Tema  2.3.  Circuitos  trifásicos  

Energía  y  Telecomunicaciones  

Alberto  Arroyo  Gu<érrez  Mario  Mañana  Canteli  Raquel  MarCnez  Torre  Jesús  Mirapeix  Serrano  

Cándido  Capellán  Villacián  

Departamento  de  Ingeniería  Eléctrica  y  Energé5ca  

Este  tema  se  publica  bajo  Licencia:  Crea5ve  Commons  BY-­‐NC-­‐SA  4.0  

a a = 1!120

BCfGiIIj j = 1!90

LMPQR !SSuUUW JX !YZ !Z !!" !m# S/m$ U I%

+

+

+u

i

2

xa(t) =!2X cos(2&ft)

xb(t) =!2X cos(2&ft" 2&

3)

xc(t) =!2X cos(2&ft+

2&

3)

xi(t) i

X

f

x(t)!2X

1/f

t

120

xa(t) + xb(t) + xc(t) = 0

Xa = X!0 = X(1 + j0)

Xb = X!! 2!3= X("1

2" j

!3

2)

Xc = X!+ 2!3

= X("1

2+ j

!3

2)

Xa +Xb +Xc = 0

Xa

Xb

Xc

120

120

120

Ia =Ua

Za

Ib =U b

Zb

Ic =U c

Zc

+

+

+Ua

U bU c

Ia

Ib

Ic

Za

Zb

Zc

Za = Zb = Zc = Z!!

Z $

Ua

U b

U c

$

$

$

IaIb

Ic

Ia + Ib + Ic = 0

+

+

+Ua

U b

U c

Ia

Ib

IcZ

Z

ZA

B

C

N

A"

B"

C"

N "

conductor de la fase a

conductor de la fase b

conductor de la fase c

conductor del neutro

"

Ua U b U c

UN = 0Uab U bc Uca

Uab = Ua " U b = U(1 + j0)" U("1

2" j

!3

2) = U(

3

2+ j

!3

2)

= U!3(

!3

2+ j

1

2) = U

!3!30

30 Ua

!3

U bc = U b " U c = U("1

2" j

!3

2)" U("1

2+ j

!3

2) = U(0" j

!3)

= U!3(0" j) = U

!3!!90

U ca = U c " Ua = U("1

2+ j

!3

2)" U(1 + j0) = U("3

2+ j

!3

2)

= U!3("

!3

2+ j

1

2) = U

!3!150

Ua

Ub

U c Uab

U bc

U ca

30

30

30

400 = 230!3

Ia Ib Ic

IN = Ia + Ib + Ic

IN = 0

+

+

+Ua

U b

U c

Ia

Ib

IcZ

Z

ZA

B

C

N

A"

B"

C"

N "

conductor de la fase a

conductor de la fase b

conductor de la fase c

Ia + Ib + Ic = 0

Ia =UA!N !

Z=

UAN " UN !N

Z

Ib =UB!N !

Z=

UBN " UN !N

Z

Ic =UC!N !

Z=

UCN " UN !N

Z

UAN " UN !N

Z+

UBN " UN !N

Z+

UCN " UN !N

Z

=UAN + UBN + UCN

Z" 3

UN !N

Z= 0

UAN + UBN + UCN

Z= 0

UN !N = 0

N N "

N "

+

Ua Z

Ia

+

+

+Ua

U b

U c

Ia

Ib

Ic

Z

Z

Z

A

B

C

A"

B"

C"

conductor de la fase a

conductor de la fase b

conductor de la fase c

I1

I2

I3

!3

I1 I2 I3

I1 =UA!B!

Z

I2 =UB!C!

Z

I3 =UC!A!

Z

Ia Ib Ic

Ia = I1 " I3 =UA!B! " UC!A!

Z=

!3U!30 "

!3U!150

Z= 3

U

Z1!!!

$

Ib = I2 " I1 =UB!C! " UA!B!

Z=

!3U!!90 "

!3U!30

Z= 3

U

Z1!!120 !!

Ic = I3 " I2 =UC!A! " UB!C!

Z=

!3U!150 "

!3U!!90

Z= 3

U

Z1!120 !!

Ua

U b

U c

UA!B!

UB!C!

UC!A!

I1

I2

I3I3

Ia

Ib

Ic

30

30

30

$

$

$$$$

!3

!3

3030 $

(X,Y, Z)

ZA

ZB ZCZ1

Z2Z3

X X

Y YZ Z

Zi =suma de los productos binarios de todas las impedancias de la estrella

impedancia de la rama conectada al nudo opuesto a Zi

ZA =Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

Z1

ZB =Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

Z2

ZC =Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1

Z3

Zi =producto de las dos impedancias del nudo conectadas al nudo i

suma de las tres impedancias del triangulo

Z1 =ZBZC

ZA + ZB + ZC

Z2 =ZAZC

ZA + ZB + ZC

Z3 =ZAZB

ZA + ZB + ZC

Z

ZY =Z!

