enlace de circunferencias.pdf

T A N G E N C I A S

DEFINICIN : Es el punto comn entre una recta y una circunferencia o entre dos circunferencias.

TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

.

0

T..

0

T.

0

T.

0

T.

Dada la circunferencia 0 y unpunto T que ser el tangentede la recta.

Unir 0 con T. La recta perpendicular es larecta tangente a lacircunferencia en el punto T.

Por T recta perpendicular.

Desde T radio cualquiera ynos da A.

Desde A se repite el radio ynos da B.

Desde T radio TB y dondecorte con el arco inicialobtenemos C.

Unir T con C y es la rectatangente en T del arco inicial.

.

TA

.

.0P

Dada la circunferencia 0 y elpunto P.

Se une 0 con P y se halla lamediatriz.

.0P

12

Desde la mediatriz se traza unacircunferencia que pasa por P y essecante a la circunferencia en lospuntos T y T1.

Unir P con T y T1.T y T1 puntos tangentes de lasrectas tangentes a lacircunferencia..

.

.

P

T

T1

0

.

.

.

P

T

T1

01

2

.

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

RECTA TANGENTE A UN ARCO Y UN PUNTO DADO

..T

A

.

B

.

.

.T

B

C .

.

TC

.

B

RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1. Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que ser el punto centro dela circunferencia que pasa por 0 y 01.

Se suma en 01 (R1 + R). Y d A y B, desde 01 se une con A y B.Unir O con A y B.

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4).Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas interiores alas dos circunferencias.

011 20

.

01R R1

0

T1T2

T3T4

0 01

.

. ..

.

.

.

A

B

0 01

RR1+

RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1. Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que ser el punto centro dela circunferencia que pasa por 0 y 01.

001 12001

RR1

Se resta en 01 (R1 - R). Y nos da A y B, desde 01 se une con A y B.Unir O con A y B

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4).Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas exteriores alas dos circunferencias.

.

001

.

.A

B

RR1_

001

.

.A

B

T1

T2

T3

T4. .

.

TANGENCIAS A TRES RECTAS DADAS

TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIA INTERIOR

.T

.T

Se halla las bisectrices y en sus intersecciones estn los centros delas circunferencias tangentes.

Nos d los puntos A,B y C.Se trazan los arcos de los ngulos que forman entre s.

Dadas las rectas m,s y e que se cortan de forma arbitraria.

Trazar circunferencias tangentes.

.

.

.01

02

03

04

.

.

01

02

03

04

.

TANGENCIA EXTERIOR

A

B

C

.. .

ms

e

ms

e

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

..

0

T P01.

..

0

PT

Dada la circunferencia 0 y el punto P.Desde 0 recta cualquiera que corte a lacircunferencia y nos da T, punto tangentede las circunferencias.Se une T con P.

Se halla la mediatriz entre TP y dondecorta la recta que nace de 0 y lamediatriz, obtenemos 01.

Pinchando en 01 y radio 01P se traza lacircunferencia.

.

.

.

0

T P

01

DESDE DOS PUNTOS EXTERIORES

Dada la circunferencia 0 y lospuntos P P1.

Se une P y P1.Se halla la mediatriz y en ella setraza una circunferencia de radiocualquiera que pase por P y P1.Siendo secante a 0 en A y B.Se prolonga el segmento AB y PP1hasta cortarse, dando el punto C.

Desde C rectas tangentes a 0 conlos puntos de tangencia T T1.

Se prolonga T0 y nos da 01.Se prolonga T10 y nos da 02.Dado los dos centros conradio 01P y 02P, se trazan lascircunferencias buscadas.

P1

.

.

.

.C

. .TT1

P

0

.

..

0

P

P1

.

.

.C

A

B

P1

.

.0

P

P1

.

..

.

T1 T 01

P

P1

02

0

C

TANGENTES ENTRE S E INTERIOR A OTRA

Dada la circunferencia 0 se ha dividido en el nmero de6 partesiguales que se quiere inscribir (metodo del hexgono ).

Recta perpendicular al eje vertical.Se une 0 con 5 y nos da A.Bisectriz y donde corta al eje vertical, obtenemos B.

Desde B perpendicular a 05 y 03. Nos da C y D. B,C y D centros de las circunferencia tangentes interior a 0.

.5..

mA

B.3

0

1

2

3

4

5

6

0

... .

.

.

..

.B

C D

.A

..

.5..

mA

B

C D

3.

.

