República Bolivariana de Venezuela

Universidad Fermín Toro

Barquisimeto-Cabudare

Alumno:

Enyiberth Sorett

Estadística Aplicada

Introducción:

En este informen se van a describir algunas de las distribuciones teóricas más habituales en los estudios de fiabilidad debido a su simplicidad y al hecho de que proporciona un modelo con tasa de falloconstante. En concreto, introduciremos las siguientes distribuciones continuas: exponencial, Weibull, Gamma, k-Erlang.

Y conoceremos las diferencias de las graficas de los diferentes tipos de distribuciones continuas para así llegar a conocer sus (tasas defallo crecientes, constantes y decrecientes).

Distribución de probabilidad :

Se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada

por , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P [X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.

En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Grafica de unas distribuciones de probabilidad

continúas:

Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de

valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.

Distribución gamma:

Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros   y   cuya función de densidad para valores   es

Aquí   es el número e y   es la función gamma. Para valores   

la función gamma es   (el factorial de  ). En este

caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la

distribución distribución Erlang con un parámetro .

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

Grafica de la distribución gamma

Distribución exponencial:

Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro   cuya función de densidad es:

Su función de distribución acumulada es:

Donde   representa el número e.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

La distribución exponencial es una de la mas utilizadas en fiabilidad, lo cual es debido simplicidad y al hecho de que proporciona un modelo con tasa de fallo constante.

Ejemplos:

El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada

magnitud) sigue una distribución exponencial.

Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la

cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el

alambre se podría modelar como una exponencial.

En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo

constante sigue una distribución exponencial.

Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial   por medio de una variable aleatoria de distribución uniforme :

o, dado que   es también una variable aleatoria con

distribución  , puede utilizarse la versión más eficiente:

La suma de   variables aleatorias independientes de distribución exponencial con parámetro   es una variable aleatoria de distribución.

Grafica de distribución exponencial:

Distribución Weibull:

La distribución de Weibull es, probablemente, la distribución más utilizada en teoríade fiabilidad. De hecho, en muchas referencias bibliográficas se habla de análisisWeibull para hacer referencia a los estudios de fiabilidad. Ello se debe a la granFlexibilidad que presenta esta distribución, mediante la cual es posible modelar cada una de las tres etapas típicas de la curva de la bañera, i.e.: la etapa inicia con tasa de fallo decreciente-, la etapa de vida útil con tasa de fallo aproximadamente constante, y la etapa final -caracterizada por una tasa de fallo creciente.

Grafica Weibull:

 

Demostración:

Distribuciones Gamma y k-Erlang:

De forma similar a lo que ocurría con la distribución Weibull, la Gamma también permite modelar las tres etapas características de la curva de la bañera (tasas de fallo crecientes, constantes y decrecientes). Además, la distribución Gamma también puede interpretarse como una generalización de la exponencial.Otra distribución muy utilizada, y que nuevamente se puede considerar como un caso particular de la Gamma, es la k-Erlang.

Graficas Gamma y k-Erlang:

Conclusión:

Para concluir podemos decir que es muy importante llegar a conocer las diferencias entre las Distribuciones habituales en fiabilidad y su uso para así llegar a una buena aplicación en el momento de resolver un problema estadístico en el mercado o en una empresa con las formulas correctas indiferentemente el caso.