルトニアン h0 のグリーン関数である。非相対論と同様に, G を全ての

1状態状態の和 (4.31)とは別の表現 (4.42)ができる。この表現を使うと (4.30)から 1粒子状態につ

いては空孔状態の和だけで応答関数が求まる。

4.7 グリーン関数

自由粒子自由粒子の場合 (4.31)の和 (積分)を実行できる。h0 の規格化された固有状態は

正エネルギー解 Ep φ(+)pσ (x) =

1

(2π)3/2

√M

Epeip·x u(p, σ)

負エネルギー解 − Ep φ(−)pσ (x) =

1

(2π)3/2

√M

Epe−ip·x v(p, σ)

であるから R = x− y とすると

G(x,y : E) =

∫d3p

∑σ

(φ(+)pσ (x)φ

(+)pσ (y)

Ep − E − iε+φ(−)pσ (x)φ

(−)pσ (y)

−Ep − E − iε

)γ0

=

∫d3p

(2π)3M

Ep

∑σ

(eip·R

u(p, σ)u(p, σ)

Ep − E − iε− e−ip·R v(p, σ) v(p, σ)

Ep + E + iε

)γ0

上式に ∑σ

u(p, σ)u(p, σ) =/p+M

2M,

∑σ

v(p, σ) v(p, σ) =/p−M

2M

を代入すると

G(x,y : E) =

∫d3p

(2π)31

2Ep

(eip·R

Ep +α·p+Mγ0Ep − E − iε

− e−ip·REp +α·p−Mγ0Ep + E + iε

)第 2項で p → −p と置き換えれば

G(x,y : E) =

∫d3p

(2π)3eip·R

2Ep

(Ep +α·p+Mγ0Ep − E − iε

− Ep −α·p−Mγ0Ep + E + iε

)ここで

Ep +α·p+Mγ0Ep − E − iε

= 1 +E +α·p+Mγ0Ep − E − iε

,Ep −α·p−Mγ0Ep + E + iε

= 1− E +α·p+Mγ0Ep + E + iε


であるから

G(x,y : E) =

∫d3p

(2π)3E +α·p+Mγ0

2Ep

(1

Ep − E − iε+

1

Ep + E + iε

)eip·R

=(E + h0(x)

)∫ d3p

(2π)3eip·R

E2p − (E + iε)2

, h0(x) = − iα·∇x +Mγ0

になる。∇x は x に関する gradient である。

I =

∫d3p

(2π)3eip·R

E2p − (E + iε)2

=1

4π2

∫ ∞

0

dpp2

E2p − (E + iε)2

∫ 1

−1

dt eipRt

=1

4π2iR

∫ ∞

−∞dp

p

E2p − (E + iε)2

eipR

=1

4π2iR

∫ ∞

−∞dp

p

p2 − k2 − 2iEεeipR

p = Qeiθ とすると

被積分関数Q→∞−−−−→ eipR

p=

exp(iRQ cos θ −RQ sin θ)

Qeiθ

より sin θ > 0ならば 0に収束する。したがって,積分路に上半面の経路 Qeiθ, ( 0 ≤ θ ≤ π, Q→ ∞ )

を加えてもよい。被積分関数は

p2 = k2 + 2iEε =

k2 + iε , E > 0

k2 − iε , E < 0

に極をもつ。E > M のとき k =√E2 −M2 は正の実数で p = ± (k + iε) が極になるから, 上半面

にある極 k + iε の留数より I = eikR/(4πR) である。したがって

G(x,y : E) =(E + h0(x)

)eikR4πR

=

(E +Mγ0 +

α·RR

(k +

i

R

))eikR

4πR(4.33)

E2 < M2 の場合, k = i√M2 − E2 は純虚数で p = ± k が極になる。上半面にある極 k の留数より

上と同じになる。ただし eikR = e−√M2−E2 R である。h20(x) = −∇2

x +M2 であるから(h0(x)− E

)G(x,y : E) =

(h0(x)− E

)(E + h0(x)

)e±ikR

4πR=(−∇2

x − k2)e±ikR

4πR= δ(R)

になり (4.32)を確かに満たす。なお, Green関数の分母 1/(ωα − E − iε) にある微小量 iε が無限遠

での境界条件を規定する。1/(ωα − E + iε) ならば (4.33)は eikR の代わりに e−ikR になる。

球対称ポテンシャル 1粒子ハミルトニアン h0 が球対称なポテンシャル VS(x), V0(x) からなる

h0 = − iα·∇+ γ0(M + VS(x)

)+ V0(x)

のとき(h0 − E

)φ(x) = 0 の解は

φ(x) =1

x

(u(x)Yℓjm(x)

i v(x)Yℓ′jm(x)

), ℓ′ =

ℓ− 1 , j = ℓ− 1/2 のとき

ℓ+ 1 , j = ℓ+ 1/2 のとき(4.34)

とおけ, ディラック方程式は

du

dx= − κℓj

xu(x) +

(M + VS − V0 + E

)v(x) (4.35)

dv

dx= +

κℓjxv(r) +

(M + VS + V0 − E

)u(x) (4.36)


ただし

κℓj = (−1)j+ℓ+1/2

(j +

1

2

)=

ℓ , j = ℓ− 1/2 のとき

− ℓ− 1 , j = ℓ+ 1/2 のとき(4.37)

になる。(4.35)から

v(x) =1

M + VS − V0 + E

(d

dx+κℓjx

)u(x) (4.38)

これを (4.36)に代入すると(d

dx− κℓj

x

)1

M + VS − V0 + E

(d

dx+κℓjx

)u(x)−

(M + VS + V0 − E

)u(x) = 0 (4.39)

である。

原点近傍 x→ 0 のとき u = xa + · · · とすると

1

M + VS(0)− V0(0) + E

(d

dx− κℓj

x

)(d

dx+κℓjx

)xa −

(M + VS(0) + V0(0)− E

)xa + · · · = 0

つまり (d2

dx2− κℓj(κℓj + 1)

x2

)xa −

((M + VS(0))

2 − (V0(0)− E)2)xa + · · · = 0

したがって

a(a− 1)− κℓj(κℓj + 1)−((M + VS(0))

2 − (V0(0)− E)2)x2 + · · · = 0

x→ 0 のとき第 2項は無視できるから

a(a− 1) = κℓj(κℓj + 1) = ℓ(ℓ+ 1) , ∴ a = ℓ+ 1 ,− ℓ

原点で正則な解 u(x)/x = xℓ + · · · と発散する解 u(x)/x = x−ℓ−1 + · · · がある。原点で正則な解を

Fℓjm(x) =1

x

(fℓj(x)Yℓjm(x)

i gℓj(x)Yℓ′jm(x)

), fℓj(x)

x→0−−−−→ xℓ+1 (4.40)

で表す。(4.38)から κℓj = ℓ の場合

gℓj(x)x→0−−−−→ ℓ+ 1 + κℓj

M + VS(0)− V0(0) + Exℓ =

2ℓ+ 1

M + VS(0)− V0(0) + Exℓ

κℓj = − ℓ− 1 の場合 gℓj = 0 になるから, 次のオーダーまで求める必要がある。(4.36)から

gℓjx→0−−−−→ M + VS(0) + V0(0)− E

ℓ+ 2− κℓjxℓ+2 =

M + VS(0) + V0(0)− E

2ℓ+ 3xℓ+2

である。Fℓjm(x) に対しては無限遠での境界条件は設定しない。E が束縛状態の固有値に等しい場

合 Fℓjm(x)x→∞−−−−→ 0 になるが, 一般には x→ ∞ で有界とは限らない。fℓj , gℓj は実関数にできる。

無限遠 x→ ∞ のとき VS , V0 → 0 ならば (4.39)は(d2

dx2− ℓ(ℓ+ 1)

x2+ k2

)u = 0 , k =

√E2 −M2 E2 > M2

i√M2 − E2 E2 < M2

になる。この微分方程式の独立な 2つの解は, 球ベッセル関数 jℓ, nℓ, あるいはハンケル関数 h(±)ℓ =

jℓ ± inℓ を用いて

kxjℓ(kx) , kxnℓ(kx) または kxh(+)ℓ (kx) , kxh

(−)ℓ (kx)


と表せる。

ρ h(±)ℓ (ρ) = e± i(ρ−(ℓ+1)π/2)

ℓ∑k=0

(n+ k)!

k!(n− k)!

(± i

2ρ

)kρ→∞−−−−→ e± i(ρ−(ℓ+1)π/2)

であるから ( メシアの付録とは位相が異なる ), 外向き球面波になる解を考えて

Uℓjm(x) =1

x

(uℓj(x)Yℓjm(x)

i vℓj(x)Yℓ′jm(x)

), uℓj(x)

x→∞−−−−→ kxh(+)ℓ (kx) (4.41)

とする。h(±)ℓ (ρ) の性質 ( ℓ = 0 )

(2ℓ+ 1)h(±)ℓ = ρ

(h(±)ℓ−1 + h

(±)ℓ+1

), h

(±)ℓ−1 =

(d

dρ+ℓ+ 1

ρ

)h(±)ℓ , h

(±)ℓ =

(− d

dρ+ℓ− 1

ρ

)h(±)ℓ−1

から j = ℓ± 1/2 のとき

vℓj(x) =1

M + E

(d

dx+κℓjx

)uℓj(x)

x→∞−−−−→ ∓ k

M + Ekxh

(+)ℓ±1(kx)

になる。Uℓjm(x) に対しては原点での境界条件は設定しない。x → ∞ で e+ikx になるから, E2 >

M2 の場合は外向きの球面波, E2 < M2 の場合は 0 に収束する解である。E2 < M2 で E が束

縛状態の固有値に等しい場合 Uℓjm(x) は原点で正則であるが, 一般には原点で正則とは限らない。

E2 < M2 の場合, uℓj , vℓj は実関数にできるが, E2 > M2 の場合は複素関数である。

原点で x−ℓ である解を

Φℓjm(x) =1

x

(aℓj(x)Yℓjm(x)

i bℓj(x)Yℓ′jm(x)

), aℓj(x)

x→0−−−−→ x−ℓ

とすると, (h0 − E)φ(x) = 0 の一般解は Fℓjm(x) と Φℓjm(x) の線形結合で表せる。また

U(±)ℓjm(x) =

1

x

u(±)ℓj (x)Yℓjm(x)

i v(±)ℓj (x)Yℓ′jm(x)

, u(±)ℓj (x)

x→∞−−−−→ kxh(±)ℓ (kx)

とすると, 一般解は U(+)ℓjm(x) と U

(−)ℓjm(x) の線形結合でも表せる。したがって

Fℓjm(x) = AU(+)ℓjm(x) +B U

(−)ℓjm(x) , Uℓjm(x) = U

(+)ℓjm(x) = C Fℓjm(x) +DΦℓjm(x)

と表せる。E が束縛状態の固有値に一致する場合 B = D = 0 である。

ロンスキャン

Wℓj = uℓj(x)gℓj(x)− vℓj(x)fℓj(x)

とすると, (4.35), (4.36)より

dWℓj

dx=duℓjdx

gℓj + uℓjdgℓjdx

− dvℓjdx

fℓj − vℓjdfℓjdx

=[− κℓj

xuℓj +

(M + VS − V0 + E

)vℓj

]gℓj + uℓj

[κℓjxgℓj +

(M + VS + V0 − E

)fℓj

]−[κℓjxvℓj +

(M + VS + V0 − E

)uℓj

]fℓj − vℓj

[− κℓj

xfℓj +

(M + VS − V0 + E

)gℓj

]= 0


になるから Wℓj は定数である。グリーン関数 (4.31)は

G(x,y : E) =∑ℓjm

1

Wℓj

(θ(x− y)Uℓjm(x)Fℓjm(y) + θ(y − x)Fℓjm(x)Uℓjm(y)

)(4.42)

と表せる。ただし, Fℓjm , Uℓjm は 4成分の行ベクトル

Fℓjm =1

x

(fℓjY†

ℓjm − igℓjY†ℓ′jm

), Uℓjm =

1

x

(uℓjY†

ℓjm − ivℓjY†ℓ′jm

)である。fℓj , gℓj は実数であるから Fℓjm = F †

ℓjm であるが Uℓjm = U†ℓjm である。

証明 ∇ を x に関する gradient とすると

α·∇θ(x− y)Uℓjm(x) = δ(x− y)α·xUℓjm(x) + θ(x− y)α·∇Uℓjm(x)

α·∇θ(y − x)Fℓjm(x) = − δ(x− y)α·xFℓjm(x) + θ(y − x)α·∇Fℓjm(x)

であるから(h0(x)− E

)θ(x− y)Uℓjm(x) = −iδ(x− y)α·xUℓjm(x) + θ(x− y)

(h0(x)− E

)Uℓjm(x)

= −iδ(x− y)α·xUℓjm(x)(h0(x)− E

)θ(y − x)Fℓjm(x) = iδ(x− y)α·xFℓjm(x)

したがって(h0(x)− E

)G(x,y : E) = −i

∑ℓjm

δ(x− y)

Wℓjα·x

(Uℓjm(x)Fℓjm(y)− Fℓjm(x)Uℓjm(y)

)ところで

σ ·xYℓjm = −Yℓ′jm , σ ·xYℓ′jm = −Yℓjm

であるから ( 簡単のため動径方向の波動関数の添字は省略。また, x = y のみを考えればよいから

(x) も省略 )

−iα·xUℓjm(x) = − i

x

(0 σ ·x

σ ·x 0

)(uYℓjm(x)

iv Yℓ′jm(x)

)=

1

x

(− v Yℓjm(x)

iuYℓ′jm(x)

)