CASOS MIXTOS

TANGENCIAS A UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

Se une 0 con P, se traza recta tangente en P y da A.

.

0

P

m .A

.

.

.A

0

P

01

02.

Dada la circunferencia 0, el punto P y la recta m.

Por A bisectrices y donde cortan con el segmento 0P, dan loscentros 01 y 02.

Con centro en 01 y radio 01P.Con centro en 02 y radio 02P.Se trazan las circunferencias buscadas.Se hallan las tangencias P T T1.

.

.

..

0

P

01

02.

TT1

.

0

P

m

DESDE UN PUNTO INTERIOR

Dada la circunferencia 0 y los puntos P, P1. Se unen y se hallan la mediatriz. Donde corte la mediatriz con elsegmento 0P1.Centro 01 de lacircunferencia a trazar.

.

.

0

P

P1

.

.

0

P

P1

.

.

.0

P

P1

01

TANGENCIAS A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA SEMIRRECTA

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE S Y QUE TENGANPOR CENTROS LOS VRTICES DE UN TRINGULO

.

. .

T

T

T T

T

T

.

.

. .

.

.

.

. .0 01

02T

T

T T

T

T.I

Dado el tringulo ABC.Se halla el Incentro.

Por D ngulo de 45 y nos dael centro 0.Con centro en I y radio I0 setraza una circunferencia.

Donde corte la circunferenciacon las otras bisectrices,obtenemos los centros 01 02.Por los centrosperpendiculares paradeterminar las tangencias.

Con los centros 0 01 02 yradios T. Se trazan lascircunferencias.

.I

45

.0

D

Bisectriz de los ngulos que forma y da el Incentro deltringulo.

Dado el tringulo cuyos vrtices son centros de las circunferenciasque vamos a trazar.

0

01 02

.

..

..

0

01 02..I

.

.

.

.

0

01 02

.

...I

Desde el incentro perpendicular a los lados que determinan lastangencias y los valores de radio.

Desde los centros trazar circunferencias tangentes entre s.

. .

0

01 02

Dada la circunferencia 0, la recta m y elpunto P.Por P perpendicular.Se toma un centro y un radio cualquiera(01) siendo secante en A y B a 0.Unir AB y nos da C en m.

Desde C rectas tangentes a 0 y nos danlos puntos de tangencia T y T1.Unir T con P y desde C semirrectaperpendicular y donde corta a la per. deP, obtenemos el centro 02,uno de loscentros buscados.Se prolonga T10 y donde corta con laperpendicular de P, tenemos el centro 03.

Hallados los centros de lascircunferencias buscadas slo quedatrazar.Con centro 02 y radio 02 P.Con centro 03 y radio 03 P.

.

..T

02.T1

.03

Pm

.C

.

.

.

.C

02

0

03

P

.

.

T1

T

m.

.0

P

rA

B

.

.

.C

01

m

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE S Y A UN TRINGULO

E N L A C E S

ENLACES DE RECTA CON RECTA

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR UN ARCO DADO

Dada las rectas m y s.Paralelas entre s.

Se traza una perpendicularque corta a las dos rectas.Mediatriz del segmentoperpendicular.

Se traza una circunferenciacon centro 0.

Se halla las tangencias T1 y T2.Enlazar.

.

T1

T2

0

m

s

m

s

.0

Dada las rectas m y s.Perpendiculares entre s.

Por m y s paralelas a la distanciadel valor de la circunferencia aenlazar (m1 y s1).

Donde se corta m1 y s1.Obtenemos el centro 0 que conradio conocido se traza lacircunferencia.

Desde 0 perpendicular a m y spara hallar puntos detangencias (T1 - T2).Enlazar.

m

s

m

s

m1

s1 .0T1

T2.

..0

ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR UN ARCO DADO

.T

. ..0 01A

B.

0

01

..

A

B

...

.

m

s

A

B

m

s

A

B

..

Dadas las semirrectas m y s. Unir A y B.Se divide el segmento en 4partes iguales.

Por A y B perpendicular,donde corta con lasmediatrices obtenemos 0 y 01.

Hallar tangencias A,B y T.Enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO IGUALES

Dada las rectas m y s.Perpendiculares entre s.

Por m y s paralelas a la distanciadel valor de la circunferencia aenlazar (m1 y s1).

Donde se corta m1 y s1.Obtenemos el centro 0 que conradio conocido se traza lacircunferencia.

Desde 0 perpendicular a m y spara hallar puntos detangencias (T1 - T2).Enlazar.

m

s

m

s

m1

s1.0.

