Entropía y valoración de opciones José Antonio Núñez del Prado

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Janunez48@hotmael.com 1. RESUMEN El objetivo de la presente ponencia es la exposición del método de máxima entropía para la valoración de opciones de mercado junto con la exposición del formalismo termodinámico que este método conlleva. 2. INTRODUCCIÓN Por simplicidad supongamos el modelo estándar de una opción F sobre un subyacente S en una economía con sólo dos momentos temporales, el presente T0 y el futuro T1. Ahora, en T0, S tiene un precio conocido S0 pero en el futuro T1 S puede tomar n – posibles valores S1, S2,... Sn. Correspondientemente la opción F valdrá en T1 F(S1), F(S2),... F(Sn). Para calcular el valor, F0, de F en T0 el método de la probabilidad libre de riesgo, equivalente al de la duplicación de la opción por una cartera, consiste en hallar una probabilidad P: {1,2,... 3}→[0,1] tal que EP(Si) = S0erT

1, es decir, una probabilidad tal que el precio de S siga conservándose en el futuro ya que S0erT

1 no es otra cosa que S0 en el momento T1. Con esta probabilidad el valor de F en F0 es F0 = e-rT

1EP(F(Si)). Expresado de otro modo la probabilidad P es una solución de las siguientes dos ecuaciones: ∑ pi = 1 i = 1,2... n [1] ∑ piSi = S0erT

1 i = 1,2... n El problema anterior [1] puede tener muchas soluciones, pero en una economía de “no arbitraje” todas llevan al mismo valor F0. ¿Cuál de todas esas probabilidades elegir? Si no queremos tener en cuenta en la elección de P ninguna otra información mas que la dada por las dos ecuaciones anteriores, el principio de máxima entropía nos dice que la probabilidad libre de riesgo óptima habría de ser: Maximizar H = - ∑ pilnpi ∑ pi = 1 i = 1,2... n [2] ∑ piSi = S0erT

1 i = 1,2... n El problema de optimización [2] es formalmente igual al problema de la física estadística para hallar la distribución energética más probable de un sistema de M partículas cada una de las cuales puede encontrarse con energía E1, E2,... En,

(equivalentes a los precios S1, S2,... Sn), distribución probabilística por medio de la cual se obtiene toda la termodinámica de dicho sistema. Esta analogía formal, que por un lado permite introducir, de modo puramente formal al menos, los conceptos de la mecánica estadística en la valoración de opciones, y que por otro lado parece estar relacionada con la utilización coloquial de cierta terminología térmica en las finanzas como “el mercado está muy caliente” o “la economía está enfriándose” o “ la temperatura de la bolsa es baja en estos momentos”, es la que comentaremos a continuación. 2. LA ANALOGÍA FORMAL La solución del problema [2] se halla por el método de los multiplicadores de

Lagrange llevando a Pi = e – α -βЅ

i donde α , β son los parámetros de Lagrange asociados a las dos restricciones dadas. El método de maximización de la entropía se fundamenta en la conservación del

valor medio de cierta magnitud “m” tal como expresa la segunda restricción de [2]. En termodinámica la magnitud conservada es la energía: aunque las partículas del sistema pueden estar en distintos niveles energéticos E1, E2,... En el valor medio se conserva. En economía tenemos la misma situación: en una economía en la que no pueda darse el arbitraje, que a veces se expresa como “no hay comidas gratis” que es lo análogo al enunciado “la energía ni se crea ni se destruye sino únicamente se transforma”, el valor del subyacente, en media, ha de conservarse ∑ piSi = S0erT

1 En cierto modo el principio de conservación económico es una generalización del mismo principio físico: el “valor” de S es el “mismo” en T0 que en T1 aunque no sea constante (como ocurre en física): S0 en T0 es realmente S0erT

1 en T1 aunque sus valores numéricos difieran. En esta homologación el precio Si hace las veces de la energía Ei y en este sentido

podemos pensar que los precios de los bienes de mercado juegan el papel de las energías de las partículas de los sistemas físicos. Esta correspondencia aparece expresada por multitud de ecuaciones formalmente iguales tanto en economía como en termodinámica:

• Según la optimización langragiana se tiene que ∂ (función objetivo) ---------------------------- = β

∂ (valores restricciones)

En nuestro caso la función objetivo es la entropía H y las restricciones son los precios en T0, por lo que la ecuación anterior se convierte en

∂ H ------ = β

∂ S

donde el parámetro β es el multiplicador de Lagrange asociado a la segunda restricción. Si ponemos formalmente β = 1/T obtenemos que TdH = dS ecuación que es formalmente análoga a la ecuación termodinámica que relaciona el calor con la entropía por medio de la temperatura T TdH = dQ Formalmente el <<calor térmico>>, que no es más que flujo o variación en la energía de un sistema, se corresponde económicamente con <<el flujo o variación de los precios>>. En la termodinámica T = 1/ β es realmente la temperatura que tiene el sistema estudiado: aquí T = 1/ β puede ser introducido formalmente como la “temperatura económica”, sea lo que sea que pueda significar, del subyacente S.