これから

−iα·xUℓjm(x)Fℓjm(y) =1

x2

(− v Yℓjm(x)

iuYℓ′jm(x)

)(f Y†

ℓjm(y) − ig Y†ℓ′jm(y)

)

=1

x2

− vf Yℓjm(x)Y†ℓjm(y) i vg Yℓjm(x)Y†

ℓ′jm(y)

i uf Yℓ′jm(x)Y†ℓjm(y) ug Yℓ′jm(x)Y†

ℓ′jm(y)

u↔ f , v ↔ g の置き換えをすれば

−iα·xFℓjm(x)Uℓjm(y) =1

x2

− guYℓjm(x)Y†ℓjm(y) i gv Yℓjm(x)Y†

ℓ′jm(y)

i fuYℓ′jm(x)Y†ℓjm(y) fv Yℓ′jm(x)Y†

ℓ′jm(y)


したがって (h0(x)− E

)G(x,y : E)

=δ(x− y)

x2

∑ℓjm

1

Wℓj

((ug − vf)Yℓjm(x)Y†

ℓjm(y) 0

0 (ug − vf)Yℓ′jm(x)Y†ℓ′jm(y)

)

=δ(x− y)

x2

∑ℓjm

(Yℓjm(x)Y†

ℓjm(y) 0

0 Yℓ′jm(x)Y†ℓ′jm(y)

)

=δ(x− y)

x2δ(x− y) = δ(x− y) (4.43)

になる。Fℓjm の代わりに原点で発散する解 Φℓjm を用いても (4.42)は (4.43)を満たすが, この場合

G(x = 0,y : E) =∑ℓjm

1

WℓjΦℓjm(0)Uℓjm(y)

は発散する。一方, (4.31)で x = 0 とすると

G(x = 0,y : E) =∑α

φα(0)φ†α(y)

ωα − E − iε

固有状態 φα は原点で有界である。したがって, 原点で正則な解 Fℓjm を用いなければならない。一

方, Uℓjm として x→ ∞ で e−ikx になる解 U(−)ℓjm を用いてもよいわけだが, 自由粒子の G(x,y : E)

が E > −M の場合

G(x,y : E)x→∞−−−−→

(E + h0(x)

)eikx4πx

になるのと同様に, 外向き球面波 eikx になる解を用いなければならない。

G(x,y : E) は

G(x,y : E) =∑α

φα(x)φ†α(y)

(P

ωα − E+ iπ δ(ωα − E)

)であるが, デルタ関数の特異性は, ωα が連続的固有値 ( ωα > M )ならば ωα で積分するから G に

は現れない。しかし, 束縛状態である離散的固有値による特異性は G に現れる。(4.42)で E が離

散的固有値 ωα に一致する場合 Uℓjm = C Fℓjm になるから Wℓj = 0 であり (4.42)は発散する。応

答関数への束縛状態の寄与は Green関数を用いずに∑ph

∣∣∣⟨p|f(q)|h⟩∣∣∣2δ(ωph − q0) , p =束縛された粒子状態

を直接求めればよいが, 準弾性散乱では連続状態の寄与に比べて重要ではないので無視する。

陽子の場合, V0(x) はクーロンポテンシャル VC(x) を含む。x が十分大きいところでは

VC(x) =Zα

x, α =微細構造定数

であるが, これは x の関数として非常にゆっくり減少する。したがって, 外向き球面波の解を求め

るとき, 自由粒子の波動関数 (4.41)ではなく, 純粋なクーロン波動関数を用いる必要があるかもし

れない。


4.8 角度積分

縦方向応答関数の場合, (4.29)の Γ は (4.18)より

Γq = γ0Γ 0 = F1(q2µ) +

F2(q2µ)

2Mq ·γ , Γ †

q = Γ−q (4.44)

である。また, 空孔状態 φh(x) は

φh(x) =1

x

(fh(x)Yℓhjhmh

(x)

i gh(x)Yℓ′hjhmh(x)

), fh(x) , gh(x) =実関数

とおける。(4.30)から

Gh(Γa, Γb : E, q) =∑mh

∫d3x d3y exp(−iq ·(x− y))φ†

h(x)ΓaG(x,y : E)Γb φh(y) (4.45)

とすると, 縦方向応答関数の場合

Π(q0, q) =∑h

(Gh(Γ−q, Γq : Eh + q0, q) +

(Gh(Γq, Γ−q : Eh − q0,−q)

)∗ )(4.46)

である ( h の和は mh 以外の量子数について行う )。(4.42)を使うと

Gh(Γa, Γb : E, q) =∑

mhℓjm

1

Wℓj


×(θ(x− y)φ†

h(x)Γa Uℓjm(x) Fℓjm(y)Γb φh(y)

+ θ(y − x)φ†h(x)Γa Fℓjm(x) Uℓjm(y)Γb φh(y)

)になる。

σ2, σz の固有関数である 2成分スピノールを χms とすると

Yℓjm =∑

mℓms

⟨ ℓmℓ12 ms | j m ⟩Yℓmℓ

χms

であるから

iσyY∗ℓjm =

∑⟨ ℓmℓ

12 ms | j m ⟩Y ∗

ℓmℓ

(0 1

−1 0

)χms

=∑

⟨ ℓmℓ12 ms | j m ⟩ (−1)mℓYℓ−mℓ

(−1)ms+1/2χ−ms

=∑

(−1)m+1/2⟨ ℓ −mℓ12 −ms | j m ⟩Yℓmℓ

χms

=∑

(−1)m+1/2(−1)ℓ+1/2−j⟨ ℓmℓ12 ms | j −m ⟩Yℓmℓ

χms

= (−1)j+m−ℓYℓj −m

これから Uℓj −m の転置 U tℓj −m は ( σt

y = −σy )

U tℓj −m =

1

x

(uℓjYt

ℓj −m i vℓjYtℓ′j −m

)=i (−1)j+m−ℓ

x

(uℓjY†

ℓjm σty − i vℓjY†

ℓ′jm σty

)= − i (−1)j+m−ℓUℓjm σy (4.47)

U tℓj −m = i (−1)j+m−ℓσy Uℓjm (4.48)


Fℓjm , φh についても同じ関係式が成り立つ ( φh の動径波動関数は実数であるから φ†h = φh )。し

たがって, 例えば

φ†h(x)Γa Fℓjm(x) = F t

ℓjm(x)Γ taφ

th = (−1)j−m−ℓ(−1)jh−mh−ℓh Fℓj −m σyΓ

taσy φℓhjh −mh

になるから∑mhm

φ†h(x)Γa Fℓjm(x) Uℓjm(y)Γb φh(y) =

∑mhm

Fℓjm(x)Γ a φh(x)φ†h(y)Γ b Uℓjm(y)

ただし

Γ = σyΓtσy = (σyΓσy)

t

と表せる。これから

Gh(Γa, Γb : E, q) =∑

mhℓjm

1

Wℓj

∫d3x d3y θ(x− y)

×(exp(−iq ·(x− y))φ†

h(x)Γa Uℓjm(x) Fℓjm(y)Γb φh(y)

+ exp(iq ·(x− y))φ†h(x)Γ b Uℓjm(x) Fℓjm(y)Γ a φh(y)

)になる。指数関数の展開式

exp(iq ·x) = 4π∑λµ

iλjλ(qx)Yλµ(q)Y∗λµ(x)

を代入すると

Gh(Γa, Γb : E, q)

=∑ (4π)2

Wℓjiλ

′−λYλµ(q)Yλ′µ′(q)

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx) jλ′(qy)

×(∫

dΩx Y∗λµ(x)xφ

†h(x)Γa xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y)Γb yφh(y)

+ (−1)λ′−λ

∫dΩx Y

∗λµ(x)xφ

†h(x)Γ b xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y)Γ a yφh(y)

)(4.49)

である ( dΩ は角度についての積分 )。

Γq = F1 − iqF2

2MΣq , Σq = iγ ·q , Σ†

q = Σq

であるから, Γa = 1 , Γa = Σq について角度積分を実行する。なお, 両者の場合 Γ a = Γa であるか

ら Γa = Γb のとき

Gh(Γa, Γa : E, q)

=∑ (4π)2

Wℓjiλ

′−λ(1 + (−1)λ

′−λ)Yλµ(q)Yλ′µ′(q)


×∫dΩx Y

∗λµ(x)xφ

†h(x)Γa xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y)Γa yφh(y) (4.50)

になる。


Γa = 1 の場合

Yℓ′jm = −σ ·xYℓjm であるから∫dΩ Y ∗

λµ(x)xφ†h(x)xUℓjm(x) =

∫dΩ Y ∗

λµ

(fh uℓjY†

ℓhjhmhYℓjm + gh vℓjY†

ℓ′hjhmhYℓ′jm

)=(fh uℓj + gh vℓj

)⟨ℓhjhmh|Y ∗

λµ|ℓjm⟩

Bohr & Mottelson (3A–14)より

⟨ℓhjhmh|Y ∗λµ|ℓjm⟩ = (−1)µ√

2jh + 1⟨ j m λ −µ | jhmh ⟩⟨ ℓhjh ||Yλ || ℓj ⟩

= (−1)jh−mh−λ

√2j + 1

4π⟨ j m jh −mh |λµ ⟩⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩Pℓ+λ−ℓh (4.51)

ただし

Pn =1 + (−1)n

2

したがって ∫dΩ Y ∗

λµ(x)xφ†h(x)xUℓjm(x)

=(−1)jh−mh−λ√

4π(2λ+ 1)⟨ j m jh −mh |λµ ⟩Pℓ+λ−ℓhDout(h, ℓj, λ : x) (4.52)

ただし

Dout(h, ℓj, λ : x) =√(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩(fh(x)uℓj(x) + gh(x) vℓj(x)

)(4.53)

(4.47), (4.48)を使うと∫dΩ Y ∗

λµ(x)xFℓjm(x)xφh(x) =

∫dΩ Y ∗

λµ(x)xφth(x)xF

tℓjm(x)

= (−1)jh−mh−ℓh(−1)j−m−ℓ

∫dΩ Y ∗

λµ xφ†ℓhjh −mh

xFℓj −m

(4.52)で U を F で置き換えれば∫dΩ Y ∗

λµ(x)xFℓjm(x)xφh(x)

=(−1)jh−mh−λ−µ√

4π(2λ+ 1)⟨ j m jh −mh |λ −µ ⟩Pℓ+λ−ℓhDin(h, ℓj, λ : x) (4.54)

ここで

Din(h, ℓj, λ : x) =√

(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 12 λ 0 | jh

12 ⟩(fh(x) fℓj(x) + gh(x) gℓj(x)

)(4.55)

なお, (4.54)を導くとき位相は

(−1)jh−mh−ℓh(−1)j−m−ℓ(−1)jh+mh−λ(−1)j+jh−λ

= (−1)jh−mh−ℓh(−1)j−m−ℓ+jh+mh−λ−(j+jh−λ) = (−1)jh−mh−ℓh(−1)mh−m−ℓ

であるが, mh −m = µ , ℓ+ λ− ℓh =偶数より (−1)jh−mh−λ−µ になる。


Γa = Σq の場合

Σq = iγ ·q =

(0 iσ ·q

− iσ ·q 0

), Yℓ′jm = −σ ·xYℓjm

であるから ∫dΩx Y

∗λµ(x)xφ

†h(x)Σq xUℓjm(x) = fhvℓj A

(+) + ghuℓj A(−) (4.56)

ここで

A(±) = ⟨lhjhmh|Y ∗λµ

σ ·q σ ·xσ ·x σ ·q

|ℓjm⟩

=∑LJM

⟨lhjhmh|Y ∗λµ|LJM⟩⟨LJM |


|ℓjm⟩

である。⟨lhjhmh|Y ∗λµ|LJM⟩ は (4.51)から求まる。ベクトル a の球成分を

a±1 = ∓ ax ± iay√2

, a0 = az

とすると

aν =√4π/3 |a|Y1ν(a) , a·b =

∑ν

a∗νbν , (a×b)ν = − i√2 (ab)(11)1ν

であるから

σ ·q σ ·x = q ·x+ iq ·(x×σ) =4π

3

∑ν

Y ∗1ν(q)

(Y1ν(x) +

√2 (Y1(x)σ)(11)1ν

)になる。Bohr & Mottelson (3A–14), (3A–22) を使うと

⟨LJM |


|ℓjm⟩

=4π

3

∑ν

Y ∗1ν(q)

⟨ j m 1 ν |J M ⟩√2J + 1

(⟨LJ ||Y1 || ℓj ⟩ ±

√2 ⟨LJ || (Y1σ)(11)1 || ℓj ⟩

)

=

√4π

3

2j + 1

2J + 1Pℓ+1−LB

(±)ℓjJ

∑ν

⟨ 1 ν j m | J M ⟩Y ∗1ν(q)

ただし

B(±)ℓjJ = ⟨ j 1

2 1 0 | J 12 ⟩ ± (−1)j+ℓ−1/2

√2 ⟨ j − 1

2 1 1 | J 12 ⟩

これから

A(±) =∑JMν

√2j + 1

3(−1)jh−mh−λPℓ+ℓh+λ+1 ⟨ J 1

2 λ 0 | jh12 ⟩B

(±)ℓjJ

× ⟨ 1 ν j m |J M ⟩ ⟨ J M jh −mh |λµ ⟩Y ∗1ν(q)

CG係数を組み替えて ⟨ j m jh −mh | · · · ⟩ になるようにする。そこで∑me

⟨ ama bmb | eme ⟩ ⟨ eme dmd | cmc ⟩

=∑fmf

√(2e+ 1)(2f + 1) ⟨ bmb dmd | f mf ⟩ ⟨ ama f mf | cmc ⟩W (abcd; ef) (4.57)