0

T1

T2

.

ENLACE DE DOS RECTAS OBLICUAS POR UN ARCO DADO

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO NO CONOCIDOS

m

s

.Cm

s

A

B

..

.

.0

01

m

s

A

B

. .. Cm-s

m

s

A

B

Dada las semirrectas m y s. Se halla la mediatriz m-s.Se une A con B.Se traza unasemicircunferencia y en lainterseccin con la mediatriznos da el punto C.

Por A y B perpendicular.Por C paralela a la mediatrizdel segmento AB y dondecorta con las perpendicularesobtenemos los centros 0 y 01.

Con el centro 0 y radio 0B,con centro 01 y radio 01A setrazan las circunferencias.Y dadas las tangencias ABC.Enlazar.

.Cm

s

A

B

..

.

.0

01

ENLACE DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO CONOCIDO UNO DE ELLOS

. ..

A

B

m

s

m1

s1

..

A

B

m

s

Dada las semirrectas m y s. Desde A y B rectasperpendiculares.A m y s se trazan semirrectasparalelas m1 y s1 a la mismadistancia que el radio de lacircunferencia conocida.

Con centro en A1 y radio el dadose traza la circunferenciaconocida.Hallar la mediatriz del segmentoA1 y B1.Donde corte con la perpendicularB B1, se obtiene 0.

Con centro en 0 y radio 0B setraza la circunferencia.Se halla las tangencias (A B T)y por ltimo enlazar.

.m1

s1.

A1

B1

.0.

A

B

m

s

.

.

T

A

B

m

s

..

.

ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO INTERIOR

Dada la circunferencia 0 conradio r y la recta m.

Paralela a m a la distanciavalor de radio de lacircunferencia que vamos aenlazar.Con centro en 0 (r menos r1).

Donde corte la circunferenciade centro 0 de radio r -r1, conla recta m1, nos da el centrode la circunferencia 01.Trazar desde 01 con radio r1.

Hallar tangencias (T - T1).Enlazar.

.0r

m

.

.r1 01 m1

0.0

r

m

r - r1

m1

r1

.0

T

T1

.

.

.01

ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO EXTERIOR

ENLACE DE CIRC. CON UNA SEMIRRECTA

ENLACE DE RECTA CON CIRC. DADO EL PUNTO DE TANGENCIA

ENLACE DE CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA

ENLACE DE CIRC. SECANTES POR UN ARCO INTERIOR

Dadas las circunferencias 001, con radios r y r1.

.

.0

01

02.

T

T1

.

.

Se resta r - r2 y r1 - r2.En su interseccin d el centro02.

Trazar circunferencia de radior2 con centro en 02.

Hallar tangencias T y T1.Enlazar.

.

.0

01

rr1

.

.

.

0

01

r1- r2

r - r2

02

.

.

.

0

01

02 r2

..

.01

T

0

T1.

..

.A

T

.01

0

Dada la semirrecta m y lacircunferencia 0.

Paralela a m y a la mismadistancia de r.Nos da m1 con el punto A.Se une A con 0 y se prolongael segmento AT.

En el segmento 0A se halla lamediatriz y donde corte alsegmento AT, obtenemos elcentro 01.

Con centro 01 y radio 01 T setraza la circunferencia.Se obtiene los puntos detangencia T y T1.Enlazar.

...m

T

0

m1.A

r

r

..m

T

0r

.

.

.

.01

0T

T1

.

.

.

.0

T

A

01

Dada la circunferencia 0, larecta m y el punto detangencia T.

Unir 0 con T.Por T recta tangente a 0 y dael punto A.

Desde A bisectriz del nguloque forma y donde corte con0T. Obtenemos el centro 01.Trazar 01 con radio 01 T.

Hallar tangencias y enlazar.

.

.

.0

rT

mA

..

0

rT

m

Dada la circunferencia 0 conradio r y la recta m.

Paralela a m a la distanciavalor de radio de lacircunferencia que vamos aenlazar.Con centro en 0 (r ms r1).

.T

T1

0

.01

.

.

Hallar tangencias (T - T1).Enlazar.

Donde corte la circunferenciade centro 0 de radio r + r1,con la recta m1, da el centrode la circunferencia 01.Trazar desde 01 con radio r1.

.0

r

m

.

r

r + r10

m1

mr1

.

m10

01

r1

.

m m

Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1. Se le resta a los radios r2 y te dar suinterseccin el centro 02.Trazar desde 02 con radio r2.


ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR E INTERIOR

.

Dadas las circunferencias 001, con radios r y r1.

Se suma r + r2 y se resta r1 - r2.En su interseccin da el centro02.

Trazar circunferencia de radior2 con centro en 02.


..

.

0 01

02

T

T1

.

..

.

0 01

02

r2

..

.

r + r202

01

r1- r2

0..0

01r

r1

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO INTERIOR

.

.

.

r2 = 4cm..

02

T

T1.

r2 = 4cm.

.

.

r

r101

0 .

.

.

.

01

0

r - r2r1 - r2

r2

02r2 = 4cm.

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR


Se le suma a los radios r2 y te dar suinterseccin el centro 02.Trazar desde 02 con radio r2.

Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.

r2 = 2cm.

.

.

r2 = 2cm.

01

0r

r1.

.

.02r + r2

r1 + r2r2

0

01

r2 = 2cm.

.

.

.

TT1

02

.

.0

01

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO CONOCIDO UN PUNTO DE TANGENCIA

.

.

.

.001

02

P

.T

Dada las circunferencias 0 01con punto en 01.

Se traza mediatriz y donde secorte con el segmento 01 P,obtenemos 02.

Se une 01 con P y el radio r sele suma y d A.Se une A con 0.

Desde 02 y radio 02 P circunferencia.Hallar puntos de tangencia P y T.Enlazar.

.

. .

.

010

P

A

r1+r

.

.

.

.

.

A

P

001

02

ENLACE DE CIRCUNFERENCIAS POR SEGMENTOS

.

. .

P

r0

01

r1r1

.

.

.

1

2

3

0.

.

.4

.

01

02

.5

Apartir del caso de Arco que pasa por 3 puntos fijos.- Dados X nmero de puntos- Unir por segmentos- Se comienza siempre con los 2 primeros segmentos de la siguientemanera:Se une las mediatrices de 1-2-3 y nos da 01.Se traza la mediatriz del segmento 3-4.Se une 01 con 3 y donde corta con la mediatriz se obtiene 02 y assucesivamente.

C U R V A S E M P L E A D A S E N L A T C N I C A

VALO : Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatros arcos de circunferencia, iguales dos a dos.Tiene dos ejes de simetra perpendiculares entre s.

CONOCIDO EL EJE MAYOR Y MENOR.

Dados los ejes AB y CD, se pone una medida arbitraria que nosda E y los centros 01 y 02.

Se halla la mediatriz del segmento 01 E y donde corta obtenemosel centro 03, que con radio 03 A. Trazamos un arco decircunferencia.

Una vez trazado 03 se hace lo mismo en la parte superior del jemenor y nos dar el centro 04 y su arco respectivo.Unimos los centros para determinar los puntos de tangencia.

Enlazar.

A

B

C D

E

01 02.. .

A

B

C D

E

01 02.. .

.03

A

B

C D01 02

..

.03

.04...

.T TTT

A

B

D01 02

..

.03

C

.04...

.T TTT

CONOCIDO EL EJE MAYOR.

Enlazar.

Dado el eje mayor AB, se divide en 3 partes iguales y da 01 y 02. Con centros en 01, 02 y conocido los radios que pasan por A y Bse trazan las circunferencias, donde se cortan obtenemos loscentros 03 y 04.

Una vez obtenido todos los centros que forman el valo.Se unen los centros para determinar los puntos de tangencias.Se trazan las circunferencias 03 y 04.

A B01 02 A B01 02. .

.

.0304

A B01 02. .

.

.03

04 TT

T T

. .

..A B01 02

. ..

.03

04 TT

T T

. .

..

CONOCIDO EL EJE MENOR

Dado el eje menor AB. Se halla la mediatriz y se traza la circunferencia 0.Donde corta la circunferencia con el eje horizontal o mediatriz,obtenemos los puntos C y D.

Se trazan las circunferencias con centros A B .Se une AB con CD, para determinar los puntos de tangencias y losradios de las circunferencias de centro en C y D.

Enlazar.

A

B

0C D..A

B

OVOIDE : Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dosdesiguales. Tiene un eje de simetra.

A

B

0C D..T...

.TT T

A

B

0C D..T...

.TT T

CONOCIDO EL JE MENOR.

A B0

Se traza el eje menor AB.Se traza la mediatriz y unacircunferencia que pasa por AB.

Sobre el eje vertical se pone el ejemayor CD.Con centro en 01 y radio 01D,trazamos una de las circunferencias.