• Este mismo resultado puede obtenerse directamente. Si en el problema [2]

Maximizar H = - ∑ pilnpi ∑ pi = 1 i = 1,2... n [2] ∑ piSi = S0erT

1 i = 1,2... n

consideramos un cambio en el valor inicial del precio S0 a S0’ ,conservando todo lo demás igual, ese cambio produce una nueva solución P’ que cambia la entropía inicial H a un nuevo valor H’. El cambio de precios redistribuye las probabilidades con las que se darán los valores futuros S1, S2,... Sn del subyacente S. En física estadística tal cambio en la probabilidad corresponde a una redistribución del número de partículas entre los niveles de energía E1, E2,... En, que justamente es la definición térmica de “calor”.

Como vimos antes, la solución de [2] es

Pi = e – α -βЅi

Y utilizando la primera restricción ∑ pi = 1 obtenemos que ∑ e – α -βЅ

i = e – α ∑ e -βЅi = 1 → e – α = 1/ ∑ e -βЅi → α = -ln ∑ e -βЅi La expresión ∑ e -βЅi es la función esencial de la termodinámica que se conoce por

el nombre de FUNCIÓN DE PARTICIÓN y permite obtener a partir de ella todas las propiedades termodinámicas de los sistemas. Vemos que si tenemos un subyacente S en T0 que en T1 pueda tomar S1, S2,... Sn valores diferentes podemos

tomar directamente la función ∑ e -βЅi en la que todo, salvo el parámetro β, es

conocido, y obtener a partir de ella todos los resultados: probabilidades, valores medios, entropía,... dependiendo de los valores que asignemos a β = 1/T. • Podemos calcular α, el otro multiplicador de Lagrange, como α = -ln ∑ e -βЅi • Podemos hallar el valor medio de la distribución:

∂ α ∂β ∑ e -βЅi ∑ – Si e -βЅi e – α ∑ Si e -βЅi ∑ Si e – α e -βЅi – ----- = – -------------- = – ---------------- = -------------------- = ------------------ ∂ β ∑ e -βЅi ∑ e -βЅi e – α ∑ e -βЅi ∑ e – α e -βЅi = S0erT

1 • La entropía puede ser calculada directamente de ∑ e -βЅi .

H = - ∑ pilnpi = - ∑ e – α e -βЅi ln e – α e -βЅi = - ∑ e – α e -βЅi (– α - βЅ

i ) = = ∑ [α e – α e -βЅi ] + ∑ β Si e – α e -βЅi = α + β S0erT

1 = ln ∑ e -βЅi + β S0erT1

Igualmente es posible calcular todas las demás funciones termodinámicas: energías libres de Gibbs, entalpía,... partiendo de la “función de partición económica” del subyacente S. 3. COMPORTAMIENTO CON DOS VALORES POSIBLES EN EL FUTURO Sea S un subyacente que puede tomar sólo dos valores posibles en T1: dS0 y uS0 con las condiciones d < 1+r < u, que son las que hacen el modelo sin arbitraje, es decir en el que es válido el principio de conservación del valor, siendo r el interés del dinero en el banco. Termodinámicamente esto es el equivalente de lo que los físicos denomina un sistema de M partículas de tipo SPIN, es decir, un sistema en el que cada partícula puede tener sólo dos niveles de energía: Eo = dS0 y E1 = uS0 . La función de partición tiene sólo dos términos: Z = e-dS

0/T + e-uS0/T = e-dS

0/T [1+ e- (u – d)S0/T]

Z aparece como el producto de dos factores: Z(d S0), dependiente sólo del precio menor o energía base d S0 ; y Z[(u-d) S0 ], que depende sólo de la diferencia relativa de los dos posibles valores. Tenemos que el cociente entre los dos posibles valores de la probabilidad libre de riesgo es:

P(uS0) ----------- = e- (u – d)S

0 / T P(d S0) Con lo que tenemos: • A “temperaturas bajas”, T << (u-d)S0, el cociente (u – d)S

0 / T tiende a ∞ y así

P(uS0) ----------- = e- (u – d)S

0/T P(d S0) tiende a 0 o lo que es lo mismo P(uS0) ≈ 0, P(d S0) ≈ 1 y podemos decir que el valor más probable del subyacente en el futuro será dS0. • A “temperaturas altas”, T>> (u-d)S0, el cociente (u – d)S