であるラカー係数 W を使うと ( Rose (6.4b), あるいは Edomonds (6.2.6) )∑M

⟨ 1 ν j m | J M ⟩ ⟨ J M jh −mh |λµ ⟩

=∑IMI

√(2J + 1)(2I + 1) ⟨ j m jh −mh | I MI ⟩ ⟨ 1 ν I MI |λµ ⟩W (1jλjh;JI)

になるから

A(±) =∑IMIν

(−1)jh−mh−λ√3(2λ+ 1)

Pℓ+ℓh+λ+1 C(±)hℓjλI⟨ j m jh −mh | I MI ⟩ ⟨ 1 ν I MI |λµ ⟩Y ∗

1ν(q) (4.58)

ただし

C(±)hℓjλI =

∑J

√(2λ+ 1)(2j + 1)(2J + 1)(2I + 1) ⟨J 1

2 λ 0 | jh12 ⟩B

(+)ℓjJ W (1jλjh; JI)

=∑J

√(2λ+ 1)(2j + 1)(2J + 1)(2I + 1)

W (1jλjh; JI)⟨J 12 λ 0 | jh

12 ⟩(⟨ j 1

2 1 0 | J 12 ⟩ ± (−1)j+ℓ−1/2

√2 ⟨ j − 1

2 1 1 |J 12 ⟩)

(4.59)

である。(4.58)を (4.56)に代入すると∫dΩ Y ∗

λµ(x)xφ†h(x)Σq xUℓjm(x)

=∑IMν

(−1)jh−mh−λ√3(2λ+ 1)

⟨ j m jh −mh | I M ⟩⟨ 1 ν I M |λµ ⟩Y ∗1ν(q)Sout(h, ℓj, λ, I : x) (4.60)

ただし

Sout(h, ℓj, λ, I : x) = C(+)hℓjλI fh(x)vℓj(x) + C

(−)hℓjλI gh(x)uℓj(x) (4.61)

Sin(h, ℓj, λ, I : x) = C(+)hℓjλI fh(x)gℓj(x) + C

(−)hℓjλI gh(x)fℓj(x) (4.62)

である。一方 ∫dΩ Y ∗

λµ(x)xFℓjm(x)Σq xφh(x)

= (−1)jh−mh−ℓh(−1)j−m−ℓ

∫dΩ Y ∗

λµ(x)xφ†ℓhjh −mh

(x)Σq xFℓj −m(x)

= −∑IMν

(−1)jh−mh+I+M√3(2λ+ 1)

⟨ j m jh −mh | I −M ⟩⟨ 1 ν I M |λµ ⟩Y ∗1ν(q)

Pℓ+ℓh+λ+1 Sin(h, ℓj, λ, I : x) (4.63)

G11h (E, q) = Gh(1,1 : E, q)

(4.50), (4.52), (4.54)より

G11h (E, q) =

∑ (4π)2

Wℓjiλ

′−λ(1 + (−1)λ

′−λ)Yλµ(q)Yλ′µ′(q)


× (−1)jh−mh−λ√4π(2λ+ 1)

⟨ j m jh −mh |λµ ⟩Pℓ+λ−ℓhDout(h, ℓj, λ : x)

× (−1)jh−mh−λ′−µ′√4π(2λ′ + 1)

⟨ j m jh −mh |λ′ −µ′ ⟩Pℓ+λ′−ℓhDin(h, ℓj, λ′ : y)


である。 ∑mmh

⟨ j m jh −mh |λµ ⟩⟨ j m jh −mh |λ′ −µ′ ⟩ = δλλ′ δµ−µ′

であるから

G11h (E, q) = 2

∑ Pℓ+λ−ℓh

Wℓj

4π

2λ+ 1(−1)µYλµ(q)Yλ−µ(q)

×∫dx dy θ(x− y) jλ(qx) jλ(qy)Dout(h, ℓj, λ : x)Din(h, ℓj, λ : y)

更に ∑µ

(−1)µYλµ(q)Yλ−µ(q) =2λ+ 1

4π

より

G11h (E, q) = 2

∑ℓjλ

Pℓ+λ−ℓh

Wℓj

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx) jλ(qy)Dout(h, ℓj, λ : x)Din(h, ℓj, λ : y)

Gσσh (E, q) = Gh(Σq,Σq : E, q)

Gσσh (E, q) = −

∑ (4π)2

Wℓjiλ

′−λ 1 + (−1)λ′−λ

3√(2λ+ 1)(2λ′ + 1)

Pℓ+ℓh+λ+1Pℓ+ℓh+λ′+1

× (−1)I′+M ′−λ⟨ j m jh −mh | I M ⟩ ⟨ j m jh −mh | I ′ −M ′ ⟩

× ⟨ 1 ν I M |λµ ⟩ ⟨ 1 ν′ I ′M ′ |λ′ µ′ ⟩Yλµ Yλ′µ′Y ∗1ν Y

∗1ν′

×∫dx dy θ(x− y) jλ(qx) jλ′(qy)Sout(h, ℓj, λ, I : x)Sin(h, ℓj, λ

′, I ′ : y)

m, mh について和をとれば I ′ = I, M ′ = −M になるから

Gσσh (E, q) = −

∑ (4π)2

Wℓjiλ

′−λ 1 + (−1)λ′−λ

3√

(2λ+ 1)(2λ′ + 1)Pℓ+ℓh+λ+1Pℓ+ℓh+λ′+1

× (−1)I−M−λ⟨ 1 ν I M |λµ ⟩ ⟨ 1 ν′ I −M |λ′ µ′ ⟩Y ∗1ν Yλµ Y

∗1ν′ Yλ′µ′

×∫dx dy θ(x− y) jλ(qx) jλ′(qy)Sout(h, ℓj, λ, I : x)Sin(h, ℓj, λ

′, I : y)

ここで

∑m1m2

⟨ ℓ1m1 ℓ2m2 | ℓm ⟩Yℓ1m1(q)Yℓ2m2(q) =

√(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1)

4π(2ℓ+ 1)⟨ ℓ1 0 ℓ2 0 | ℓ 0 ⟩Yℓm(q)

を使うと ∑µν

⟨ 1 ν I M |λµ ⟩Y ∗1ν Yλµ = (−1)λ−I

√2λ+ 1

2I + 1

∑µν

⟨ 1 −ν λµ | I M ⟩Y1−ν Yλµ

= (−1)λ−I

√3

4π

2λ+ 1

2I + 1⟨ 1 0 λ 0 | I 0 ⟩YIM

= −(−1)λ−I

√3

4π

2λ+ 1

2I + 1⟨ I 0 1 0 |λ 0 ⟩YIM

∑µ′ν′

⟨ 1 ν′ I −M |λ′ µ′ ⟩Y ∗1ν′ Yλ′µ′ = −(−1)λ

′−I

√3

4π

2λ′ + 1

2I + 1⟨ I 0 1 0 |λ′ 0 ⟩YI −M


になるから

Gσσh (E, q) = −

∑ iλ′−λ

Wℓj

(1 + (−1)λ

′−λ)Pℓ+ℓh+λ+1Pℓ+ℓh+λ′+1⟨ I 0 1 0 |λ 0 ⟩⟨ I 0 1 0 |λ′ 0 ⟩

(−1)I−λ

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx) jλ′(qy)Sout(h, ℓj, λ, I : x)Sin(h, ℓj, λ

′, I : y)

CG係数より λ, λ′ = I ± 1 になるから λ′ − λ は偶数である。

iI−λ+1 iI−λ′+1 = i2I+2−2λ+λ−λ′= − (−1)I−λiλ

′−λ

であるから

Jα(h, ℓj, I : x) =∑

λ=I±1

iI−λ+1⟨ I 0 1 0 |λ 0 ⟩jλ(qx)Sα(h, ℓj, λ, I : x) , α = out , in (4.64)

とおくと

Gσσh (E, q) = 2

∑ Pℓ+ℓh+λ

Wℓj

∫dx dy θ(x− y) Jout(h, ℓj, λ : x) Jin(h, ℓj, λ : y)

である。

G1σh (E, q) = Gh(1,Σq : E,q)

Gσσh と同様に行えば

G1σh (E, q) =

∑ (4π)2

Wℓjiλ



×(∫

dΩx Y∗λµ(x)xφ

†h(x)xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y)Σq yφh(y)

+ (−1)λ′−λ

∫dΩx Y

∗λµ(x)xφ

†h(x)Σq xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y) yφh(y)

)=∑ Pℓ+ℓh+λ

Wℓj

∫dx dy θ(x− y)

×(jλ(qx)Dout(h, ℓj, λ : x) iλ−λ′

⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩jλ′(qy)Sin(h, ℓj, λ′, λ : y)

+ jλ(qy)Din(h, ℓj, λ : y) iλ−λ′⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩jλ′(qx)Sout(h, ℓj, λ

′, λ : x))

= − i∑ Pℓ+ℓh+λ

Wℓj

∫dx dy θ(x− y)

(jλ(qx)Dout(h, ℓj, λ : x) Jin(h, ℓj, λ : y)

+ jλ(qy)Din(h, ℓj, λ : y)Jout(h, ℓj, λ : x))

一方

Gh(Σq, 1 : E, q) =∑ (4π)2

Wℓjiλ



× (−1)λ′−λ

(∫dΩx Y

∗λµ(x)xφ

†h(x)xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y)Σq yφh(y)

+ (−1)λ′−λ

∫dΩx Y

∗λµ(x)xφ

†h(x)Σq xUℓjm(x)

∫dΩy Y

∗λ′µ′(y)yFℓjm(y) yφh(y)

)⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩ より λ′ − λ = ± 1 であるから

Gh(Σq, 1 : E, q) = −Gh(1, Σq : E, q)

になる。


4.9 相関関数の動径積分

(4.44)で定義した Γq は Γq = F1(q2µ)− iq

F2(q2µ)

2MΣq であるから

Gh(E, q) = Gh(Γ−q, Γq : E, q)

= F 21 G

11h − 2iqF1

F2

2MG1σ

h + q2(F2

2M

)2

Gσσh

= 2∑ Pℓ+ℓh+λ

Wℓj

∫dx dy θ(x− y)

[F 21 jλ(qx)Dout(x) jλ(qy)Din(y)

− qF1F2

2M

(jλ(qx)Dout(x) Jin(y) + jλ(qy)Din(y) Jout(x)

)+ q2

(F2

2M

)2

Jout(x)Jin(y)]

= 2∑ Pℓ+ℓh+λ

Wℓj

∫dx dy θ(x− y)Kout(h, ℓj, λ : x)Kin(h, ℓj, λ : y) (4.65)

ただし

Kα(h, ℓj, λ : x) = F1jλ(qx)Dα(h, ℓj, λ : x)− qF2

2MJα(h, ℓj, λ : x) , α = out , in (4.66)

である。Gh(Γ−q, Γq : E, q) は q の向きに依存しないから

Gh(Γq, Γ−q : E,−q) = Gh(Γ−q, Γq : E, q) = Gh(E, q)

である。したがって, (4.46)より

Π(q0, q) =∑h

(Gh(Eh + q0, q) +G∗

h(Eh − q0, q))

(4.67)

結局, (4.65)の 2重責分を実行することになる。

Kα(h, ℓj, λ : x) の具体形を求める。(4.59), (4.61), (4.64)から

Jout(h, ℓj, λ : x) =∑

λ′=λ±1

iλ−λ′+1⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩ jλ′(qx)

×(C

(+)hℓjλ′λ fh(x)vℓj(x) + C

(−)hℓjλ′λ gh(x)uℓj(x)

)ただし (4.59)より

C(±)hℓjλ′λ =

∑J

√(2λ′ + 1)(2λ+ 1)(2j + 1)(2J + 1)W (1jλ′jh; Jλ)⟨J 1

2 λ′ 0 | jh 1

2 ⟩

×(⟨ j 1

2 1 0 | J 12 ⟩ ± (−1)j+ℓ−1/2

√2 ⟨ j − 1

2 1 1 | J 12 ⟩)

ここで

a = λ′ , b = 1 , c = jh , d = j , e = λ , f = J

とすると

C(±)hℓjλ′λ =

∑f

√(2a+ 1)(2d+ 1)(2e+ 1)(2f + 1)W (bdac; fe)

×⟨ f 12 a 0 | c

12 ⟩(⟨ d 1

2 b 0 | f12 ⟩ ± (−1)d+ℓ−1/2

√2 ⟨ d − 1

2 b 1 | f12 ⟩)

= (−1)a+b+d−c√

(2a+ 1)(2d+ 1)∑f

√(2e+ 1)(2f + 1)W (abcd; ef)

×⟨ a 0 f 12 | c

12 ⟩(⟨ b 0 d 1

2 | f12 ⟩ ± (−1)d+ℓ−1/2

√2 ⟨ b 1 d − 1

2 | f12 ⟩)


(4.57)より

C(±)hℓjλ′λ = (−1)a+b+d−c

√(2a+ 1)(2d+ 1)(

⟨ a 0 b 0 | e 0 ⟩ ⟨ e 0 d 12 | c

12 ⟩ ± (−1)d+ℓ−1/2

√2 ⟨ a 0 b 1 | e 1 ⟩ ⟨ e 1 d − 1

2 | c12 ⟩)

= (−1)λ′+1+j−jh

√(2λ′ + 1)(2j + 1)(

⟨λ′ 0 1 0 |λ 0 ⟩⟨λ 0 j 12 | jh

12 ⟩ ± (−1)j+ℓ−1/2

√2 ⟨λ′ 0 1 1 |λ 1 ⟩⟨λ 1 j − 1

2 | jh12 ⟩)