Con ese mismo radio pinchamos enA y nos da E.Hallamos la mediatriz entre A 01 ycuando corta el eje menor,obtenemos el centro 02.

Con centro en 0 y distancia 02, lo llevamos al otro lado y da03.Con centro en 02 y radio 02 Aarco.Con centro en 03 y radio 03 Aarco.Unimos los centros paradeterminar los puntos detangencia.

C

D

EA B

0..01

.02 .02.03.01. .T T

C

D

A B0 .02.03.01. .T T

C

A B

D

0

Enlazar.

CONOCIDO EL EJE MENOR

CONOCIDO EL EJE MAYOR

Dado el eje menor AB.Mediatrz y centro 0.Se prolonga el eje vertical.

Por A y B arcos valor eldimetro.

Donde corta la circunferenciaal je vertical, punto C.Se une AB con C paradeterminar las tangencias.Por C circunferencia.

Obtenidos los puntos detangencias se enlaza.

C.. .

TT

A B0A B0

C.. .

TT

A B0A B0

Dado el eje AB. Se divide en 6partes iguales y en el punto dosse encuentra el centro 0 deradio 2-4.

El radio 2-4 se repite a cada lado y nos da 03 y 04.Unimos los centros con el punto 5 = 01, para determinar lospuntos de tangencias.

Por ltimo enlazar.

.

. .

01

02 03

TT

.. TT0.rr r r1

2

3

4

5.

. .02 03

.TT

.. TT0.1

2

3

4

5

A

B

r

0.

ESPIRAL : Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de unarecta a la vez que sta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad ngular constante.Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una vuelta completa.

Construccin de una espiral de paso N.Se traza un segmento igual a N.Se divide el segmento en un nmero cualquiera departes iguales.Hacindo centro en 0 se trazan circunferenciasconcntricas.Se divide las circunferencias y la interseccin de losradios con las circunferencias dan los puntos de laespiral.Slo queda unir los puntos.

1

2

3

4

5

6

7

8

N. . .

...

.

.

VOLUTA : Es la curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre s, siendo los centros de los arcoslos vrtices de un polgono un segmento dado.

1

23

4 1

23

0 1

C U R V A S C N I C A S

CIRCUNFERENCIA : Es la figura que resulta de cortar un plano perpendicular al eje de un cono y a las dosramas por debajo o por encima.

ELIPSE : Es la figura que resulta de cortar un plano no perpendicular al eje de un cono y a las dos ramas pordebajo o por encima.

HIPRBOLA : Es la figura que resulta de cortar un plano a las dos ramas por debajo y por encima delvrtice y al mismo tiempo.Siendo dicho plano paralelo al eje.

PARBOLA : Es la figura que resulta de cortar un plano a una de las ramas por debajo o por encima delvrtice siendo paralelo a la otra rama.

P

P

P

P

CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPRBOLA PARBOLA

E L I P S E

ELEMENTOS: EJE MAYOR ( A - A)EJE MENOR ( B -B )FOCOS ( F1 - F2 )

Si nos dan los ejes y desconocemos los focos, para hallarlos sepincha en B y distancia de radio A0 donde corte al eje mayorobtenemos los focos.

Si nos dn el eje mayor (A-A) y los focos. Hallamos lamediatriz del je mayor y pinchando en cualquier de los focosy radio A0, donde corte con la mediatriz determinamos el ejemenor (B-B).

.

.A AF1 F2

B

B

0

A0

A AF1 F2

B

B

0

A0

. .

COMO HALLAR EL EJE MENOR COMO HALLAR LOS FOCOS

P

..

.

AA

B

B

AA

B

B

1

0

... .

2

3

4

.

.

AA

B

B

.C

D.1

0

Dados los ejes de la elipse, con centro en0 se trazan dos circunferenciasconcntricas que pasan por los ejes.Desde el centro de forma arbitraria setrazan radios dimetros.Los radios cortan a las circunferencias enC y D .Para hallar el punto se traza por Cperpendicular al eje menor, por Dperpendicular al eje mayor, donde secorten obtenemos el punto buscado.

Siguiendo el paso anterior se trazantantos puntos como necesitemos para laformacin de la figura.

Luego slo queda unr los puntos con losejes y obtenemos la elipse.Se recomienda 4 puntos por cada cuartode circunferencia.

CONSTRUCCIN POR EJES

CONSTRUCCIN POR PUNTOS

A AF1 F2

B

B

01 2 3.