0 / T será aproximadamente cero y por lo tanto

P(uS0) ----------- = e- (u – d)S

0/T P(d S0) será aproximadamente 1, es decir P(uS0) = P(d S0) = ½ y ambos valores tendrán la misma probabilidad de obtenerse. Estos resultados “termodinámicos” sobre la probabilidad libre de riesgo para este caso particular de subyacente pueden obtenerse también, como debe ser, directamente a partir del tipo de subyacente que estamos considerando. Utilizando el método de la duplicación de la opción por una cartera sabemos que la probabilidad libre de riesgo es: e – α e –βuS

0 = P(uS0) = [1+r-d]/ (u-d) e – α e –βdS

0 = P(dS0) = [u-1-r]/ (u-d) con lo que formando el cociente entre ambas tenemos: e – α e –βuS

0 = P(uS0) = [1+r-d] e – α e –βdS

0 = P(dS0) = [u-1-r] e-β (u – d)S

0 = 1+r-d / (u-1-r) es decir

(u-d)S0 T = 1/ β = - ----------------------- Ln[1+r-d /(u-1-r)] • Si T = 0 entonces ln [1+r-d / (u-1-r)] = -∞ → [1+r-d / (u-1-r)]≈0 lo que implica que

1+r ≈ 0. En este caso de “temperatura baja” el valor medio será S0 (1+r) ≈ dS0, lo que sólo puede ocurrir si la probabilidad p(dSo) es muy alta comparada con p(uS0). Un inversor, a esta temperatura, perderá casi con toda seguridad, aunque ciertamente en el caso, improbable, de ganar, ciertamente, ganará mucho más que el en banco. En esta situación, análoga a comprar un décimo de lotería, sólo tiene sentido invertir pequeñas cantidades.

• Si T ≈ -∞ entonces ln [1+r-d / (u-1-r)] ≈ 0, es decir [1+r-d / (u-1-r)] ≈ 1 lo que conlleva que 1+r-d≈ u-1-r, y así u+d ≈ 2(1+r), esto es (1+r) ≈ (u+d) / 2. En este caso, el interés en el banco es aproximadamente la media aritmética de las cantidades que pueden subir o bajar y

P(uS0) ------------ ≈ 1 / 2 P(dS0) con lo que estamos en el caso más caótico posible. Los resultados obtenidos coinciden, como cabría esperar, con la discusión anterior basada en el formalismo termodinámico del sistema SPIN. Esta coincidencia refleja el hecho de que dado que aunque podamos obtener la valoración de opciones por el método de la duplicación de la opción a través de una cartera, esto mismo puede lograrse por el método de máxima entropía y este segundo camino tiene una correspondencia exacta con la física estadística que posibilita copiar sus argumentos. Igualmente, en general, podríamos considerar cualquier otro sistema térmico (y no sólo los sistemas SPIN) que se corresponda con algún modelo económico y trasladar los resultados del sistema termal al sistema económico. 4. CONCLUSIÓN: ¿QUÉ ES β? No obstante la analogía formal que hemos descrito, existe una diferencia entre la economía y la termodinámica: en esta última el parámetro T = 1/ β tiene un significado observable como la temperatura del sistema de partículas, lo que permite coger un termómetro y medirla directamente, sustituir esa medida obtenida en la función de partición y obtener todos los valores termodinámicos que nos interesen; en el caso económico T = 1/ β ha sido denominada “la temperatura económica” por analogía pero, desgraciadamente, en este caso, no disponemos de ningún “termómetro” que no dé la medida de T para el subyacente, valor que sustituiríamos en la función de partición para obtener el resto de las magnitudes importantes: probabilidades, entropía,... Sin embargo esto no implica que el método de la máxima entropía no tenga su valor por las dos siguientes razones:

1) Siempre es posible estudiar la función de partición como una función de la variable β y analizar su comportamiento respecto de esa variable. El valor concreto de β se halla directamente de las probabilidades obtenidas por el método de los multiplicadores de Lagrange y con ese valor y el comportamiento de la función de partición obtener los resultados que se puedan.

2) Aunque el significado económico de T = 1/ β sea desconocido y sólo por analogía halla sido denominado “la temperatura del subyacente”, las matemáticas implicadas demuestran que dicho parámetro existe y ya que, en general, los parámetros matemáticos siempre han obtenido alguna interpretación relacionada con el campo en el que se estaban aplicando cabe esperar que aquí también ocurra lo mismo y que T= 1/ β encuentre su interpretación.

BIBLIOGRAFÍA [1] L.BACHELIER: Théorie de la speculation (Tesis en matemáticas, Annales scientifiques de L’ecole Normale Supèriure III – 17 21 86, 1900). [2] A. DRÂGULESCU y V.M. YAKOVENKO: “Statistical mechanics of money” (The European Physical Journal B 17, 723-729, 2000). [3] D.K.FOLEY: “A statistical Equilibrium theory of markets” (Journal of Economic Theory 62, 321-345, 1994). [4] R.N. MANTEGNA y H.EUGENE STANLEY: An Introduction to econophysics (Cambridge 2000).