= (−1)λ′−λ+1

√(2λ+ 1)(2j + 1)(

−⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩⟨ j 12 λ 0 | jh

12 ⟩ ± (−1)j+ℓ−1/2

√2 ⟨λ −1 1 1 |λ′ 0 ⟩⟨ j − 1

2 λ 1 | jh12 ⟩)

λ′ = λ± 1 より (−1)λ′−λ+1 = 1 である。Bohr & Mottelson (3A–23)を使うと

C(±)hℓjλ′λ = −

√(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩(

⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩ ±

√2

λ(λ+ 1)⟨λ −1 1 1 |λ′ 0 ⟩

((−1)ℓ+ℓh+λκh − κℓj

))

ここで κは (4.37)で定義したものである。ℓ+ ℓh+λ =偶数の場合だけ考えるから (−1)ℓ+ℓh+λ = 1


Jout(h, ℓj, λ : x) =√(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

×(d(+)(x) fh(x)vℓj(x) + d(−)(x) gh(x)uℓj(x)

)(4.68)

ただし

d(±)(x) = −∑λ′

iλ−λ′+1⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩

×

(⟨λ 0 1 0 |λ′ 0 ⟩ ±

√2

λ(λ+ 1)⟨λ −1 1 1 |λ′ 0 ⟩

(κh − κℓj

))jλ′(qx)

⟨λ −m 1m |λ′ 0 ⟩ はλ′ m = 1 m = 0

λ+ 1

√λ

2(2λ+ 1)

√λ+ 1

2λ+ 1

λ− 1

√λ+ 1

2(2λ+ 1)−√

λ

2λ+ 1

であるから ( λ = 0 のとき λ′ = λ+ 1 だけ )

d(±)(x) =1

2λ+ 1

(λjλ−1(qx)− (λ+ 1) jλ+1(qx)±

(κℓj − κh

)(jλ−1(qx) + jλ+1(qx)

))jλ(ρ) の性質 ( λ = 0 )

(2λ+ 1)jλ = ρ(jλ−1 + jλ+1

), jλ−1 =

(d

dρ+λ+ 1

ρ

)jλ , jλ+1 =

(− d

dρ+λ

ρ

)jλ

より

d(±)(x) = j′λ(qx)±(κℓj − κh

)jλ(qx)qx

(4.69)


λ = 0 の場合 ⟨ j 12 λ 0 | jh

12 ⟩ から j = jh であり ℓ+ ℓh + λ =偶数より ℓ = ℓh になるから κℓj = κh

である。したがって, (4.69)は λ = 0 のときも成り立つ。(4.53), (4.66), (4.68), (4.69)から

Kout(h, ℓj, λ : x) =√

(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 12 λ 0 | jh

12 ⟩Lout(h, ℓj, λ : x)

ただし

Lout(h, ℓj, λ : x) = F1 jλ(qx)(fh(x)uℓj(x) + gh(x) vℓj(x)

)− q

F2

2M

[j′λ(qx)

(fh vℓj + gh uℓj

)+(κℓj − κh

)jλ(qx)qx

(fh vℓj − gh uℓj

)](4.70)

同様にして

Kin(h, ℓj, λ : x) =√(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩Lin(h, ℓj, λ : x)

Lin(h, ℓj, λ : x) = F1 jλ(qx)(fh(x) fℓj(x) + gh(x) gℓj(x)

)− q

F2

2M

[j′λ(qx)

(fh gℓj + gh fℓj

)+(κℓj − κh

)jλ(qx)qx

(fh gℓj − gh fℓj

)](4.71)

である。Lα を用いれば

Gh(E, q) = 2∑ Pℓ+ℓh+λ

Wℓj(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

2

×∫dx dy θ(x− y)Lout(h, ℓj, λ : x)Lin(h, ℓj, λ : y) (4.72)

Lα の書き換え

A1(x) = F1

(fh uℓj + gh vℓj

)− F2

2M

κℓj − κhx

(fh vℓj − gh uℓj

), A2(x) =

F2

2M


)B1(x) = F1

(fh fℓj + gh gℓj

)− F2

2M

κℓj − κhx

(fh gℓj − gh fℓj

), B2(x) =

F2

2M

(fh gℓj + gh fℓj

)とおくと

Lout = jλ(qx)A1(x)−djλ(qx)

dxA2(x) , Lin = jλ(qx)B1(x)−

djλ(qx)

dxB2(x)

であるから

I =

∫dx dy θ(x− y)Lout(h, ℓj, λ : x)Lin(h, ℓj, λ : y) = I1 + I2 + I3 + I4

ただし

I1 =

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)A1(x)jλ(qy)B1(y)

I2 = −∫dx dy θ(x− y)

djλ(qx)

dxA2(x)jλ(qy)B1(y)

I3 = −∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)A1(x)

djλ(qy)

dyB2(y)

I4 =

∫dx dy θ(x− y)

djλ(qx)

dxA2(x)

djλ(qy)

dyB2(y)


である。

I2 = −∫dy jλ(qy)B1(y)

([θ(x− y) jλ(qx)A2(x)

]x=∞

x=0−∫dx jλ(qx)

d

dxθ(x− y)A2(x)

)θ(−y) = 0 , A2(x)

x→∞−−−−→ 0 であるから

I2 =

∫dy jλ(qy)B1(y)

∫dx jλ(qx)

(δ(x− y)A2(x) + θ(x− y)A′

2(x))

=

∫dx j2λ(qx)A2(x)B1(x) +

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)A

′2(x)jλ(qy)B1(y)

になる。

I3 = −∫dx jλ(qx)A1(x)

([θ(x− y) jλ(qy)B2(y)

]y=∞

y=0−∫dy jλ(qy)

d

dyθ(x− y)B2(y)

)θ(x−∞) = 0 , B2(y)

y→0−−−−→ 0 より

I3 = −∫dx j2λ(qx)A1(x)B2(x) +

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)A1(x)jλ(qy)B

′2(y)

である。同様にして

I4 = −∫dx jλ(qx)

djλ(qx)

dxA2(x)B2(x)−

∫dx jλ(qx)A

′2(x)

∫dy θ(x− y)

djλ(qy)

dyB2(y)

= −∫dx jλ(qx)

djλ(qx)

dxA2(x)B2(x)−

∫dx j2λ(qx)A

′2(x)B2(x)

+


′2(x)jλ(qy)B

′2(y)

=1

2

∫dx j2λ(qx) (A2B2)

′ −∫dx j2λ(qx)A

′2(x)B2(x) +


′2(x)jλ(qy)B

′2(y)

したがって

I =

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)

(A1(x) +A′

2(x))jλ(qy)

(B1(y) +B′

2(y))

+

∫dx j2λ(qx)

(A2B1 −A1B2 +

A2B′2 −A′

2B2

2

)になる。

M±(E) =M + VS(x)±(V0(x)− E

)とすると, ディラック方程式 (4.35), (4.36)より

d

dx


)=(− κh

xfh +M−(Eh)gh

)vℓj + fh

(κℓjxvℓj +M+(E)uℓj

)+(κhxgh +M+(Eh)fh

)uℓj + gh

(−κℓjxuℓj +M−(E)vℓj

)=κℓj − κh

x

(fhvℓj − ghuℓj

)+ 2M+fhuℓj + 2M−ghvℓj

ただし

M± =M±(Eh) +M±(E)

2=M + VS(x)±

(V0(x)−

E + Eh

2

)


これから

Aout(h, ℓj : x) ≡ A1 +A′2 =

(F1 +

M+

MF2

)fhuℓj +

(F1 +

M−

MF2

)ghvℓj (4.73)

Ain(h, ℓj : x) ≡ B1 +B′2 =

(F1 +

M+

MF2

)fhfℓj +

(F1 +

M−

MF2

)ghgℓj (4.74)

である。また, A, B の定義から

A2B1 −A1B2 =F2

2M

(uℓjgℓj − vℓjfℓj

)(F1

(g2h − f2h

)− F2

M

κℓj − κhx

fhgh

)A2B

′2 −A′

2B2

2=

(F2

2M

)2 (uℓjgℓj − vℓjfℓj

)(κℓj − κhx

fhgh − M+f2h + M−g

2h

)以上から

I =

∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)Aout(h, ℓj : x)jλ(qy)Ain(h, ℓj : y)

−WℓjF2

2M

∫dx j2λ(qx)

(F1

(f2h − g2h

)+

F2

2M

(M+f

2h − M−g

2h +

κℓj − κhx

fhgh

))になる。したがって


Wℓj(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

2

×∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)Aout(h, ℓj : x)jλ(qy)Ain(h, ℓj : y)

− F2

M

∑Pℓ+ℓh+λ (2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

2

×∫dx j2λ(qx)

(F1

(f2h − g2h

)+

F2

2M

(M+f

2h − M−g

2h +

κℓj − κhx

fhgh

))(4.75)

1重積分の部分は実数であり ImGh には寄与しないから, 縦方向応答関数は

R(q0, q) =1

πIm∑h

(Gh(Eh + q0, q) +G

∗h (Eh − q0, q)

)ただし


Wℓj(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

2

×∫dx dy θ(x− y) jλ(qx)Aout(h, ℓj : x)jλ(qy)Ain(h, ℓj : y)

になる。

束縛状態の波動関数 fh, gh 及び原点で正則な解 fℓj , gℓj は実関数である。一方, uℓj , vℓj は E2 >

M2 の場合複素数になる。Eh として反核子は無視し核子の占有状態だけを扱う場合 Eh =M −εh ,( 0 < εh ≪M )とおけるから

q0 > εh のとき ImGh(Eh + q0, q) = 0 , q0 > 2M − εh のとき ImG∗h (Eh − q0, q) = 0

である。準弾性散乱では q0 ≪ 2M であるから G∗h (Eh − q0, q) の寄与は考えなくてよい。


まとめ縦方向応答関数

R(q0, q) =1

πIm∑h

Gh(Eh + q0, q) (4.76)

Gh(E, q) = 2∑ℓjλ

Pℓ+ℓh+λ

Wℓj(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

2

×∫ ∞

0

dx jλ(qx)Aout(h, ℓj : x)

∫ x

0

dy jλ(qy)Ain(h, ℓj : y) (4.77)

ただし

Aout(h, ℓj : x)

Ain(h, ℓj : x)

=

(F1 +

M+

MF2

)fh(x)

uℓj(x)

fℓj(x)

+

(F1 +

M−

MF2

)gh(x)

vℓj(x)

gℓj(x)

M± =M + VS(x)±(V0(x)−

E + Eh

2

), Wℓj = uℓj(x)gℓj(x)− vℓj(x)fℓj(x) =定数

F1, F2 は (4.23)∼ (4.25)で与えられる。(u, v) = (uℓj , vℓj) , (fℓj , gℓj) は

du

dx= − κℓj

xu+

(M + VS − V0 + E

)v ,

dv

dx=κℓjxv +

(M + VS + V0 − E

)u (4.78)

κℓj = (−1)j+ℓ+1/2

(j +

1

2

)=

ℓ , j = ℓ− 1/2 のとき

− ℓ− 1 , j = ℓ+ 1/2 のとき

の解で境界条件

uℓjx→∞−−−−→ kxh

(+)ℓ (kx) , vℓj(x)

x→∞−−−−→ ∓ k

M + Ekxh

(+)ℓ±1(kx) , j = ℓ± 1/2 (4.79)

ただし

k =

√E2 −M2 , E2 > M2

i√M2 − E2 , E2 < M2

または

fℓjx→0−−−−→ xℓ+1 , gℓj

x→0−−−−→

2ℓ+ 1

M + VS(0)− V0(0) + Exℓ , j = ℓ− 1/2

M + VS(0) + V0(0)− E

2ℓ+ 3xℓ+2 , j = ℓ+ 1/2

(4.80)

を満たす。

4.10 数値計算

ディラック方程式 (4.78)は X1(x) = u(x) , X2(x) = v(x) とすると

dX1

dx= F1(X1, X2, x) ,

dX2

dx= F2(X1, X2, x)

ただし

F1(X1, X2, x) = − κℓjxX1 +

M + E + VS(x)− V0(x)

ℏcX2

F2(X1, X2, x) =κℓjxX2 +

M − E + VS(x) + V0(x)

ℏcX1


になるから Runge–Kutta法が適用できる。

束縛状態の波動関数と固有値

固有値 Eh の求め方はシュレディンガー方程式の場合と同様である。xmin ≤ x ≤ xmax の範囲で解

くとする。E を与えて, 適当な中間点 xm まで xmin から x を増加させて得られる fh(x), gh(x) を

f<(E, x), g<(E, x) とし, xmax から x を減少させて xm まで解いて求まる fh(x), gh(x) を f>(E, x),

g>(E, x) とすると

W (E) = g<(E, xm) f>(E, xm)− f<(E, xm) g>(E, xm) = 0

になる E が求めたい Eh である。

x = xmin での境界条件は (4.80)である。束縛状態の場合 Eh < M であるから k =√M2 − E2

h

と置きなおすと, (4.79)より

fh(x)x→∞−−−−→ ikx h

(+)ℓ (ikx) = e−kx−i(ℓ+1)π/2 (1 + · · · )

gh(x)x→∞−−−−→ ± ik

M + Ehikx h

(+)ℓ∓1(ikx) = − k

M + Ehe−kx−i(ℓ+1)π/2 (1 + · · · )

であるから, x = xmax では

fh(x) = e−kx , gh(x) = − k

M + Ehe−kx

とする。規格化は ∫ ∞

0

dx(f2h(x) + g2h(x)