3

P =3!

k=1

UkIk cos$k [W ]

Uk k

Ik k

cos$k k

Q

Q =3!

k=1

UkIk sin$k [var]

S = P + jQ

S = #S# ="P 2 +Q2 [V A]

P (t) = P1(t) + P2(t) + P3(t)

= 2UaIa cos(%t) cos(%t" $) + 2UbIb cos(%t"2&

3) cos(%t" 2&

3" $)

+ 2UcIc cos(%t+2&

3) cos(%t+

2&

3" $)

P (t) = 2UI{cos(%t) cos(%t" $) + cos(%t" 2&

3) cos(%t" 2&

3" $)

+ cos(%t+2&

3) cos(%t+

2&

3" $)}

P (t) = UI{cos(2%t" $) + cos($) + cos(2%t" 4&

3" $) + cos($)

+ cos(2%t+4&

3" $) + cos($)}

cos(2%t" $) + cos(2%t" 4&

3" $) + cos(2%t+

4&

3" $) = 0

P (t) = 3UI cos($)

cos! cos " = 12 (cos(!+ ") + cos(!" "))

a

b

c

N

P1

P2

P3

P = P1 + P2 + P3

a

b

c

P1

P2

P1 P2

P = P1 + P2

P1 P2

P1 = ${UacIa#} = UacIa cos(30 " $)

30 P2 90120 + $

P2 = ${UbcIb#} = UbcIb cos(30 + $)

UL

IL P1 P2

P = P1 + P2 = ULIL cos(30 " $) + ULIL cos(30 + $)

= ULIL(cos(30 " $) + cos(30 + $))

= ULIL(2 cos(30 ) cos($)) = ULIL2

!3

2cos($)

=!3ULIL cos($)

Ua

Ub

U c

Uac

U bc

U ca

Ia

Ib

$$

30

30

30

P1 P2

P1 " P2 = ULIL cos(30 " $)" ULIL cos(30 + $)

= ULIL(2 sin(30 ) sin($))

= ULIL21

2sin($))

!3

Q =!3(P1 " P2)

30 "$30 + $

cos(! " ") + cos(! + ") = 2 cos! cos " cos(!" ")" cos(!+ ") = 2 sin! sin"

FP =P"

P 2 +Q2

P [W ]

Q [var]

Q1C = "U2a1

"C

= "%CU2a = "%C

U2AB

3

QC = "%CU2AB

FP "

FP " =P"

P 2 + (Q +QC)2=

P"P 2 + (Q" %CU2

AB)2

C FP "

C =Q" P

#1

FP !2 " 1

%U2AB

ZCY =ZC!

3

1

%CY=

1"C!

3

C! =CY

3

FP " CY

C!

Q

Q

a

b

c(P,Q)

C

C C

S1

N "

UN !N

+

+

+Ua

U b

U c

Ia

Ib

Ic

A

B

C

N

A"

B"

C"

N "

Z1

Z2

Z3

ZN

Ia =UAN " UN !N

Z1

Ib =UBN " UN !N

Z2

Ic =UCN " UN !N

Z3

IN =UN !N

ZN

Ia + Ib + Ic = IN

UAN " UN !N

Z1+

UBN " UN !N

Z2+

UCN " UN !N

Z3=

UN !N

ZN

UN !N

UAN

Z1+

UBN

Z2+

UCN

Z3= UN !N (

1

Z1+

1

Z2+

1

Z3+

1

ZN)

UN !N =

UAN

Z1+ UBN

Z2+ UCN

Z3

1Z1

+ 1Z2

+ 1Z3

+ 1ZN

=UANY 1 + UBNY 2 + UCNY 3

Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y N

N "

Z = 10+ j5

Ua

Za =10 + j5 Zb = 10 " j5Zc = 10

Ua

Ia Ua

Z1 = 30 + j30 Z2 = 10" j10

a

b

c

Ia

Z1 Z2

Z1 = 10+ j10 FP

FP

! = 70%

Zconductor = 1 + j4

Z1 Z2 Ia Ib Ic

UA!N !

P1 P2

UA!N !

a

b

c

Z1 Z2

P1

P2

Zconductor

A"

N "

Ia = 20, 57!!26,57 Ib = 20, 57!!146,57 Ic = 20, 57!93,43 In = 0 Ia =20, 57!!26,57 Ib = 0 Ic = 20, 57!93,43 In = 20, 57!!146,57

Ia = 20, 57!!26,57 Ib = 20, 57!!93,44 Ic = 23!120 In = 11, 33!120

Ia = 23!0

FP = 0, 71(i) C = 159, 15 µF

P = 20, 64 Q = 10, 06 IL = 33, 14 C = 66, 71 µF

Z1 16 ! Z2

106, 67 ! 14, 45 µF Ia = 45, 48!1,32

Ib = 45, 48!!118,68 Ic = 45, 48!121,32 Uab = 327, 96!63,90 U bc = 327, 96!!56,12

U ca = 327, 96!183,90 P1 = 25807 W P2 = 11897 W PT = 37705 W QT =24093 var