Dados el eje mayor (A-A), el eje menor(B-B) y los focos (F1-F2).Entre F1 y 0 determinamos diferentespuntos de forma arbitraria.

Se toma la distancia A1, se pincha en F1 yse hace dos arcos por arriba y por debajo.Se toma la distancia A1, se pincha en F2y se hace dos arcos por arriba y pordebajo.Donde se corten los arcos obtenemos elpunto buscado por arriba y por debajo.

Siguiendo el paso anterior se realiza conlos restantes puntos.Lo mismo con los puntos del lado derechode la figura.Luego slo queda enlazar dichos puntoscon los puntos que determinan los ejes yobtendremos la elipse.

F1A1

A1..

1

1

.1 2 3B

B

F2A A

FORMULA A APLICAR:A - 1 PINCHANDO EN F1A- 1 PINCHANDO EN F2

1

2 3

1

2 3

B

B

4 5 6F1 F2A A

A A. .F1 F2

Z

X

123 4 5 6

6

5

4

4

5

6

12

3

32

1

AF1 F2A

Z

X

123

.

.1

1

. .

Dados el eje (A-A), los focos (F1-F2) y las axintotas (Z-X).Desde los focos hacia la izquierda y derecha respectivamentese van tomando puntos arbitrariamente.Se toma la distancia A1, se pincha en F1 y se hace dos arcospor arriba y por debajo.Se toma la distancia A1, se pincha en F2 y se hace dos arcospor arriba y por debajo.Donde se corten los arcos obtenemos el punto buscado porarriba y por debajo

Siguiendo el paso anterior se realiza con los restantes puntos.Lo mismo con los puntos del lado derecho de la figura.Luego slo queda enlazar dichos puntos con los puntos quedeterminan el eje y obtenemos la hiprbola.

H I P R B O L A

PCONSTRUCCIN POR PUNTOS

P A R B O L A

P

.F

0

Eje

Directriz

A

A0 = AF

Dada la directriz y la perpendicular en 0el eje de la parbola.Se traza sobre el eje la distancia A0 y ala misma distancia encontramos el foco.

Desde A se trazan perpendicular (H) deforma arbitraria se determina la distanciaentre dicha recta y la directriz , con esamedida se lleva al foco y se traza el arcoque corta a (H) y da los puntos paratrazar la parbola (1).

Siguiendo los pasos anteriores ,obtendremos los restantes puntos paradeterminar la parbola.Se recomienda 4 perpendiculares.

.

A

F

0

Eje

Directriz

hH .. 11

h

.F

A

0

Eje

Directriz

1H

H

H

2

3

1

2

3

h

h

ELEMENTOS: FOCO ( F )PUNTO ( A )Directriz ( D )

EJE ( A - A)VRTICES ( B -B )FOCOS ( F1 - F2 )XZ ( Asintotas )

FORMULA A APLICAR:A - 1 PINCHANDO EN F1A- 1 PINCHANDO EN F2

ELEMENTOS:

POR UN PUNTO DADO RECTA TANGENTE

.T

R

F1 F2

.

Desde el punto T tangente dado, se unecon los focos, se halla la bisectriz yperpendicular por el punto T y es larecta R buscada.

.

.T

R

F

.

Desde el punto T tangente dado, se unecon el foco y desde T perpendicular a ladirectriz, se halla la bisectriz que es larecta R buscada.

.T

R

F1 F2. .

Desde el punto T tangente dado, se unecon los focos, se halla la bisectriz que esla recta R buscada.

E L I P S E H I P R B O L AP A R B O L A

Final 1.pdfFinal 2.pdfFinal 3.pdfFinal 4.pdfFinal 5.pdfFinal 6.pdfFinal 7.pdfFinal 8.pdfFinal 9.pdfFinal 9.1.pdfFinal 10.pdfFinal 11.pdfFinal 12.pdfFinal 13.pdfFinal 14.pdfFinal 15.pdfFinal 16.pdfFinal 17.pdfFinal 18.pdfFinal 19.pdfFinal 20.pdfFinal 21.pdfFinal 22.pdfFinal 23.pdfFinal 24.pdfFinal 25.pdfFinal 26.pdfFinal 27.pdfFinal 28.pdfFinal 29.pdfFinal 30.pdfFinal 31.pdfFinal 32.pdfFinal 33.pdfFinal 34.pdfFinal 35.pdfFinal 36.pdf

enlace de circunferencias.pdf

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