)= 1

である。

境界条件 (4.79), (4.80)の解

x = xmax での初期条件を (4.79)とし x を減少させて xmin まで解けばよい。陽子の場合, 純粋な

クーロン波動関数を初期条件に用いるべきである。しかし, その代わりに, xmax を束縛状態を求め

る場合の設定とは別の Xmax にして ( Xmax > xmax ) この点での値を

ρh(+)ℓ (ρ) = exp

(i

(ρ− ℓ+ 1

2π

))(1 + i

ℓ(ℓ+ 1)

2

1

ρ

)で近似して, xmin ≤ x ≤ xmax の部分を使うのでもよいだろう。境界条件 (4.80)の解は x = xmin で

の初期条件を (4.80)とし x を増加させて xmax まで求める。

(4.77)の和

(4.77)は

Gh(E, q) = 2

λmax∑λ=0

∑ℓj

Pℓ+ℓh+λ

Wℓj(2λ+ 1)(2j + 1) ⟨ j 1

2 λ 0 | jh12 ⟩

2

×∫ ∞

0

dx jλ(qx)Aout(h, ℓj : x)

∫ x

0

dy jλ(qy)Ain(h, ℓj : y)

である。厳密には λmax = ∞ であるが, 有限な λmax で λ についての和は数値的には収束する。

ℓh , jh と λ が与えられたとき ℓ と j は

ℓ+ ℓh + λ = even , | jh − λ | ≤ j ≤ jh + λ


で制限される。第 1式から

ℓ = ℓh + λ− 2n , n =整数

とおける。

j = ℓ+ 1/2 のとき

nmin =2ℓh − 2jh + 1

4≤ n ≤ nmax =

2ℓh + 2λ− 2| jh − λ |+ 1

4

である。ℓ ≥ 0 であるためには n ≤ (ℓh + λ)/2 でなければならないが

ℓh + λ

2− 2ℓh + 2λ− 2| jh − λ |+ 1

4=

2| jh − λ | − 1

4≥ 0

であるから自動的に満たす。

2ℓh − 2jh + 1

4=

0 , jh = lh + 1/2

1/2 , jh = lh − 1/2, したがって nmin =

0 , jh = lh + 1/2

1 , jh = lh − 1/2

数値計算上では整数/整数は切り下げになるから

nmin =2ℓh − 2jh + 1 + 2

4

とすればよい。

j = ℓ− 1/2 のとき

nmin =2ℓh − 2jh − 1

4≤ n ≤ nmax =

2ℓh + 2λ− 2| jh − λ | − 1

4

である。ℓ ≥ 1 より n ≤ (ℓh + λ− 2)/2 である。

ℓh + λ− 2

2− 2ℓh + 2λ− 2| jh − λ | − 1

4=

2| jh − λ | − 3

4

したがって

nmax =

ℓh + λ− 2

2| jh − λ | = 1/2

2ℓh + 2λ− 2| jh − λ | − 1

4| jh − λ | > 1/2

である。一方

2ℓh − 2jh − 1

4=

−1/2 , jh = lh + 1/2

0 , jh = lh − 1/2, したがって nmin = 0

になる。

2重積分

I =

∫ ∞

0

dx f(x)

∫ x

0

dy g(y) =

∫ ∞

0

dx f(x)G(x) , G(x) =

∫ x

0

dy g(y)

x を ∆x の刻みで分割して

xk = x0 + k∆x , 0 ≤ k ≤ K

とし台形則を使うと

I =

(fKGK

2+

K−1∑k=1

fkGk

)(∆x)

2


ただし

Gk =g0 + gk

2+

k−1∑j=1

gj (4.81)

である。k が与えられる毎に j について k − 1 まで和をとるのは非常に無駄である。

gk−1 + gk2

+Gk−1 =gk−1 + gk

2+g0 + gk−1

2+

k−2∑j=1

gj =g0 + gk

2+

k−1∑j=1

gj = Gk

したがって, 漸化式

G0 = 0 , Gk =gk−1 + gk

2+Gk−1 ( k ≥ 1 )

を用いればよい。(4.81)を用いた場合 I を求めるのに必要な和の回数は K2 のオーダーであるが,

漸化式を用いれば K のオーダーになる。

4.11 クーロン波動関数

クーロンポテンシャル VC(x) は 1/x でゆっくり減少する。したがって, 中性子に対しては, 自由

粒子の解 (4.79)は, 例えば x ≈ 3R 程度でも非常によい近似になるが, 陽子に対しては, x を極端に

大きくとらないと (4.79)はよい近似解にはならない。

純粋なクーロンポテンシャルの解析解を求める。(4.35), (4.36)において

VS(x) = 0 , V0(x) =Zα

x

の場合

du

dx= − κℓj

xu(x) +

(M − Zα

x+ E

)v(x) ,

dv

dx=κℓjxv(r) +

(M +

Zα

x− E

)u(x) (4.82)

x→ ∞ のときdu

dx= (E +M) v ,

dv

dx= − (E −M)u

であるからd2u

dx2= − k2 u ,

d2v

dx2= − k2 v , k =

√E2 −M2

したがって, u, v ともに e±ikr になる。一方, x→ 0 では

du

dx= − κℓj

xu− Zα

xv ,

dv

dx=κℓjxv +

Zα

xu

になるから, u = Cu xa , v = Cv x

a とすると

(a+ κℓj)Cu = −ZαCv , (a− κℓj)Cv = ZαCu

これから

a = ± γ , γ =√κ2ℓj − Z2α2

以上から

u = Cu e−ρ/2ργ (G1 +G2) , v = Cv e

−ρ/2ργ (G1 −G2) , ρ = −2ikx


とおくと, (4.82)の最初の式は

ρ

(dG1

dρ+dG2

dρ

)+ (γ + κℓj) (G1 +G2)

− 1

2

(1− E +m

ik

Cv

Cu

)ρG1 −

1

2

(1 +

E +m

ik

Cv

Cu

)ρG2 + Zα

Cv

Cu(G1 −G2) = 0

したがって

Cv =ik

E +MCu = i

√E −M

E +MCu

すると

ρ

(dG1

dρ+dG2

dρ

)+ (γ + κℓj) (G1 +G2)− ρG2 + i

Zαk

E +M(G1 −G2) = 0

同様にして, 2番目の式から

ρ

(dG1

dρ− dG2

dρ

)+ (γ − κℓj) (G1 −G2) + ρG2 + i

Zαk

E −M(G1 +G2) = 0

これらの和, 差をとれば

ρdG1

dρ+ (γ + iν)G1 + (κℓj + iµ)G2 = 0 (4.83)

ρdG2

dρ+ (γ − iν − ρ)G2 + (κℓj − iµ)G1 = 0 (4.84)

ただし

ν =ZαE

k, µ =

ZαM

k

最初の式を ρ で微分し, dG2/dρ に第 2式を代入すると

ρd2G1

dρ2+ (1 + 2γ − ρ)

dG1

dρ− (γ + iν)G1 = 0 (4.85)

同様にして

ρd2G2

dρ2+ (1 + 2γ − ρ)

dG2

dρ− (1 + γ + iν)G2 = 0 (4.86)

これらは合流型超幾何微分方程式(zd2

dz2+ (b− z)

d

dz− a

)w(z) = 0

である。原点で正則な解は

w =M(a, b, z) =

∞∑n=0

(a)n(b)n

zn

n!, (a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) · · · (a+ n− 1)

正則でない解は

w = z1−bM(1 + a− b, 2− b, z)

である。あるいは

U(a, b, z) =π

sinπb

(M(a, b, z)

Γ (1 + a− b)Γ (b)− z1−bM(1 + a− b, 2− b, z)

Γ (a)Γ (2− b)

)とすると, 独立な 2つの解として

U(a, b, z) , ezU(b− a, b,−z)


を採用してもよい。

無限遠で外向き球面波 eikx になる解を求める。(4.85), (4.86)の解として

G1(ρ) = C1 U(γ + iν, 1 + 2γ, ρ ) , G2(ρ) = C2 U(1 + γ + iν, 1 + 2γ, ρ )

を考える。これらを (4.83)に代入し (13.4.23)

zd

dzU(a, b, z) = a(1 + a− b)U(a+ 1, b, z)− aU(a, b, z)

を使うと

ρdG1

dρ+ (γ + iν)G1 + (κℓj + iµ)G2

=(−(γ + iν)(γ − iν)C1 + (κℓj + iµ)C2

)U(1 + γ + iν, 1 + 2γ, ρ ) = 0

したがって

C2 =γ2 + ν2

κℓj + iµC1 = (κℓj − iµ)C1

これから

u = Cue−ρ/2ργ

(U(γ + iν, 1 + 2γ, ρ ) + (κℓj − iµ)U(1 + γ + iν, 1 + 2γ, ρ )

)(4.87)

v =ik

E +MCue

−ρ/2ργ(U(γ + iν, 1 + 2γ, ρ )− (κℓj − iµ)U(1 + γ + iν, 1 + 2γ, ρ )

)(4.88)

になる。

Handbook of mathmatical functions (13.5.2)から

U(a, b, z) = z−ag(a, 1 + a− b,−z) , ただし g(a, b, z) =∞∑

n=0

(a)n(b)nn! zn

である。

ρ−iν = exp (−iν log ρ) = exp(−iν(log 2kx− iπ/2)

)より

u = Cue−πν/2ei(kx−ν log 2kx)

×(g(γ + iν, −γ + iν, 2ikx)− κℓj − iµ

2ikxg(1 + γ + iν, 1− γ + iν, 2ikx)

)(4.89)

v =ik

E +MCue

−πν/2ei(kx−ν log 2kx)

×(g(γ + iν, −γ + iν, 2ikx) +

κℓj − iµ

2ikxg(1 + γ + iν, 1− γ + iν, 2ikx)

)(4.90)

x −→ ∞ のとき g −→ 1 であるから

u −→ Cue−πν/2ei(kx−ν log 2kx) , v −→ ik

E +MCue

−πν/2ei(kx−ν log 2kx)

(4.87), (4.88)は無限遠で外向き球面波になる。

陽子に場合, (4.79)の代わりに (4.87), (4.88), あるいは (4.89), (4.90)を使った方が正確である。

5 軸対称変形核におけるDIRAC–HARTREE方程式 84

5 軸対称変形核におけるDirac–Hartree方程式

Y. K. Gambhir, P. Ring and A. Thimet, Ann. Phys. 198 (1990) 132

S.-J. Lee et al., Phys. Rev. Lett. 57 (1986) 2916

C. E. Price and G. E. Walker, Phys. Rev. C36 (1987) 354

R. J. Furnstahl, C. E. Price and G. E. Walker, Phys. Rev. C36 (1987) 2590

5.1 Dirac–Hartree方程式

Dirac–Hartree方程式

ラグランジアン L として

L = ψ (iγ∂ −M)ψ +1

2(∂σ)

2 − U(σ)− 1

4ωµνωµν +

1

2m2

ωω2 − 1

4ρµν ρµν +

1

2m2

ρρ2 − 1

4AµνAµν

− gσψψσ − gωψγµψωµ − gρψγ

µτψρµ − eψγµτpψAµ

ただし

U(σ) =m2

σ

2σ2 +

g23σ3 +

g34σ4

を考える。変分原理から

∂L∂ψ

= (iγ∂ −M)ψ − gσψσ − gωγµψωµ − gργ

µτψρµ − eγµτpψAµ = 0

∂L∂σ

⇒ − ∂2σ − U ′(σ)− gσψψ = − ∂2σ −m2σσ − g2σ

2 − g3σ3 − gσψψ = 0

∂L∂ωµ

⇒ ∂2ωµ +m2ωω

µ − gωψγµψ = 0

∂L∂ρµ

⇒ ∂2ρµ +m2ρρ

µ − gργµτψ = 0

∂L∂Aµ

⇒ ∂2Aµ − eψγµτpψ = 0

である。γ∂ = γ0∂t + γ ·∇ より ψ の満たす方程式は

i∂tψ = γ0

(−iγ ·∇+M + gσσ + gωγ

µωµ + gργµτ ρµ + eγµτpAµ

)ψ

になる。staticな平均場で近似すると[α·(−i∇− V (r)

)+ β

(M + Uσ(r)

)+ U(r)

]ψi(r) = Ei ψi(r)

ただし

U(r) = U0ω + τ ·U0

ρ + τpU0γ , V (r) = Uω + τ ·Uρ + τpUγ

ここで U は

Uσ = gσσ , Uµω = gωω

µ , Uµρ = gρρ

µ , Uµγ = eAµ

であり (−∇2 +m2

σ

)Uσ = − g2σ ρs −

g2gσU2σ − g3

g2σU3σ(

−∇2 +m2ω

)Uµω = g2ωJ

µ(−∇2 +m2

ρ

)Uµρ = g2ρJ

µρ

−∇2Uµγ = e2Jµ

p


を満たす。ただし

ρs =∑i

ψiψi , Jµ =∑i

ψiγµψi , Jµ

ρ =∑i

ψiτ γµψi , Jµ

p =∑i

ψiτpγµψi

である。

4成分スピノールを

ψ(r) =

(f(r)

i g(r)

)とし

P = P = σ ·∇ , V = −iσ ·V

とすると, Dirac方程式は M∗ + U − iP − iV

− iP − iV −M∗ + U

f

ig

= E

f

ig

つまり

(P + V ) g + (M∗ + U) f = E f , − (P + V ) f − (M∗ − U) g = E g

になる。適当な基底系 |α ⟩ で展開して

f(r) =∑α

fα|α ⟩ , g(r) =∑α

gα|α ⟩

とすると ∑α′

A(+)αα′ Pαα′ + Vαα′

−Pαα′ − Vαα′ −A(−)αα′

fα′

gα′

= E

fα

gα

(5.1)

ただし

Pαα′ = ⟨α |P |α′ ⟩ , Vαα′ = ⟨α |V |α′ ⟩ , A(±)αα′ = ⟨α |M∗ ± U |α′ ⟩

基底

2次元等方調和振動子の固有関数は

√2

bRnm(q)

eimφ

√2π

, Rnm(q) = Nnm q|m|/2e−q/2L(|m|)n (q) (5.2)

である。ここで

q =r2

b2, b =

√ℏMω

, Nnm =

√n!

