MECANISMOS Y SISTEMAS DE AERONAVES MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS

ENGRANAJES CILINDRICOS A DIENTES HELICOIDALES

Prof.: Ing Pablo L. Ringegni Ayte: Sr. Mariano Arbelo

Engranajes cilíndricos a dientes helicoidales

Definiciones – Generalidades Por simplicidad nos referiremos a estos engranajes con el nombre de “engranajes helicoidales”. Una característica importante de estos engranajes es la silenciosidad de su funcionamiento, que representa una indudable ventaja respecto a los engranajes a dientes rectos, que son mucho más ruidosos. La razón de tal fenómeno se explica mejor pensando en la ruidosidad de los engranajes rectos: esto tiene su causa en la periodicidad que caracteriza la transmisión de movimiento en los engranajes rectos, estando el periodo representado por el tiempo necesario para que las primitivas rueden una sobre la otra en un arco igual al paso. Durante el periodo, cambia el punto de aplicación de la fuerza mutua; los dientes sufren pequeñas deformaciones elásticas variables de instante a instante, que puede dar lugar a pequeños choques y vibraciones. Dicha periodicidad queda prácticamente eliminada en los dientes helicoidales, ya que en cada posición relativa de los dientes en acción se tienen entre ellos puntos de contacto correspondientes a una extendida parte del arco de engrane; por otra parte, la rigidez de los dientes helicoidales es bastante mayor que la de los dientes rectos. Los dientes de una rueda helicoidal pueden ser considerados como engendrados por hélices del mismo paso que tienen por eje común, el eje del círculo primitivo. Los elementos característicos de una rueda helicoidal se dicen: - reales: si se corresponden a las dimensiones de la herramienta de corte, o si están

tomados “normalmente” al diente. - aparentes: si se corresponden a una sección perpendicular al eje, “oblicuamente”

con respecto al diente. Es lo que se “ve” sobre la cara de una rueda dentada (Fig.1).

Figura 1

Convenciones normalizadas Las convenciones normalizadas para engranajes a dientes rectos se aplican también a los engranajes helicoidales:

Figura 2

- Hélice primitiva: intersección del cilindro primitivo o del diente y de la superficie

activa. La hélice puede ser izquierda (como en la figura 2) o derecha. - Inclinación de la hélice – Angulo β: ángulo agudo formado por una tangente

cualquiera a la hélice primitiva con el eje de la rueda dentada. - Paso aparente: viene dado por

nDPa π

= Donde n: número de dientes

Figura 3

- Paso real: viene dado por

Pr = Pa cos β

- Paso axial o paso de la helice: paso medido paralelamente al eje de la rueda.

H = π D cotg β

- Módulo aparente: viene dado por

πPa

nDma ==

- Módulo real: es el módulo de la herramienta de tallado

βπ

cos.Pr nam ==

- Altura del diente: se toman los siguientes valores

S = m

C = 1.25 m

La tabla 1 resume las relaciones entre las principales dimensiones de los dientes.

TABLA 1 Para una rueda dentada de n dientes

Diámetro primitivo D nmanmD .cos

.==

β

Inclinación de la hélice β Este valor es representado sólo en el círculo

primitivo. Es un dato convencional a acordar con H para determinar el modo de tallado.

Paso axial o paso de la hélice H β

πβπsen

nmgDH ..cot.. ==

Módulo real o módulo del herramental m m = ma cos β

Módulo aparente ma nDma =

Altura de cabeza S Diente normal: S = m Diente corregido: S = m± x

Diámetro del diente T Diente normal: T = D + 2m Diente corregido: T = D + 2m ± 2x

Paso real Pr Pr = π m ó Pr = Pa cos β

Paso aparente Pa Pa = π ma ó nDPa .π

=

Propiedades del engranaje helicoidal

Las propiedades del diente helicoidal engranado por envolvente de circulo son iguales a las del diente recto vistas en el apunte anterior. La tabla 2 define las condiciones que deben satisfacer las hélices. Las ruedas helicoidales generan cargas axiales que dependen del sentido de la hélice y del sentido de rotación de la acción (rueda conductora o conducida).

TABLA 2: Sentido de la carga axial (mené = conducida; menant = conductora)

Cálculo del diente Los métodos de cálculo para los dientes rectos pueden aplicarse a los dientes helicoidales, según la calidad del engranaje. Siendo: n: Nº de dientes m: módulo real

Con: P: potencia en kW v: velocidad en el circulo primitivo, en m/seg F: esfuerzo tangencial en el punto primitivo, en daN σ: tensión admisible

Figura 4

vPF .100

= , en daN

La resistencia estática es (como en los dientes rectos)

F = Y m l σ m = módulo real Donde el factor de forma Y, para una rueda de n dientes, es la de una rueda ficticia de

β3cosn dientes (con esta forma se puede calcular para dientes rectos)

El ábaco de la Fig A-1 da el factor Y en función de n y de β. Cálculo del diente según Lewis La fórmula ya dada para dientes rectos, en el apunte anterior, puede usarse aquí tomando para Y el resultado dado por el ábaco mencionado: - Factor de velocidad:

G = 25 (5 + v) para engranajes calidad C G = 45 (3 + v) para engranajes calidad D y E

- Potencia máxima transmitida:

GvlmYP .... σ

= , en kW

- Elección del módulo:

vYGPlm..