(n+ |m|)!

このとき固有値は Enm = ℏω (2n+ |m|+ 1) である。Nnm は規格化から

2

b2

∫ ∞

0

dr r R2nm(q) = N2

nm

(n+ |m|)!n!

= 1 , つまり Nnm =

√n!

(n+ |m|)!

z軸が軸対称な調和振動子の場合, 波動関数は

ψ(r) =

√2

b30Rnm(q)ϕn3(ζ)

eimφ

√2π

, ϕn3(ζ) = Nn3Hn3(ζ) e−ζ2/2


ただし

b30 = b2b3 , b3 =

√ℏ

Mω3, ζ =

z

b3, Nn =

(√π 2nn!

)−1/2

である。

4成分スピノール

ψ(r) =

(f(r)

ig(r)

)を 2成分スピノール |α ⟩ を用いて

f(r) =∑α

fα|α ⟩ , g(r) =∑α

gα|α ⟩

と展開する。ただし, α = n, n3,m,ms として

|α ⟩ =

√2

b30Rnm(q)ϕn3(ζ)

eimφ

√2π

|ms⟩

規格化から ∑α

(f2α + g2α

)= 1

である。

5.2 行列要素

P の行列要素

円筒座標を r, φ, z とすると

∂x = cosφ∂r −sinφ

r∂φ , ∂y = sinφ∂r +

cosφ

r∂φ

であるから

P = σz∂z +σ+2e−iφ

(∂r −

i∂φr

)+σ−2eiφ(∂r +

i∂φr

)の行列要素は

⟨α |P |α′⟩ = δnn′δmm′δmsm′s2msBn3n′

3

+ δn3n′3

(δm+1m′δms m′

s+1δn3n′3Cnmn′m′ + δmm′+1δms+1m′

sDnmn′m′

)になる。ただし

Bn3n′3=

1

b3

∫ ∞

−∞dζ ϕn3

dϕn′3

dζ

Cnmn′m′ =

∫ ∞

0

dq Rnm

(∂r +

m′

r

)Rn′m′ =

1

b

∫ ∞

0

dq q−1/2Rnm

(2q

d

dq+m′

)Rn′m′

Dnmn′m′ =

∫ ∞

0

dq Rnm

(∂r −

m′

r

)Rn′m′ =

1

b

∫ ∞

0

dq q−1/2Rnm

(2q

d

dq−m′

)Rn′m′

である。1次元調和振動子の固有関数 ϕn(ζ) は

dϕndζ

=

√n

2ϕn−1 −

√n+ 1

2ϕn+1 (5.3)


を満たすから

Bn3n′3=

1

b3

(√n′3/2 δn3 n′

3−1 −√n3/2 δn3 n′

3+1

)となる。また, m′ = m+ 1 のとき

Cnmn′m′ =

1

b

(√n δn′ n−1 +

√n+m+ 1 δn′n

), m ≥ 0

− 1

b

(√n′ δn′ n+1 +

√n′ −m′ + 1 δn′n

), m < 0

(5.4)

m = m′ + 1 のとき

Dnmn′m′ = −Cn′m′ nm =

− 1

b

(√n′ δn′ n+1 +

√n′ +m′ + 1 δn′n

), m′ ≥ 0

1

b

(√n δn′ n−1 +

√n−m+ 1 δn′n

), m′ < 0

(5.5)

である。(5.4), (5.5)の導出は付録。

ポテンシャルの行列要素

軸対称を仮定すると U(r) は角度 φ に依存しない。また, U(r, z) = U(r,−z) である。密度は(e−q/2e−ζ2/2

)2= e−(2q)/2e−(

√2ζ)2/2

に比例するから

U(r, z) =∑nn3

Unn3Rnm=0(2q)ϕn3(√2ζ) , n3 = even

と展開すると ( U = Uω + τ3U0ρ + τpU

0γ )

⟨α |M∗ ± U |α′⟩ = δαα′M + δmm′ δmsm′s

∫dq dζ Rnm(q)ϕn3(ζ) (Uσ ± U)Rn′m(q)ϕn′

3(ζ)

= δαα′M + δmm′ δmsm′sA(±)(nn3, n

′n′3;m) (5.6)

ただし

A(±)(nn3, n′n′3;m) =

∑n′′n′′

3

(Uσ ±

(U0ω + τ3U

0ρ + τpU

0γ

))n′′n′′

3

Lm(n, n′;n′′)H(n3, n′3;n

′′3)

Lm(n, n′; n′′) = NnmNn′m

∫ ∞

0

dq e−2q q|m| L(|m|)n (q)L

(|m|)n′ (q)Ln′′(2q)

H(n, n′; n′′) = NnNn′Nn′′

∫ ∞

−∞dζ e−2ζ2

Hn(ζ)Hn′(ζ)Hn′′(√2ζ)

H(n, n′; n′′) は解析的に求まる。

ベクトルポテンシャルの行列要素

ベクトルを円柱座標の r, φ, z 成分で表すと

σ ·V = σzVz + σrVr + σφVφ

ここで

σr = σx cosφ+ σy sinφ =1

2

(σ+e

−iφ + σ−eiφ)

σφ = −σx sinφ+ σy cosφ = − i

2

(σ+e

−iφ − σ−eiφ)


である。これから

− i ⟨α |σφVφ |α′ ⟩ = 1

2⟨α |

(σ−e

iφ − σ+e−iφ)Vφ |α′ ⟩

= δms m′s−1

1

2π

∫dq dζ dφRnm(q)Rn′m′(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ) ei(m

′+1−m)φVφ(r)

− δms m′s+1

1

2π

∫dq dζ dφRnm(q)Rn′m′(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ) ei(m

′−1−m)φVφ(r)

Vφ(r) が φ に依存しないならば

− i ⟨α |σφVφ |α′ ⟩ = δms m′s−1δmm′+1

∫dq dζ Rnm(q)Rn′m′(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ)Vφ(r, z)

− δms m′s+1δmm′−1

∫dq dζ Rnm(q)Rn′m′(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ)Vφ(r, z)

U(r, z) とは異なり

Vφ =∑nn3

V (φ)nn3

Rnm=1(2q)ϕn3(√2ζ)

と展開すると

− i ⟨α |σφVφ |α′ ⟩ = δms m′s−1δmm′+1

∑n′′n′′

3

V(φ)n′′n′′

3Lm−1(n

′, n;n′′)H(n3, n′3;n

′′3)

− δms m′s+1δmm′−1

∑n′′n′′

3

V(φ)n′′n′′

3Lm(n, n′;n′′)H(n3, n

′3;n

′′3)

= δms m′s−1δmm′+1Vn′n′

3 nn3(m− 1)− δms m′

s+1δmm′−1Vnn3 n′n′3(m)

ただし

Vnn3 n′n′3(m) =

∑n′′n′′

3

V(φ)n′′n′′

3Lm(n, n′;n′′)H(n3, n

′3;n

′′3)

Lm(n, n′;n′′) =

∫dq Rnm(q)Rn′ m+1(q)Rn′′ 1(2q)

=

√2NnmNn′ m+1√

n′′ + 1

∫dq e−2qq(|m|+1)/2+|m+1|/2L(|m|)

n (q)L(|m+1|)n′ (q)L

(1)n′′ (2q)

である。m > 0 とすると

Lm(n, n′;n′′) =

√2NnmNn′ m+1√

n′′ + 1

∫dq e−2qqm+1L(m)

n (q)L(m+1)n′ (q)L

(1)n′′ (2q)

L−m(n, n′;n′′) = Lm−1(n′, n ;n′′) Vnn3 n′n′

3(−m) = Vn′n′

3 nn3(m− 1)

固有値方程式

Jz とパリティはよい量子数である。

Jz|α ⟩ = (m+ms) |α ⟩ , P |α ⟩ = (−)m+n3 |α ⟩

Jz の固有値を Ω とし m0 = Ω− 1/2 すると, 4成分スピノールのパリティ演算子は γ0P であるから

f(r) =∑nn3

m0+n3

f (+)nn3 m=m0

|nn3m0⟩| 12 ⟩+∑nn3

m0+1+n3

f(−)nn3 m=m0+1 |nn3m0 + 1⟩| − 1

2 ⟩

g(r) =∑nn3

m0+n3+1

g(+)nn3 m=m0

|nn3m0⟩|12 ⟩+∑nn3

m0+n3

g(−)nn3 m=m0+1 |nn3m0 + 1⟩| − 1

2 ⟩


である。和の下の, 例えば m0 + n3 はパリティ+1 のとき even, −1 のとき odd になる組合せだけ

をとる。簡単のため

f (+)nn3

= f (+)nn3 m=m0

, f (−)nn3

= f(−)nn3 m=m0+1 , g(+)

nn3= g

(+)nn3 m=m0+1 , g(−)

nn3= f (−)

nn3 m=m0

とおくと ( a = n, n3 )

∑a′

A

(+)aa′ (m0) 0 Baa′ Caa′ − Vaa′(m0)

0 A(+)aa′ (m0 + 1) Daa′ + Va′a(m0) −Baa′

−Baa′ −Caa′ + Vaa′(m0) −A(−)aa′ (m0) 0

−Daa′ − Va′a(m0) Baa′ 0 −A(−)aa′ (m0 + 1)

f(+)a′

f(−)a′

g(+)a′

g(−)a′

= E

f(+)a

f(−)a

g(+)a

g(−)a

(5.7)

ただし

A(±)aa′ (m) = δaa′M +A(±)(nn3, n

′n′3;m)

Baa′ =δnn′

b3

(√n′3/2 δn3 n′

3−1 −√n3/2 δn3 n′

3+1

)= −Ba′a

Caa′ = δn3n′3Cnm0 n′m0+1 =

δn3n′3

b×

(√

n δn′ n−1 +√n+m0 + 1 δn′n

), m0 ≥ 0

−(√

n′ δn′ n+1 +√n′ −m0 δn′n

), m0 < 0

Daa′ = δn3n′3Dnm0+1n′m0

=δn3n′

3

b×

−(√

n′ δn′ n+1 +√n′ +m0 + 1 δn′n

), m0 ≥ 0(√

n δn′ n−1 +√n−m0 δn′n

), m0 < 0

= −Ca′a

5.3 Klein–Gordon方程式

ベクトルポテンシャル U の場合 (−∇2 +m2

b

)U = g2J

を Uφ, Ur で表すと(−∇2 +m2

b

)(Ur cosφ− Uφ sinφ) = g2J1 ,

(−∇2 +m2

b

)(Ur sinφ+ Uφ cosφ) = g2J2

である。U が φ に依存しないとすると

∇2U cosφ =

(1

r∂rr∂r + ∂2z +

1

r2∂2φ

)U cosφ = cosφ

(∇2 − 1

r2

)U

になるから

cosφ(−∇2 +m2

b

)Ur − sinφ

(−∇2 +m2

b

)Uφ +

cosφ

r2Ur −

sinφ

r2Uφ = g2J1

sinφ(−∇2 +m2

b

)Ur + cosφ

(−∇2 +m2

b

)Uφ +

sinφ

r2Ur +

cosφ

r2Uφ = g2J2


したがって (−∇2 +m2

b +1

r2

)Ur = g2Jr ,

(−∇2 +m2

b +1

r2

)Uφ = g2Jφ

である。

q′ = r2/b2m = 2q, ζ ′ = z/bm3 =√2 ζ とおく。ただし

bm =b√2, bm3 =

b3√2, b3m0 = b2mbm3 =

b302√2

である。ここで m > 0 を固定して

|nn3⟩ =

√2

b2mbm3Rnm(q′)ϕn3(ζ

′) , Rnm = Nnme−q′/2q′m/2L(m)

n (q′) , ϕn = Nn e−ζ′2/2Hn(ζ

′)

とすると

⟨nn3|(−∇2 +m2

b

)|n′n′3⟩ =

∫ ∞

0

dq′∫ ∞

−∞dζ ′Rnm(q′)ϕn3(ζ

′)(−∇2 +m2

)Rn′m(q′)ϕn′

3(ζ ′)

=

(2n+m+ 1

b2m+n3 + 1/2

b2m3

+m2b

)δnn′δn3n′

3

+δn3n′

3

b2m

(√n(n+m) δnn′+1 +

√n′(n′ +m) δn+1n′ −m2cnn′

)− δnn′

b2m3

(√(n3 + 1)n′3

2δn3 n′

3−2 +

√(n′3 + 1)n3

2δn3 n′

3+2

)(5.8)

ただし

cnn′ = NnmNn′m

∫ ∞

0

dq e−qqm−1L(m)n L

(m)n′

= NnmNnm′

n<∑k=0

(k +m− 1)!

k!, n< = min(n, n′)

また

⟨nn3|1

r2|n′n′3⟩ =

∫ ∞

0

dq′∫ ∞

−∞dζ ′Rnm(q′)ϕn3(ζ

′)1

r2Rn′m(q′)ϕn′

3(ζ ′)

=δn3n′

3

b2mNnmNn′m

∫ ∞

0


(m)n′ =

δn3n′3

b2mcnn′

である。

これから Klein–Gordon方程式(−∇2 +m2

b

)U(r) = g2ρ(r) , または

(−∇2 +m2

b +1

r2

)Uφ(r) = g2Jφ(r)

は

U(r) =∑nn3

Unn3 |nn3⟩ =∑nn3

Unn3 Rnm(q′)ϕn3(ζ′)

とおくと ∑n′n′

3

hnn3 n′n′3Un′n′

3= g2snn3


になる。ρ のとき m = 0, Jφ のとき m = 1 の展開を使うと

hnn3 n′n′3=

(2n+m+ 1

b2m+n3 + 1/2

b2m3

+m2b

)δnn′δn3n′

3

+δn3n′

3

b2m

(√n(n+m) δnn′+1 +

√n′(n′ +m) δn+1n′

)− δnn′

b2m3

(√(n3 + 1)n′3

2δn3 n′

3−2 +

√(n′3 + 1)n3

2δn3 n′

3+2

)

ただし ( n3 = even )

snn3 =

∫ ∞

0

dq′∫ ∞

−∞dζ ′Rn(q

′)ϕn3(ζ′) s(r) =

2

b2mbm3

∫ ∞

0

dr r

∫ ∞

−∞dz Rnm(q′)ϕn3(ζ

′) s(r)

である。

ρnn3 =

∫ ∞

0

dq′∫ ∞

−∞dζ ′Rn(q

′)ϕn3(ζ′) ρ(r) =

2

b2mbm3

∫ ∞

0

dr r

∫ ∞

−∞dz Rn(q

′)ϕn3(ζ′) ρ(r)

ρ(r) は波動関数の積であるから

ρ(r) =2

b30

1

2π

∑αα′

ραα′δmm′δmsm′sRnm(q)ϕn3(ζ)Rn′m(q)ϕn′

3(ζ) (5.9)

という形式に展開できるから

ρnn3 =1

2π

2

b2mbm3

∑α′α′′

ρα′α′′δm′m′′δm′sm

′′sLm′(n′, n′′;n)H(n′3, n

′′3 ;n3)

ρaa′ を具体的に波動関数の展開係数で表すと

(ρs)αα′ =∑i

(f (i)α f

(i)α′ − g(i)α g

(i)α′

), (ρB)αα′ =

∑i

(f (i)α f

(i)α′ + g(i)α g

(i)α′

)(ρ3)αα′ =

∑i

τi

(f (i)α f

(i)α′ + g(i)α g

(i)α′

), (ρp)αα′ =

∑i

(τp)i

(f (i)α f

(i)α′ + g(i)α g

(i)α′

)ここで i は占有されている状態についての和である。例えば, (ρB)nn3

へのある 1つの hole状態の

寄与は

1

2π

2

b2mbm3

∑α′α′′

(fα′fα′′ + gα′gα′′

)δm′m′′δm′

sm′′sLm(n′, n′′;n)H(n′3, n

′′3 ;n3)

=1

2π

2

b2mbm3

∑n′n′

3n′′n′′

3

[(f(+)n′n′

3f(+)n′′n′′

3+ g

(+)n′n′

3g(+)n′′n′′

3

)Lm0

(n′, n′′;n)H(n′3, n′′3 ;n3)

+(f(−)n′n′

3f(−)n′′n′′

3+ g

(−)n′n′

3g(−)n′′n′′

3

)Lm0+1(n

′, n′′;n)H(n′3, n′′3 ;n3)

]になる。

ρ(r) を ρnn3 で表すと

ρ(r) =∑nn3

ρnn3 Rn(q′)ϕn3(ζ

′) (5.10)


である。ρ(r)を求める場合, (5.9)よりも (5.10)の方が数値計算的には容易に求まる。

∇2ρ(r) =∑nn3

ρnn3

(1

r∂rr∂r + ∂2z

)Rn(q

′)ϕn3(ζ ′)

=∑nn3

ρnn3

(q′ − 2(2n+ 1)

b2m+ζ ′2 − (2n3 + 1)

b2m3

)Rn(q

′)ϕn3(ζ′)

= e−(q′+ζ′2)/2∑nn3

ρnn3Nn3Ln(q′)Hn3(ζ

′)

(q′ − 2(2n+ 1)

b2m+ζ ′2 − (2n3 + 1)

b2m3

)(5.11)

非線形項

Uσ は(−∇2 +m2

)Uσ(r) = − g2σρs(r)− g2gσσ

2 − g3gσσ3 = − g2σ

(ρs(r) + c2U

2σ + c3U

3σ

)を満たす。ただし

c2 =g2g3σ

, c3 =g3g4σ

である。Uσ は多項式 u を用いて

Uσ = exp(−q′/2− ζ ′2/2

)u(q′, ζ ′) , u(q′, ζ ′) =

∑nn3

Unn3Nn3

Ln(q′)Hn3

(ζ ′)

と表せる。Uσ(r) の非線形項の展開係数は

U (k)nn3

=2

b2mbm3

∫ ∞

0

dr r

∫ ∞

−∞dz Rn(q

′)ϕn3(ζ′)(Uσ(r)

)k= 2Nn3

∫ ∞

0

dq′∫ ∞

0

dζ ′ exp(−(q′ + ζ ′2

)/ck)Ln(q

′)Hn3(ζ′)u(q′, ζ ′)k

ここで ck = 2/(k + 1) である。q = q′/ck, ζ = ζ ′/√ck とおくと

U (k)nn3

= 2Nn3c3/2k

∫ ∞

0

dq

∫ ∞

0

dζ exp(−q − ζ2

)Ln(q

′)Hn3(ζ′)u(q′, ζ ′)k

となる。したがって

fnn3(q′, ζ ′) = Nn3

Ln(q′)Hn3

(ζ ′)

とすると

U (k)nn3

= 2 c3/2k

∫ ∞

0

dq

∫ ∞

0

dζ exp(−q − ζ2

)fnn3(q

′, ζ ′)u(q′, ζ ′)k

u(q′, ζ ′) =∑nn3

Unn3 fnn3(q′, ζ ′) , q′ = ckq , ζ ′ =

√ckζ

である。Unn3 が満たす非線形方程式は∑n′n′

3

hnn3 n′n′3Un′n′

3= − g2σ

((ρs)nn3 + c2U

(2)nn3

+ c3U(3)nn3

)

となる。Unn3 , U(2)nn3 , U

(2)nn3 の次元は L−1, L−2, L−3, また, h, ρnn3 , c2 の次元は L−2, L−3, L−1

ベクトルポテンシャル


カレントの期待値は

jφ(r) =(f† −i g†

) 0 σφ

σφ 0

f

i g

= i(f†σφg − g†σφf

)= 2Re

(if†σφg

)= Re

(f†(σ+e

−iφ − σ−eiφ)g)

であるから

jφ(r) = Re∑αα′

f∗α gα′

(⟨α |σ+e−iφδ(r − r)|α′ ⟩ − ⟨α |σ−eiφδ(r − r)|α′ ⟩

)= Re

∑αα′

(f∗α gα′ − fα′ g∗α

)⟨α |σ+e−iφδ(r − r)|α′ ⟩

= Re∑αα′


) 1

2π

2

b302δms m′

s+1RnmRn′m′ϕn3ϕn′3ei(−m−1+m′)φ

角運動量の z成分はよい量子数であるから −m− 1 +m′ = 0 である。したがって

jφ(r) =1

π

2

b30Re∑αα′


)δms m′

s+1δmm′−1RnmRn′m′ϕn3ϕn′3

となる。

Jαα′ = Re∑i

(f (i) ∗α g

(i)α′ − f

(i)α′ g

(i) ∗α

)とすると, 全カレント Jφ(r) は

Jφ(r) =1

π

2

b30

∑αα′

Jαα′δms m′s+1δmm′−1Rnm(q)Rn′m′(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ)

である。パリティもよい量子数であるから J(r) = −J(−r) である。したがって

Jφ(r) = eφ(r)·J(r) = (−eφ(r))·J(−r) = eφ(−r)·J(−r) = Jφ(−r)

になる。上の和は ϕn3 と ϕn′3が同じパリティだけの和になっている。

Jnn3 =2

b2mbm3

∫ ∞

0

dr r

∫ ∞

−∞dz Rn 1(q

′)ϕn3(ζ′)Jφ(r)

=1

π

2

b2mbm3

∑α′α′′

Jα′α′′δm′s m′′

s +1δm′ m′′−1

×∫ ∞

0

dqRn′m′(q)Rn′′m′+1Rn 1(2q)

∫ ∞

−∞dζ ϕn′

3(ζ)ϕn′′

3(ζ)ϕn3

(√2ζ)

=1

π

2

b2mbm3

∑α′α′′

Jα′α′′δm′s m′′

s +1δm′ m′′−1Lm′(n′, n′′;n)H(n′3, n′′3 ;n3)

ただし n3 が oddのとき Jnn3 = 0 である。

Vφ =∑nn3

V (φ)nn3

Rn 1(2q)ϕn3(√2ζ)

とすると ∑n′n′

3

hnn3 n′n′3V

(φ)n′n′

3= g2Jnn3

により V(φ)nn3 が決まる。


jφ の和を具体的に書き下すと

jφ(r) =1

π

2

b30Re∑αα′


)δms m′

s+1δmm′−1RnmRn′m′ϕn3ϕn′3

=1

π

2

b30Re

∑nn3 n′n′

3

(f (+)nn3

g(−)n′n′

3− g(+)

nn3f(−)n′n′

3

)Rnm0

Rn′ m0+1ϕn3ϕn′

3

である。また, Jnn3 への 1つの hole状態の寄与は

1

π

2

b2mbm3

∑n′n′

3n′′n′′

3

(f(+)n′n′

3g(−)n′′n′′

3− g

(+)n′n′

3f(−)n′′n′′

3

)Lm0(n

′, n′′;n)H(n′3, n′′3 ;n3)

である。

クーロンポテンシャル

クーロンポテンシャル

VC(r, z) = e2∫d3r′

ρp(r′, z′)

|r − r′|は ∇′2|r − r′| = 2/|r − r′| を使うと

VC(r, z) =e2

2

∫d3r′|r − r′|∇′2ρp(r

′, z′)

=e2

2

∫ ∞

0

dr′ r′∫ ∞

−∞dz′∇′2ρp(r

′, z′)

∫ 2π

0

dθ′√(r + r′)2 + (z − z′)2 − 4rr′ cos2

θ′ − θ

2

= 2e2∫ ∞

0

dr′ r′∫ ∞

−∞dz′∇′2ρp(r

′, z′)

∫ π/2

0

dφ

√(r + r′)2 + (z − z′)2 − 4rr′ sin2 φ

= 2e2∫ ∞

0

dr′ r′∫ ∞

−∞dz′√

(r + r′)2 + (z − z′)2E (x)∇′2ρp(r′, z′)

ただし

x =

√4rr′

(r + r′)2 + (z − z′)2

また

E(k) =

∫ π/2

0

dφ

√1− k2 sin2 φ =

∫ 1

0

dx

√1− k2x2

1− x2

は第 2種完全楕円積分である。∇2ρp(r, z) に (5.11)を用いると

VC(r, z) = 2e2∑nn3

ρnn3Nn3

∫ ∞

0

dr′ r′∫ ∞

−∞dz′ e−(q′+ζ′2)/2Ln(q

′)Hn3(ζ′)(

q′ − 2(2n+ 1)

b2m+ζ ′2 − (2n3 + 1)

b2m3

)√(r + r′)2 + (z − z′)2E (x)

= 2e2b302

∑nn3

ρnn3Nn3

∫ ∞

0

dq

∫ ∞

−∞dζ exp(−q − ζ2)Ln(2q)Hn3(

√2ζ)(

2q − 2(2n+ 1)

b2m+

2ζ2 − (2n3 + 1)

b2m3

)√(r + b

√q)2 + (z − b3ζ)2E (x)

したがって

Vnn3(r, z) = e2 b30Nn3

∫ ∞

0

dq

∫ ∞

−∞dζ exp(−q − ζ2)Ln(2q)Hn3(

√2ζ)(

2q − 2(2n+ 1)

b2m+

2ζ2 − (2n3 + 1)

b2m3

)√(r + b

√q)2 + (z − b3ζ)2E (x)


とすると

VC(r, z) =∑nn3

ρnn3Vnn3(r, z)

である。

A(+)(nn3, n′n′3;m) への寄与は n3 + n′3 = even のとき∫ ∞

0

dq

∫ ∞

−∞dζ Rnm(q)Rn′m(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ)VC(r, z)

= 2NnmNn′mNn3Nn′3

×∫ ∞

0

dq

∫ ∞

0

dζ exp(−q − ζ2) q|m|L(|m|)n (q)L

(|m|)n′ (q)Hn3(ζ)Hn′

3(ζ)VC(b

√q, b3ζ)

また∫d3r ρ(r)VC(r, z) = 2π

∑nn3

ρnn3Nn3

∫ ∞

0

dr r

∫ ∞

−∞dz e−(q′+ζ′2)/2Ln(q

′)Hn3(ζ′)VC(r, z)

= 2π b30∑nn3

ρnn3Nn3

∫ ∞

0

dq

∫ ∞

0

dζ exp(−q − ζ2)Ln(2q)Hn3(√2ζ)VC(b

√q, b3ζ)

である。Laguerre–Gaussの分点 qi , Hermite–Gaussの分点 ζj における VC(b√qi, b3ζj) を求めてお

けば数値計算できる。

5.4 初期密度

初期密度として楕円体

ρ(r, z) = ρ0 θ (Rb − r ) , ρ0 =A

4πR3/3, Rb =

R

b0, r =

√r2

b2+z2

b23=√q + ζ2

を考える。

ρnn3 =2

b2mbm3

∫ ∞

0

dr r

∫ ∞

−∞dz Rn(q

′)ϕn3(ζ′) ρ(r)