..σ

=

Cálculo según la carga dinámica y el desgaste: Consiste en una extensión de la formula de Buckingham para dientes rectos. Para los engranajes de calidades A, B y C, el método visto en el apunte de engranajes con dientes rectos puede adaptarse a los dientes helicoidales, teniendo en cuenta la influencia del ángulo β de inclinación de la hélice. F: esfuerzo tangencial en el primitivo, en daN Fd: esfuerzo dinámico sobre el diente, en daN l: ancho de la rueda o del piñón, en mm (no confundir con el ancho del diente) v: velocidad en el primitivo, en m/seg eh = 1.15 e: eror convencional. El error e esta definido como para un diente recto de ancho l y módulo m (módulo real). C: factor de deformación correspondiente a eh Esfuerzo dinámico: Viene dado por:

FclvFClvFFmFFd

+++

+=+=..5,1.10

cos)...(.10 β

El valor de Fm puede obtenerse del ábaco de la Fig D-1 del apunte anterior. Deberá verificarse, con la carga estática admisible

F = Y m l σ Las siguientes relaciones: Fs > Fd ≥ 0.8 Fs Carga regular, sin choque ni variación importante de

momento 0.85 Fs > Fd ≥ 0.75 Fs Carga variable, sin choque 0.75 Fs > Fd ≥ 0.67 Fs Carga variable, con choque Carga límite de desgaste

Nuevamente adaptamos las expresiones correspondientes a dientes rectos: D: diámetro primitivo, en mm n1, n2: número de dientes, piñón y rueda (n1 < n2)

12

22nn

nQ+

=

S: valor dado por la tabla C-1 del apunte anterior La carga límite de desgaste vale:

β2cos... QSlDFu =

Deberá verificarse: Fd < Fu Utilización de los engranajes helicoidales Rendimiento de los engranajes helicoidales El rendimiento de los engranajes rectos es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

21

11..1nn

fRd π

fórmula conocida como de Poncelet o de Reuleaux, en la cual: f: coeficiente de fricción (de 0.05 a 0.20) n1, n2: número de dientes del piñón y rueda En el caso de engranajes helicoidales, con árboles paralelos, hay un incremento de fricción debido a la inclinación de la hélice, que disminuye ligeramente el rendimiento, y la Fórmula de Poncelet se transforma en:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

21

11.cos

.1nn

fRhβ

π

Así por ejemplo, para un piñón de 32 dientes y una rueda de 50 dientes, de calidad C, si el engranaje es recto puede obtenerse un valor Rd = 98 %, mientras que si es helicoidal el rendimiento posible es Rh = 97.2 %. Esfuerzos sobre árboles y paliers – Árboles paralelos

Fuerzas teóricas en el engrane Teóricamente, el esfuerzo tangencial F transmitido por la rueda conductora, determina normalmente al diente una fuerza Q, que se descompone en las fuerzas siguientes:

Figura 5

R: dirigida según O1O2 A: paralela a los árboles Siendo: α: ángulo de presión β: ángulo de la hélice Tenemos que:

βα

cos.tgFR = A= F.tg β

Deben tenerse en consideración las mismas observaciones realizadas para engranajes rectos, sobre los esfuerzos dinámicos, para una evaluación más real de las cargas que actúan sobre los paliers. Estimación de las fuerzas medias para la elección de los paliers Se trata de estimar los esfuerzos que actúan: - en el plano del engranaje: Fm

- paralelamente a los árboles: Am

Tomando los resultados del apunte anterior, si Fd es el valor calculado según los visto, se tiene:

Fm = (a.F3 + b.Fd3)1/3

Am = Fm tg β

El valor de R es despreciable pues, como en los dientes rectos, la fuerza media Fm está tomada en la dirección y sentido más desfavorables. Si no es posible calcular Fd, un valor aproximado puede ser determinado, tomando

Fd = Yh F Con lo cual

Fm = F(a. + b.Yh3)1/3 Los valores de a y b, según el tipo de carga, son los mismos que para dientes rectos y se encuentran en la tabla 3. El ábaco de la figura B-1 da el valor aproximado de Yh.

TABLA 3 Tipo de carga a b

I Carga regular, sin choque ni variación importante de torque 0.9 0.1 II Carga variable, sin choque 0.8 0.2 III Carga variable, con choque y variación importante de torque 0.6 0.4

Valores de cargas paralelas a los árboles Tenemos que:

Ad = Fd tg β

Am = Fm tg β Para lo cual hay que conocer los valores de Fd, Fm y β. Valores de los esfuerzos a introducir en los cálculos - Para la elección de los rodamientos: descomponer la fuerza Fm y el momento

debido a Am en fuerzas radiales sobre la luz. Combinar, para un rodamiento de cada uno de los árboles, la carga axial Am según las indicaciones suministradas por los fabricantes. Admitir el sentido de las fuerzas más desfavorables.

- Para la elección de cojinetes lisos: tomar Fm y Am y admitir el sentido teórico de F

y A para la distribución del aceite lubricante. - Para la elección de los árboles: calcular con Fd y Ad.

Apéndice: Factor de forma

Figura A-1