= 4√2 ρ0Nn3

∫ ∞

0

dq

∫ ∞

0

dζ exp(−q − ζ2)Ln(2q)Hn3(√2ζ) θ(Rb −

√q + ζ2)

である。

5.5 Magnetic moment

Dirac magnetic moment は

µD = gℓM (r×α)3 = gℓMr(αy cosφ− αx sinφ

)= gℓMrαφ

であるから, ある 1粒子状態の期待値は

µ = gℓM

∫d3r r jφ(r)

= gℓM1

π

2

b30

∑nn3 n′n′

3

(f (+)nn3

g(−)n′n′

3− g(+)

nn3f(−)n′n′

3

)∫d3r r Rnm0(q)Rn′ m0+1(q)ϕn3(ζ)ϕn′

3(ζ)

= 2b gℓM∑

nn3 n′

(f (+)nn3

g(−)n′n3

− g(+)nn3

f(−)n′n3

)∫ ∞

0

dq√q Rnm0(q)Rn′ m0+1(q)


原子核全体では ( n3 = even )

µ = gℓM

∫d3r r Jφ(r)

= gℓM∑nn3

Jnn3

∫d3r r Rn 1(2q)ϕn3(

√2ζ)

= 2π gℓMb30b∑nn3

Jnn3

∫ ∞

0

dq√q Rn1(2q)

∫ ∞

0

dζ ϕn3(√2ζ)

= 2π gℓMb30b∑nn3

Jnn3Nn3

√2

n+ 1

∫ ∞

0

dq e−qq L(1)n (2q)

∫ ∞

0

dζ e−ζ2

Hn3(√2ζ)

5.6 付録

(5.2)の導出

2次元等方調和振動子

− ℏ2

2M

(∂2x + ∂2y

)+

1

2Mω2

(x2 + y2

)= − ℏ2

2M

(1

r∂rr∂r +

1

r2∂2φ

)+

1

2Mω2r2

固有関数を R(r) eimφ/√2π とおくと[

− ℏ2

2M

(1

r∂rr∂r −

m2

r2

)+

1

2Mω2r2

]R = ER

ここで

q =r2

b2, b =

√ℏMω

とすると (4∂qq ∂q −

m2

q− q +

2E

ℏω

)R = 0

になる。q → 0, q → ∞ における漸近形を考慮して

R = q|m|/2e−q/2F

とすると

∂qR =1

2q|m|/2e−q/2

(|m|q

− 1 + 2∂q

)F

4∂qq ∂qR = q|m|/2e−q/2

(|m|q

− 1 + 2∂q

)q

(|m|q

− 1 + 2∂q

)F

= q|m|/2e−q/2

(4q∂2q + 4 (|m|+ 1− q) ∂q − 2(|m|+ 1) + q +

m2

q

)F

したがって (q ∂2q + (|m|+ 1− q) ∂q +

E

2ℏω− |m|+ 1

2

)F = 0

Laguerreの多項式 L(α)n (q)は (

q ∂2q + (α+ 1− q) ∂q + n)L(α)n (q) = 0 (5.12)


満たすから, 2次元等方調和振動子の固有関数は

√2

bRnm(q)

eimφ

√2π

, Rnm(q) = Nnm q|m|/2e−q/2L(|m|)n (q)

になる。

(5.4), (5.5) の導出

Cnmn′m′ =

∫ ∞

0

dq Rnm

(∂r +

m′

r

)Rn′m′ =

1

b

∫ ∞

0

dq q−1/2Rnm

(2q

d

dq+m′

)Rn′m′

Dnmn′m′ =

∫ ∞

0

dq Rnm

(∂r −

m′

r

)Rn′m′ =

1

b

∫ ∞

0

dq q−1/2Rnm

(2q

d

dq−m′

)Rn′m′

を求める。数学公式 III 97ページ

qdL

(m)n

dq= nL(m)

n − (n+m)L(m)n−1 (5.13)

qL(m)n = (2n+ 1 +m)L(m)

n − (n+ 1)L(m)n+1 − (n+m)L

(m)n−1 (5.14)

を使うと ( n = 0 のときは L(m)n−1 = 0 とすれば成立 )

2qdRnm

dq= 2Nnmq

d

dqq|m|/2e−q/2L(|m|)

n (q)

= Nnm q|m|/2e−q/2

(|m| − q + 2q

d

dq

)L(|m|)n (q) (5.15)

= Nnm q|m|/2e−q/2((n+ 1)L

(|m|)n+1 − L(|m|)

n − (n+ |m|)L(|m|)n−1

)であるから

Cnmn′m′ =NnmNn′m′

b

∫dq e−qq(|m|+|m′|−1)/2

L(|m|)n

((n′ + 1)L

(|m′|)n′+1 + (m′ − 1)L

(|m′|)n′ − (n′ + |m′|)L(|m′|)

n′−1

)m ≥ 0 のとき m′ = m+ 1 > 0 であるから


b

∫dq e−qqmL(m)

n((n′ + 1)L

(m+1)n′+1 +mL

(m+1)n′ − (n′ +m+ 1)L

(m+1)n′−1

)(5.16)

ここで

L(α)n =

n∑k=0

Γ (α− β + k)

k!Γ (α− β)L(β)n−k

を使うと

L(m+1)n =

n∑k=0

L(m)k (5.17)


になるから


b

∫dq e−qqmL(m)

n

((n′ + 1)

n′+1∑k=0

L(m)k +m

n′∑k=0

L(m)k

− (n′ +m+ 1)n′−1∑k=0

L(m)k

)

=NnmNn′m′

b

(n+m)!

n!

((n′ + 1)

n′+1∑k=0

δkn +mn′∑k=0

δkn − (n′ +m+ 1)n′−1∑k=0

δkn

)=

1

b

Nn′m′

Nnm

((n′ + 1)δn′ n−1 + (n′ + 1 +m)δn′n

)(5.18)

=1

b

(√n δn′ n−1 +

√n+m+ 1 δn′n

)m < 0 のとき m′ = m+ 1 ≤ 0 であるから p = −m′ = −m− 1 とおくと


b

∫dq e−qqpL(p+1)

n

((n′ + 1)L

(p)n′+1 − (p+ 1)L

(p)n′ − (n′ + p)L

(p)n′−1

)=NnmNn′m′

b

n∑k=0

(p+ k)!

k!

((n′ + 1)δk n′+1 − (p+ 1)δk n′ − (n′ + p)δk n′−1

)n < n′ − 1 のとき 0 になる。また, n ≥ n′ + 1

n∑k=0

· · · = (p+ n′ + 1)!

(n′ + 1)!(n′ + 1)− (p+ n′)!

n′!(p+ 1)− (p+ n′ − 1)!

(n′ − 1)!(n′ + p) = 0

したがって

Cnmn′m′ = − NnmNn′m′

b

((p+ n′ + 1)!

n′!δn′n +

(p+ n′)!

(n′ − 1)!δn′ n+1

)(5.19)

= − NnmNn′m′

b

(n−m)!

n!

(δn′ n+1 + δn′n

)= − 1

b

(√n+ 1 δn′ n+1 +

√n−mδn′n

)次に

Dnmn′m′ =NnmNn′m′

b

∫dq e−qq(|m|+|m′|−1)/2

L(|m|)n

((n′ + 1)L

(|m′|)n′+1 − (m′ + 1)L

(|m′|)n′ − (n′ + |m′|)L(|m′|)

n′−1

)m′ ≥ 0 のとき m = m′ + 1 > 0 であるから


b

∫dq e−qqm

′L(m′+1)n

((n′ + 1)L

(m′)n′+1 − (m′ + 1)L

(m′)n′ − (n′ +m′)L

(m′)n′−1

)これは (5.19)で p = m′ とすればよいから

Dnmn′m′ = − 1

b

(√n′ δn′ n+1 +

√n′ +m′ + 1 δn′n

)m′ < 0 のとき p = |m| = −m = −m′ − 1 とおくと


b

∫dq e−qqpL(p)

n

((n′ + 1)L

(p+1)n′+1 + pL

(p+1)n′ − (n′ + p+ 1)L

(p+1)n′−1

)


(5.16)で m = p とおけば


b

(n+ p)!

n!

((n′ + 1)δn′ n−1 + (n′ + 1 + p)δn′n

)=NnmNn′m′

b

(n′ −m′)!

n′!

(δn′ n−1 + δn′n

)=

1

b

(√n δn′ n−1 +

√n−m+ 1 δn′n

)

(5.8)の導出

φ に依存しない関数の場合

∇2 =1

r∂rr∂r + ∂2z =

4

b2m∂q′q

′∂q′ +1

b2m3

∂2ζ′

である。ここである m ( m > 0) に対して

|nn3⟩ =

√2

b2mbm3Rnm(q′)ϕn3(ζ

′) , Rnm = Nnm e−q′/2q′m/2L(m)n (q′) , ϕn = Nn e

−ζ′2/2Hn(ζ′)

とすると

−⟨nn3|1

r∂rr∂r|n′n′3⟩ = − δn3n′

3

4

b2m

∫ ∞

0

dq Rnm∂qq∂qRn′m

(5.14), (5.15)から m > 0 のとき

∂qq∂qRnm = Nnmqm/2e−q/2

(qd2L

(m)n

dq2+ (m+ 1− q)

dL(m)n

dq+

1

4

(m2

q+ q − 2(m+ 1)

)L(m)n

)

=Nnm

4qm/2e−q/2

(m2

q+ q − 2(m+ 1)− 4n

)L(m)n

=Nnm

4qm/2e−q/2

(m2

qL(m)n − (2n+m+ 1)L(m)

n − (n+ 1)L(m)n+1 − (n+m)L

(m)n−1

)である。したがって

4

∫ ∞

0

dq Rnm∂qq∂qRn′m = NnmNn′m

∫ ∞

0

dq e−qqmL(m)n

(m2

qL(m)n′ − (2n′ +m+ 1)L

(m)n′

−(n′ + 1)L(m)n′+1 − (n′ +m)L

(m)n′−1

)= − Nn′m

Nnm

((2n+m+ 1)δnn′ + (n′ + 1)δnn′+1 + (n′ +m)δnn′−1

)+m2cnn′

= − (2n+m+ 1)δnn′ −√n(n+m) δnn′+1 −

√n′(n′ +m) δnn′−1 +m2cnn′

ただし

cnn′ = NnmNn′m

∫ ∞

0


(m)n′

である。(5.17)より

cnn′ = NnmNn′m

n∑k=0

n′∑k′=0

∫ ∞

0

dq e−qqm−1L(m−1)k L

(m−1)k′ = NnmNn′m

n<∑k=0

(k +m− 1)!

k!


以上から

−⟨nn3|1

r∂rr∂r|n′n′3⟩

=δn3n′

3

b2m

((2n+m+ 1)δnn′ +

√n(n+m) δnn′+1 +

√n′(n′ +m) δnn′−1 −m2cnn′

)になる。

次に (5.3)から

∂2zϕn3(q3) =1

b2m3

∂2q3ϕn3(q3)

=1

b2m3

(√n3(n3 − 1)

2ϕn3−2 −

2n3 + 1

2ϕn3 +

√(n3 + 1)(n3 + 2)

2ϕn3+2

)であるから

−⟨nn3|∂2q3 |n′n′3⟩ =

δnn′

b2m3

(2n3 + 1

2δn3n′

3−√(n3 + 1)n′3

2δn3 n′

3−2 −√

(n′3 + 1)n32

δn3 n′3+2

)したがって

⟨nn3|(−∇2 +m2

b

)|n′n′3⟩ =

(2n+m+ 1

b2m+n3 + 1/2

b2m3

+m2b

)δnn′δn3n′

3

+δn3n′

3

b2m

(√n(n+m) δnn′+1 +

√n′(n′ +m) δn+1n′ −m2cnn′

)− δnn′

b2m3

(√(n3 + 1)n′3

2δn3 n′

3−2 +

√(n′3 + 1)n3

2δn3 n′

3+2

)

H(n, n′; n′′) の解析的表現

Bateman Vol.II の 195ページ (37), (38) から

Hn(√2x) = 2n/2n!

[n/2]∑k=0

Hn−2k(x)

2k k! (n− 2k)!

になる。数学大公式集 (丸善)838ページ 7.375から t = (k +m+ n)/2 が整数のとき∫ ∞

−∞dx e−2x2

Hk(x)Hm(x)Hn(x) =2t√2π

Γ (t− k + 12 )Γ (t−m+ 1

2 )Γ (t− n+ 12 )


H(n, n′; m)

= NnNn′Nm

∫ ∞

−∞dx e−2x2

Hn(x)Hn′(x)Hm(√2x)

= NnNn′Nm2m/2m!

[m/2]∑k=0

1

2k k! (m− 2k)!

∫ ∞

−∞dx e−2x2

Hn(x)Hn′(x)Hm−2k(x)

= NnNn′Nm2s+m/2m!

2π

[m/2]∑k=0

Γ (s− k − n)Γ (s− k − n′)Γ (s+ k −m)

22kk! (m− 2k)!

= NnNn′Nm2s+m/2

2π3/2

[m/2]∑k=0

mC2kΓ (k +12 )Γ (s− k − n)Γ (s− k − n′)Γ (s+ k −m)

ただし s = (n+ n′ +m+ 1)/2

備忘録 - kurasawa.c.ooco.jpkurasawa.c.ooco.jp/note.pdf · したがって,...

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